Curso de Graduação em Engenharia Civil
Disciplina: TOPOGRAFIA I
Professor: Guilherme Dantas
EXERCÍCIOS LISTA 4 – TECNICAS DE LEVANTAMENTO
PLANIMÉTRICO
29 Com os dados de campo fornecidos, leitura de ré e vante feitas nos 5
vértices de uma poligonal levantada pelo processo dos azimutes, efetuar
seu fechamento adotando como azimute inicial a leitura de vante da
estação 1.
CALCULO DE AZIMUTES
EST,
1
2
3
4
5
1
ANGULOS LIDOS
VANTE
RE
108°49’
163°02’
250°43’
307°30’
34°22’
a)
D (deflexão)
provisório
34°22’
Azimutes
ajuste
ajustados
213°56’
388°36’
342°15’
71°28’
128°16’
Calcular as deflexões: FORMULA: D
= 180° + Vante – Ré (se D > 180°, subtrair
360°);
b)
Calcular os azimutes provisórios: FORMULA:
Az = Azanterior + D (se D > 360°,
subtrair 360°);
c) Calcular o erro de fechamento angular. Calcula-se o erro de fechamento (f) pela
diferença entre o azimute de partida (34°22’) e o azimute calculado (azimute da
última linha). O valor do ajuste unitário pode ser calculado pela fórmula e=f/n,
onde e = ajuste unitário / f = erro de fechamento / n = número de lados da
poligonal.
d) O ajuste correspondente a cada azimute é obtido multiplicando o ajuste
unitário (e) pelo número da estação menos 1. FORMULA: ajuste de cada
azimute = (n-1)*e. A partir da estação 2 aplicam-se os ajustes: e, 2e,
3e....n até onde e=f.
12
e) Calcular os azimutes ajustados bastando somar cada ângulo ao seu ajuste
correspondente.
30 Repetir o exercício anterior considerando o azimute de partida o valor
verdadeiro de 17°27’.
CALCULO DE AZIMUTES
EST,
1
2
3
4
5
1
ANGULOS LIDOS
VANTE
RE
108°49’
163°02’
250°43’
307°30’
34°22’
D (deflexão)
provisório
17°27’
Azimutes
ajuste
ajustados
213°56’
388°36’
342°15’
71°28’
128°16’
31 Uma poligonal secundária ABC apóia-se nos vértices 3 e 10 da poligonal
principal. Sendo fornecidas as leituras de ré e vante em cada estação, pedese realizar o fechamento angular, conhecendo-se também os azimutes
verdadeiros dos lados 2-3 (314°01’) e 10-11 (168°15’).
CALCULO DE AZIMUTES
EST,
2
3
A
B
C
10
ANGULOS LIDOS
VANTE
RE
43°55’
83°08’
120°25’
160°44’
185°17’
150°28’
224°18’
262°37’
299°58’
341°49’
D (deflexão)
provisório
314°01’
Azimutes
ajuste
ajustados
168°15’
SOLUÇÃO: Resolve-se o problema lembrando que o aparelho também é
estacionado nos vértices 3 e 10 da poligonal e tendo em conta, no
cálculo, que se parte de um azimute verdadeiro conhecido (2-3) e devese chegar a outro conhecido (10-11); a diferença corresponde ao erro de
fechamento.
13
32 São fornecidos os dados de uma poligonal de 5 vertices, levantada com um
teodolito de precisão nominal de 0,1’ (precisão efetiva 0,3’), utilizando o
processo de orientação por vante. Pede-se realizar o fechamento da
mesma, calculando também o erro tolerável. É fornecido o azimute do 1°
lado: 34°22,5’
CALCULO DE AZIMUTES
EST,
1
2
3
4
5
1
ANGULOS LIDOS
VANTE
RE
0°
0°
0°
0°
0°
D (deflexão)
provisório
34°22,5’
Azimutes
ajuste
ajustados
105°06,7’
125°33,5’
91°31,2’
123°57,8’
93°52,1’
SOLUÇÃO: A metodologia de calculo é a mesma, tomando-se o cuidado de
realizar corretamente as somas e subtrações de ângulos, bem como a
distribuição proporcional acumulada do erro de fechamento.
33 Realize agora o fechamento de uma poligonal com um aparelho de
segundos, levantada pelo método das deflexões. O azimute da primeira
estação é conhecido: 17°26’53”
CALCULO DE AZIMUTES
EST,
1
2
3
4
5
1
ANGULOS LIDOS
VANTE
RE
74°53’18”
54°27’26”
88°29’37”
56°02’09”
86°07’39”
D (deflexão)
provisório
17°26’53”
Azimutes
ajuste
ajustados
180°
180°
180°
180°
180°
14
34 Encontre os azimutes referentes ao alinhamento das paredes do imóvel
abaixo, sabendo que todos os vértices do imóvel são formados por ângulos
retos e que o azimute formado entre os vértices 1-2 possui o valor de
114°33’50”.
SOLUÇÃO: aplicar a fórmula Az
= Azanterior + Ângulo medido +- 180°
35 Calcular as coordenadas ajustadas da poligonal fornecida através dos
azimutes ajustados e das distâncias. Adotar as coordenadas (100,200)
para o primeiro vértice.
EST,
1
2
3
4
5
1
AZIMUTE
DIST.
37°42’27”
96°27’12”
178°21’34”
246°54’08”
301°20’21”
SOMAS
80,363
130,107
88,301
74,432
131,705
CALCULO DE COORDENADAS
coordenadas parciais
∆N
∆E
ajust.
pos
neg
pos
neg
ajust.
coordenadas finais
N
E
coordenadas de partida
100
200
∑ l∆Nl =
∑ l∆El =
fechamento linear: F2 = FN2 + FE2 =
FN =
FE =
erro relativo real: F/p =
15
SOLUÇÃO:
Calcular os valores de ∆N e ∆E, onde ∆N = D*cosAz e ∆E = D*senAz;
Calcular os valores de Fn e Fe, onde FN = ∑pos - ∑neg e FE = ∑pos - ∑neg
Calcular os ajustes para cada ângulo:
Calcular as cordenadas finais: partindo da coordenada conhecida (N1), somase esse valor com as coordenadas parciais (positivas ou negativas) e o ajuste,
levando sempre em conta os sinais. Serve de verificação o fato de termos de
chegar, ao final, à mesma coordenada de partida. Para a coordenada E, vale o
idêntico raciocínio.
36 Calcular as coordenadas gerais dos vértices 1, 2, 3, 4 de uma poligonal
secundária, levantada taqueometricamente, completando também a
planilha de cálculo. São fornecidas as seguintes coordenadas: P(98,83 ;
169,18) e Q (70,35 ; 302,03).
EST,
AZIMUTE
DIST.
P
1
2
3
4
Q
43°55’
122°25’
162°35’
44°50’
95°30’
32,40
32,60
51,80
27,40
48,30
CALCULO DE COORDENADAS
coordenadas parciais
∆N
∆E
ajust.
pos
neg
pos
neg
ajust.
coordenadas finais
N
E
coordenadas de partida
SOMAS
SOLUÇÃO: ∆N e ∆E entre os pontos P e Q devem ser comparados com a soma
das coordenadas parciais para obter fN e fE
FN = NQ – NP - ∑ ∆N
FE = EQ – EP - ∑ ∆E
Sendo que pelos dados fornecidos tem-se:
NQ – NP = -28,48
EQ – EP = 132,85
16
37 Foi realizado um levantamento topográfico planimétrico de uma
propriedade rural, cuja finalidade foi levantar os limites do imóvel.
Utilizou-se como equipamentos um teodolito digital e uma trena
eletrônica. Inicialmente foi feito uma poligonal fechada principal
utilizando 07 estações (Estação 01 a 07). Posteriormente, para levantar
todo o trecho do rio, fez-se uma poligonal aberta auxiliar (Estação 01, 08,
09 e 10). Fez-se também o rastreamento das Estações 01, 07 e 10 com um
receptor GNSS de dupla freqüência, obtendo-se as coordenadas das
respectivas Estações.
O objetivo deste exercício é encontrar as coordenadas finais de cada
vértice levantado, a partir dos dados obtidos do Teodolito e da Trena
Eletrônica. A figura abaixo ilustra a localização da poligonal no interior da
propriedade:
Encontre as coordenadas dos vértices da propriedade (vértices A, B, C, D, E,
F, G, I, J, L e M), e confeccione a planta da fazenda.
Dados iniciais:
17
Coordenadas:
ESTAÇÃO 01 – E= 624806.45 / N = 7489362.83
ESTAÇÃO 07 – E = 624693.39 / N = 7489293.26
ESTAÇÃO 10 – E = 624944.68 / N = 7489087.34
Precisão do teodolito = 5”
Tolerância linear: 1:10.000
CADERNETA DE LEVANTAMENTO DE CAMPO DO TEODOLITO DA POLIGONAL
FECHADA
1
2
3
4
5
6
ANGULOS LIDOS
RÉ
VANTE
212°21'04"
0°00'00"
254°45'55"
0°00'00"
161°39'58"
0°00'00"
272°28'36"
0°00'00"
238°42'35"
0°00'00"
216°48'18"
0°00'00"
7
0°00'00"
ESTAÇÃO
263°13'6"
DISTANCIA
186,84
177,33
197,95
172,35
208,34
285,89
132,74
CADERNETA DE LEVANTAMENTO DE CAMPO DO TEODOLITO DA POLIGONAL
ABERTA
EST
RÉ
VANTE
7
1
8
9
10
6
7
1
8
9
1
8
9
10
ANGULOS LIDOS
RÉ
VANTE
DIST.
0°00'00" 273°26'42"
0°00'00" 164°56'16"
0°00'00" 214°33'46"
92,51
113,2
112,65
18
CADERNETA DE LEVANTAMENTO DE CAMPO DO TEODOLITO DAS IRRADIAÇÕES
vante
ré
ângulo
Est.
Dist.
1
7
2
3
4
1
2
3
5
4
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
A
L
B
C
D
E
F
G
M
J
I
H
47°28'27"
345°11°36
112°30°28
113°24'11"
142°07'56"
15°15'38"
333°10'10"
5°25'11"
326°16°01
290°28'47"
303°42'47"
290°27'48"
101,15
47,42
60,66
45,17
58,71
72,75
69.94
103,93
66,25
47,05
32,69
37,31
SOLUÇÃO:
1 - CALCULO DA POLIGONAL FECHADA
OBJETIVO: CALCULAR AS COORDENADAS DAS ESTAÇÕES
PASSO 01 – VERIFICAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR
Fórmula:
Para angulos internos: F = ∑angulos internos medidos – ((n-2) . 180°)
Para angulos externos: F = ∑angulos externos – ((n+2) . 180°)
FAD = 2,5*e* n
F = erro de fechamento angular
FAD = erro admissível
n = numero de lados da poligonal
e = valor da menor divisão do teodolito
Se F > FAD = não aceitar o trabalho
Se F < FAD = aceitar o trabalho
19
PASSO 02 – CALCULAR AS COORDENADAS DOS PONTOS DE PARTIDA e
DETERMINAÇÃO DA ORIENTAÇÃO DA POLIGONAL (AZIMUTE DE
PARTIDA)
Fórmula:
Rumo = tan-1 * ∆E/∆N
Obs: Converter Rumo para Azimute
∆E = coordenada E final – coordenada E inicial
∆N = coordenada N final – coordenada N inicial
PASSO 03 –CALCULAR OS AZIMUTES PROVISÓRIOS
Fórmula:
Ângulo medido = Lvante – Lré
Az = Azanterior + Ângulo medido +- 180°
Se o valor for superior a 360°, subtrair por 360°
PASSO 04 – CALCULAR O ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR
Fórmula:
f = AP - AC
f = erro de fechamento angular
AP = azimute de partida
AC = azimute calculado
PASSO 05 – DISTRIBUIÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR
Fórmula:
e = f/n
e = ajuste angular
20
n = numero de lados da poligonal
PASSO 06 – CÁLCULO DOS AZIMUTES DEFINITIVOS
Fórmula:
ajuste de cada angulo = (n-1)*e
Az definitivo = Az prov. + ajuste
PASSO 07 – CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS
Fórmula:
∆N = D*Cos Az
∆E = D*Sen Az
D = distancia
Az = azimute
PASSO 08 – CÁLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR
Fórmula:
FN = ∑pos - ∑neg
FE = ∑pos - ∑neg
F = FN2 + FE2
Erro relativo real = F/P
FN = erro N
FE = erro E
F = erro de fechamento linear
P = perímetro
21
PASSO 09 - DISTRIBUIÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR
DISTRIBUIÇÃO DO ERRO NA DIREÇÃO NORTE:
DISTRIBUIÇÃO DO ERRO NA DIREÇÃO LESTE:
PASSO 10 – CÁLCULO DO DAS COORDENADAS FINAIS
Partindo-se da coordenada conhecida (N1 e E1), soma-se esse valor com
as coordenadas parciais (positivas ou negativas) e o ajuste, levando
sempre em conta os sinais.
2 - CALCULO DA POLIGONAL ABERTA
PASSO 01 – CALCULAR AS COORDENADAS DOS PONTOS DE PARTIDA e
DETERMINAÇÃO DA ORIENTAÇÃO DA POLIGONAL (AZIMUTE DE
PARTIDA)
PASSO 02 – CALCULAR OS AZIMUTES
PASSO 03 – CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS
PASSO 04 – CÁLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR
Fórmula:
FN = NFINAL - NINICIAL - ∑ ∆N
FE = EFINAL - EINICIAL - ∑ ∆E
F = FN2 + FE2
FN = erro N
FE = erro E
F = erro de fechamento linear
22
P = perímetro
PASSO 05 - DISTRIBUIÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR
DISTRIBUIÇÃO DO ERRO NA DIREÇÃO NORTE:
DISTRIBUIÇÃO DO ERRO NA DIREÇÃO LESTE:
PASSO 06 – CÁLCULO DO DAS COORDENADAS FINAIS
3 - CALCULO DAS IRRADIAÇÕES
PASSO 01 – CÁLCULO DOS AZIMUTES
PASSO 02 – CÁLCULO DO DAS COORDENADAS FINAIS
23