1. Ângulos e medida em graus
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Medida de Ângulos em Radianos
A figura acima mostra as medidas em graus
para diversos ângulos usuais. Note que se utiliza a
letra grega minúscula θ (theta) para representar
tanto um ângulo como sua medida.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Medida de Ângulos em Radianos
1. Ângulos e medida em graus
1.Ângulos e Medida em Graus
2.Medida em Radianos
3.Triângulos
Os ângulos positivos são medidos no sentido
anti-horário a partir do lado inicial. Os ângulos
negativos são medidos no sentido horário. Veja o
exemplo acima.
5
1. Ângulos e medida em graus
1. Ângulos e medida em graus
Conforme mostra a figura acima, um ângulo tem
três partes: um lado inicial, um lado terminal e um
vértice. Um ângulo está em posição padrão se seu
lado inicial coincide com o eixo x positivo e seu
vértice está na origem.
3
O simples conhecimento da localização dos
lados inicial e terminal de um ângulo não nos permite
atribuir uma medida ao ângulo. Para medir um ângulo,
devemos saber como o lado terminal resolveu. A
figura acima mostra que o ângulo cuja medida é -45o
tem o mesmo lado terminal que o ângulo cuja medida é
315o. Ângulos deste tipo são chamados coterminais. 6
1
1. Ângulos e medida em graus
1. Ângulos e medida em graus
Um ângulo superior a
360o é um ângulo cujo lado
terminal fez mais de uma
revolução completa no sentido
anti-horário. Veja as figuras
ao lado.
Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo
coterminal θ tal que 0o ≤ θ < 360o: (a) 450o, (b) 750o,
(c) -160o e (d) -390o.
Para achar um ângulo
coterminal de -160o, somamos
360o ⇒ θ = -160o + 360o = 200o.
7
1. Ângulos e medida em graus
10
1. Ângulos e medida em graus
Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo
coterminal θ tal que 0o ≤ θ < 360o: (a) 450o, (b) 750o,
(c) -160o e (d) -390o.
Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo
coterminal θ tal que 0o ≤ θ < 360o: (a) 450o, (b) 750o,
(c) -160o e (d) -390o.
Para achar um ângulo
coterminal de 450o, subtraímos
360o ⇒ θ = 450o - 360o = 90o.
Para achar um ângulo
coterminal de -390o, somamos
2x360o ⇒ θ = -390o + 720o =
330o.
8
11
1. Ângulos e medida em graus
2. Medida em radianos
Exemplo 1: Em cada caso, determinar um ângulo
coterminal θ tal que 0o ≤ θ < 360o: (a) 450o, (b) 750o,
(c) -160o e (d) -390o.
Para achar um ângulo
coterminal de 750o, subtraímos
2x360o ⇒ θ = 750o - 720o = 30o.
9
Uma segunda medida de ângulos é o radiano.
Para atribuir a um ângulo θ uma medida em radianos,
consideramos θ como o ângulo central de um setor
circular de raio 1, conforme a figura acima. Define-se
então a medida de θ em radianos como o comprimento
do arco do setor.
12
2
2. Medida em radianos
2. Medida em radianos
Exemplo 2: Converta cada medida em graus em uma
medida em radianos: (a) 135o, (b) 40o, (c) 540o e (d)
-270o.
Para converter graus em radianos, multiplicamos a medida em graus por (π radianos)/180o.
Recorde que a circunferência de um círculo é
dada por
 π radianos 
(c ) 540o = (540 graus ) ⋅ 
 = 3π radianos
 180 graus 


 π radianos 
3π
(d ) − 270o = ( −270 graus ) ⋅ 
radianos
=−
 180 graus 
2


Circunferência = (2π) (raio)
13
16
2. Medida em radianos
2. Medida em radianos
Exemplo 3: Converta em graus cada medida dada em
radianos: (a) -π/2, (b) 7π/4, (c) 11π/6 e (d) 9π/2.
Para fazer a conversão de radianos para graus,
multiplicamos a medida em radianos por 180o/(π rad).
Assim, a circunferência de um círculo de raio 1
é simplesmente 2π, e podemos concluir que a medida
em radianos de um ângulo de 360o é 2π. Em outras
palavras
360o = 2π radianos, ou 180o = π radianos
(a ) −
(b )
π
2
 π
  180 graus 
o
radianos =  − radianos  ⋅ 
 = −90
 2
  π radianos 
7π
 7π
  180 graus 
o
radianos = 
radianos  ⋅ 
 = 315
4
 4
  π radianos 
17
14
2. Medida em radianos
2. Medida em radianos
Exemplo 2: Converta cada medida em graus em uma
medida em radianos: (a) 135o, (b) 40o, (c) 540o e (d)
-270o.
Para converter graus em radianos, multiplicamos a medida em graus por (π radianos)/180o.
 π radianos  3π
(a ) 135o = (135 graus ) ⋅ 
radianos
=
 180 graus  4


 π radianos  2π
(b ) 40o = (40 graus ) ⋅ 
radianos
=
 180 graus  9


15
Exemplo 3: Converta em graus cada medida dada em
radianos: (a) -π/2, (b) 7π/4, (c) 11π/6 e (d) 9π/2.
Para fazer a conversão de radianos para graus,
multiplicamos a medida em radianos por 180o/(π rad).
(c )
11π
 11π
  180 graus 
o
radianos = 
radianos  ⋅ 
 = 330
6
 6
  π radianos 
(d )
9π
 9π
  180 graus 
o
radianos = 
radianos  ⋅ 
 = 810
2
 2
  π radianos 
18
3
3. Triângulos
Resumo de Regras sobre Triângulos
1. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o.
2. A soma dos dois ângulos agudos de um triângulo
retângulo é 90o.
3. Teorema de Pitágoras. A soma dos quadrados dos
catetos de um triângulo retângulo é igual ao
quadrado da hipotenusa.
4. Triângulos Semelhantes. Se dois triângulos são
semelhantes (têm as mesmas medidas angulares),
então as razões dos lados correspondentes são
19
iguais.
3. Triângulos
Resumo de Regras sobre Triângulos
5. A área de um triângulo é igual à metade do produto
da base pela altura: A = (1/2)bh.
6. Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60o.
7. Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo
isósceles mede 45o.
20
3. Triângulos
Exemplo 4: Ache a área de um triângulo equilátero
cujos lados têm 1 pé de comprimento.
Para aplicar a fórmula A = (1/2)bh, devemos primeiro
achar a altura do triângulo. Para isto, apliquemos o
Teorema de Pitágoras à porção sombreada do
triângulo.
2
 1
h 2 +   = 12
2
A=
1
bh
2
1  3
(1) 

2  2 
h2 =
3
4
A=
h=
3
2
A=
3
pés quadrados
4
21
4