2.1 Calcule o valor de f (z) = 3z 2 + z em z = 2 + i e z = 3i:
2.2 Determine o domínio máximo de de…nição das seguintes funções:
z 2 + (z i)3
y
i
z
(b) f (z) = iy
(c) f (z) = +
(a) f (z) =
(z i) sen y
(e
1) cos y
x 1 y
2.3 Determine a parte real e a parte imaginária de w = f (z).
(a) w = 2z 2
3z
(c) w = eiz (z
(b) w = jzj + z Re (z)
i)
(d) w =
1
1
z
(e) w =
Im (z)
z2 i
2.4 Esboce o domínio da função w = f (z).
(a) w = z 2 + 1; jzj 2
1
(d) w = ; Re (z) > 0
z
(c) w = z 2 ; jzj > 3
y2
(f) w = jzj i
; jzj < 1
Im (z)
(b) w = 3z; jarg (z)j < =2
1
(e) w = 2 ; z 6= 0
z
2.5 Estude a continuidade, no ponto z = 0; da função w = f (z), sendo f (0) = 0 e, para z 6= 0:
(a) f (z) =
Re (z)
jzj
(b) f (z) =
Im (z)
1 + jzj
(c) f (z) =
Re (z)2
jzj
(d) f (z) =
Re z 2
jz 2 j
2.6 Em cada caso, determine a imagem da função w = f (z) :
(a) w = 3z; jarg zj <
2
(b) w = z 2 ; jzj > 3
(c) w = 1=z 2 ; jarg zj
4
(d) w = 1=z; Re z > 0
2.7 Usando a de…nição, prove que a função f (z) = z 2 é contínua.
2.8 Usando a de…nição de limite, prove que:
(a) lim 2x + iy 2 = 4i
z!2i
(d) lim [x + i (2x + y)] = 1 + i
z!1 i
(b) lim z 2 + 1 = 0
z!i
p
p
(e) lim z = z0
z!z0
(c) lim (Re (z) + jzj) = Re (z0 ) + jz0 j
z!z0
(f) lim z 3
2.9 Usando as propriedades básicas do limite, veri…que que:
iz 3 1
z 3 8i
1
= 0 (c) lim
=
(a) lim 2 = 1 (b) lim
z!i z + i
z! 2i z + 2i
z!i z
z!i
i =
2i
12
2.10 Seja f (z) = (z)2 =z; z 6= 0; e f (0) = 0. Escreva f na forma u+iv e calcule as derivadas ux ; vx ; uy
e vy em (0; 0) :
2.11 Suponha que f (z) = x2
y2
2xy + i (2x
o resultado para encontrar f (z) = (z)2 + 2iz:
2xy) : Expresse f (z) em termos de z e simpli…que
4
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
MARIVALDO P. MATOS
2.12 Suponha que g (z) seja uma função limitada, isto é, que exista uma constante M > 0, tal que
jg (z)j
M; 8z 2 D (g). Se limz!z0 f (z) = 0, mostre que limz!z0 [f (z) g (z)] = 0. Note que não é
necessário a função g ter limite em z0 :
2.13 Seja f (z) uma função contínua no ponto z0 .
(a) Mostre que existe um número positivo r tal que: jz
(b) Se f (z0 ) 6= 0, mostre que existe
z0 j < r ) jf (z)j
1
2
jf (z0 )j
> 0 tal que f (z) 6= 0; 8z 2 V (z0 ) :
2.14 Em cada caso mostre que a função w = f (z) não é derivável em ponto algum do plano C:
(a) f (z) = Im (z)
(b) f (z) = ex (cos y
i sen y)
z
(c) f (z) = z
2.15 Calcule f 00 (z), sendo:
(a) f (z) = iz + 2
(b) f (z) = e
x (cos y
i sen y)
(c) f (z) = z 3
2.16 Determine, onde existir, a derivada da função:
z
1
(b) f (z) = x2 + iy 2 (c) f (z) = z Im (z) (d) f (z) = z 2 + 1 (e) f (z) =
(a) f (z) =
z
z 1
p
p
2.17 Dado z = rei ; r > 0; 0 < < 2 , de…na z = r [cos ( =2) + i sin ( =2)]. Mostre que a
derivada f 0 (z) existe em todo ponto z fora do semi-eixo f(x; 0) ; x
2.18 Para a função f (z) = x3
i (y
0g :
1)3 , mostre que ux + ivx = 3x2 . Por que 3x2 representa a
derivada dessa função apenas em z = i?
2.19 Mostre que as funções f (z) = 3x + y + i (3x
y) e g (z) = z 2
z e
x e iy
são inteiras.
2.20 Mostre que as funções f (z) = ey eix e g (z) = xy + iy não são analíticas em ponto algum.
2.21 Determine as singularidades das seguintes funções:
(a) f (z) =
2z + 1
z (z 2 + 1)
(b) g (z) =
2.22 Dado z = rei ; r > 0;
=2 <
z3 + i
z 2 3z + 2
(c) h (z) =
Re (z)
jzj
i Im (z)
< =2, designe F (z) = ln r + i . Mostre que a função F assim
de…nida é analítica no domínio indicado e F 0 (z) = 1=z:
2.23 Considere f (z) = z 2 e veri…que que as curvas u (x; y) = c e v (x; y) = c são ortogonais. Idem
para a função g (z) = 1=z:
CAPÍTULO 2
FUNÇÕES ANALÍTICAS
5
2.24 Seja f (z) = u (r; ) + iv (r; ) uma função analítica em um domínio1 D que não contém a origem.
Use as equações de Cauchy-Riemann para provar que as funções u e v satisfazem à equação de Laplace:
r2
rr
+r
r
+
= 0:
2.25 Se as funções f (z) e f (z) são analíticas em um domínio D, mostre que f é constante.
2.26 Suponha que uma função f (z) seja analítica em um domínio D: Mostre que f é constante em D
se, e somente se, jf (z)j é constante. E se Re f (z) for constante?
2.27 Determine onde a função w = f (z) é analítica:
(a) f (z) = z 3 + z
(b) f (z) = (1
z)
1
(c) f (z) = z
2
(d) f (z) = arg (z)
2.28 Mostre que as funções u (x; y) e v (x; y) são harmônicas e, em cada caso, construa uma função
f (z) = u + iv analítica:
(a) u = x
(b) v = xy
(c) u = ex cos y
(d) v = arg (z)
(e) v =
sen x senh y
(f) u = ln jzj2
2.29 Suponha que a função w = f (z) seja inteira e mostre que z 7! f (z) também o é.
2.30 Se uma função w = f (z) é holomorfa2 em um domínio D e f 0 (z) = 0; 8z 2 D; mostre que f é
constante em D:
2.31 Se f (z) é uma função de classe C 2 em um domínio D, mostre que em D vale:
2
jf (z)j2 = 4 f 0 (z) :
2.32 Se f = u + iv é uma função holomorfa em z0 e
representa o ângulo de uma direção ~ com o
eixo positivo dos x, mostre que:
f 0 (z0 ) = e
i
@u
@v
+i
@~
@~
2.33 Se f e g são funções deriváveis em z0 , com f (z0 ) = g (z0 ) = 0 e g 0 (z0 ) 6= 0; mostre que:
lim
z!z0
f (z)
f 0 (z0 )
= 0
:
g (z)
g (z0 )
jzj2
:
z!0 z
Use o resultado e calcule lim
1
Por domínio entende-se um subconjunto do R2 aberto e conexo.
2
holomorfa é outra denominação para função analítica