PROGRAD / COSEAC – ENGENHARIAS MECÂNICA E
PRODUÇÃO – VOLTA REDONDA - GABARITO
Prova de Conhecimentos Específicos
1a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Determine os valores de m e n para os quais a função dada seja contínua em R.
⎧ 3x 2 4 x 1
x 1
,
⎪
x
1
⎪
f( x )= ⎨ x 2 m x n , 1 † x † 4
⎪ x6
x!4
,
⎪
⎩
Cálculos e Resposta:
f é contínua em x 1 :
lim x ‘1 f ( x)
lim x ‘1
lim x ‘1
lim x‘1 f ( x)
.
3x 2 4 x 1
x 1
3 x 1 2.
lim x ‘1
(3 x 1)( x 1)
x 1
lim x‘1 x 2 mx n 1 m n .
⇒
1 m n 2
mn 1
f é contínua em x 4 :
… (T)
.
lim x‘4 f ( x ) lim x‘4 x 2 mx n 16 4m n.
lim x ‘ 4 f ( x )
lim x ‘ 4 x 6
2 Obtemos
16 4m n 2
⇒ 4m n 14
Resolvendo equações (θ) e (β):
Resposta:
.
1
… (E )
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2a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função
f( x , y ) =
xy 2 x 3 y
x2 y2
no ponto (1,1,0).
Cálculos e Resposta:
f ( x , y)
™f
( x , y)
™x
xy 2 x 3 y
x 2y2
( y 2 3x 2 y)(x 2 y 2 ) ( xy 2 x 3 y)(2 x )
(x 2 y 2 ) 2
x 2 y 2 x 4 y 3x 2 y 3 y 4
(x 2 y 2 ) 2
™f
(1,1)
™x
™f
( x , y)
™y
1.
(2 xy x 3 )(x 2 y 2 ) ( xy 2 x 3 y)(2 y)
(x 2 y 2 ) 2
2 x 3 y x 3 y x 5²
(x 2 y 2 ) 2
™f
(1,1)
™x
1
.
2
h
Plano tangente:
⎡ ™f
⎤
⎡ ™f
⎤
f (1,1) ⎢
(1,1)⎥ ( x 1) ⎢
(1,1)⎥ ( y 1)
⎣™ y
⎦
⎣™ x
⎦
1
z 0 ( x 1) ( y 1)
2
Rpta : 2x y 2z 1 (Plano tan gente)
z
2
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3a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Calcule a integral dupla
∫∫ f (x, y) dx dy , onde
f ( x, y )
T
vértices (0,0), (1,1) e (2,0).
Cálculos e Resposta:
Triângulo T de vértices (0,0), (1,1), (2,0):
Considerando T como região tipo II,
T
^(x, y) ± R
∫∫
f ( x , y) dx dy
2
`
/ 0 † y †1,y † x † 2 y .
1 2 y
T
∫ ∫ (y xy) dx dy
0
y
1
∫
(xy 0
1
x2y
)
2
@2yy dy
( 2 y) 2 y
y3
) dy
y2 2
2
∫
( ( 2 y) y ∫
( 4 y 4 y 2 ) dy
0
1
0
( 2y 2 Rpta.
4y3
)
3
@10
2
4
3
2
3
3
y xy e T é o triângulo de
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4a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Encontre os autovalores da matriz A e, para cada autovalor, determine uma base
do espaço de autovetores associados ao autovalor.
Considerando esses aspectos, diga se a Matriz A é diagonalizável? Justifique.
A
⎡2 3 1⎤
⎢0 1 1⎥
⎥
⎢
⎢⎣0 3 1⎥⎦
Cálculos e Resposta:
š
Autovalores da matriz A:
A
⎡2 3 1⎤
⎢0 1 1⎥ ‘ OI A
⎥
⎢
⎢⎣0 3 1⎥⎦
P (O )
1 ⎤
⎡O 2 3
⎢ 0
O 1 1 ⎥⎥
⎢
⎢⎣ 0
3 O 1⎥⎦
det(OI A)
(O 2)(O 1)(O 1) 3(O 2)
(O 2)(O2 4)
(O 2) 2 (O 2)
Autovalores: O 2 (multiplicidade algébrica 2)
O
2 ( multiplicidade algébrica 1)
Autovetores:
O
2:
1 ºª xº
ª2 2 3
« 0
2 1 1 »» «« y »»
«
«¬ 0
3 2 1»¼ «¬ z »¼
3y z
3y z
0½
¾ 6y
0¿
0Ÿ y
0Ÿ z
4
0.
ª0º
«0»
« »
«¬0»¼
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Cálculos e Resposta:
E1
O
{(1,0,0)} é uma base do autoespaço associado a O
2.
2 :
3
1 º ªx º
ª 2 2
« 0
2 1
1 »» «« y»»
«
«¬ 0
3
2 1»¼ «¬ z »¼
E1
{(1,2,2)} é uma base do autoespaço associado a
O
ª0º
«0»
« »
«¬0»¼
2 .
A não é diagonalizável já que não podemos encontrar uma base para R3 formada por autovetores de A.
No máximo encontramos 2 autovetores
5
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5a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Sejam as retas
r : ( x , y, z )
s : ( x. y.z )
(1 2 t , 2 3t , 1 4 t ), t ± R
(5 t , 4 2t ,7 3t ), t ± R
a) As retas r e s são paralelas? Justifique.
As retas r e s são concorrentes? Justifique.
As retas r e s são reversas? Justifique.
b) Caso as retas r e s sejam paralelas ou concorrentes, encontre a equação do
plano que contém ambas as retas.
Caso as retas r e s sejam reversas, calcule a distância entre as retas.
Cálculos e Resposta:
é vetor diretor da reta r.
v (1,2,3) é vetor diretor da reta s.
Observamos que os vetores diretores das retas não são paralelos, então as retas não são
paralelas. Usaremos fórmula de distância entre retas para saber se são concorrentes ou
reversas.
u
( 2,3,4)
d ( r , s)
| PQ š (u — v) |
, P ± r, Q ± s . Escollhemos (1,2,1) ± r e (5,4,7) ± s .
|| u — v ||
Logo, d ( r, s) 0 . Portanto, as RETAS são CONCORRENTES.
● Cálculo da equação cartesiana do plano que contém as retas concorrentes:
n u — v (1,10,7) é um vetor normal do plano que contém as retas.
Equação cartesiana: x+10y+7z=d
(1,2,-1) pertence ao plano, então d=14. Logo,
a equação do plano que contém as retas concorrentes r e s:
x+10y+7z=14.
6
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6a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Uma metralhadora dispara um projétil com uma velocidade de 220 m/s.
Altura (m)
Calcule o ângulo de disparo para que o projétil atinja um alvo que está a 12 m de
altura do solo e a 150 m de distância (distância metralhadora - alvo).
Trajetória do projétil
ador
a
h
tral
me
a
i
c
tân
Dis
o
alv
Distância horizontal (m)
Cálculos e Resposta:
Alvo
Trajetória do projétil
Trajetória do projétil
sem gravidade
2
12 + 0,5g(ta)
LEGENDA
xa: coordenada x do alvo;
ta: Intervalo de tempo para o
projétil atingir o alvo a
partir de t = 0.
h: coordenada y do alvo;
vo: velocidade inicial;
Altura (m)
12
15
0m
CONSIDERAÇÕES
0
Distância horizontal (m)
h = 12 m
xa = 148,1 m
vo = 220 m/s
g = 10,0 m/s2
tg D 0 h 0,5gt 1
2
a
xa
xa
v 0 cosD 0 ta ⇒ ta
Substituindo (2) em (1)
tg D 0 h
gx
2 a2
x a 2v 0 cos D 0 7
3
xa
v 0 cosD 0 2 PROGRAD / COSEAC – ENGENHARIAS MECÂNICA E
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Cálculos e respostas:
Usando que sec 2 D 1 tg 2 D 0
0
tg 2 D 0 2v 02
2hv 02
1 0
tg D 0 gxa
gxa2
4
Resolvendo (4) para tg(α0), encontramos:
tg D 0 ⎞
v 02 ⎛ v 02
” ⎜⎜ 2 2 v 02 2gh 1⎟⎟
gx a ⎝ g x a
⎠
Resolvendo (5) para α0, encontramos:
D0
5,5
8
1
2
5
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7a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Admitindo que não haja atrito no sistema representado abaixo e que m1 = 200g,
m2 = 180g e D = 30º, calcule a aceleração com a qual os corpos movem-se, bem como a
tensão no fio.
Cálculos e Resposta:
OBS.: Quantidades em negrito são vetores.
CORPO 1
CORPO 2
CORPO 1
Princípio da superposição: p1 = px + py
2a Lei de Newton:
px + py + T + N = m1a1
-m1gsen(α)i - m1gcos(α)j + Ti + Nj = m1a1i
CORPO 2
2a Lei de Newton:
p + T' = m2a2
Tj - m2gj = - m2a2j
Consideração: | a1 | = | a2 | = a e | T | = | T' | = T
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Cálculos e respostas:
Corpo 1:
m1g cosD Em y:
N
Em x:
a
T m1gsen D m1
a
m 2g T
m2
Corpo 2:
Em y:
Igualando (1) com (2)
T
1
2 g
m1m 2
1 sen D m1 m 2
3
T
1,4N
Substituindo (3) em (2):
a
m 2 m1sen D g
m1 m 2
10
a
2 ,1 m / s 2
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8a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Uma força F é aplicada paralelamente ao eixo Ox a um carrinho de controle
remoto, cuja massa é de 2,00 kg. A componente x da força, Fx, varia com a coordenada x
do carrinho, conforme indicado na figura abaixo.
Calcule os trabalhos realizados pela força F quando o carro se desloca de x = 0 a
x = 7m e de x = 7m a x = 2m.
2
Fx(N)
1
x(m)
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
Cálculos e Resposta:
m 2,0 kg
W0 7m W0 2m W2m 3m W3m 4m W4m 6m W6m 7m
W 0 7m
3J
W7m 2m
W 2m 7m
W7m 2m
1J
2J 1J J
11
2J 2J 0 1J 0 3J
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9a QUESTÃO: (1,0 ponto)
A energia potencial entre dois átomos em uma molécula diatômica é dada por
12
6
U(r) = a/r - b/r , onde r é a distância entre os átomos e a e b são constantes positivas.
Considerando isso:
a) Determine a força F(r) que um átomo exerce sobre o outro em função de r.
b) Determine a distância entre os átomos para que haja equilíbrio e diga se esse equilíbrio
é estável.
Cálculos e Resposta:
a) F r d
U r 12ar 13 6br 7
dr
b) Distância de equilíbrio
F = 0 e r = ro
12ar 13 6br 7
0 Ÿ ro
§ 2a ·
¨ ¸
©b ¹
1
6
U"(ro) > 0 ro é ponto de mínimo de U(r), de modo que o equilíbrio é ESTÁVEL.
12
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10a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Quando se leva o sistema do estado i ao estado f ao longo do trajeto iaf (veja
figura abaixo), descobre-se que Q= 60 J e W=25J. Além disso, considere-se, ao longo do
trajeto ibf, Q= 40J.
a) Qual o valor de W ao longo do trajeto ibf?
b) Se W=-15J para o caminho curvo fi de retorno, quanto vale Q para esse trajeto?
c) Considerando-se Eint,i = 10J, quanto vale Eint,f?
d) Se Eint,b=25J, encontre Q para o processo ib e bf.
P
a
f
i
b
0
V
Cálculos e respostas:
Qiaf
60J
Qibf
40J Wiaf
25J
a) 1a Lei da Termodinâmica: 'E
int
if
'E int
Qiaf Wiaf
if
'E int
if
'E int
c) E
int i
15J
35J
E int b
⇒ Wicf
⇒
40 W ibf
⇒ 35J
⇒ W ibf
40J 35J
⇒ W ibf
5J
15
if
'E int
Q icf W icf
⇒ 35J
Q icf Wicf
Q icf
35J Wicf
⇒ Q icf
50 J
10J
'E int 35J
d)
60 25 35J
Q ibf W ibf
b) W fci
Q W
⇒ E int f E int i
⇒ E int f
35J
45J
25 J
'ibint
Q ib W ib
Q ib
20 J
Qibf
40J
⇒
E int b E int i
⇒ Qib Qbf
40J
Q ib W ib
⇒ Qbf
20J
13
⇒
Q ib
E int b E int i W ib