RESOLUÇÃO DA 1a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA_UIII_ 3EM_MAIO DE 2014
ORGANIZAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ E PROF. WALTER PORTO.
Questão 01. (ENEM)
Álvaro, Bento, Carlos e Danilo trabalham em uma mesma empresa, e os valores de seus salários mensais formam, nessa
ordem, uma progressão aritmética. Danilo ganha mensalmente R$ 1.200,00 a mais que Álvaro, enquanto Bento e Carlos recebem,
juntos, R$ 3.400,00 por mês.
Qual é, em reais, o salário mensal de Carlos?
(01) 1.500,00
(02) 1.550,00
(03) 1.700,00
(04) 1.850,00
(05) 1.900,00
RESOLUÇÃO:
Como os valores dos salários mensais de Álvaro, Bento, Carlos e Danilo, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética ,
então, S(Danilo) = S(Álvaro) + 3r.
Se Danilo ganha mensalmente R$ 1.200,00 a mais que Álvaro, então, 3r = R$ 1.200,00  r  R$400,00 .
Considerando como x o valor do salário de Álvaro, os quatros elementos da progressão aritmética são:
x, x + 400, x + 800 e x + 1200.
Como
Bento
e
Carlos
recebem,
(x + 400) + (x + 800) = 3400  2x = 3400 – 1200  2x = 2200  x = 1100.
juntos,
R$
3.400,00:
O salário de Carlos é: x + 800 = 1900 reais.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 02. (IBMEC SP)
Dado um número real a, com a > 1, define-se a seguinte sequência de matrizes quadradas:
a 2

a 1
A1 = [1], A2 = 
 , A3 =  0
0 a
0

a
a2
0
1

a  , A4 =
a2 

a 3

0
0

 0
a2
a
3
a
0
2
a
a3
0
0
1

a
, ...
a2 

a 3 
Representando o determinante de uma matriz quadrada M por det(M), considere agora a sequência numérica: (det(A1),
det(A2), det(A3), det(A4), ...).
Essa sequência numérica
01) é uma progressão aritmética de razão 2.
02) é uma progressão aritmética de razão a2.
03) é uma progressão geométrica de razão a.
04) é uma progressão geométrica de razão a2.
05) não é uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica.
14-0342(M)_1ªAval-Matem-3ªEM-U2-(prof)-06-05_JB
RESOLUÇÃO:
De A1 = [1], tem-se, det(A1) = 1; de
a 3

0
A4 = 
0

 0
a2
a
a3
a2
0
a3
0
0
A2
a 2

a 1 
2
= 
 ; de det(A2) = a , de A3 =  0
0
a


0

a
2
a
0
1

6
a  , det(A3) = a ; de
2
a 
1

a
, det(A4) = a12 , ...., det(An) = an(n – 1).
a2 

a 3 
Esses valores determinam a sequência numérica (1, a2, a6, a12 , ...., an(n – 1)) que não é uma progressão aritmética e nem é uma
progressão geométrica.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 03. (UFBA/ADAPTADA)
Para estudar o desevolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas.
IniciaImente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o
seguinte:




na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12;
no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
(01) 1000
(02) 1100
(03) 1200
(04) 1300
(05) N.R.A.
RESOLUÇÃO:
Considere-se x como o número inicial de bactérias.
Se na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias; ao final desta semana o número de bactérias era de
0,80x.
Se na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana,
ao final dessa semana o número de bactérias era de 1,1 × 0,8x = 0,88x.
Como a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12; o número de bactérias ao
final da terceira semana era de 0,88x +12.
Tem-se então a sequência (x; 0,80x; 0,88x; 0,88x +12; 0,88x +24;........., x) com 16 termos.
Nesta sequência, a partir do 3o termo tem-se a P.A. (0,88x; 0,88x +12; 0,88x +24;........., x) com 14 termos,
a1 = 0,88x, a14 = x e r = 12.
Sendo a14 = a1 + (14 – 1).r, então: x = 0,88x + 13.12  0,12x = 156  x = 1300.
RESPOSTA: Alternativa 04.
2
Questão 04. (UFG GO)
Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareado e sextavado, que
são vendidos em caixas grandes, com 2000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela
1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a
quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano.
Tabela 1
Tabela 2
Parafusos / caixa
Pequena
Grande
Caixas / mês
JAN
FEV
MAR
Soft
200
500
Pequena
1500
2200
1300
Escareado
400
800
Grande
1200
1500
1800
Sextavado
300
700
200 500
1500 2200 1300
Associando as matrizes A  400 800 e B  

1200 1500 1800
300 700
às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto A  B fornece
01)
02)
03)
04)
05)
o número de caixas fabricadas no trimestre.
a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna.
a produção mensal de cada tipo de parafuso.
a produção total de parafusos por caixa.
a produção média de parafusos por caixa.
RESOLUÇÃO:
Quando multiplicarmos, por exemplo, a primeira linha de A pela primeira coluna de B, pela segunda coluna de B e pela terceira
coluna de B, teremos o número total de caixas de parafusos Soft produzidas, respectivamente, nos meses de janeiro, fevereiro e
março.
A multiplicação da segunda linha de A pela primeira coluna de B, pela segunda coluna de B e pela terceira coluna de B, dará o
número total de caixas de parafusos Escareado produzidas, respectivamente, nos meses de janeiro, fevereiro e março.
E finalmente, a multiplicação da terceira linha de A pela primeira coluna de B, pela segunda coluna de B e pela terceira coluna
de B, dará o número total de caixas de parafusos Sextavado produzidas, respectivamente, nos meses de janeiro, fevereiro e
março.
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 05.
Sabendo que (x; y; 40) é uma P.A. e (4; x; y) é uma P.G. crescente, calcule x + y.
01) 24
02) 32
03) 35
04) 40
05) N.R.A
RESOLUÇÃO:
Se a sequência (x; y; 40) é uma P.A., então, 2y = x + 40.
Se a sequência (4; x; y) é uma P.G., então, x2 = 4y.
 2
 x  40 

x  10
2y  x  40 x  4 2  
x 2  2x  80  0

 x  10 ou x  8 (nãoconvém )  
Resolvendo o sistema:  2




y  25
x 2  2x  80
x  4y
(x  10)x  8  0

O valor de x + y é 35.
RESPOSTA: Alternativa 03.
3
Questão 06. (UDESC SC)
Seja X o conjunto formado por todas as matrizes diagonais de ordem 22. Analise as proposições:
I.
II.
III.
IV.
A multiplicação de matrizes pertencentes a X satisfaz a propriedade comutativa.
Todas as matrizes pertencentes ao conjunto X possuem inversa.
A matriz identidade de ordem 22 pertence ao conjunto X.
Se A e B são dois elementos pertencentes a X, então A+B também pertence a X.
Assinale a alternativa correta.
01)
02)
03)
04)
05)
Somente a afirmativa II é verdadeira.
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
Somente a afirmativa III é verdadeira.
Todas as afirmativas são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
a 0
 com a e b números reais.
As matrizes diagonais de ordem 22 são do tipo 
0 b
 a 0   c 0   c 0   a 0   ac 0 
 
  
 
 = 
 (VERDADEIRA).
I . 
 0 b   0 d   0 d   0 b   0 bd 
0 0
 pertence a X, conjunto formado por todas as matrizes diagonais de ordem 22, e não possui inversa.
II. A matriz 
0 0
1 0
 que é uma matriz diagonal. VERDADEIRA.
III. A matriz identidade de ordem 22 é 
0 1
0 
a 0
 c 0
a 0  c 0 a  c
 e B  
  
 + 
 = 
 que é uma matriz diagonal. VERDADEIRA.
IV. Seja A  
b  d 
0 b
0 d
0 b 0 d  0
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 07.
Em uma progressão geométrica crescente, o 30o termo é 10 e o 70o termo é 160. O 100o termo desta progressão é:
01) 320
02) 640
03) 1280
04) 2560
05) N.R.A
RESOLUÇÃO:
4
1
a 70  a 30  q 70 30  10  q 40  160  q 40  16  q  2 40  q  210 
 1 
a100  a 70  q  a100  160   210 




RESPOSTA: Alternativa 03.
30
30
 a100  160  23  a100  1280
4
Questão 08. (UFSC)
Em uma caixa há 28 bombons, todos com forma, massa e aspecto exterior exatamente iguais. Desses bombons, 7 têm
recheio de coco, 4 de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente, a
probabilidade de se retirar um bombom de cada sabor é, aproximadamente,
01) 7,5%
02)11% 03) 12,5%
04) 13%
05) 14,5%
RESOLUÇÃO:
p=
7  4  17
7  4  17
7  4  17
17
17




 0,14529...  14,5%
28

27

26
C28,3
28  9  13 9  13 117
3 2
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 09.
O salário bruto mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 1.000,00 mais uma comissão de 4%
sobre o valor de suas vendas que excede a R$ 15.000,00, ou seja, se ele vender R$ 20.000,00, ganha R$ 200,00 de comissão.
Sobre o salário bruto incidem descontos diversos que totalizam 25%. Em um determinado mês este vendedor vendeu um total de
x reais e recebeu líquido de salário R$ 3.600,00.
Calcule a soma dos algarismos de x.
01) 2
02) 3
03) 5
04) 7
05) 9
RESOLUÇÃO:
Considerando que o vendedor vendeu x reais.
Salário bruto mensal do vendedor: 1000 + 0,04(x – 15000) = 0,04x + 400.
Salário líquido mensal do vendedor: 0,75(0,04x + 400) = 0,03x + 300.
Como em determinado mês este vendedor recebeu liquido de salário R$ 3.600,00:
0,03x + 300 = 3600  0,03x = 3300  x = 110000.
A soma dos algarismos de 110.000 é 2.
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 10. (Unicamp-Adaptada)
1 a 1


Considere a matriz M = b 1 a , onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que:
1 b 1
01)
02)
03)
04)
05)
a matriz M não é invertível.
o determinante de M é positivo.
o determinante de M é igual a a2 – b2.
a matriz M é simétrica.
a matriz M é antissimétrica.
RESOLUÇÃO:
1 a 1
det( M )  b 1 a  1  b 2  a 2  1  ab  ab  b 2  a 2  2ab  (b  a) 2  R  .
1 b 1
RESPOSTA: Alternativa 02.
5
Questão 11.
Dentre os funcionários de uma repartição pública, 40% têm nível médio e 60% tem nível superior. Sabe-se ainda que 58%
dos funcionários desta repartição ganham mais de R$ 5.000 por mês de salário. Dentre os funcionários com nível superior 80%
ganham mais de R$ 5.000 por mês. Sendo assim qual o percentual dos funcionários de nível médio que ganha mais de R$ 5.000
reais por mês?
01) 20%
02) 18%
03) 30%
04) 25%
05) 15%
RESOLUÇÃO:
Considere-se como x o número de funcionários da repartição.
Funcionários com nível médio: 0,4x.
Funcionários com nível superior: 0,6x.
Funcionários com nível superior que ganham mais de R$5.000,00 por mês: 0,8  0,6x = 0,48x.
Funcionários com nível médio que ganham mais de R$5.000,00 por mês: 0,58x – 0,48x = 0,10x.
Considere-se i o percentual dos funcionários de nível médio que ganha mais de R$5.000,00 por mês: 0,4xi = 0,1x 
0,1
i=
 0,25 .
0,4
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 12.
O preço do Barril de Petróleo teve forte queda no ano de 2008 por conta da crise econômica mundial. Nesse ano (2008) a
cotação do Barril caiu 40%. No ano de 2009 ele teve uma forte recuperação tendo se valorizado 25%. E no ano de 2010 ele
continuou subindo tendo fechado o ano em alta de 20%.
Sendo assim, em relação ao triênio 2008/2009/2010 podemos afirmar que a cotação do barril de petróleo:
01)
02)
03)
04)
05)
teve uma desvalorização de 10%.
teve uma desvalorização de 5%.
teve uma valorização de 10%.
teve uma valorização de 5%.
voltou a custar no final de 2010 o mesmo valor que custava no início de 2008.
RESOLUÇÃO:
Preço do barril de petróleo:
Ano de 2008: 0,60x.
Ano de 2009: 1,25  0,60x = 0,75x.
Ano de 2010: 1,20  0,75x = 0,90x.
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 13. (ESAF- 2012)
No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a uma determinada taxa anual durante dois anos. O total de juros
auferidos por esse capital no final do período foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de juros compostos, o mesmo capital foi
aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 anos, e a mesma taxa anual. O total de juros auferidos por esse capital no final de 2
anos foi igual a R$ 2.200,00. Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, é igual a
01) 4.800,00
02) 5.200,00
03) 3.200,00
04) 5.000,00
05) 6.000,00
6
RESOLUÇÃO:
Seja C o capital aplicado.
No sistema de juros simples, esse capital foi aplicado a uma determinada taxa anual durante dois anos rendendo j = 2C.i = R$
1000
2000,00  C.i = R$ 1000,00  C =
. (I)
i
No sistema de juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 anos, e a mesma taxa anual
rendendo juros igual a: C (1 + i)2 – C = R$ 2200,00 (II).
1000
1  i 2  1000  2200  10 1  i 2  10  22i  5 1  i 2  5  11 
i
i
i
i
i
i
5 2
5
5 5
Substituindo (I) em (II): i  2i  1   11  5i  10    11  5i  1  i  0,20 
i
i
i i
1000
C
 5000.
0,2


RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 14.
Uma empresa faturou R$ 50.000,00 em janeiro de 2011 e em cada mês seguinte 10% a mais que no mês anterior. O
faturamento total desta empresa no ano de 2011 foi de:
*Use, se necessário: (1,1)11 = 2,85 ; (1,1)12 = 3,14
01) R$142.500,00
04) R$1.592.000,00
02) R$925.000,00
05) R$1.710.000,00
03) R$1.070.000,00
RESOLUÇÃO:
M
50 000(1,112  1)
50 000(3,14  1)
M 
 500 000  2,14  1 070 000
1,1  1
0,1
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 15.
Uma bolinha pula-pula é abandonada de uma altura de 2,5m. Depois de bater no chão ela sobe e atinge uma altura de
2,0m. Em seguida cai, bate no chão pela segunda vez e sobe até uma altura de 1,6m e assim sucessivamente de modo que a cada
vez que ela bate no chão e sobe ela atinge uma altura igual a 80% da altura atingida na vez anterior. Calcule a distância total
percorrida pela bolinha até “parar”.
01) 12,5 m
02) 15 m
03) 20,5 m
04) 22,5 m
05) 25 m
RESOLUÇÃO:
Os percursos de decida formam a P.G.:
(2,5; 2; 1,6; 1,28;........) e os de subida a P.G.:
(2; 1,6; 1,28;.......) ambas de razão 0,8.
Então a distância total percorrida pela bolinha até “parar” é:
2,5
2
2,5
2



 22,5
1  0,8 1  0,8 0,2 0,2
RESPOSTA: Alternativa 04.
7