Interpolação e Ajuste de
Curvas
TM-236 Cálculo Numérico
Prof. Luciano K. Araki
2009/2
Motivação

Dados: em geral, fornecidos em um conjunto
discreto de valores. Por exemplo: propriedades
físicas tabeladas ou resultados experimentais.

Muitas vezes, é necessário utilizar valores
intermediários aos fornecidos.
TM-236 Cálculo Numérico
2
Motivação
Fonte:Incropera et al., “Fundamentos Transferência de Calor e de Massa”, 6 ed., LTC Editora, 2008.
TM-236 Cálculo Numérico
3
Motivação

Qual curva é a mais adequada?
2
24
24
22
22
20
20
18
18
Variável dependente
Variável dependente
3
4
Y =-0,24453-1,11365 X+2,38698 X -0,58438 X +0,05755 X -0,00198 X
Y =-0,74952+2,09714 X
16
14
12
10
8
6
16
14
12
10
8
6
4
4
2
2
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Variável independente
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
4
5
Motivação

Aproximação: os dados exibem um grau
significativo de erro ou “ruído”. A curva ajustada
representa a tendência geral dos dados.

Interpolação: os dados são muito precisos e,
assim, o ajuste de curvas deve passar
diretamente por cada um dos pontos.
TM-236 Cálculo Numérico
5
Motivação

Fundamentação matemática:

Interpolação → expansões em séries de Taylor
e diferenças finitas divididas.

Aproximação → estatística básica (conceitos de
média aritmética, desvio padrão, distribuição
normal, intervalos de confiança).
TM-236 Cálculo Numérico
6
Técnicas de aproximação

Mínimos Quadrados Discretos.

Polinômios Ortogonais e Aproximação por
Mínimos Quadrados.

Polinômios de Chebyshev e Economia na Série
de Potências.

Aproximação por Função Racional.

Aproximação por Polinômios Trigonométricos.

Transformadas Rápidas de Fourier (FFT).
TM-236 Cálculo Numérico
7
Mínimos Quadrados Discretos

Normalmente, empregada para prever valores
intermediários para dados experimentais.

Apresenta uma tendência geral dos dados.

Minimização a discrepância entre os dados e os
pontos da curva obtida, através da minimização
da soma dos quadrados dos resíduos entre
valores medidos e valores calculados.
TM-236 Cálculo Numérico
8
Mínimos Quadrados Discretos

Hipóteses estatísticas:
• Cada x tem um valor fixo; ele não é aleatório e é
conhecido sem erros.
• Os valores de y são variáveis aleatórias
independentes e têm todos a mesma variância.
• Os valores de y para um dado x devem estar
normalmente distribuídos.
TM-236 Cálculo Numérico
9
Mínimos Quadrados Discretos

Modelo linear:
S r   e    yi ,medido  yi ,modelo     yi  a0  a1 xi 
n
i 1

n
2
i
2
i 1
n
2
i 1
Determinação dos coeficientes:
n
S r
 2  yi  a0  a1 xi   0
a0
i 1
n
S r
 2  yi  a0  a1 xi  xi   0
a1
i 1
TM-236 Cálculo Numérico
10
Mínimos Quadrados Discretos

Coeficientes:
n
a1 
n
n
i 1
i 1
n  xi yi   xi  yi
i 1
 n 
n  x    xi 
i 1
 i 1 
n
2
a0  y  a1 x
2
i

Quantificação do erro na regressão linear:
• Erro padrão da estimativa:
sy / x
Sr

n2
TM-236 Cálculo Numérico
11
Mínimos Quadrados Discretos
• Coeficiente de determinação:
St  S r
2
r 
St
n
S t    yi  y 
2
i 1
• Coeficiente de correlação:
r
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n  xi yi   xi  yi


n  x    xi 
i 1
 i 1 
n
n
2
i
2


n  y    yi 
i 1
 i 1 
n
TM-236 Cálculo Numérico
n
2
2
i
12
Mínimos Quadrados Discretos
Exemplo 01: Ajuste uma reta aos valores de x e
y para os dados apresentados na tabela a
seguir:
7
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
0,5
2,5
2,0
4,0
3,5
6,0
5,5
6
5
Variável dependente

4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
13
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
xi
yi
xi2
xi yi
1
2
3
4
5
6
7
0,5
2,5
2,0
4,0
3,5
6,0
5,5
1,0
4,0
9,0
16,0
25,0
36,0
49,0
0,5
5,0
6,0
16,0
17,5
36,0
38,5
n
x
i 1
n7
i
 28
x4
n
y
i 1
i
 24
y  3,428571
n
x
i 1
2
i
 140,0
TM-236 Cálculo Numérico
n
x y
i 1
i i
 119,5
14
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
a1 
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n  xi yi   xi  yi


n  x    xi 
i 1
 i 1 
n
n
2
i
2

7119,5  2824
 0,8392857
2
7140  28
a0  y  a1 x  3,428571 0,83928574  0,07142857
TM-236 Cálculo Numérico
15
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
Y =0,07143+0,83929 X
7
6
5
Variável dependente

4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
16
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
xi
yi
 yi  y 2
 yi  a0  a1x2
1
2
3
4
5
6
7
0,5
2,5
2,0
4,0
3,5
6,0
5,5
8,576531
0,862245
2,040816
0,326531
0,005102
6,612245
4,290816
0,168686
0,562500
0,347258
0,326531
0,589605
0,797194
0,199298
n
x
i 1
i
 28
x4
n
y
i 1
i
 24
y  3,428571
n
n
St    yi  y   22,7143 S r    yi  a0  a1 x   2,9911
2
i 1
TM-236 Cálculo Numérico
2
i 1
17
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
• Desvio padrão:
n
sy 
2


y

y
 i
i 1
n 1

22,7143
 1,9457
7 1
• Erro padrão da estimativa:
sy / x
Sr
2,9911


 0,7735
n2
72
TM-236 Cálculo Numérico
18
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
• Coeficiente de determinação:
r2 
St  S r 22,7143 2,9911

 0,868
St
22,7143
• Coeficiente de correlação:
r  0,868  0,932

Conclusão: 86,8% da incerteza original é
explicada pelo modelo linear.
TM-236 Cálculo Numérico
19
Mínimos Quadrados Discretos

Linearização de relações não-lineares:
• Modelo exponencial;
• Modelo potência simples;
• Modelo da taxa de crescimento da saturação.

Emprego de manipulações matemáticas simples
transformando-os em modelos lineares.
TM-236 Cálculo Numérico
20
Mínimos Quadrados Discretos

Uma função do tipo exponencial:
y  1e1x

Pode ser linearizada empregando-se:
ln y  ln 1  1 x ln e
ln y  ln 1  1 x
TM-236 Cálculo Numérico
21
Mínimos Quadrados Discretos

Uma função do tipo potência:
y   2 x 2

Pode ser linearizada empregando-se:
log y  2 log x  log2
TM-236 Cálculo Numérico
22
Mínimos Quadrados Discretos

Uma função do tipo taxa de crescimento da
saturação:
x
y  3
3  x

Pode ser linearizada empregando-se:
1 3 1 1


y 3 x 3
TM-236 Cálculo Numérico
23
Mínimos Quadrados Discretos

Gráficos:
TM-236 Cálculo Numérico
24
Mínimos Quadrados Discretos
Exemplo 02: Ajustar os dados da seguinte
tabela empregando-se uma função do tipo
potência.
10
9
8
xi
yi
1
2
3
4
5
0,5
1,7
3,4
5,7
8,4
Variável dependente

7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
25
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
xi
yi
wi  log xi
zi  log yi
wi2
wi zi
1
2
3
4
5
0,5
1,7
3,4
5,7
8,4
0,000000
0,301030
0,477121
0,602060
0,698970
-0,301030
0,230449
0,531479
0,755875
0,924279
0,000000
0,090619
0,227645
0,362476
0,488559
0,000000
0,069372
0,253580
0,455082
0,646043
n
n
 w  2,079181  z
i 1
i
w  0,415836
i 1
i
 2,141052
z  0,428210
n
w
i 1
TM-236 Cálculo Numérico
2
i
 1,169299
n
w z
i 1
i i
 1,424077
26
Mínimos Quadrados Discretos

a1 
Solução:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2
n  wi zi   wi  zi
 n 
n  w    zi 
i 1
 i 1 
n
2
i

51,424077  2,0791812,141052
 1,75172365
2
51,169299  2,141052
0,415836  0,30021979
a0  z  a1w  0,4282101,75172365

Logo:
2  100,30021979  0,500934; 2  1,75172365
TM-236 Cálculo Numérico
27
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
Y =-0,30022+1,75172 X
10
Variável dependente

y  0,500934x1,75172365
1
1
10
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
28
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
wi
zi
zi  z 2
zi  a0  a1w2
0,000000
0,301030
0,477121
0,602060
0,698970
-0,301030
0,230449
0,531479
0,755875
0,924279
0,531792
0,039110
0,010664
0,107364
0,246084
6,5643E-07
1,1205E-05
1,6694E-05
2,1081E-06
9,3692E-09
n
n
 w  2,079181  z
i 1
i
w  0,415836
i 1
i
 2,141052
z  0,428210
n
St   zi  z   0,935014
2
i 1
TM-236 Cálculo Numérico
n
Sr    yi  a0  a1 x   3,0673E  05
2
i 1
29
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
• Desvio padrão:
n
sy 
2


y

y
 i
i 1
n 1

0,935014
 0,483481
5 1
• Erro padrão da estimativa:
sy / x
Sr
3,0673105


 5,5884105
n2
52
TM-236 Cálculo Numérico
30
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
• Coeficiente de determinação:
5
S

S
0
,
435014

3
,
0673

10
r
r2  t

 0,999967
St
0,435014
• Coeficiente de correlação:
r  0,999967 0,999984

Conclusão: 99,9967% da incerteza original é
explicada pela função do tipo potência.
TM-236 Cálculo Numérico
31
Mínimos Quadrados Discretos

Regressão polinomial: o procedimento de
mínimos quadrados para ajustes lineares pode
ser estendido para polinômios de grau mais
elevado.

Supondo-se um polinômio de segundo grau ou
quadrático:
y  a0  a1x  a2 x2  e
TM-236 Cálculo Numérico
32
Mínimos Quadrados Discretos

Soma dos quadrados dos resíduos:
n

S r   yi  a0  a1 xi  a2 xi2

i 1

Determinação dos coeficientes:
n
Sr
 2 y i a0  a1 xi  a2 xi2
a0
i 1
n
Sr
 2 xi y i a0  a1 xi  a2 xi2
a1
i 1




n
Sr
 2 xi2 y i a0  a1 xi  a2 xi2
a2
i 1

TM-236 Cálculo Numérico

33
Mínimos Quadrados Discretos

Sistema de equações normais:
n
 n 
 n 2
n  a0    xi  a1    xi  a2   yi
i 1
 i 1 
 i 1 
n
 n 
 n 2
 n 3
  xi  a0    xi  a1    xi  a2   xi yi
i 1
 i 1 
 i 1 
 i 1 
n
 n 2
 n 3
 n 4
  xi  a0    xi  a1    xi  a2   xi2 yi
i 1
 i 1 
 i 1 
 i 1 
TM-236 Cálculo Numérico
34
Mínimos Quadrados Discretos

Polinômio de grau m:
y  a0  a1x  a2 x2   am xm  e

Erro padrão:
sy / x
Sr

n  m  1
TM-236 Cálculo Numérico
35
Mínimos Quadrados Discretos
Exemplo 03: Ajustar um polinômio de segundo
grau aos dados apresentados na tabela a
seguir.
70
60
xi
yi
0
1
2
3
4
5
2,1
7,7
13,6
27,2
40,9
61,1
50
Variável dependente

40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
36
Mínimos Quadrados Discretos

n6
m2
xi
yi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
0
1
2
3
4
5
2,1
7,7
13,6
27,2
40,9
61,1
0
1
4
9
16
25
0
1
8
27
64
125
0
1
16
81
256
625
0,0
7,7
27,2
81,6
163,6
305,5
0,0
7,7
54,4
244,8
654,4
1527,5
n
x
i 1
Solução:
i
 15
x  2,5
n
y
i 1
i
 152,6
y  25,433333
n
x
i 1
2
i
 55
n
x
i 1
3
i
 225
n
x
i 1
4
i
 979
TM-236 Cálculo Numérico
n
x y
i 1
i
i
 585,6
n
x
i 1
y  2488,8
2
i i
37
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
a0  2,47857
 6 15 55  a0  152,6 
15 55 225 a   585,6   a   2,35929

 1 


 1  
a  1,86071
55 225 979 a2  2488,8

 2 
y  2,47857 2,35929x  1,86071x2
TM-236 Cálculo Numérico
38
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
Y =2,47857+2,35929 X+1,86071 X
70
2
60
50
Variável dependente

40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico
39
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
xi
yi
 yi  y 2
0
1
2
3
4
5
2,1
7,7
13,6
27,2
40,9
61,1
544,44
314,47
140,03
3,12
239,22
1272,11
n
x
i 1
i
 15
x  2,5
n
y
i 1
i
 152,6
y  25,433333
n
St    yi  y   2513,39
2
i 1
TM-236 Cálculo Numérico
y  a
i
0
 a1 x  a2 x 2

2
0,14332
1,00286
1,08160
0,80487
0,61959
0,09434
n


Sr   yi  a0  a1 x  a2 x 2  3,74657
2
i 1
40
Mínimos Quadrados Discretos

Solução:
• Erro padrão da estimativa:
sy / x
Sr
3,74657


 1,12
n  m  1
6  2  1
• Coeficiente de determinação:
St  S r 2513,39  3,74657
r 

 0,99851
St
2513,39
2
• Conclusão: 99,851% da incerteza original foi
explicada pelo modelo quadrático.
TM-236 Cálculo Numérico
41
Interpolação Polinomial

Consiste em determinar um único polinômio de
grau n que passa pelos n+1 pontos fornecidos.

Embora exista um único polinômio de grau n
que passa por n+1 pontos, há diversas fórmulas
matemáticas para expressá-lo.

Formas adequadas para implementação
computacional: Newton e Lagrange.
TM-236 Cálculo Numérico
42
Interpolação Polinomial

Diferenças Divididas de Newton:

Interpolação linear:
f1 ( x)  f ( x0 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x  x0
x1  x0
f ( x1 )  f ( x0 )
f1 ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )
x1  x0
TM-236 Cálculo Numérico
43
Interpolação Polinomial

Exemplo 04: Faça uma estimativa do logaritmo
natural de 2, utilizando uma interpolação linear.
Faça o cálculo utilizando dois intervalos:
• o primeiro, empregando ln(1)=0 e ln(6)=1,791759;
• e o segundo, utilizando ln(1) = 0 e ln(4)=1,386294.
• Valor real: ln(2)=0,6931472
TM-236 Cálculo Numérico
44
Interpolação Polinomial

Solução:

(a)
x0  1; x1  6
f ( x0 )  f (1)  0;
f ( x1 )  f (6)  1,791759
f ( x1 )  f ( x0 )
1,791759 0
2  1
f1 ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )  0 
x1  x0
6 1
f1 (2)  0,3583519
TM-236 Cálculo Numérico
45
Interpolação Polinomial

Solução:

(b)
x0  1; x1  4
f ( x0 )  f (1)  0;
f ( x1 )  f (4)  1,386294
f ( x1 )  f ( x0 )
1,386294 0
2  1
f1 ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )  0 
x1  x0
4 1
f1 (2)  0,4620981
TM-236 Cálculo Numérico
46
Interpolação Polinomial

Solução
2,00
Erros relativos:
função f(x)
1,75
1,50
(a) 48,3%
1,25
(b) 33,3%
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
-0,25
-0,50
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
variável independente x
TM-236 Cálculo Numérico
47
Interpolação Polinomial

Diferenças Divididas de Newton:

Interpolação Quadrática:
f 2 ( x)  b0  b1 ( x  x0 )  b2 ( x  x0 )(x  x1 )
• que pode ser reescrita como:
f 2 ( x)  b0  b1x  b1x0  b2 x2  b2 x0 x1  b2 x x0  b2 x x1
TM-236 Cálculo Numérico
48
Interpolação Polinomial

Interpolação Quadrática:
f 2 ( x)  a0  a1x  a2 x2
• sendo:
a0  b0  b1 x0  b2 x0 x1
a1  b1  b2 x0  b2 x1
a2  b2
TM-236 Cálculo Numérico
49
Interpolação Polinomial

Interpolação Quadrática:
• Determinação dos coeficientes:
b0  f ( x0 )
f ( x1 )  f ( x0 )
b1 
x1  x0
f ( x2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x2  x1
x1  x0
b2 
x2  x0
TM-236 Cálculo Numérico
50
Interpolação Polinomial


Exemplo 05: Ajuste um polinômio quadrático
aos três pontos seguintes:
x0  1;
f ( x0 )  0;
x1  4;
f ( x1 )  1,386294
x2  6;
f ( x2 )  1,791759
Utilize o polinômio obtido para calcular ln(2),
cujo valor verdadeiro é 0,6931472.
TM-236 Cálculo Numérico
51
Interpolação Polinomial

Solução:
b0  f ( x0 )  0
f ( x1 )  f ( x0 ) 1,386294 0
b1 

 0,4620981
x1  x0
4 1
f ( x2 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x0 )

x2  x1
x1  x0
b2 

x2  x0
1,791759 1,386294
 0,4620981
64

 0,0518731
6 1
TM-236 Cálculo Numérico
52
Interpolação Polinomial

Solução:
• Logo, o polinômio interpolador é:
f 2 ( x)  0  0,4620981( x 1)  0,0518731( x 1)(x  4)
• E o valor aproximado de ln(2) é:
f 2 (2)  0,5658444
TM-236 Cálculo Numérico
53
Interpolação Polinomial

Solução:
2,00
Erros relativos (lineares):
1,75
(a) 48,3%
1,50
Função real
função f(x)
1,25
(b) 33,3%
Estimativa quadrática
1,00
Erro relativo (quadrática):
Estimativa linear (b)
0,75
18,4%
0,50
0,25
Estimativa linear (a)
0,00
-0,25
-0,50
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
variável independente x
TM-236 Cálculo Numérico
54
Interpolação Polinomial

Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de
Newton:
• Deseja-se ajustar um polinômio de grau n a n+1
pontos fornecidos, obtendo-se:
f n ( x)  b0  b1 ( x  x0 )   bn ( x  x0 )(x  x1 )( x  xn1 )
• Coeficientes:
b0  f ( x0 )
b1  f [ x1 , x0 ]
b2  f [ x2 , x1 , x0 ]

bn  f [ xn , xn 1 ,  , x1 , x0 ]
TM-236 Cálculo Numérico
55
Interpolação Polinomial

Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de
Newton:
• Os colchetes representam a valores de funções
calculados através de diferenças divididas.
• Primeira diferença dividida:
f [ xi , x j ] 
f ( xi )  f ( x j )
xi  x j
TM-236 Cálculo Numérico
56
Interpolação Polinomial

Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de
Newton:
• Segunda diferença dividida:
f [ xi , x j , xk ] 
f [ xi , x j ]  f [ x j , xk ]
xi  xk
• N-ésima diferença dividida:
f [ xn , xn1 ,, x1 ]  f [ xn1 , xn2 ,, x0 ]
f xn , xn1 ,, x1 , x0  
xn  x0
TM-236 Cálculo Numérico
57
Interpolação Polinomial
TM-236 Cálculo Numérico
58
Interpolação Polinomial

Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de
Newton:
f n ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 ) f [ x1 , x0 ]  ( x  x0 )(x  x1 ) f [ x2 , x1, x0 ]
   ( x  x0 )(x  x1 )( x  xn1 ) f [ xn , xn1 ,, x0 ]
• Não é necessário que os dados sejam igualmente
espaçados ou que os valores das abscissas estejam
necessariamente em ordem crescente.
TM-236 Cálculo Numérico
59
Interpolação Polinomial

Exemplo 06: Faça uma estimativa de ln(2)
empregando um polinômio interpolador de
Newton de terceiro grau utilizando os seguintes
pontos:
x0  1;
f ( x0 )  0;
x1  4;
f ( x1 )  1,386294
x2  6;
f ( x2 )  1,791759
x3  5;
f ( x3 )  1,609438
TM-236 Cálculo Numérico
60
Interpolação Polinomial

Solução:
• O polinômio de terceiro grau a ser obtido possui a
forma:
f3 ( x)  b0  b1 ( x  x0 )  b2 ( x  x0 )(x  x1 )  b3 ( x  x0 )(x  x1 )(x  x2 )
• As primeiras diferenças divididas para o problema
são:
1,386294  0
f [ x1 , x0 ] 
 0,4620981
4 1
TM-236 Cálculo Numérico
61
Interpolação Polinomial

Solução:
1,791759 1,386294
f [ x2 , x1 ] 
 0,2027326
64
1,609438 1,791759
f [ x3 , x2 ] 
 0,1823216
56
• As segundas diferenças divididas para o problema
são:
0,2027326 0,4620981
f [ x2 , x1 , x0 ] 
 0,05187311
6 1
0,1823216 0,2027326
f [ x3 , x2 , x1 ] 
 0,02041100
54
TM-236 Cálculo Numérico
62
Interpolação Polinomial

Solução
• A terceira diferença dividida é:
 0,02041100
f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] 
 0,007865529
5 1
• Polinômio interpolador de Newton:
f 3 ( x)  0  0,4620981( x  1)  0,05187311
( x  1)(x  4)
 0,007865529
( x  1)(x  4)(x  6)
TM-236 Cálculo Numérico
63
Interpolação Polinomial

Solução:
• Valor aproximado para ln(2)=0,6287686
2,00
Erros relativos (lineares):
1,75
1,50
(a) 48,3%
Função real
função f(x)
1,25
Estimativa quadrática
(b) 33,3%
Estimativa cúbica
1,00
Estimativa linear (b)
0,75
Erro relativo (quadrática):
0,50
18,4%
0,25
Estimativa linear (a)
0,00
Erro relativo (cúbica):
-0,25
9,3%
-0,50
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
variável independente x
TM-236 Cálculo Numérico
64
Interpolação Polinomial

Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton
• Erro de truncamento da série de Taylor:
f ( n1) ()
Rn 
( xi 1  xi ) n1
(n  1) !
• onde ξ é algum ponto do intervalo fornecido. Para um
polinômio interpolador de grau n, analogamente, o
erro é dado por
f ( n1) ()
Rn 
( x  x0 )(x  x1 )( x  xn )
(n  1) !
TM-236 Cálculo Numérico
65
Interpolação Polinomial

Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton
• Utilizando diferenças divididas e um ponto adicional:
Rn  f [ xn1 , xn , xn1,, x0 ](x  x0 )(x  x1 )( x  xn )
TM-236 Cálculo Numérico
66
Interpolação Polinomial

Exemplo 07: Estimar o erro para o polinômio
interpolador de segundo grau do Exemplo 05.
Utilize o ponto adicional f(5)=1.609438 para
obter os resultados.

Solução:
• Do Exemplo 05, tem-se que:
f 2 (2)  0,5658444
TM-236 Cálculo Numérico
67
Interpolação Polinomial

Solução:
• E o erro verdadeiro é igual a
E  0,6931472 0,5658444 0,1273028
• A estimativa do erro pode ser feita através de:
R2  f [ x3 , x2 , x1 , x0 ](x  x0 )(x  x1 )(x  x2 )
TM-236 Cálculo Numérico
68
Interpolação Polinomial

Solução
• Substituindo valores:
R2  0,007865529
( x 1)(x  4)(x  6)
• E, no caso de x=2, tem-se:
R2  0,007865529
(2 1)(2  4)(2  6)  0,0629242
• Que possui a mesma ordem de grandeza do erro
verdadeiro.
TM-236 Cálculo Numérico
69
Interpolação Polinomial

Polinômios Interpoladores de Lagrange:
• Reformulação do polinômio de Newton, que evita o
cálculo de diferenças divididas.
• Representação:
n
f n ( x)   Li ( x) f ( xi )
i 0
n
Li ( x)  
j 0
j i
x  xj
xi  x j
TM-236 Cálculo Numérico
70
Interpolação Polinomial

Polinômio Interpolador de Lagrange:
• Versão linear:
x  x0
x  x1
f1 ( x) 
f ( x0 ) 
f ( x1 )
x0  x1
x1  x0
• Versão quadrática:


x  x0 x  x2 
x  x1 x  x2 
f 2 ( x) 
f ( x0 ) 
f ( x1 )
x0  x1 x0  x2 
x1  x0 x1  x2 
x  x0 x  x1  f ( x )

x2  x0 x2  x1  2
TM-236 Cálculo Numérico
71
Interpolação Polinomial

Exemplo: Empregar o polinômio interpolador de
Lagrange de primeiro e de segundo graus para
calcular ln(2) com base nos seguintes dados:
x0  1;
f ( x0 )  0;
x1  4;
f ( x1 )  1,386294
x2  6;
f ( x2 )  1,791759
TM-236 Cálculo Numérico
72
Interpolação Polinomial

Solução:
• Polinômio de primeiro grau:
x  x0
x  x1
f1 ( x) 
f ( x0 ) 
f ( x1 )
x0  x1
x1  x0
24
2 1
f1 (2) 
(0) 
(1,386294)  0,4620981
1 4
4 1
TM-236 Cálculo Numérico
73
Interpolação Polinomial

Solução:
• Polinômio de segundo grau:


x  x0 x  x2 
x  x1  x  x2 
f 2 (2) 
f ( x0 ) 
f ( x1 )
x0  x1 x0  x2 
x1  x0 x1  x2 

x  x0 x  x1 

f ( x2 )
x2  x0 x2  x1 
(2  4)(2  6)
(2  1)(2  6)

(0) 
(1,386294)
(1  4)(1  6)
(4  1)(4  6)
(2  1)(2  4)

(1,791760)  0,5658444
(6  1)(6  4)
TM-236 Cálculo Numérico
74
Interpolação Polinomial

Estimativa do erro para o polinômio interpolador
de Lagrange:
n
Rn  f [ x, xn , xn1 ,, x0 ] ( x  xi )
i 0

Se um ponto adicional estiver disponível, notase que é possível fazer uma estimativa do erro
do polinômio de Lagrange. Isso, contudo,
raramente é feito, uma vez que as diferenças
divididas não são calculadas como parte do
algoritmo de Lagrange.
TM-236 Cálculo Numérico
75
Interpolação Polinomial

Casos em que o grau do polinômio é
desconhecido: preferível utilizar o método de
Newton (vantagens na percepção do
comportamento das fórmulas para diferentes
ordens).

Casos em que o grau do polinômio é conhecido
a priori: preferível empregar o método de
Lagrange (um pouco mais fácil de programar).
TM-236 Cálculo Numérico
76