Problemas de transporte: um estudo de caso envolvendo a utilização da
programação linear
Izamara Cristina Palheta Dias ([email protected] / UEPA)
Marcelo Carneiro Gonçalves ([email protected] / PUC-PR)
Suelen Ramona de Souza Cunha ([email protected] / UFPA)
Vicente Honorato da Silva Penha ([email protected] / CTAI-SENAI/SC)
Resumo: No mercado competitivo atual, as empresas utilizam recursos para produzir bens e
serviços. Por essa razão, ao buscarem maior eficiência e otimização na alocação dos
recursos, as organizações devem levar em conta as limitações e/ou restrições existentes.
Nesse contexto, insere-se a programação linear, pois é uma das mais importantes estratégias
do campo da pesquisa operacional, a qual fornece um conjunto de procedimentos voltados
para tratar problemas que envolvem a escassez de recursos. O artigo objetivou encontrar a
melhor forma de utilizar todos os insumos disponíveis com a finalidade de minimizar o custo
total com transportes, no deslocamento de produtos de cada fábrica para cada depósito da
empresa objeto de estudo, considerando os custos unitários de cada trajeto, e as restrições
relacionadas a estoque e capacidade produtiva. Para isso foi desenvolvido um modelo de
programação linear, e em seguida analisado o modelo por meio da ferramenta Solver,
suplemento do pacote da Microsoft Excel, no qual foi apresentada o custo total com a
alocação ótima de quantidades de caminhão (com carga total) em cada trajeto. Com isso foi
possível indicar que, na solução ótima, o custo total de transporte das fábricas para os
depósitos é de R$ 151.700,00.
Palavras Chaves: Pesquisa Operacional; Programação Linear; Programação Linear
Inteira; Distribuição de Água Mineral.
1. Introdução
A programação Linear foi desenvolvida conceitualmente após a Segunda Guerra
Mundial, pelo soviético Kolmogorov, com a finalidade de resolver problemas de logística
militares. Em 1945, por Stigler, foi realizada a primeira aplicação, em um problema que
tratava à composição de uma mistura. Anos depois em 1947, Dantzig, um jovem matemático,
desenvolve o “método simplex”, que foi e útil na época para resolver problemas logísticos.
Atualmente com o avanço da computação, diversos algoritmo tem-se mostrado
superior ao “método simplex”, no entanto, ele continua sendo o mais utilizado, inclusive
como base lógica das planilhas eletrônicas, Corrar (2011).
Segundo Corrar (2011), diversas decisões tomadas no dia-a-dia das empresas dizem
respeito a qual combinação de recursos produz o relatório ótimo, como: Qual deve ser o mix
de produtos a serem fabricados de forma a atingir a maior margem de contribuição total? Qual
a combinação de investimentos que maximiza o retorno de uma carteira? Qual composição de
insumos em uma mistura corresponde ao custo mínimo?
De acordo ainda com o mesmo autor, as empresas utilizam recursos para produzir bens
e serviços. Os recursos são escassos. Daí por que, ao buscarem otimizar a alocação dos
recursos, visando produzir o melhor resultado, as empresas devem levar em conta as
limitações existentes.
A programação Linear é um dos mais importantes instrumentos do campo da Pesquisa
Operacional. Esta área de conhecimento propõe um conjunto de procedimentos que buscam
resolver problemas que envolvem a escassez de recursos.
Para Santos (2014) em qualquer situação relacionada à modelagem para tomada de
decisão, é necessária a avaliação criteriosa de cada conjunto de parâmetros para a formulação
correta do problema.
Problemas nos quais se busca a melhor alocação de recursos, de forma a atingir
determinado objetivo de otimização, atendendo a determinadas restrições, são passiveis de
soluções por meio da Programação Linear – PL.
De acordo com esse contexto, o objetivo geral da pesquisa foi utilizar a Programação
Linear - PL, aliada a Programação Linear Inteira – PLI, como uma ferramenta para se obter a
minimização de custos no transporte de produtos em uma empresa de médio porte localizada
na região metropolitana de Belém, no estado do Pará.
O artigo está estruturado da seguinte forma: a seção 2 apresenta o referencial teórico,
no qual são contextualizados todos os temas enquadrados no artigo, com o objetivo de levar
ao leitor um breve conhecimento. Na seção 3, explana-se a metodologia, ou seja, as
estratégias que foram utilizadas no artigo. Na seção 4, encontram-se os resultados obtidos por
meio do estudo de caso, e finalmente, a seção 5, demonstrando a conclusão da pesquisa de
forma concisa e coerente.
2. Referencial teórico
2.1 Pesquisa operacional
Durante a segunda guerra mundial houve uma necessidade do surgimento desse ramo
cientifico para alocar recursos escassos de militares. Segundo Loesch e Hein (2011) a
pesquisa operacional define-se como a ciência que estrutura processos, propondo um conjunto
de alternativas de ação, fazendo a previsão e comparação de valores, de eficiência e custos. O
segundo impulso ao crescimento do estudo de PO ocorreu após a revolução industrial e
alcançou notável avanço com o surgimento dos computadores.
Segundo Hillier e Lieberman (2010) a pesquisa operacional adota um ponto de vista
organizacional. Dessa forma, ela busca resolver os conflitos de interesses entre as unidades
das organizações da maneira que seja a melhor solução para a organização como um todo. É
usada, sobretudo, para analisar sistemas complexos do mundo real, tipicamente com o
objetivo de melhorar ou otimizar a performance.
2.2 Programação linear
A Programação Linear (PL) é uma programação matemática em que a função-objetivo
e as restrições assumem características lineares, tendo diversas aplicações no controle
gerencial, incluindo problemas de produção, de mistura, de transportes, determinação de
política de estoques, estudos de fluxos de caixa, estudo de sistema de informações dentre
outros, em síntese, problemas de utilização dos recursos disponíveis em que buscam
utilização ótima dos mesmos, observando-se limitações impostas pelo processo produtivo ou
pelo mercado. Rodrigues et al (2013) a programação linear é utilizada quando se almeja
solucionar problemas que levam em consideração a destinação ótima de recursos escassos em
toda a produção ou na realização de atividades
De acordo com Loesch e Hein(2011) a programação linear vem a ser a resolução de
problemas de maximização (como lucro) ou minimização (como custo) de algum objetivo,
atendendo a um conjunto de restrições. O método utilizado para essa resolução recebe o nome
de modelagem, na qual é construído um modelo matemático que represente a essência do
problema. Ainda segundos esses autores, na modelagem de programação linear, devem ser
estabelecidos: i) as variáveis do problema, ou seja, aquilo que se pode controlar e que se
deseja saber exatamente o valor; ii) a função objetivo, sempre que se deseja maximizar ou
minimizar determinado objetivo, expresso em função das variáveis do problema; iii) as
restrições, que também são expressas em função das variáveis do problema e limitam as
combinações das variáveis a determinados limites.
2.2.1 Modelagem e estrutura de modelos matemáticos
Um modelo matemático é um conjunto de equações que apresentam de uma forma
quantitativa, as hipóteses consideradas na construção do modelo, baseado em um sistema real.
A modelagem matemática tem como objetivo auxiliar a tomada de decisões de uma empresa
através da representação de sua realidade por meio de equações fazendo com que a decisão
não fique baseada apenas em teorias. O problema, após ser modelado, pode ser resolvido
computacionalmente e seus resultados interpretados, validados e implementados
(KONAGANO et al, 2011).
As equações matemáticas constituídas por um conjunto de expressões lineares, no qual
uma é denominada função objetivo e as outras são restrições que envolvem variáveis de
decisão, que ajudam a interpreta-lo a partir de um ponto de vista quantitativo, o que auxilia
bastante na dedução das prováveis consequências das ações tomadas (SODRÉ, 2007).
2.2.1.1 Variáveis de decisão
Quando da análise de um problema, tentando enquadra-lo em um modelo de
programação linear é fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais são as
variáveis fora do controle do analista, ou parâmetros, cujos valores já estão fixados, e, de
outro, quais são as variáveis de decisão, ou seja, aquelas cujo valor se quer conhecer.
Para a formulação do modelo é necessário a identificação dos fatores envolvidos no
“problema” ou situação em questão. Esses fatores são chamados de variáveis de decisão,
dentro da função objetivo e fornecem informações que servirão de base para o gerente. Essas
informações são reproduzidas em forma de valores quantificáveis e são encontradas na
resolução do modelo (KONAGANO et al, 2011).
2.2.1.2 Restrições
Essas variáveis só terão um valor relevante quando forem levados em consideração os
limites (de tempo, quantidade, capacidade produtiva e espaço, por exemplo) que a empresa ou
organização possui em relação à seus serviços e produção, dentro da construção e resolução
do modelo.
De acordo com Hillier e Gerald (2010), as restrições, dentro da Programação Linear,
são expressões ou equações que representam as limitações nos valores que podem ser
atribuídos às variáveis de decisão.
2.2.1.3 Função objetivo
A função objetivo é a equação principal do modelo, que envolve todas as variáveis
identificadas e representa a situação sob uma perspectiva geral. Esta função em geral deve
maximizar o lucro ou minimizar o custo ou perdas dentro do problema em questão
(CORRAR, 2011).
2.3 Programação linear inteira
Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos
específicos da Programação Linear (conjunto solução contínuo), onde todas, ou parte, das
variáveis de decisão devem ser inteiras. Tem sido utilizada na resolução de problemas de
investimento dentre outros (CORRAR, 2011).
3. Método de pesquisa
O estudo possui o caráter exploratório, pois o mesmo foi realizado por meio de um
estudo de caso em uma empresa de distribuição de água mineral, pode-se definir que o estudo
de caso “consiste no estudo profundo e exaustivo de um ou poucos objetos, de maneira que
permita seu amplo e detalhado conhecimento.” (GIL, 2010, p.37).
Godoy (1995) também define o estudo de caso quando: “o pesquisador geralmente
utiliza uma grande variedade de dados coletados”.
Foram utilizadas pesquisas em arquivos disponíveis em eventos da área de engenharia
de produção, pesquisa bibliográfica de livros disponíveis em meios eletrônicos, com a
finalidade de esclarecer ideias que tangem a formulação de um trabalho coerente e preciso.
Foi realizada uma visita em campo com a finalidade de conhecer o processo produtivo
bem como saber dos problemas que a fábrica possui atualmente. Logo, observou-se que a
empresa se enquadra em um caso que pode ser modelado como um tipo especial de problemas
de Programação Linear: os problemas de transportes. Esse tipo de problema requer a alocação
de unidades que partem de certo número de pontos de origem para certo número de destinos.
Com o objetivo de realizar a modelagem do problema, foi solicitado para a empresa os
dados relativos ao próximo período, em relação aos custos, utilizando carga total, em cada
caminhão, em janeiro de 2015, e a capacidade atual das fábricas bem como sua produção.
Foi utilizado o programa computacional, Microsoft Excel 2010 com o suplemento
Solver, o qual foi instalado para possibilitar a realização dos cálculos da problemática.
4. Estudo de caso
4.1 Caracterização da empresa
A empresa objeto de estudo é responsável pelo recebimento, preparação,
armazenamento e distribuição de água mineral. Atuante na região norte, está situada no
município de Benevides onde está a mais de 10 anos. A empresa possui duas fábricas e três
depósitos, denominados nesse estudo como F1 e F2 para fábrica um (01) e dois (02)
respectivamente, e D1, D2 e D3, para os depósitos um (01), dois (02) e três (03),
respectivamente. A gestão superior da empresa está empenhada em reduzir ao mínimo
possível os custos de transporte dos produtos das fábricas para os depósitos.
4.2 Problemática
O estudo trabalhou com a problemática de problemas de transporte, o qual é um tipo
especial de problemas de Programação Linear. Neste artigo serão determinadas as
quantidades de caminhões que devem ser enviados de cada fábrica para cada depósito, de
forma que o custo total seja minimizado.
4.3 Minimizações do custo total
A partir dos dados coletados na empresa, foi possível gerar na figura 1, em forma de
matriz, a qual dispõe das informações referentes aos custos de remessa por caminhão, com
carga total, para cada um dos trajetos, ou seja, na coluna um (01) e linha um (01) dispõe do
custo que a empresa possui em enviar uma caminha (com carga total), para o depósito um
(01).
Depósito 01 Depósito 02 Depósito 03
Fábrica 01
R$ 475,00
R$ 605,00
R$ 405,00
Fábrica 02
R$ 655,00
R$ 745,00
R$ 435,00
FIGURA 1 – Custo de remessa por caminhão, com carga total, para cada trajeto. Fonte: Dados básicos da
empresa (2015).
Na figura 2, foram organizados os dados referentes à produção de cada fábrica e à
capacidade de armazenagem de cada depósito, em números de caixas. As quantidades de
caminhões a serem enviados em cada trajeto foram identificadas pela letra C, seguida de um
índice em que o primeiro algarismo representa a fábrica e o segundo algarismo, o depósito.
De acordo com a figura 2, observa-se que a capacidade de produção da Fábrica 01 e 02
equivalem a 180 e 120, respectivamente, e a capacidade de armazenagens dos depósitos 01,
02 e 03, equivalem a 120, 140 e 100, respectivamente.
Depósito 01 Depósito 02 Depósito 03
180
C11
C12
C13
120
C21
C22
C23
120
140
100
FIGURA 2 – Produção das fábricas/Capacidade dos depósitos. Fonte: Dados básicos da empresa (2015).
Fábrica 01
Fábrica 02
É importante destacar, no quadro 2, que a empresa possui uma capacidade total de
armazenagem dos depósitos de 360 unidades (120 + 140 + 100), o qual é superior à produção,
de 300 caixas (180 + 120). Nesse caso, é importante ressaltar que se fosse empregado o
método manual de cálculos para a resolução, seria necessário criar uma fábrica fictícia, com a
finalidade de igualar as quantidades a serem distribuídas com as quantidades a serem alocadas
nos depósitos. E por consequência, seria preciso atribuir o custo zero, para os trajetos a partir
dessa fábrica hipotética, o que levaria as supostas unidades por ela transportadas, não
interferirem na determinação da solução ótima do problema.
Diante desse cenário, optou-se por solucionar esse problema de programação linear
utilizando uma ferramenta computacional: a ferramenta Solver, que é um suplemento do
programa Microsoft Excel.
A partir desse contexto, será determinada, por meio da Programação Linear, a
quantidade de caminhões que devem ser enviados de cada fábrica para cada depósito, de
forma que o custo total seja minimizado. O estudo irá analisar também os relatórios emitidos
pelo Solver.
4.3.1 Modelagens do problema
A seguir será modelado o problema da empresa por meio das variáveis de decisão,
função objetivo e por fim, as restrições do problema.
4.3.1.1 Variáveis de decisão
As variáveis de decisão do problema são as quantidades de caixas de água mineral a
serem distribuídas nos trajetos de cada uma das duas fábricas para um dos três depósitos:
C11, C12, C13, C21, C22, C23
4.3.1.2 Função-objetivo
A função-objetivo que se deseja otimizar é a minimização dos custos com transportes
entre as fábricas e depósitos, expressa pela fórmula a seguir:
Equação 01 – Função-Objetivo
Minimizar∑
: 475×C11 +605×C12 + 405×C13 + 655×C21 + 745×C22 + 435×C23
4.3.1.3 Restrições
Como já ressaltado a capacidade de armazenagem dos depósitos é superior à produção
das fábricas. Por essa razão será representado neste estudo, as restrições relativas às fábricas
com o sinal de igual (═), indicando que toda a produção deve ser distribuída, de acordo com a
expressão contida na figura 3:
Restrições
Fábrica 01
C11 +C12 + C13 = 180
Fábrica 02
C21 +C22 + C23 = 120
FIGURA 3 – Restrições do Problema para as fábricas. Fonte: Autores (2015).
Em relação às restrições referentes aos depósitos, na figura 4, serão representadas com
sinal de menor ou igual (≤), uma vez que a capacidade total deles não será plenamente
utilizada, por motivos já explicados.
Restrições
Depósito 01
C11 +C22 ≤ 120
Depósito 02
C12 +C22 ≤ 140
Depósito 03
C13 +C23 ≤ 100
FIGURA 4 – Restrições do Problema para os depósitos. Fonte: Autores (2015).
4.3.2 Definições dos parâmetros do solver
O propósito do estudo é o de minimizar o Custo Total com Transporte. Dessa forma,
na figura 5 é exposta a tela de parâmetros do Solver, o qual foi obtido após a modelagem do
sistema e definição da função objetivo, células variáveis e as restrições do problema.
FIGURA 5 – Tela de Parâmetros do Solve. Fonte: Autores (2015).
Na figura 5, no campo células variáveis (B6 a D7), correspondem às quantidades que
devem ser enviadas de cada uma das fábricas para cada um dos depósitos. Como antes
indicado, as restrições de igual (=) referem-se às fábricas e as restrições de menor ou igual
(≤), aos depósitos.
4.3.3 Análises dos resultados
Na figura 6, indicam que, na solução ótima, o custo total de transporte das fábricas
para os depósitos é de R$ 151.700,00.
FIGURA 6 – Planilha Final com os resultados do Problema. Fonte: Autores (2015).
4.3.3.1 Relatórios de resposta
FIGURA 7– Relatório de Respostas do Solver . Fonte: Autores (2015).
Na primeira parte do relatório (figura 7), são mostradas as quantidades de caminhões
que devem ser alocados em cada trajeto. Observa-se que para dois dos trajetos não é previsto
transporte de produtos.
Na parte relativa às restrições, pode-se observar que o depósito 02 é o que não tem a
sua capacidade plenamente ocupada, ficando com folga correspondente a 60 caminhões. Esse
fato foi demonstrado pelos campos Status e Margem de Atraso.
3.3.2 Relatórios de sensibilidade
FIGURA 8– Relatório de sensibilidade do Solver. Fonte: Autores (2015).
Observa-se que pela análise do relatório de sensibilidade, pode-se notar que a solução
ótima não prevê a destinação de nenhum caminhão da Fábrica 01 para o depósito 03,
justamente o trajeto que possui o menor custo entre os itinerários considerados. Isso ocorre
devido à conjunção das condições das condições do problema: produção de cada fábrica e
limitação da capacidade de armazenagem de cada depósito.
Dentre outras análises relevantes, pode-se verificar que, por exemplo, cada caminhão
que se deseje alocar no referido trajeto (Fábrica 01/Depósito 03) aumenta o custo total em R$
110, expressa pela coluna Reduzido Custo do relatório de sensibilidade (Figura 8).
A coluna Sombra Preço mostra quanto poderia ser reduzido no custo total da empresa,
caso ela investisse na ampliação da capacidade de armazenagem dos depósitos. Nota-se que a
ampliação mais vantajosa para a empresa seria na capacidade do depósito 03. Observa-se que
cada caminhão a mais que pudesse ser alocado nesse depósito levaria a uma redução no custo
total da empresa de R$ 310,00.
Em relação às fábricas, o campo sombra preço, indica qual seria o aumento no custo
total da empresa de cada unidade adicional que viesse a ser produzida, desde que mantida a
mesma capacidade de armazenagem dos depósitos.
4.3.3.3 Programação linear inteira
Considerando a empresa estudada, dadas as condições de restrições, a fim de explorar
mais a Programação Linear - PL, no presente estudo foi aplicado também o método de
Programação Linear Inteira - PLI. Nota-se que nos problemas de PL, as variáveis de decisão
podem assumir valores fracionados. No entanto, para considerável número de situações do
dia-a-dia das empresas, as variáveis devem restringir-se a soluções inteiras. No caso
analisado, o gerente de compras da empresa, ao decidir efetuar a solicitação de determinada
quantidade caixas de água mineral, não é possível realizá-la de forma fracionada, isto é, seu
pedido deverá indicar um valor inteiro. Nessa situação, é possível utilizar também a técnica da
PLI. E classifica-se, quanto à modalidade, de Problemas de Programação Inteira Pura, visto
que todas as variáveis de decisão devem assumir valores inteiros.
Retomando as restrições, nota-se que agora foi adicionado à restrição para que as
variáveis de decisão assumam valores inteiros.
Valores Inteiros
Fábrica 01
Fábrica 02
Fábrica 01
Fábrica 02
Restrições
C11, C12, C13, C21, C22, C23, Inteiros
C11 +C12 + C13 = 180
C21 +C22 + C23 = 120
C11 +C12 + C13 = 180
C21 +C22 + C23 = 120
FIGURA 9 – Restrições do Problema para as fábricas. Fonte: Autores (2015).
Aplicando novamente a solução computacional, seguindo os passos citados
anteriormente, adiciona-se a restrição para referente às variáveis de decisão que devem
assumir valores inteiros, e, além disso, nas opções da ferramenta Solver, nos seus parâmetros
foi adicionado no campo tolerância, o valor zero (0), pois se observa que o percentual de
tolerância é aquele em que a célula de destino de uma solução, obedecendo às restrições de
número inteiro, pode divergir do valor ideal e, ainda sim, ser considerada aceitável. A partir
da realização por meio da ferramenta solver, foi possível obter um novo relatório de respostas.
Observou-se que neste novo relatório, o valor do custo total bem como valores finais
entre os trajetos das células variáveis e restrições são os mesmos, não cabendo explicações,
nem exibição, pois a tela gerada pelo solver é semelhante à figura 7.
É importante ressaltar que para as soluções sem a restrição de números inteiros, o
Solver apresenta relatórios de sensibilidade limites e resultados. Entretanto, quando há
restrições de números inteiros, os relatórios de limites e sensibilidade não são significativos.
Dessa forma, foi por essa razão, que o estudo apresentou as duas possibilidades de resolução
para o problema, envolvendo Programação Linear e Programação Linear Inteira.
5. Conclusão
Na pesquisa a intenção foi utilizar a Programação Linear - PL, conjuntamente a
Programação Linear Inteira – PLI, com as quais se obteve a minimização de custos no
transporte de produtos de uma empresa de médio porte localizada na região metropolitana de
Belém, no estado do Pará.
De posse do referencial teórico como suporte para a construção do modelo
matemático. Pode-se afirmar que a modelagem matemática desta pesquisa foi relevante, no
que concerne a gestão do sistema de distribuição de água mineral da empresa, proporcionando
estimativas e auxílio na tomada de decisão por meio da análise das variáveis.
Uma estratégia interessante para aprimoramento do sistema foi a utilização das duas
técnicas que juntas resultaram em propostas semelhantes, e uma modelagem mais detalhada
em pontos diferentes, no que concerne a presença ou não das restrições de números inteiros.
A aplicação do Microsoft Excel demonstrou ser uma alternativa eficaz para o
tratamento dos dados na geração de soluções para o problema de transportes. A modelagem
matemática realizada considerou as seguintes proposições: Valor Final, Reduzido Custo,
Coeficiente Objetivo, Permitido Aumentar, Permitido Reduzir. Foi realizado o cruzamento de
dados e conforme as restrições indicando a quantidade de caminhões de cada solução a fim de
demonstrar o trajeto de menor tempo e maior quantidade de carga.
O atual modelo foi indicado para minimização custo total relacionado ao transporte e
propôs novos roteiros para veículos em uma tabela de viagens pré-estabelecidas, evitando-se
técnicas do tipo tentativa e erro, pois estes últimos podem acarretar em custos e perdas de
tempo desnecessários, recursos indispensáveis para a empresa estudada.
Como resultados foi possível indicar que, na solução ótima, o custo total de transporte
das fábricas para os depósitos é de R$ 151.700,00. E a análise minuciosa do relatório de
resposta bem como o relatório de sensibilidade a fim de propor alternativas de redução de
custos para a empresa.
A relevância do trabalho consiste em uma contribuição para a própria empresa e
também para sociedade, considerando que a agua é um bem de consumo que atualmente
encontra-se em escassez em outras regiões do país.
De posse dos resultados desta pesquisa, novas ideias surgem para futuros trabalhos.
Como várias funções-objetivos podem ser colocadas de forma a se obter um novo
aproveitamento do sistema de transporte da empresa, um modelo multiobjetivo poderia
abranger simultaneamente todas estas funções.
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