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Ficha catalográfica
Setor de Processos Técnicos da Biblioteca Central – UFRPE
S237m
Santos, Francisco Luiz dos
Matemática básica para física / Francisco Luiz dos
Santos – Recife: Ed. da UFRPE, 2006.
v. 3 : il.
1. Ensino a distância 2. Matemática – Estudo e
ensino 3. Física – Estudo e ensino I. Título
CDD 510
2
Sumário
Dimensionalidade do espaço.......................................................................... 7
Elementos de Geometria ................................................................................. 9
Geometria Euclidiana ..................................................................................... 9
Posições relativas entre duas retas ............................................................. 13
Posições relativas entre retas e planos....................................................... 15
Posições relativas entre dois planos ........................................................... 16
Perpendicularidade ........................................................................................ 17
Generalidades sobre ângulos e arcos ......................................................... 18
Temas básicos de geometria plana ............................................................. 22
Segmentos proporcionais ............................................................................ 23
Feixe de retas paralelas ............................................................................... 23
Exercícios Propostos ................................................................................... 26
Semelhança de triângulos............................................................................. 29
Exercícios propostos .................................................................................... 33
Relações Métricas no triângulo retângulo .................................................. 34
Exercício proposto........................................................................................ 40
Relações Métricas no triângulo qualquer.................................................... 42
Exercícios propostos .................................................................................... 45
Superfície e volume ....................................................................................... 46
Exercícios propostos .................................................................................... 51
Volume de Sólidos ......................................................................................... 55
Exercícios propostos .................................................................................... 59
Tópico de geometria analítica: distância entre pontos.............................. 60
Exercícios propostos .................................................................................... 62
Problemas resolvidos ................................................................................... 63
Problemas Propostos ................................................................................... 67
Aplicações na física ..................................................................................... 70
3
Onde Estamos
Revisamos uma parte da geometria desenvolvida pelos gregos e de
grande utilidade em várias áreas do conhecimento que utilizam
matemática, a trigonometria. O triângulo é o polígono, figura plana formada
por retas, com o menor número de arestas. Em nossa busca de simplificar
os problemas para resolvê-los, a habilidade de trabalhar com relações no
triângulo retângulo é importante. Vimos que basta ter dois parâmetros do
triângulo retângulo para encontrar as outras medidas, incluindo ângulos e
lados. Assim se torna muito conveniente tentar mapear problemas que
envolvam a determinação de distâncias ou de ângulos com algum
triângulo retângulo baseado em pelo menos duas dimensões conhecidas.
Fomos mais além, estudando funções trigonométricas que relacionam
parâmetros do triângulo retângulo dentro de uma circunferência de raio 1
(hipotenusa = 1) em função do ângulo coincidente com o centro desse
círculo. Com o ângulo variando, o raio (hipotenusa) girando como um dos
ponteiros de um relógio, chegamos as funções periódicas: seno e
cosseno, além de tangente e as outras funções derivadas destas
primeiras. Esse tipo de função é fundamental para o estudo matemático de
problemas que envolvam oscilações e movimento circulares.
Para onde vamos
Vamos estudar agora a parte mais geral da geometria. Rever os
conceitos fundamentais entre pontos, linhas, figuras planas e um pouco de
sólidos geométricos. Faremos uma breve discussão sobre esses conceitos
do ponto de vista de espaço de existência das coisas que queremos
modelar. Para entendermos melhor alguns conceitos de física é importante
diferenciar as representações geométricas dos elementos que estamos
usando dependendo da dimensão do espaço no qual eles estão
embebidos. Nós estamos embebidos em um espaço de dimensão 3, para
isso usamos parâmetros como: comprimento, largura e altura. Quando
trabalhamos com figuras de duas dimensões (2), como as figuras planas,
ou de uma (1), como uma reta, que diferença isso faz na física das
4
questões que queremos entender? Faz diferenças como, por exemplo,
para a dimensão 1, uma linha, temos um exemplo parecido em nosso
mundo tridimensional: uma linha de trem. Uma primeira propriedade que
podemos observar é que neste caso um trem não pode passar pelo outro,
se estão na mesma linha. Se um trem andar devagar, todos terão que
andar devagar, pelo menos quando se encontrarem. Portanto, o de menor
velocidade determina a velocidade dos demais. Esse processo é
conhecido como serial, um atrás do outro, e só ocorre porque não é
permitido ultrapassagem. Se acrescentarmos largura à linha, além do
comprimento, teremos dimensão 2 e podemos evoluir para uma pista com
várias vias (faixas para carros), nosso exemplo mais próximo. Neste caso,
um carro pode ultrapassar o outro e o mais lento já não determina a
velocidade do “comboio”. Isso pode mudar o comportamento de
fenômenos físicos. A revisão das relações geométricas entre várias figuras
ajudará a melhorar a habilidade em identificar padrões geométricos em
questões de física e lembrar mais rapidamente de propriedades
matemáticas para a solução de problemas.
5
Geometria
Normalmente não nos damos conta de quanto a geometria influência a
física. Desde a mecânica, em que estudamos o movimento dos corpos,
sua origem e conseqüências, os parâmetros essenciais são espaço e
tempo. Desde criança estamos acostumados a medir e a observar os
fenômenos espaciais, objetos ou seres que aumentam de tamanho ou
diminuem, se deslocam, se aglomeram ou se dispersam e apresentam
formatos diferentes. A ferramenta matemática diretamente ligada a esses
fenômenos é a geometria. Uma grande contribuição da teoria da
relatividade para física moderna é a afirmação de que não só o espaço é
relativo, depende de onde se observa ou de um referencial, mas o tempo
também é relativo e isso implica em mudanças na relação espaço-tempo.
Esses novos conceitos geométricos de espaço-tempo relativos mudaram a
visão de mundo que tínhamos da natureza. A mecânica clássica é
estudada com geometria euclidiana enquanto a mecânica relativística
pode ser mais adequadamente estudada a partir da não-euclidiana. Mas
as implicações geométricas para a física não vêm só da mecânica.Talvez
a área da física que mais baseia seus fenômenos em geometria seja a
óptica. Vários outros conceitos físicos estudados em eletricidade e
magnetismo “escondem” o verdadeiro responsável pelos fenômenos
eletromagnéticos, a geometria. Por exemplo, o conceito de propagação de
campo e forças que tem como uma das leis mais gerais a de que a
radiação de vários tipos normalmente se propaga enfraquecendo à medida
que se afasta da fonte com o quadrado da distância. Essa lei é
basicamente geométrica de como campos podem preencher o espaço
tridimensional se dispersando a partir da fonte.
6
Vimos que em física usamos como parâmetros mais básicos tempo e
espaço. Outros parâmetros básicos como temperatura e campos, de certa
forma, precisam do tempo ou espaço para ter sentido no contexto prático.
O preenchimento do espaço por matéria, um objeto, ou mesmo por algo
que não vemos, como um campo magnético, é estudado em física através
da geometria (parte da matemática que estuda as formas e relações entre
elas). Além disso, muitos dos fenômenos físicos que conhecemos são
conseqüências da forma como entidades físicas, campo ou matéria,
preenchem o espaço. Como estamos sempre procurando simplificar para
entender, vamos abordar os elementos geométricos que vamos utilizar no
curso de física do ponto de vista da representação do espaço do mais
simples para o mais complexo.
Dimensionalidade do espaço
Normalmente, representamos o espaço rabiscando sobre uma folha de
papel os objetos envolvidos no fenômeno ou problema que queremos
estudar. A folha de papel é plana e, portanto, muito adequada para
representar figuras planas, como um quadrado, triângulo ou círculo. Mas
podemos utilizar a folha de papel para representar situações em um
espaço com mais ou menos dimensões. Vamos utilizar o número de
coordenadas cartesianas necessário para a localização de um ponto como
o determinador da dimensionalidade do espaço.
D=0
O ponto, por si só, não tem dimensão. Podemos representá-lo por um
pequeno círculo, como está na figura 1, quase imperceptível. Também
poderíamos representá-lo por uma pequena cruz, “+”, ou “x”. Por definição,
ele não tem altura, nem largura, nem comprimento. Portanto, um espaço
sem dimensão não existe, mas o ponto é uma entidade geométrica sem
dimensão. Neste caso, nenhum objeto poderia existir em um espaço sem
dimensão.
7
FIGURA 1
Um ponto em um plano cartesiano. Não é
possível desenhar objetos dentro do ponto
porque o ponto não tem dimensão, ou D=0.
D=1
Em um espaço de dimensionalidade 1, precisamos apenas saber em
que posição de uma linha fica o ponto. Só precisamos de uma
coordenada, exemplos, x = 2 cm ou x = -9 cm em relação a uma posição
de referência. A reta é um objeto de dimensão 1. Podemos dizer que só
tem comprimento. Sua largura é imaginária, tão fina quanto a nossa
imaginação pode considerar em relação às outras figuras.
FIGURA 2
(a) Reta. (b) Linha ou curva de tamanho limitado
em -10 e 10, passando pelo ponto central de
referência 0. É possível “caminhar” sobre uma
linha para trás ou para frente, mas qualquer ponto
de impedimento bloqueia totalmente a passagem
ao longo dela.
Um ponto no espaço bidimensional, localizado
pelas suas coordenadas cartesianas x, y.
D=2
Com duas coordenadas podemos localizar um ponto em um plano
cartesiano. Na prática, esse é o espaço que mais usamos para
8
localização. Os mapas são desenhos bidimensionais, mesmo de objetos
tridimensionais, como a Terra, portanto, precisando apenas de duas
coordenadas para localização, latitude e longitude. A Localização em uma
cidade é determinada por coordenadas
FIGURA 3
(a) Figuras geométricas regulares bidimensionais. (b) Um
ponto localizado no espaço bidimensional através das
coordenadas cartesianas x, y, z. O espaço bidimensional é o
que usamos para imprimir texto e desenhar figuras como o
dessa folhar que você está lendo.
Elementos de Geometria
Geometria Euclidiana
A geometria euclidiana é a mais básica e conhecida maneira de
representar as formas. O nome pomposo está diretamente ligado a grande
contribuição dada pelos gregos, especialmente por Euclides, à geometria
conhecida por nós desde a escola primária. Pois geometria euclidiana é a
geometria mais simples e próxima do senso comum e da maneira como
começamos a pensar nas formas desde criança. Por que usar esse nome
se é simplesmente a geometria conhecida por nós desde a infância? Por
que não chamar simplesmente de geometria? É o que normalmente
fazemos como nos referimos simplesmente à geometria. Só usamos esse
nome quando queremos fazer distinção de outras maneiras de
representação do espaço como, por exemplo, a geometria de Minkowski
ou geometria no espaço de Minkowski. No espaço de Minkowski as
distâncias são medidas em escalas diferentes dependendo da posição em
relação a um referencial central. Um outro tipo de geometria não
euclidiana é a geometria fractal. Os fractais são figuras que podem ser
9
vistas em sua geometria com dimensionalidade não inteira. Por exemplo,
na geometria euclidiana as formas são embebidas em espaços de
dimensões inteiras como 1 (unidimensional), 2 (bidimensional) e 3
(tridimensional). As figuras fractais podem ter dimensões entre 1 e 2, como
1,4, por exemplo. Existem outras propriedades dessas outras geometrias
que caracterizam métodos e características próprias de tratar as figuras
em seus espaços correspondentes.
A física se utiliza de vários tipos de geometria para descrever melhor
determinados fenômenos. Esse é mais um motivo para chamarmos a sua
atenção para a geometria que você sempre viu de geometria euclidiana.
A maior parte da física que conhecemos pode ser explicada através da
geometria euclidiana, portanto, esse capítulo tem como foco a revisão dos
conceitos e fórmulas dessa geometria. Geometria euclidiana é a geometria
sobre linhas, planos e sólidos, tridimensionais, baseados nos postulados
de Euclides. Porém, tão importante quanto conhecermos tais postulados, é
conhecermos algumas noções primitivas e dominarmos alguns conceitos
que fundamentam esta geometria. Nesta seção apresentaremos essas
noções e conceitos, utilizando como ponto de partida situações em física.
Ponto
Em cinemática, geralmente, nós estudamos a Cinemática do ponto
material. Mas o que seria um ponto material? A definição nos diz que é um
corpo cujas dimensões podem ser desprezadas no estudo de um
determinado fenômeno. Isto, sem dúvida, remete à noção geométrica de
ponto:
uma
figura
geométrica
que
não
possui
dimensão,
representação gráfica podemos visualizar na figura 4.
FIGURA 4
Um ponto representado por um pequeno círculo
10
cuja
Um ponto pode representar um planeta distante, um objeto qualquer,
uma carga elétrica, etc. Em física, dizemos que um corpo é um ponto
material
dependendo
do
referencial
e
devemos
utilizar
também
referenciais para localizarmos um ponto.
FIGURA 5
Representação do espaço tridimensional
com eixos
cartesianos x, y, z, utilizados
para localizar um ponto P.
Para a localização de um ponto P, em relação ao referencial R, é
necessário conhecermos as distâncias de P a R. Um modo de se localizar
o ponto P é fixar em R um sistema triortogonal. Este é constituído de três
eixos perpendiculares dois a dois e com uma origem comum. A posição do
ponto P no espaço é definida pelas suas coordenadas cartesianas x, y e z
mostradas na figura 5.
Em um determinado plano nós utilizamos um sistema de coordenadas,
cujo conceito foi formalizado por René Descartes. Fixamos nesse plano
dois eixos reais Ox e Oy, no ponto O, onde O é a origem do sistema. Um
ponto P do plano, deve ser projetado sobre os dois eixos Ox e Oy e
obtemos dois pontos P’ e Q’, respectivamente, que são denominados de
projeções ortogonais de P. Ao ponto P’ existe um valor real
correspondente, que é a abcissa do ponto P; ao ponto P’’ corresponde
também um valor real que é a ordenada do ponto P.
Reta
Sabemos que um ponto material que se move em relação a um
determinado
referencial
ocupa
sucessivamente
diversas
posições,
descrevendo uma curva que recebe o nome de trajetória. Uma trajetória
comum no nosso dia-a-dia e que aparece com freqüência nos problemas
11
de física é a retilínia, basta lembrarmos do Movimento Retilíno Uniforme
ou Movimento Retilínio Uniformemente Variado. Logo, admitimos o
conhecimento intuitivo do que seria uma reta, porém aqui formalizamos
esta noção do ponto de vista geométrico, e concluímos que: reta é uma
figura geométrica que possui uma única dimensão e deve ser entendida
como ilimitada nos dois sentidos. A representação gráfica apresentamos a
seguir.
FIGURA 6
Reta r.
Plano
O termo plano é utilizado com freqüência na física, e a noção intuitiva
também pode ser aqui utilizada. Conhecemos, na óptica, a primeira lei da
reflexão que diz: “o raio incidente, a normal e o raio refletido estão num
mesmo plano”. Ora, mesmo sem uma noção formal de plano, um
estudante de física consegue visualizar o fenômeno, pois temos diversas
imagens físicas do plano em nosso cotidiano por exemplo: um campo de
futebol, a superfície de uma parede, o piso de uma sala etc. Plano, assim
como o ponto e a reta não pode ser definido, mas temos sua noção
primitiva que nos diz que é uma figura geométrica de duas dimensões e é
ilimitada em todos os sentido. Na figura 7 temos a representação gráfica
do plano.
12
FIGURA 7
Representação de três planos (α, β, γ) limitados
e em diferentes ângulos, um em relação ao
outro.
Posições relativas entre duas retas
Em física é freqüente falarmos em paralelismo, como condição
existente em algum problema, ou até como regras, exemplo: “Todo raio de
luz que incide no espelho paralelamente ao eixo principal de um espelho
esférico de Gauss, ao refletir-se, passa pelo foco principal”. Essa é uma
propriedade estudada em ótica referente ao espelho esférico de Gauss.
Sem dúvida, casos assim remetem à geometria, pois as trajetórias, alguns
eixos etc, podem ser vistos como retas, logo é importante o aluno assimilar
bem as posições relativas entre duas retas existentes e os critérios que as
definem.
Consideremos um plano p e uma reta AB desse plano. Se traçarmos
uma reta CD que tenha apenas o ponto C no plano P e este ponto não
estando sobre a reta AB, podemos concluir que nenhum plano poderá
conter ao mesmo tempo as duas retas AB e CD.
Do exposto conclui-se que duas retas no espaço podem ter duas
posições relativas:
a) não estão situadas no mesmo plano: retas reversas
13
FIGURA 8
Retas reversas: AB vertical situada no plano
da lateral direita e CD horizontal, entrando na
folha de papel, no plano da esquerda.
b) estão no mesmo plano: retas complanares, neste caso podem
ser concorrentes ou paralelas.
Retas paralelas: São retas complanares que não apresentam nenhum
ponto em comum ou apresentam todos os seus pontos em comum:
FIGURA 9
Retas paralelas (r e s): no mesmo plano,
mas
separadas
por
uma
distância
constante, e retas coincidentes, em que só
se ver uma, quando tem duas se
sobrepondo.
Retas concorrentes: São retas que apresentam um único ponto em
comum
14
FIGURA 10
Retas (r e s) concorrentes se encontram no
ponto A.
Posições relativas entre retas e planos
Não tão importante na física quanto as posições relativas entre duas
retas, existe o estudo das posições relativas entre retas e planos. Porém,
sabemos que um estudante de física deve estar preparado para a
resolução de questões que remetem a situações diversas, e a geometria
pode auxiliar parte delas. Com isso apresentamos aqui algumas
informações geométricas importantes.
Quando uma reta tem dois pontos num plano, fica contida nele. Assim
equivale a dizer que tem todos os seus pontos no mesmo plano. Resulta
daí que uma reta pode ocupar três posições em relação a um plano:
c) Tem dois pontos no plano. Neste caso pertence ao plano.
FIGURA 11
Quando dois pontos da reta estão no plano, toda
a reta está no plano.
d) Tem um ponto no plano. Neste caso a reta fura o plano neste
ponto que se denomina traço ou pé da reta sobre o plano.
15
FIGURA 12
Plano tocando (interceptando) uma
reta em um só ponto (P), neste caso
a reta não está completamente no
plano, mas apenas toca-o em um
ponto.
e) Não tem ponto algum no plano. Neste caso diz-se paralela ao
plano.
FIGURA 13
Quando nenhum ponto da reta toca o
plano é porque a reta está paralela
ao plano e reserva uma distância
para ele.
Posições relativas entre dois planos
Raras situações ou problemas na física remetem às posições relativas
de dois planos, porém é importante um aluno conhecer o teorema que
apresentaremos a seguir e as duas posições relativas que dois planos
podem ocupar.
Teorema: Quando dois planos têm um ponto comum, têm também um
reta comum que contém o mesmo ponto.
Resulta desse teorema que dois panos podem ocupar as duas
posições relativas seguintes:
a) Têm uma reta comum. Neste caso são secantes e a reta
comum denomina-se intersecção dos dois planos.
16
b) Não têm ponto algum comum ou apresentam todos os pontos
em comum. Neste caso dizem-se paralelos, coincidentes ou
distintos, dependendo se há pontos comuns ou não.
FIGURA 14
Dois planos paralelos. Os pontos de um (α) não
coincidem com os do outro (β) nem se
encontram, mantendo a mesma distância entre
planos.
Perpendicularidade
Decidimos trabalhar em particular a perpendicularidade devido a
freqüência em que essa aparece na física. Diversos problemas em física
recorrem à condição de perpendicularidade, desde a mecânica, em que
corpos freqüentemente se deslocam perpendicularmente em relação a um
referencial ou entre si, até a óptica em que é comum um raio de luz incidir
perpendicularmente a uma superfície.
Dividimos este tópico em três abordagens:
a) Retas perpendiculares a um plano: Duas retas r e s são
perpendiculares se e somente se, são concorrentes e forma
ângulos retos entre si.
FIGURA 15
Retas perpendiculares s e r sobre um plano.
b) Reta perpendicular ao plano: Uma reta r secante a um plano π
é perpendicular a π se, e somente se, todas as retas do plano π
que concorrem com r são perpendiculares a r.
17
FIGURA 16
Reta r perpendicular ao plano π. Para que a reta
esteja perpendicular ao plano ela deve ter um
ângulo de 90º em qualquer direção que você
olhar em qualquer direção.
c) Planos perpendiculares: Dois planos são perpendiculares se, e
somente se, existe uma reta contida em um deles e
perpendicular ao outro.
FIGURA 17
Planos perpendiculares
Generalidades sobre ângulos e arcos
Vejamos dois exemplos:
1. A velocidade angular média de um móvel numa trajetória
circular de raio 2 m é 2.5 rad/s. Determine o ângulo descrito
pelo móvel em 20 s e o comprimento do arco descrito, nesse
intervalo de tempo.
2. Um raio de luz incide em um espelho plano formando um
ângulo de 40º com o espelho. Determine o ângulo de
incidência, o de reflexão e o ângulo formado pelo raio incidente
e o raio refletido.
No exemplo 1, necessitamos, para resolver a questão, termos noção
de grandezas angulares e a relação entre ângulos centrais e arcos de uma
circunferência. Ora, como um aluno de física resolverá a questão se não
18
tiver um conhecimento prévio sobre ângulo e arcos. Já no exemplo 2, a
noção de ângulos complementares e suplementares faz-se necessário. É
notório em toda a física a necessidade de trabalharmos com ângulo, o que
faz deste tópico um dos mais importantes do capítulo.
Angulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem, e
determina dois setores angulares, um convexo e outro não, caso as semiretas que o forma não seja opostas.
FIGURA 18
Duas semi-retas (A e B) formando um ângulo α
entre si.
Vamos analisar alguns tópicos importantes referentes à ângulos:
d) Angulo de duas retas: É o menor ângulo formado por elas. No
caso de retas reversas, é o ângulo formado por duas
concorrentes, respectivamente paralelo às duas primeiras.
Duas retas são ditas ortogonais quando são reversas e o
ângulo por elas formado é reto. Já são ditas perpendiculares
quando
são
concorrentes
e
formam
quatro
ângulos
congruentes. Qualquer dos ângulos formados pelas retas
perpendiculares chama-se ângulo reto.
e) Medida de ângulos: Utilizamos mais freqüentemente um
sistema sexagemal em que a unidade é o grau. Um grau (1º)
mede 1/90 de um ângulo reto e tem como subunidades o
minuto (equivalente a 1/60 do grau) e o segundo (equivalente a
1/60 do minuto). Concluímos que um ângulo reto mede 90º.
f)
Ângulos agudos e obtusos: Um Ângulo agudo é um ângulo de
medida menor que 90º. Já um ângulo obtuso é de medida
maior que 90º.
19
FIGURA 19
As semi-retas A e B formam um ângulo
agudo de 40º.
g) Ângulos complementares: São dois ângulos cuja soma das
medidas é 90º.
FIGURA 20
Os ângulos de 30º e 60º são complementares
porque juntos formam um ângulo total de 90º.
h) Ângulos suplementares: São dois Ângulos cuja soma das
medidas é 180º.
FIGURA 21
Os ângulos de 40º e 140º são suplementares
porque juntos formam um ângulo total de 180º.
i)
Ângulos adjacentes: Dois ângulos são adjacentes quando
possuem o mesmo vértice e um lado comum.
FIGURA 22
Os ângulos entre as semi-retas A e B e entre B e
C são adjacentes porque estão lado a lado.
20
j)
Ângulos opostos pelo vértice: São dois ângulos cujos lados de
um são semi-retas opostas dos lados do outro.
FIGURA 23
Os ângulos do lado esquerdo (semi-retas C e D)
e direito (A e B) são opostos pelo vértice O.
k) Bissetriz: A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que o divide
em dois outros ângulos congruentes
FIGURA 24
A semi-reta C é a bissetriz do ângulo entre A e
B, divide o ângulo total entre dois ângulos
iguais: entre A e C e entre C e B.
l)
Ângulo central de uma circuferência: É o ângulo cujo o vértice
está no centro da circunferência, e cujos os lados são os raios
dessa circunferência.
FIGURA 25
Ângulo central de uma circunferência, com
vértice coincidente com centro da circunferência
O.
Vamos tratar agora sobre arcos, cujo conceito básico é solicitado não
raramente na física, como por exemplo no estudo da cinemática angular.
21
Arco é um subconjunto de pontos da circunferência. Os pontos A e B e os
pontos da circunferência que estão no interior do Ângulo AÔB, formam o
arco menor AB. Os pontos A e B e os pontos da circunferência que estão
no exterior de AÔB forma o arco maior AMB. Nesta nomeclatura
consideramos um terceiro ponto, na figura, o ponto M.
FIGURA 26
Ângulo central de uma circunferência e o arco
maior (externo) e menor (interno).
A medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente, ou
seja um arco cujo ângulo central correspondente vale 30º é um arco de
30º. Porém é comum usarmos como medida de arcos uma unidade
denominada radiano (rd), em que 1 rd é a medida de um arco de
comprimento igual à medida do raio da circunferência que o contém.
Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a
2πR, logo uma circunferência contém 2π vezes o seu raio e a medida em
radianos de um arco correspondente a uma circunferência completa é
igual a 2π radianos. Devemos ressaltar que para convertemos a medida do
arco de radianos para graus considera-se que 2π radianos equivale a 360º.
Temas básicos de geometria plana
Na seção anterior revisamos alguns conceitos e informações que
servem de base para o estudo da geometria plana e para a geometria
espacial. Nessa seção vamos nos dedicar à geometria plana, cujo o
conhecimento é requerido para o melhor entendimento de diversas
situações estudas pela física, ou para possibilitar a resolução de questões.
22
Segmentos proporcionais
Quatro segmentos AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são chamados
proporcionais quando suas medidas tomadas na mesma unidade formam
uma proporção:
AB EF
=
CD GH
Exemplo 1: Um segmento de tamanho 40 foi dividido em duas partes
diretamente proporcionais a 3 e a 5. Quais as medidas de cada um dessas
x 3
=
e x + y = 40
y 5
x = 40 − y
3y
x=
5
3y
= 40 − y
5
3 y = 200 − 5 y
8 y = 200
y = 25
x = 40 − y = 15
partes?
Feixe de retas paralelas
Três ou mais retas coplanares e paralelas entre si formam o que
chamamos de feixe de retas paralelas ou simplesmente feixe de paralelas.
Qualquer reta que corte as retas de um feixe de paralelas é
denominada reta transversal ao feixe. Analisemos agora algumas
propriedades de um feixe de paralelas cortadas por uma transversal.
1ª Propriedade: Seu um feixe de paralelas determina segmentos
congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos
congruentes sobre qualquer outra transversal. Ou seja se AB ≡ BC então
DE ≡ EF.
23
FIGURA 27
Retas paralelas cortadas por uma transversal. 1ª
propriedade:
se AB = BC então DE = EF.
Ou
2ª Propriedade (Teorema de Tales): Um feixe de paralelas determina,
em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais, na seguinte
forma:
FIGURA 28
Teorema de Tales: proporcionalidades entre segmentos
transversais.
AB MN
=
BC NP
Exemplo 2: Calcule x sabendo que MN // BC.
24
FIGURA 29
2ª propriedade (Teorema
de Tales) na solução de
problema
do
triângulo
retângulo: encontrar o
valor de x dadas as outras
dimensões.
4 2
=
x 3
2 x = 12
12
2
x=6
x=
3ª Propriedade (Teorema da bissetriz interna): A bissetriz de um
ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto segmentos
proporcionais aos lados pertencentes ao ângulo considerado.
FIGURA 30
3ª propriedade (Teorema da bissetriz interna): a
bissetriz AD foi traçada no centro do ângulo entre AB e
AC, dividindo o ângulo total em dois iguais.
BD AB
=
DC AC
25
Exemplo 3: Calcule as medida dos segmentos indicados por letras na
figura a seguir.
FIGURA 31
Aplicação da 3ª propriedade para encontrar os
lados x e x+2 do triângulo ABC, dividindo-o em
dois triângulos menores, ABD e ADC, pela bissetriz
AD.
x+2 6
=
x
5
5 x + 10 = 6 x
x = 10
Exercícios Propostos
1. Um segmento AB = 40 cm foi dividido em duas partes diretamente
proporcionais aos números 3 e 5. Quais as medidas de cada uma dessas
partes?
2. Calcule x sabendo que MN//BC.
a)
FIGURA 32
Triângulo do exercício proposto 2a.
26
b)
FIGURA 33
Triângulo do exercício proposto 2b.
3. Na figura temos AB//PQ e BC//QR. Além disso, temos AR = 1,
4. PC = 10, CQ = 12 e QA =2. Calcule x e y.
FIGURA 33
Triângulo do exercício proposto 3.
4. Uma reta paralela ao lado AB de um triângulo ABC determina sobre
o lado AC segmentos de 3 cm e 5 cm. Calcule as medidas dos segmentos
que essa reta determina sobre o lado BC = 16 cm.
5. Os lados de um retângulo de área 12 m² estão na razão 1/3. Qual o
perímetro desse retângulo
6. Aplicando o teorema da bissetriz interna calcule as medidas dos
segmentos indicadas por letras nas figuras a seguir:
a) AD é bissetriz de A
27
FIGURA 34
Triângulo ABC com bissetriz AD para o exercício
proposto 6a.
b) AD é bissetriz de A
FIGURA 35
Triângulo ABC com bissetriz AD para o exercício
proposto 6b.
c) CD é bissetriz de C
FIGURA 36
Triângulo ABC com bissetriz CD para o exercício
proposto 6c.
d) BD é bissetriz de B
28
FIGURA 37
Triângulo ABC com bissetriz BD para o exercício
proposto 6d.
7. Num triângulo ABC os lados AB e AC medem, respectivamente, 15
cm e 20 cm. A bissetriz do ângulo interno A determina sobre o lado o
oposto BC os segmentos BD e DC tais que BD = (x - 4) cm e DC = x cm.
Calcule BD e DC.
8. Os lados de um triângulo medem 5 m , 6 m e 3 m. Calcule os
segmentos que a bissetriz interna do maior ângulo determina no lado
oposto.
Semelhança de triângulos
Dois triângulos que têm os três ângulos respectivamente congruentes
são chamados de triângulos semelhantes. Em dois triângulos semelhantes
os ângulos congruentes são chamados correspondentes e os lados
opostos aos dois triângulos correspondentes são chamados de lados
homólogos.
Propriedades fundamentais da semelhança:
1ª Propriedade: toda paralela a um dos lados de um triângulo que
intercepta os outros dois lados forma com estes um triângulo semelhante
ao primeiro.
∆APQ ~ ∆ABC
29
FIGURA 38
Triângulos semelhantes: ABC e APQ.
2ª Propriedade: se dois triângulos são semelhantes, então seus lados
homólogos são proporcionais.
FIGURA 39
Triângulos semelhantes: lados proporcionais.
Logo se ∆ABC ~ ∆DEF, então:
AB AC BC
=
=
DE DF EF
FIGURA 40
Triângulos semelhantes: ABC e BED
30
Exemplo 4: Calcule os valores pedidos na figura abaixo.
3 4
=
9 x
3 x = 36
36
x=
3
x = 12
e
3 y
=
9 6
9 y = 18
18
y=
9
y=2
Para garantir que dois triângulos são semelhantes, é suficiente que
neles observemos um dos casos seguintes:
1º Caso: ângulo, ângulo (AA): Para que dois triângulos sejam
semelhantes, é suficiente que eles tenham dois ângulos respectivamente
congruentes.
FIGURA 41
Triângulos semelhantes (ABC e AQ’R’) com os
ângulos congruentes; 1º caso do exemplo 4.
2º Caso: Lado, lado, lado (LLL): Para que dois triângulos sejam
semelhantes, é suficiente que eles tenham os lados respectivamente
proporcionais.
31
FIGURA 42
Triângulos semelhantes (ABC e AQ’R’) pela proporcionalidade dos
lados; 2º caso do exemplo 4.
3º Caso: Lado, ângulo, lado 9 (LAL): Para que dois triângulos sejam
semelhantes, é suficiente que eles tenham dois lados respectivamente
proporcionais e os ângulos compreendidos entre esses lados congruentes.
FIGURA 43
Triângulos semelhantes (ABC e AQ’R’) pela proporcionalidade de dois
lados e congruência de um ângulo; 3º caso do exemplo 4.
Exemplo 5: Calcule os valores pedidos nas figuras:
a)
FIGURA 44
Figura do exemplo 5ª. Qual o valor de x?
32
b)
FIGURA 45
Figura do exemplo 5b. Quais os valores de x e y?
Exercícios propostos
1 – Calcule os valores desconhecidos em cada figura.
a)
FIGURA 46
Figura do exercício proposto 1a: encontrar x para os valores
dados dos ângulos e dos lados.
b)
FIGURA 47
Figura do exercício proposto 1b: encontrar x e y para os valores
dados dos ângulos e dos lados.
33
c)
FIGURA 48
Figura do exercício proposto 1c: encontrar x para os
valores dados dos ângulos e dos lados.
d)
FIGURA 49
Figura do exercício proposto 1d: encontrar x e y para os
valores dados dos ângulos e dos lados.
2- Os lados de um triângulo retângulo medem, respectivamente, 4 cm,
7 cm e 8 cm. Quais as medidas dos lados de um triângulo a esse
semelhante, sabendo-se que o lado homólogo ao de medida 4 cm tem
medida 24 cm?
3- Os lados de um triângulo têm medida 4 cm, 5 cm e 9 cm. Quais as
medidas de um triângulo, semelhante a esse, cujo perímetro é 57 cm?
Relações Métricas no triângulo retângulo
Já sabemos que triângulo retângulo é todo triângulo que possui um
ângulo reto. A figura abaixo nos mostra um triângulo, ABC, reto Â, cujos
principais elementos destacamos a seguir.
34
FIGURA 50
Triângulo retângulo (ABC) com a hipotenusa
para baixo e seu ângulo reto caracterizador para
cima.
O lado BC (oposto ao ângulo reto) é chamado hipotenusa, cuja medida
indicaremos pela letra a. Os lados AC e AB são chamados catetos, cujas
medidas indicaremos por b e c, respectivamente.
Na figura seguinte, você observa que a altura traçada a partir do vértice
do ângulo reto determina sobre a hipotenusa BC dois segmentos: BH (de
medida m) e HC (de medida n). BH é chamado projeção do cateto de
medida c sobre a hipotenusa e HC é chamado projeção do cateto de
medida b sobre a hipotenusa.
FIGURA 51
Um triângulo retângulo (ABC)
representa a sua altura (AH).
e
a
linha
que
A altura traçada a partir do vértice do ângulo reto  divide o triângulo
ABC em dois outros triângulos também retângulos.
FIGURA 52
35
Um triângulo retângulo (ABC) dividido em outros dois triângulos retângulos
menores (ABH e AHC).
O triângulo ABC é semelhante a AHB e AHC, pois apresenta dois
ângulos comuns a cada um. Logo concluímos que AHB é semelhante a
AHC.
A partir das semelhanças apresentadas, podemos obter as chamadas
relações métricas no triângulo retângulo.
FIGURA 53
1ª Relação: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida de um
cateto é igual ao produto das medidas da hipotenusa e da projeção desse
cateto sobre a hipotenusa.
Comprovando:
Se ∆ABC ~∆AHB, então:
BC AB
a c
=
⇒ = ⇒ c2 = a ⋅ m
AB BH
c m
Se ∆ABC ~∆AHC, então:
BC AC
a b
=
⇒ = ⇒ b2 = a ⋅ n
AC HC
b n
Exemplo 6 – Calcule as medidas desconhecidas:
FIGURA 54
36
Figura do exemplo 6a: calcular b a partir das
dimensões dadas.
b2 = a ⋅ n
b 2 = 10 ⋅ 5 = 50
b = 50
b)
FIGURA 55
Figura do exemplo 10a: calcular c a partir
das dimensões dadas nesta figura.
c2 = a ⋅ m
(2 6 ) 2 = a ⋅ 3 = 50
24 = 3 ⋅ a
a=
24
=8
3
2ª Relação: Num triângulo retângulo o produto da medida da
hipotenusa pela medida da altura relativa a ela é igual ao produto das
medidas dos catetos.
Comprovando: Se ∆ABC ~∆AHB, então:
BC AC
a b
=
⇒ = ⇒ a⋅h = b⋅c
AB AH
c h
Exemplo 7 – No triângulo retângulo abaixo determine a medida h da
altura relativa à hipotenusa.
37
FIGURA 56
Figura do exemplo 7: calcular h a partir das
dimensões dadas.
a⋅h = b⋅c
10 ⋅ h = 6 ⋅ 8
48
h=
= 4,8
10
3ª Relação: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura
relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que
ela determina sobre a hipotenusa.
Comprovando: Se ∆AHB~∆ABC, então:
AH BH
h m
=
⇒ = ⇒ h2 = m ⋅ n
HC AH
n h
Exemplo 8 – No triângulo retângulo abaixo determine a medida h da
altura relativa à hipotenusa.
FIGURA 57
Figura do exemplo 8: calcular h a
partir das dimensões dadas.
38
h2 = m ⋅ n
h 2 = 2 ⋅ 6 = 12
h = 12
4ª Relação (Teorema de Pitágoras): Num triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.
Comprovando: Da primeira relação sabemos que b² = a ⋅ n e c² = a ⋅ m .
Adicionando membro a membro as igualdades, temos:
b 2 + c 2 = an + am ⇒ b 2 + c 2 = a(n + m) ⇒ b 2 + c 2 = a 2
ou
a = b2 + c 2
2
Exemplo 9 – Qual a medida da diagonal do retângulo representado
abaixo?
FIGURA 58
Figura do exemplo 9: calcular a diagonal deste
retângulo a partir das dimensões dadas.
( Diagonal ) 2 = 16 2 + 12 2
( Diagonal ) 2 = 256 + 144
( Diagonal ) 2 = 400
Diagonal = 400 = 20
Exemplo: Deseja-se construir uma ponte, em linha reta, que ligue os
pontos A e B das margens opostas de um lago. Para descobrir qual deve
ser o comprimento da ponte, uma pessoa finca uma estaca no ponto C, de
39
forma que ângulo B meça 90°, e mede as distâncias AC e BC,
encontrando, respectivamente, 250 m e 150 m. Qual o comprimento da
ponte a ser construída?
FIGURA 59
Figura do exemplo da ponte sobre um lago: calcular
o tamanho da ponte AB sobre o lago ilustrado nesta
figura.
Exercício proposto
1- Aplicando as relações métricas, calcule as medidas desconhecidas.
a)
FIGURA 60
Figura do exercício proposto 1a:
calcular m a partir das dimensões
dadas nesta figura.
40
b)
FIGURA 61
Figura do exercício proposto 1b: calcular a a
partir das dimensões dadas nesta figura.
2) Num triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a
hipotenusa medem, respectivamente, x cm e (x+ 2) cm. Calcule a medida
da hipotenusa sabendo que a altura a ela relativa mede
3 cm .
3) Calcule as medidas desconhecidas na figura
FIGURA 62
Figura do exercício proposto 3: calcular h, n e m.
4) Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina
sobre esta dois segmentos que medem 9,6 cm e 5,4 cm, respectivamente.
Qual o perímetro desse triângulo?
5) Qual a medida da diagonal de um quadrado de 8 cm de lado?
6) Qual a medida da altura de um triângulo eqüilátero de
5 de lado.
7) Qual a medida do lado de um triângulo eqüilátero cuja altura mede
3
cm?
2
41
8) A diagonal de um quadrado mede 10 2 cm. Qual o perímetro desse
quadrado?
9) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm perímetros iguais. Se a
diagonal do quadrado mede 3 2 cm, quanto mede a altura do triângulo?
10) O perímetro de um retângulo é 18 cm e a medida de sua diagonal é
3 5 . Quais são as dimensões desse retângulo?
Relações Métricas no triângulo qualquer
FIGURA 63
Um triângulo não retângulo subdividido em dois triângulos
retângulos através da linha que representa a sua altura,
tendo como base a hipotenusa.
Na figura abaixo, Â é um ângulo agudo e “a” é a medida do lado oposto
a esse ângulo.
Provando:
b2 = m2 + h2 ⇒ h2 = b2 − m2
a2 = n2 + h2 ⇒ h2 = a2 − n2
Então : a 2 − n 2 = b 2 − m 2
Mas m + n = c ⇒ n = c − m
Logo : a 2 = b 2 − m 2 + (c − m) 2
a 2 = b 2 − m 2 + c 2 − 2cm + m 2
Finalmente : a 2 = b 2 + c 2 − 2cm
42
Vamos agora analisar as relações métrica em um triângulo obtuso. Na
figura abaixo, Â é um ângulo obtuso e “a” é a medida do lado oposto a
esse ângulo.
Temos:
FIGURA 64
Triângulo obtuso.
Temos : a 2 = b 2 + c 2 + 2mc
Provando:
b2 = m2 + h2 ⇒ h2 = b2 − m2
a 2 = n2 + h2 ⇒ h2 = a 2 − n2
Então : a 2 − n 2 = b 2 − m 2
Mas n = m + c
Logo : a 2 = b 2 − m 2 + (m + c) 2
a 2 = b 2 − m 2 + c 2 + 2cm + m 2
Finalmente : a 2 = b 2 + c 2 + 2cm
Exemplo 10: Calcule as medidas desconhecidas em cada triângulo:
43
a)
FIGURA 65
Figura do exemplo 10a: calcular c a partir das
dimensões dadas nesta figura.
c 2 = a 2 + b 2 − 2am
c 2 = 10 2 + (6 2 ) 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 6
c 2 = 100 + 72 − 120 = 52
c = 52
b)
FIGURA 66
Figura do exemplo 10b: calcular a a partir das
dimensões dadas nesta figura.
a2 = b2 + c2 + 2 ⋅ b ⋅ m
a 2 = 6 2 + 32 − 2 ⋅ 6 ⋅
3
= 63
2
a = 63
44
Exercícios propostos
1-Calcule as medidas desconhecidas em cada triângulo
a)
FIGURA 67
Figura do exercício proposto 1a: calcular n.
b)
FIGURA 68
Figura do exercício proposto 1b: calcular m.
c)
FIGURA 69
Figura do exercício proposto 1c: calcular b.
45
d)
FIGURA 70
Figura do exercício proposto 1d: calcular b.
2- Os lados de um triângulo medem AB = 9 cm, BC =
34 cm e AC =
5 cm. Calcule a altura desse triângulo relativa ao lado AB.
3- Um triângulo ABC, tem-se AB = 15 cm. BC =
199 cm e AC = 8 cm.
Calcule a altura desse triângulo relativa ao lado AB.
4- Dado o triângulo ABC, com AB = 15 cm, BC = 14 cm e AC = 13 cm,
calcule a distância do vértice C ao pé da altura relativa ao lado BC.
5- A base de um triângulo tem 11 m e os outros dois lados, 20 m e 13
m. Calcule a projeção do maior lado sobre a base.
6- Os lados de um triângulo ABC têm por medidas AB =15 dm, BC = 7
dm e AC = 12 dm. Calcule a projeção de BC sobre AC.
Superfície e volume
Da cinemática temos uma propriedade: “No gráfico da velocidade
escalar em função do tempo, a área A da região delimitada pela curva e
pelo eixo das abcissas é numericamente igual à variação de espaço (∆s)
do móvel nesse intervalo de tempo” . Da hidrostática temos um teorema:
Um corpo imerso, parcial ou totalmente, num fluido em equilíbrio sofre a
ação de uma força cuja intensidade é igual a do peso do volume de fluído
deslocado, que é igual ao volume do corpo submerso.
Transcrevemos uma propriedade e um teorema bem conhecidos na
física, valiosíssimos para o entendimento de determinados assuntos ou
46
para a resolução de algumas questões. Porém perguntamos: poderíamos
resolver algum problema de cinemática utilizando a propriedade citada se
não dominarmos bem o cálculo de áreas de figuras geométricas?
Poderíamos calcular a intensidade da força exercida pelo fluido sobre um
corpo se não soubermos calcular o volume do corpo?
Neste tópico trataremos do cálculo da área de figuras geométricas
planas e do cálculo do volume de sólidos, dados muitas vezes decisivos
para as resposta de problemas em física.
Área dos principais polígonos
A reunião de um polígono com o seu interior é chamado superfície do
polígono. Quando medimos a superfície de um polígono, vamos encontrar
um número real positivo que denominamos área da região delimitada pelo
polígono.
A unidade quadrada é a superfície de um quadrado cujo lado mede 1
unidade.
FIGURA 71
Quadrado de 1 unidade x 1 unidade = 1
unidade², ou seja, um quadrado de área 1, se
a unidade for centímetro (cm), por exemplo,
seria de 1 cm².
A área de um polígono é o número de unidades quadradas contidas
em sua superfície. Observe os exemplos a seguir:
47
FIGURA 72
A área de uma figura em ‘L’ é o número de quadrados que cabem
nessa figura: neste caso são 20 quadrados ou 20 unidades².
FIGURA 73
Área de um triângulo representada por áreas quadradas de um
unidade de lado: o triângulo possui 6 quadrados + 4 metades de
quadrados, ou seja, 6 + 2 = 8 unidades quadradas, ou ainda, 8
unidades².
Quadrado:
FIGURA 74
Quadrado de lado qualquer representado por l, cuja área
pode ser representada por A = l x l = l².
48
Área do quadrado = l 2
Retângulo:
FIGURA 75
Retângulos de lados h e b, cuja área é A = b x h.
Área do retângulo = b ⋅ h
Triângulo:
FIGURA 76
Triângulo de base b e altura h, cuja área é A = (b x
h)/2.
Área do triângulo =
b⋅h
2
Paralelogramo:
FIGURA 77
49
Paralelogramo de base b e altura h, cuja área é A = b
x h.
Área do parale log rama = b ⋅ h
Losango:
FIGURA 78
Losângulo de diagonais d e D, cuja área é A = (d x
D)/2.
Área do losango =
d ⋅D
2
Trapézio:
FIGURA 79
Trapézio de base, ou lado maior, B, lado menor b e
altura h, cuja área é A = (b x B)/2h.
Área do trapézio =
(b + B)
⋅h
2
Círculo:
50
FIGURA 80
Círculo de raio R, cuja área é A = πR².
Área do círculo = πR 2
Exercícios propostos
1- Nas figuras abaixo, calcular as áreas das partes coloridas (supondose que os dados numéricos estejam em cm).
a)
FIGURA 81
Figura do exercício proposto 1a.
b)
FIGURA 82
Figura do exercício proposto 1b.
51
c)
FIGURA 83
Figura do exercício proposto 1c.
d)
FIGURA 84
Figura do exercício proposto 1d.
e)
FIGURA 85
Figura do exercício proposto 1e.
52
Áreas de figuras planas
f)
FIGURA 86
Figura do exercício proposto 1f.
g)
FIGURA 87
Figura do exercício proposto 1g.
h)
FIGURA 88
Figura do exercício proposto 1h.
53
i)
FIGURA 89
Figura do exercício proposto 1i.
j)
FIGURA 90
Figura do exercício proposto 1j.
2- Calcular as áreas das seguintes figuras planas:
a) Quadrado de lado igual a 8 cm.
b) Retângulo de dimensões 6 e 10 cm.
c) Triângulo de base 8 cm e altura 3 cm.
d) Paralelogramo de base 12 cm e altura 4 cm.
e) Losango de diagonais 3 e 4 dm.
f) Trapézio de bases 4 e 6 cm e altura 3 cm.
h) Círculo de raio igual a 4 cm.
i) Quadrado de perímetro igual a 20 dm.
54
j) Retângulo de perímetro igual a 20 cm e altura 4 cm.
1) Triângulo de base 12 cm e altura igual à terça parte da base.
m) Quadrado inscrito numa circunferência de raio 10 cm.
n) Losango de lado 13 cm e cuja diagonal menor mede 10 cm.
o) Losango de perímetro igual a 20 cm e cuja diagonal maior mede 8
cm.
Volume de Sólidos
Prisma:
FIGURA 91
Prisma de altura h e bases ABCDE, no plano inferior α, e
A’B’C’D’E’, no plano superior β, alinhado com o eixo r.
Elementos do prisma:
Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são as bases.
Os lados AB, BC, CD, DE, EA, AB, BC, CD, DE, EA das bases, são as
arestas das bases.
55
Os paralelogramos AA’BB’, BB’CC’,CC’DD’,DD’EE’,EE’AA’ são as
faces laterais.
A área total de um prisma é a soma da área lateral com as áreas das bases :
ST = S L + 2 ⋅ S B
O volume de um prisma é obtido pelo produto da área da base e a medida
da altura do prisma :
V = SB ⋅ h
Os segmentos AA’, BB’,CC’,DD’,EE’, paralelos a r são as arestas laterais.
A distância entre o plano α e o plano β, é a altura.
Pirâmide:
FIGURA 92
Pirâmide de altura h, base ABCDE e vértice em V.
Elementos da pirâmide:
O ponto V é o vértice
O polígono ABCDE é a base DE, EA das bases, são as arestas das
bases.
Os lados AB, BC, CD, DE, EA da base são as arestas da base.
Os triângulos AVB, BVC, CVD, DVE, EVA são as faces laterais.
Os segmentos AV, BV, CV, DV, e EV são as arestas laterais.
A distância entre o vértice e o plano da base é a altura (h)
56
A área total de uma pirâmide é a soma da área lateral com as áreas das bases :
ST = S L + S B
O volume de uma pirâmide é obtido pelo produto da área da base e a medida
da altura da pirâmide dividido por três :
V=
SB ⋅ h
3
Cilindro:
FIGURA 93
Cilindro inclinado, em relação aos planos a e b, de altura h
alinhado com o eixo t.
Elementos do cilindro:
Os círculos de centro O e O’ e raio r são as bases
Os segmentos paralelos a t com extremos nas circunferências das
bases são as geratrizes.
A distância entre α e β, planos das bases, é a altura(h).
Cone:
57
FIGURA 94
Cone inclinado de altura h, raio da base r e vértice V.
Elementos do cone:
O ponto é o vértice
O círculo de centro O e raio r é a base.
Os segmentos com uma extremidade na circunferência da base e a
outra no ponto V são as geratrizes (g).
A distância entre o vértice e o plano da base é a altura(h).
A área total de um cone é obtida por meio da expressão :
ST = π ⋅ r ⋅ g
O volume de um cone é obtido por meio da expressão :
V=
SB ⋅ h π ⋅ r 2 ⋅ h
=
3
3
A reta que passa por O e V é o eixo.
Esfera:
FIGURA 95
Esfera de raio R, apresentando um
hemisfério inferior pintado, um superior
não pintado.
58
A área total de uma esfera é obtida por meio da expressão :
ST = 4 ⋅ πR 2
O volume de uma esfera é obtido por meio da expressão :
V=
4π ⋅ r 3
3
Exercícios propostos
1- Qual é a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um
prisma reto de altura igual a 8 cm e cuja base é um triângulo retângulo de
catetos 3 cm e 4 cm?
2- A altura de um prisma triangular regular é igual a 10 cm. Calcule a
área lateral, a área total e o volume desse prisma sabendo-se que o
perímetro da base é igual a 18 cm.
3- Calcule a área total e o volume de um prisma regular hexagonal de
altura igual a 6
3 cm e perímetro da base igual a 24 cm.
4- Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo
retangular de dimensões 2 cm, 4 cm e 6 cm.
5- Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo de aresta
igual a 4 cm.
6- A base de um paralelepípedo reto-retângulo é um quadrado de área
16 cm². Calcule a diagonal, a área total e o volume desse paralelepípedo
sabendo-se que sua altura é igual a 6 cm.
7- Uma pirâmide hexagonal regular tem a área da base igual a 12 m² e
altura 10 m. Calcule o seu volume.
8 - Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular que tem uma
aresta da base igual a 6 cm e altura igual a 8 cm.
9- Numa pirâmide quadrangular regular, as arestas da base medem 10
cm e a altura 12 cm. Calcule o apótema da base e o apótema da pirâmide.
Determine a área total e o volume de um cilindro reto de altura 3 m e
diâmetro da base 2 m.
59
10- Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de
um cilindro equilátero (h = 2r) cujo raio da base é igual a 5 dm.
11- Se a área da base de um cilindro reto é AB = 50, 26 cm², calcule o
raio da base desse cilindro.
12- Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de
um cone reto de altura 12 cm e o raio da base 5 cm.
13- Determine a área total e o volume de um cone reto de geratriz igual
a 15 m e altura igual a 9 m.
14- Determine o volume de um cone equilátero cuja geratriz mede 8
cm.
15- Calcule o volume de uma esfera de raio 2 cm.
16- Determine o volume e a área de uma superfície esférica cujo raio
da esfera mede 3 m.
17- A área de uma superfície esférica mede 314 cm2. Quanto mede o
volume dessa esfera?
18- Calcule a área de uma secção plana feita a 8 cm do centro de uma
esfera de raio 10 cm.
Tópico de geometria analítica: distância entre pontos
A geometria analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a
álgebra à geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas,
associando-as a um sistema de coordenadas. Desse modo as figuras
podem ser representadas através de pares ordenados, equações ou
inequações. Consideremos no eixo Ox dois pontos A e B com abcissas 3 e
7, respectivamente:
60
FIGURA 96
Segmento de reta na horizontal AB sobre o eixo x com 4
unidades (u) de distância entre A (3 em relação à
origem) e B (7 em relação à origem).
Quatro unidades u separam os pontos A e B. Por isso dizemos que a
distância entre A e B é 4 ou que o comprimento do segmento AB é 4. Essa
distância pode ser calculada como o módulo da diferença entre as
abscissas de A e B, isto é, |7 — 3| ou |3 — 7|. Analogamente, para pontos
que pertencerem ao eixo Oy:
FIGURA 97
Segmento de reta na vertical CD sobre o
eixo y com 5 unidades de distância entre
C (-2 em relação à origem) e D (3 em
relação à origem).
A distância entre C e D é |3 - (-2)| = 5 ou|-2 - 3| = 5. O teorema a seguir
generaliza o conceito de distância entre dois pontos quaisquer do plano
cartesiano, não necessariamente pertencentes a um dos eixos.
Teorema: A distância dAB entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, y g) é dada
por:
d AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
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A distância dAB é também denominada comprimento do segmento AB e
pode ser indicada simplesmente por AB.
Demonstração: o segmento AB não é paralelo dos eixos coordenados.
FIGURA 98
Segmento AB não paralelo aos eixos cartesianos x e y.
Neste caso a distância entre A e B é medida pelo teorema
de Pitágoras para o triângulo retângulo ABC.
O triângulo ABC, com A(xA, yA), B(xB, yB) e retângulo em C. AC é
paralelo ao eixo Ox. Assim, o comprimento AC é igual ao comprimento da
projeção ortogonal de AC sobre o eixo Ox, ou seja, AC = |xb — xa.|
Analogamente, CB é paralelo ao eixo Oy; logo CB = | y B − y A | . Pelo
teorema de Pitágoras:
( AB) 2 = ( AC ) 2 + (CB ) 2 ⇒ ( AB) 2 =| x B − x A | 2 + | y B − y A | 2
( AB) 2 = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
AB = ± ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Como o comprimento de um segmento não pode ser negativo, temos que
AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Exercícios propostos
1- Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos:
a) A(2, 3) e B(2, 5)
d) A(6, 3) e B(2, 7)
b) A(2, 1) e B(-2, 4)
e) A(4, 3) e B(0, 0)
62
c) A(0, 6) e B(l, 5) f) A(-l, -1) e B(l, 1)
2 - Determine a distância do ponto A(-6, 8) à origem do sistema
cartesiano.
3 - Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 4) e C(3,
3).
4 - Calcule o perímetro do quadrilátero de vértices A(3, 2), B(4, 3), C(-3,
5) e D(-l, 3).
5- A distância entre os pontos A(-l, 5), B(0, y)
5 . Determine a
ordenada do ponto B.
Problemas resolvidos
1- Um prédio projeta uma sombra de 15 metros no mesmo instante em
que uma árvore de 6 metros de altura projeta uma sombra de 2 metros.
Qual a altura do prédio?
FIGURA 99
Figura do problema resolvido 1 – determinação da altura de um
prédio através do tamanho de sua sobra e da altura e da sombra
conhecidas de uma árvore ao lado desse prédio.
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Altura do prédio Sombra do prédio
=
Altura da árvore Sombra da árvore
Altura do prédio 15 m
=
6m
2m
6 ⋅ 15
2
Altura do prédio = 45 m
Altura do prédio =
2- Um pedaço de arame de 24 cm de comprimento foi dobrado na
forma de um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é 10 cm.
Quais as medidas dos catetos desse triângulo?
Chamando a hipotenusa de z, um cateto de y e o outro de x, temos:
x + y + z = 24
x + y + 10 = 24
x + y = 14
Porém, a partir do teorema de Pitágoras temos:
x² + y² = z²
x² + y² = 10²
x² + y² = 100
Podemos então formar o sistema:
64
 x + y = 14
 2
2
 x + y = 100
y = 14 − x
x 2 + (14 − x) 2 = 100
x 2 + 196 − 28 x + x 2 = 100
2 x 2 − 28 x + 96 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, descobrimo s :
x' = 6
x' ' = 8
Considerando x = 6, temos.
y = 14 − 6 = 8
Logo, os catetos medem 6 cm e 8 cm.
3- Na figura temos a planta de uma sala. Qual a área dessa sala? (Dois
segmentos que se tocam formam sempre ângulos retos.)
FIGURA 100
Figura do exercício proposto 3 – determinação da área
desta figura.
Resolução:
Se tomarmos um retângulo maior conforme abaixo, podemos calcular a
área desse retângulo facilmente e apenas retirar a área que não pertence
à sala:
65
FIGURA 101
Solução do exercício proposto 3 – determinação da
área desta figura através de um retângulo que abarque
os extremos da figura plana e dos descontos com os
pequenos retângulos que não preencherem o maior.
Área do retângulo maior = (7 + 4) × (8) = 88
Área de um dos retângulos que nao pertence à sala = 4 × 3 = 12
Área do outro retângulo que nao pertence à sala = 1 × 3 = 3
Área da sala = 88 − 12 − 3 = 73
A área da sala mede 73m 2
Área do retângulo maior = (7 + 4) × (8) = 88
Área de um dos retângulos que nao pertence à sala = 4 × 3 = 12
Área do outro retângulo que nao pertence à sala = 1 × 3 = 3
Área da sala = 88 − 12 − 3 = 73
A área da sala mede 73m 2
6– Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um
retângulo de lados 0,5 m e 1,2 m. Uma pedra, ao afundar completamente
no tanque, faz o nível da água subir 0,01 m. Calcule o volume da pedra,
em decímetros cúbicos.
Cálculo da área da base :
Ab = 0,5 × 1,2 = 0,6m 2
Como o volume da pedra é igual ao volume de água deslocado, achamos o volume
da pedra multiplicando a área da base pela a elevação do nível da água(h) :
Volume da pedra = Ab × h = 0,6 × 0,01 = 0,006m 3 = 6dm 3
7– Um produto é embalado em recipiente com formato de cilindros
retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B te
66
altura 10 cm e raio da base 10 cm. Em qual das duas embalagens se
gasta menos material?
Para determinarmos qual gasta mais material devemos calcular a área de
cada cilindro, o que tiver maior área, obviamente gastará mais material.
Calculando a área do cilindro A :
AA = Ab + Al = πr 2 + 2πr × h = 3,14 ⋅ 5 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 × 20 = 78,5 + 628 = 706,5cm 2
AB = Ab + Al = πr 2 + 2πr × h = 3,14 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 × 10 = 314 + 314 = 628cm 2
Concluímos que o cilindro A gasta mais material.
Problemas Propostos
1 -Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B,conforme a
figura abaixo. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a
medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo-se que a frente total
para essa rua é de 180 m?
FIGURA 102
Figura do problema proposto 1 – três terrenos
trapezoidais entre as ruas A e B.
2 - Para medir a largura de um lago, foram tomadas algumas medidas
que resultaram no modelo matemático da figura. Qual a largura do lago?
67
FIGURA 103
Figura o problema proposto 2 – medida da largura de um
lago através das distâncias aos pontos apresentados nesta
figura.
3 - Um poste de 5 metros de altura dista 27 m de um prédio conforme
mostra a figura. Desejando-se calcular a altura do prédio, observou-se que
o poste projetava no solo uma sombra de 3 m de comprimento. Calcule a
altura do prédio.
FIGURA 104
Figura do problema proposto 3 - cálculo da altura de um prédio
através de medidas da sombra do prédio e de um poste.
4 - Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual
seu pé desta 7 dm. Se o pé da escada for afastado mais 8 dm do muro,
qual o deslocamento verificado na extremidade superior da escada?
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5 - Quantos metros de fio serão necessários para ligar o ponto A, que
fica na ponta de um poste de 9 m de altura, com o ponto B, situado a 3 m
de altura em uma caixa de luz que dista 8 m do poste?
FIGURA 105
Figura do problema proposto 5 – fio ligando a
ponta do poste A com a caixa de luz B.
14 – Numa cozinha de 3m de comprimento, 2 m de largura e 2,80 m de
altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4 m². Para colocar
azulejos as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais
da metragem a ladrilhar. Quanto é a metragem de ladrilhos a comprar?
15 – A área da superfície da terra é estimada em 510.000.000 km². Por
outro lado, estima-se que, se todo vapor de água da atmosfera terrestre
fosse condensado, o volume de líquido resultante seria 13.0000 km².
Imaginando que toda essa água fosse colocada no interior de um
paralelepípedo retângulo, cuja área da base fosse a mesma da superfície
da terra, qual a altura que o nível da água alcançaria?
16 – Uma lata, cuja capacidade é igual a 300 ml, contém água e 60
bolas de gude iguais e perfeitamente esféricas com diâmetro de 2 cm
cada. Sabendo que a lata está completamente cheia, determine o volume
de água, em ml.
17- Utilizando-se uma torneira cuja vazão é de 10 litros por minuto,
qual o tempo necessário para encher completamente um reservatório
cilíndrico de 70 cm de altura e 2 m de diâmetro?
18– Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma
exposição. Se, para o revestimento total do piso, utilizaram-se 78,5m² de
lona, quantos metros quadrados de lona se utilizariam na cobertura completa
do galpão?
69
Aplicações na física
1- Um raio de luz incide em um espelho plano, formando um ângulo de
40° com o espelho, como indica a figura.
FIGURA 106
Raio de luz incidindo em um espelho plano com um ângulo de
40º.
Determine:
a) o ângulo de incidência;
b) o ângulo de reflexão;
c) o ângulo formado entre o raio refletido e o espelho;
d) o ângulo formado entre o raio incidente e o raio refletido.
(Dica: Lembre que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de
reflexão)
2- Na figura, E representa um espelho plano perpendicular ao plano da
figura. Um raio de luz passa pelo ponto A, atinge o espelho em P, refletese e passa pelo ponto B. (Dica: Use semelhança de triângulos)
FIGURA 107
70
Um raio de luz A incide sobre um espelho plano, no ponto P, e
é refletido como um raio B.
a) Calcule a distância x assinalada na figura.
b) Determine o ângulo formado entre o raio incidente e o espelho.
3- A figura abaixo representa dois espelhos planos, E1 e E 2 , perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano da figura. Um raio de luz x,
contido no plano da figura, incide no espelho E1 , formando com este um
ângulo θ, tal que 0 < θ < 90°. O raio x é refletido, formando-se o raio y, o
qual, por sua vez, é refletido em E 2 , formando-se o raio z. Mostre que x e z
são paralelos. (Dica: Lembre que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180º e prove que são paralelos mostrando que os raios formam
o mesmo ângulo com a horizontal)
FIGURA 108
Um raio de luz x incide sobre um espelho plano E1,
na vertical, é refletido como raio y que atinge o
espelho plano E2, na horizontal, e é novamente
refletido como z na mesma direção original de x,
mas em sentido contrário.
4 - Um edifício projeta no solo uma sombra de 30 metros. No mesmo
instante, um observador toma uma haste vertical de 0,70 m e nota que sua
sombra mede 0,50 m. Qual a altura do edifício?
71
FIGURA 109
Determinação da altura de um edifício pela sombra do
mesmo e pelas dimensões de altura de sombra de uma
haste vertical ficada no chão.
5- Um objeto linear está situado a 20 cm de uma câmara escura de
orifício, de comprimento 30 cm. Sabendo que a altura da imagem
projetada é de 6,0 cm, determine a altura do objeto.
FIGURA 120
Triângulos formados pelos raios de luz que saem da cabeça e da calda
de uma seta, entram numa câmara escura atingindo o fundo da câmera
formando uma imagem inversa, de cabeça para baixo.
6 - O movimento de um ponto material é variável e sua aceleração
escalar em função do tempo está representada no diagrama abaixo
72
FIGURA 121
Gráfico da variação da aceleração no tempo.
A velocidade escalar inicial (t = 0) do móvel era v0 = 20 m/s.
Determine a variação da velocidade escalar no intervalo de tempo
[0;15 s] (Dica: lembre que a variação de velocidade é numericamente igual
à área abaixo do gráfico);
7 - Calcule a variação de espaço entre os instantes t, = 2,0 s e t2 = 5,0
s do móvel cuja velocidade escalar é dada no gráfico horário abaixo. (Dica:
lembre que a variação de espaço é numericamente igual à área abaixo do
gráfico.
FIGURA 122
Gráfico do comportamento da velocidade com o tempo
entre os instantes de 0 a 5,0 s.
8- Um corpo sólido cilíndrico, cujo raio da base é 2,0 cm e cuja altura é
5,0 cm, está totalmente imerso num fluido de densidade 2,0g/cm³. Sendo a
aceleração da gravidade g = 10 m/s², determine a intensidade do empuxo
com que o fluido age sobre ele. (Dica: lembre que o volume de fluido
deslocado é igual a do corpo submerso e que calculamos o empuxo
através da fórmula E = d f ⋅ Vf ⋅ g , onde E é o empuxo, d f é densidade do
fluido, V f é o volume do fluido deslocado e g é a gravidade).
73
9- Um cubo de aresta 2,0 cm está totalmente imerso num fluido de
densidade 0,80 g/cm3. Determine a intensidade do empuxo que o fluido
exerce no cubo. Adote g = 10 m/s²
10– Uma esfera de raio 0,50 m e densidade 5,0 x 102 kg/m3 está
totalmente imersa num líquido de densidade 2,0 x 103 kg/m3. Sendo a
aceleração da gravidade g = 10 m/s2, determine a intensidade do empuxo
com que o líquido age sobre o corpo.
74
Resumo
Um objeto em dimensionalidade zero (D=0) não tem comprimento,
largura nem altura, e muitas vezes o representamos um pequeno circulo
um “x”, um “+”.
Um objeto de dimensionalidade um (D=1) tem apenas comprimento.
Pode ser representado por uma reta, por exemplo. Num sistema de
coordenadas cartesiano de dimensão 1, precisa apenas de uma
coordenada para localizar um ponto. Por exemplo, para encontrar uma
casa numa rua, você só precisa saber qual é o número.
Um objeto de dimensionalidade dois (D=2) tem comprimento e largura.
Podemos dizer que todas as figuras desenhadas sobre uma folha de papel
são bidimensionais. O mapa de uma cidade é bidimensional. Para se
localizar um ponto num plano bidimensional precisamos de dois números,
por exemplo, para localizar um ponto sobre a Terra precisamos apenas de
dois números: longitude e latitude.
Um objeto de dimensionalidade três (D=3) tem comprimento, largura e
altura, é a dimensão de nossa existência. Para localizarmos um ponto num
espaço tridimensional precisamos de três coordenadas. Por exemplo, para
se encontrar uma pessoa que mora em um edifício numa determinada rua
você precisa do número do edifício, do andar e do número do
apartamento.
Duas retas podem estar num mesmo plano (retas coplanares) ou não
(retas reversas). No caso de duas retas coplanares, elas podem ter um
ponto em comum (retas concorrentes) nenhum ponto em comum (retas
paralelas), ou todos os pontos em comum (retas coincidentes).
Duas retas são ditas perpendiculares se forem concorrentes e
formarem quatro ângulos retos.
75
Em relação à um plano, uma reta pode estar totalmente contida num
plano, pode ter apenas um ponto no plano, ou não conter nenhum ponto
no plano (reta paralela ao plano).
Uma reta é perpendicular à um plano se ela tocar o plano em apenas
um ponto, e todas as retas que passarem por esse ponto forem
perpendiculares à ela.
Dois planos tem três posições relativas entre eles: Paralelos, não têm
nenhum plano em comum; Secantes, case se cruzem, tendo apenas uma
reta em comum; e Coincidentes se todos os pontos forem comuns aos
dois planos.
Dois planos são ditos perpendiculares se forem secantes e formarem
quatro ângulos congruentes.
Angulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem e
determina dois setores angulares, um convexo e outro não.
Ângulo de duas retas é o menor ângulo formado por elas.
Uma das medidas mais freqüentes para se quantificar ângulos é o
grau. 1 grau, que pode ser representado como 1º, equivale a 1/90 parte de
um ângulo reto.
Um ângulo é reto se sua medida for de 90º.
Um ângulo é agudo se sua medida for menor que 90º.
Um ângulo é obtuso se sua medida for maior que 90º.
Dois ângulos são complementares se a sua soma resultar em 90º.
Dois ângulos são suplementares se a sua soma resultar em 180º.
Dois ângulos são adjacentes se possuírem um vértice e um lado em
comum.
Bissetriz é a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos de
mesma medida.
76
Ângulo central de uma circuferência: É o ângulo cujo vértice está no
centro da circunferência, e cujos os lados são os raios dessa
circunferência.
Quatro segmentos AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são chamados
proporcionais quando suas medidas tomadas na mesma unidade formam
uma proporção:
AB EF
=
CD GH
Temos um feixe de retas paralelas quando temos três ou mais retas
paralelas e coplanares entre si.
O teorema de Tales diz que os segmentos que um feixe de retas
paralelas determina ao cortar duas retas transversais são proporcionais.
O teorema da bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado
oposto segmentos proporcionais aos lados pertencentes ao ângulo
considerado.
Dois ângulos são semelhantes se os ângulos de um forem iguais aos
ângulos do outro.
Triangulo retângulo é todo triangulo que tem um ângulo reto.
As quatro relações métricas de um triangulo retângulo são:
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual
ao produto das medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a
hipotenusa.
Num triângulo retângulo o produto da medida da hipotenusa pela
medida da altura relativa a ela é igual ao produto das medidas dos catetos.
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela
determina sobre a hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
77
A unidade quadrada é a superfície de um quadrado cujo lado mede 1
unidade.
A área de um quadrado é o seu lado elevado ao quadrado.
A área de um retângulo é o produto da base pela altura.
A área de um triangulo é a metade do produto da base pela sua altura.
A área de um paralelogramo é o produto da base pela altura.
A área de um losango é a metade do produto das suas diagonais.
A área de um trapézio é a metade do produto da altura pela soma das
bases superiores e inferiores.
A área do círculo é o produto do raio ao quadrado pelo número pi ,
onde π ≅ 3,14159265... .
Prisma é um corpo com duas bases poligonais e paralelogramos por
lados.
A área total de um prisma é a soma da área lateral com as áreas das
bases.
O volume de um prisma é obtido pelo produto da área da base e a
medida da altura do prisma.
Esfera é a figura geométrica tridimensional com a propriedade de que
todos os pontos de sua superfície sejam eqüidistantes de um ponto fixo
chamado centro.
A área de uma esfera o produto de quatro por π pelo quadrado do
raio.
O volume de uma esfera é o produto de quatro terços por π e pelo
cubo do raio.
Geometria analítica é a geometria que se submete a um tratamento
analítico valendo-se de sistemas de coordenadas.
78
Dados dois pontos X = ( x A , x B ) e Y = ( y A , y B ) , a distância d AB entre
eles é dada pela equação
d AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 .
79
Auto-avaliação
Uma reta é formada por infinitos pontos. Podemos dizer que um objeto
de uma dimensão pode ser formado por infinitos objetos de dimensão
zero?
Suponha que tenhamos uma circunferência desenhada numa folha de
papel e coloquemos a ponta do lápis dentro dela. Seria possível você
retirar a ponta do lápis de dentro da circunferência sem tirar o lápis do
papel e sem tocar a circunferência? Sabemos que não, sabemos que a
única maneira de se tirar a ponta do lápis de dentro da circunferência sem
toca-la é pulando a circunferência, em outras palavras, usando uma
dimensão a mais, pois no momento que você retira a ponta do lápis do
papel, você está saindo de um plano bidimensional utilizando um espaço
tridimensional. Usando o mesmo artifício, suponhamos que agora você
estivesse dentro de uma esfera, como você sairia de dentro dela sem
atravessar suas paredes?
Podemos ter três retas perpendiculares entre si? E quatro?
Podemos ter três planos perpendiculares entre si? E quatro?
Podemos definir duas retas coincidentes como duas retas que formam
um ângulo de 0º entre elas?
De que forma poderíamos ter dois ângulos adjacentes com dois lados
em comum?
Sabemos que
10
= 3.33333... , ou seja, uma dízima periódica. Significa
3
que teríamos dificuldade em dividir uma reta de 10 cm em três partes
iguais usando uma régua milimetrada. Como podemos usar o teorema de
Tales para resolver esse problema?
Como poderíamos utilizar da semelhança entre triângulos para medir
altura de edifícios?
80
Quantos ângulos obtuso podemos ter, no máximo, num triangulo? E
quantos ângulos agudos? E quantos ângulos retos?
Observando a semelhança entre a fórmula utilizada para medir a área
de uma pirâmide e de um cone, podemos considerar que um cone é uma
pirâmide cuja base é formada por um polígono de infinitos lados, e todos
os lados com valores tão pequenos quanto se possa imaginar?
Suponha que você tem uma espera e um cubo de mesmo volumes.
Qual dos dois tem menos área superficial?
De que forma poderíamos medir a distância entre dois pontos no
espaço tridimensional?
81