Lista de exercícios para serem entregues no dia 22 de Janeiro de 2016.
1)
Dadas as matrizes A  [ a ij ] 2 x 2 tal que aij  i j e B  [bij ]2 x 2 tal que bij  j i , determine:
a) a11  b11
2)
c) a21.b21
As meninas Amanda (1); Bianca (2) e Clara (3) falam muito ao telefone entre si. A matriz M mostra
cada elemento aij representando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro:
0
3)
b) a22 .(b11  b22 )
13 10
M  18
0
9
12
6 . Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações?
0
Uma matriz A é do tipo 3 x 5, outra matriz B é do tipo 5 x 2 e a matriz C é do tipo
m x 4. Qual o valor de m para que exista o produto (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶?
 x 3   1 5   4 8 



4 y   8 y  12  6
4)
Determine x e y na igualdade 
5)
Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.
4
5
 7 12 0
1
a)  8 10 2  0
4
6)
3
b)
7
1
0 0
5
1
4
13 0
c) 2
3 5
0 4 0
1 4 2
Calcule os determinantes:
a)
5
4
b)
2
7
1
2
3
d) 5
9
4
0
8
7
g)
1
2
3
4
2
0
0
5
6
0
3
0
1
0
0 4
2 1 0
i)
e)
0
1
0 1
1
2
4 3
2
0
0
1 1
x
y
y
x
c)
x y
y
x
x y
3 4 2
4
3
2
1 5 1
f) 4
2
3
2 3 4
2
1
0
h)
1
0
2
1
3
4
1
3
2
1
3
1
0
4
3
2
7)
Resolva as equações abaixo :
2 3 2
a) 0
1
2
x
x 2
3
b)
2x
2
3
2
x
x2 3
2
1
0
4
1
3
8)
0 1 / 2  1
3  1/ 2
 1
1
 2 5
1 2 2
2  3
Sejam as matrizes A  
e B
 1 1 2
 1 1
1 
1



 5 1 3 / 2 0 
 5  1 1/ 2
c34 da matriz C  ( A  B) .
9)
 x  1 x  1 x  1


1
2  , encontre o conjunto solução da equação
Sejam dados: a matriz A   x  1
x 1
1
 2 

det( A)  0 .
10)
Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.
1
3
. Determine o elemento
1

5
Sabendo que ela adquiriu a mesma
(≠ 0) de canetas e cadernos, além
número possível de lapiseiras, Qual
quantidade de corretores ela
quantidade
do
maior
a
comprou?
11)
2x( x  1)  y( x  1)  4( x  1)
No sistema mostrado, x e y são números reais: 
.
2
x  y  7
Qual a soma de todos os valores de x que satisfazem a esse sistema?
12)
Lucas quer distribuir entre seus filhos algumas moedas. Se cada um de seus filhos ganhar 4
moedas, sobrarão 5; para cada um ganhar 6 moedas, ficarão faltando 5.
Quantas moedas Lucas quer distribuir?
13)
x  my  z  1
Qual o valor de m para o qual o sistema 2x  y  z  2 não admite?
 x  y  2z  2

14)
Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais,
num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam
iguais. Quantas cédulas de R$5 o comerciante precisará?
15)
Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a
R$12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante
que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais
patos do que marrecos. Quantos patos o comerciante comprou?
16)
Para a realização de um baile, foi veiculada a
propaganda no cartaz. Após a realização do baile,
constatou-se que 480 pessoas pagaram
ingressos, totalizando uma arrecadação de
R$3.380,00. O número de damas e de cavalheiros
que
pagaram
ingresso
nesse
baile,
respectivamente, foi:
17)
Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2
pessoas, num total de 38 fregueses. Qual a quantidade de mesas ocupadas por apenas 2
pessoas?
18)
Monte uma matriz A uma matriz de 2 linhas e 4 colunas de tal forma que seus elementos sejam da
forma 𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 + 𝑗 2 .
19)
Resolva o seguinte sistema linear:
20)
Uma família comprou água mineral em
embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo,
foram comprados 94 L de água, com o custo total
de R$ 65,00.
Veja na tabela os preços da água por
embalagem:
Nessa compra, o número de embalagens de 10
L corresponde ao dobro do número de
embalagens de 20 L. Qual a quantidade de
embalagens de 2 L que foram compradas?
21)
Qual é a condição para que o produto de duas matrizes exista?
22)
Efetue, se existir, os produtos matriciais a seguir:
−5 4
3 −1
]
a) [−1 −3] × [
4 7
1
0
−2 −3
4 −1 3
11 6
b) [5 3
4 ] × [ 15 0 ]
0 2 −9
−3 17
23)
Encontre três soluções distintas para a equação linear 3𝑥 – 5𝑥 + 2𝑧 = 7.
(Dê as soluções sob a forma de matriz linhas).
24)
1

Observe o sistema y  x
. Qual menor valor natural de r para que o sistema apresente
2
2
2
x  y  r

quatro soluções reais?
25)
Observe os quadros I, II e III, anunciados em uma livraria.
a) Considere os quadros I e II. Supondo
que todos os livros A foram vendidos ao
preço regular e todos os livros B foram
vendidos ao preço de oferta, qual a
quantia total arrecadada pela livraria na
venda desses livros?
b) Considere agora o quadro III, que
indica a quantia arrecadada na venda de
certa quantidade dos livros A e B (valores
em reais). Utilizando esses dados e os
apresentados no quadro II, a quantidade
vendida do livro A (ao preço regular,
edição de luxo) e a quantidade vendida do
livro B (ao preço de oferta, edição de
bolso) foram, respectivamente.
a) 100 e 200
b) 45 e 100
c) 50 e 160
d) 40 e 160
26)
Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos
matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado
final o número 1.
i) Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3.
ii) Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1.
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a sequência
dos resultados obtidos: 10; 9; 3; 1. Iniciando-se com X = 43, Quantas vezes os procedimentos são
aplicados?
27)
Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utilizar os procedimentos a
seguir.
i) Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos, e o ano A,
com quatro algarismos.
ii) Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M.
A 1
iii) Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera 4 .
iv) Calcule a soma S = A + N + Y.
v) Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7.
vI
i) Conhecendo X, consulte a tabela:
a) escreva a data de seu nascimento e aplique no algoritmo acima pra determinar o dia que você
nasceu.
b) Que dia da semana refere-se ao dia 16/05/1963?
28)
Sejam as matrizes A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = {
bij = {
2𝑖 + 𝑗 2 , 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
, calcule -A + 2B.
𝑖 − 3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
2(𝑖 + 𝑗), 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
e B = ( bij ) 2 x 2, em que
2𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
29)
Sendo A uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, classifique cada uma das sentenças abaixo como
Verdadeira ou Falsa.
(
)
existe A + B se, e somente se, n = 3 e m = 4;
(
)
existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
(
)
existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
(
)
existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
(
)
existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3
30)
Sejam as matrizes A = (aij)7x4, aij =3i-j2, B = (bij)4x5, bij = 2(i - j), e C = A ∙ B, quanto vale o termo C32?
31)
Calcule o seguinte produto de matrizes:
1
[−1
3
32)
3 4 3 2
1
2 5 7
8 5 2 −4
3 ] × −1 2 −9 12
2 −3 8
7 3 4
5
0 4 11 −4
[ 0 8 −1 −7 ]
Determine a matriz inversa de
2 3
a) 𝐵 = [
].
1 0
1
b) 𝐴 = [ 3
−1
4
−1
0
5
−8].
2
33)
Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir:
34
7
]
a) [
12 −24
3
4
8
b) [ 5 −7 5 ]
−8 11 −3
34)
4
0
−5
−5
c) [
7 −3
14 8
35)
Um batalhão do Exército resolveu codificar suas mensagens por meio de multiplicação de
matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência
abaixo considerada.
01
02
03
04
05
06
07
08
09
A
B
C
D
E
F
G
H
I
0
0
6
1
10
J
0
0]
0
8
11
L
12
M
13
N
14
O
15
P
16
Q
17
R
19
T
20
U
21
V
22
W
23
X
24
Y
25
Z
18
S
Desta forma, supondo-se que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode-
P A 
 e, usando a tabela acima, será transformada em
Z  
se tomar uma matriz 2×2, da forma 
15 1 
2 3 
M
. A seguir, tomando a matriz C  

 como chave de código
25 0 
1 2 
15 1  2
transmite-se a mensagem por meio da multiplicação M C , ou seja, 

25 0  1
de criptografia,
3  31 47 

2  50 75 
e assim envia-se da cadeia 31 – 47 – 50 – 75. Quando a mensagem chega ao receptor. Basta que
 31 47
 pela inversa de C obtendo, assim, a matriz original e,
50 75
ele multiplique a matriz 
consequentemente, a informação descriptografada.
Neste caso, utilizando a mesma matriz-chave C, qual mensagem seria lida quando o batalhão
enviasse a cadeia 51 – 81 – 9 – 14 ?
36)
 5 1 0
1 2 5 




Sendo A   3  3 14 e B   1 1 1 , calcule o Det AB.




 2 13 10
 4
2 7 
37)
 2 


Determine X tal que X – A + B = 0 onde A   3  e B t  2  1 12  .
 4


38)
Associe V ou F às assertivas a seguir quando forem VERDADEIRAS ou FALSAS,
respectivamente. Justifique as falsas no espaço abaixo
I
39)
(
)
II
(
)
III
(
)
IV
(
)
IV
(
)
1
Sendo A  
5
Se A é uma matriz de 3 linhas e 1 coluna e B é uma matriz 1 x 2, existe o
produto AB.
1 
 
Se A   3  e B  1 5 2  existem os produtos AB e BA.
5 
 
Se A é uma matriz 4 x 3 e B é uma matriz 1 x 4, o produto AB será uma
matriz 3 x 1.
Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem 2 em o produto AB será
uma matriz quadrada de ordem 4.
O produto de uma matriz A de 2 linhas e 3 colunas por uma matriz identidade
de ordem 3 gera a própria matriz A
 3 1 


8 7
 e B   4
7  , calcule os produtos indicados quando possível.:
12 3 
 9  2


a) 𝐴 ∙ 𝐵
b) 𝐵 ∙ 𝐴
40)
 7

 1
Calcule o determinante da matriz A  
3

 4

41)
A equação linear a seguir é homogênea. Encontre duas soluções diferentes da trivial.
3x + 5y – 2z = 0
4 

4 0  5
.
2 3 0 

0 1 2 
1 5
42)
x  2 y  z  9

Resolva o sistema 2 x  y  z  3 .
3 x  y  2 z  4

43)
2 x  3 y  z  t  4

y  z  2 t  3 e escreva a resposta em função da incógnita t.
Resolva o sistema 

3z  t  2

44)
2 1 1
 x  y  z  1

1 1 1
Resolva o sistema     0 .
x y z
3 2 1
   4
x y z
45)
Uma empresa deve embalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabese que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo de castanha de caju, R$20,00 e o quilo de
castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos
ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em
cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Determine a quantidade, em gramas,
de cada ingrediente por lata.
46)
3 x  4 y  z  21

Determine o terno ordenado solução do sistema 1x  2 y  2 z  36 .
2 x  y  z  0

47)
Misturam-se dois tipos de leite, Tipo A com 4% de gordura e outro do Tipo B com 3% de gordura
para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de cada tipo de leite
foram misturados?
48)
x  2 y  2 z  5

Determine a para que o sistema 2 x  3 y  z  9 tenha solução única.
3 x  y  az  8

49)
Qual ponto de abscissa igual a zero e ordenada negativa que está à
distância 68 do ponto A(-2, -1)?
50)
Mostre que o triângulo de vértices A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo.
51)
Dados os pontos A(-3. 2) e D(12, -4),
a) determine as coordenadas dos pontos B e C que dividem o segmento AD em três partes iguais.
b) Qual a distância entre A e B? E entre D e B?
52)
Dados os pontos A(8, 11), B(-4, -5) e C(-6, 9), encontre as coordenadas do ponto P equidistante de
A, B e C (dAP = dBP = dCP).
53)
Considere os pontos A(-6, 8), B(-7, 1), C(3, 9), D(7, -5), E(12, -9) e F(1, -10). Determine o ponto do
eixo das abscissas que está alinhado com os baricentros dos triângulos ABC e DEF.
54)
Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. Quanto vale o comprimento
da mediana AM ?
55)
No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.
56)
No plano cartesiano, o triângulo de vértices
valor de m?
A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. Qual o
57)
Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, quanto valem m e
n?
58)
Dados dois pontos A e B, com coordenadas cartesianas (- 2,1) e (1,- 2), respectivamente, conforme
a figura,
a) calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xG,yG) = (2/3,
1) calcule as coordenadas (xC,yC) do vértice C do triângulo.
59)
Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, -1) e (- 3, 4) de um sistema de
coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo
das ordenadas?
60)
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha.
a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a
distância entre A e C quando:
i) A está situado entre B e C;
ii) A está situado fora do segmento BC.
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eixo
positivo das abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e
identifique a curva correspondente.