X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
EXPLORANDO O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Rita Sidmar Alencar Gil
Instituto Federal de Educação do Pará
[email protected]
Iran Abreu Mendes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
[email protected]
Resumo: Neste minicurso propomos a realização de algumas atividades manipulativas voltadas
à introdução de conceitos trigonométricos no ensino médio. Nossa finalidade é favorecer o
exercício cognitivo dos professores acerca do assunto bem como dar- lhes subsídios
metodológicos para abordar o assunto em sala de aula. As experiências construtivas aqui
apresentadas propõem que se utilizem as atividades e os materiais de modo a reconstruir alguns
princípios trigonométricos que ampliem sua formação conceitual em trigonometria partindo das
experiências aqui propostas.
Palavras-chave: Materiais concretos; Trigonometria; Conceitos.
Apresentação
Neste minicurso apresentamos algumas atividades que envolvem o uso de materiais
concretos para a introdução de alguns conceitos trigonométricos no ensino médio. Sua principal
finalidade é subsidiar o exercício cognitivo do aluno em sala de aula. Para isso, solicitamos que
você experimente construir e utilizar os materiais sugeridos de modo que lhe seja possível
reconstruir alguns princípios que talvez não estejam bem esclarecidos na sua formação
conceitual. Assim você poderá melhor desenvolver suas aulas de matemática no ensino médio e
contribuir para que seus alunos construam seus conhecimentos partindo das experiências aqui
propostas. Acreditamos que, desse modo, você será capaz de formular/reformular conceitos ou
propriedades e interpretar essas formulações na aplicação e na solução de problemas práticos que
assim o exijam, bem como nos exercícios de fixação do conteúdo.
A seguir apresentamos algumas atividades e esperamos que você explore ao máximo, as
sugestões contidas nas mesmas, pois elas podem ser enriquecedoras durante o processo de
aquisição do conhecimento trigonométrico proposto. Acreditamos que por meio dessa prática
você poderá estabelecer conexões entre os aspectos geométricos, trigonométricos e cotidianos
que envolvem a trigonometria.
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É importante que você não se limite a execução pura e simples do que está sendo
proposto aqui, mas reflita sobre cada experiência vivenciada, bem como sobre os resultados
obtidos. Daí sim será possível extrair conclusões ricas e essenciais a uma aprendizagem sólida e
plena dos tópicos contidos nas atividades.
O painel trigonométrico
Após a aprendizagem dos conceitos das razões trigonométricas básicas, efetivadas na
disciplina Geometria Plana e Espacial, na qual já introduzimos o Painel Trigonométrico (figura
1, a seguir), acreditamos que os estudantes estão preparados para sua utilização em sala de aula.
Uma atividade interessante é determinar os valores das razões trigonométricas para os
ângulos agudos mais utilizados na resolução de problemas escolares rotineiros, bem como em
algumas atividades cotidianas.
Para você determinar os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo
agudo utilizando o painel trigonométrico, deve colocar uma régua na origem do sistema de eixos
do referido painel, até alcançar o ângulo (arco) desejado e interceptar o eixo referente à razão
que deseja determinar;
PAINEL TRIGONOM ÉTRICO
Figura 1
Figura 2
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No painel trigonométrico que mostramos na figura 1 é impossível determinarmos as
tangentes e respectivas cotangentes de muitos ângulos, pois a semireta que determina o ângulo
não intercepta os correspondentes eixos, conforme ilustração da figura 2 a seguir.
Nesse caso você deve construir seu próprio painel trigonométrico, numa folha de papel
milimetrado, colocando o ponto O (centro do arco) na parte inferior esquerda da folha, para que
os eixos das tangentes e cotangentes possam se estender um pouco mais que na figura 1.
Importante: O raio do arco que você vai desenhar tem que ser igual a 1 unidade. Assim,
para facilitar a visualização na folha milimetrada use R = 1 dm (10 cm).
Atividade 1 – Explorando o painel trigonométrico
1. Com a ajuda de um transferidor, localize no painel trigonométrico que você desenhou alguns
ângulos agudos e determine os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente. É importante
determinar os valores trigonométricos para os arcos fundamentais (0º, 30º, 45º, 60º e 90º) em
virtude da maior utilização dos mesmos na resolução de problemas de física, química,
engenharia, etc.
2. Compare os valores obtidos, com os existentes nos livros didáticos. Como você justifica as
diferenças (pequenas)? Comente.
3. Como você determinou a tg 900 e a cotg 00 ? Os respectivos segmentos não aparecem no ciclo
trigonométrico, certo?
4. Veja no ciclo quais os valores aproximados de sen 70 0 e tg 200 . Compare seu resultado com o
resultado obtido numa calculadora. Explique a razão da diferença.
5. Comente o que ocorre com as razões trigonométricas (cada uma) em relação ao crescimento
do ângulo. Em outras palavras, a medida que o ângulo cresce o que acontece com as razões
trigonométricas?
O Trigonômetro
A figura 3 a seguir é um objeto conhecido por trigonômetro. Esse instrumento de
medição das razões trigonométricas tem uma relação intima com o astrolábio, cuja origem
atribui-se aos inventos astronômicos de Hiparco. Através da prática com esse ins trumento os
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estudantes podem repetir prováveis experiências vivenciadas pelos matemáticos antigos e como
eles, construir seu próprio conhecimento.
Figura 3
Para a construção de um trigonômetro veja abaixo o significado de cada peça numerada
na figura 3.
1. Transferidor
2. Régua milimetrada plástica, com borda superior nivelada com o centro do transferidor, ou
seja, com 00 e 1800 .
3. Fio com um peso preso à ponta (tipo de prumo)
4. Régua móvel de madeira, com furos eqüidistantes das bordas, um em cada número, para fixála (furo do 0) no centro da haste e prender o fio nos demais números.
5. Haste de madeira para sustentação
6. Base de madeira para apoio
A figura 4 seguinte é uma foto de um Trigonômetro
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Figura 4
Um triângulo retângulo fica determinado pelo segmento que contém os furos da régua
móvel, o fio e a borda superior da régua plástica. O uso do Trigonômetro para o cálculo das
razões trigonométricas consiste em movimentar a peça 4 e fazer a medição dos lados desse
triângulo.
Atividade 2 – Explorando o Trigonômetro
1. Movimente a peça 4, de modo que a linha central da régua móvel coincida com o valor dos
ângulos a serem tabelados;
2. Leia diretamente as medidas na régua e na peça 4;
3. Meça, com outra régua, cada vez que você movimentar a peça 4, o comprimento do barbante
até a borda superior da régua plástica;
4. Calcule os valores do seno, cosseno, tangente, cotangente e preencha a tabela seguinte.
Ângulo (grau) Razões trigonométricas
Seno Cosseno Tangente Cotangente
0º
30º
45º
60º
90º
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5. Compare os resultados da sua tabela com os de uma tabela oficial presente em livros de
matemática. O que você percebeu?
6. Existe relação entre essa atividade e a atividade anterior? Comente.
Na próxima atividade, pretendemos apresentar o número Pi () como a razão entre o
comprimento C de uma circunferência de raio r e o seu diâmetro.
=
C
,
2r
Atividade 3 – A razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.
Sugestão: Nessa atividade sugerimos a utilização de uma régua, várias latas de formato
cilíndrico de diferentes medidas de diâmetros e um pedaço de barbante.
1. Pegue uma lata cilíndrica qualquer e coloque-a sobre uma superfície plana, conforme mostra a
figura a seguir.
Figura 5
2. Corte um pedaço de barbante e contorne a base da lata, marcando as posições, no cordão, que
correspondem a uma volta completa na lata, conforme mostra a figura a seguir.
Figura 6
3. Estique o barbante sobre uma régua e determine o comprimento da circunferência da base da
lata.
4. Repita o procedimento para as outras quatro latas.
5. Com a régua, determine o diâmetro de cada lata e, a seguir, preencha a tabela a seguir.
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Use uma calculadora para efetuar as divisões.
Lata
Comprimento
Diâmetro
Comprimento
diâmetro
1
2
3
4
5
6. O que você pode conclui sobre os valores encontrados? Relacione esses valores ao número 
(Pi).
7. Consulte o texto de Geometria Plana e Espacial onde você estudou perímetro de uma
circunferência e reflita sobre essa atividade.
Atividade 4 – Explorando o ciclo trigonométrico estendido.
Nessa atividade vamos explorar o ciclo trigonométrico estendido, isto é, vamos calcular
valores para o seno, cosseno, tangente e cotangente de um arco (ângulo) qualquer. Vamos
relacionar os valores trigonométricos encontrados no 1º quadrante com os demais quadrantes do
ciclo trigonométrico para que possamos interpretar suas variações.
PAINEL TRIGONOMÉTRICO ESTENDIDO
Figura 7
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A figura 7 anterior é uma simples extensão da figura 1. Para obtermos os valores de seno,
cosseno e tangente, procederemos como nas atividades anteriores, procurando fazer a leitura
diretamente se usarmos papel milimetrado (atividade 1) ou medindo os lados dos triângulos
(atividade 2).
Para iniciar essa exploração, construa o ciclo trigonométrico estendido (figura 7) e
responda as interrogações propostas a seguir. É necessário também que sejam preenchidos todos
os valores correspondentes aos principais arcos, em graus e radianos apresentados no quadro
seguinte.
Graus
0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
Radianos 0
π
2π
1. Você preencheu o quadro anterior com os valores correspondentes em radianos, a cada arco
apresentado em graus. Explique como você procedeu para encontrar os valores.
2. Você consegue apontar alguma relação entre os valores de seno, cosseno e tangente
encontrados no 1º quadrante e os demais quadrantes? Quais?
3. Quais as observações encontradas por você ao longo da exploração do ciclo trigonométrico
estendido? Tente representá-las geométrica e algebricamente.
4. Quais os arcos que apresentam os mesmos valores para seno, para o cosseno e para a
tangente? Como você explica esse fato?
5. O que ocorre com os valores encontrados para seno, cosseno e tangente no primeiro
quadrante, quando comparados aos arcos correspondentes (côngruos) nos outros quadrantes?
Explique.
O Quadrante
O Quadrante é um instrumento de madeira, latão ou ferro, que permite medir alturas
inacessíveis. Foi muito utilizado pelos navegadores portugueses do sec. XV, principalmente para
medir altura de astros, mas, também com o objetivo de se orientarem nas viagens marítimas. O
quadrante é mais antigo que o astrolábio.
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O quadrante tem a forma de um quarto de círculo, como mostra a figura 8 ao lado, tendo
numa das arestas retilíneas duas pínulas, ou um tubo, por onde se “vê o astro”. Um fio, com um
pequeno peso na extremidade, é fixado ao centro do arco (Figura 9) e intercepta a escala
graduada de 0º a 90º.
O astro é observado pelo lado mais próximo do ângulo de 90º,
através do tubo, e a posição indicada pelo fio, na graduação, determina
a altura angular do astro. Na situação mostrada na figura 8 a “carinha”
que aparece é o astro e a altura angular é de aproximadamente 45 0 .
As medições serão mais precisas se o quadrante for preso a um
tripé com se faz com o Teodolito ou câmeras fotográficas
Figura 8
Atividade 5: Explorando as razões trigonométricas com o quadrante
Para medir a altura angular de um astro ou outro
objeto qualquer (um poste, por exemplo), aponte o
quadrante e veja o alvo através do tubo, como ilustra a
figura 9. A altura angular será indicada pelo fio. As
leituras do quadrante devem ser feitas com o plano do
quadrante na vertical, de modo que o fio não encoste na
escala, nem fique muito afastado.
Figura 9.
1. Explique porque o ângulo H é igual ao ângulo marcado no quadrante.
2. Meça a distância (d) em metros entre a base de um poste e o local onde será feita a medição
com o quadrante, utilizando uma trena.
3. Meça a altura (L) em metros entre o olho do observador e o chão.
4. Meça a altura angular (H) do poste. Se o quadrante não estiver preso a um tripé, peça a alguém
para fazer a leitura da escala enquanto você aponta.
5. A altura, em metros do poste, é obtida por: (d.tg H) + L.
6. Repita essa experiência numa situação real, isto é, faça a medição de um poste ou antena
existente em sua cidade. Relate o local, os dados, os procedimentos e o resultado obtido
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O relógio de Sol
Por muitos séculos, a humanidade valeu-se da
sombra de um objeto projetada pelo sol, a sombra do
gnomon dos relógios de sol (do grego, „o que indica‟),
para medir o tempo. Inicialmente, a medição devia
basear-se na variação do comprimento da própria
sombra dos homens, que decrescia do amanhecer ao
meio dia e crescia do meio dia até o entardecer, quando
Figura 10: Exemp lo de gnomon.
Extraído de Hoben (1952).
eles deveriam estar de volta à segurança de seus abrigos. Posteriormente, criaram-se os
calendários, orientando-se por eles para identificar as estações do ano.
O primeiro relógio que se tem notícia - cerca de 5000 anos - foi o relógio do sol, o que
leva a crer que o primeiro medidor de tempo, conhecido e realmente usado pelo homem, tenha
sido um simples e rústico bastão fincado no solo, para posterior observação do mo vimento de
sua sombra. (Figura 11). Ao
longo dos tempos,
aperfeiçoou-se este e criaram-se os gnomons, constituídos
por simples obeliscos de pedra que, posicionados em
lugares amplos, recebiam a luz do sol, sem obstáculos.
Assim, projetavam a sombra que, no decorrer do dia,
assinalava em marcos estrategicamente dispostos de
forma circular, os períodos diurnos, ou seja, as horas que
iam passando durante o dia. (figura 12).
Figura 12: Exemp lo de relógio de
sol. Extraído de de Hoben (1952).
Construindo o relógio de sol
Para construir um relógio de sol é importante escolher um local onde haja incidência
direta do sol na maior parte do dia, evitando a projeção de sombras de árvores e prédios. O
pedestal ou coluna deverá ser assentado rigorosamente na vertical sobre uma base rigorosamente
nivelada e a orientação deverá ser aquela em que o alinhamento do gnomon coincide com a
direção norte/sul verdadeira.
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Uma construção alternativa pode utilizar
uma placa de compensado, isopor ou similar
(60cm x 60cm), uma haste de madeira (30cm) e o
procedimento sugerido na figura 13.
Atividade 6
1. Quais as informações matemáticas necessárias
para a construção do seu relógio?
2. Por que a sombra do gnomon vai mudando de
Figura 13: Relógio de sol confeccionado por
estudantes de uma escola pública. (foto do autor).
lugar?
3. O que acontece com o tamanho da sombra do gnomon no decorrer das horas?
4. Quais as relações entre o movimento da sombra do gnomon, a variação de seu tamanho e as
horas do dia?
5. O que acontece ao meio dia? E após o meio dia, até as 18 horas, como fica a sombra do
gnomon?
Referências
GUELLI, O. Dando corda na trigonometria. Edição. São Paulo: Ática, 1993. 64p. (Série
Contando a história da matemática)
HOBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática. 2. ed. Tradução Paulo Moreira da Silva; Roberto
Bias; Henrique Carlos Pfeifer. Rio de Janeiro: Globo, 1956.
MENDES, Iran Abreu. Ensino da Matemática por atividades: uma aliança entre o
construtivismo e a história da Matemática. Lisboa: APM, 2001. (Colecção Teses).
MENDES, Iran Abreu. Atividades históricas para o ensino da trigonometria. IN: MIGUEL,
Antonio; BRITO, Arlete de Jesus; CARVALHO, Dione Luchesi de; MENDES, Iran Abreu.
História da Matemática em Atividades Didáticas. São Paulo: Livraria da Física, 2009. (Coleção
Contextos da Ciência).
MENDES, Iran Abreu; FOSSA, John A.; VALDÉS Juan E. Nápoles. A História como um agente
de cognição na Educação Matemática. Porto Alegre: Sulina, 2006.
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TROTA, F., IMENES, L. M., JAKUBOVIC, J. Matemática Aplicada. Vol. I - 2º grau. São
Paulo: Moderna, 1979.
ZARO, M., HILLEBRAND, V. Matemática Experimental. São Paulo: Ática, 1990.
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