Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
CONTROLE CHAVEADO ROBUSTO DE SISTEMAS LINEARES DO TIPO LPV COM APLICAÇÃO
EM FALHAS
L UIZ F RANCISCO S. B UZACHERO∗† E DVALDO A SSUNÇÃO† M ARCELO C. M. T EIXEIRA†
∗ UTFPR
- Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus de Apucarana
Rua Marcílio Dias, no 635, 86812-460 - Apucarana, PR, Brasil
† UNESP
- Universidade Estadual Paulista
Campus de Ilha Solteira
Departamento de Engenharia Elétrica
Laboratório de Pesquisa em Controle
Avenida José Carlos Rossi, no 1370, 15385-000 - Ilha Solteira, SP, Brasil
Email: [email protected],[email protected],[email protected]
Abstract— In this paper concepts and practical applications for the design of robust switched controlers with decay rate restrinctions are discussed. A powerful feature of the technique is the possibility of the uncertainty being time-varying (LPV),
without measuring the uncertain parameter at each instant of time, along with the advantages already known for the performance
of switched systems. A practical application in STII+AMDI system, wich simulates the security control of a building during an
earthquake subject to structural failure appears to consolidate the technique.
Keywords—
Robust switched control, Linear parameter varying (LPV), Structural Failures.
Resumo— Neste trabalho são abordados conceitos e aplicações práticas para o projeto de controladores robustos chaveados com
restrição de taxa de decaimento. Uma característica marcante da técnica é a possibilidade de controle de sistemas com as incertezas
podendo ser variantes no tempo, conhecidas como LPV, sem a necessidade de medir o parâmetro incerto a cada instante de tempo,
além das vantagens de desempenho já conhecidas de sistemas chaveados. Uma aplicação prática no sistema STII+AMDI, que
simula o controle de segurança de uma edificação durante um terremoto sujeito a uma falha estrutural é apresentado para consolidar
a técnica.
Keywords—
Controle chaveado robusto, Incertezas variantes no tempo (LPV), Falhas estruturais.
1
Introdução
função Lyapunov-Metzler quadrática por partes, com
uma função de chaveamento σ baseada na escolha
do mínimo da função, viabilizando, em seguida, o
projeto de controladores robustos para sistemas incertos e limitados por norma em Geromel and Deaecto
(2009). Estas pesquisas culminaram em condições de
estabilidade de sistemas sujeitos a incertezas politópicas do tipo LPV, garantindo que o sistema fosse globalmente assintoticamente estável como pode ser visto
em Deaecto et al. (2011). Esta técnica inovadora
possibilitou encontrar resultados menos conservadores
e com um melhor desempenho global quando comparada com as técnicas tradicionais. Em contrapartida,
uma busca unidimensional deve ser realizada para que
o problema possa ser trabalhado com condições LMIs,
o que acaba por restringir um pouco a técnica.
A teoria de controle robusto tem apresentado nos
últimos anos soluções para problemas de estabilidade e desempenho de sistemas sujeitos a incertezas
paramétricas do tipo politópicas sem solução conhecida até então. Trabalhos consolidados verificaram
que muitas técnicas flexibilizadas de estabilidade robusta apenas garantem a estabilidade para incertezas
invariantes no tempo, ou com taxa de variação muito
pequena (Dahleh and Dahleh, 1991; Solo, 1994), o
que acaba por restringir a aplicação prática da técnica, quando supõe-se que a incerteza possa variar
no tempo. Uma forma de contornar esta problemática é a abordagem da teoria de sistemas chaveados (também conhecidos como sistemas híbridos),
em função dos importantes resultados na literatura,
que viabilizam o projeto de controladores robustos
(Geromel and Deaecto, 2009; Deaecto et al., 2011;
Souza et al., 2013; Souza et al., 2014), considerando
incertezas do tipo LPV, sem que limitações nas incertezas e/ou na taxa de variação das mesmas sejam impostas, quando os sistemas em questão são lineares (Deaecto and Geromel, 2008), levando-se em
conta a possibilidade de chaveamento entre subsistemas (Branicky, 1998; Hespanha, 2004).
Com base nessa teoria, aborda-se neste artigo um
ponto crítico no projeto de controladores chaveados
para sistemas robustos. O ponto abordado neste trabalho é o fato de que o tempo de duração do transitório
pode ser maior do que as especificações de projeto.
Para resolver este problema, propõem-se LMIs para
limitar a taxa de decaimento, garantindo que os autovalores do sistema realimentado estejam a esquerda
de um escalar α , mesmo estando o sistema sujeito a
incertezas.
Fazem-se
implementações
no
sistema
STII+AMDI da Quanser (Quanser, 2012a), que
tem a função de simular uma edificação durante
Em Geromel and Colaneri (2006) foram propostas técnicas eficazes para a estabilidade de sistemas
lineares chaveados, entre as quais se apresentou uma
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um terremoto, com uma massa de compensação
controlada por um motor no piso superior para
aliviar a deflexão das paredes da edificação durante a
ocorrência do mesmo. O sistema foi implementado
considerando uma falha no motor modelada como
incerteza politópica.
Utilizam-se os seguintes símbolos e notações no
texto: M > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0) indica que M é
simétrica positiva (negativa, positiva-semi, negativasemi) definida; (′ ) indica transposição de um vetor ou
matriz; (−1 ) indica a inversa de uma matriz; Sym{M}
indica M + M ′ ; diag(·, ·, . . . , ·) indica uma matriz diagonal de dimensões adequadas e
indica o final de
demonstração.
sendo v(x) solução de (4) e desta forma I(x) pode
possuir mais de um elemento cuja função (4) não é
diferenciável, ou seja, a solução do mínimo não é
única.
Desta forma, conceberam-se condições para que
a regra de chaveamento dada por
σ (t) = min I(x(t)),
faça com que a origem do sistema (1) seja globalmente
assintoticamente estável.
2.1
Matrizes Metzler
Para a compreensão do teorema a seguir, considere a
matriz de Metzler denotada por M (Luenberger, 1979;
Geromel and Colaneri, 2006), consistindo de todas as
matrizes Π ∈ RN×N , tais que
2 Chaveamento entre subsistemas
Suponha um sistema composto por uma planta com
incertezas politópica, onde a estabilidade deste sistema será verificada através do chaveamento conveniente entre funções de Lyapunov quadráticas por
partes. Esse sistema pode então ser denominado
como sistema politópico chaveado, tendo como vantagem a possibilidade do sistema ser variante no
tempo (Deaecto et al., 2011). A abordagem apresentada a seguir é apenas introdutória. Concebemse aqui, condições de estabilidade para o sistema incerto através de funções de Lyapunov quadráticas por
partes, para que se formule, nas próximas seções, o
chaveamento entre sistemas realimentados com restrição de taxa de decaimento
Desta forma, considere o sistema híbrido
ẋ(t) = Aλ σ x(t), x(0) = x0 ,
π ji ≥ 0, ∀ j 6= i,
(1)
N
∑ π ji (λ ) =
(2)
(9)
j=1
são verificadas para cada i ∈ K e todo λ ∈ Λ.
Além disso, utilizando Π(λ ) ∈ M , temos que as
igualdades
N
(3)
j=1
sendo que o primeiro índice de A jσ refere-se ao vértice do politopo e o segundo à regra de chaveamento, que será responsável pela escolha que verificará a estabilidade do sistema incerto. Definindo a
função de Lyapunov quadrática por partes (Geromel
and Colaneri, 2006):
N
∑ π ji (λ )Pj
j=1
=
N
∑ γλ j Pj + γ (λi − 1)Pi
j=1
j6=i
N
= γ ∑ λ j Pj − γ Pi
(10)
j=1
N
= γ ∑ λ j (Pj − Pi ),
N
v(x) := min x′ (t)Pi x(t) = min( ∑ λi x′ (t)Pi x(t)), (4)
j=1
λ ∈Λ i=1
são verdadeiras para cada i ∈ K e todo λ ∈ Λ. Este é
um resultado fundamental para o projeto de controle
robusto em questão e que tornou possível a obtenção
das condições de estabilidade robusta que serão vistas
na sequência.
sendo {P1 , P2 , ..., PN } ∈ Rn×n . Verifica-se que (4) não
é diferenciável para todo x(t) ∈ Rn . Para este aspecto,
definiu-se o conjunto I(x(t)) : Rn → N, tal que:
I(x(t)) = {i : v(x) = x′ (t)Pi x(t)},
j=1
j6=i
N
= 0,
O vetor dos estados é x(t) ∈ Rn e a matriz Aλ σ
dada por
i∈K
N
∑ γλ j + γ (λi − 1)
= γ ( ∑ λ j − 1)
j=1
∑ λ j A jσ ,
(7)
com γ ≥ 0.
Pode-se verificar que eles constituem uma matriz
de Metzler Π(λ ) ∈ M para todo λ ∈ Λ. De fato, pela
definição (8) todos os elementos fora da diagonal principal são não negativos e as identidades
j=1
Aλ σ =
∀i.
O ponto chave para a obtenção das condições de
estabilidade é utilizar uma matriz Metzler dependente
do parâmetro desconhecido, isto é, Π(λ ) : Λ → KN×N
(Geromel and Deaecto, 2009) cujos elementos são
definidos por
γλ j , j 6= i
π ji :=
,
(8)
γ (λi − 1) , j = i
N
Λ = {λ ∈ R : λ j ≥ 0, ∑ λ j = 1}.
N
∑ π ji = 0,
j=1
sendo definido para todo t ≥ 0 para algum σ (x(t)) ∈
K, com K = {1, 2, ..., N}, onde N é o número de vértices do politopo de incertezas, e λ pertence ao simplex unitário Λ conforme definido em (2):
N
(6)
(5)
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2.2
Condições para estabilidade robusta
D+ v(x(t))
De posse dos conceitos introduzidos, o Teorema 1
a seguir foi adequado a partir do apresentado em
(Deaecto, 2010) e será estendido para inclusão da taxa
de decaimento.
A ji Pi + Pi A ji + γ (Pj − Pi ) + Qi < 0,
j=1
N
∑ π ji Pj − πii Pi − Qi )x(t)
≤
x′ (t)(− ∑ π ji Pi − πii Pi − Qi )x(t)
=
−( ∑ π ji )x′ (t)Pi x(t) − x′ (t)Qi x(t)
=
≤
−x′ (t)Qi x(t)
0.
(17)
j=1
j6=i
N
Logo (17) prova que a origem do sistema (1) é
globalmente assintoticamente estável.
(11)
Para fins de implementação prática é possível realizara a escolha da regra de chaveamento através da
escolha conveniente de σ (t) = min I(x(t)), dado que
no instante seguinte a escolha desta função, será sempre escolhida a função mínima.
Adicionalmente, abordar-se-á a inserção do
índice de desempenho da taxa de decaimento, de
acordo com Boyd et al. (1994) e utilizando-se
a derivada de Dini (Garg, 1998): D+ v(x(t)) ≤
−2α v(x(t)).
(12)
faz com que o sistema (1) seja globalmente assintoticamente estável.
Reproduziu-se a prova do Teorema 1 aqui para ser
útil nas demostrações dos próximos teoremas.
Prova: (Deaecto, 2010) Assuma que as matrizes
simétricas Pi para todo i ∈ K são soluções das desigualdades (11) para algum γ ≥ 0. Logo, multiplicando o resultado por λ j ≥ 0 e somando para todo
j = 1, 2, ..., N, obtém-se
A′ λ i Pi + Pi Aλ i + γ
=
x′ (t)(−
j=1
então a lei de controle
σ (t) = min I(x(t)),
x′ (t)(− ∑ π ji Pj − Qi )x(t)
j=1
j6=i
N
Teorema 1. (Deaecto, 2010) Sendo {Q1 , Q2 , ..., Qn }
um conjunto de matrizes simétricas semidefinidas
positivas, se existir um conjunto de matrizes simétricas definidas positivas {P1 , P2 , ..., Pn } e Π ∈ M
satisfazendo as seguintes desigualdades de LyapunovMetzler
′
N
<
3 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de
decaimento
N
∑ λ j (Pj − Pi ) + Qi < 0.
(13)
O objetivo nesta seção é determinar uma regra de
chaveamento estabilizante para sistemas politópicos
realimentados conforme se apresentou na Figura 1, sujeitos a taxa de decaimento maior ou igual a um escalar α , descritos pela seguinte equação em espaço de
estado
j=1
Uma vez que (13) vale para todo λ ∈ Λ, utilizando
o resultado apresentado em (10), verifica-se que o
mesmo ocorre para
N
A′ λ i Pi + Pi Aλ i + ∑ π ji (λ )Pj + Qi < 0,
(14)
Figura 1: Esquemático do controle chaveado para uma
planta incerta.
j=1
com i ∈ K, Π(λ ) ∈ M e λ ∈ Λ.
Como (4) não é diferenciável para todo x(t) ∈ Rn ,
utiliza-se a derivada de Dini (Garg, 1998) à direita de
(4) que, por definição, é dada por
D+ v(x(t)) = lim sup
h→0+
v(x(t + h)) − v(x(t))
.
h
K1
u(t)
=
=
≤
K2
KN
(15)
σ (t)
Supondo a regra de chaveamento dada por σ (t) =
I(x(t)) = i, utilizando o Teorema de Danskin (Lasdon,
1970) tem-se que
D+ v(x(t))
Sistema
Incerto
x(t)
v(x(t)+hAλ i x(t))−v(x(t))
h
x′ (t) (Aλ i ′ Pl + Pl Aλ i ) x(t)
Fonte: Adaptado de Geromel and Deaecto (2009)
lim sup
h→0+
min
(16)
l∈I(x(t))
x′ (t) (Aλ i ′ Pi + Pi Aλ i ) x(t),
ẋ(t) = (Aλ + Bλ Kσ )x(t), x(0) = x0 .
(18)
Para isso, propõe-se o seguinte teorema.
em que a desigualdade assegura o fato de que i ∈
I(x(t)).
Por outo lado lembrando que x′ (t)Pj x(t) ≥
′
x (t)Pi x(t) = v(x) obtém-se de (14) que
Teorema 2. Se existirem matrizes simétricas Si , matrizes Yi para todo i ∈ K um escalar γ ≥ 0 e um escalar
α ≥ 0 satisfazendo as desigualdades de Lyapunov-
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Metzler
Sym{A j Si + B jYi } − γ Si + 2α Si
γ Si
4 Implementação no sistema STII + AMDI
γ Si
−γ S j
< 0, (19)
O protótipo AMDI, apresentado na Figura 2, é composto por uma estrutura simulando uma edificação,
tendo no piso superior um sistema de amortecimento
ativo com uma massa móvel. Este experimento tem
como foco o desenvolvimento de estudos para o projeto de sistemas de controle que amorteçam vibrações
causadas por terremotos ou por fortes ventos. O
equipamento também possibilita investigar ações de
controle em estruturas (Quanser, 2012a).
i, j ∈ K
então a regra de chaveamento σ (x(t)) = min I(x(t)) =
min arg mini∈K x(t)′ Si −1 x(t) e os ganhos de realimentação Ki = Yi Si −1 para todo i ∈ K fazem com que a
origem x = 0 do sistema em malha fechada seja um
ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável e o sistema estará sujeito a taxa de decaimento
maior ou igual a α .
Prova: Assuma que as matrizes simétricas Si para
todo i ∈ K são soluções das desigualdades (19) para
algum γ ≥ 0 e α ≥ 0. Multiplicando ambos os lados
da desigualdade por diag{Si −1 , I} e, então, aplicando
o complemento de Schur à segunda linha e à segunda
coluna de (19), obtém-se:
Figura 2: Protótipo STII + AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP.
Sym{Pi (A j + B j Ki )} + γ (Pj − Pi ) + 2α Pi < 0. (20)
Multiplicando o resultado por λ j ≥ 0 e somando
para todo j = 1, 2, ..., N obtém-se
N
∑ λ j (Pj − Pi ) + 2α Pi < 0.
Sym{Pi (Aλ + Bλ Ki )} + γ
j=1
(21)
Uma vez que (21) vale para todo λ ∈ Λ, utilizando
o resultado apresentado em (10), verifica-se que o
mesmo ocorre para
N
Sym{Pi (Aλ + Bλ Ki )} + ∑ π ji (λ )Pj < −2α Pi , (22)
j=1
com i ∈ K, Π(λ ) ∈ M e λ ∈ Λ.
Assim sendo, a prova decorre do Teorema 1.
Lembrando que x′ (t)Pj x(t) ≥ x′ (t)Pi x(t) = v(x)
obtém-se de (11) que
D+ v(x(t))
<
x′ (t)(−
Fonte: Elaborado pelo autor
N
∑ π ji Pj − 2α Pλ )x(t)
j=1
N
≤ −( ∑ π ji )x′ (t)Pi x(t) − 2α x′ (t)Pi x(t)
j=1
= −2α x′ (t)Pi x(t)
< 0.
Logo prova-se que a origem do sistema (18) é globalmente assintoticamente estável e o sistema estará
sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α ,
garantindo que a mínima função energia estará sempre
ativa, lembrando que v̇(t) ≤ −2α v(x), sendo v(x) =
min(x′ (t)Pi x(t)).
O objetivo do experimento é atuar na massa
móvel através de um motor, reduzindo assim oscilações e vibrações indesejadas na estrutura. O sistema utilizado no deslocamento da base é chamado de
STII e foi originalmente desenvolvido com o intuito de
pesquisa ou ensino, envolvendo sistemas de vibração
(Quanser, 2012b). Neste trabalho, utilizaremos este
equipamento apenas para gerar registros de terremotos
com os quais serão testadas as estratégias de controle.
Considere o esquemático apresentado na Figura
3. O deslocamento do carro (xc ) que simboliza a
massa móvel (Mc ) é considerado positivo para a direita
quando vista pelo leitor, assim como o deslocamento
do patamar superior (x f , que tem como massa M f ).
i∈K
Note que, se a restrição de taxa de decaimento for
satisfeita, a estabilidade robusta também o será.
Para pequenas variações angulares do piso superior, o sistema pode ser tratado como um sistema
massa-mola padrão de constante K f a uma altura H f
do chão, viabilizando assim uma aproximação coerente na modelagem do sistema.
A implementação prática a seguir foi utilizada
para verificar a eficiência do método com a inserção
da taxa de decaimento.
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que move o carro, ou seja, (u = Vm ), dada a relação
existente entre Fc e Vm apresentada abaixo:
Figura 3: Modelo esquemático do AMD-I.
x˙c > 0
xc
x˙f > 0
xf
Fc = −
Fc
Mc
Kf
ηg Kg2 ηm Kt Km x˙c (t) ηg Kg ηm Kt Vm
+
.
2
Rm rmp
Rm rmp
Assim, modificando as matrizes A e B, considerando agora a entrada de controle do sistema como
u = Vm , as mesmas são dadas por:
Mf
0
0
Hf


A = 0

0
0
0
2 K
Mc rmp
f
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g f
g
f
2 +J K 2 )
K f (Mc rmp
m g
−
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g f
g
f
1
0
−
Fonte: (Quanser, 2012a)
2 +M η K 2 η K K +M B R r2
−Mc ηg Kg2 ηm Kt Km +Mc Beq Rm rmp
f g g m t m
f eq m mp
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M )
Rm (Mc rmp
g f
g
f
2 )
Mc (ηg Kg2 ηm Kt Km +Beq Rm rmp
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M )
Rm (Mc rmp
g f
g
f
Os parâmetros utilizados neste exemplo para o
sistema AMDI são dados na Tabela 1.


B=

Tabela 1: Parâmetros do sistema AMD-1
Resistência de armadura do motor (ω )
Constante de torque do motor (N.m/A)
Eficiência eletromecânica do motor
Constante de eficiência do motor (V.s/rad)
Eficiência do redutor planetário
Altura do patamar superior (m)
Massa do patamar superior (Kg)
Constante da mola para a modelagem (N/m)
Inércia do rotor (Kg.m2 )
Massa total do carro (Kg)
Relação da engrenagem
Raio do pinhão (engrenagem) (m)
Coeficiente de amortecimento viscoso eq. (N.s/m)
Rm
Kt
ηm
Km
ηg
Hf
Mf
Kf
Jm
Mc
Kg
rmp
Beq
2, 6
0, 00767
1
0, 00767
1
0, 5334
1, 38
500, 9
3, 9 × 10−7
0, 65
3, 71
6, 35 × 10−3
3
.


A1 =

xc
xc
 x. f 
 xf 
 ..  = A  .  + BFc ,
 xc 
 xc 
.
..
xf
xf
sendo que A e B são dadas por:
0
0
0


A = 0

0
0
2 K
Mc rmp
f
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g
g f
f
2 +J K 2 )
K f (Mc rmp
m g
−
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g
g f
f



e B=

0
0

,

0
0


.

"
0
0
1
0
0
0
0
1
0 278,9341 −18,6497 0
0 −336,0626 5,9716 0
#
e B1 =
"
0
0
2,9975
−0,9598
(25)
#
.
(26)
(23)
Vértice 2 (50% do ganho de amplificação):
1
0
2 B (M +M )
rmp
eq c
f
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g
g f
f
2
Mc Beq rmp
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g
g f
f
−
2 B (M +M )
rmp
eq c
f
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g
g f
f
2
Mc rmp
−
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M
Mc rmp
g
g f
f
ηg Kg ηm Kt rmp (Mc +M f )
2 M +Jm K 2 Mc +Jm K 2 M )
Rm (Mc rmp
g f
g
f
Mc ηg Kg ηm Kt rmp
−
2
2
Rm (Mc rmp M f +Jm Kg Mc +Jm Kg2 M f )

Inserindo então uma incerteza na nova entrada
de controle do sistema, simbolizando uma falha por
desgaste ou queima de componentes no módulo amplificador que alimenta o sistema. Desta forma a
potência do sistema será reduzida em 50%, e o sistema poderá ser representado como um politopo de incertezas. Apresenta-se abaixo, os vértices, que através
de uma combinação convexa geram o politopo:
Vértice 1 (100% do ganho de amplificação):
O modelo em espaço de estados que descreve o
sistema AMDI é:

0
0
0
1
0
1




0
0



.

(24)
A2 =
"
0
0
1
0
0
0
0
1
0 278,9341 −18,6497 0
0 −336,0626 5,9716 0
#
e B2 =
"
0
0
1,4987
−0,4799
#
.
(27)
Para o projeto dos controladores, obteve-se
factibilidade com γ = 7, e α = 4 responsável pela taxa
de decaimento do sistema, obtendo, desta forma, os
seguintes ganhos:
K1 = [ 138,5469 −700,0255 21,3987 11,6276 ] ,
(28)
K2 = [ 125,2463 −623,7249 19,1661 10,9001 ] .
(29)
O parâmero α = 4 responsável pela taxa de decaimento do sistema foi definido através de uma
varredura para tentar definir os autovalores do sistema
incerto realimentado próximos dos sugeridos pelo fabricante de modo a preservar o equipamento, dado que
Nota-se, neste caso, que a entrada de controle
é igual a força impressa pelo carro na aproximação
massa-mola (u = Fc ). Desta forma, com o intuito de
inserir uma incerteza na entrada do sinal de controle,
optou-se por transformar a mesma na tensão do motor
2568
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um valor baixo de α não proporcionaria um desempenho satisfatório e um valor alto poderia danificar o
equipamento.
Figura 5: Oscilações no piso superior do AMD-1 para
os controladores chaveados.
0.03
Sem ação de controle Início da ação de controle
Deslocamento do piso superior [m]
O sistema AMDI possibilita a implementação de
dados gravados de terremotos reais, em escala laboratorial, aumentando assim a realidade do experimento. Para este trabalho, foram escolhidos os dados do terremoto ocorrido em 1994, tendo como epicentro o distrito Northridge, em San Fernando Valley,
região de Los Angeles (Quanser, 2012a). Na Figura 4,
apresentam-se os dados deste terremoto, assim como
sua reprodução utilizando o STII e na sequência do
trabalho o deslocamento do piso inferior será chamado
de xs (t) [m].
x f (t)
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 6: Diferença entre as oscilações no piso superior (x f (t) [m]) e o deslocamento do piso (xs (t) [m])
do AMD-1 para os controladores chaveados.
Figura 4: Dados obtidos durante o terremoto de
Northridge em 1994 e reproduzidos com o STII.
0.06
1
Posição relativa entre x f (t)[m] e xs (t)[m]
Aceleração do piso [m/s2 ]
Instante da falha
0.02
dado real
reproduzido
0.5
0
Posição do piso [m]
−0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t[s]
Sem ação de controle Início da ação de controle
Instante da falha
0.04
x f (t) − xs (t)
0.02
0
−0.02
4
3
2
1
−0.04
0
−1
−2
−0.06
−3
0
2
4
6
8
10
12
14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t[s]
16
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte: (Quanser, 2012b)
Na Figura 7, verifica-se a tensão de controle do
motor (Vm (t)) e o controlador escolhidos a cada instante de tempo (K1 e K2 ) conforme regra σ (t).
A implementação no AMDI foi separada em três
etapas. Primeiramente, realizou-se o experimento por
completo no modo passivo, onde não existe ação de
controle e o motor que atua na massa móvel será responsável apenas por não permitir que o carro deslize
sobre o trilho simulando assim como se o sistema estivesse travado. Do contrário, estando solto, o carro
poderia colidir com as extremidades causando danos
ao sistema de controle. Em seguida, no instante 18s
realizou-se o experimento novamente com a ação dos
controladores chaveados sem falhas. No instante 36s
inseriu-se uma falha de 50% no ganho de amplificação, repetindo-se novamente o experimento com a
ação dos controladores chaveado e possibilitando a visualização do desempenho do sistema com e sem falhas.
Figura 7: Sinal de controle e controlador ativo para
uma falha de 50%.
Sinais de controle [V] e controlador ativo
10
Sem ação de controle Início da ação de controle
8
Instante da falha
6
Vm (t)
4
2
K1 ativo
0
K2 ativo
−2
−4
−6
−8
−10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Sendo assim, implementaram-se os controladores
chaveados (28) e (29) para os dados do terremoto de
Northridge, cujos resultados são apresentados nas Figuras 5 à 7.
Pode-se verificar nas Figuras 5 e 6, que a ação
dos controladores chaveados robustos resultaram em
menores oscilações no piso superior do sistema AMDI, sendo as diferenças de oscilações entre o piso superior e o piso inferior reduzidas consideravelmente,
porém ainda existentes em função do atraso do sensor no piso superior em relação às oscilações do piso
inferior.
Verifica-se também, conforme Figura 7, que
houve um esforço de compensação no sistema para
Nas Figuras 5 e 6, apresentam-se, respectivamente, a posição do piso superior (x f (t)) e a diferença
entre a posição do piso superior e a posição do piso
inferior (x f (t) − xs (t)) em cada instante de tempo para
a implementação com e sem controle e antes e depois
da falha.
2569
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
suprir a queda de 50% de potência na entrada de controle do sistema, devido aos picos de tensão, que foram
maiores após a falha, garantindo assim a estabilidade
robusta e o desempenho adequado devido a taxa de
decaimento (α = 4) do sistema.
Embora a técnica de controle tenha apresentado
um chaveamento intenso entre os controladores, para
este tipo de implementação não foram necessárias
condições para a garantia de chaveamento suave, pois
a própria inércia mecânica do sistema garantiu uma
implementação satisfatória sem a ocorrência de oscilações na saída do sistema.
5
CC-CC, PhD thesis, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas.
Deaecto, G. S. and Geromel, J. C. (2008). Controle de
sistemas lineares com comutação, Sba: Controle
& Automação, Sociedade Brasileira de Automatica 19(4): 431 – 443.
Deaecto, G. S., Geromel, J. C. and Daafouz, J. (2011).
Switched state-feedback control for continuous
time-varying polytopic systems, International
Journal of Control, Abingdon 84(9): 1500–1508.
Garg, K. (1998). Theory of differentiation: a unified
theory of differentiation via new derivate theorems and new derivatives, John Wiley & Sons,
New York.
Conclusões
Neste trabalho, apresentou-se uma técnica para o projeto de controladores chaveados robustos para a garantia de estabilidade de sistemas lineares incertos, com
restrição de taxa de decaimento, utilizando funções de
Lyapunov quadráticas por partes do tipo mínimo. A
técnica foi formulada por meio de LMIs, e quando
necessário realiza-se de uma busca unidimensional.
A técnica foi implementada em um protótipo
laboratorial conhecido como STII+AMDI sujeito a
uma falha estrutural de 50%, mostrando a aplicabilidade da técnica de controle chaveado robusto,
apresentada no Teorema 2, em cuja implementação
houve um chaveamento intenso entre os controladores,
levando a concluir que a nova técnica não apenas aumenta a factibilidade mas também melhora o desempenho global do sistema, quando comparada com outras técnicas de establilidade robusta que sintetizem
um controlador único.
A técnica foi considerada satisfatória, porém em
trabalhos futuros será abordada a técnica de controle
H∞ adequada para amortecer as oscilações do sistema.
Geromel, J. C. and Colaneri, P. (2006). Stability
and stabilization of continuous-time switched
linear systems, SIAM Journal Control Optimization 45: 1915–1930.
Geromel, J. C. and Deaecto, G. S. (2009). Switched
state feedback control for continuous-time uncertain systems, Automatica 45(2): 593–597.
Hespanha, J. (2004). Uniform stability of switched
linear systems: extensions of lasalle’s invariance
principle, IEEE Transactions on Automatic Control 49(4): 470–482.
Lasdon, L. S. (1970). Optimization theory for large
systems, Courier Dover Publications, Macmillan.
Luenberger, D. (1979). Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications, John Wiley & Sons, New York.
Quanser (2012a). Active Mass Damper - One Floor
(AMD-1), User Manual.
Agradecimentos
Quanser (2012b). Specialty Plant: Shake Table II Position Control and Earthquake Analysis, User
Manual.
Os autores agradecem as agências de fomento
FAPESP (Processo no . 2011/17610-0), CAPES e
CNPq por darem suporte financeiro a esta pesquisa.
Solo, V. (1994). On the stability of slowly timevarying linear systems, Mathematics of Control,
Signals, and Systems (MCSS) 7: 331–350.
Referências
Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan,
V. (1994). Linear matrix inequalities in systems
and control theory, 2 edn, SIAM Studies in Applied Mathematics, Philadelphia.
Souza, W. A., Teixeira, M. C. M., Santim, M. P. A.,
Cardim, R. and Assunção, E. (2013). On
switched control design of linear time-invariant
systems with polytopic uncertainties, Mathematical Problems in Engineering 2013: 10 p.
Branicky, M. S. (1998). Multiple Lyapunov functions
and other analysis tools for switched and hybrid
systems, IEEE Transactions on Automatic Control, Piscataway 43(4): 475–482.
Souza, W. A., Teixeira, M. C. M., Santim, M. P. A.,
Cardim, R. and Assunção, E. (2014). On
switched regulator design of uncertain nonlinear systems using takagi-sugeno fuzzy models,
IEEE Transactions on Fuzzy Systems . In press.
Dahleh, M. and Dahleh, M. A. (1991). On slowly
time-varying systems, Automatica 27: 201–205.
Deaecto, G. S. (2010). Projeto de controladores
dinâmicos com comutação: aplicação em sistemas mecânicos e conversores de potência
2570