Aula 2_1
Lei de Gauss I
Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio Graça
Capítulo 3
Conceito de Fluxo do campo elétrico
• Fluxo do campo elétrico num campo uniforme
Suponhamos uma superfície plana de área colocada num campo elétrico
uniforme de intensidade E . Seja n a normal à superfície e  o ângulo que
a normal faz com as linhas do campo:
Por definição, chama-se de fluxo  do campo elétrico que atravessa uma
superfície plana colocada num campo elétrico uniforme ao produto:
Conceito de Fluxo do campo elétrico
• Variação de Φ em função de α
Conceito de Fluxo do campo elétrico
• Variação de Φ em função de α
Interpretação mecânica do fluxo de um vetor
O volume de fluido que atravessa a seção S por unidade de tempo, será dado
por :
portanto
O fluxo de fluido , denominado vazão é o fluxo do vetor velocidade de um fluido
Interpretação do fluxo de um vetor
No caso da superfície fechada a notação da
Integral será:
Onde
Interpretação do fluxo do campo elétrico
Onde
No caso da superfície fechada a notação da
Integral será:
Interpretação do fluxo de um vetor
No caso da superfície fechada não conter nem fontes nem sumidouros, o fluxo
será nulo:
a
a
Lei de Gauss
 
 o  E .d A  q in
Cálculo do Campo Elétrico
• Lei de Coulomb
 Força entre duas cargas pontuais, foi
usada para calcular campos elétricos.
OU
• Lei de Gauss
 Relaciona o campo elétrico com a
distribuição espacial de cargas.
 Utiliza o conceito de Fluxo Elétrico
Dipolo Elétrico:
Análise Qualitativa
Superfícies esféricas
centradas em :
a) +q
(verde)
b) -q
(vermelho)
c
a
c) (+q-q=0) (amarela)
Conclusões
• Todas linhas saem de a (fluxo +)
• Todas as linhas entram em b (fluxo -)
• O mesmo número de linhas que
sai, entra em c (fluxo nulo)
b
Lei de Gauss - Questão Conceitual
As linhas de campo (16 no total), furam a
superfície gaussiana retangular.
Contando as linhas que entram na
superfície , como negativas, e as que saem,
como positivas, quantas cruzam a
superfície?
A) zero
B) +8
C) -8
Pois a carga total no interior desta superfície gaussiana é nula
Lei de Gauss -Superfícies Gaussianas
Linhas de campo elétrico "furando" uma
superfície, mostrando que o existe fluxo
de campo elétrico através da superfície.
As linhas de campo elétrico entram e
saem da superfície, portanto o fluxo de
campo elétrico sobre a superfície é nulo.
Lei de Gauss: fluxo do campo elétrico
dA
(em radianos)
R2
ˆ  n̂dA
Vetor ângulo sólido  d
Ângulo sólido  d 
Fluxo do campo elétrico através de dA
  
kq
 d  E  d  E  n̂dA  2 cos dA
R
Para uma esfera
E 
kq
2
R
d   4 kq
2 
R 
Lei de Gauss – Fluxo do Campo Elétrico
Fluxo
Integral de
Superfície
As integrais de superfície, calculam o
fluxo, somando o fluxo que atravessa
cada elemento de superfície
E  
 
E  A 
Duas situações importantes:
• Se o campo elétrico é tangente à superfície,
em todos os pontos da mesma, então
• Se o campo elétrico é normal, em
todos os pontos da superfície, então
 
 E  d A
E  0
 E  EA
Fluxo do campo Elétrico
• Definição:

 E   E  d A
o fluxo do campo elétrico, E através
–
de uma superfície fechada, A
•
O que significa esta equação?
–
–
A integral é calculada sobre uma
SUPERFÍCIE FECHADA
O fluxo assim calculado é um ESCALAR
–

dA é normal à superfície a aponta para
–
A componente do campo

E

E
 
 E  dA
FORA.
é NORMAL à SUPERFICIE
•
Conclusões:
–
O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é uma soma das das
componentes do fluxo devido à componente do campo elétrico normal à superfície.
Atenção que a componente do campo normal, se o campo sai da superfície é “+ “
–
e se penetra a superfície é “-”
Lei de Gauss Problema
Considere um cubo de lado a localizado
em uma região de campo elétrico
constante com módulo E como o da
figura.
a
Quais dos seguintes valores, representa
o fluxo do campo elétrico E através da
superfície externa do cubo?
(a) E = 0
a
(b) E  2Ea2 (c) E  6Ea2
Lei de Gauss
• Lei de Gauss (uma Lei FUNDAMENTAL):
O fluxo elétrico total, através de qualquer superfície
fechada (Gaussiana) é proporcional à carga contida no
volume limitado por essa superfície.
 
 o  E  d A  q i n
Lei de Gauss
Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do
campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana
com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhese uma superfície qualquer com uma carga q em seu
interior, como por exemplo a superfície da figura ao lado
A forma dessa superfície S pode ser qualquer, contudo, a
fim de facilitar os cálculos uma esfera de raio r centrada
na carga Q, como por exemplo a superfície gaussiana
representada na figura
 
 o  E  d A  Q in
Lei de Gauss
 
 o  E  d A  Q in
• Como e quando se aplica?
Esta equação é SEMPRE VÁLIDA
•
Nessa forma integral é muito fácil de usar para problemas em que E
exibe uma SIMETRIA completa.
•
Para resolver esta equação deve-se ESCOLHER uma Gaussiana,
para a qual a solução é SIMPLES.
 Direção: a superfície deve ser escolhida especialmente para casos em que o
campo ou é perpendicular ou tangencial à superfície.
 Módulo: a superfície, deve ser escolhida tal que E possua o mesmo valor para
todos os pontos da superfície em que seja perpendicular à mesma.
 Portanto: isto permitirá tirar E fora da integral.
Gauss  Coulomb
• Como ilustração é possível mostrar, que para cargas
pontuais, a Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb.
• Simetria  Campo E de uma carga pontual
 
E  d A  Ed A
é radial e esféricamente simétrico
dA
E
r
+Q
• Trace uma esfera de raio R centrada na carga.
– Por que?
E é normal a cada ponto da superfície
E possui o mesmo valor em todos pontos da superfície
 E pode ficar fora da integral!
 
 E  d A 
•
Portanto,
•
Lei de GAUSS:
2
Ed
A

E
d
A

E
4

r


 4  o r 2 E  Q
A escolha da superfície deve guardar simetria com a distribuição de
carga…esta superfície é denominada “ Superfície Gaussiana”
1 Q
E
4  o r 2
Geometria e Integrais de Superfície
Quando E é constante sobre a superfície e é normal a ela, em todos
os pontos, E pode ser tirado fora da integral, deixando só a integral de área.
 
 E  d A 
 Ed A  E  d A
z
c
a
y
b
 d A  2 ac  2 b c  2 ab
z
x
r
r
2
dA

4

r

L
2
d
A

2

rL

2

r

Linha de Carga Infinita
• Simetria  Campo E é ^ à
linha e, depende só da
distância à linha
Er
y
Er
• Portanto, ESCOLHA uma
superfície Gaussiana cilíndrica
de raio r e comprimento h
alinhada com o eixo dos x.
+ + + + + + + + + ++ ++ ++ + + + + + + + +
• Aplique a Lei de Gauss:
x
 
 Nas tampas,
h
 E  dA  0
 
 Na superfície cilindrica,
 E  d A  2  rhE
 A carga no interior da superfície,
  Q in
 E  d A  
o
 2 rhE 
h
o
Q in   h

Distribuição esférica de carga
• Simetria  Campo E é ^ à superfície
e, depende só da distância à superfície
• Portanto, ESCOLHA uma superfície
Gaussiana esférica de raio r, simétrica com a
distribuição de carga: r ≤ R; r ≥ R
• O fluxo para essas gaussianas será,
sempre:
 
 E   E  d A  E 4  r 2
• A carga no interior da gaussiana:
• Aplique a Lei de Gauss

rR E
r
3 o
rR
R 3
E
3 o r 2

  d e ns id a d e d e c a rg a C / m 3
para r  R
para r  R
4
 Q in   r 3
3
4
 Q in   R 3
3
E
ER 

R
3 o
R
r

Distribuição plana de carga
• Simetria  Campo E é ^ à superfície
e, depende só da distância à superfície
• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana
cilíndrica de raio r e comprimento h alinhada
com o campo elétrico...
• O fluxo do campo elétrico será:
 
 E   E  d A  2 EA  0  2 E  r 2
• A carga no interior da gaussiana:
Q in   r 2
• Aplique a Lei de Gauss
 o 2 E  r   r
2
2


E
2 o
O campo elétrico é
independente da
distância à placa!!!
Lei de Gauss: Questão Conceitual
1.
Qual destes campos podem
representar um campo elétrico
estático?
A) b,
c
B) a, b
C) a, d
D) c, d
E) todos
2. Qual a razão da resposta?
3. Em qual das opções certas,
existem cargas no quadro
apresentado?
A)
Nas duas
B)
Em nenhuma delas
C)
Outra opção: