UNIDADE V I I
análise combinatória, binômio de Newton e
probabilidade
CA P Í T U LO
Banco de questões
23 Probabilidade
1(FGV – SP) Os resultados de 1800 lançamentos
de um dado estão descritos na tabela abaixo:
n.° da face
freqüência
1
150
2
300
3
450
4
300
5
350
5(FGV – SP) Em relação aos cinco dados indicados
na figura, sabe-se que:
•cada dado tem faces numeradas de 1 a 6
•a soma das faces opostas em cada dado é igual
a7
•a soma das faces em contato de dois dados é
igual a 8
6
250
Se lançarmos esse mesmo dado duas vezes, podemos afirmar que:
a)a probabilidade de sair pelo menos uma face
1
3é
6
b)a probabilidade de sair pelo menos uma face
11
4é
36
1
c)a probabilidade de saírem duas faces 2 é
3
d)a probabilidade de saírem as faces 3 e 4 é
1
18
e)a probabilidade de saírem duas faces maiores
35
que 5 é
36
2(FGV – SP) Um jogador aposta sempre o mesmo
valor de $1 numa jogada cuja chance de ganhar
ou perder é a mesma. Se perder, perderá o valor
apostado, se ganhar, receberá $1 além do valor
apostado. Se ele começa o jogo com $3 no bolso, joga três vezes e sai, com que valor é mais
provável que ele saia?
3(FGV – SP) Numa fila de oito pessoas, três pretendem votar no candidato A e cinco, no candidato B.
a)Ao entrevistar as três primeiras pessoas da
fila, qual a probabilidade de o resultado desta
amostra ser favorável ao candidato A?
b)Qual a probabilidade de dar empate, se as
quatro primeiras pessoas forem entrevistadas
nessa mesma fila?
4(FGV – SP) Uma urna contém bolas numeradas
de 1 até 10000. Sorteando-se ao acaso uma delas, a probabilidade de que o algarismo mais à
esquerda do número marcado na bola seja 1, é
igual a:
a)1102
, %
b)1111
, %
c)1112
, %
d)12, 21%
e) 2102
, %
Nas condições dadas, a probabilidade de que
as quatro faces sombreadas na figura tenham o
mesmo número marcado é igual a:
a)
1
1
1
1
1
b ) c ) d ) e )
16
8
6
4
2
6(Fuvest – SP) Uma urna contém 5 bolas brancas e
3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso,
sucessivamente, sem reposição. Determine:
a)a probabilidade de que tenham sido retiradas
2 bolas pretas e 1 bola branca
b)a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da
mesma cor
7(UEL – PR) Um dado não viciado foi lançado duas
vezes e em cada uma delas o resultado foi anotado. Qual é a probabilidade da soma dos números
anotados ser maior ou igual a 7?
a)
7
1
2
7
7
b ) c ) d )
e )
6
4
3
16
12
8(UEMS – MS) Sabendo que um dado é viciado
de tal maneira que um número ímpar tem
duas vezes mais probabilidade de aparecer
do que qualquer número par, pode-se se afirmar que a probabilidade de um número primo aparecer é:
5
a) 9
b)
8
3
4
6
c ) d ) e )
9
9
9
9
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
9(UEMS – MS) O número de respostas a uma pesquisa está disposto no diagrama abaixo.
14(UFMG – MG) Vinte alunos de uma escola, entre
eles, Gabriel, Mateus e Roger, formam uma fila
aleatoriamente.
1.Determine a probabilidade de essa fila ser
formada de tal modo que Gabriel, Mateus e
Roger apareçam juntos, em qualquer ordem.
2.Determine a probabilidade de essa fila ser
formada de tal modo que, entre Gabriel e
Mateus, haja, exatamente, cinco outros alu­
nos.
O objetivo era saber, dos entrevistados, o quanto
eles confiam em pesquisas de mercado em relação
ao presidente. Considerando que cada pessoa deu
uma única resposta, qual a probabilidade de ser
selecionada aleatoriamente uma pessoa que não é
muito confiante nas pesquisas?
1
1
1
1
1
a)
b )
c ) d )
e )
200
300
5
50
4
10(UEPB – PB) No lançamento de um dado e uma
moeda, honestos, a probabilidade de ocorrer coroa ou o número 5 é igual a:
5
7
7
1
1
a) b ) c )
d ) e )
12
6
12
2
12
15(UFMS – MS) A probabilidade de ocorrer um
determinado evento é dada pela razão entre o
número de “casos favoráveis” e o número de
“casos possíveis”. Considere a situação em que
dois dados são jogados simultaneamente. Seja
p a probabilidade de que a soma dos números
mostrados nas faces de cima seja maior do que
7, calcule 36p.
16(UFPA – PA) Alguns estudantes estavam se preparando para realizar o PSS da UFPA e resolveram inventar um jogo de dados a fim de
testar os seus conhecimentos em Teoria das
Probabilidades. O jogo possuía as seguintes
regras:
I. O jogador faz o primeiro lançamento do dado.
Se sair o número 5, o jogo termina e o jogador vence.
11(UESC – BA) No conjunto { x ∈ |7 ≤ x ≤ 1006},
um número é sorteado ao acaso. A probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é
par, é igual a:
a) 0, 25
b) 0, 20
c) 0,15
d) 0,10
II. Se na primeira jogada não sair o número 5,
o jogador deve lançar o dado pela segunda e última vez. Se sair um número maior
do que 3, o jogador vence. Caso contrário,
perde.
e) 0,05
12(UFG – GO) Um grupo de 150 pessoas é formado por 28% de crianças, enquanto o restante é
composto de adultos. Classificando esse grupo
1
por sexo, sabe-se que dentre os de sexo mas3
1
culino é formado por crianças e que entre os
5
de sexo feminino também é formado por crianças. Escolhendo ao acaso uma pessoa nesse grupo, calcule a probabilidade dessa pessoa ser uma
criança do sexo feminino.
13(UFMG – MG) Em uma mesa, estão espalhados
50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são
iguais e cartas de pares distintos são diferentes.
Suponha que duas dessas cartas são retiradas da
mesa ao acaso.
Então, é correto afirmar que a probabilidade de
essas duas cartas serem iguais é:
1
1
1
1
a)
b )
c )
d )
100
99
50
49
A probabilidade de o jogador vencer esse jogo
é:
a)
9
7
3
4
10
b )
c ) d ) e )
13
12
5
7
13
17(UFPE – PE) Supondo igual a probabilidade de se
nascer em cada um dos meses do ano, é correto
afirmar que a probabilidade de, em um grupo
de cinco pessoas, escolhidas ao acaso, existirem
pelo menos duas nascidas no mesmo mês do
ano é:
a)superior a 45% e inferior a 50%
5
12
c)superior a 60%
b)igual a
d)igual a
1
125
e)igual a
5
125
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
18(Ufpel – RS)
Revista Veja – 01/11/2006 – nº 43
Com base no texto, é correto afirmar que a probabilidade de escolher, ao acaso, um brasileiro
que não seja solteiro é:
a)
31
31
40
1
31
b)
c)
d) e)
f ) I.R.
71
40
71
2
80
19(UFPI – PI) Um espertalhão age numa praça, de
freqüência popular, usando uma urna com seis
bolas brancas e quatro bolas pretas. Ele retira
duas bolas sucessivamente sem reposição e esconde a cor da primeira bola. Se a segunda bola
foi branca, a probabilidade da primeira bola ter
sido preta é:
5
4
1
2
1
a) b ) c ) d ) e )
9
9
3
9
9
20(UFRN – RN) Escolhe-se, aleatoriamente, um número inteiro dentre os números naturais de 1 até
100. A probabilidade de que, pelo menos, um
dos dígitos do número escolhido seja 3 é:
a)
1
100
b)
19
100
c)
15
100
d)
11
100
21(Ufscar – SP) A tabela indica as apostas feitas por
cinco amigos em relação ao resultado decorrente do lançamento de um dado, cuja planificação
está indicada na figura.
Ana
Face branca ou número par
Bruna
Face branca ou número 5
Carlos
Face preta ou número menor que 2
Diego
Face preta ou número maior que 2
Érica
Face branca ou número menor que 4
Se trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo
“e” na aposta de cada um, o jogador que terá
maior redução nas suas chances de acertar o resultado, em decorrência dessa troca, será:
a)Ana
b)Bruna
c)Carlos
d)Diego
e)Érica
22(Ufscar – SP) A probabilidade de que um componente eletrônico não quebre é chamada de
confiabilidade. Para aumentar a confiabilidade
de um sistema, é comum que se instalem dois
componentes eletrônicos de mesma confiabilidade em paralelo. Nesse caso, o sistema só irá
falhar se ambos os componentes instalados falharem simultaneamente.
a)Calcule a probabilidade de que um sistema
com 2 componentes, cada um de confiabilidade 90%, não falhe.
b)Admita que um sistema com n componentes
em paralelo só falhará se os n componentes
falharem simultaneamente. Calcule o número
de componentes em paralelo que devem ser
instalados em um sistema para que ele tenha
confiabilidade de 99,9%, sabendo-se que
cada componente tem confiabilidade 50%.
(Adote log 2 = 0,3.)
23(UFT – TO) Em um certo jogo, os dois participantes fazem esta aposta: cada um vai lançar
duas moedas; aquele que obtiver um par de
faces iguais – coroa/coroa ou cara/cara – será o
vencedor.
Evidentemente, pode ocorrer empate se ambos
os jogadores, cada um em seu lançamento, obtiverem faces iguais nas duas moedas lançadas.
Também é possível não haver vencedor se ambos os parceiros obtiverem faces distintas no lançamento das moedas.
Considerando-se a situação descrita e as informações dadas, é correto afirmar que a probabilidade de não haver vencedores é de:
1
8
1
b)
4
1
c)
3
1
d)
2
a)
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
24(UFV – MG) No jogo abaixo, o jogador precisa descobrir em quais dos oitenta e um quadradinhos
estão colocadas 10 bombas. No quadradinho em
que aparece um número é certeza que não há uma
bomba. Por sua vez, o número que aparece dentro do quadradinho indica quantas bombas há nos
oito quadradinhos que o cercam. Por exemplo, o
número 2 indica que há duas bombas espalhadas
nos oito quadradinhos que cercam o número 2.
Considere Q a região delimitada pelo quadrado
que contém o número 2, formada por nove quadradinhos, e R a região delimitada pelo retângulo
que contém os números 1 e 3, formada por dezoito quadradinhos.
Baseado nestas informações, assinale a afirmativa incorreta:
a)As bombas podem estar distribuídas na região Q de 28 maneiras distintas.
b)A probabilidade de o jogador escolher um
quadradinho que não contenha bomba é
maior na região R do que na região Q.
c)A probabilidade de o jogador escolher um
quadradinho na região Q que contenha uma
bomba é igual a 0, 25.
d)A probabilidade de o jogador escolher um
quadradinho que não contenha uma bomba
na região R é igual a 0,75.
e)As bombas podem estar distribuídas na região R de 448 maneiras distintas.
aparecessem duas caras seguidas, Alfredo pagaria
a conta, caso contrário, Orlando pagaria. Qual é a
probabilidade de Alfredo pagar a conta?
1
a)
2
7
16
3
c )
4
5
d)
8
b)
e)
9
16
27(UFPR – PR) Em um jogo de cartas, os matemáticos Ricardo e Fernando apostaram R$ 100,00
cada um e combinaram que o primeiro deles que
obtivesse 5 vitórias ficaria com o dinheiro da
aposta. Depois de 5 rodadas, o jogo precisou ser
interrompido, momento em que Fernando estava com três vitórias e Ricardo com duas. Após
muita discussão, os dois matemáticos concordaram em dividir o dinheiro em partes diretamente
proporcionais à probabilidade de cada um deles
ganhar o jogo.
a)Qual seria a probabilidade desse jogo terminar em apenas mais duas rodadas?
b)Levando em conta todas as diferentes possibilidades de concluir o jogo, qual seria a probabilidade de cada um deles vencer o jogo?
Quanto cada um deveria receber?
25(Unesp – SP) Paulo deve enfrentar em um torneio
dois outros jogadores, João e Mário. Considere
os eventos A: Paulo vence João, e B: Paulo vence
Mário. Os resultados dos jogos são eventos independentes. Sabendo que a probabilidade de
2
Paulo vencer ambos os jogadores é e a proba5
3
bilidade de ele ganhar de João é , determine a
5
probabilidade de Paulo perder dos dois jogadores, João e Mário.
26(UFPR – PR) Dois matemáticos saíram para comer uma pizza. Para decidir quem pagaria a conta,
eles resolveram lançar uma moeda 4 vezes: se não
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
Respostas do capítulo 23
1b
22 e 4
2
7
3
b ) p ( e ) =
7
4c
3a ) p ( A) =
5b
6a ) p ( PPB ) =
b )
7e
1
3
15
56
8a
9c
10c
11b
12 p =
2
25
13b
3
190
7
2. p =
95
141. p =
1536 p = 15
16b
17c
18a
19e
20b
21d
22a ) 99%
b ) 10 componentes
23b
24b
25 p ( DD) =
26a
27a ) p =
2
15
1
4
5
e R$ 62,50
16
11
Fernando:
e R$ 137,50
16
b ) Ricardo:
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