MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO
1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
O que se entende por variável aleatória?
Até agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais para definirmos nosso
Espaço Amostral U, sem associarmos suas respectivas probabilidades aos experimentos
aleatórios.
Existem, contudo, experimentos cujos resultados podem ser expressos por
quantidades numéricas. Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor específico a cada
resultado do experimento aleatório.
Quando realizamos a observação dos resultados de um experimento que pode ser
resultado repetidamente sob condições essencialmente inalteradas (experimento aleatório),
não poderemos, de antemão, dizer qual particular resultado irá ocorrer na próxima tentativa,
muito embora sejamos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do
experimento. Assim, por exemplo, antes de lançar um dado poderemos descrever que os
possíveis resultados são: l, 2, 3, 4, 5, 6, mas qual desses, em particular, irá ocorrer, no
próximo lançamento é impossível predizer com absoluta certeza. Variável aleatória é, pois
o resultado da observação de experimentos não determinísticos.
Entretanto o resultado de um experimento não é necessariamente, um número. De
fato na observação das peças que saem de uma máquina poderemos, simplesmente, anotar
as categorias "defeituosas" ou "não defeituosas". Contudo, em muitas situações
experimentais, estamos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como
um número. Mesmo no exemplo acima, poderemos atribuir um número a cada resultado
(não numérico) do experimento.
U: observação das peças (telhas) que saem de uma máquina
X número de peças defeituosas
X = 0, 1, 2, 3, .....................,n
Portanto, chama-se variável aleatória a uma variável cujo valor é um número
determinado pelo resultado de um experimento ou através da observação, e aos quais
podemos associar probabilidade.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas em:
1- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETA
Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, x2, x3, ...........xn. Diremos que
X é uma variável aleatória discreta. Se o número de valores tomados por X é finito ou
infinito numerável.
Exemplo: U: Lançamento de quatro moedas
Seja,
X: o número de caras observadas.
X = 0, 1, 2, 3, 4
De modo geral podemos dizer que as variáveis aleatórias discretas são as que resultem de
contagens.
2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Seja X uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor num intervalo,
diremos que X é uma variável aleatória contínua.
Exemplos:
a) Número de horas de duração de uma lâmpada
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b)
b) A altura de um indivíduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, conforme
a precisão de medida.
De modo geral podemos afirmar que as variáveis aleatórias contínuas são aquelas
que resultem de "medição", em especial, de tempo, temperatura, comprimento, peso,
volume, etc.
Um aspecto interessante é o que o mesmo experimento pode dar margem à
observações de várias variáveis, e a escolha da que vai ser observada fica a critério do
observador. Como exemplo vejamos o experimento "jogar 4 moedas simultaneamente".
Como variável aleatória poderemos escolher "o número de caras obtidas ou a distância
mínima entre 2 moedas". A primeira seria uma variável aleatória discreta e a Segunda seria
uma variável aleatória contínua.
1- VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
1.1-
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
A probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor X, é a função de
probabilidade de X que representamos por P(X = xi) ou simplesmente por P(X).
f(x) = 0
se X  xi
n
 f(xi) = 1
f(x) = P(X = xi)
i=1
Portanto a função que associa probabilidade aos possíveis valores de uma variável
aleatória, denomina-se função de probabilidade.
A função P(X) pode ser expressa por uma tabela ou gráfico
Exemplo
Seja E: o espaço amostral no lançamento de 2 moedas e X: o número de caras C obtidas.
Isto é:
E = (K,K); (K,C); (C,K); (C,C)
X = 0, 1, 2 
TABELA:
X
0
1
2
P(X) 1/4 1/2
1/4
GRÁFICO:
P(X)
1/2
1/4
0
1
2
X
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1.2-
FUNÇÃO REPARTIÇÃO
Define-se função repartição da variável aleatória X, no ponto x, como sendo a
probabilidade de que x assuma um valor menor ou igual a X, isto é:
F(X) = P(X  x). No exemplo acima teremos:
F(X) = 1/4 se x  0
F(X) = 1/2 se 1  x  2
F(X) = 1/4 se x  2
2- VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
2.1- FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é
uma função que satisfaz as seguintes condições.
f(x)  0
f(x).d(x) = 1
b
Assim P( a  x  b) =
f(x).d(x)
a
2.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO
F(X) = P(X  x) = P( -oo  x  +oo) =
+oo
f(x).dx
-oo
= 1
Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de
probabilidade.
f(x) =
2x
0
para
para  (qualquer) outro valor
para x  0
f(x) =
0  x  1
 F(x) = 0
para 0  x  1  F(x) =
2x.dx = 2x2 x
0
para x  1
2
= x2
0
 F(x) = 1
Representação gráfica
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F(x)
1
1
Exemplo/Exercício
x
Seja f(x) = 3/2 (1 - x2 ),
0x1
0, caso contrário
Ache a função repartição e esboce o gráfico.
3- DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS DE PROBABILIDADES
3.1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
No contexto das distribuições de probabilidades, os valores individuais de
probabilidades podem ser designados pelo símbolo f(x), que enfatiza a existência de uma
função matemática (variáveis contínuas). Por P(X = x), que enfatiza que a variável
aleatória pode assumir diversos valores, ou simplesmente por P(X).
Para uma variável aleatória discreta todos os possíveis valores da variável aleatória
podem ser listados numa tabela com as probabilidades correspondentes: distribuição de
probabilidade Binomial, Hipergeométrica e de Poisson. Para uma variável aleatória
contínua não podem ser listados todos os possíveis valores fracionários da variável, e desta
forma as probabilidades são determinadas por uma função matemática, são retratadas,
tipicamente, por uma função densidade ou por uma curva de probabilidade.
3.2 VALOR
DISCRETAS.
ESPERADO E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
n
Média, Valor Esperado ou Esperança Matemática:  = E(X) =  xi.P(xi)
i=1
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3.3 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA:
3.3.1- A média de uma constante é a própria constante
E(X) =  k.P(xi) = k. P(xi) = k
3.3.2- A média de uma variável multiplicada por uma constante é igual à constante
multiplicada pela média da variável.
E(k.X) =  k.xi.P(xi) = k. xi.P(xi) = k.E(xi)
3.3.3- A média da soma ou da diferença é a soma ou diferença das médias.
E( X + Y) = E( X ) + E( Y )
ou
E(X - Y) = E(X) - E(Y)
3.3.4- Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média fica
somada ou subtraída da mesma constante.
E(X + k) = E(X) + E(k) = E(X) + k ou E(X- k) = E(X) - k
3.3.5- A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das
médias.
E(X.Y) =  xi.yj.P(xiyj) = xi.yi.P(xi).P(yj) =  xi.P(xi). yj.P(yj) = E(X).E(Y)
3.4-
VARIÂNCIA
A forma geral de desvios para a fórmula da variância de uma distribuição discreta de
probabilidade é:
V(X) = 2(X) =   xi - E(X)2.p(xi)
ou
V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2 ( Fórmula Computacional)
3.5- PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA
3.5.1- A variância de uma constante é zero
2(X) = V(k) = E k - E(k)2 = E(k - k)2 = 0
3.5.2- Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica
multiplicada pelo quadrado da constante.
V(k.X) = 2(k.X) = kX - E(k.X)2 = k.X - k.E(X)2 = k(X - E(X)2
= k2.X - E(X)2 = k2.V(X)
3.5.3- Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se
altera.
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2(X + k) = 2(X) + 2(k) = 2(X) + 0 = 2(X)
3.5.4- A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é a
soma das respectivas variâncias.
2(X +Y) = 2(X) + 2(Y)
e
2(X - Y) = 2(X) + 2(-Y) = 2(X) + (-1)2.2(X) = 2(X) + 2(Y)
EXEMPLO:
A tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes solicitadas em uma agência
de aluguel de carros durante um período de 50 dias.
Demanda
possível X
Nº de dias
Probabilidade Valor Ponde- Demanda ao Quad. PondeP(X)
rado X:P(X) quadrado X2 rado X2.P(X)
3
3
0,06 = 3/50
0,18
9
0,54
4
7
0,14 = 7/50
0,56
16
2,24
5
12
0,24
1,20
25
6,00
6
14
0,28
1,68
36
10,08
7
10
0,20
1,40
49
9,80
8
4
0,08
0,64
64
5,12
TOTAL
50
1,00
E(X) = 5,66
E(X2) = 33,78
OBS. A probabilidade de serem solicitadas exatamente sete (7) caminhonetes em um
determinado dia aleatoriamente escolhido no período é de 0,20 e de cinco (5) é de 0,24.
Determine:
a) A esperança matemática
b) A variância, cálculo computacional.
a) E(X) = 5,66
Isto é, o valor esperado para dados discretos pode ser fracionário porque
ele
representa um valor médio de longo prazo e não o valor específico para qualquer
observação dada.
c) V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2 = 33,78 - (5,66)2 = 33,78 - 32,04 = 1,74
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Isto é a variação do número de caminhonetes em torno da média ao quadrado é de 1,74.
Exercícios
1- Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera. A
probabilidade do número de cadeiras ocupadas X é dada por:
X
P(X)
0
0,304
1
0,228
2
0,171
3
0,128
4
0,096
5
0,073
a) Ache a média E(X) =  da variável aleatória X.
E(x) = 1,7
b) Calcule a variância e o desvio padrão, da variável aleatória X.
V(X) = 2,53
c) Calcule P( 2  X  5).
0.468
d) Desenvolva no formato tabular a cdf ( Função de Distribuição Acumulada) dessa
distribuição.
e) Desenvolva a função repartição dessa distribuição.
2- Considere uma moeda perfeita lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtida.
Calcule
a) a distribuição de X
b) média de X
E(x) = 1,5
c) a variância
² = 0,75
3- Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem
reposição, e defina a V.A X igual a número de bolas pretas.
a) Obtenha a distribuição de X
b) Obtenha a média e a variância da V.A X
E(X) =1,875
² = 0,502
4- Uma moeda é lançada 4 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule
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a) a distribuição de Y
 = 2 , ² = 1
b) a média e variância de Y
5- Considere uma mesa contendo 10 frutas das quais 4 estão estragadas. Retire três dessas
frutas ao acaso, sem reposição e defina a V.A. X igual a número de frutas estragadas.
a) Obtenha a distribuição de X
 = 1,2
b) Obtenha a média e a variância da V.A.
,
² = 0,560
4-DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
4.1- INTRODUÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Seja um experimento que consiste na realização de uma prova, cujos resultados só
podem ser "sucesso" ou "fracasso". Observando ainda que na realização desta prova os
eventos são independentes, vamos chamar de X uma variável aleatória que de acordo com
a pressuposição citada, somente assumirá valores 0 e 1, sendo 0 a ocorrência do evento
"fracasso" e 1 a ocorrência do evento "sucesso" com probabilidades
P(X = 0) = q
X
0
1
P(X = 1) = p
P(X)
q
p
 p+ q = 1
 q = 1 - p
Obs.
q = l- p é complementar de p, pois
p + q = 1.
2- E(X) =  xi.p(xi) = 0.q + 1.p = p
 E(X) = p
3- V(X) = E(X2) - E(X)2 = 02.q + 12.p - p2
= p - p2 = p(1 - p) = p.q 
V(X) = p.q
Consideremos que:
a) n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas.
b) Cada prova é uma prova de Bernoulli ou seja, admite dois resultados: sucesso ou
fracasso que são mutuamente exclusivos.
c) A probabilidade de sucesso ou fracasso é a mesma em cada prova, isto é, constantes.
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d) p é a probabilidade de sucesso em cada prova e q = 1 - p a ocorrência do fracasso.
4.2- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única (sucesso), e q
= 1 - p é a probabilidade de que o evento não ocorra (insucesso), então a probabilidade do
evento ocorrer exatamente x vezes em n tentativas, isto é, de que haja X sucessos e n - x
insucesso, é dado por:
P(X = x) =
p x . qn - x
n
x
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Baseados na propriedades da E(X) e V(X) e como a variável binomial X é uma soma
de variáveis independentes do tipo Bernoulli, teremos que:
E(X) = E( x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = E(x1) + E(x2) + E(x3) +........+ E(xn) = np

E(x) =  = n.p
V(X) = V(x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = V(x1) + V(x2) + V(x3) + ......+ V(xn) = p.q + p.q +
p.q + .........+ p.q = n.pq. = n.p.(1 - p)

V(x) = ² = n.p.q
FÓRMULAS GERAIS:
E(X) = xi.p(xi)
P(X = xi) =
n
. pxi.(1 - p) n - xi
xi
E(X) =  xi. n
.pxi. (1 - p)n - xi
xi
V(X) = (xi – E(X))².p(xi)
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TRIÂNGULO DE PASCAL UMA FERRAMENTA IMPORTANTE
Números Combinatórios
Ou binomiais
n
p
n!
= Cn,p =
p!.(n-p)!
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4
n=0
0
0
n=1
1
0
1
1
n=2
2
0
2
1
2
2
n=3
3
0
3
1
3
2
n=4
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
n=5
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
n=6
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
P=5 P=6
3
3
6
6
n
n
n
n
n
n
n
n ... n
0
1
2
3
4
5
6
n
Substituindo-se cada número combinatório pelo respectivo valor, o triângulo de
Pascal fica assim:
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P=0
P=1
P=2
P=3
P=4
P=5
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
.
.
.
1
6
15
20
15
6
11
P= 6
1
Observe que o triângulo de Pascal continua infinitamente, à medida que vai
aumentando o valor de n.
APLICAÇÕES
1- Em uma fábrica de parafusos um terço da produção é defeituosa. Em uma amostra de 6
parafusos, pergunta-se
a) Qual a probabilidade de que não tenham nenhum defeituoso?
b) Qual a probabilidade de que o número de parafusos defeituosos seja no máximo 2?
c) Qual o número esperado de parafusos defeituosos?
d) Qual a dispersão em torno do número esperado de parafusos defeituosos?
Solução
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
a) P(X = 0) = 6 . (1/3) 0.(2/3)6-0
 defeituosos
= (2/3)6 = 64/729
0
b) P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 64 / 729 + 192 / 729 + 240 / 729 =
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= 496 / 729 = 68%
c) E(X) =  xi.P(xi) = 0.64 / 729 + 1.192 / 729 + 2.240 / 729 + 3.160 / 729 + 4.60 / 729
5.12 / 729 + 6.1 / 729
 E(X) = 2 defeituosos
ou E(X) = n.p = 6.1/3 = 2 defeituosos
d) V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2
V(X) = 02.64/729 + 12.192/729 + 22.240/729 + 32.160/729 + 42.60/729 + 52.12/729 +
62.1/729 = 5,33
V(X) = 5,33 - 22 = 1,33
1,15
ou
V(X) = n.p.q = 6.1/3.2/3 = 1,33   = 1,33 =
2- Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a um tipo de operação da qual 80%
sobrevivem. Qual a probabilidade de que:
a) Todos sobrevivem
R 32,775
b) Pelos menos dois sobrevivem
R 99,33%
c) No máximo 3 não consigam sobreviver.
R 99,33%
d) Qual é o número esperado de sobreviventes?
R 4 sobreviventes
3- Se 2/3 da população de certo município não assistem regularmente a programas de
televisão e, colocando 250 pesquisadores cada um entrevistando 8 pessoas, estimar
quantos desse pesquisadores informarão que até 2 das pessoas consultadas são
telespectadores habituais.
Solução
X . Assistem regularmente televisão
p = 1/3
q = 2/3
X = 0, 1, 2
P(X=0) = 8 .(1/3)0.(2/3)8 = 256/6561
0
P(X=1) = 8 .(1/3)1.(2/3)7 = 1024/6561
1
P(X  2) = 256 + 1024 + 1792
6561
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P(X=2) = 8 .(1/3)2.(2/3)6 = 1792/6561
13
P(X) = 3072 = 46,82%
2
6561
Logo E(X) = n.p 250.(3072/6561) = 117,055  117 pesquisadores.
4- DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Quando a amostragem se faz sem reposição de cada item amostrado de uma
população finita, não se pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que exite uma
mudança sistemática na probabilidade de sucesso á medida que os itens são retirados da
população. A distribuição Hipergeométrica é uma distribuição discreta de probabilidade
apropriada quando existe amostragem sem reposição em uma situação que, se não fosse por
isso, seria um processo de Bernoulli.
Suponha-se que tenhamos um lote de N peças e M das quais são defeituosas.
Suponha-se que escolhemos, ao acaso n peças desse lote ( n  N); sem reposição. Seja X o
número de peças defeituosas encontradas. Desde que X = x se, e somente se, obtivermos
exatamente k peças defeituosas ( dentre as M defeituosas do lote) e exatamente ( n - x) não
defeituosas ( dentre as N - M não defeituosas do lote, teremos:
P(X = x) =
M
x
.
N
n
N-M
n-x
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
E(X) = n.p
V(X) = 2(X) = n.p.q.
N-n
N-1
E(x) =  xi.p(xi) =  xi. M
x
N-M
n-x
(*)
N
n
APLICAÇÕES
1- Em uma sala há 6 homens e 5 mulheres. Uma comissão de 4 pessoas é formada ao acaso.
Qual a probabilidade de que:
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a) apareçam 3 homens na comissão,
b) não apareça nenhum homem,
c) Qual o número esperado de homens na comissão e o número de mulheres?
Solução
a)
N = 11 (total de pessoas)
n = 4 ( número de pessoas na comissão)
M = 6 ( quantidade de homens)
N - M = 5 ( quantidade de mulheres)
x = 3 (quantidade de homens na comissão)
6
5
P(X = 3) = 3
1
= 20.5/330 = 10 / 33
11
4
b) P(X = 0) =
6
0
5
4
= 1.5 / 330 = 1 / 66
11
4
c) E(X) = E(x) = 4.6/11 = 24/11 = 2,l8  2 homens
E(X) = E( N - x) = 4.5/11 = 20/11  2 mulheres
Poderia calcular E(X) usando a fórmula (*).
2- Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6
lâmpadas ao acaso para iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que:
a) exatamente duas estejam queimadas?
b) Pelo menos uma seja boa?
c) Pelo menos duas estejam queimadas?
d) Encontre o número esperado de lâmpadas queimadas e a dispersão em torno da média.
Solução
X: lâmpadas queimadas
M: total de lâmpadas queimadas = 5
k: lâmpadas queimadas (ao acaso)
n: número de lâmpadas (ao acaso) = 6
N: total de lâmpadas = 12.
5
a) P(X=2) = 2
7
4
= 10.35/924
= 350/924
12
6
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b) X = 0, 1, 2, 3, 4, 5
P(X  5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= 5 7
5 7
5 7
5 7
5
0 6 + 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4
12
6
12
6
12
6
12
6
7
2
5
+ 5
12
6
15
7
1
12
6
= 7/924 + 105/924 + 350/924 + 350/924 + 105/924 + 7/924
= 924/924 = 1 = 100%
c) P(X  2) = p(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= 350 + 350 + 105 + 7
=
812 / 924 = 87,88%
924
d) E(X) = n.p = 6.5/12 = 2,5  2 lâmpadas queimadas
2(X) = V(X) = n.p.q. N - n
= 6. 5/12. 7/12. 12 - 6
N-1
12 - 1
2(X) =
0,795
= 0,89
= 0,795
 1 lâmpada
5-DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson pode ser usada par determinar a probabilidade de um dado
número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço.
Tal processo, chamado de processo de Poisson é similar ao processo de Bernoulli, exceto
que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em tentativas ou
observações fixadas. Um exemplo de tal processo é a chegada de chamadas em uma
central telefônica. Tal como no caso do processo de Bernoulli, supõe-se que os eventos são
independentes e que o processo é estacionário (a média não altera dentro da especificação).
Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número
de sucessos em um processo de Poisson: o número médio de sucessos para a específica
dimensão de tempo ou espaço de interesse. Este número médio é geralmente representado
por  ou . A fórmula para determinar a probabilidade de um dado número X de sucessos
em uma distribuição de Poisson é:
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P(X / ) = X.e-
16
e = 2,71828........
X!
PARÂMETRO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
E(X) = 
e V(X) = 2 = 
EXEMPLOS
1- Em um cruzamento de 2 ruas o número médio de acidentes é igual a 2 semanais.
Determinar
a) a probabilidade de que uma determinada semana ocorram 3 acidentes.
b) A probabilidade de que não ocorra nenhum acidente
c) A probabilidade de que ocorra acidente.
Solução
X = 0, 1, 2, 3, ......., n
a) P(X = 3) = 23.e-2
= 8/6.2,7183-2
= 4/3.0,13534 = 0,18 = 18%
3!
b) P(X = 0) = 20.e-2
= 0,13534 = 13,53%
0!
d) P(X  1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,13534 = 0,86466 = 86,47%
2- Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por
hora. A probabilidade de que menos do que três chamadas sejam recebidas durante
uma hora aleatoriamente escolhida é:
P(X < 3) /  = 5) = P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 50.e-5 + 51.e-5
0!
1!
+ 52.e-5
2!
= 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1248 = 12,5%
EXERCÍCIOS
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
1- Descobriu-se que a chegada de clientes a um Banco, durante intervalos
aleatoriamente escolhidos de 10minutos, segue a distribuição de probabilidade da
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17
tabela, abaixo. Calcular o número esperado de chegadas por intervalo de 10
minutos bem como calcular a variância das chegadas.
E(X) = 2, V(X) = 1,9
Nº
de
chegadas X
Probabilida
-de P(X)
0
1
2
3
0,15
0,25
0,25
0,20
4
0,10
5
0,05
2- Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é
causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três
acidentes, qual a é probabilidade de que:
a) exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado?
40,8%
b) No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado?
57,6%
c) Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes causados por
motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes:
Pdf (*) Cdf (**)
0 0,0742
0,0742
1 0,2205
0,2947
2 0,2947
0,5893
3 0,2334
0,8227
4 0,1213
0,9440
5 0,0432
0,9873
6 0,0107
0,9980
7 0,0018
0,9998
8 0,0002
1,0000
9 0,0000
1,0000
10 0,0000
1,0000
(*) pdf - Probability Distribution Function (Função de Distribuição de Probabilidade)
(**) Cdf - Cumulative Distribution Function ( Função de Distribuição Cumulativa)
1- ache P(x=3)
23,34%
2- ache P(5  x  9)
1,27%
3- qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima? =2,29, ² =1,77
3- Existem 90% de probabilidade de que um certo tipo de componente se comporte de
forma adequada sob condições de elevadas temperatura. Se o dispositivo em questão tem
quatro de tais componentes, determinar, por meio da fórmula de probabilidades binomiais a
probabilidade de cada um dos eventos.
a) Todos os componentes se comportam de forma adequada, por conseguinte, o
dispositivo funciona.
65,61%
b) O dispositivo não funciona por falhar um dos quatro componentes.
29,16%
c) O dispositivo não funciona por que falham um ou mais dos componentes. 34,39%
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18
4-Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da
representação sindical e que se peça uma resposta anônima a uma amostra aleatória de 10
empregados. Qual a probabilidade de estarem a favor da representação sindical:
a) a maior parte dos que responderam?
16,08%
b) Menos da metade dos que responderam?
63,92%
5- De 20 estudantes em uma classe, 15 não estão satisfeitos com o texto utilizado. Se uma
amostra aleatória de quatro alunos se perguntar sobre o texto, determinar a probabilidade de
que estivessem descontentes com o texto:
a) exatamente três estudantes.
46,96%
b) No mínimo três estudantes.
75,13%
6- Somente um de cada mil geradores montados em uma fábrica apresenta defeitos, sendo
que os geradores defeituosos se distribuem aleatoriamente ao longo da produção.
a) Qual a probabilidade de que um carregamento de 500 geradores não inclua gerador
defeituoso algum?
60,65%
b) Qual a probabilidade de um carregamento de 100 geradores contenha no mínimo
um gerador defeituosos?
9,52%
7- Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja
defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao
acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado?
Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Pb = 37,58% e Pp =
40,6%
8- Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem corte a uma taxa de um por
2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés a fita magnética tenha:
a) nenhum corte?
36,79%
b) No máximo 2 cortes?
91,97%
c) Pelo menos dois cortes?
26,42%
9- Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de
Poisson, com a média de 8 chamadas por minuto. Determinar a probabilidade de que
num minuto aleatoriamente escolhido se tenha.
a) três ou mais chamadas
98,62%
b) menos do que 5 chamadas
9,96%
c) entre 7 (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
27,92%
10- Uma máquina, fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum defeito, um,
dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%,
respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 10 u.m. e à medida que
apresente defeito, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual o preço médio
de venda destas placas?
E(x) = 9,34 u.m
11- Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15% das
vezes, por atraso na entrega, mercadoria fora de especificação danos, etc. causando
reclamações por parte dos clientes. Calcule a probabilidade de:
a) não ocorrer reclamações nas 10 entregas de hoje.
R 19,69%
b) Acontecer pelo menos uma reclamação nas 4 primeiras entregas. R 47,80%
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c) Acontecer no máximo uma reclamação nas 10 entregas.
19
R 54,43%
12- Em um pedágio de determinada rodovia chegam em média 600 carros por hora.
Determine a probabilidade de :
a) chegarem exatamente 10 carros em um minuto
R: 12,51%
b) chegarem menos que 5 caros em um minuto
R:2,92%
II-DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE :
EXPONENCIAL E NORMAL
1– DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL
É uma distribuição de Poisson, uma vez que o tempo ou espaço são um
continuum(distribuição contínua).
Uma vez que o processo de Poisson é estacionário, a distribuição exponencial aplica-se
quer estejamos interessados com o tempo entre dois eventos sucessivos, ou quer no
tempo decorrido até acontecer o primeiro evento após um ponto aleatoriamente
selecionado A probabilidade exponencial de que o primeiro evento ocorrerá dentro do
intervalo especificado de tempo ou espaço é:
P(T  t) = 1 – e-
A probabilidade exponencial de que o primeiro evento não ocorrerá dentro do intervalo
especificado de tempo ou espaço é:
P(T > t) = e-
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
E(t) = 1/
V(T) = 1/²
EXEMPLOS
1- Um departamento de conserto de máquinas recebe em média, 5 chamadas por hora.
Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de que
a primeira chamada chegue dentro de meia hora?
Solução
/hora = 5   = 2,5
Logo P((T  ½) = 1 – e- = 1 – e-2,5 + 1 – 0,0821 = 0,9179 = 91,79%
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20
2- Em média, um navio atraca um certo porto a cada 2 dias. Qual a probabilidade de
que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo
navio?
Solução
Média a cada 2 dias = 1
 = média pó período de 4 dias = 1.2 = 2
Logo P(T > 4 ) = e- = e-2 = 0,1353 = 13,53%
EXERCÍCIO
Em média seis pessoas por hora se utilizam de um caixa-automático de um banco em uma
grande loja de departamentos.
a) Qual a probabilidade de que se passem pelo menos 10 minutos entre a chegada de
dois clientes?
R. 0,3678
b) Qual a probabilidade de que, depois da saída de um cliente, não se apresente outro
em pelo menos 20 minutos
R.0,1353
c) Qual a probabilidade de que chegue um segundo cliente dentro de 1 minuto após a
chegado do primeiro
R0,0952
2-DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal de probabilidade é uma distribuição de probabilidade
contínua que é simétrica ( X = Me = Mo) e mesocúrtica K = Q3 - Q1
= 0,263
2(P90 - P10)
A curva que representa a distribuição normal de probabilidade é freqüentemente
descrita como tendo uma forma de sino, como segue o exemplo.
F(X)
X = Me = Mo
X
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21
A distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões
distintas.
1- As medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem esta distribuição
2- Probabilidades normais podem ser usadas freqüentemente como aproximações de
outras distribuições de probabilidades, tais como as distribuições Binomiais e de
Poisson.
3- As distribuições de estatísticas da amostra tais como a Média e a Proporção
freqüentemente seguem a distribuição normal independentemente da distribuição da
população.
Como para qualquer distribuição contínua de probabilidade, o valor da probabilidade
pode somente ser determinado para um intervalo de valores da variável. A altura da função
densidade, ou curva de probabilidade, para uma variável normalmente distribuida é dada
por:
-1/2( x - )2
f(x) = l
.e

2 . 
onde:
 = 3,14159...
e = 2,7183.....
: é a média da distribuição
: é o desvio padrão da distribuição
Em particular, a distribuição normal de probabilidade com  = 0 e  = 1 é
conhecida como distribuição normal padronizada(reduzida), na qual as tabelas de
probabilidades da normal são construídas.
Qualquer conjunto de valores de X normalmente distribuídos pode ser convertido
em valores normais padronizados Z pelo uso da fórmula.
Z = x - 

Logo
-1/2.z2
f(x) = 1
.e
2 .
-z2/2
=
1
.e
2 .
(-oo, + oo)
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22
f(z)
-3
-2
-1 0 1

2
3
z

Parâmetros da distribuição N(, )
E(x) =  = 0
V(x) = 2 = 1  N ( 0 , 1)
Exemplos
1- As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com
média de 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno aleatório
medir:
a) entre 1,50m e 1,80m
b) mais de 1,75 m
c) menos de 1, 48m
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23
d) qual deve ser a medida mínima para escolher 10% dos mais altos?
e) abaixo de qual estatura estão os 20% mais baixos?
2- Sabe-se que a vida útil de um componente elétrico segue uma distribuição normal
com média  = 2000 horas e desvio padrão  = 200 horas, determine.
a) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2000
e 2400 horas
47,72%
b) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure mais do
que 2200 horas.
15,87%
c) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 1500
e 2100 horas.
68,53%
d) A probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2100
e 2500 horas.
30,23%
2- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS
Quando o número de observações ou tentativas forem relativamente grande, a
distribuição de probabilidade normal pode ser utilizada para a aproximações das
probabilidades binomiais.
Regra aceitável
"regra de bolso"
n  30
n.p  5
n.(1 - p)  5
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24
Para uso da distribuição normal de probabilidade como uma aproximação da
distribuição de probabilidade binomial, a média e o desvio padrão se baseiam no valor
esperado e na variância do número de sucessos de uma distribuição binomial, ou seja:
E(x) =  = n.p
 =
n.p.(1 - p)
Aplicações
1- Para um grande número de clientes potenciais, sabe-se que 20% dos contactados
pessoalmente por agentes de vendas realizarão uma compra. Se um representante de
vendas visita 30 clientes potenciais, podemos determinar a probabilidade de que 10 ou
mais farão uma compra.
a) utilizando as probabilidades binomiais.
b) Utilizando a aproximação normal do valor de probabilidade binomial.
Solução
a) P(x  10) = .....
6,11%
b)  = n.p = 30.2/10 = 6
=
n,p.(1-p)
P binomial (x  10)
=
30.0,2.0,8
= 2,19
= Pbin.( x  9,5 / = 6,  = 2,19) = …. =
5,48%
Obs. Supõe-se que a classe de eventos "10 ou mais começa em 9,5 quando se utiliza
a aproximação normal. Esta subtração de meia unidade é chamada correção de
continuidade e é necessária porque embora não existem eventos possíveis no intervalo
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25
entre 9 e 10 sucessos, a área sob a curva normal deve ser distribuída entre duas classes
adjacentes. Se no exemplo, fosse pedida a probabilidade de "mais de 10" sucessos, a
correção apropriada de continuidade implicaria adicionar 0,5 a 10 e determinar a área do
intervalo começando em 10,5.
A correção de continuidade tem um efeito muito pequeno e pode, portanto, ser
omitida quando existir um grande número de valores da viável X.
Portanto Pbin(x  10) = P(x  9,5) = ....
2- Uma moeda é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas
ocorra entre 4 e 7 inclusive o 4 e o 7.
a) pela distribuição binomial
b) pela distribuição normal
3- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES DE POISSON
Quando a média  de uma distribuição de Poisson for relativamente grande a
distribuição normal de probabilidade pode ser usada como uma aproximação das
probabilidades de Poisson. Uma regra conveniente é que tal aproximação é aceitável
quando   10.
A média e o desvio padrão da distribuição normal de probabilidade, n o caso,
baseiam-se no valor esperado e na variância do número de sucessos em uma processo de
Poisson, ou seja:
= 
 = 
Aplicação
Um departamento de conserto de máquinas recebe em média, 10 chamadas em cada
período de 8 horas. Podemos determinar a probabilidade de que mais de 15 chamadas
serão recebidas em um período de 8 horas aleatoriamente escolhido.
a) pela distribuição de Poisson
b) pela distribuição normal
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4- Métodos
26
de Amostragem e Distribuições Amostrais
OBJETIVOS DO CAPÍTULO:

Explicar porque em muitas situações uma amostra é a única forma plausível de
aprender alguma coisa sobre uma população.

Explicar os métodos de selecionar uma amostra

Distinguir entre amostragem probabilística e amostragem não probabilística

Definir e construir uma distribuição amostral de médias amostrais

Explicar o Teorema do Limite Central e sua importância para a Inferência Estatística

Calcular Intervalos de Confiança para Médias e Proporções

Determinar que tamanho uma amostra deve ter para estimar médias e proporções
Porque amostrar uma população

Natureza destrutiva de certos testes

A impossibilidade física de checar todos os itens na população

O custo de estudar todos os itens em uma população é freqüentemente proibitivo

Muitas vezes as estimativas baseadas em uma amostra são mais precisas do que os
resultados obtidos através de um levantamento censitário

Tempo muito elevado para a apuração de resultados em censos
6.1 Amostragem Probabilística

O que é uma amostragem probabilística ?

É uma amostra selecionada de tal forma que cada item ou pessoa na população estudada
têm uma probabilidade (não nula) conhecida de ser incluída na amostra.
Métodos de Amostragem Probabilística:

Amostragem Aleatória Simples (AAS)
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27
Uma amostra escolhida de tal forma que cada item ou pessoa na população tem a mesma
probabilidade de ser incluída.
Se a população tem um tamanho N, cada pessoa desta população tem a mesma
probabilidade igual a 1/N de entrar na amostra. Utilizamos uma tabela de números
aleatórios para sortear (com mesma probabilidade) os elementos da amostra. Também pode
ser utilizada uma função randômica: No Excel, por exemplo, temos a função ALEATÓRIO
ENTER.

Amostragem Aleatória Sistemática
Os itens ou indivíduos da população são ordenados de alguma forma – alfabeticamente ou
através de algum outro método. Um ponto de partida aleatório é sorteado, e então cada késimo membro da população é selecionado para a amostra.
 Amostragem Aleatória Estratificada
A população é inicialmente dividida em subgrupos (estratos) e uma subamostra é
selecionada a partir de cada estrato da população.

Amostragem aleatória Estratificada com Repartição Proporcional
Suponhamos que a população é subdividida em k estratos. Sejam:
N = o número de indivíduos na população
n = o número de indivíduos na amostra
Ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato da população
ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato na amostra
ni  n 
Ni
N
i  1,2,...., k
os estratos devem ser o mais homogêneos possíveis com relação às características
relevantes da pesquisa (variáveis que se correlacionam fortemente com a variável estudada)
para um mesmo tamanho amostral, a amostragem aleatória estratificada com repartição
proporcional é mais precisa (menor variância do estimador) do que a amostragem aleatória
simples (AAS).
 Amostragem Aleatória Estratificada com Repartição de Neyman (ou repartição
ótima)
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28
Se conhecermos a variância de cada estrato populacional referente a variável que estamos
desejando estimar o seu parâmetro, um método mais adequado é o da repartição de
Neyman.
ni  n 
wi i
 n
k
W 
i 1
i
i
N i i
k
N
i 1
i
i
para um mesmo tamanho amostral a precisão é maior para amostra aleatória estratificada
com repartição de Neyman (repartição ótima) do que para a amostra aleatória estratificada
com repartição proporcional que por sua vez é maior do que a amostra aleatória simples

Amostragem por Conglomerados
A população é inicialmente subdividida inicialmente em subgrupos (estratos) e uma
amostra de estratos é selecionada (por exemplo, com probabilidade proporcional ao
tamanho de cada estrato). A seguir, amostras são selecionadas dos estratos selecionados
previamente.
A principal vantagem da amostra por conglomerados é a de possibilitar considerável
redução de custos (em relação por exemplo a uma amostragem aleatória estratificada) para
um mesmo tamanho amostral.
O método costuma ser empregado quando não dispomos de um cadastro da população
(como no caso da amostragem sistemática) e os custos de ser elaborado um cadastro para
toda a população é muito elevado.

Erro amostral: A diferença entre a estatística amostral e seu correspondente parâmetro.

Uma distribuição de probabilidade consiste de uma lista de todos os possíveis valores
das médias amostrais de um dado tamanho amostral constante selecionado da
população e a probabilidade de ocorrência associada a cada média amostral.

Exemplo 1 – Uma empresa tem 5 sócios. Semanalmente, os sócios relatam o número
de horas de atendimento a clientes
Sócio
Horas
1
22
2
26
3
30
4
26
5
22
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

Dois sócios são selecionados aleatoriamente. Quantas amostras ‘distintas são possíveis?
O número de amostras distintas de dois elementos tomados em 5 objetos corresponde a:
5 C2 
5!
 10
(2!)(3!)
Sócios
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5

Total
48
52
48
44
56
52
48
56
52
48
Média
24
26
24
22
28
26
24
28
26
24
Organize as médias amostrais em uma distribuição de freqüências.
Média
Amostral
22
24
26
28

freqüência
1
4
3
2
Freqüência Relativa
(Probabilidade)
1/10
4/10
3/10
2/10
Calcule a média das médias amostrais e compare-a com a média da população.

A média da população é:
22  26  30  26  22

 25,2
5

A média das médias amostrais é:
(22)(1)  (24)(4)  (26)(3)  (28)(2)
 25,2
10

29
Observe que a média das médias amostrais é igual a média populacional
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30
6.2 Teorema do Limite Central

Para uma população com média  e uma variância  2 , a distribuição amostral das
médias de todas as possíveis amostras de tamanho n, geradas a partir da população, será
aproximadamente normalmente distribuída – com a média da distribuição amostral
igual  e variância igual  2 / n
- assumindo que o tamanho amostral é
suficientemente grande, ou seja, n  30 .

Em outras palavras, se a população tem qualquer distribuição (não precisa ser
necessariamente normal) com média igual a  e variância igual a  2 , então a
distribuição amostral dos valores médios amostrais é normalmente distribuída com a
média das médias (
X
) igual a média da população (
padrão das médias amostrais igual a

n
X
) e o erro
, desde que n  30 .

Note que o erro padrão das médias amostrais mostra quão próximo da média da
população a média amostral tende a ser.

O erro padrão das médias amostrais é calculado por:
X
X 
n
X
X
n
é o símbolo para o erro padrão das médias amostrais
é o desvio padrão da população
é o tamanho da amostra

Se
não é conhecido e n  30 (considerada uma amostra grande), o desvio padrão da
amostra, designado por s, é usado para aproximar o desvio padrão da população,
.A
fórmula para o erro padrão torna-se:
sX 

s
n
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31
n
onde
s
2
 (Xi  X )
i 1
n 1
6.3 Estimativa de Ponto


Estimativa de ponto é um valor (chamado um ponto) que é usado para estimar um
parâmetro populacional
Exemplos de estimativas de ponto são a média amostral, o desvio padrão amostral, a
variância amostral, a proporção populacional, etc.
Exemplo: O número de itens defeituosos produzidos por uma máquina foi registrado em
cinco horas selecionadas aleatoriamente durante uma semana de trabalho de 40 horas. O
número observado de defeituosos foi 12,4,7,14 e 10. Portanto, a média amostral é 9,4.
Assim a estimativa de ponto para a média semanal do número de defeituosos é 9,4.
6.4 Estimativa de Intervalo
 Uma Estimativa de Intervalo estabelece uma faixa de valores dentro da qual um
parâmetro populacional provavelmente cai.
 O intervalo dentro do qual um parâmetro populacional é esperado ocorrer é chamado de
intervalo de confiança.
 Os intervalos de confiança que são extensivamente usados são os de 95 % e 99 %.
 Um intervalo de confiança de 95 % significa que cerca de 95 % dos intervalos
construídos similarmente conterão o parâmetro que está sendo estimado.
 Outra interpretação do intervalo de confiança de 95 % é que 95 % das médias amostrais
para um tamanho de amostra especificado cairão a uma distância máxima de 1,96
desvios padrões da média populacional.
 Para o intervalo de confiança de 99 %, 99 % das médias amostrais para um tamanho
amostral especificado cairão a uma distância máxima de 2,58 desvios padrões da média
populacional.
Os intervalos de confiança para 95 % e 99 % são construídos como segue, para n  30:
 O IC de 95 % para a média populacional
é dado por:

X  1,96
s
n
 O IC de 99 % para a média populacional

é dado por:
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X  2,58

32
s
n
Em geral, um intervalo de confiança para a média, é calculado por:
X Z
s
n
onde Z é obtido da tabela de distribuição normal padrão.
Exemplo 2
Uma universidade quer estimar o número médio de horas trabalhadas por semana por seus
estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas com um desvio
padrão de 4 horas.
A estimativa de ponto do número médio de horas trabalhadas por semana é 24 horas (média
amostral).
Qual é o intervalo de confiança de 95 % para o número médio de horas trabalhadas por
semana ?
Usando a fórmula anterior (
X  1,96
s
4
) temos 24  1,96
49
n
ou 22,88 a
25,12. O limite de confiança inferior é 22,88. O limite superior de confiança é 25,12. O
grau de confiança (nível de confiança) utilizado é 0,95.
Interprete os resultados
 Se nós tivéssemos tempo para selecionar aleatoriamente 100 amostras de tamanho 49 da
população de alunos do campus e calcular as médias amostrais e os intervalos de
confiança para cada uma destas 100 amostras, a média populacional (parâmetro) do
número de horas trabalhadas estaria contida em cerca de 95 dos 100 intervalos de
confiança. Cerca de 5 dos 100 intervalos de confiança não conteriam a média
populacional.
6.5 Intervalo de Confiança para Uma Proporção Populacional
Um intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por:
p  Z p
onde:
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p
33
é a proporção amostral
p
é o erro padrão da proporção amostral e é dado por:
p 
p (1  p )
n
O intervalo de confiança é construído por:
p (1  p )
p  Z
n
onde:
p é a proporção amostral
Z é o valor da variável normal padrão para o grau de confiança adotado.
n é o tamanho amostral
Exemplo 3
Um planejador financeiro está estudando os planos de mudança de jovens executivos. Uma
amostra de 500 jovens executivos que possuem suas próprias casas revelou que 175
planejam vendê-las e retirarem-se para o interior do País. Construa um intervalo de
confiança de 98 % para o parâmetro proporção populacional de executivos que planejam
mudar para o interior.
 Aqui n = 500,
p  175
500
 0,35
e Z = 2,33 (para   0,98  nível de confiança adotado )

O CI de 98 % é 0,35  2,33
(0,35)  (0,65)
ou 0,35  0,0497
500
Interprete a resposta
6.6 Fator de Correção de População Finita

Uma população que tem um limite superior definido é chamada de finita. Em
estatística, considera-se como população finita quando n  0,05 (ou seja, quando a
N
fração amostral é maior do que 5 %).
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
34
Para uma população finita, onde o número total de objetos é N e o tamanho da amostra
é n, o seguinte ajuste é feito para os erros padrões da média amostral e da proporção
amostral.
 Erro padrão da média amostral:
X 


n
N n
N 1
Erro padrão da proporção amostral:
p (1  p ) N  n
n
N 1
p 

Este ajuste é chamado de Fator de Correção de População Finita (FCPF)
Nota: se
n
N
 0,05 , o fator de correção de população finita é ignorado.
Exemplo 4
A universidade do exemplo 2 quer estimar o número médio de horas trabalhadas por
semana pelos estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas e
um desvio padrão de 4 horas. Construa um intervalo de confiança para o número médio de
horas trabalhadas se há somente 500 estudantes no campus.
n
49

 0,098  0,05 . Portanto, temos que usar o FCPF
N 500
4
500  49
24  1,96 

 22,93 ; 25,11
49
500  1
 Agora

6.7 Selecionando uma Amostra

Há 3 fatores que determinam o tamanho de uma amostra, nenhum dos quais tendo uma
relação direta com o tamanho da população. Eles são:
1. O grau de confiança adotado
2. O máximo erro permissível
3. A variabilidade da população
Uma fórmula de cálculo conveniente para determinar o tamanho amostral n é:
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 Zs 
n 
E
35
2
onde:
E é o erro permissível
Z é o valor da variável normal padrão associado ao grau de confiança adotado
s é o desvio padrão da amostra piloto
Exemplo 5
Um grupo de consumidores deseja estimar a média de gasto mensal em eletricidade para
um domicílio familiar simples em Julho. Baseado em estudos similares o desvio padrão é
estimado como sendo R$ 20,00. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 99 %
com um erro máximo admissível de
 R$5,00 . Qual deve ser o tamanho da amostra?
 2,58  20 
n
  106,50  107
5


2
6.8 Tamanho Amostral para Estimativa de Proporções
A fórmula para determinar o tamanho amostral no caso de estimativa de proporções é:
Z 
n  p (1  p ) 
E
p
2
onde
é a proporção estimada, baseada na experiência passada ou em uma amostra piloto
Z é o valor da variável normal padrão associado ao grau de confiança adotado.
E é o máximo erro permissível que o pesquisador tolera.
Exemplo 6
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36
 Um clube deseja estimar a proporção de crianças que tem um cachorro. Se o clube
deseja que a estimativa esteja no máximo afastada 3 % da proporção populacional,
quantas crianças devem conter a amostra? Assuma um intervalo de confiança de 95 %
e que o clube estimou, com base em experiência anterior, que aproximadamente 30 %
das crianças têm um cachorro.
2
 1,96 
n  0,300,70
  893,4  893
 0,03 
7. Teste de Hipóteses – Amostras Grandes
OBJETIVOS:






Definir hipóteses e Testes de Hipóteses
Descrever os 5 passos do procedimento de Teste de Hipóteses
Distinguir entre Teste de Hipóteses Unicaudal e Bicaudal
Realizar um teste para a média populacional
Realizar um teste para a diferença entre duas médias ou proporções populacionais
Descrever os erros estatísticos associados aos testes de hipóteses
Nota:
 Se nada é conhecido acerca da população, a estimação é usada para fornecer uma
estimativa de ponto e de intervalo acerca da população.
 Se alguma informação acerca da população é proposta ou suspeitada, o Teste de
Hipóteses é usado para determinar a plausibilidade desta informação.
O que é uma hipótese ?




Hipótese: uma sentença sobre o valor de um parâmetro populacional desenvolvida para
o propósito de teste.
Exemplos de hipóteses, ou sentenças, feitas acerca de um parâmetro populacional são:
A renda média mensal proveniente de todas as fontes para os analistas de sistemas é de
US 3625
Vinte por cento de todos os transgressores juvenis são presos e sentenciados a prisão.
O que é um Teste de Hipóteses ?
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

37
Teste de Hipóteses: um procedimento, baseado na evidência amostral e na teoria da
probabilidade, usado para determinar se a hipótese é uma afirmação razoável e não seria
rejeitada, ou é não razoável e seria rejeitada.
A seguir são propostos 5 passos para um teste de hipóteses:
Passo 1: Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa
Passo 2: Selecione um nível de significância
Passo 3: Identifique a Estatística de teste
Passo 4: Formule uma regra de decisão
Passo 5: Tome uma amostra e obtenha uma decisão: Não rejeitar H0 ou rejeitar H0 e
aceitar H1

Hipótese Nula H0: Uma afirmação (sentença) sobre o valor de um parâmetro
populacional

Hipótese Alternativa H1: Uma afirmação (sentença) que é aceita se os dados amostrais
fornecem evidência de que a hipótese nula é falsa.

Nível de Significância: A probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é
efetivamente verdadeira, ou seja, valor de  (alfa)

Erro Tipo I: Rejeitar a Hipótese Nula, H0, quando ela é efetivamente verdadeira. A
probabilidade do erro tipo I é igual ao nível de significância,  (alfa).

Erro Tipo II: Aceitar a Hipótese Nula, H0, quando é efetivamente falsa. A
probabilidade do erro tipo II é igual a  (beta)
Tipos de Erros
H0 é verdadeira
H0 é falsa
Alfa = erro tipo I
Aceita H0
Decisão Correta
Erro Tipo II
Rejeita H0
Erro Tipo I
Decisão Correta
Beta = erro tipo II
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38
Estatística de Teste (ou z efetivo ou valor de t): Um valor, determinado a partir da
informação amostral, usado para determinar se devemos ou não rejeitar a hipótese nula.
 Valor Crítico (ou z crítico ou valor de t): O ponto divisor entre a região onde a hipótese
nula é rejeitada e a região onde ela não é rejeitada. Este valor é obtido a partir da
tabela de z (normal padrão) ou da tabela de t (t de Student).
7.1 Testes de Significância Unicaudais

Um teste é unicaudal quando a hipótese alternativa, H1, estabelece uma direção tal
como:

H0: A renda média das mulheres é menor que ou igual a renda média dos homens.

H1: A renda média das mulheres é maior que a renda média dos homens.

A região de rejeição neste caso é a cauda direita (superior) da curva.
Figura com distribuição normal mostrando a região de rejeição para um teste unicaudal
7.2 Testes de Significância Bicaudais

Um teste é bicaudal quando não existe uma direção especificada para a hipótese
alternativa H1, tal com:

H0: A renda média das mulheres é igual a renda média dos homens.

H1: A renda média das mulheres não é igual a renda média dos homens.

A região de rejeição neste caso é dividida igualmente em duas caudas da curva.
Figura com distribuição normal mostrando a região de rejeição para um teste bicaudal
(distribuição amostral para a estatística z para um teste bicaudal, 0.05 de nível de
significância.
Testando a Média Populacional: Amostra Grande, Desvio Padrão da População é
conhecido.
 Neste caso a estatística de teste (z efetivo) é dado por:
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z 
39
X 

n
Exemplo 1

Os processadores de uma indústria indicam o ponto (marca) que a garrafa contem 16
onças (medida inglesa de peso) do produto. O Departamento de Controle de Qualidade
é responsável pelo controle da quantidade incluída na garrafa. Uma amostra de 36
garrafas é selecionada por hora e o seu conteúdo pesado. Na última hora uma amostra
de 36 garrafas apresentou um peso médio de 16,12 onças com um desvio padrão de 0,5
onças.

Ao nível de significância de 0,05 podemos concluir que o processo está fora de
controle?
Passo 1: Estabelecer a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa:
H 0 :   16
H1 :   16
Passo 2: Estabelecer a regra de decisão:
H0 é rejeitado se o z (efetivo – calculado com base nos valores amostrais) < -1,96 ou z >
1,96.
Passo 3: calcule o valor da estatística de teste ( z efetivo)
z  [16,12  16]
[0,5
 1,44
36
]
Passo 4: Qual é a decisão sobre H0?
H0 não é rejeitada, porque 1,44 é menor que o valor crítico de 1,96.
ESTATÍSTICA II - Mário
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40
7.3 P-value de um Teste de Hipótese

P-value: Esta é a probabilidade (considerando que a hipótese nula é verdadeira) de ter
um valor para a estatística de teste no mínimo tão extremo como o valor calculado
(efetivo) para o teste.
 Se o p-value é menor que o nível de significância (alfa), H0 é rejeitada.
 Se o p-value é maior que o nível de siginificância (alfa), H0 não é rejeitada.
7.4 Cálculo do P-value

Teste Unicaudal (para a direita ou cauda superior):
p-value = P{z  valor da estatística de teste calculada}

Teste Unicaudal (para a esquerda ou cauda inferior):
p-value = P{z  valor da estatística de teste calculada}

Teste Estatístico Bicaudal
p-value = 2P{z  valor absoluto do valor da estatística de teste calculado}
Para o exemplo anterior, z = 1,44, e desde que era um teste bicaudal, então o
p-value = 2P{z  1,44}  2(0,5  0,4251)  0,1498 . Desde que 0,1498 > 0,05, não é
rejeitada H0.
Testando para a Média Populacional: Grandes Amostras, Desvio Padrão Populacional
desconhecido

Aqui  é desconhecido, portanto o estimamos com o desvio padrão amostral s.

Quanto maior for o tamanho amostral for n  30, o z efetivo pode ser aproximado com
X 
z
s
n
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41
Exemplo 2

A cadeia de Lojas Arjo emite o seu próprio cartão de crédito. O administrador de
crédito quer verificar se o saldo não pago mensal é maior do que US$ 400. O nível de
significância é fixado em 0,05. Uma amostra aleatória de 172 saldos não pagos revelou
uma média amostral de US$ 407 e o desvio padrão amostral de US$ 38. O admistrador
de crédito pode concluir que a média populacional é maior que US$ 400, ou é razoável
assumir que a diferença de US$ 7 (US$ 407 – US$ 400 é devido a chance (variação
aleatória)?
 Etapa 1: Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa.
H 0 :   400

H1 :   400
Etapa 2: Estabeleça a regra de decisão.
H0 é rejeitada se o z (efetivo) > 1,645.

z

Etapa 3: Calcule o valor da estatística de teste.
407  400
 2,42
38
172
Etapa 4: Qual é a decisão sobre H0?
H0 é rejeitada. O administrador conclui que a média dos saldos nào pagos é maior do que
US$ 400.
Figura ilustrando a região de rejeição do exemplo
7.5 Teste de Hipóteses: Duas Médias Populacionais

Assuma que os parâmetros para duas populações são:

Caso I: Quando
1, 2 ,1 e  2 .
 1 , 2 são conhecidos, a estatística de teste (Z efetivo) é:
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z
X1  X 2
 12
n1

42

 22
n2
 ,
Caso II: Quando
1
2 não são conhecidos mas os tamanhos amostrais n1 e n2 são
maiores ou iguais a 30, a estatística de teste (Z efetivo) é:
z
X1  X 2
s12 s22

n1 n2
Exemplo 3

Na indústria X foi realizado um estudo para comparar o número médio de anos de
serviço para aqueles que se aposentaram em 1975 com aqueles que se aposentaram no
último ano. Os seguintes dados amostrais foram obtidos. A um nível de significância de
0,01 podemos concluir que os trabalhadores que se aposentaram no último ano tiveram
mais anos de serviço?
Característica
Média Amostral
Desvio Padrão Amostral
Tamanho amostral

1975
25,6
2,9
40
Último ano
30,4
3,6
4,5
Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa
Considere que a população 2 é aquela dos que se aposentaram no último ano.
H0 : 2  1

H1 : 2  1
Estabeleça a regra de decisão
Rejeitar H0 se o z (efetivo) > 2,33.

Calcule o valor da estatística de teste (valor de z efetivo):
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z
30,4  25,6
2
2
43
 6,80
3,6
2.9

45
40

Nota: Desde que neste problema estamos testando para:

H0 :
2  1
Precisamos trocar as posições das variáveis na equação do z efetivo (a seguinte equação).
z 
X1  X 2
s12
s22

n1
n2
Z efetivo

Qual é a decisão sobre a hipótese nula ? Interprete os resultados?
Desde que o Z efetivo = 6,80 > Z crítico = 2,33, H0 é rejeitada. Aqueles que se aposentaram
no último ano tiveram mais anos de serviço.
LISTA DE EXERCÍCIOS- ESTATÍSTICA II:
ASSUNTO: INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE HIPÓTES.
1-Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em uma média amostral de 25. O
desvio-padrão da população é  = 5
a) Qual é o erro-padrão da média,  x ?
R. 0,79
b- Qual é a margem de erro para uma probabilidade de 95%?
R. 23,45 a 26,55
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44
2-Uma amostra aleatória simples de 50 itens resultou em uma média amostral de 32 e um
desvio-padrão da amostra de 6.
a)Forneça um intervalo de confiança de 90% para a média da população. R.30,60 a 33,40
b)Forneça um intervalo de confiança de 95% para a média da população. R.30,34 a 33,66
c)Forneça um intervalo de confiança de 99% para a média da população. R.29,81, a 34,19
3-Os ganhos médios semanais dos indivíduos que trabalham em vários setores foram
apresentados no The New York Times 1998 Amanac. Os ganhos médios semanais para os
indivíduos do setor de serviços foram US$369. Considere que esse resultado foi baseado
em uma amostra de serviço de 250 indivíduos e que o desvio-padrão da amostra foi de
US$50. Calcule um intervalo de confiança de 95% para os ganhos médios semanais da
população para os indivíduos que trabalham no setor de serviços.
R. 362,80 a 375,20
4 Em um estudo de subsídios de empréstimos para estudantes, o Departamento de
Educação relatou que aqueles que tomam empréstimos da Stanford Oan com quatro anos de
prazo, terão uma dívida média de US$12.168 (USA Today, 5 abril de 1995). Considere que
essa quantia média de endividamento está baseada em uma amostra de 480 empréstimos de
estudantes, e que na graduação o desvio-padrão da população para a quantia emprestada
seja de US$2.200.
a) desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 90% da quantia média devida
pela população
R.12.003 a 12.333
b) Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 95%. da quantia média devida
pela população
R.11.971 a 12.365
c) Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 99% da quantia média devida
pela populaçãoR.11.909 a 12.427
d) Discuta o que acontece com a amplitude do intervalo de confiança quando o nível de
confiança é aumentado. Isso parece ser razoável? Explique
5 - O departamento de Habitação e de Desenvolvimento Urbano dos Estados Unidos
publica dados sobre o aluguel mensal de mercado para moradia de uma quarto na área
metropolitana(The Federal Register, 30 de abril de 1997). O desvio-padrão para o aluguel
mensal é de aproximadamente US$80. Considere que uma amostra das áreas
metropolitanas será selecionada de modo a se estimar o aluguel médio mensal da população
para a moradia de um quarto. Use uma confiança de 95%
a) Qual o tamanho da amostra se a margem de erro desejada é US$25?
R. 40
b) Qual o tamanho da amostra se a margem de erro desejada é US$15?
R.110
6 - Os dados de perfil de audiência coletadas no Web site da ESPN Sportszone mostraram
que 26% dos usuários eram mulheres (USA Today, 21 de janeiro de 1998). Considere que
essa porcentagem foi baseada numa amostra de 400 usuários.
a) Usando uma confiança de 95%, qual a margem de erro associada com a proporção
estimada de usuários que são mulheres?
R. 0,0430
b) Qual o intervalo de confiança de 95% para a proporção da população dos usuários do
web site da ESPN Sportszone que são mulheres?
R. 0,2170 a 0,3030
7- Um levantamento de mulheres executivas realizado por Louis Harris  Associates
mostrou que 33% das pessoas pesquisadas avaliaram suas próprias empresas como um
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45
exelente lugar para as executivas trabalharem (Wolrking Woman; novembro de 1994),
Suponha que a Wolking Woman queria realizar um levantamento anual para monitorar essa
proporção, quantas executivas deverão ser amostradas para cada uma das seguintes
margens de erro? Assuma que todas as estimativas por intervalo são realizadas em um nível
de confiança de 95%.
a) 10%
R. 85
b) 5%
R. 340
c) 2%
R. 2124
d) 1%
R 8494
e) Em geral, o que acontece ao tamanho da amostra quando a margem de erro diminui?
8- De acordo com a National Automobile Dealers Association, o preço médio de carros
usados nos Estados Unidos é US$10.192 (USA Today, 12 de abril de 1995). Um gerente de
uma distribuidora de carros usados de Kansas City reviu uma amostra de 100 recentes
vendas de carros usados na distribuidora. O preço médio da amostra foi de US$9.300 e o
desvio-padrão da amostra foi de US$4.500. Se  denota o preço médio da população para
carros usados na distribuidora de Kansas City, faça um teste de hipótese Ho:   10.192 e
Ha:  10.192 com uma significância de 0,05
a) Qual è a conclusão do teste de hipóteses?
R.Ho é rejeitado para Z1,65 (Z=1,98,
portanto Ho é rejeitado).
b) Qual é o valor do p-value?
R. P= 0,0239
c) Que informação do teste de hipóteses fornece para o gerente da distribuidora de Kansas
City?
9 - O departamento da Análise Econômicas no Departamento de Comércio dos Estados
Unidos relatou que a renda média anual de um residente da Corolina do Norte é de
US$18.688 (USA Today, 24 de agosto de 1995). Um pesquisador do estado da Carolina do
Sul quer testar Ho: = 18.688 e Ha:   18.688, onde  é a média anual de um residente da
Carolina do Norte.
a) Qual é a conclusão apropriada se uma amostra de 400 residentes da Carolina do Sul
apresenta uma renda média anual de US$16.860 e um desvio-padrão da amostra de
US$14.624 ao nível de significância de 5% (0,05)?
b) Qual é o valor do p-value para este teste?
10_ Uma empresa paga atualmente a seus operários um salário médio de R$15,00 a hora. A
empresa está planejando construir uma nova fábrica e está considerando diversos locais. A
disponibilidade de mão de obra a uma taxa menor que R$15,00 por hora é um grande fator
de decisão do local. Para uma locação, uma amostra de 40 trabalhadores mostrou um
salário médio atual de R$14,00 por hora e um desvio padrão S = R$2,40.
a) Com um nível de significância de 0,01, os dados da amostra indicam que o local tem
uma taxa de salário significativamente abaixo da taxa de R$15,00 por hora
R. rejeita Ho
c) Qual é o p value
R. 0,4%
11) Um levantamento da Nilsen forneceu a estimativa de que o número médio de horas
gastas diante da televisão por família é de 7,25 horas por dia. (New York Daily News, 2 de
novembro de 1997) considere que o levantamento da Nilsen envolveu 200 famílias e queo
ESTATÍSTICA II - Mário
MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO
46
desvio padrão da amostra foi de 2,5 horas por dia. Há dez anos a número médio de horas
gastos diante da TV por família da população foi relatado como sendo 6,70 horas por dia.
a) Elabore um teste de hipótese para a situação
b) Com um nível de significância de 0,01, qual a conclusão sobre qualquer mudança no
tempo gasto diante da TV.
Ho é rejeitado
12-Um novo programa de dieta afirma que os participantes perderão em média pelo menos
8 quilos durante a primeira semana do programa. Uma amostra aleatória de 40 pessoas
participando do programa mostrou uma perda de peso médio de 7 quilos. O desvio-padrão
da amostra foi de 3,2 quilos.
a) Qual a regra de rejeição com um nível de significância  = 0,05? Ho:   8, Ha:  8
b) Qual é sua conclusão sobre a afirmação feita pelo programa da dieta? R- Rejeita Ho
c) Qual é o valor p-value?
R. 0,0239
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
INTERVALO DE CONFIANÇA
TESTE DE HIPÓTESES
1_ Uma população composta por 80 elementos apresenta desvio padrão de 3,2 unidades.
Uma amostra de 20 elementos selecionados ao acaso, sem reposição, apresentou uma média
de 40 unidades. Determine um intervalo de confiança de 85% para a media da população
R. 39,10 < média < 40,90
2_ Em uma cidade há 30 supermercados que comercializam determinado produto, cujo
preço de venda admite distribuição normal de probabilidades.
Uma amostra aleatória de preços deste produto levantados em seis supermercados revelou
os valores de u.m. por kg. 6,4 ; 7,3; 5,8; 6,5; 7,0.;6,0.
Sabe-se que o desvio padrão para os preços deste produto em outra cidade consultado é de
0,5 u.m por kg. Construa um intervalo de confiança de 90% para o preço médio deste
produto nestes supermercados.
R. 6,2 a 6,8
3_ Procurando dimensionar a ajuda de custo para seus 50 vendedores, uma empresa
acompanhou os gastos de 15 vendedores e verificou uma despesa média de 20 u.m.
Se a empresa acredita que o desvio padrão para o gasto é 2 u.m., determine um intervalo de
confiança de 98% para o gasto médio dos vendedores desta empresa.
R. 18,98 a 21,02
4_A prefeitura de uma cidade mantém 50 creches e pretende contratar dentista para
implementar um programa de ação preventiva de cárie dentária. Um levantamento em 5
creches revelou que o número médio de crianças com cáries dentária é 20.
Publicações especializadas no assunto afirmam que o desvio padrão para o número de
crianças com cáries dentárias é de 10% do número médio de crianças com cáries.
Construa um intervalo de confiança de 95% para o número médio de crianças com cáries
nas creches desta cidade.
R. 18,32 a 21,68
5_Para estimar o tempo necessário para o conserto de 40 máquinas, o encarregado da
manutenção de uma empresa escolheu ao acaso 5 motores e verificou que o tempo médio
ESTATÍSTICA II - Mário
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47
de conserto é de 4 horas. Por experiência anterior, o encarregado sabe que o desvio padrão
do tempo de conserto corresponde a 15% do tempo médio de conserto.
a) Qual é a previsão mínima e a máxima para o tempo de conserto de um motor, ao nível
de confiança de 98%
b) Qual é a estimativa pontual para tempo médio de conserto das 40 máquinas.
R a) 3,41 a 4,59
b) 160 horas
6_ Com a finalidade de estabelecer o custo de um novo produto, o encarregado de custos
levantou os possíveis fornecedores de um dos componentes deste produto. Dos 60
fornecedores cadastrados foram sorteados e consultados 6 deles. Os preços fornecidos
apresentam uma média de 4,83 u.m. A experiência do encarregado indica que o desvio
padrão para o preço é de 10% deste preço(da média).
Qual deve ser o intervalo de confiança de 93% para o preço médio deste componente
R. 4,49 a 5,17
7_ Qual é precisão da estimação feita no exercício 6.
8_De uma população normal deve ser retirada uma amostra aleatória que avalie a média
populacional com erro padrão de estimativa de duas unidades. Se o desvio padrão
populacional é conhecido e vale 10, qual deve ser o tamanho da amostra, a um nível de
confiança de 90%
R. n = 68
9- Uma amostra aleatória de 20 elementos selecionados de uma população normal com
variância 3 apresentou média 50. Teste ao nível de significância de 10% a hipótese Ho: µ =
53.
R. Ho é rejeitado ao nível de 10%.
10-Uma amostra aleatória de 40 elementos selecionados de uma população normal com
variância 4 apresentou média 29,5. Um analista afirma que a média populacional é 30.
Teste ao nível de significância de 5% a afirmação do analista.
R.Aceita Ho ao nível de 5%.
11- Uma população normalmente distribuída apresenta média histórica de 6 unidades e
desvio padrão de 0,5 unidades. Uma amostra de 15 elementos selecionados ao acaso
forneceu média 4 e desvio padrão 1.
Teste ao nível de 5% o valor da média histórica, contra a alternativa em que a média
diminuiu.
R. Rejeita-se Ho ao nível de 5%.
12- De uma população normal com média história de 18 unidades, 12 elementos foram
selecionados ao acaso, fornecendo média de 17 unidades e desvio padrão de 3 unidades.
Teste ao nível de significância 10% a hipótese nula Ho:  > 18.
R. Aceita-se Ho ao nível de 10%
13- Uma população normalmente distribuída forneceu a seguinte amostra aleatória 12; 16;
15; 14; 17; 10; 9; 15; 13; 16.Um estatístico afirma que a média populacional é 15. Teste ao
nível de significância de 5% a afirmação do estatístico.
R. Aceita-se Ho ao nível de 5%.
ESTATÍSTICA II - Mário
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48
14- Com os dados do problema anterior teste ao nível de significância de 5% a afirmação
do estatístico, considerando a hipótese alternativa Ha:  < 15
R. Aceita-se Ho ao nível
de 5%.
15- Uma população normal apresenta historicamente o valor médio de 60 unidades. Um
analista , duvidando que este valor persista na atualidade, levantou uma amostra aleatória
de 20 elementos, obtendo o valor médio de 55 unidades com desvio padrão de 2 unidades.
Teste ao nível de significância de 5% a hipótese de que a média histórica é verdadeira
R. Rejeita-se Ho ao nível de 5%.
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49
NÚMEROS-ÍNDICE
1- INTRODUÇÃO
Os números-índice são medidas estatísticas freqüentemente usados para comparar
grupos de variáveis relacionadas entre si e para obter um quadro simples e resumido das
mudanças significativas ocorridas ao longo do tempo ou em diferentes lugares.
Podem ser usados para muitos propósitos: índice de preços para o atacado, varejo
(materiais de construção, produtos agrícolas, alimentos, serviços em geral etc, índice de
volume físico, índices de custo de vida etc. São particularmente úteis para o
acompanhamento da inflação, onde são usados para deflacionar séries de valores admitindo
uma certa época-base.
Os números-índice são expressos em termos porcentuais. Os mais usados medem, em
geral, variações de preços e de quantidade ao longo do tempo e são exatamente estes
índices que serão objetos de nosso estudo.
2- RELATIVOS: PREÇO, QUANTIDADE E VALOR
Trata-se do número-índice mais simples, relacionando o preço ou a quantidade ou
ainda o valor de um produto numa época atual (t) com uma época-base (0). Assim, para um
produto:
po = preço na época-base
pt = preço na época atual
qo = quantidade na época-base
qt = quantidade na época atual
vo = valor na época-base
vt = valor na época atual
teremos:
Relativo de Preço :
Relativo de Quantidade :
Relativo de Valor:
P0,t 
pt
po
q0,t 
qt
qo
v0,t 
pt .qt
po .qo
Exemplo:
ESTATÍSTICA II - Mário
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50
Em 2004 um empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preço unitário de
R$50,00. Em 2006, vendeu 800 unidade do mesmo produto ao preço unitário de R$70,00.
Determinar os relativos de preço, quantidade e valor para o produto, tomando como base
2004.
Solução:
Relativo de Preço:
p04,06 
Relativo de Quantidade:
Relativo de Valor:
70
 1, 4  140%
50
q04,06 
vo,t 
800
 1, 6  160%
500
70.800
 2, 24  224%
50.500
Os resultados indicam que em 2006 houve um aumento de 40% no preço, que a
quantidade aumentou em 60% e que o valor das vendas foi 124% superior ao de 2004.
3 - BASE FIXA E BASE MÓVEL
Os relativos acima definidos podem ser avaliados usando uma base fixa para estudos
que não exigem comparação ano a ano, mas comparações entre um determinado ano
considerado significativo (ano inicial de uma mudança ou de alguma meta) e os anos
subseqüentes.
Para estudos em que se deseja interpretar crescimentos anuais, usa-se o número-índice
de base móvel ou índices em cadeia. Assim,
p0,1; p0,2 ; p0,3 ;...
Base fixa:
Base móvel: p0,1; p1,2 ; p2,3 ;...
Note que tal procedimento é extensivo aos outros relativos.
4- NÚMEROS-ÍNDICE SINTÉTICOS
Na prática, surgem problemas bem mais complexos que a comparação entre termos de
uma série através dos relativos. Esses problemas ocorrem quando o fenômeno em estudo é
resultante da combinação de várias séries. A variação do custo da alimentação é um
exemplo, pois há diversos itens a considerar: pão, leite, carne, ovos, frutas, verduras etc.
Torna-se necessário determinar para cada período um único número-índice que
representa o conjunto dos preços (ou quantidades) dos itens nesse período, além de
relaciona-lo com o conjunto de preços (ou quantidades) do período-base. Precisamos
nestes casos construir os números-índice globais ou sintéticos. Para elaboração de um
índice sintético deveremos preocupar-nos com:
ESTATÍSTICA II - Mário
MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO
51
4.1 Seleção dos itens
Normalmente não trabalhamos com a totalidade dos itens componentes do fenômeno
a ser estudado. A composição de base ou regime (conjunto de bens e/ou serviços incluídos
nos índices) deve ser orientada por uma técnica de amostragem, e todo cuidado deve ser
tomado para que os itens de maior relevância não sejam excluídos.
4.2 Determinação das ponderações
Ao analisarmos os itens componentes da base, notamos que cada um participa de
maneira diferente na composição do fenômeno. Torna-se então necessária a ponderação
dos diversos itens. Esta ponderação é geralmente um valor representativo de uma
característica. Assim, quantidades consumidas são tomadas como pesos de preços de
consumo; volumes de produção como pesos de índices de preços por atacado etc.
A atualização do pesos bem como revisões de características usadas para a
ponderação devem ser feitas periodicamente.
4.3 Escolha do período-base
Como o número-índice visa estabelecer comparações entre épocas, a escolha de
período-base ou época-base constitui um passo importante. Na realidade, não há normas
fixas para a escolha. Como orientação geral, é fundamental a escolha de uma época-base
que influa o menos possível na variação do índice. Para tanto, deve-se observar:
a) a época-base deve ser um período normal, isto é, um período em que a
característica que se estuda e a característica que serve de ponderação não sofram
variações excepcionais.
b) A abrangência de várias épocas, pois o valor (média dos valores) correspondente a
essas épocas diminui a influência de fatores acidentais.
4.4 Escolha da fórmula
A fórmula a ser escolhida depende intrinsecamente da lógica do sistema de pesos
escolhido no 2º passo, ou de representatividade o valor médio ou central do conjunto,
quando não são utilizados pesos.
A seguir apresentaremos as principais fórmulas de índice sintéticos não-ponderados e
ponderados.
3- PRINCIPAIS ÍNDICES
Sejam
ESTATÍSTICA II - Mário
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Bens
1
Preço época-base:
Preço época atual:
Quantidade época-base:
Quantidade época atual
Relativos de preços:
Relativos de quantidade:
po¹
pt¹
qo¹
qt¹
po¹,t
qo¹,t
2
3
po²
po³
pt²
pt³
qo²
qo³
qt²
qt³
po²,t po³,t
qo²,t qo³,t
4
po4
pt4
qo4
qt4
po4,t
qo4,t
5
po5
pt5
qo5
qt5
po5,t
qo5,t
....
....
....
.....
....
....
....
52
n
pon
ptn
qon
qtn
pon,t
qon,t
Onde
poi = preço na época-base do i-ésimo bem
qoi = quantidade na época-base do i-ésimo bem
pti = preço na época atual do i-ésimo bem
qti = quantidade na época atual do i-ésimo bem
poi,t = relativo de preço do i-ésimo bem
qoi,t = relativo de quantidade do i-ésimo bem.
Índice agregativo simples
De preços:
Ip 
 pt
i
 po
i
De quantidades:
Iq 
q
i
q
i
t
o
Trata-se de um índice de fácil aplicação, que apresenta as seguintes limitações:
a) Não se leva em consideração a importância relativa dos itens. Assim, por exemplo,
no caso do cálculo do índice do custo de alimentação, seria atribuída ao feijão e ao
“caviar” a mesma importância.
b) Não há homogeneidade entre as unidades dos diversos bens. Assim, por exemplo, o
feijão pode vir expresso em quilos e o azeite em litros.
Exemplo:
A tabela a seguir apresenta os preços médios para o varejo e as quantidades vendidas
dos produtos: carne bovina, suína e ovina durante os anos de 2003, 2004 e 2005 (dados
fictícios).
ESTATÍSTICA II - Mário
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2003
2004
2005
Preço quant.
Preço quant.
Preço quant.
53
Produtos
Carne bovina
Carne suína
Carne ovina
37
35
28
120
80
90
45
33
30
150
100
100
43
38
35
170
90
150
a) Calcular o índice agregativo simples de preços de 2005, tomando com base 2003
Solução:
Ip 
p
i
05
p

i
03
43  38  35
 1,16  116%
37  35  28
Portanto, segundo esse índice, houve um aumento de 16% no preço dos produtos de
2005 em relação a 2003.
b) Calcular, segundo o índice agregativo simples de quantidade para 2005, tomando
como base 2004.
Solução:
Iq 
q
i
05
q
i
04

170  90  150
 1,17  117%
150  100  100
Portanto, houve um acréscimo de 17% na vendas de 1005 em relação a 2004.
5.2 Índices médios dos relativos
Para o cálculo dos índices médios dos relativos, poderemos utilizar a média
aritmética, harmônica e geométrica.
MÉDIA ARITMÉTICA
Dos Preços:
P0 , t 
p
0
i
,t
n
ESTATÍSTICA II - Mário
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Das quantidades:
Q0 , t 
q
i
0
54
,t
n
MÉDIA GEOMÉTRICA
n
G
P o ,t  n  poi ,t
Dos preços:
i 1
Das quantidades:
n
G
Q o,t  n  qoi ,t
i 1
MÉDIA HARMÕNICA
n
H
P 0,t 
Dos preços:

p
i
t ,0
Das quantidades:
H
Q 0,t 
1
p
i
0,t
n
q
n

i
t ,0
n
1
q
i
0,t
Exemplo:
A tabela a seguir apresenta os preços médios para o varejo e as quantidades vendidas
dos produtos: carne bovina, suína e ovina durante os anos de 2003, 2004 e 2005 (dados
fictícios).
2003
2004
2005
Preço quant.
Preço quant.
Preço quant.
Produtos
Carne bovina
Carne suína
Carne ovina
37
35
28
120
80
90
45
33
30
150
100
100
43
38
35
170
90
150
a) Calcular o índice médio aritmético dos preços para 2005, tomando como base 2003
Solução:
ESTATÍSTICA II - Mário
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p
i
03,05
P 03,05 
n
55
43 38 35
 
37
35 28  1,17  117%

3
Logo, segundo esse índice, houve um acréscimo de 17% dos preços em 2005 em relação
a 2003.
b) Determinar índice médio aritmético da quantidades para 2004, tomando como base
2003;
Q
03,04
q
i
03,04

n
150 100 100


120
80
90  1, 20  120%

3
Logo, segundo esse índice, houve um acréscimo de 20% das quantidades em 2004 em
relação a 2003.
c) Determinar o índice médio geométrico dos preços de 2004 em relação a 2003.
Solução
P
G
03,04

3
3

i 1
i
p04
45 33 30
3
. . .100  1, 071  107,1%
i
p03
37 35 28
d) Qual seria a média geométrica da quantidades de 2004 em relação a 2003?
Solução:
G
i
q04
150 100 100
  i 3
.
.
.100  1, 2019  120.19%
120 80 90
i 1 q03
3
Q03,04
3
e) Determinar o índice médio harmônico dos preços de 2005 em relação a 2003.
Solução:
H
P 03,05 
3
3

.100  1,1621  116, 21%
i
p03 37  35  28

i
43 38 35
i 1 p05
3
f) Qual seria a média harmônica da quantidades de 2005, sendo 2003 = 100?
Solução:
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H
Q 03,05 
56
3
3

.100  1,3669  136, 69%
i
q03 120  80  90

i
170 90 150
i 1 q05
3
5.3 Índices ponderados
Devido às desvantagens dos índices simples, especialmente pelo fato da nãoexistência de diferentes pesos para cada um dos componentes, examinaremos os principais
índices ponderados,
5.3.1 ÍNDICE DE LASPEYRES
Este índice é uma média aritmética ponderada dos relativos, sendo que a ponderação é
feita utilizando-se os preços ou as quantidades da época-base. Dessa forma, o índice de
preços de Laspeyres é dado por:
L0 , t 
 p .q
i
t
i
0
 p .q
i
0
i
0
Quanto ao índice de quantidades de Laspeyres, é dado por:
L'o , t 
 q .p
i
t
i
0
 q .p
i
0
i
0
5.3.2 ÍNDICE DE PAASCHE
Este índice é uma média aritmética ponderada dos relativos, sendo que a ponderação é
feita utilizando-se os preços ou quantidades da época atual. Assim, o índice de preços de
Paasche é dado Por:
ESTATÍSTICA II - Mário
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P0 , t 
57
 p .q
i
t
i
t
 p .q
i
0
i
t
Quanto ao índice de quantidade de Paasche, é expresso por:
Po' , t 
 q .p
i
t
i
t
 q .p
i
0
i
t
5.3.3 INDICE DE FISHER (FÓRMULA IDEAL)
Este índice é obtido pela raiz quadrada do produto dos respectivos índices de
Laspeyres e Paasche. Assim:
Índice e preços:
I 0 , t  Lo, t.Po, t 
pti .qoi pti .qti
.
poi .qoi poi .qti
Índice de quantidades:
qti . poi qti . pti
I , t  L , .P , 
.
qoi . poi qoi . pti
'
o
'
o t
'
o t
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
A tabela a seguir apresenta os preços médios para o varejo e as quantidades vendidas
dos produtos: carne bovina, suína e ovina durante os anos de 2003, 2004 e 2005 (dados
fictícios).
2003
2004
2005
Produtos
Preço quant.
Carne bovina
Carne suína
Carne ovina
37
35
28
120
80
90
Preço quant.
45
33
30
150
100
100
Preço quant.
43
38
35
170
90
150
ESTATÍSTICA II - Mário
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58
a) Calcular o índice de preços de Laspeyres para 2005, admitindo como período base
2003.
Solução:
p
i
.q03
p
i
.q03
i
05
L03,05 
i
03
(43).120  (38).80  (35).90
 1,16  116%
(37).120  (35).80  (28).90

Assim, houve um acréscimo de 16% no preços de 2005 com relação a 2003.
b) Calcular o índice de quantidade de Laspeyres para 2005, admitindo a base para
2003.
Solução:
q
i
. p03
q
i
. p03
i
05
L'03,05 
i
03
(170).37  (90).35  (150).28
 1, 4  140%
(120).37  (80).35  (90).28

Segundo esse índice, houve um aumento de 40% das quantidades em 2005, tomando
2003 como base.
c) Determinar o índice de Paasche para o preço em 2005, tomando como base 2004.
Solução:
P04,05 
p
i
.q05
p
i
.q05
i
05
i
04

43.(170)  38.(90)  35.(150)
 1, 06  106%
45.(170)  33.(90)  30.(150)
d) Qual é o índice de quantidades de Paasche para 2005, sendo 2003 a ano base?
Solução:
P '03,05 
q
i
. p05
q
i
. p05
i
05
i
03

(170).43  (90).38  (150).35
 1, 41  141%
(120).43  (80).38  (90).35
ESTATÍSTICA II - Mário
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59
e) Determinar o índice de preços de Fisher para 2005, tomando como 2003 como ano
base.
Solução:
I 03,05  L03,05 .P03,05 
p
i
05
p
i
03
I 03,05 
i
.q03
.
i
.q03
p
p
i
05
i
.q05
i
03
i
.q05
43.(120)  38.(80)  35.(90) 43.(170)  38.(90)  35.(150)
.
37.(120)  35.(80)  28.(90) 37.(170)  35.(90)  28.(150)
I 03,05  1,17  117%
Portanto, segundo a fórmula ideal de Fisher, houve um aumento de 17% nos preços
de 2005, tomando como base 2003.
7-Mudança de base na prática
Na prática, a mudança de base de uma série de números-índice é feita dividindo-se
cada índice da série original pelo número-índice correspondente à nova época básica. Tal
procedimento não é correto em termos matemáticos; todavia, seu uso tem sido freqüente,
com bons resultados.
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta o índice de produção industrial de 1997 a 2005, sendo o ano-base
1997. Obter uma nova série de índices, adotando 2001 como base.
Anos
1997
Ìndice de
Produção
100
Industrial
(1997=100)
1998
1999
104
97
2000
2001
2002
2003
2004
112
120
124
134
125
2005
141
Solução:
O novo índice será obtido dividindo-se cada um dos valores da série por 120, que é o
índice correspondente ao novo ano-base. Assim:
Anos
1997
Ìndice de
Produção
83
Industrial
(2001=100)
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
87
81
93
100
103
112
104
118
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MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO
60
8-DEFLACIONAMENTO OU INFLACIONAMENTO DE DADOS
Para inflacionar ou deflacionar séries de valores, podemos usar qualquer um dos
seguintes deflatores, normalmente encontrados nas revistas especializadas:
IGP – Índice Geral de Preços
ICV – Índice de Custo de Vida
IPA – Índice de Preços ao Atacado
IPC – Índice de Preços ao Consumidor
IPCA – Índice de Preços de Consumo Amplo
Para estudar a evolução real dos salários devemos usar o índice de custo de vida ou
índice de preços ao consumidor. No caso de dados sobre as empresas, podemos utilizar o
índice geral de preços ou índice de preços do atacado.
Exemplo:
Uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento ao período de 2000 a 2005,
apresentados na tabela abaixo. Dado o índice geral de preços (IGP) desse período,
determinar:
a)
b)
c)
d)
o faturamento real em termos de 2000;
o faturamento real em termos de 2005;
a variação porcentual do faturamento real ano a ano;
a taxa média real do faturamento no período considerado.
Ano
Faturamento
(R$milhões)
IGP 00 =100
2000
50.000
2001
80.000
2002
130.000
2003
180.000
100
137
208
362
2004
220.000
2005
270.000
691
1.085
Solução:
a) para deflacionarmos ou inflacionarmos os dados deveremos tomar o inverso dos
índices com relação ao ano-base e multiplicar pelos valores que queremos atualizar.
No nosso caso, como queremos o faturamento real em termos de 2000, vamos deflacionar
os dados:
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Ano
Inverso dos
Índices
Taxa de desvalorização da moeda x
2000
(1/100).100
1
2001
(1/137).100
2002
Valores
correntes
61
Valores
deflacionados
x
50.000 =
50.000
0,729927
x
80.000 =
58.394
(1/208).100
0,480769
x
130.000 =
62.500
2003
(1/362.100
0,276243
x
180.000 =
49.724
2004
(1/691).100
0,144718
x
220.000 =
31.838
2005
(1/1.085).100
0,092166
x
270.000 =
24.885
Observação: poderíamos obter os valores deflacionados dividindo diretamente o valor
corrente pelo índice (80.000/137).100  58.394), porém perderíamos o valor da taxa de
desvalorização da moeda.
Assim, temos todos os valores a preços constantes de 2000 e, portanto, podem ser
comparados, o que não ocorria anteriormente, quando os valores estavam mascarados pela
inflação. Verifica-se que o faturamento realmente cresceu até o ano de 2002, a partir do
qual passou a decrescer continuamente.
b) Para colocarmos os dados em termos do faturamento de 2005, deveremos
inflacionar os dados anteriores. Assim, inicialmente deveremos fazer uma mudança
de base no IGP que foi dado com 2000 = 100 transformando-o em IGP 2005 = 100.
Anos
2000
2001
2002
2003
2004
IGP 00 = 100
100
137
208
362
691
1.085
IGP 05 = 100
9,217
19,171
33,364
63,687
100
12,627
2005
Em seguida, procede-se da maneira idêntica ao caso anterior:
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Ano
Inverso dos
Índices
Taxa de valorizacão da moeda
x
Valores
correntes
Valores
Inflacionados
2000
(1/9,217).100 =
10,850
x
50.000 =
542.500
2001
(1/12,627).100 =
7,920
x
80.000 =
633.600
2002
(1/19,171).100 =
5,216
x
130.000 =
678.080
2003
(1/33,364).100 =
2,997
x
180.000 =
539.460
2004
(1/63,687).100 =
1,570
x
220.000 =
345.400
2005
(1/100).100 =
1,00
x
270.000 =
270.000
62
Observação: Poderíamos obter os valores inflacionados dividindo diretamente os valores
correntes pelo índice (50.000/9,217.100  542.500), porém desconheceríamos a taxa de
valorização da moeda.
Verifica-se então que o faturamento real a preços constantes de 2005, que nos conduz
à mesma interpretação anterior, ou seja, o faturamento cresceu até o ano de 2002, a partir
do qual passou a diminuir.
c) A variação real do faturamento deve ser feita sobre o faturamento a preços
constantes, podendo ter aqui usado tanto o encontrado no item a (2000 = 100) ou no
item b (2005 = 100). Usando os resultados do item b, teremos:
Anos
Comparação Móvel
Variação Móvel
2001
633.600/542.500 = 1,1679 ou 116,79%
+ 16,79%
2002
678.080/633.600 = 1,0702 ou 107,02%
+ 7,02%
2003
539.460/678.080 = 0,7956 ou 79,56%
- 20,44%
2004
345.400/539.460 = 0,6403 ou 64,03%
- 35,97%
2005
270.000/345.400 = 0,7817 ou 78,17%
- 21,83%
ESTATÍSTICA II - Mário
MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO
63
d) Para calcularmos a taxa média real do faturamento usamos a média geométrica dos
índices da comparação móvel.
G  5 1,1679.1,0702.0,7956.0,6403.0,7817
G  5 0, 4977  0,8698
G = 0,8698
Logo 0,8698 – 1 = - 0,1302  diminuição de 13,02% ao ano.
Podemos obter também dividindo o último valor pelo primeiros e extraindo a média
geométrica do resultado, Assim:
270.000/542.500 = 0,4977
G  5 0, 4977  0,8698
Logo 0,8698 – 1 = -0,1302
 diminuição de 13,02% ao ano.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1 Dada a tabela abaixo:
Anos
2001
2002
P
Q
P
Q
3
10
5
10
20
5
3,5
11
5,5
15
25
8
2003
2004
2005
P
Q
P
4,2
13
6
18
30
18
5,0 25
15 35
7,5 10
Q
2006
P
Q
P
Q
5,1
15
8
23
40
30
5,5 28
17 45
9 20
Artigos
A
B
C
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Determinar os relativos de preços para o artigo A, tomando 2001 = 100.
Determinar os relativos de quantidades para o artigo B, tomando 2002 = 100.
Determinar os relativos de valor para o artigo C, sendo 2001 a base.
Usando base móvel, estudar as variações de preços para o artigo A.
Constate a igualdade q 01,02.q02,03.q03,01 = 1 para o artigo B.
Constate a igualdade p03,04.p04,03 = 1 para o artigo C
Qual é o valor do índice agregativo simples de preços para 2006, sendo 2001 =
base?
h) Qual a porcentagem de acréscimo ocorrida em 2006, em relação a 2001, das
quantidades? Utilize o índice agragativo simples de quantidades.
i) Considerando 2003 como base, calcular a média aritmética dos relativos de preços
para 2005.
ESTATÍSTICA II - Mário
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j)
k)
l)
m)
n)
o)
64
Calcule o índice de preço de Laspeyres, sendo 2001 = 100 e 2006 a época atual.
Calcule L’02,06.
Avalie P03,06.
Calcule P’04,06.
Calcule o índice de preços de Fisher para 2006, considerando 2001 como base.
Determine I’02,04
2- Sendo:
JAN. 06
FEV. 06
MAR. 06
ABR. 06
Produtos
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
X
100
10
120
20
135
20
135
25
Y
200
5
220
6
230
10
250
15
Z
60
3
65
3
65
2
65
2
a) Determinar o índice de preço Laspeyres para ABRIL, sendo JAN. 06 a base.
b) Constatar que: P’Jan/06;Fev/06  L’Jan/06;Fev/06
c) Construir o índice de quantidades usando a fórmula de Fisher, sendo FEV.06 = 100,
para ABRIL de 06
3- O preço de um artigo em 2002 era 32% maior que o de 2000, porém correspondia a 80%
do preço de 2005. Determinar quanto o preço de 2000 era inferior ao de 2005.
4- Se o ICV (Índice de custo de vida) apresentar um acréscimo de 20%, qual será a perda
do poder aquisitivo dos assalariados?
5- Uma empresa apresentou os seguintes dados relativos ao seu faturamento no período de
2000 a 2004.
Ano
Faturamento
(Milhões R$)
2000
2001
50.000
60.000
2002
140.000
2003
200.000
2004
250.000
O índice Geral de Preços para o mesmo período indicou:
Ano
IGP(03
=100)
2000
407
2001
559
2002
848
2003
1.473
2004
2.811
Calcular:
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a) o faturamento real da empresa a preços de 2000;
b) a taxa anual de variação do faturamento;
c) a taxa média anual de variação do faturamento.
65
-7,76%
REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO
1- Introdução
Um dos maiores problemas para o investigador de fenômenos humanos ou físicos é o
estabelecimento de um modelo matemático que descreva e explique o fenômeno ocorrido
na vida real, com boa aproximação. A busca de uma relação funcional entre as variáveis
observadas que descrevem o fato é uma tarefa de muitos cientistas em qualquer área de
estudos. Assim, o pediatra tem interesse em estabelecer uma relação funcional entre o peso
e a altura dos bebês; o economista busca o estabelecimento de uma função que explique o
comportamento das vendas, em unidades de um produto, em função do preço; o
administrador precisa de uma função que descreva os custos de um produto, quando as
quantidades variam; o engenheiro quer saber a relação funcional entre a resistência do
concreto e a razão água/cimento; o médico tem interesse em relacionar através de uma
função o volume do plasma sangüíneo e a superfície dos corpos dos pacientes; o psicólogo
deseja a função que explique o QI (quociente de inteligência) etc.
Seja Y uma variável que nos interessa estudar e cujo comportamento futuro
desejamos prever. É fácil identificarmos uma série de variáveis Xi (x1, X2, X3, ...., Xn)
que influenciam o comportamento de Y, a variável dependente do modelo. A Estatística
oferece meios de chegarmos à relação função entre a variável dependente (Y) e as variáveis
independentes ou explicativas (X1, X2, X3, ... , Xn) através da análise de regressão.
Quanto maior o número de variáveis explicativas, mais completo será o modelo. Todavia,
sua solução será também mais difícil e complexa. Em razão disso, limitaremos nossa
exposições ao caso em que apenas duas variáveis intervêm no modelo; a variável
dependente Y e a variável independente X. Apresentaremos a penas o estudo da função
linear (ajustamento de uma reta), isto é, estudaremos o modelo:
Y = b + aX
Onde a e b são os parâmetros da função.
Uma maneira bastante prática para auxílio na determinação da função entre as
variáveis dependente e independente é a construção do gráfico denominado diagrama de
dispersão. Para desenharmos o diagrama de dispersão devemos coletar uma amostra de
valores X e Y: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn), marcando esses pontos num
sistema de coordenadas cartesianas. Assim:
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66
y
yn
y2
y3
y1
x1
x2
x3
...
xn
x
Diagrama de dispersão.
Pela análise de nuvem de pontos assinalados, teremos melhores condições de
especificar a função que relaciona as variáveis. No caso do ajustamento de uma linha reta,
o diagrama de dispersão apresentará uma nuvem de pontos que nos irá sugerir uma relação
linear entre X e Y. É também provável que a nuvem de pontos nos indique outros tipos de
funções ( exponencial, parábola etc.). Tais ajustamentos fogem aos objetivos desse curso.
2-
Ajustamento da reta
Estabelecido o modelo Y = b + aX, precisamos dos valores de a e b de forma que
nossa reta passe tão próximo quanto possível dos pontos assinalado no diagrama de
dispersão. Isto é, queremos minimizar a discrepância total entre os pontos marcados e a
reta que iremos determinar. O melhor método para a determinação dos parâmetros a e b
que minimize as discrepâncias é o método dos Mínimos Quadrados. Segundo esse método,
poderemos avaliar as parâmetros a e b pela aplicação da seguintes fórmulas:
n
a
 x . y  n. X .Y
i
i 1
i
n
x
2
i
i 1
 n. X
2
b = y  ax
onde n = tamanho da amostra
n
X
x
i
i 1
n
n
Y
y
i 1
i
n
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67
3- Exemplo de aplicação
Suponhamos que num determinado período tenham sido registradas as seguintes
observações relativas a preços e respectivas quantidades demandadas de certo bem, no
mercado.
P
D
1
8
2
5
3
4
4
1
a) Esboce os pontos num sistema cartesiano e trace uma linha que melhor ajuste este
pontos.
b) Faça a regressão linear para determinar a reta y = Ax + B, onde
n
 xi.yi - n. X. Y
i=1
a=
b = Y - AX
n
 ( xi)² - n.(X)²
i=1
Solução
a)
D
8
5
4
1
0
1
2
3
4
P
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68
b)
x=P
1
2
3
4
10
y=D
8
5
4
1
18
a = 34 – 4.2,5.4,5
30 – 4.2,5²
x² = P²
1
4
9
16
30
x.y = P.D
8
10
12
4
34
b = 4,5 – (-11).2,5 = 10
5
= -11
5
Portanto: D = -(11/5).P + 10, é a reta que melhor ajusta a distribuição (P, D) dada.
Exercícios
1- Determinar a equação de uma reta que melhor ajuste cada uma das demandas dadas
pelas tabelas abaixo:
a)
Pi
2
3
4
5
6
b) Pi
6
8
9
10
11
Di
12
8
7
6
3
Di
18
13
12
6
3
D = -2P + 15,2
D = -3P + 36,8
2- Aproximar, pela reta de regressão linear, a distribuição de pontos a tabela abaixo que
representa as quantidades oferecidas e os preços de um bem num determinado período.
P
6
7
8
9
10
S
1
2
4
8
15
S = 3,4P – 21,2
Outro exemplo
Sendo:
Ano
2000
Produção de ferro (t)
17,5
( em toneladas)
a) Ajustar uma reta aos dados.
b) Estimar a produção para 2005.
Solução:
2001
2002
2003
2004
19
23,3
28,7
35
ESTATÍSTICA II - Mário
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69
Observamos que a variável dependente é a produção de ferro (y) e que a variável
independente é o tempo (t). O uso dos valores 2000, 2001, ... não é conveniente, pois
acarretaria um número de cálculos muito grande. Assim, para séries temporais ou
cronológicas (a variável observada no tempo), é comum a mudança da variável t para x.
Assim, no exemplo, xi = ti – 2002 é uma interessante transformação. A mudança para o
caso de n (número de observações) ímpar é dada por xi = ti – to, onde to é o elemento
central da série. No exemplo to = 2002. Para n par, to será a média entre os
elementos centrais de ordem n/2 e n/2 + 1. Isto é se n = 4, então n/2 = 2º elemento e n/2
+ 1 = 3º elemento, logo to = ( 2º elemento + 3º elemento) / 2.
Para obtermos os valores de xi inteiros, convém neste caso multiplicarmos (ti – to)
por 2 e prosseguir naturalmente.
Voltando ao exemplo, teremos:
xi = (ti – 2002)
-2
-1
0
1
2
0
ti
2000
2001
2002
2003
2004

Y
17,5
19,0
23,3
28,7
35,0
123,5
X.Y
-35
-19
0
28,7
70
44,7
X²
4
1
0
1
4
10
a)
Ajuste da reta
n
a
 x . y  n. X .Y
i
i 1
i
n
x
i 1
2
i
 n. X
= (44,7 – 5.0.24,7)/(10 – 5.0²) = 4,47
2
b = y  ax = 24,7 – 4,47.0 = 24,7
Logo y = 24,7 + 4,47x é a reta pedida.
b) Para determinação da produção para 2005 teremos: quando ti = 2005, xi = (2005 –
2002) = 3, logo,
y = 24,7 + 4,47.(3) = 24,7 + 13,41 = 38,11 toneladas é a quantidade prevista para 2005.
EXERCÍCIOS
1- Os lucros de uma companhia no período de 2002 a 2006 são dados abaixo:
Ano
2002
2003
2004
2005
2006
Lucro(milhões)
2,3
3,5
5,8
6,5
7,0
ESTATÍSTICA II - Mário
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70
a) Mudar a variável e determinar a equação da reta que melhor ajusta a tabela.
b) Estimar os lucros para 2007.
2- As importações de determinada matéria-prima no período de 2001 a 2006 encontram-se
na tabela abaixo:
Ano
2001
2002
2003
2004
2005
2006
50
47
35
30
24
10
Quantidade (t) em ton.
a) Mudar a variável t para x.
b) Determinar a reta que melhor ajuste os pontos
c) Fazer uma estimativa da importação para 2007.
4- CORRELAÇÃO LINEAR
No tópico anterior aprendemos a determinação de uma função linear que relacionava
as variáveis derivadas de uma experimentação da vida real. Aqui, nosso interesse é medir o
grau de relação existente entre duas variáveis aleatórias. Assim, por exemplo, poderíamos
querer o grau de relacionamento entre o peso e a altura de um grupo de pessoas; entre o
cigarro e a doença do coração; entre sensibilidade para a música e vocação para a ciência;
entre inteligência e beleza etc.
Para avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis, ou seja, medir o grau de
ajustamento dos valores em torno de uma reta, usaremos o coeficiente de correlação de
Pearson, que é dado por:
n
r
n
n
n. xi . yi  ( xi ).( yi )
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
[n. xi2  ( xi )²].[n. yi2  ( yi )²]
onde n é o número de observações.
Pode-se demonstrar que o valor do coeficiente de correlação r sempre deverá estar
entre –1 e +1. Geralmente multiplicamos o valor encontrado r por 100, dando a resposta
em porcentagem. Observem abaixo a configuração do diagrama de dispersão para diversos
valores de r.




r = 1 (correlação linear perfeita – positiva)
r = -1 (correlação linear perfeita – negativa).
r > 0 (forte correlação positiva) – pontos próximos da reta no sentido positivo.
r < 0 (forte correlação negativa) – pontos próximos da reta no sentido negativo
ESTATÍSTICA II - Mário
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


71
r > 0 (fraca correlação positiva) – pontos mais afastados da reta no sentido positivo.
r < 0 (fraca correlação negativa) – pontos mais afastados da reta no sentido negativo
r = 0 (ausência de correlação linear)
Exemplo de aplicação:
Dez alunos foram submetidos a um teste de Estatística e de Matemática, obtendo as
seguintes notas:
Aluno
Matemática
(x)
Estatística
(y)
A
7
B
6
C
9
D
10
E
3
F
4
G
8
H
7
I
6
J
2
6
5
10
9
2
3
9
5
6
3
Determinar o coeficiente de correlação entre as notas.
Solução
É conveniente a construção da tabela:
X
7
6
9
10
3
4
8
7
6
2
62
Y
6
5
10
9
2
3
9
5
6
3
58
X.Y
42
30
90
90
6
12
72
35
36
6
419
n
r
X²
49
36
81
100
9
16
64
49
36
4
444
n
Y²
36
25
100
81
4
9
81
25
36
9
406
n
n. xi . yi  ( xi ).( yi )
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
[n. xi2  ( xi )²].[n. yi2  ( yi )²]
r
10.419  62.58
= 0,9....
[10.444  62²].[10.406  58²]
r = 94%. Este resultado indica uma forte correlação entre as notas de Matemática e
Estatística para esse grupo de 10 alunos.
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EXERCÍCIOS
1- Sendo
X
Y
0 1 2 3 4 5
10 20 30 40 50 60
Calcular o coeficiente de correlação.
2- Calcular o coeficiente de correlação para:
X
Y
10
6
20
8
30
7
40
8
50
6
3- A tabela abaixo apresenta uma amostra com os pesos de 10 pais e de seus filhos mais
velhos.
Peso dos pais (X) 60 65 70 68
63 69 71 64 66 64
Peso dos
63 64 71 69 63 68 73 63 64 62
filhos(Y)
Calcular o coeficiente da correlação entre os pesos dos pais e dos filhos, utilizando as
seguintes transformações da variáveis.
Z = (X – 66)
e W = (Y – 67).
A mudança de variável é conveniente pois abrevia o número de cálculos.
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
1.1 Variáveis Aleatórias
1.2 Variáveis Aleatórias Discretas
1.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
1.4 Distribuições Discreta de Probabilidades
1.5 Valor Esperado
1.6 Variância
2.DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE
2.1 Distribuição Uniforme de Probabilidade
2.2 Área como uma medida de Probabilidade
2.3 Distribuição Normal de Probabilidade
2.4 Curva Normal
2.5 Distribuição Normal-Padrão de Probabilidade
2.6 Calculando Probabilidade de qualquer Distribuição Normal de Probabilidade
2.7 Aproximação da Normal das Probabilidades Binomiais.
3 -DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
3.1 Amostragem Aleatória Simples
3.2 Amostragem de População Finita
3.3 Amostragem de População Infinita
3.4 Estimativa por Ponto
3.5 Introdução às Distribuições Amostrais
3.6 Distribuição Amostral da Média
3.7 Valor Esperado da Média
3.8 Desvio-Padrão da Média
3.9 Teorema do Limite Central.
4- INTERVALOS DE CONFIANÇA
4.1 Estimativa de Intervalo de confiança das médias amostrais
4.2 Estimativa de Intervalo de Confiança de uma proporção populacional
4.3 Cálculo do tamanho amostral para estimativa das médias amostrais
4.4 Cálculo do tamanho amostral para estimativa de proporções.
5- TESTE DE HIPÓTESES
5.1 Desenvolver as Hipóteses Nula e Alternativa
5.2 Teste das Hipóteses de Pesquisa
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5.3 Erros do Tipo I e do tipo II
5.4 Testes Unicaudais e Bicaudais da Média e da Proporção de uma População
5.5 Etapas do Teste de Hipótese.
6- REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO
6.1 Ajustamento de uma reta que relaciona duas variáveis
6.2 Avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis
6.3 Medir o grau de ajustamento dos valores em torno de uma reta.
7- NÚMEROS ÍNDICES
7.1 Cálculo dos relativos: preço, quantidade e valor
7.2 Base fixa e base móvel
7.3 Números-índice simétricos
7.4 Principais índices
7.4.1 Índice agregativo simples
7.4.2 Índices médio dos relativos
7.4.3 Índices ponderados
7.4.3.1 Índice de Laspeyres
7.4.3.2 Índice de Paache
7.4.3.3 Índice de Fisher (fórmula ideal)
7.5 Mudança de base
7.6 Deflacionamento ou inflacionamento de dados.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BÁSICA:
SPIEGEL, Murraay R. Estatística. 3ª ed. Pearson, São Paulo, 2006.
STEVENSON, William J. Estatística aplicada a administração. 1ª ed. Harbra, São Paulo,
2001.
ANDERSON, David R. Estatística aplicada à administração e economia. 2ª ed. Thomson,
São Paulo, 2005.
VIEIRA, Sonia Vieira. Elementos de estatística. 4ª ed., São Paulo: Atlas, 2003.
COMPLEMENTAR:
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à administração e economia. Rio de Janeiro,
McGraw Hill, 1982.
NAZARETH, F. E. M. de. Curso básico de estatística. São Paulo: Ática, 1987.
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ESTATÍSTICA II
Estudo de caso.
1- OBJETIVO:
Aplicar e interpretar os conceitos básicos de estatística
indutiva (inferencial) em situações práticas do cotidiano.
2-PROCEDIMENTOS
2.1- Elege-se uma população alvo para o estudo.
2.2- Elaborar um resumo sobre a parte teórica de variável aleatória contínua
normal (padronizada), intervalos de confiança e teste de hipótese.
2.3- Destacar uma amostra da população com seus parâmetros (média e desvio
padrão), em seguida fazer a estatística populacional referente os parâmetros
(média de o desvio padrão) com o IC de 95%, 99%.
2.4 Destaque uma amostra da população e elabore o teste de hipótese quanto
aos parâmetros: média e desvio- padrão. Por ex. Se há desconfiança em
relação ao peso dos pacotes de arroz de uma determinada marca, pegue uma
amostra e faz o teste de hipótese.
OBS. Nem sempre uma determinada variável é viável fazer uma estatística por
IC e ao mesmo tempo um teste de hipótese. Pense nisso....
2.5- Interpretar os resultados da estatística sobre a população.
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