Exercícios de Matemática
Geometria Analítica - Circunferência
a) Qual é o raio dessa circunferência?
b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os
pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.
1) (Unicamp-2000) Sejam A e B os pontos de intersecção
da parábola y = x2 com a circunferência de centro na origem
e raio 2 .
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?
b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B,
calcule as medidas possíveis para os
5) (Fatec-2002) A circunferência que passa pelos pontos O
= (0, 0), A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a:
11
a) 4
ângulos A P̂ B.
b)
11
2
c)
13
4
d)
13
2
e)
17
4
2) (UFPR-1998) Em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, considere a circunferência de equação x2 + y2 =
25, na qual está inscrito um quadrado com lados paralelos
aos eixos coordenados. Então, é correto afirmar:
01.
Uma das diagonais do quadrado está contida na
reta de equação x + y = 0 .
02.
O ponto (-3, 4) não pertence à circunferência.
04.
A reta de equação 3x + 4y + 25 = 0 é tangente à
circunferência.
08.
O volume do sólido de revolução obtido pela
rotação do quadrado em torno de uma de suas diagonais é
igual a 250 unidades de volume.
16.
O cilindro de revolução obtido pela rotação do
quadrado em torno do eixo x tem altura igual à diagonal do
quadrado.
Marque como resposta a soma dos itens corretos.
3) (Unifesp-2003) A figura representa, em um sistema
ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em
relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na
origem do sistema, e os pontos A = (1, 2),
B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e
do eixo Ox com a circunferência.
6) (Fuvest-2000) Uma circunferência passa pelos pontos (2,
0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa
circunferência à origem é:
a) 2
b)
3
c)
4
d)
5
e)
6
7) (UFC-2004) Determine o valor da constante a de modo
que o sistema de equações

 x 2  y 2  4z


3x  4y  z  a
tenha solução real única.
8) (UDESC-1996) DETERMINE a equação da
circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e
C(2,-4). COMENTE as etapas durante a resolução da
questão.
9) (FUVEST-2010) No sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas Oxy da figura, estão representados a
circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o
gráfico da função
Nestas condições, determine
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do
hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
4) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3,
4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem.
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linha descrita pelo ponto A e identifique a curva
correspondente.
13) (Unicamp-1994) a) Identifique as circunferências de
equações x2 + y2 = x e x2 + y2 = y, calculando o raio e o
centro das mesmas. Esboce seus gráficos.
b) Determine os pontos de intersecção dessas
circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em
cada um desses pontos são perpendiculares entre si.
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da
circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD.
10) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o
triângulo que delimita a região definida pelas inequações y
2, x 0 e x – y 2.
a) Obtenha as equações de todas as retas que são
eqüidistantes dos três vértices do triângulo T.
b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao
triângulo T, destacando o centro e o raio.
14) (UFC-1998) Considere o conjunto de todas as cordas de
comprimento 2 da circunferência x2 + y2 -2x -4y -7 = 0. O
conjunto dos pontos médios destas cordas forma uma curva
cuja equação é:
a) (x-1)2 + (y-2)2 = 11
(x  1)2 (y  2)2

1
9
4
b)
c) (x-1)2 + (y-2)2 = 4
(x  1)2 (y  2)2

1
4
9
d)
e) (x-1)2 + (y-2)2 = 3
15) (Mack-2002) A melhor representação gráfica dos pontos
(x, y) tais que x + 3 =
11) (FUVEST-2006) a) Determine os pontos A e B do plano
12
cartesiano nos quais os gráficos de y = x -1 e x + y - 6 =
0 se interceptam.
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto
ˆ
quadrante que satisfaz AÔB = ACB e que pertence à reta x
= 2.
12) (UERJ-1998)
(O Estado de São Paulo, 16/08/97)
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas
na tirinha.
a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a
distância entre A e C quando:
» A está situado entre B e C;
» A está situado fora do segmento BC.
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um
ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das
abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da
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1 y 2
é:
16) (FUVEST-2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a
circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam P
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy,
respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e
com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
a) 2 2 - 2
b) 2 2 -1
c) 2 2
d) 2 2 + 2
19) (FATEC-2006) Num sistema de eixos cartesianos
ortogonais, considere a circunferência  e a reta r, de
equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0.
A reta s, que é paralela a r e contém o centro de , tem
equação:
a) 3x + 7y - 2 = 0
b) 3x - 7y - 2 = 0
c) 3x - 7y + 5 = 0
d) 3x + 7y - 16 = 0
e) 7x + 3y - 2 = 0
x
20) (Vunesp-2005) A reta r de equação y = 2 intercepta a
circunferência de centro na origem e raio 5 em dois
pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas
positivas. Determine:
a) a equação da circunferência e os pontos P e Q;
b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P.
e) 2 2 + 4
17) (Mack-2007) Considere os pontos A e B, do primeiro
quadrante, em que a curva x2 + y2 = 40 encontra a curva x.y
= 12. A equação da reta AB é
a) x + y . 8 = 0
b) x . y . 8 = 0
c) 2x + y . 8 = 0
d) x . 2y + 8 = 0
e) x + 3y . 8 = 0
18) (FUVEST-2008) A circunferência dada pela equação x2 +
y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e
y nos pontos A e B, conforme a figura.
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o
centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da
região hachurada vale
21) (FGV-2005) No plano cartesiano, a circunferência que
passa pelo ponto P(1, 3) e é concêntrica com a
circunferência x2 + y2 - 6x - 8y - 1 = 0 tem a seguinte
equação:
a) x2 + y2 + 6x + 8y - 40 = 0
b) x2 + y2 - 3x - 4y + 5 = 0
c) x2 + y2 - 6x - 8y + 20 = 0
d) x2 + y2 + 3x + 4y - 25 = 0
e) x2 + y2 - 3x + 4y - 19 = 0
22) (ITA-2005) Uma circunferência passa pelos pontos A =
(0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da
circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são
a) (0, 5) e 6..
b) (5, 4) e 5.
c) (4, 8) e 5,5.
d) (4, 5) e 5
e) (4, 6) e 5.
23) (Fatec-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C
estão representados em um sistema de eixos cartesianos
ortogonais entre si, de origem O.
a)  - 2
b)  + 2
c)  + 4
d) + 6
e) + 8
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10
a) 3
10
b) 3
2
c) 2
10
d) 2
e)
É verdade que a equação da
a) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y2 - 8x - 6y
+ 24 = 0.
b) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y2 - 6x - 4y
+ 15 = 0.
c) reta horizontal que passa por A é y = 2.
d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1o
quadrante é x - y - 2 = 0.
e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1 o
quadrante é x + y - 2 = 0.
24) (Vunesp-1995) Considere o quadrado de lados paralelos
aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de
equação: x2 + y2 - 6x - 4y + 12 = 0. Determine as equações
das retas que contêm as diagonais desse quadrado.
25) (UEL-1996) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e
C(4;1). O segmento BC é um diâmetro da circunferência de
equação:
a) x2 + y2 + 6x + 4y + 11 = 0
b) x2 + y2 - 6x - 4y + 11 = 0
c) x2 + y2 - 4x + 9y + 11 = 0
d) x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0
e) x2 + y2 - 4x - 9y + 9 = 0
26) (PUC-SP-1996) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta
os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os
extremos de um diâmetro da circunferência . A equação
correspondente a  é:
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0
c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0
d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0
27) (UFSCar-2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3),
vértices de um triângulo, o raio da circunferência
circunscrita a esse triângulo é
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10
28) (Vunesp-2003) Considere a circunferência , de
equação (x-3)2 + y2 = 5.
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a , tal que y =
2 e x > 3.
b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de  e por P, dê
a equação e o coeficiente angular de r.
29) (UFC-2003) O segmento que une os pontos de
interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados
determina um diâmetro de uma circunferência. A equação
dessa circunferência é:
a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5
b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20
c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25
d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20
30) (PUC-SP-2003) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equação da
circunferência de centro Q representada no plano cartesiano
ao lado. Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre
o eixo das abscissas e o vértice N pertence à circunferência,
o ponto N é dado por
a)( 2 -2;
2)
b) (- 2 +2;
2)
c) ( 2 -2; 2)
d) (- 2 -2; 2- 2 )
e) (- 2 ; 2- 2 )
31) (Unicamp-1997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos
constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela
equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita
pela equação x2 + y2 - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no
mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o
km. Pergunta-se:
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde
haverá cruzamento das duas trajetórias?
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá
ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo
instante ao ponto Q?
(p  a)(p  b)(p  c)
p
r=
, onde p é o semi-perímetro do
triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e
4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura.
32) (AFA-1998) A área da intersecção das regiões do plano
4 x 1
2
2
cartesiano limitada por x + (y -4)  25 e y  3
é
9
a) 2
17
b) 2
 
c)
25
2
31
d) 2
33) (AFA-1999) Os pontos A(-5,2) e B(1,6) são extremos de
um dos diâmetros da circunferência de equação
a) x2 + y2 - 2y - 25 = 0.
b) x2 + y2 + 4x - 8y + 7 = 0.
c) x2 + y2 - 4x + 4y - 57 = 0.
d) x2 + y2 + 8x - 14y + 39 = 0.
34) (FAZU-2002) Dada a circunferência de equação x2 + y2 2x + 6y = 6, considere as afirmativas:
I.
o diâmetro da circunferência é igual a 8 unidades
de comprimento.
II.
o centro da circunferência é o ponto C(1, -2)
III.
o ponto (-1, -1) é interior à circunferência
IV.
o ponto (4, -5) é exterior à circunferência
Assinale a opção correta
a) apenas IV é falsa
b) I e III são verdadeiras
c) todas são verdadeiras
d) I e IV são verdadeiras
e) todas são falsas
35) (Vunesp-2000) Seja S = {(x, y)  R2: x2 + y2  16 e x2
+ (y - 1)2  9} uma região do plano. A área de S é:
a) 5.
b) 7.
c) 5.
d) 7.
e) 72.
36) (UFSCar-2002) O raio da circunferência inscrita em um
triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula
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Determine nesse triângulo
a) o raio da circunferência inscrita.
b) a equação da circunferência inscrita.
37) (Fuvest-1994) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é
perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da
circunferência x2+y2-2x-4y=20. Então a equação de s é:
a) x- 2y = - 6
b) x + 2y = 6
c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6
38) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o
número real x é chamado parte real de z e é indicado por
Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x.
a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à
z  2i
1
z

2
2
equação Re(
) = , ao qual se acrescenta o ponto
(2,0), é uma circunferência.
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é
tangente àquela circunferência.
39) (Fuvest-2004) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são
vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto.
Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta x - 2y = 0 e P
= (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo
ABC, determinar as coordenadas
a) do vértice B.
b) do vértice C.
40) (Fuvest-2003) a) A reta r passa pela origem do plano
cartesiano e tem coeficiente angular m  0. A
circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem
centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a
C?
b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele
determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo
determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção
de r com C.
41) (Fuvest-1996) Considere o triângulo ABC, onde A =
(0,4), B=(2,3) e C é um ponto qualquer da circunferência
x2+y2 = 5. A abscissa do ponto C que torna a área do
triângulo ABC a menor possível é:
a) -1
b) -3/4
c) 1
d) 3/4
e) 2
42) (FUVEST-2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de
equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto
(0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio
de C
3 2
2
5 2
b)
2
7 2
c)
2
9 2
d)
2
11 2
e)
2
44) (FUVEST-2008) São dados, no plano cartesiano de
origem O, a circunferência de equação x2 + y2 = 5 , o ponto
P = (1, 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y.
Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s
intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.
45) (ITA-2005) Seja C a circunferência de centro na origem,
passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C
por P determine a circunferência C’ de menor raio, com
centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e
à circunferência C.
46) (UFMG-1998) Observe a figura:
Nessa figura, a circunferência tangencia a reta da equação y
= 2x no ponto P de abscissa x = 2 e tangencia, também, o
eixo x. Determine o raio e as coordenadas do centro da
circunferência.
a)
47) (UFBA-1998) No sistema de coordenadas XOY, tem-se
uma circunferência C, de centro no ponto A(1,1) e tangente
à reta s: 4x + 3y + 3 = 0. Sendo assim, pode-se afirmar:
01.
O raio de C mede 2 u.c.
02.
A equação de C é x2 + y2 = 4.
04.
A área do quadrado inscrito em C tem 12 u.a.
08.
A reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à
reta s tem equação 3x - 4y + 1 = 0.
16.
Sendo B (x,1) ponto da região interior a C, então 1 < x < 3.
Marque como resposta a soma dos itens corretos.
43) (UFSCar-2009) Seja () a curva x2 + y2 – 12x – 16y +
75 = 0, e os pontos P(0, 0) e Q(12, 16).
a) Faça em seu caderno de respostas o plano cartesiano
ortogonal (x, y) e represente nele a curva () e os pontos P
e Q.
b) Calcule o comprimento do menor caminho de P a Q que
não passe pela região do plano determinada por x2 + y2 –
12x – 16y + 75 < 0.
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48) (UFPR-2002) Em um sistema de coordenadas
cartesianas no plano, considere, para cada número real m, a
reta de equação y = mx e a circunferência de equação
x2+y2–10x = 0. Então, é correto afirmar:
A medida do raio da circunferência é 5.
Se m = 10, a reta é tangente à circunferência.
Qualquer que seja o valor de m, a reta contém a
origem do sistema.
Se m = 1, a reta determina na circunferência uma
corda de comprimento 5.
A circunferência é tangente ao eixo y.
Se m = 3, um dos pontos de interseção da reta com a
circunferência é (1, 3).
54) (FGV-2005) Sabendo-se que a circunferência x2 + y2 - 6x
+ 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta
y = x - 1, conclui-se que p é igual a
a) -9.
b) 7.
c) 9.
d) 11.
e) 12.
49) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos
pontos (x, y) que satisfazem a relação x2 – y2 = 0?
b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de
raio 3, com centro pertencente à reta
x – y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0?
55) (FGV-2004) No plano cartesiano, considere a reta de
equação 2 x - y = 5 e a circunferência de equação
x2 + y2 - 2x - 4y + 3 = 0. Podemos afirmar que:
50) (Fuvest-1997) Considere as circunferências que passam
pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que são tangentes à reta
y=x+2.
a) Determine as coordenadas dos centros dessas
circunferências.
b) Determine os raios dessas circunferências.
51) (Fuvest-1995) Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3)
pontos do plano cartesiano.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC.
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O
ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C.
Determine a equação da reta tangente a esta circunferência
no ponto A.
52) (FUVEST-2009) No plano cartesiano Oxy, a
circunferência C tem centro no ponto A = (–5, 1) e é
tangente à reta t de equação 4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P.
Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo
Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C .
c) Calcule a área do triângulo APQ.
53) (Mack-2007) Com relação à reta que passa pela origem
e é tangente à curva (x-3)2 + (y-4)2 = 25, considere as
afirmações:
I.
é paralela à reta 3x – 4y = 25.
II.
é paralela à bissetriz dos quadrantes pares.
III.
é perpendicular à reta 4x – 3y = 0.
Dessa forma,
a) somente I está correta.
b) somente II está correta.
c) somente III está correta.
d) somente I e III estão corretas.
e) I, II e III estão incorretas.
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a) A reta passa pelo centro da circunferência.
b) A reta é tangente à circunferência.
c) A circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja
distância é 2.
d) A circunferência intercepta o eixo x em dois pontos cuja
distância é 1.
e) A área do círculo determinado pela circunferência é4.
56) (Vunesp-2004) Considere a circunferência x2 + (y - 2)2
= 4 e o ponto P(0, -3).
a) Encontre uma equação da reta que passe por P e
tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa
positiva.
b) Determine as coordenadas do ponto Q.
57) (Fatec-2002) Seja P o ponto de intersecção das retas de
equações y = x + 3 e y = 2.
A equação da circunferência que tem centro em P e
tangencia o eixo das abscissas é
a) x2 + y2 + 2x - 4y = - 1
b) x2 + y2 + 2x - 4y = - 3
c) x2 + y2 - 2x - 4y = - 1
d) x2 + y2 - 2x - 4y = - 3
e) x2 + y2 + 2x + 4y = - 1
58) (Mauá-2001) Determine as equações das retas que
passam por A( 2 , 0) e são tangentes à circunferência de
equação x2+y2 = 1.
59) (UECE-2002) Os valores de k para os quais a reta y = kx
é tangente à circunferência x2 + y2 - 10x + 16 = 0 são:
1 1
 e
a) 2 2
3 3
 e
b) 2 2

c)
3 3
e
4 4

d)
1 1
e
4 4
60) (UFC-2002) Encontre uma equação da reta tangente à
curva x2 - 2x + y2 = 0 no ponto (1, 1).
61) (Fuvest-1999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,1) e é
tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num
ponto T. Então a medida do segmento PT é:
a)
b) 2
3
c)
5
d)
6
e)
7
65) (Fuvest-1994) Fixado o ponto N=(0,1), a cada ponto P
do eixo das abscissas associamos o ponto P'N obtido pela
intersecção da reta PN com a circunferência x2+y2=1.
a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos
pontos (x,y) da circunferência, com y<0?
b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferência,
associado a P=(c,0), c0?
66) (Vunesp-2006) Seja C a circunferência de centro (2, 0)
e raio 2, e considere O e P os pontos de interseção de C
com o eixo Ox. Sejam T e S pontos de C que pertencem,
respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no ponto
M, de forma que os triângulos OMT e PMS sejam
congruentes, como mostra a figura a seguir.
62) (Mack-2002) O círculo de centro A e tangente à reta r
da figura tem área:
a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é, y =
x
3 determine as coordenadas de S.
a) 4/5
b) 5/4
c) 3/5
d) /5
e) 3/4
63) (Fuvest-1995) Uma circunferência de raio 2, localizada
no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de
equação 4x-3y=0. Então a abscissa do centro dessa
circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
64) (Fuvest-1998) Considere um ângulo reto de vértice V e
a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o
seu centro C nessa bissetriz e VC = x.
a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados
do ângulo em exatamente 4 pontos?
b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados
do ângulo em exatamente 2 pontos?
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b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região
sombreada formada pela união dos triângulos OMT e PMS.
67) (UFRJ-2005) A reta y = x + k , k fixo, intercepta a
circunferência x2 + y2 = 1 em dois pontos distintos, P1 e P2 ,
como mostra a figura a seguir.
a) Determine os possíveis valores de k.
b) Determine o comprimento do segmento P 1P2 em função
de k.
68) (IBMEC-2005) Suponha que r é um número real positivo
e considere as circunferências do plano cartesiano dadas
por
C1 : (x – 5)2 + y2 = r2.
C2 : (x + 5)2 + y2 = r2.
O conjunto dos pontos do plano que representam as
intersecções de C1 e C2 para r 13, é melhor descrito pela
figura
a)
b)
c)
69) (UFSCar-2005) Seja A = (p, 3 p) um ponto de
intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de
centro C = (0,0), com p real e diferente de 0.
a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de
inclinação.
b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências,
com as características de λ, tais que 1  p  9, calcule a área
da região formada pela intersecção de R com {(x,y) | y 
qx}.
70) (Unicamp-2003) As equações (x + 1)2 + y2 = 1 e (x - 2)2
+ y2 = 4 representam duas circunferências cujos centros
estão sobre o eixo das abscissas.
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas
circunferências.
b) Encontre o valor de a  IR, a  0, de modo que duas
retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas
circunferências.
71) (Fuvest-2002) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são
vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado
no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y
= -2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na
d)
origem e raio
a) (6, 2)
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
e) (5, 1)
5 . Então, as coordenadas de C são:
72) (FGV-2002) a) Represente os pontos (x, y) do plano
cartesiano que satisfazem a relação |3x – 2y| = 6
b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do
plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as
relações:
x 2  y 2  9

 x  y  3
e)
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73) (Fuvest-1998) Um quadrado está inscrito numa
circunferência de centro (1,2). Um dos vértices do quadrado
é o ponto (–3, –1). Determine os outros três vértices do
quadrado.
74) (UFPB-2006) Considerando as seguintes proposições
2
2
relativas à circunferência x  y  4 no plano
cartesiano, identifique a(s) verdadeira(s):
01.
02.
78) (UFPA-1997) A reta de equação x + 2y = 0 intercepta o
círculo x2 + y2 + 2x + 4y - 20 = 0 de centro C, nos pontos A
e B. Determine:
a) Os pontos A, B e C.
b) A área do triângulo ABC.
O ponto P (-1 ,1) é interior à circunferência.
O ponto P (-2 ,2) é exterior à circunferência.
04.
O ponto P ( 2 , 2 ) está sobre a circunferência.
08.
A reta de equação y  x intercepta a
circunferência em dois pontos.
16.
A reta de equação y   x  2 intercepta a
circunferência em um único ponto.
A soma dos valores atribuídos à(s) proposição(ões)
verdadeira(s) é igual a:
79) (Vunesp-1999) O comprimento da corda que a reta y=x
determina na circunferência de equação (x+2)2+(y-2)2 = 16
é:
a) 4
b) 4 2
c) 2
d) 2 2
e) 2
75) (FGV-2004) As coordenadas do ponto da circunferência
 x  8  2   y  6  2  25
 
origem O 0, 0 são:
 
a) 8, 6
 4, 3 
b)
 0,25 
c)


d) 13,12
 12, 9 
e)
que fica mais afastado da
76) (PUC-PR-2003) Se a equação da corda do círculo x2 + y2
= 49, que tem por ponto médio o ponto (1,2), é da forma
ax + by + c = 0, então a + b - c vale:
a) -2
b) 5
c) 2
d) 10
e) 8
77) (PUCCamp-1998) São dadas a reta r, da equação y = 3
, e a circunferência , de equação x2 + y2 - 4x = 0. O centro
de  e as intersecções de r e  determinam um triângulo
cuja área é:
a) 3 3
b) 6
c) 2 3
d) 3
e)
3
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80) (UNIUBE-2001) Considere a circunferência descrita pela
equação x2 + y2 -2y = 0. Pode-se afirmar que o
comprimento da corda que a reta de equação 6x - 8y = 0
determina nessa circunferência é igual a
a) 1 unidade de comprimento.
b) 0,8 unidades de comprimento.
c) 1,2 unidades de comprimento.
d) 2 unidades de comprimento.
Gabarito
1) a) A(1, 1) e B( -1, 1)
b) 45o e 135o
2) V – F – V – F – F  1 + 4 = 5
3) a) B(-1, 2), C(- 5 ,0), D(-1, -2), E(1, -2) e F( 5 ,0). A
área é 4( 5 + 1)
b) cos AÔB = 3/5
Centro O da circunferência:
A intersecção das 2 mediatrizes (que são retas
concorrentes) é obtida pela resolução do sistema:
2 x  y  5  0

x  3 y  5  0
Resolvendo o sistema, encontramos x = 2 e y = 1  O = (2,
1)
Raio da circunferência:
Distância do centro ao vértice A (poderia ser qualquer um
dos 3 vértices):
4) a) R = 5
b) 50 u.a.
d(O, A) =
5) Alternativa: D
Então a circunferência procurada é (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25
6) Alternativa: D
7) Resp: a = -25
Resol: isole z na 2ª equação e substitua na 1ª; remonte a
equação completando quadrados e obtendo uma equação de
circunferência onde o raio seja 4a  100 . Para que uma
equação de circunferência represente um único ponto (o seu
próprio centro), é necessário que o raio seja nulo.
8) Da geometria plana, lembramos que o centro da
circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro,
ou seja, o encontro das mediatrizes do triângulo. Então,
vamos obter a equação de duas mediatrizes e obter o ponto
de intersecção das mesmas. O centro da circunferência será
esse ponto e o raio será a distância do centro a um dos 3
vértices. Sabendo que A =(5, 5) B=(–3, 1) e C = (2, –4)
temos:
9) a)
b)
5  22  5  12
9  16 = 5  raio = 5
A( 8,1), B(1, 8 ), C (1, 8 ) e D( 8,1)
7 8
10) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos 3
vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em
dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do
triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta
deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser
paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no
mesmo semiplano.
Portanto, as retas são x = 2, y = 0 e y = x
b) (x-2)2 + y2 = 8 com centro (2, 0) e raio 2 2
Mediatriz do lado AB:
1
1 5
m1 =
=
 m2 = –1/ m1 = –2
35 2
ponto médio de AB: M = (1, 3) então a reta que passa por
M com coeficiente angular m2 = –2 é
y–3 = –2(x–1)  2x +y –5 = 0
11) a) A(4, 2) e B (3, 3)
Mediatriz do lado AC:
4  5
1
m3 =
= 3  m4 = –1/ m3 = –
25
3
7 1
ponto médio de AC: N = ( ; ) então a reta que passa
2 2
1
por N com coeficiente angular m4 = –
é
3
1
7
1
y – = – (x – )  6y – 3 = –2x + 7  2x + 6y –10 = 0
2
2
3
 x +3y – 5 = 0
b)
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=
b) (2,1-
12) a)
5 )
10
e 10cm respectivamente.
3
dAC = 2 dAB  3x2 + 3y2 - 40x + 100 = 0  circunferência
1
1
13) a) Circunf: x + y = x : C = ( 2 , 0) e R = 2
1
1
2
2
Circunf: x + y = y : C = (0, 2 ) e R = 2
2
2
Ahachurada = Asemicirculo – Asegmento circular
=
 .r 2
2
2
=  2
=
  .r 2 r.r.sen90 o
 

2
 4
   2



19) Alternativa: A
20) a) x2 + y2 = 5, P(2, 1) e Q(-2, -1).
b) y = -2x + 5.
21) Alternativa: C
1 1
2
b) Pontos de intersecção: (0, 0) e ( , 2 )
Retas tangentes no ponto (0, 0): eixos coordenados, que são
perpendiculares.
1 1
1
1
2
2
2
2
Retas tangentes no ponto ( , ): x =
ey=
, que
são perpendiculares.
22) Alternativa: D
23) Alternativa: D
24) Diagonais: x + y - 5 = 0 e x - y - 1 = 0
25) Alternativa: B
26) Alternativa: A
14) Alternativa: A
15) Alternativa: E
1 y 2
2
x+3=
= 1 - y2
2
2
3) + y
- 3.
Portanto o conjunto dos pontos (x; y) tais que x + 3 =
1 y 2
é um arco de circunferência de centro (- 3; 0) e r =
1.
16) Alternativa: D
17) Alternativa: A
27) Alternativa: D
28) a) P = (4, 2)
b) y = 2x - 6 e o coeficiente angular é 2.
29) Alternativa: A
A principal parte do problema é a determinação dos pontos
de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos
coordenados. A partir daí o raio da circunferência
procurada é igual à metade da distância entre estes dois
pontos, e o centro da circunferência é o ponto médio do
segmento determinado por eles.
Para encontrarmos o ponto de interseção da reta 2x + y - 4
= 0 com o eixo x, fazemos y = 0 e para encontrarmos o
ponto de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com o eixo y,
fazemos x = 0. Assim os pontos de interseção da reta 2x + y
- 4 = 0 com os eixos coordenados são (2,0) e (0,4). A
18) Alternativa: B
distância entre estes pontos é
Através da equação geral da circunferência encontra-se sua
equação reduzida (x-2)2 + (y-2)2 = 4, achando assim seu
centro (2,2) e se raio r = 2. Dessa forma conclui-se que
A=(2,0) e B=(0,2).
Finalmente encontra-se o valor da área hachurada
calculando a área do semicírculo de raio 2 determinado pelo
diâmetro MN menos a área do segmento circular de ângulo
central 90o determinado pelo segmento AB.
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42  (2)2  20  2 5
e
portanto o raio da circunferência procurada é 5 .O ponto
médio do segmento que une os pontos (2,0) e (0,4) é
 20 04
,


2 
 2
= (1,2), que é o centro da circunferência.
Portanto a equação da circunferência é (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5
30) Alternativa: A
31) a) Q = (7, 7)
b) V = 10 km/h
43) a)
32) Alternativa: C
33) Alternativa: B
34) Alternativa: B
35) Alternativa: D
36) a) r = 1
b) C = x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0
37) Alternativa: B
38) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy.
z  2i
Então, dividindo z  2 encontramos
x(x  2)  y(y  2)  i(x  2)(y  2)  xy
(x  2)2  y 2
x(x  2)  y(y  2)
(x  2)2  y 2
e assim a parte
x(x  2)  y(y  2)
(x  2) 2  y 2
1
2
=
real é
. Fazendo
de onde se chega em x2+(y+2)2 = 8 para x2 e y0. Note
que x2+(y+2)2 = 8 seria a equação da circunferência de
centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0.
Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a
circunferência.
b) y = x+2
39) a) B=(6,3)
b) C=(2,11)
b) A =
m2  1
5
3
44) a) x + 2y – 5 = 0
b) (2
3 + 1,0)
 25 
 , 0
4
 e raio r =
45) A circunferência C’ tem centro O’ 
5
4
46) C = (2 5 , 5- 5 ) e R = 5- 5
3
40) a) m = 3
2m 1 3m2
b) 10 3 +
47) V F F V V : soma das corretas = 25
3
, para 0 < m < 3
48) V – F – V – F – V – V
41) Alternativa: C
49)
42) Alternativa: B
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50) a) C=(1,1) ou C = (1,–7)
b) R = 2 ou R = 5 2
 18 6 
 , 
2
2
66) a) (x - 2) + y = 4 e  5 5 
4 32
b) 3 e 15
51) a) m = -1/2
b) 2x - y = 0. Sim, o ponto A pertence à essa mediatriz.
c) x + 2y = 0.
67) a) - 2 < k <
(x –
15 2
15 2
15 2
15 2
) +( y –
) = 9 ou (x +
) + (y +
) =9
7
7
7
7
b)
52) a) (–1, –2)
b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
c)
25
4
2
2(2 - k 2 )
68) Alternativa: C
69) a) ângulo de inclinação  = 60º
53) Alternativa: C
54) Sem Resposta
A resolução nos leva a p = 5, que não está nas alternativas.
55) Alternativa: C
b) 160
56) a) y =
21
x3
2
70) a) encontram-se na origem (0, 0)
b) a = –4
 2 21 6 


 5 ,5


b)
71) Alternativa: E
57) Alternativa: A
2 e y = -x +
58) Resposta: y = x -
2
59) Alternativa: C
60) Tangente: y = 1
61) Alternativa: A
72)
( - 2)
4
A=9
62) Alternativa: D
63) Alternativa: D
73) (4, –2), (5, 5) e (–2, 6)
64) a) 1 < x <
2
b) 0  x < 1 ou x =
2
65) a) os pontos P = (x, 0) tais que -1< x < 1
2


P'   22c , c 2  1 
c

1
c

1


b)
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74) Resposta: 15
75) Alternativa: E
76) Alternativa: E
e) (resposta oficial)
Nota: A questão não está bem redigida, pois a forma geral
da equação da reta não apresenta coeficientes a, b e c
únicos. Assim, mesmo sendo x + 2y - 5 = 0 a opção mais
natural, qualquer equação no formato kx + 2ky - 5k = 0
representa a mesma reta, com a + b - c = 8k, e, escolhendose valores convenientes de k, pode-se ter qualquer
alternativa como correta.
77) Alternativa: E
78) a) A = (4, -2); B = (-4, 2) e C = (-1, -2)
b) área = 10
79) Alternativa: B
80) Alternativa: C
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