CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área
A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x.
y
f(x)
f1
f1
x
∆x
a + ∆x
b
∫
f ( x ) dx =
∫
a + 2 ∆x
a + ∆x
a
a
∫ f 2 dx
f 1 dx +
+ ... = f 1 ∫ dx + f 2
∫ dx
+ ...
pois, o f i para um dado retângulo é constante
= f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A
b
∫
f ( x ) dx = A área sob a curva
a
Exercícios
1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x.
5x − x 2 = 0
x (5 − x ) = 0
y = 5x − x 2
x = 0

x = 5
0
A=
∫
5
0
5x − x 2 dx = 5.
x2 x3
−
2
3
5
5
=
0
53 53 5
−
= u.a.
2
3 6
2) Dada a função y = x calcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3 .
y
y=x
3
A=
∫
0
3
3
f ( x ) dx =
∫
0
2
x dx = x
2
3
=
0
9
2
x
Por geometria
128
A=
1
1
9
base × altura =
×3×3=
2
2
2
que é o mesmo resultado obtido por integração.
3) Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva
f(x) =
1 2
(x – 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.
8
O gráfico da curva é:
y
f(x)
x
4
4
-2
0
4


 x3 x2
1  x3
1 2
2
= 
A = ∫ x − 2 x + 8 dx =
− x + 8 x
−
+ x

8
8  3
8
 − 2
 −2
 24
−2
4
=
(
)
 ( −2 ) 3 ( −2 ) 2

64 16
8
4
14 17 15
+
+2 =
+4+
−
− 2 =
+
=

8
24
8
24
8
3
6
2
 24

43
42
+424
8
y = x2 – 3x + 2 e o eixo x que é y = 0.
4) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva
y
Nos dois pontos y = 0→ x2 – 3x + 2 =
0 fornece x1 = 1 e x2 = 2.
f(x)
b
0
1
b
A2 = +
∫
x
2
∫ (x
2
f ( x ) dx = +
a
∫ f ( x ) dx
2
= A , então
a
)
3
2
− 3 x + 2 dx =  x − 3 x + 2 x 
1
 3
2
2
 1
 8 3 × 4
1
  1 3

2 5 
A2 = +   −
unidades de área
+ 4  − + − + 2   = +  −  =
3
2
3
2
6
3
6



 

8.1.1- A Integral Definida para Cálculo de Área de Funções Pares e Impares
Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro
quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que
permite que a área A =
a
a
∫
seja e dada por A = 2
f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx .
0
−a
Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipo
y
−a
Y
0
f(x)=x2
a
a
a
−a
0
∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
X
129
2
2
∫ x dx =
−2
2
2
∫
2
x3
3
=
−2
3
x 2 dx = 2 × x
3
0
16
8
8
+
=
3
3
3
2
=2×
0
16
8
=
3
3
Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y.
No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico.
y
f(x)=x3
2
A área total A = 2
∫x
3
dx
0
-2
x
2
2
∫ f ( x ) dx = 0
A integral
porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário em relação à origem.
−2
2
x4
A = 2 ∫ x dx = 2
4
0
2
∫x
ou
2
3
−2
3
dx =
4
x
4
0
x4
=
2
2
= 8 − 0 = 8 u .a.
0
2
=4−4 =0
(integral nula)
−2
“A área deve ser considerada sempre positiva.”
8.1.2- A Integral Definida para Cálculo de Área entre Duas Funções
Teorema: A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por:
y
f(x)
g(x)
a
b
x
b
A=
∫
f ( x ) − g ( x ) dx e é sempre positiva.
a
130
Exercícios
1) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.
y
y = 2x
y = 5x – x2
0
x
5
3
- Pontos de interseção
- Área
3
 y = 5 x − x 2

 y = 2 x
2x = 5x − x
A = ∫ ( 5 x − x 2 − 2 x )dx
0
3
2
A = ∫ ( 3 x − x 2 )dx
x 2 − 3x = 0
x( x − 3 ) = 0
0
3
3x 2 x 3
A=
−
2
3
x = 0

x = 3
0
27
−9
2
9
A = u .a .
2
A=
2) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2
y
x = 4 − y2
2
4 − y2 = 0
y = ±2
A1
x
y = 4−x
-2
4
∫
A = 2.
4 − x dx
0 4243
1
A1
4
∫
A = −2.
2
1
(4 − x ) 2 .(−1)dx
A = 2 ∫ ( 4 − y 2 )dy
0
0
A=
3


−2 4 − x 2 .

2
A = −2. .[− 8]
3
32
A=
u.a.
3
2
4
2

3
0
ou

y3 
A = 2.4 y − 
3 

0
8

A = 2.8 − 
3

32
A=
u .a.
3
131
3) Determinar a área limitada pelas curvas y2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo.
y
x=
3a
a
y=0
y2
4a
x
x = 3a − y
-2
- Pontos de interseção
- Área
2a
 y 2 = 4 ax

 x + y = 3a → x = 3a − y
A=
0
2
y = 4 a( 3a − y )
y2
)dy
4a
2a

y2
y3 
A = 3ay −
−

2 12a 

0
1
2
2
A = 6 a − 2a −
.8 a 3
12a
2
A = 4a2 − a2
3
2
10.a
A=
u .a .
3
y 2 − 12.a 2 + 4 ay = 0
y 2 + 4 ay − 12a 2 = 0
− 4 a ± 16 a 2 + 48 a 2
2
− 4a ± 8a
y=
2
 y = 2a

 y' = −6 a
y=
4) Achar a área entre as curvas y = x3 e y =
y = x3
y
∫ ( 3a − y −
x.
y=
P
x,
x
Solução: Primeiro resolva o sistema y = x3 =
x6 = x
→
x(x5 – 1) = 0
x para achar os limites de integração.
→
x=0 e x=1
satisfazem a equação.
1
A=
∫
0
1
A=
∫ (x
0
x − x 3 dx
1/ 2
)
pode integrar e depois tomar o módulo.
− x 3 dx =  2 x

3/ 2
3
−
x4 

4 
1
=
0
8−3
5
2 1
=
=
3 4
12
12
132
5) Calcule a área entre os gráficos de y = x + 2 e y = x2.
y
y=x2
y=x+2
-1
0
x
2
Resolve-se o sistema de equações para achar P1 e P2.
→
y = x2 = x + 2
x = -1
e
x2 – x – 2 = 0
x=2
b
A=
∫
−1
a
A=
2
∫ (x + 2 − x )dx
2
f ( x ) − g ( x ) dx =
x2
x3
+ 2x −
2
3
2
=
−1
4
8 1
+4−2+
2
3  2
10
7
9
1
=
+
=
unid.2
3
6
2
3 
6) Achar a área da região limitada pelos gráficos x = y2 – 2y e
x = 2y – 3.
y
(3,3)
(-1,1)
x
P1 e P2 são obtidos pela solução do sistema
x = y2 – 2y = 2y – 3 → y’ – 4y + 3 = 0
y1 = 1 e y2 = 3 e x1 = -1 e x2 = 3
A integração é feita em y, porque as funções estão resolvidas para x e não para y.
3
A=
∫
1
3
f ( y ) − g( y ) dy =  y − 2 y + 3 y 
 3

3
=
1
4
3
133
Exercícios Propostos
Calcule a área da curva com o eixo x nos intervalos:
1)
y=
1
entre x = 1 e x = 2,718
x
1
e
x
y
y = 4 – x2 (só a parte acima de x)
2)
x
f (x)
Y
y = x2 – 3x entre x = 0 e x = 3
3)
X
Calcular a área entre a reta y = 4 e y = x2 no intervalo de x = 0 a x = 2
4)
y
f1(x)
f2(x)
a
a
0
0
∫ f1( x ) dx - ∫ f 2 ( x ) dx
A=
Achar a área entre as curvas y = x3 e y = x2 no intervalo x = 0 a x = 1.
5)
y
y = x3
A
y = x2
a
A=
∫ f1( x ) − f 2 ( x ) dx
x
1
0
134
8.1.3- A Integral Definida para Cálculo do Centróide
O centróide de uma região plana (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o
ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar.
As coordenadas ( x , y ) do centróide são dadas por
x
x=
1 2
[ f ( x ) − g( x )] x dx
A x∫
1
x
1 2 2
y=
[ f ( x ) − g 2 ( x )] dx
2 A x∫
1
Exercícios
1) Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].
y
y2 = 2x
y=
1
2
2x
(só a parte positiva)
x
3
Solução: Acha-se a área A
3
3
A=
∫
2 x dx =
2
0
∫x
1/ 2
dx = 2 6
0
∫ x(
)
3
xA=
0
3
yA=
∫
0
3
2 x − 0 dx = 2
 y2 
 
 2 
∫x
3/ 2
dx = 18 6
0
2x
0
3
5
1 2 x dx
1
x2
.2.
dx =
=
2 0
2
2
∫
18
6
18
5
=
= 1,8
x =
10
2 6
3
=
0
y =
9
2
9/2
2 6
=
9
4 6
= 0,92
2) Achar o centróide da figura entre as duas curvas y=x3 e
y=
x
y = x3
y
∫(
1
A=
0
(1,1)
)
x − x 3 dx = 5
y= x
x
12
135
∫x(
)
1
xA =
x − x 3 dx = 1
5
0
∫(
)
1
1
2
7
1
x − x 6 dx = 1  x − x  = 1  1 − 1  = 1 . 7 − 2 = 5
2 0
2  2
7 
2  2 7 
2
14
28
0
yA =
5
5 × 12
3×4
12
3
y = 28 =
=
= 0,43
=
=
5
5 × 28
28
4 ×7
7
12
2
12
x= 5 =
= 0,48
5
25
12
3) Achar o centróide de uma semi-circunferência. A equação da circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2.
Então y =
4 − x 2 é a semi-circunferência.
y
4 − x2
y=
A=
x
2
-2
π .4
π r2
=
= 2π
2
2
u = 4 – x2
2
∫x
xA =
4 − x 2 dx
du = -2x dx
−2
dx = 2
=-
∫
x .u
1/ 2
−2
=-
u3/ 2
3
2
=−2
∫(
2
du
1
.
=2x
2
1
2
)
2
∫
3/ 2
u 1 / 2 du = - 1 u
2 3/ 2
−2
(4 − x )
2 3
du
2x
2
=
−2
2
= 0 (como já era esperado)
−2
1
4 − x 2 dx = 1 4 x −
yA =
2 −2
2 
16
16
yA =
y = 3 =
→
3
A
x3 

3 
2
=
−2
1 
8 
8  16
  8 −  −  − 8 +  =
2 
3
3 
3 
16
16
=
= 0,8488
3A
6π
136
8.1.4- Centro de Gravidade de Áreas Planas
Momento
Momento de uma área “A” em relação ao eixo x é por definição o produto da área pela distância até o
eixo x.
Momento em relação ao eixo y é o produto da área pela distância do centro de gravidade até o eixo y.
Seja (x, y) as coordenadas do centro de gravidade de uma região plana “A”, então:
Mx = A . y
My = A . x
y
y
x
x
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
y
∆xi
f (xi)
f (xi / 2)
x
a
x
Mx i = f ( x i ).∆x i . f  i
 2
b



( xi ) 2
⋅ ∆x i
2
n
∑f
n →∞
Mx = lim
xi
i =1
b
Mx = ∫
a
f ( x )2
⋅ dx
2
b
Mx =
1
y 2 dx
2 ∫a
Para My, temos:
My = f ( x i ).∆x i .x i
My = lim
n →∞
n
∑ f ( xi ).xi .∆xi
i =1
b
My = ∫ f ( x ).x.dx
a
b
My = ∫ y .x.dx
a
137
Se Mx = A . y e My = A . x . Coordenadas do centro de gravidade de A (x, y)
x=
My
A
y=
Mx
A
Se y = f (x); x = a; x = b; eixo x.
b
1
y 2 .dx
2 ∫a
Mx =
b
My = ∫ y .x.dx
a
b
A = ∫ y .dx
a
Exercícios
1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região limitada pelas curvas y = 6x – x2 e o eixo x.
y
6x − x2 = 0
x(6 − x ) = 0
CG
0
6
3
x
x = 0

x = 6
Mx
A
My
My = A ⋅ x ⇒ x =
A
Mx = A ⋅ y ⇒ y =
Cálculo da área
6
A=∫
0
(
)
x3
6 x − x dx = 3 x −
3
2
6
2
0
A = 36 u .a .
Cálculo de Mx
6
Mx =
(
)(
)
1
6 x − x 2 6 x − x 2 dx
2 ∫0
(
6
)
6
1
1  36 x 3 12 x 4 x 5 
Mx = ∫ 36 x 2 − 12 x 3 + x 4 dx = 
−
+

20
2  3
4
5 
0
Mx = 129 ,6
Cálculo de My
6
(
)
My = ∫ 6 x − x 2 .x.dx
0
6
(
)
6
6 x 3 x 4 
My = ∫ 6 x − x dx = 
−

4 
 3
0
0
My = 108 ,0
2
3
Determinação do CG
138
My 108
=
=3
A
36
Mx 129 ,6
=
= 3,6
y=
A
36
CG (3; 3 ,6 )
x=
Seja x = f (y), y = c, y = d e eixo y.
d
A = ∫ f ( y )dy
c
d
A = ∫ x.dy
d
c
d
yi
Mx = ∫ xydy
∆yi
c
d
My =
1
x 2 dy
2 ∫c
c
f (yi)
Exercícios
1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1o
quadrante.
y
Ponto de interseção
 y = x 3

 y = 4 x
x3 = 4x
x3 − 4x = 0
2 x
x
3
x = 0

x = 2
 x = −2

4x
2
(
)
A = ∫ 4 x − x 3 dx =
0
2
Mx = ∫
0
(
)
4x2 x4
−
2
4
 4x + x3
4x − x3 
 2

x( x 2 − 4 ) = 0
2
= 4u .a .
0
(
)
2

dx = 1 16 x 2 − x 6 dx

2 ∫0

139
2
Mx =
1  16 x 3 x 7 
−  = 12 ,19

2  3
7 
0
2
(
)
2
(
)
My = ∫ 4 x − x 3 x.dx = ∫ 4 x 2 − x 4 dx
0
0
2
4x3 x5 
−
My = 
 = 4 ,26
5 
 3
0
4 ,26
= 1,06
4
12 ,19
= 3,04
y=
4
x=
CG (1,06; 3,04)
2) Determinar as coordenadas do CG da região limitada pelas curvas y2 = x, x + y = 2 e y = 0 no primeiro
quadrante.
y2 = x
2
Pontos de inflexão
 y 2 = x

 x + y = 2 → x = 2 − y
1
y2 = 2− y
y2 + y −2 = 0
− 2 → desprezar

1
2
x+y=2
1
(
)
A = ∫ 2 − y − y 2 dy
0
y2 y3
A = 2y −
−
2
3
1
0
7
A = u .a .
6
(
)
1
 2 − y + y2
My = ∫ 2 − y − y 2 

2

0
1
My =
[
]

dy


1
(
)
1
(2 − y )2 − y 4 dy = 1 ∫ 4 − 4 y + y 2 − y 4 dy
2 ∫0
20
1
4y2 y3 y5 
1
16
My = 4 y −
+
−
 =
2 
2
3
5 
15
0
1
(
)
Mx = ∫ 2 − y − y 2 ( y )dy
0
1
(
)
Mx = ∫ 2 y − y 2 − y 3 dy
0
2y2 y3 y4
Mx =
−
−
2
3
4
16
x=
15 = 32
7
35
6
1
=
0
5
12
5
5
y = 12 =
7
14
6
 32 5 
CG , 
 35 14 
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