17 - Séries Temporais: Processos ARMA
Processos Auto-Regressivos
Resposta Impulsional
Qual o efeito de um choque unitário et em yt+k, dado que
et+1=et+2=...=et+k=0?
n Processo AR(1)
Multiplicador dinâmico ou resposta impulsional
= autocorrelação entre yt+k e yt
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Qual o efeito de uma mudança permanente em et?
n Qual o limite da expressão acima quando k?
n Se |f1|<1, então
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n Qual o efeito de um choque unitário et em
yt+k, dado que et+1=et+2=...=et+k=0?
n Processo AR(p)
n Considere f0=0 e escreva
n Se os autovalores de F forem distintos, então
onde:
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O Processo MA() :Definição de Condição de Estacionariedade
n O processo MA() é definido por
onde
n O processo será estacionário de segunda ordem se
ou
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O Processo MA(): Momentos
n Média
n Variância
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n Covariância
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Representação MA() de Processos AR
n Considere o processo AR(1) (|f1|<1)
Logo
Representação MA()
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n Considere o processo AR(p) estacionário
n A representação MA() é dada por
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A Função Geradora de Autocovariância
Definição
n Para os processo ARMA estacionários considerados
até o momento, a seqüência de autocovariâncias
é absolutamente somável, isto é
n Portanto, um modo de caracterizar as autocovariâncias do
processo é por meio da função geradora de autocovariâncias
onde z é um escalar complexo.
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A Função Geradora de Autocovariância
Casos particulares
n MA(1)
n MA(q)
n MA()
n AR(1)
n ARMA(p,q)
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Inversibilidade
n Se um processo MA(q) pode ser escrito como um
AR() simplesmente pela inversão do polinômio Qq(B)
então o processo é dito inversível.
n A condição para um processo MA(q) ser
inversível é que as raízes de Qq(z) estejam
fora do círculo unitário.
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Processos ARMA
Autocorrelação Parcial
n Lembrando da definição
n A Função de Autocorrelação Parcial (FACP) é a
correlação entre duas observações seriais yt e yt-k,
eliminando-se a dependência dos termos intermediários.
n Formalmente
n Por definição
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n Processos MA
n Qual a forma da função de autocorrelação parcial
de um processo MA(q)?
n Um processo MA pode ser escrito como um
somatório infinito de valores defasados de yt.
Desta forma, a FACP de um processo MA(1) terá a forma da
FACP de um processo autoregressivo de ordem infinita.
n Processos AR
n Qual a forma da função de autocorrelação parcial
de um processo AR(p)?
n fkk é o k-ésimo coeficiente da regressão de yt em yt-1,...,yt-k.
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Processos ARMA : Estrutura de Autocorrelação
n Processos MA
n FAC: Será diferente de zero para qualquer ordem < q
e igual a zero para ordens maiores que q.
n FACP: Exponencialmente decrescente.
n Processos AR
n FAC: Exponencialmente decrescente.
n FACP: Será diferente de zero para qualquer ordem < p
e igual a zero para ordens maiores que q.
n Processos ARMA
n FAC e FACP não tem forma definida.
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