FÍSICA EXPERIMENTAL I
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
TEORIA
DE
ERROS
“ A Ciência está escrita neste
grande livro colocado sempre
diante dos nossos olhos – o
Universo – mas não podemos lê-lo
sem aprender a linguagem e
entender os símbolos em termos
dos quais está escrito. Este livro
está
escrito
na
linguagem
matemática” – Galileu Galilei
Física Experimental I – Teoria de Erros
TEORIA DE ERROS
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
Objetivo das medidas experimentais
O objetivo da imensa maioria dos experimentos que são
executados é fazer um estudo quantitativo das propriedades
do sistema observado.
Esse estudo é realizado
através de inúmeras medições
das grandezas físicas de
interesse do experimentador.
Exemplo de um
laboratório
experimental
Física Experimental I – Teoria de Erros
3
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
O uso de aparelhos de medida
Neste processo são utilizados aparelhos de medida
adequados e, posteriormente, os dados obtidos são tratados
e analisados.
Os instrumentos de medida podem ter diferentes graus
de precisão, mas, por mais preciso que qualquer instrumento
seja, os dados experimentais sempre contém erros.
Exemplo de um paquímetro
Exemplo de um micrômetro
Física Experimental I – Teoria de Erros
4
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
A importância do erro em medidas
Considerar simplesmente um número como medida
(direta ou indireta) de uma grandeza, sem avaliar o erro de
que foi afetada esta medida, não tem muito significado.
É necessário, portanto, avaliar o erro que certamente
existe, associado ao resultado da medição.
Escalas de um paquímetro
Medida com paquímetro e nônio
Física Experimental I – Teoria de Erros
5
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
Fatores que influenciam os erros de medida
A tarefa de determinação do erro em uma grandeza
medida não é simples, porque o ato de medir é sempre
acompanhado da interferência dos mais diversos fatores.
Esses fatores influenciam com
intensidade o resultado da medida.
Erro no equipamento levando a
uma medida errada
maior
ou
menor
Erros de paralaxe levando a uma
medida errada no tamanho do lápis
Física Experimental I – Teoria de Erros
6
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
Medida exata.... esta desconhecida
Sejam quais forem os tipos de experimentos, na sua
grande maioria, é impossível analisar ou indicar todos os
fatores que tem influência no resultado da medida.
Isto faz com que o valor real do erro na
grandeza medida permaneça desconhecido.
Medida exata, esta
desconhecida
Erro de zeragem
influenciando o
erro experimental
Física Experimental I – Teoria de Erros
7
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
Cercar as fontes de erro, o desafio no laboratório
Como consequência, a teoria de erros limita-se a estimar
o erro máximo de que a medida pode ser acometida.
O grau de certeza desta estimativa do erro depende, entre
outras coisas, da quantidade de fatores que se levam em
conta, e que têm influência no resultado das medidas.
Medida do diâmetro
de um anel feita com
um paquímetro
Comprar o
pãozinho também é
uma forma de medir
Física Experimental I – Teoria de Erros
8
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
A estatística matemática
Atualmente, qualquer experimentador que faça medições
não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos de
tratamento dos dados experimentais.
Deve-se, no entanto, aceitar que a estatística matemática
não é perfeita.
A definição
de média
Estatística nos negócios
Física Experimental I – Teoria de Erros
9
TEORIA DE ERROS
1. INTRODUÇÃO
A arte de mentir com números.... será?
Daí o fato de que, até agora, não existem recomendações
universalmente aceitas, com respeito à representação de
resultados de investigações experimentais.
As normas que a seguir são apresentadas, apesar de não
serem únicas, deverão ser seguidas nesta disciplina.
Para que serve
a estatística...
Para que serve
a estatística...
Física Experimental I – Teoria de Erros
10
TEORIA DE ERROS
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Generalidades sobre os erros
Não existem, e nem poderiam existir, instrumentos que
permitam medir uma grandeza física sem erro algum.
Além desse erro, que é inerente ao aparelho, quando se
realiza uma medida cometem-se outros tipos de erros.
Não se deve, no entanto, confundir erro com engano,
também chamado erro grosseiro, pois este aparece devido à
falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente
evitável.
Deve-se interpretar o termo ERROS, então, como
representativo daqueles erros que são inevitáveis.
Física Experimental I – Teoria de Erros
12
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Definições
Como vimos, todas as medidas que realizamos trazem
consigo um erro associado ou ao instrumento de medida ou
ao processo de medição, ou a ambos.
Neste sentido, os erros podem ser divididos em três
categorias:
a) erros de escala;
b) erros sistemáticos;
c) erros aleatórios.
Física Experimental I – Teoria de Erros
13
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Erros de escala
Erros de escala (xESC): ocorrem sempre, e estão
associados aos instrumentos de medida utilizados
no
processo de medição.
Logo, erro de escala é aquele devido ao limite de
precisão do instrumento de medida.
Para todos os efeitos, em um instrumento analógico
vamos considerar esse erro como sendo igual à metade da
menor divisão da escala de medida.
Já para um instrumento digital esse erro é, em geral, uma
percentagem da medida obtida.
Física Experimental I – Teoria de Erros
14
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Erros de escala: um exemplo
Por exemplo, em uma régua centimetrada, a menor
divisão da escala é 1 cm.
Assim, o erro de escala de uma régua centimetrada é
igual a 0,5 cm.
Qual é o valor da
medida do comprimento
L da haste azul da figura
ao lado?
Régua
centimetrada
L = (7,4  0,5) cm
Física Experimental I – Teoria de Erros
15
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Erros de escala: outro exemplo
Seja agora uma régua milimetrada, a menor divisão da
escala é 1 mm.
Assim, o erro de escala de uma régua milimetrada é igual
a 0,5 mm.
Régua
milimetrada
Qual é o valor da
medida do comprimento
L da haste cinza da
figura ao lado?
L = (83,6  0,5) mm
Física Experimental I – Teoria de Erros
16
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Erro sistemático
Erros sistemáticos (xSIS): ocorrem quando todos os
valores medidos são muito maiores ou muito menores do
que o valor real esperado.
No caso dos erros de escala, eles perturba todas as
medidas sempre da mesma forma, fazendo com que os
valores obtidos se afastem do valor provável em um sentido
definido, sempre para mais ou sempre para menos.
Como o erro sistemático segue um certo comportamento
padrão, é possível descobrir sua origem e eliminá-lo.
Em geral, os erros sistemáticos estão associados a
equipamentos mal aferidos e/ou com defeitos.
Física Experimental I – Teoria de Erros
17
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Erro aleatório
Erros aleatórios (xALE): ocorrem totalmente ao acaso,
portanto, sem qualquer sentido ou previsibilidade.
Esse erro é o resultado da soma de pequenas
perturbações que são inevitáveis, tais como vibrações, calor,
campos externos, oxidações, e outros fatores fora do
controle do experimentador e, na maioria das vezes, sem o
seu conhecimento.
Esses erros são impossíveis de evitar, o que significa que
temos que conviver com eles e aprender a tratá-los da
maneira adequada.
Física Experimental I – Teoria de Erros
18
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Como minimizar os diferentes tipos de erros
Em relação aos erros de escala (xESC), eles são inerentes
ao processo de medição e, portanto sempre devem ser
considerados.
Em relação aos erros sistemáticos (xSIS), a única
alternativa para resolver a sua existência é identificar o que
os causou e refazer as medidas experimentais já realizadas.
Já em relação ao erro aleatório (xALE), estes devem ser
tratados com técnicas estatísticas.
Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticas
condições, calcular a média e os respectivos desvios destas
medidas.
Física Experimental I – Teoria de Erros
19
TEORIA DE ERROS
2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
Como expressar o erro
Como vimos, a medida de uma grandeza sempre deve
conter o valor do erro associado a ela.
G = (M  M) U
G  Grandeza
M  Medida
ΔM  Erro
da medida
U  Unidade
Como os erros sistemáticos implicam na repetição do
processo de medida, a expressão do erro de uma medida
deve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala.
xMAX  xALE  xESC
Física Experimental I – Teoria de Erros
20
TEORIA DE ERROS
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O tratamento dos erros aleatórios
Considere que, durante a realização de uma série de
medidas, as seguintes condições são observadas:
a) não ocorreram erros grosseiros;
b) os erros sistemáticos também não existem;
c) os erros de escala são de ordem inferior aos erros
aleatórios,
d) todas as fontes de erro contribuíram para aumentar
ou diminuir, aleatoriamente, a medida realizada.
Neste caso o experimentador é obrigado a avaliar erro
aleatório, e incluí-lo nos dados obtidos no experimento.
Física Experimental I – Teoria de Erros
22
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Como minimizar os diferentes tipos de erros
Vamos introduzir uma sequência matemática baseada no
procedimento estatístico usualmente indicado para o
tratamento de medidas experimentais.
Esta sequência deverá ser seguida para informar o
resultado final quando a mesma medida é obtida após a
repetição do procedimento nas mesmas condições
experimentais.
Nestes casos, expressamos o valor por meio de dados
que representam significativamente a grandeza física e têm a
propriedade de transmitir uma informação compreensível
para outras pessoas: a média, o desvio da medida, etc.
Física Experimental I – Teoria de Erros
23
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Valor médio de uma medida
Assim, uma forma de minimizar o erro aleatório é repetir
N vezes o procedimento de medição.
Quando isto é feito o resultado da medida é apresentado
em termos do valor mais provável (valor médio) e dos
desvios (desvio médio e desvio padrão).
Definimos então o valor mais
provável de uma grandeza (valor
médio) como a média aritmética
de N medidas realizadas com a
mesma
confiabilidade,
cuja
fórmula é apresentada ao lado.
N
1
x    xi
N i 1
Física Experimental I – Teoria de Erros
24
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Valor verdadeiro de uma medida
É possível mostrar que para um número infinito de
medidas a média aritmética é o valor verdadeiro da medida.
Mas, como na prática, realiza-se apenas um número N
limitado de medidas, obtém-se assim apenas uma estimativa
do valor verdadeiro e não um valor definitivo.
Portanto,
é
usual
chamar-se
a
média
aritmética das N medidas
de valor mais provável da
grandeza.
xV  lim
Física Experimental I – Teoria de Erros
N 
1

   xi 
 N i 1 
N
25
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Erro aleatório
Para um número infinito de medidas ocorre a anulação do
erro randômico, pois a sua natureza aleatória faz com que o
desvio seja ora para mais, ora para menos.
Na prática é impossível fazer-se um número infinito de
medidas, de maneira que a média corresponde ao valor mais
provável da grandeza, e o erro aleatório não se anula.
Deve-se, portanto, calcular este erro aleatório, e para isto
existem vários procedimentos possíveis, os quais os
principais serão descritos a seguir.
Física Experimental I – Teoria de Erros
26
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Desvios
A partir da definição de valor médio, definimos os
conceitos de desvio de uma medida e seu desvio absoluto.
Desvio de uma medida é a
diferença entre o valor obtido na iésima medida e o valor médio
grandeza,
cuja
fórmula
é
apresentada ao lado.
xi  xi  x
Como o valor da medida pode estar abaixo ou acima do
valor médio do conjunto de medidas, o desvio xi pode ser
tanto negativo quanto positivo.
xi  x

xi  0
xi  x
Física Experimental I – Teoria de Erros

xi  0
27
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Desvio absoluto
É possível mostrar que a soma de todos
os desvios é igual a zero, como mostra a
equação ao lado.
N
 x
i 1
i
0
Por esta razão, a informação do desvio pura e
simplesmente não é muito útil quando fazemos o tratamento
estatístico de dados.
Assim,
define-se
o
desvio
absoluto de uma medida como sendo
o módulo do seu desvio, cuja
equação é mostrada ao lado.
Física Experimental I – Teoria de Erros
xi  xi  x
28
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Desvio médio
Com a definição de desvio absoluto, passa-se à definição
de desvio médio.
Desvio médio de uma medida é
a média aritmética dos desvios
absolutos, e é expresso na fórmula
mostrada ao lado.
1 N
x    xi
N i 1
Com a definição de desvio
médio indica-se o resultado de N
medidas de mesma confiabilidade
como
expresso
na
equação
mostrada ao lado.
x  x  x
Física Experimental I – Teoria de Erros
29
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Desvio padrão
Pode-se perguntar o quanto é boa a estimativa dada pelo
valor médio da medida, ou seja, com que precisão este valor
médio é uma estimativa do valor verdadeiro da medida.
A definição da grandeza chamada desvio padrão
contribui para essa interpretação, pois dá ideia da dispersão
das medidas em torno do valor médio.
O desvio padrão de um
conjunto de N medidas de uma
grandeza é dado pela equação
ao lado.
x 
Física Experimental I – Teoria de Erros
N
1
2
  xi 
N  1 i 1
30
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O significado do desvio padrão
A definição de desvio padrão informa a incerteza com que
um dado conjunto de medidas é realizado, e não a média.
O desvio padrão informa indiretamente sobre a precisão
do instrumento de medida e o rigor com que o processo de
medição é executado.
De certo modo, o desvio padrão fornece uma estimativa
sobre a confiabilidade do valor médio do conjunto das N
medidas realizadas.
Física Experimental I – Teoria de Erros
31
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Desvio padrão e erro aleatório
Assim, na apresentação do resultado de um conjunto de
N medidas de uma dada grandeza, deve-se informar a
precisão atribuída ao valor verdadeiro calculado a partir do
desvio padrão destas medidas de igual confiabilidade.
Como o desvio padrão está associado à dispersão dos
valores obtidos, dá-se preferência a ele como expressão do
erro aleatório.
xALE   x

Física Experimental I – Teoria de Erros
x  x  x
32
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Exemplo
Considere que a medição do comprimento L de objetos
idênticos, realizada com o auxílio de uma régua
centimetrada, forneceu as leituras mostradas abaixo.
Física Experimental I – Teoria de Erros
33
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo com a ajuda de planilha
Vamos aplicar as definições feitas acima e determinar as
grandezas estatísticas abaixo.
a) o valor médio do comprimento do objeto;
b) os desvios de cada medida em relação ao valor
médio;
c) os desvios absolutos de cada medida em relação ao
valor médio;
d) o desvio médio destas medidas;
e) o desvio padrão destas medidas.
Física Experimental I – Teoria de Erros
34
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo do valor médio
a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto.
1 N
L    Li
N i 1
N = 50
1 50
L    Li
50 i 1
A partir da tabela calculamos o valor da soma contida
na equação acima.
50
L
i 1
i
 12050, 7
Observe que ao obter este resultado,
nós
obedecemos
o
critério
de
arredondamento
de
uma
soma,
arredondando até a primeira casa decimal.
Física Experimental I – Teoria de Erros
35
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Ainda o cálculo do valor médio
a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto.
Calculemos então o valor médio dos comprimentos.

12050 , 7
L
50
L  241,014
cm
Este resultado
não é correto!
Observe que o resultado acima mostra que medimos o
comprimento dos objetos com uma precisão de centésimos
de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas
uma régua centimetrada.
Física Experimental I – Teoria de Erros
36
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O valor médio expresso de forma correta
a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto.
O valor médio a ser apresentado corretamente tem que
levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
No caso em questão, como o experimentador usou
uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser
superior a décimos de centímetro.
L  241,014
cm

L  241, 0
Física Experimental I – Teoria de Erros
cm
37
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo dos desvios
b) Cálculo dos desvios de cada medida em relação ao
valor médio e de sua soma.
Li  Li  L
L  241, 0
cm
A partir da tabela calculamos
o valor de cada item Li, usando a
equação ao lado e o valor médio
dos
comprimentos,
calculado
anteriormente.
Podemos
calcular
também a soma de todos
estes desvios.
50
 L
i 1
Física Experimental I – Teoria de Erros
i
 0, 7
cm
38
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Soma dos desvios é nula (ou desprezível)
b) O cálculo dos desvios de cada medida em relação ao
valor médio e de sua soma.
A partir deste resultado, podemos calcular o valor
médio dos desvios.
1 50
Li  0, 014

50 i 1
cm

1 50
Li  0, 0

50 i 1
cm
Esta informação não contém qualquer utilidade, pois o
objetivo destes cálculos estatísticos é estimar o erro
máximo, que nunca pode ser igual a zero.
Física Experimental I – Teoria de Erros
39
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo dos desvios absolutos
c) O cálculo dos desvios absolutos de cada medida em
relação ao valor médio e de sua soma.
Li  Li  L
L  241, 0
cm
A partir da tabela calculamos
o valor de cada módulo de Li,
usando a equação ao lado e o valor
médio
dos
comprimentos,
calculado anteriormente.
Podemos
calcular
também a soma do módulo
de todos estes desvios.
50
 L
i 1
Física Experimental I – Teoria de Erros
i
 11, 9
cm
40
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo do desvio médio
d) O cálculo do desvio médio destas medidas.
A partir deste resultado, podemos calcular o valor do
desvio médio destas medidas.
1
L 
N
N
 Li
i 1
N = 50
1 50
L   Li
50 i 1
Calculamos o valor do
desvio médio a partir do valor
da soma dos módulos dos
desvios calculados acima.
11, 9
L 
50

L  0,238
Física Experimental I – Teoria de Erros
cm
41
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O desvio médio expresso de forma incorreta
d) O cálculo do desvio médio destas medidas.
L  0,238
cm
Este
correto!
resultado
não
é
Observe novamente aqui que o resultado acima mostra
que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão
de milésimos de centímetros, quando na verdade estamos
usando apenas uma régua centimetrada.
Também o desvio médio a ser apresentado
corretamente tem que levar em conta a acurácia do
equipamento de medida.
Física Experimental I – Teoria de Erros
42
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O desvio médio expresso de forma correta
d) O cálculo do desvio médio destas medidas.
O desvio médio a ser apresentado corretamente tem
que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
No caso em questão, como o experimentador usou
uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser
superior a décimos de centímetro.
L  0, 238
cm

L  0, 2
Física Experimental I – Teoria de Erros
cm
43
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo do desvio padrão
e) O cálculo do desvio padrão destas medidas.
A partir deste resultado, podemos calcular o valor do
desvio padrão destas medidas.
L 
N
1
2
  Li 
N  1 i 1
N = 50
Calculamos o valor do
desvio padrão partir do valor
da soma dos quadrados dos
desvios calculados acima.
1
L  
7
50
 Li 
2
50
2



L
 i
i 1
 4, 4
cm2
i 1
Física Experimental I – Teoria de Erros
44
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O desvio padrão expresso de forma incorreta
e) O cálculo do desvio padrão destas medidas.

4, 4
L 
7  L  0,30
cm
Como
nos
casos
anteriores, este resultado
também não é correto!
Observe novamente aqui que o resultado acima mostra
que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão
de centésimos de centímetros, quando na verdade estamos
usando apenas uma régua centimetrada.
Também o desvio padrão a ser apresentado
corretamente tem que levar em conta a acurácia do
equipamento de medida.
Física Experimental I – Teoria de Erros
45
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
O desvio padrão expresso de forma correta
e) O cálculo do desvio padrão destas medidas.
O desvio padrão a ser apresentado corretamente tem
que levar em conta a acurácia do equipamento de medida.
No caso em questão, como o experimentador usou
uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser
superior a décimos de centímetro.
 L  0, 30
cm

 L  0, 3
Física Experimental I – Teoria de Erros
cm
46
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Cálculo com a ajuda de planilha
Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente
conseguimos determinar:
L  241, 0
cm
L  0, 2
cm  L  0, 3
cm
A partir destes resultados, expressamos o valor
experimental a partir do valor médio das medidas de
comprimento e do seu erro aleatório.
Lembremos
que
vamos
adotar o erro aleatório como
sendo o desvio padrão das
medidas.
L  241, 0  0, 3
Física Experimental I – Teoria de Erros
cm
47
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Erro percentual
É frequente no laboratório realizarmos medidas de
grandezas das quais existe um valor de referência, um valor
esperado.
Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partir
da equação abaixo.
E% 
xMED  xREF
xREF
100
Para o cálculo deste
erro relativo percentual
E% usamos as regras de
arredondamento, como
foram
definidas
anteriormente.
Física Experimental I – Teoria de Erros
48
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Erro relativo
Por sua vez, como todas as medidas são obtidas com
seus respectivos erros, é interessante determinar qual o
peso deste erro frente ao valor expresso da medida.
Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equação
abaixo.

x MED
ER% 
100
xMED
Para o cálculo deste
erro
relativo
ER%
usamos as regras de
arredondamento como
foram
definidas
anteriormente.
Física Experimental I – Teoria de Erros
49
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Exemplo: cálculo do erro percentual
Num dado experimento, medimos a aceleração da
gravidade e obtemos o valor apresentado abaixo.
Queremos determinar o
erro percentual e o erro
relativo desta medida.
g  9,89  0,05
m/ s
2
Para determinar o valor do erro percentual, usamos o
valor medido para g = 9,89 m/s2, bem como o valor de
referência para g = 9,81 m/s2.
E% 
9,89  9,81
9,81
100 
0,08
E% 
100 
9,81
Física Experimental I – Teoria de Erros
E %  8%
50
TEORIA DE ERROS
3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Exemplo: cálculo do erro relativo
Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor medido
para de g = 9,89 m/s2, além do erro obtido no mesmo processo
g = 0,05 m/s2.
g  9,89  0,05
0,05
ER% 
100
9,89

m/ s
2
ER%  0,5%
Física Experimental I – Teoria de Erros
51
TEORIA DE ERROS
1. Introdução
2. Classificação dos Erros
3. Medidas Experimentais
4. Propagação de Erros
Física Experimental I – Teoria de Erros
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Cálculo de erros em medidas indiretas
Como já vimos, medidas indiretas são obtidas efetuandose operações matemáticas a partir de medidas obtidas
diretamente do experimento.
Geralmente a grandeza física de interesse (medida
indireta) está relacionada matematicamente com outras
grandezas físicas (medidas diretas).
Isto significa que existe uma fórmula relacionando a
grandeza associada à medida direta com as grandezas
associadas às medidas indiretas.
Física Experimental I – Teoria de Erros
53
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
O uso do cálculo das diferenciais
Cada uma dessas medidas diretas, por sua vez, contém
erros.
Resulta daí que a medida indireta tem um erro que é o
resultado da propagação dos erros das medidas diretas.
Apresenta-se a seguir uma “receita” sem a dedução
formal da fórmula, de como calcular o erro propagado em
uma medida indireta.
A fórmula a ser apresentada é obtida a partir do conceito
de diferenciais, já visto na disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral I.
Física Experimental I – Teoria de Erros
54
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Medida indireta, uma função de várias variáveis
Considere uma grandeza física Y (medida indireta) que
depende de n outras grandezas físicas x1, x2, ..., xn (medidas
diretas), segundo a expressão matemática geral mostrada
abaixo.
Y  Y x1 , x2 ,...xn 
Y  Grandeza associada à
medida indireta
xi  Grandezas associadas
à medidas diretas
Física Experimental I – Teoria de Erros
55
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
As diferenciais
O erro associado à medida indireta Y (Y) é calculado a
partir da diferencial da função Y(x1,x2,…xn).
Em outras palavras, trata-se o erro como sendo
equivalente a diferencial de uma função matemática
conhecida de múltiplas (n) variáveis.
 Y 
 Y 
 Y 
  xn
  x1  
  x2  ...  
Y  
 x1 
 x2 
 xn 
Na fórmula acima x1, x2,..., xn são os erros relativos a
cada medida direta xi.
Física Experimental I – Teoria de Erros
56
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
Considere a área de um retângulo, do qual foram medidas
a largura a e o comprimento b, tendo sido obtidos os valores
médios e os respectivos erros como mostrado abaixo.
a = (12,34  0,02) cm
b = (8,95  0,01) cm
Como é conhecido, a expressão matemática para calcular
a área do retângulo A é simplesmente o produto da largura a
pelo comprimento b.
Aa, b  a  b
Física Experimental I – Teoria de Erros
57
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
Com a fórmula para o cálculo da área A, podemos
calcular o erro propagado A em função dos desvios das
medidas da largura a e do comprimento b.
A
A
A 
 a 
 b
a
b
A
b
a
A
a
b

Usamos a fórmula geral
para o cálculo do erro
propagado para escrever a
expressão de A, como
mostrado ao lado.
A  b  a  a  b
Física Experimental I – Teoria de Erros
58
TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
Agora podemos calcular numericamente o valor da área
A, com os valores das medidas da largura a e do
comprimento b.
A  a b
a = 12,34 cm
a = (12,34  0,02) cm
b = (8,95  0,01) cm
b = 8,95 cm
A  12,34  8,95

A  110, 443
Usamos os critérios de arredondamento
para expressar corretamente o valor da área A.
Física Experimental I – Teoria de Erros
A  110
2
cm
cm2
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TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
Podemos também calcular numericamente o valor do erro
propagado A, a partir dos valores das medidas da largura a
e do comprimento b e seus respectivos desvios.
A  b  a  a  b
a = 12,34 cm
a = 0,02 cm
A  8,95  0,02  12,34 0,01
b = 8,95 cm b = 0,01 cm
A  0,179 0,1234
A  0, 2  0,1
A  0, 3

2
cm
Física Experimental I – Teoria de Erros
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TEORIA DE ERROS
4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo 1
Por fim, expressamos o valor da área A e seu respectivo
erro propagado A.
A  a b
A  b  a  a  b
a = 12,34 cm
a = 0,02 cm
b = 8,95 cm
b = 0,01 cm
A  110  0, 3
Física Experimental I – Teoria de Erros
2
cm
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