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ANÁLISE DE PROPOSTAS DE INVESTIMENTO'
r -
SOB
CONDIÇÃO DE RACIONAMENTO DE CAPITAL
.Abordagem Determinística
•
•
'~
Fundação
FG V
Getulio
Vargas
E&cola de Administração
de Empresas de S:lo Paulo
Biblioteca
Capelo, Emílio Recamonde
Análise de proposta
de investimentos sob
condição de racionamento de capital.
Fortaleza, Banco do Nordeste do Brasil, 1977.
p.
ilust.
•
:s;.
Tese (mestrado)- Esc. Adm. de Emp. são Paulo da FGV.
1. Administração Financeira. I. Banco do
Nordeste do Brasil- ed. lI. Título.
CDU
658.15
EMÍLIO RECAMONDE CAPELO
Técnico emDesenvolvímento Econômico
do Banco do Nordeste do Brasil
Professor Assistente da Universidade
Federal do Ceará
,~ .
ANÁLISE DE PROPOSTAS DE INVESTIMENTO
SOB
CONDIÇÃO DE RACIONAMENTO DE CAPITAL
Abordagem Determinística
Tese apresentada à Escola de Administração de Empresas
de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas, para obtenção do título de Mestre em Administração Contábil e
Financeira. Elaborada sob a orientação do Professor
Doutor Wladimir A. Puggina.
Fortaleza
-
Ceará
Banco do Nordeste do Brasil S.A.
1977
A minha esposa
Teinha
A meus fílhos
Milena
Emâío
Mário
Édison
,..'"
'SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . • . • . . • • • • . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . • • .
USTA DE FIGURAS. . . . . . . . . . . . . . • . • • . . • • . . . . . • . . • • . • . • . • • . • . •
INTRODUÇÃO.
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ••• . . . . . . . . . . . . . .
1 -TÓPICOS
IMPORTANTES
PARA
O ESTUDO
DA
ORÇAMENTÁRIA
......................•...•..............•.......
••.. ••.•••. . •.
. .. . ..••.•••. .
•. . . . . . ... . •. .
RESTRIÇÃO
8
10
12
1.1 - OS OBJETIVOS DA MODERNA EMPRESA PRIVADA. . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . .
1.2 - O FLUXO DE CAIXA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •• . . . . . . . . . . . .
1.2.1 . - OS FLUXOS DE CAIXA DA FASE DE IMPLANTAÇÃO.. .. . .. . .•.. . .. . . .. . . .. . •.
1.2.2 - OS FLUXOS DE CAIXA DA FASE DE OPERAÇÃO .....
, .....•..•.........•...
,
1.2.3 - OS FLUXOS DE CAIXA DA FASE DE DESINVESTIMENTO . . . . . . . . • . . . . . • . . . • . . .
1.2.4 - COMENTÁRIOS ADICIONAIS
: .. . . . •.. . . . •.
1.3 - AS ALAVANCAGENS OPERACIONAL, FINANCEIRA e COMBINADA
, . . .. .•.•
..
1.3.1 - ALA VANCAGEM OPERACIONAL. . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .
'1.3.2 - ALAVANCAGEM FINANCEIRA
,. . . . . . . . . . . . . . • . . •• . . . . • . . . . . • . . .
1.3.3 - ALA VANCAGEM COMBINADA. . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • • . . . • . • . . . . • . . . .
1.3.4 - CÇ)NSIDERAÇÕES COMPLEMENTARES. . . . . . . . . . . . . • • . . . . •• • •. . . . . . . • . . . . •
1.4 - OS RISCOS DO ATIVO, DO PASSIVO E TOTAL. ........•
1.4.1 - O CONCEITO E A MEDIÇÃO DO RISCO
,. '... .• .. .
1.4.2 - AS INTERRELAÇÕES ENTRE REMUNERAÇÃO E RISCO .....•....••..
,. . .•••.
.
1.5 - A QUANTIFICAÇÃO DO MÉRITO DE UM PROJETO . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . .
1.5.1 - UMA CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS INDICADORES DE MÉRITO. . . . . .. . . . . . .. . . . .
1.5.2 - O MÉRITO DE UM INVESTIMENTO NO ESPAÇO RISCO RETORNQ
,
1.5.3 - AS DIFICULDADES ENFRENTADAS PELO ANALISTA DE INVESTIMENTOS . . . . . . . . .
1.5.4 - ALGUNS CRITÉRIOS RELEVANTES. . . . . . . • . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • .
1.5.4.1 - O ''Payback'' Clássico ..............•......
". . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . . . . • . . .
1.5.4.2 - O "Payback" Atualizado
~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4.3 - O Valor Presente Líquido - VPL ........................•
'. . .. . • . . . . . . . . .
1.5.4.4 - O Valor Presente Líguido Unitário - VPLU. . . .• . . . • . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . • . .
1.5.4.5 ' - A Taxa Interna de Retorno - TIR .. : ..........•.......••...............
,
1.5.4.6 - O Retomo Sobre o Capital Investido - RIC . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 - CLASSIFICAÇÕES DE PROJETOS E DE SUAS INTERAÇÕES TÉCNICAS E ECONÔMICAS..
1.6.1 - UMA TENTATIVA DE CLASSIFICAÇÃO GLOBAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.1 - Quanto às Características Individuais de um Dado Projeto Visto Isoladamente de qualquer
~c ••••••••
7
'.
•
•
•
•
•
•
•
Outro.
• •
•
•
•
.. . . . . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. . ... . .. . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . . . . ..
. . .. .
. . . . .
. . ..
na sua
implantação ......................................•.
',' . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.3 - Classificação de um Projeto Se~ndo o Perfil de seu Fluxo de Caixa
1.6.2.4 - Classificação de um Projeto de Investimento, Segundo a Natureza Econômica da Destinação
dos Recursos ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.5 - Classificação de um Projeto, Consoante a Eficiência no uso dos Recursos Financeiros e o Impacto na Riqueza do Acionista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.6 - Classificaçã0 de um Projeto, no que concerne à Repercussão 'que sua Adoção causa na feição
do risco da empresa que o adota. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.7 - Classificação de um Projeto, tendo em vista as Definições dos Tetos Orçamentários para os
períodos de sua Implantação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.8 - Classificação de um Projeto. tendo em vista outros aspectos não incluídos em itens anteriores.
1.6.3 - AS CLASSIFICAÇÕES DOS RELACIONAMENTOS ENTRE PROJETOS. . . . . . . . . . . . . ..
1.6.3.1 - Classificação do Rclacíonan1ento entre dois Projetos que Competem entre si por Recursos
Orçalllentários
~. • . . . . . . . . . . . . .
1.6.3.2 - Classificação do Relacionamento' entre dois Projetos, Segundo o Enfoque Estatístico da
Análise. . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3.3 - Classificação do Relacionamento entre dois Projetos, Consoante suas respostas a eventos
sociais e econômicos relevantes . . . . . . . . • . • . . . . . . . • • • • • • • • . • • • . • . • • . • • . . .•
1.6.1.2 - Quanto às Características do Relacionan1ento entre Pr2jetos . . . . . • • . . . . . . . . . . .
1.6.2 - DESDOBRAMENTOS DE ALGUMAS CLA.SSIFICAÇÕES DE PROJETOS ....
, . . . .
1.6.2.1 - Classificação de um Projeto,
Segundo o Grau de Liberdade na Decisão de implementá-lo.
-..,1.6.2.2 - Classificação de um Projeto em função da Intluência da AnteÇ.ip~ção ou posposição
12
17
19
21
26
27
29
29
31
33
35
36
36
41
46
46
48
52
53
53
53
55
59
60
66
74
74
74
75
76
76
76
77
78
7~
79
79
79
79
80
80
80
1.6.4 - OS RELACIONAMENTOS TÚCNICOS E ECONÔMICOS
. 81
1.6.4.1 - Classificação do Relacionamento Usual de doü: Projetos, ~ que Respeita ao Aspecto Físico
,ou Técnic~
. 84
1.6.4.2 - Classificação do Relacionamento Usual de dois Proj~~, no que tange aos Aspectos Econô- '
mico-Financeiros .......................................•............
85
1.6.5 - O PROBLEMA DA COMPARABILIDADE ........•...........................
88
1.6.5.1 - Classificação de Projetos Segundo o Grau de Comparabilidade para efeito de Orçamento de
Capital
;
. R";
1.7 - O ORÇAMENTO EMPRESARIAL - CONCEITOS E CLASSIFICAÇÕES
. 88
1.7.1 - O ORÇAMENTO DE CAPITAL
~
. 89
1.7.2 - A INFLAÇÃO E O PROCESSO ORÇAMENTÁRIO
. 91
1.7.3 - O RACIONAMENTO DE CAPITAL: FATORES DETERMINANTES E CONSEQlmNCIAS
. 93
1.7.3.1 - Limitações Impostas pelo Proprietário
. 93
1.7.3.2 - Limitações Impostas pelo Ambiente Interno da Empresa.
. 94
1.7.3.3 - Limitações Impostas pelo Ambiente Externo à Empres2
. 96
2 -UMA
INTRODUÇÃO
AO ESTUDO
TEÓ~ICO
DO ORÇAMENTO
E
R A C I O N A M E N T O D E C A P I T A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . ..
2.1
,2.2
'2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
-
UM COMENTÁRIO SOBRE O LIVRO DE JOEL DEAN . . . . . . . . . . . . . . .. .
UMA NOTÍCIA SOBRE O TAMANHO DE FRIEDRICH E VERA LUTZ . . . . . .
AS PROPOSIÇÕES REVOLUCIONÁRIAS DE MODIGLIANI E MILLER - MM
A CONTRIBUIÇÃO DE JACK HIRSHLEIFER
A ANÁLISE DE MARTIN BAILEY ......•.....................
, ..
OUTRAS CONTRIBUIÇÕES IMPORTANTES
c. • • • • • • • • • •
O RACIONAMENTO DE CAPITAL E OS LIVROS TEXTOS DE FINANÇAS. . .
UMA TOMADA DE POSIÇÃO
-. . . . .
3 -
E S T U D O C R ÍT I C O D O A R T I G O D E
3.1
3.2,
3.3
3.4
3.5
3.6
-'
4 -
O PROBLEMA
DE LORIE
E SAVAGE
TEM Á TICA ...............•......................•.............•...
4.1
4.1.1
4.1.2
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6
4.2.7
4.3
4.4
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.5
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
. . . . . . . . ..
. . . . . . . . ..
,
. . . . . . . . ..
•
• •
•
• •
• •
••
. . . . . . . . ..
. . . . . . . . ..
98
99
102
105
107
113
114
123
130
135
LORIE E SAVAGE
COMENTÁRIOS INICIAIS '
'. . . . . • . . . • . • . . . . . . . . . . . .. 135
O PROBLEMA TIPO A-I .....................••..
'
; .......•.....
137
O PROBLEMA TIPO E-L
144
O PROBLEMA TIPO A-2
'
: 150
O PROBLEMA TIPO B-2
~..................................•..
' 161
REVISÃO E COMENTARIOS ADICIONAIS ............•.......................
168
E A PROGRAMAÇÃO
- O MODELO BÁSICO DE WEINGARTNER . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
- O MÉTODO PRIMAL SIMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- AS VARIÁVEIS DUAIS E QS MULTIPLICADORES DE LORIEE SAVAGE ...........•
- EXTENSÕES DO MODELO BÁSICO DE WEINGARTNER . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . .
- AS INTERAÇÕES ENTRE PROJETOS
- ALGUMAS RESTRIÇÕES NÃO MONETÁRIAS .............•.....•.....•...
- O DESLOCAMENTO INTERPERlODO DE RECURSOS E DE PROJETOS
- A GERAÇÃO INTERNA DE RECURSOS .......•............................
- JV3 GARANTIAS EXIGIDAS POR CREDORES ... : .....................•......
- AS SOBRAS ORÇA\1ENT ÁRIAS E OS INVESTIMENTOS MOBILIÁRIOS ......•.....
- AS NOVAS RESTRIÇÕES E OS PROJETOS FRACIONÁRIOS
~
- AS PROGRAMAÇÕES POR METAS E PARAr.IÉTRICAS
'"
- O MODELO DE "VALOR DE HORIZONTE" DE WEINGARTNER ...............•...•
- O HORIZONTE E A QUALIDADE DAS INFORMAÇÕES
- AS IMPERFEIÇÕES DO MERCADO FINANCEIRO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- OUTRAS VERSÕES DO MODELO DE HORIZONTE. . . . . . .. . . • . . . . . . . . . . . . .
- RUDIMENTOS DE PROGRAMAÇÃO UNEAR INTEIRA .....................•....
- A ABORDAGEM DOS PLANOS DE CORTE. . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • ..
- OS DUAIS DA PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-UMA BREVE NOTÍCIA SOBRE A TÉCNICA DO "BRANCH AND BOUND" . . . . . . . .
- UM MÉTODO DE ENUMERAÇÃO PARCIAL
, .............•...
MA170
. . ..
. . ..
170
173
175
• . . . 180
180
,. 182
183
184
185
, 185.
188
188
189
, 192
. . .. 192
. . .. 194
198
. . .. 198
. . •. 205
. . .. 206
207
4.6
- OUTRAS OBSERVAÇÕES.
4.7
- "SOFTWARES" PARA PROGRAMAÇÃO LINEAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • . . . . • • • • . . . . . . . • • . ..
'.' .•...••.••.••..•••..
5 - C O N C LU S Õ E S ......•••.••.••.••••...•••.••..•
'..•••••.•.•...•
'•••.•.
6 - A N E X OS .........•....••..•..•.........•••....••••.•••..•..•..•.••.
. 6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
- (Ver 1.2.3) Cálculo do FLUXO DE CAIXA, da CAPACIDADE DE AMORTIZAÇÃO DE EMP!lliSTIMOS e dos RECURSOS REINVESTÍVEIS de períodos de operação e/ou desinvestimento ......................•............................
,
- (Ver 1.3.4) Cálculo dos GRAUS DE ALA VANCAGEM OPERACIONAL, FINANCEIRA E
COMBINADA
,
- (Ver 1.5.4.2) Cálculo do PAYBACK CLÁSSICO ou ATUALIZADO referido ao instante zero
da corrente de fluxos de caixa .....................•.......................
- (Ver 1.5.4.3) Cálculo do VALOR PRESENTE LíQUIDO e da TAXA INTERNA DE RETORNO
(por iteração externa) de um projeto, convencional ou não, com até onze fluxos de caixa
- (Ver 1.5.4.3) Cálculo dos VALORES PRESENTE e FUTURO LÍQUIDOS e também da TAXA
INTERNA DE RETORNO (por iteração externa) de um projeto, convencional ou não, com
qualquer número de fluxos de caixa
.- (Ver 1.5.4.5) Cálculo da TAXA INTERNA DE RETORNO (por iteração mista, interna e externa),
de projetos, convencionais ou não, com até cinco fluxos de caixa (de Fo a F4)
- (Ver 1.5.4.6) Cálculo do RETORNO SOBRE O CAPITAL INVESTIDO (RIC) para projetos de
investimentos 'mistos e com até cinco fluxos de caixa (de Fo a F~
(Ver 1.5.4.6) Cálculo do RETORNO SOBRE O CAPITAL INVESTIDO (RIC) para projetos
de investimentos mistos com qualquer número de fluxos de caixá
.... - ...........•....
7 - R E F E R ~ N C I A S B I B L I O G R Á F I C AS. . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . ..
..
211
212
214
216
217
218
21~
220
221
222
223
224
225
LISTA DE TABELAS
Tabelas
1-1- Estudo comparativo dos "Paybacks" clássicoe atualizado. . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . .
1-2- Fluxos de Caixa de Projetos Hipotéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-3- Estudo da variação do VPL com "k"
,
'. . .
14- Valores futuros no instante 8 dos reinvestimentos das devoluções de recursos de períodos
anteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-5- Estudo das variações de VPL com K para os projetos "A" e "B" modificados pelas rcinversões. . . .
1-6- . A aplicação da técnica de TRM a três projetos hipotéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-7- Aplicações da técnica de TRM ao projeto C com três TIR's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-8- Combinações binárias de relacionamentos Econômicos unilaterais de projetos. . . . . . . . . . . . . . .
1-9- Combinaçõesbinárias de relacionamentos técnicos unilaterais de Projetos ... : . . . . . . . . . . . . .
1-10- Matriz de vinculação das precondições de relacionamentos Técnicos binários usuais com a ocorrência de relacionamentos econômicos binários usuais entre dois projetos 'X' e 'Y'. . . . . . . . . . ..
·3-1- Uso da técnica dos multiplicadores de LS
, , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . • ..
3-2- Exemplo de problema tipo A-I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . ..
3-3- Universodas possíveis soluções apontadas pela técnica de LS. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . ..
34Estudo através da análise combinatória
.3-5- Situações orçamentárias que apresentam conflito entre os dois métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3-6- Exemplo do problema tipo B-l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . ..
3-7- Coordenadas das interseções nas fronteiras eficientes. . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3-8· Universodas soluções apontadas pela técnica de LS . ,
~. . . . . . . . . . . . . . ..
3·9· Estudo através da análise combinatória
: .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . •. . . . .
3-10· Situações orçamentárias que apresentam conflito entre os dois métodos. ... . . . . . . .. . . . • . . ..
3-11- Exemplo de problema Tipo A;-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3-12- Estudo das interseções com os planos coordenados
". . . . . . . . . ..
3-13~ Descrição analítica das funções que caracterizam os pacotes de LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-14· Estudo através da análise combinatória .........•..............•
".. . . . . . . . . . . . ..
3-15- Situações orçamentárias que apresentam conflito entre os dois métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . • .
3-16- Exemplo do problema tipo B-2
: . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ..
3-17- Estudo das interseções dos planos Z's
'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-18- Estudo das dominâncias por polígono
; . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3·19· Estudo através da análise combinatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3-20· Soluções conflitantes entre os dois métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4·1· Exemplo de problema Tipo A-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-2· O Exemplo de Lorie e Savage - Primal " .........•....
; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4-3- O Exemplo de Lorie e Savage - Dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44·
Méritos e Deméritos dos projetos do exemplo de Lorie e Savage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4·5·
Obtenção da solução fracionãríá' tradicional . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4-6· Obtenção da solução inteira ótima com o Prímal Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4-7· Obtenção da solução inteira ótima com o Dual Simplex . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . ..
c'
•
• • • • • • ••
• • • • • • • • • • ••
54
55
56
62
63
67
68
82
84
86
137
140
140
143
143
146
146.
148
149
149
153
153
157
160
160
163
165
165
167
168
174
174
176
178
202
203
204
LISTA DE FIGURAS
Figuras
1-1Visão gráfica simplificada dos fluxos de recursos que ocorrem durante as fases de implantação,
operação e desinvestimento de um projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-2Visão gráfica dos fluxos de caixa e das capacidades de amortização em situação de lucro e de
prejuízo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .
1-3Comportamentos típicos de G.A.O., MCT e LAJIR com o nível de atividade da empresa. . . . . . . .
14Comportamentos típicos do G.A.F., LAJIR, LDJAIR e LDJIR com o nível de atividade da empresa
.
Comportamentos
típicos
de
G.A.C.
e
LDJIR
com
o
nível
de
atividade
da
empresa
.
1-5.
1-6- Curva de distribuição dos possíveis retornos de um investimento
Curvas
de
dísuíbuição
de
retornos
com
idênticos
desvios
e
médias,
mas
com
assimetrias
opostas
.
1-7Duas curvas de distribuição de retornos com diferentes desvios e médias, mas com mesma área à
1-8esquerda de O ..•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Relacionamento entre prêmios e riscos ..........•.............................
1-91-10- Relacionamento entre o retorno requerido pelos acionistas e o grau de alavancagem financeira ....
1-11- Estudo da transformação do risco operacional em risco de credor do passivo exigível para uma
empresa financiada totalmente com recursos dessa fonte ....•.........................
1-12- Estudo da transformação do risco operacional em risco do acionista, para uma empresa totalmente fínancíada por ações ordinárias
r •••••••••••••••••••••
.
1-13- Comportamento de dois Investidores.J 1 e I 2, no espaço risco x. retorno
.
1-14- Comportamento de um empresário no espaço risco x retorno
1-15- Curvas de variação do VPL com a taxa de desconto ....................•...........
,
.
1-16- Esquema básico da interação unilateral entre projetos
1-17- Visualização do encadeamento de precondições técnicas usuais e relacionamentos econômicos
usuais
.
O estudo do equilíbrio em condições de financiamentos autônomo e externo, segundo Dean
.
2-1O estudo da "escala" ótima de investimento, segundo os Lutzes
.
2-2Abordagens
do
"Net
Operational
Income"
do
"Net
Income"
e
"Traditional"
na
Teoria
da
Es2-3trutura de Capital de uma empresa ..........•................................
A
visão de Fisher para o investimento a dois-períodos
.
24A
visão
de
Hirshleifer
para
o
investimento
a
dois
períodos
.
2-5A visão de Hirshleifer para situação em que as duas taxas de mercado são imprestáveis para co2-6mandar o f1IIl do ínvestímento ; .........................•...................
Nova posição de Hirshleifer,para o investimento a dois períodos
.
2-7Uma
visão
satisfatória
do
problema
de
racionamento
de
capital
.
2-8Uma
adaptação
da
análise
de
Hirshleifer
para
empresas
com
projetos
indivisíveis
e
custo
de
capital
2-9crescente
.
Representação
Gráfica
de
uma
Família
Típica
do
Problema
A-I
.
3-1Representação Gráfica consolidada de um Problema Ti.po À-I
.
3-2Gráficos
dos
Comportamentos
de
L
VPL,
L
I
e
VPLU
com
"p"
.•.....................
3-3.
34- Gráfico do Comportamento da Função L Z, com "p"
Representação
Gráfica
de
uma
Família
Típica
do
Problema
B-l
'.'
.
3-5Represêntação Gráfica Consolidada de um Problema Tipo B-l
.
3-6.
3-7- Interseções de Zc com os três Planos do Triedro Ortogonal
Interseções
dos
Planos
dos
Projetos
com
os
Planos
Coordenados
......•..........
;
.'
.
3-8Gráficos
dos
Comportamentos
das
Funções
L
Zi,
L
VPLi
e
L
lij
com
Pj
.
3-9.
3-10- Interseções de 'z' com o Plano-Base para um Problema Tipo B-2
Interseções
de
Z
com
os
Outros
Dois
Planos
Ortogonais
.
3-113-12- Projeções sobre o Plano-Base das Interseções dos Planos Representativos de cada Projeto Dentro de
Cada Família
.
Visão Gráfica de um Problema de Programação Linear Inteira
.
4-1-
18
25
30
32
34
36
38
39
41
42 .
43
45
49
51
57
81
87
101
104
106
107
109
110
119
132
133
138
141
142
142
145
147
151
156
159
162
164
166
200
.,'~
".
AGRADECIMENTOS
Nos dias que correm é muito difícil reunir tempo para pensar em problemas e para desenvolver trabalhos que
não se inscrevam nas obrigações incontornáveis do cotidiano. Estamos pressionados pelos compromissos profissionais e
sociais, e por uma louca corrida em busca de sucesso material, ainda que não nos sobre tempo para desfrutá-lo.
Perseguimos a felicidade do "ter" esquecendo que há outros tipos de felicidade como a do "ser" e a do "fazer".
Este trabalho é uma tentativa nestas últimas direções e não teria sido possível sem uma boa dose de agressão
aos comportamentos convencionais e, sobretudo, sem muitos sacrifícios familiares e pessoais. Mas é, também, fruto
da indispensável colaboração de pessoas e instituições que ensejaram recursos de naturezas várias para sua elaboração.
. Para não correro risco de omitir alguns desses inestimáveis coladoradores, prefiro registrar meus agradecimentos por intermédio das instituições a que se encontram vinculados. Destaco, assim, o patrocínio fundamental
recebido do Banco do Nordeste do Brasil S.A., da Universidade Federal do Ceará e da Escola de Administração do
Ceará e, também, o clima de estudo, pesquisa e camaradagem ofertados pelos mestres, colegas e funcionários da
Escola de Administração de Empresas de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas, que me permitiram completar a
.base científica necessária à feitura desta monografia.
Devo anotar,ainda,as
contribuições recebidas das bibliotecas da EAESP-FGV, da Universidade de São
Paulo, USP, -da Universidade de Mackenzie, da Universidade de Campinas, UNICAMP, do Instituto Tecnológico de
Aeronáutica, ITA, do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, INPE, daCoordenação dos Programas de Pós-Gra. duação em Engenharia, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, e do Instituto Brasileiro de
Bibliografia e Documentação, IBBD, onde obtive as informações complementares de que me vali nesta dissertação.
Sinto-me, contudo, no dever de distinguir o nome do Professor Dr. Wladimir Antonio Puggina, meu
orientador, pela proficuidade e diligência com que conduziu o presente trabalho, desde a seleção do tema até a
revisão derradeira, pelas sugestões e observações que apresentou e pela fidalguia e paciência com que sempre me
atendeu, quer pessoalmente quer por telefone, sacrificando, freqüentemente, a privacidade do seu lar, em horários
noturnos ou em dias de repouso. Continuam sendo, no entanto, deméritos exclusivamente meus, as falhas que ainda
persistem e que sei não serem poucas. Infelizmente, devemos perseguir o ótimo mas. temos que nos contentar com o
satisfatório .
. Permitam-me mencionar, por fim, o encorajamento e o auxílio que recebi de minha querida esposa e de
meus diletos filhos, a despeito do desmesurado e injusto sacrifício que lhes impus e que só foi superado pelo grande
amor que dedicamos uns aos outros e 'pela compreensão que buscamos ter dos problemas do presente e do futuro. A
eles e a meus pais, credito o mérito eventualmente existente neste trabalho.
Fortaleza, junho de 1977
Emílio R. CapeI o
•
INTRODUÇÃO
A Economia tem sido definida como a ciência da escassez! porque analisa, buscando entender e
quantificar, os fenômenos relativos à produção, distribuição e consumo dos bens e serviços econômicos, de oferta
restrita, em virtude de sua geração apoiar-se em fatores de produção, também limitados.
As necessidades humanas, reais ou psicológicas, se apresentam em maior dimensão que a capacidade do
sistema produtivo para satisfazê-las, determinando, assim, uma constante preocupação em alocar os recursos
disponíveis, da forma mais racional possível, de acordo com um escalonamento de prioridades, erigido em função de
um esquema de valores socialmente estabelecido.
Ser racional significa, segundo' o Prof. Bresser Pereira2, ser coerente com relação aos fins almejados,
economizar, deliberadamente, meios para atingir objetivos, isto é3 maximizar a relação benefício/custo
de um
empreendimento qualquer e, desta forma, otimizar a utilização dos recursos nele aplicados.
Identificamos hoje, no regime de livre empresa, cinco fatores' de produção e que reclamam emprego
racional. São eles: o capital, a mão-de-obra, os recursos naturais, a tecnologia e a iniciativa empresarial.
Os sistemas econômicos nacionais existentes são dotados, em maior ou menor grau, desses fatores, mas, um
deles, o capital se destaca dos demais pela escassez com que se apresenta e pela. .ímportancia que assume, quer em
regimes de livre empresa, quer em regimes centralmente planificados.
A poupança e o investimento têm sido apontados como os vetores fundamentais para propelir o
enriquecimento de uma comunidade. Seu mecanismo é traduzido de forma tentativa, através de diversos modelos
matemáticos de crescimento econômico, dentre os quais, o de Domarr' é um dos mais simples e conhecidos.
No âmbito de uma sociedade moderna, omercado de capitais surge como elemento fundamental de ligação
entre a abstenção do consumo presente e sua aplicação em ativos que propiciem a oportunidade de maiores
consumos e/ou poupanças futuros. O fator de produção "capital" tornou-se, portanto, o centro das atenções de
todos aqueles que, a nível social, se preocupam com a elevação dos padrões de bem-estar da coletividade e dos que,
na esfera privada, buscam um maior enriquecimento empresarial e individual.
O Estudo de Finanças de Empresas derivou, no início do presente século, do estudo de Economía.f e uma
de suas preocupações dominantes centra-se no processo decisório que conduz a novos investimentos. Esse estudo se
enfeixa sob o título de Orçamento de Capital e procura criar uma visão prospectiva de todas as oportunidades de
investimentos abertas a um investidor e sujeita a duas imposições básicas. A primeira diz respeito ao volume máximo
de recursos disponíveis, . em cada período, para novos investimentos; a esses tetos chamamos de restrições
orçamentárias. A segunda nos fala da rentabilidade mínima desejada pelos possuidores do capital, e que está
determinada pelos riscos apresentados pelas diversas oportunidades
de investimento ou combinações dessas
oportunidades.
1 Ver por exemplo:
P. A. Samuelson, Introdução à análise econômica (Rio de Janeiro: Livraria Agir Editora, 1968), p. 26.
2 Luiz C. Bresser Pereira, "A Organização Burocrática", Material Didático da EAESP foGV (Maio 1963), p. 4-6.
3 Ver 101111 Lindaucr, Macrocconomia (Rio de Janeiro; Ao Livro Técnico S.A., 1973), p. 247-56. Ver também,
T. F.Dernburg e D. M. McDougall, MacIOccononiia (São Paulo): Editora Mestre Jou, 1971), p. 289-92, entre outros.
4
J. C. Van Home, Finatldal managernent and policy (New Jersey: Prentrce-Hall Inc., 1974), p.4.
o
estudo do "Racionamento de Capital", objetivo da presente Dissertação, se ocupa em descrever técnicas
quantitativas que nos conduzem a soluções ótimas, maximizadoras do valor de mercado da empresa sob estreiteza
orçamentária. Na verdade, as soluções são subótimas porque, os próprios tetos orçamentários, a indivisibilidade dos
investimentos, a ausência de um "continuum" de soluções tecnológicas, de tamanho e de localização, o tratamento
discreto das oportunidades de inversão, o desconhecimento de todas as alternativas presentes e futuras, entre outros
fatores, impedem a obtenção do ótimo verdadeiro. Ainda assim, a situação de sub otimização deve ser
criteriosamente equacionada e diligentemente perseguida.
Desdobramos o nosso estudo em quatro capítulos e no primeiro deles incluímos a revisão de alguns tópicos,
pré-requisitos para o trato dos problemas de que se ocupam o Orçamento e o Racionamento de Capital. Dentre eles
destacamos, o fluxo de caixa, a mensuração do mérito de uma proposta de investimento e a classificação das
interações entre projetos.
No segundo capítulo, comentamos alguns dos importantes trabalhos relativos à Teoria do Investimento,
com relevo para as contribuições de Fisher, Dean, os Lutzes e Hirsh1eifer. A 'taxa adequada de desconto para o
cálculo do valor de um investimento é o ponto central do debate."
O terceiro capítulo está todo dedicado a uma análise crítica do célebre artigo de Lorie e Savage", onde
procuramos demonstrar a invalidade do procedimento por eles desenvolvido para eleger a estratégia ótima, sempre
que os projetos são indivisíveis.
.
A Programação Matemática, mais especificamente, a Programação Linear fracionária ou inteira, ocupa todo
o quarto capítulo, onde ressaltamos a importância da obra de Weingartner6, e o poder de análise desta moderna
técnica.
Nos Anexos ofertamos oito programas para o computador
problemas encontrados ao longo deste trabalho.
Aofinal,
ajuntamosa
de bolso HP-25
com vistas a solução de alguns
bibliografia consultada ou referida, por ordem alfabética e também por ordem crono-
lógica.
•
5 Jarnes H. Loric and Leonard J. Savage, "Threc problerns in rationing capital", Journal of Business 28 (Octobcr 1955): 229-39. In
Foundations for Financiai Managernent: a book of rcadin~ J. C. Van Horne, Homcwood, Illinois: Richard D. Irwin, Inc. p.
295-309.
6 Principalmente sua Tese de Doutorado:
H. Martin Weingartner;MathclI1atical p,!!>grammingandanalysis
or capita!'budgeting
(Chicago, Markhan Publishing Co., 1967).
12
1 - TÓPICOS IMPORTANTES PARA O ESTUDO DA RESTRiÇÃO
ORÇAMENTÁRIA
Como o título sugere, reunimos aqui alguns itens que consideramos requisitos prévios ao estudo do l<.acionamento de Capital. Esta primeira seleção considera apenas aqueles que nos parecem mais relevantes e menos
polêmicos, já que, na verdade, o investimento de capital não pode ser visto isoladamente de seu financiamento e do
estudo da distribuição de resultados, fato que o interliga com todo o estudo de Finanças. Tópicos mais controvertidos, mas não menos importantes, como custo e estrutura de capital, política de dividendos e tratamento matemático
da incerteza, não serão tratados explicitamente, mas serão abordados de permeio com a revisão sumária de alguns dos
principais trabalhos deste século sobre as Teorias do Investimento, do Orçamento e do Racionamento de Capital que
faremos no capítulo seguinte.
Deter-nos-emos aqui em considerações sobre os objetivos da empresa, o fluxo de caixa, as alavancagens
operacional e financeira, os riscos do ativo, do passivo e total, sobre alguns indicadores de mérito de projetos, sobre
as classificações de projetos e de suas interações, e sobre o processo orçamentário empresarial.
A necessidade imperiosa que o analista ou avaliador de projetos tem de definir o foco de seu trabalho, como
. técnico ou como empresário, nos levou a investigar as posições mais importantes sobre a questão fundamental dos
objetivos de uma empresa, vista na sua manifestação econômica mais usual de um organismo moderno, com obrigações preponderantemente
privadas. Sem uma clara definição nesse sentido é impossível fazer-se orçamento e, conseqüentemente, racionamento de capital.
O fluxo de caixa é o ponto de partida dessa avaliação que encerra algumas dificuldades metodológicas
importantes e uma pluralidade de significados que buscamos esclarecer. Decompusemos o assunto segundo os
diferentes estágios da vida de um projeto para os quais existem considerações particulares neste tocante.
O estudo das alavancagens é de grande valia para nos alertar sobre a importância do nível de atividade de um
projeto para seus lucros operacional e de acionistas, e para a relevância das variações desse nível, quando projetos se
canibalizam ou se complementam na formação de pacotes de projetos.
'
Uma introdução ao estudo dos riscos, do negócio e financeiro, se fez necessária, apesar do enfoque determinístico desta monografia, para permitir um entendimento rudimentar do impacto da adoção de novos projetos sobre'
a feição de risco da empresa.
Imprescindível, também, se mostrou a revisão de alguns indicadores de mérito de uma proposta de investimento, tópico que apresenta ainda várias questões em aberto. Escolhemos os mais significativos e usados e tentamos
mostrá-los com seus defeitos e virtudes.
De grande importância para o estudo do investimento ótimo; é o conhecimento dos tipos de projetos, nos
mais diversos enfoques, bem como das naturezas das interações entre projetos, quando estes se defrontam aos pares
ou em grupos.
Ü
Ao final falaremos sucintamente sobre o processo orçamentário empresarial, com destaque para o Orçamento de Capital, mencionando ainda as perturbações causadas nesse processo pelo fenômeno inflacionário. Revelou-se,
ainda, imperiosa, uma investigação sobre as causas e conseqüências do Racionamento de Capital, assunto central
desta monografia.
.
.
1.1 -
OS OBJETIVOS DA MODERNA EMPRESA PRIVADA
O primeiro livro marcante de Economia, publicado em 1776, e da autoria de Adam Smith, diz textualmente!
"The consideration of his own private profit is the sole motive which detennincs the owner of any capital to employ
it either in agriculture, in manufactures, ar in some particular branch of the whole sale or retail trade. The different
1 Adam Smith,Thc Wealth of Nations (Middlesex: Pcnguin Books Ltd., 1973), P. 474.
.~.
13
quantities of produtive labor which it may put into motion, and the different values which it may add to the annual
produce of the land and labour of the society, according as it is employed in one of other of those different ways,
never enter into hís thoughts".
Como se vê, o primeiro objetivo identificado para a empresa foi o lucro, a partir do qual se construiu toda a
visão encontrada na Teoria da Firma. Assim, esta estaria em equilíbrio, ou seja, estaria maximizando o seu lucro,
quando estivesse aproveitando todas as oportunidades de investimentos, a sua disposição, a ponto de atingir uma
situação na qual a receita marginal torna-se igual ao custo marginal.
Embora este critério ainda permaneça como um importante padrão de comportamento para um grande
número de empresas, a expansão e a crescente complexidade do sistema capitalista o têm colocado em xeque, por
razões variadas.
Inicialmente, a competição entre as empresas pelo mercado tem despertado objetivos de natureza mercadológica que significam conquistar fatias cada vez maiores da procura. Mas, como menciona Kotler-, não é possível
maximizar, simultaneamente, vendas e lucro. Estes dois objetivos básicos revelam um conflito que só pode ser
resolvido pela descoberta de um ponto de equilíbrio que atenda, simultaneamente, a ambos.
Em segundo lugar, encontramos os objetivos de crescímento+, que estão intimamente ligados aos objetivos
de vendas máximas ~ lucro máximo. Tornar-se maior, cada ano, nos seus ativos, na participação do mercado, no
prestígio e no poder econômico é um dos objetivos múltiplos de muitas empresas. Conflito de natureza semelhante
ao anterior surge também neste caso, cuja solução exige concessões da parte do objetivo de lucro máximo.
A maximização, por si só, tem sido questionada e rotulada como um ideal teórico, inalcançável, na prática,
por uma série de razões. Em lugar dela, teríamos um comportamento "satisfatório", segundo nomenclatura introduzida por Simon". Para outros mais radicais a maximização dos lucros é considerada irreal, impossível e até imoral,
como nos afiança Anthony- .
'
o objetivo da sobrevivência é defendido por uma corrente liderada por Peter Drucker'' e 'que conta, entre
outros, com Galbraith 7, que caracteriza a tecnoestrutura, sua necessidade de segurança e perpetuação. Segundo eles,
os projetos podem morrer, mas a empresa foi concebida para perpetuar-se através de projetos seqüenciais e de
contínuas adaptações ao meio ambiente.
'Há os que defendem o princípio dos deveres socíaís da empresa, identificando os grupos sociais com quem
lida e aos quais deve atender, cuidando de reivindicações por vezes conflitantes. Os consumidores desejam produtos'
de boa qualidade, a baixo custo, os fornecedores- solicitam preços altos e prazos curtos, os operários peticionam
maiores saláríos e menores jornadas de trabalho, o governo necessita de mais impostos, os acionistas clamam por
maiores dividendos e/ou ganhos de capital, os credores desejam maiores juros e menores riscos e o interesse público
necessita de maiores oportunidades de trabalho e menores agressões ecológicas. Sobre estes aspectos podemos
encontrar pronunciamentos como os de Hayek'i, Donaldson'", Ansoff'l", Frank Abrams+! e muitos outros.
2 Philip Kotler, Marketing management, ana!ysis, planning and contraI (Englewood Cliffs: Prentice Hall, Inc., 1972), p. 233.
3 --,
4
--,
p. 235.
Herbert Simon, "Theories of decision-making in economics and behaviora! science", American Economic Review (June 1959):
253~83.
5 'Robert N. Anthony, "The Trouble with profit-maximízation",
Harvard Business Review 37: 126-34.
6 P. F. Drucker, "Business objetives and survival needs: notes on a discipline of business enterprisc", The Journal of Business (Aptil
1958): 81-90 Apud Igor Ansoff, Corporatc strat~,Middlcsex:
Penguin Books Ltd., 1970, p. 39.
7 J. K. Galbraith, Thc New industrial state (Houghton:
Mifflin Co., 1967), p. 165-78 ..
8
F. H. Ha~ek, "The Corporation in a democratic society: in whosc intcrest ought it and will it be run?" In 'Busincss strategy, lgor
, . Ansoff (Middlcsex: Penguin Books Ltd., 1972), pp. 227.
9
Gordon Donaldson, "Financia! goals; rnanagement vs stockholders", Harvard Business Rcview (May-Jun.
10Ansoff, Corporat~, p. 39.
11 V er--,--,p
.•·3·9'
'c'
1963): 1l9~
14
Um outro ângulo da questão nos leva ao reconhecimento de que a empresa não tem um só objetivo,
qualquer que seja ele. Na verdade, ela lida, simultaneamente, com vários objetivos, ou restrições, como nos indica
Simon 12: "In the decísíon-making situations of real life, a course of action, to be acceptable, must satisfy a whole
set of requirements c!" constraints. Sometimes one of these requirements is singled out and referred to as the goal of
the action. But the choice of one of the constraínts.ifrom
many, isto to a large extent arbitrary". Mais adiante
Simon acrescenta 12: "It would be both legitimate and realistic to describe most business firmes as direct toward profit
making, subject to a number of side constrainsts, operating through a network of decísion-making processes that
introduces many gross approximations into the search of profital,' e courses of action".
Todas as colocações acima são persuasivas quando analisadas isoladamente, o que nos permite entender que
são diferentes ângulos de uma mesma questão. Apresentam, no entanto, um elemento comum: a necessidade da
existência. do lucro que, para uns é rotulado de "adequado", para outros, de "socialmente aceitável", e ainda para
outros, de "ético ou moral", ou "satisfatório", ou "equilibrado com outros objetivos".
Entendemos que a teoria da maxímização do lucro apresenta duas áreas de conflito, uma com objetivos ou
restrições externas à empresa e de natureza social, e outra interna à empresa e decorrente da necessidade de perseguir
múltiplos objetivos.
Sobre a área de conflito externa parece-nos que são ainda válidos "mutatis mutandis", os ensinamentos de
Adam Smith quando diz13: "Agindo de acordo com seu próprio interesse, o empresário, freqüentemente, promove o
interesse da sociedade mais eficientemente do que quando ele, realmente, tenciona promovê-lo. Nunca vi grande
utilidade nas atividades daqueles que fingem promover o bem comum. Essa simulação, na verdade, não é muito
comum entre os comerciantes". Sobre o mesmo assunto nos diz Háyek14 "The more it comes to be accepted that
corporations ought, to be directed in the service of "public interests", the more persuasive becomes the contention
that, as government is the appointed guardian of the public interest, government should also have power to tell the
corporation what they must do". O mesmo autor cita ainda os ensinamentos de Milton Friedman sobre o assunto e
que dízem- " "If anything is certaín to destroy our free society, to undermine its very foundations, it would be a
wide-spread acceptance by management of social responsabilities in some sense other than to make as much money as
possible. This is a fundamentally subversive doctrine".
O que parece ter mudado de Adam Smith até então é o papel do Estado como gestor do sistema econômico.
Sua ingerência na vida da empresa, no sentido de lhe atribuir crescentes responsabilidades sociais, se materializa no
conjunta de leis, decretos, resoluções, portarias e outros ordenamentos que traçam as fronteiras do campo em que a
empresa pode mover-se. Estabelecidas estas restrições externas, a empresa pode e deve perseguir o objetivo da
otimização privada dos recursos que a comunidade lhe põe à disposição. Este ponto de vista é o mesmo esposado por'
Van Horne15 , por Weston16 , Robichek e Meyers! 7, Solomon 18 e outros tantos.
Às .restrições externas, impostas pelo sistema legal, nacional e internacional, agregam-se outras provenientes
da área de conflito interna, representada pela presença de outros objetivos adotados pela empresa, como por
exemplo, oferecer produtos de boa qualidade e perseguir uma posição de hegemonia mercadológica; outros conflitos
semelhantes nos são mostrados por Kotler-? em seu tratado de Marketing.
12 Herbert Simon, "On the ~ncept
of organizational goal't'In Business stratcgy, Ansoff, pp. 260.
13 Adam Smith, "The Wealth" In Teoria da administração financeira, Ezra Solomon (Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1973), pp. 32.
14 Hayek, The Corporation, p. 238.
15 Van Horne, Financiai, p.
9,
16 J. Fred Weston, Finan~s de empresas - ~lpO
17 A. A. Robichckand
e metodologia (São Paulo: Editora Atlas S.A., 1969), p. 23.
S. C. Myers, Qptimal financing,decisions (Englewood CJiffs, 1965).
18 Ezra Solomon, Teoria da Administração Financiem (Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1973), p. 42.
19 Kotler, f\13rk~ting, p. 233.
. ".
15
A maximização do lucro até aqui foi enunciada come um objetivo de curto praz020. Em anos recentes,
economistas e financistas têm oferecido substitutivos a esse objetivo clássico, mas que traduzem uma visão de longo
prazo21. Desses, dois têm ganho maior destaque, e não são, a rigor, mutuamente exclusivos:
a) a maximização do Valor Presente Líquido da empresa;
b) a maximização do valor da empresa para seus acionistas.
o
prírneirc desses novos objetivos foi defendido por Solomon=", que rotulou de "riqueza" o valor atual
líquido do curso de ação a ser adotado por uma empresa, isto é, o "Valor Presente Líquido", tanto da atividade
preexistente como dos novos projetos a serem implementados. O segundo deles encontra apoio em Van Horne23,
Robichek e Meyers24 e Brigham e Weston25•
Para Lorie e SavageÚi eles são equivalentes, a deduzir pelo que dizem textualmente: "Assume that the
firm's objetive is to maximize the value of its net worth - not necessarily as measured by the accountant but rather
as measured by the present value of its expected cash flows. . .. Its is equivalent to asserting that corporate
management's objetive is to maximize the value of the owner's equity or alternatively, the value of the owner's
income from the bussiness".
Os dois substitutivos mencionados se albergam dentro do objetivo que se considera central e natural para a
empresa moderna: a rentabilidade máxima a longo prazo. O lucro de curto prazo era um indicador adequado para
medir a eficiência de uma empresa antes da revolução industrial quando esta incorporava poucos ativos fixos cujo
consumo não se dá em um único exercício. Com o desenvolvimento tecnológico, com o investimento em ativos que
devem oferecer serviços à empresa, por vários anos, tornou-se imperativo contemplar o investimento e o lucro no
longo prazo, como forma de viabilizar os modernos empreendimentos que demandam razoáveis períodos de implantação e são projetados para largos períodos de operação, com substanciais investiment?s de capital.
Enquanto há os que investigam os objetivos da empresa, há também os que os negam. A "Teoria Comportamental da Firma" de Cyert e March27 argúi que uma empresa não tem objetivos próprios, mas que os recebe, por
transplante, das pessoas que lhe detêm o controle acionário. Estes poderiam ser de natureza econômica ou não, mas
todos estariam condicionados pelo desenho das forças dos participantes, por seus perfis psíquicos, pelas restrições do
meio ambiente e pelas responsabilidades explícitas da empresa. Os objetivos econômicos suplantariam os objetivos
sociais, na maioria das empresas e, para estes casos, o propósito central é a maximização dos retornos sobre os
recursos empregados, vistos numa perspectiva cronológica abrangente.
Na medida em que a disponibilidade de capital é a restrição mais usual ao processo de crescimento
econômico, a maximização de sua rentabilidade no conceito do longo prazo significa aproveitar inteligentemente um
recurso social escasso, buscando a maior eficiência na sua utilização. Este conceito é utilizado, também, nas economias socialistas.
'
medidas
empresa.
diversos
recursos,
Estamos conscientes da diferença entre crescimento e desenvolvimento econômicos, mas entendemos que
necessárias para a transformação de um em outro são um problema de economia social e não de finanças
Cabe à sociedade traçar as regras da atividade empresarial, disoiplinando seu relacionamento com
públicos com quem contacta, e decidindo sobre o sacrifício adequado da eficiência privada no uso
em favor do alcançamento das metas sociais desejadas28.
as
de
os
de
Estes argumentos enfraquecem consideravelmente as objeções ao conceito de maximização do lucro. Como
nos diz Solomon-P, "a formulação referente ao valor líquido atual ... reflete a utilização mais eficiente dos recursos
econômicos de uma sociedade, promovendo, assim, a maximização da riqueza econômica da sociedade".
20 Por "curto prazo" queremos significar a duração de um ciclo de produção.
21 Ver Ansoff, Corporate, p. 38.
22 Solomon, Teoria, p. 36,44.
23 Van Horne, FinanciaI, p. 6-9.
24 Robichek and Myers, Qptimal, p. 2-3.
25 J. F. Wcston and E. F. Brigham, Managcrial finanec (Hinsdale, 111.: Holt, Rinehart and Wiston, Inc., 1972),
26 Loric and Savagc,.Thrcc probll'ms, p. 297.
27 R. M. Cyert and 1. G. March, A Bchavioral thcory
28 Ver Van Hornc, Financiai, p. 9.
29 Solomon, Teoria, p. 40.
Df
the firm (Englewood Cliffs: Prenticc Hall, Inc., 1963).
i- 4.
16
Sabemos que nem sempre o que é ótimo para o acionista, é ótimo para a sociedade. Há muitas situações em
que as receitas e os custos privados não se identificam com as receitas e os custos sociais. Essas distorções existem e
cabe ao Poder Nacional identificá-las e corrigf-las. É, mais uma vez, um problema de política econômica que
transcende as fronteiras da empresa. Feitas as correções, o interesse empresarial confunde-se com o ínteresse social.
Aceita-se como um dado do problema a crescente disciplina do Estado para aprimorar os benefícios sociais da
empresa privada. Qualquer que seja, entretanto, o grau de aperfeiçoamento desses mecanismos restritivos, cabe ao
empresário, enquanto empresário, o dever de otimizar o seu sistema empresarial, e como cidadão, influir para o
aprimoramento das regras sociais que regem a comunidade. Os r'ois comportamentos parecem conflitantes entre si e
requerem, de fato, uma grande dose de maturidade e compreensão dos problemas transcendentais da empresa. Há, no
entanto, indicadores dessa racionalidade entre alguns empresários de nossos dias30.
A maximização do Valor Presente Líquido - VPL - não é incompatível com a maximização da prosperidade econômica dos acionistas. Ainda segundo Solomonê l , é essencial a ela, é condição necessária à sua realização.
Para Solomon, a taxa de desconto 'k', usada no cálculo do VPL, representa o grau de incerteza ligado às
estimativas do fluxo esperado de benefícios. Essa incerteza é decomposta pelo autor32 em três segmentos que
traduzem o risco do Ativo, o risco do Passivo e o risco do mercado de capitais. No primeiro, se considera a
variabilidade dos retornos propiciados pelos ativos operacionais e que premiarão, em diferentes graus, os supridores
dos recursos do Passivo. O segundo reflete a preocupação decorrente da existência da alavancagem financeira que
amplia os lucros ou prejuízos dos acionistas ordinários. Estes dois riscos somados formam o risco não sistemático ou
diversificável, na linguagem do mercado de capitais. O risco das mudanças nos preços desse mercado recebeu,
recentemente, um novo tratamento através da medida de risco '{3' que mensura o risco sistemático ou não diversificável, quantificado pela Teoria de Precificação de Ativos de Capital 3 3 .
Cas~ a empresa siga a regra34 de só aceitar projetos com V~or Presente Líquido positivo, quando descontados ao custo de capital, e, diríamos nós, somente os que formem o melhor pacote com os recursos disponíveis, o
preço de mercado de sua ação será maximizado e, com isso, por via de c~nseqüência, a riqueza dos acionistas.
Afora os riscos envolvidos, e os correspondentes prêmios, em termos de incremento da taxa de desconto,
que deverão ser pagos para induzir o investidor a enfrentá-los, existe ainda o aspecto relevante da política de
dividendos adotada pela empresa e que influi no custo dos recursos dos acionistas. Esta política é, usualmente,
caudatária da política de investimento. Seu ordenamento básico se resume em só reter recursos gerados internamente, na medida em que existam novos investimentos que ofereçam retomo superior ou, no mínimo, igual ao custo
de capital que resultar das eventuais alterações na feição dos riscos do Ativo e do Passivo da empresa.
O custo de capital de uma empresa é a média ponderada dos custos dos diferentes recursos financeiros por
ela absorvidos, sendo uma função do risco do Ativ,?-,do Passivo, e da política de dividendos.
O risco de mercado, para aqueles supridores de recursos do tipo obrigacionistas e acionistas cujos títulos de
crédito têm livre curso no mercado de valores mobiliários, afeta diferentemente o preço desses títulos e este fato
também tem influência sobre o custo do capital das empresas.
Antecipamo-nos em referências sobre o risco empresarial, o custo de capital, a política de dividendos e as
técnicas de precificação de ativos, para permitir a conclusão de que os dois substitutivos do objetivo do "lucro
máximo no curto prazo" que traduzem, ambos, visões de "lucro máximo no longo prazo" são, quando convenientemente interpretados, dois conceitos equivalentes.
No âmbito deste trabalho consideramos como objetivo central da empresa, em termos ideais, a maximização
de seu valor de mercado, na perspectiva do prazo que encerra toda a extensão da vida útil dos projetos sequenciais,
que devem ser-implantados para perpetuar-lhe a existência como organização, cujo comportamento está pautado em
consonância com as restrições que lhe são impostas pelo interesse social. Na prática, esta avaliação está limitada aos
benefícios líquidos que se inscrevem no período que vai do instante do estudo até o horizonte de dados percebido
pelo analista .de investimentos.
30 Ver Dondla H. Meadows c~ alii, Os Limites do crescimento (São Paulo: Editora Perspectiva S.A., 1973), p. 9-12.
31 Solomon, Teoria, p. 41.
32 --,
--,
p. 52-3.
33 Van Hornc, Financia!, p. 49, 118-122,
34 Ver --,
--,
p. 101.
197 -205.
17
1.2 -
O FLUXO DE CAIXA
A expressão "Fluxo de Caixa" apresenta diversos significados, a partir dos quais deveremos construir nossa
base conceitual para o estudo de Orçamento de Capital. Alguns sã.9~visões incorretas, outras são concepções parciais
do problema.
Em primeiro lugar, há o aspecto temporal da questão. Para os contadores, fluxo de caixa significa uma
demonstração financeira relativa a um período passado, enquanto que para projetistas e analistas traduz uma visão
prospectiva dos resultados de um projeto. Este último é o enfoque que se identifica com o que desejamos discutir.
Em segundo lugar, temos a visão de fluxo de caixa para a administração de caixa, em que, qualquer
dispêndio, 'seja a que título for, é uma saída de caixa que reclama por recursos bastantes para a sua realização. Esta
não é a perspectiva de fluxo de caixa para fins de Orçamento de Capital, já que, por exemplo, dispêndios com
dividendos e juros diferem, frontalmente, de dispêndios com mão-de-obra e insumos, como veremos adiante.
Em terceiro lugar, encontramos a versão do lucro contábil pelo regime de competência de exercício,
acrescido da depreciarão, onde as entradas de caixa são confundidas com receitas a vista e a prazo, e as saídas de
caixa são identificadas com despesas a vista e a prazo. Tampouco é este o conceito de fluxo de caixa de que
. necessitamos em Orçamento de Capital, dadas as diferenças que existem entre Recebíveis e Pagáveis e Pendentes
Ativos e Passivos, entre outras contas, em dois Balanços consecutivos.
Em quarto lugar, há a particularidade dos fluxos de caixa dos períodos de implantação, dos períodos de
. operação, com ou sem reposição de ativo fixo, e do período de. desinvestimento. No período de implantação
prevalecem os dispêndios para a constituição do Ativo Operacional, com a correspondente estruturação do Passivo.
Nesta etapa, o confronto entre entradas e saídas não produz o fluxo de caixa que desejamos. Para a fase de operação
temos os mal-entendidos mencionados acima, acrescidos ainda da questão de como tratar os dispêndios com
substituição de ativos fixos que fenecem antes da planta, em seu conjunto. Uma das alternativas é considerá-los como
saídas no contexto do fluxo operacional e a outra é vê-los como saídas para novos investimentos, mas estas soluções
produzem resultados diferentes para a relação benefício/custo do projeto. No período de desinvestimento temos a
realização dos ativos remanescentes com a conseqüente reinversão, parcial ou total, desses recursos em outros ativos,
ou com sua devolução, parcial ou total, aos estruturadores do Passivo.
a
Em quinto lugar, temos os fluxos de caixa de uma empresa e o fluxo de caixa de um projeto. Uma empresa
pode empreender um ou mais projetos e, em Orçamento de Capital, estamos preocupados tanto com projetos como
com empresas. Entendemos que estas devem sobreviver, através da implementação de projetos simultâneos e/ou
seqüenciais, mas que os projetos têm vida útil determinada e, conseqüentemente, morte planejada,
Em sexto lugar, temos a distinção entre fluxo de caixa para a empresa e fluxo de caixa para os acionistas.
No primeiro caso nos interessamos em mensurar todos os benefícios gerados pela empresa em favor dos estruturadores do Passivo. No segundo, o interesse se restringe à análise do investimento na ótica dos acionistas confrontando
os recursos por eles aportados e recebidos da empresa.
Chamamos de "estruturadores do Passivo" a todos os entes econômicos que aportam recursos, em caráter
permanente, à empresa para financiar de modo estável. ainda que rotativo, seus ativos operacionais, bem como
àqueles que suprem recursos em caráter estacional para financiar as oscilações cíclicas dos ativos operacionais.
Em sétimo lugar,- e provavelmente não esgotamos a lista, encontramos os conceitos de fluxo de caixa
absoluto e fluxo de caixa relativo ou marginal. O primeiro traduz um projeto na ausência de qualquer outro, já o
segundo o exibe na presença de outro ou outros projetos com os quais apresenta algum tipo de relação que afeta seus
fluxos absolutos ou a contribuição destes para a variação do fluxo de caixa do conjunto.
Antes de tentar pôr em ordem todas essas idéias, frisamos que fluxo de caixa para Orçamento de Capital é
movimento de "recursos líquidos", mas sujeito a uma série de qualificações. Por recursos líquidos queremos significar dinheiro, cheques e valores mobiliários de pronta liquidez. A conta Caixa significa. portanto, o Caixa propriamente dito, os depósitos bancários de livre movimentação e a carteira do Mercado Aberto. De forma resumida são os
ativos líquidos vistos em seu conjunto, e que podem ser recebidos ou dados em pagamento, como se dinheiro fossem.
Para explicar as qualificações a que nos referimos acima, vamo-nos valer da Figura 1-1. Nela procuramos
sintetizar os fenômenos fundamentais que acontecem com o CaL"{anos três estágios naturais da vida de um projeto. a
implantação, a operação e o desiuvestimcnto. Para cada um desses eventos traçaremos as qualificações que nos
parecem indispensáveis ao entendimento do assunto, lembrando que pode haver superposições parciais entre essas
18
fases, mas que seus fluxos de caixa precisam ser vistos separadamente. Esse entendimento é uma ampliação do que
nos ensinaram Teichroew, Robichek e Montalbanoâ> sobre o ciclo de capital de uma empresa.
Criamos, nesse fluxograma, uma ficção que denominamos de "Caixa de Recursos",
Operacional", que pensamos ajudará no entendimento de alguns ângulos do problema.
distinto de "Caixa
.-------------------------------------------------------------------~
Devolução de Recursos c, a liquidação
da Empresa
CREDORES
PERMANENTES
AOMINISTRACÃO E
FUNCIONÁRiOS
GOVERNO
Juros
Lucros
Retidos
...
..
'"t!
=
...
•••
_-
--_ ..•
CAIXA DE RECURSOS
•....
....•.
ImvesUmento
incial
ATIVO OPERACIONAL
r INCLUSIVE CAIXA OPERACIONAL)
líquido
oS
...
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DiYidendos
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Custos não Monetizados
...
...
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co
~...
c
:::;;
'"
:;:
-;;;
=
u
CREDORES
PERMANEN1ES
ACIONISTAS
~.
CLIENTES
D_e_Y_OI_UÇ_ã_o
__ d_e__ R_ec_u_rs_os
__ c_l__a __ L_iQ_Ui_da_çã_o
__ d_a__ E_m_pr_es_a~---------------------"
FIGURA
1-1
Visão gráficà simplificada dos fluxos de recursos que ocorrem durante as fases de implantação, operação e desin- .
vestlmento de um projeto:
35 Ver Daniel Teichrocw et alii, "An Analysis of critcria for investmcnt and financing decisions under certanty",
Scicnce 12. nP3 (Nov. 1965): 151-2.
. "
Management
19
1.2.1 -
OS FLUXOS DE CAIXA DA FASE DE IMPLANTAÇÃO
Consideremos um projeto que vai ser implantado por uma empresa em nascimento ou já em andamento. Em
qualquer dos casos, esse novo projeto vai absorver recursos para compor os seus Ativos Fixos e de Giro, incluído
nestes o próprio Caixa Operacional; esses recursos serão demandados de credores e acionistas ou de outros projetos
da empresa. Alguns desses recursos não serão aportados sob a forma de recursos líquidos, como, por exemplo,
imóveis incorporados por acionistas, estoques de matérias-primas e outros insumos que são, via de regra, financiados
por seus fornecedores. Não queremos, em hipótese alguma, vincular fontes a usos de recursos, mas queremos ressaltar
que, se nos interessamos em conhecer a verdadeira dimensão dos ativos operacionais do novo projeto,não nos podemos ater ao conceito restrito de fluxo de caixa. Este só nos revelaria o montante do ativo operacional adquirido em
troca de ativos líquidos. Temos, portanto, que nos afastar do conceito de fluxo de caixa, "stricto sensu" para admitir
no fluxo do investimento inicial parcelas que trasitam "extra-caixa': por lançamentos de Diário. Poderíamos decompor essas transações em dois eventos virtuais; um, que significa uma obtenção de recursos em dinheiro do acionista
ou fornecedor para compor os recursos globais do projeto, por exemplo; outro, a saída de valores para a aquisição, a
vista, do terreno ou dos insumos mencionados. Ficaria, assim, preservado o conceito lato do fluxo de caixa, mas não
seu entendimento restrito.
Utilizaremos, a seguir, algumas classificações de cunho apenas didático. Chamaremos "financiadores via
Caixa" àqueles estrutura dores do Passivo, que aportaram recursos líquidos à empresa como, acionistas, debenturistas,
bancos comerciais e de" investimentos etc. Rotularemos de "financiadores via Diário" aqueles estruturadores do
Passivo, que aportaram recursos econômicos não líquidos, como imóveis, mercadorias, força de trabalho e tecnologia
e ainda aqueles credores que, não aportando quaisquer recursos à empresa, assumem essa condição, por imposição
legal, normalmente de natureza fiscal ou previdenciária. A soma de todas essas reivindicações permanentes significa o
volume de recursos absorvidos pela empresa, sem os quais ela não poderia existir, na forma como planejada.
Para reunir todos esses fluxos de recursos, de caixa e extra-caixa, tangíveis e intangíveis, criamos a ficção ,do
"Caixa de Recursos" que tem o único objetivo de mensurar o volume de Ativo Operacional a ser constituído pelo
projeto, para seu normal funcionamento.
Aceitamos, portanto, incluir no fluxo de caixa de implantação recursos econômicos não comprados por
Caixa, mas que seriam adquiridos dessa forma, se não "houvesse a alternativa de obtê-los através de Diário. Esses
recursos têm valor para a empresa e devem ser mensurados pelos seus-custos de mercado, que traduzem os custos de
oportunidade a eles atribuídos pela comunidade econômico-financeira que acolhe o projeto.
O interesse em preservar ao máximo o conceito de fluxo de caixa e sobretudo a cronologia desse fluxo nos
leva a adotar uma convenção+? segundo a qual, consideraremos todas as aquisições de ativos via Diário, fruto de um
endividamento a longo prazo ou da emissão de ações, como saídas de caixa, no instante dessa aquisição. Aqui se
enquadrarn.ipor exemplo, a incorporação de imóveis, a aquisição de equipamentos com empréstimo de longo prazo,
do próprio fornecedor ou de um banco financiador.
Quando o ativo é adquirido por endividamentos de curto prazo e sem juros explícitos, o critério cronológico que prevalece é o do instante do pagamento e não o do endividamento. Assim, a formação do nível de
endividamento, face a Fornecedores e outros financia dores via Diário, a curto prazo e sem juros, é um dispêndio de
implantação posicionado no momento do primeiro pagamento. Pagamentos posteriores decorrentes da renovação
desses ativos consumidos pela operação, se incorporam ao cômputo do fluxo de caixa de operação. Incrementos
posteriores, nesse nível de endividamento, voltariam a ser considerados como fluxo de caixa de implantação, como
ocorre na fase de maturação de um projeto, com a elevação de seu nível de atividade até seu pleno funcionamento.
Para separar e mensurar, corretamente, esses e outros fatos, seria necessária uma contabilidade
sofisticada, teoricamente, que a encontrada no dia a dia de nossas empresas atuais.
bem mais
Uma segunda qualificação do fluxo de caixa de implantação, que mantém íntima vinculação com a primeira, diz respeito o nosso interesse apenas pelas saídas totais de Caixa e não pelo fluxo líquido desses recursos.
Nossa ficção de "Caixa de Recursos" o qualifica como um reservatório transitório de recursos que só existe enquanto
dura a implantação, do qual fluem os recursos para a composição do Ativo Operacional, inclusive do próprio "Caixa
Operacional". Com o término da implantação, o "Caixa de Recursos" fica necessariamente vazio.iporque os recursos
que teriam que sobrar são, exatamente, os que vão compor o indispensável "Caixa Operacional".
36 Ver Harold "13icrman Jr, and Seyrnour Smidt, Thc Capital budgcting decision 3rd. ed, (Ncw York: The Macmillan Co., 1971),
p.1l4.
20
r
A separação dessas duas contas de caixa nos permite construir o modelo da Figura 1-1 onde se identifica
com facilidade o vetor que representa o Investimento Líquido Inicial, que é, usualmente, igual ao somatório de
Recursos para a Implantação, provenientes de Credores e Acionistas. Falar só nas saídas de um Caixa verdadeiro, não
revelaria o 'resíduo q\l(.~se constitui no Caixa Operacional, nem abrangeria as saídas, fruto de aportes não estritamente por Caixa.
Uma terceira qualificação do fluxo de caixa de implantação diz respeito ao instante em que esta termina e a
sua freqüente superposição com a fase de operação.
A implantação tem duas atividades bem marcantes. A composição dos Ativos Fixos e a aquisição dos Ativos
de Giro. No início, ocorre praticamente a primeira; de permeio, acontecem as duas, simultaneamente e, ao final,
prevalece a segunda.
Caso o projeto se implante sem modulações, esta fase apresenta dois momentos bem definidos: o fim da
composição dos Ativos Fixos e o fim da aquisição dos Ativos de Giro.
O primeiro desses instantes é comumente confundido com o fim da implantação porque, via de regra,
começa aí a fase de operação ascendente, indispensável à conrtítuíção de Ativos de Giro, como Produtos em
Elaboração, Produtos Acabados, Duplicatas a Receber, bem como à estruturação final do Passivo, com as contas de
Salários a Pagar, Impostos a Pagar, Duplicatas Descontadas etc.
Em outras palavras, o final da operação está normalmente superposto ao início da operação, mas a implan. tação só se completa com seu segundo instante, isto é, com o final da aquisição dos Ativos de Giro, porque a
empresa, para ser um organismo completo, apto a funcionar em toda a sua plenitude, precisa ter construída a sua
estrutura físíca, mas carece também de ter preenchida essa estrutura com a substância patrimonial que se movimentará através dela e que são os Ativos de Giro.
.
Inobstante essa superposição, os fluxos de caixa do final da implantação e do início da operação devem
continuar separados um do outro, para efeito do estudo de Orçamento de Capital. O primeiro deles produzirá fluxos
de investimento, enquanto o segundo produzirá fluxos de funcionamento, comparecendo os dois, simultaneamente,
nesse trecho da vida do projeto.
Esta separação pode parecer irrelevante, mas é indispensável para a correta formulação da relação benefíCio/custo, que reúne, no numerador, os benefícios, inclusive os negativos; e, no denominador, todos os custos ou
investimentos, fazendo com que um benefício negativo não seja exatamente a mesma coisa que um investimento.
Para mensurar todo o investimento, ternos que aguardar a constituição plena do Ativo Operacional; e a
estruturação final do Passivo, onde se inclui uma gama variada de credores permanentes, com ciclos diversos de
pagarnento-reendividarnento. O que interessa conhecer com os fluxos de caixa de implantação é o volume de recursos
produtivos, absorvidos pela empresa, que se mede pelo seu Passivo Total, e a cronologia desses desembolsos qualificados de Caixa.
Caso o projeto seja implantado por etapas, cada módulo deve ser visto como um projeto distinto. A
implantação do módulo de ordem 'n' se faz em superposição ao funcionamento de todos os módulos de ordem mais
baixa, mantendo-se, evidentemente, separados os fluxos de cada natureza.
o
.
Uma quarta qualificação ao fluxo de caixa de implantação refere-se à ocorrência de eventuais receitas não
operacionais, durante esse período como, por exemplo, venda de sobras de materiais de construção e de produtos
defeituosos da fase de ajustamento. Esses eventos significam desativações do ativo operacional não necessariamente
via Caixa, sendo, portanto, retomos de valores ao "Caixa de Recursos". Do somatório de suas saídas, devemos
deduzir essas recirculações de recursos, para chegarmos ao Investimento Líquido Inicial que equivale ao montante de
recursos absorvidos pelo projeto, a partir de seu meio ambiente ..
•
Os juros do período de implantação, bem como os estudos dó projeto constituem um ativo operacional
, fictício, que será amortizado durante a operação. Esses gatos integram, portanto, o fluxo de caixa da implantação.
Como qualificação final, diríamos que recursos intangíveis, como dedicação dos executivos/ 7, "know ho~"
técnico e administrativo e outros recursos tangíveis, como transportes, edificações, apartados pela empresa mãe do
projeto, e que não se revestem da ótica de Caixa, devem ser debitados ao projeto, no tempo adequado e mensurados
por seu custo de oportunidade, significando este o que se obteria em termos de fluxo de caixa, se esses recursos
fossem destinados a outro projeto. A obtenção desse custo envolve dificuldades conceituais pois implica em julga-
37 Ver Bierman and Smidt,The Capital, 3rd. ed., p. 112.
21
mento com boa dose de subjetividade ou em rateios de legitimidade sempre discutível. É importante assinalar que,
nestes casos, a alocação desses recursos ao projeto não é freqüentemente registrada sequer através de lançamentos de
Diário.
Por todas essas razões, melhor seria que o "fluxo de caixa de implantação" de um projeto não fosse assim
nomeado, pois só no caso particularíssimo em que todos os recursos que lhe são aportados se revestissem da forma
líquida, faria ele ju ~a essa denominação. As deformações causadas pelas qualificações acima nos levaram a pensar
que melhor seria chamá-lo de "fluxo de saída de recursos econômicos, líquido", a partir de um "Caixa de Recursos"
suprido por todos os que têm reivindicações contra os Ativos da Empresa.
1.2.2 - OS FLUXOS DE CAIXA DA FASE DE OPERAÇÃO
Constituídos os Ativos Fixos e adquiridas uma massa crítica de Ativos de Giro, o projeto começa a
funcionar. Receitas fluem dos clientes para a empresa; dispêndios são praticados com a reposição dos estoques
permanentes, o pagamento de mão- de-obra e dos impostos indiretos, de energia e de todas as demais d=spesas
operacionais; saídas de caixa ocorrem a título de juros para os credores permanentes e estacionais; se for apurado
lucro tributável, pagam-se o Imposto de Renda, as gratificações a diretores e funcionários e os dividendos a acionistas; certa fração do lucro líquido é retida como reservas, enquanto o mecanismo dos custos não monetizados
(depreciação, exaustão e amortização) transfere recursos do Ativo Fixo para o Ativo de Giro ..
Dentre os estiuturadores do Passivo há os acionistas que esperam por dividendos e os credores de diversos
tipos, que reclamam juros, conforme o contratado. Dentre estes, um merece destaque para o caso brasileiro: o banco
comercial descontário de duplicatas. Muito embora seja prática corrente apresentar esta conta de Passivo com sinal
negativo ~omo uma contra-conta de Duplicatas a Receber, entendemos que, para fins de Orçamento de Capital, o
Ativo Operacional bem como o Passivo Total devem refletir, de um lado, o montante de recursos aprisionados pelo
projeto e, de outro, o elenco integral de seus agentes financiadores. Esse credor deve aparecer como um estruturador
do Passivo, que reclama juros explícitos e não como um comprador dos direitos creditórios, representados pelas
Duplicatas.
No grupo de "Financiadores via Diário", salvas algumas exceções, não se fala, explicitamente, em juros. O
pacto ou a legislação menciona os prazos em que devem ser saldados os compromissos, se exigíveis, por seu valor
nominal. Há, pelo menos, um desses credores, os Fornecedores, que.raportando recursos econômicos reais, embute
juros implícitos no preço de suas mercadorias e que podem facilmente ser identificados pela diferença entre o preço
a vista e o preço a prazo. Esses juros são, freqüentemente, os mesmos cobrados pelos bancos comerciais para
desconto dos- respectivos títulos de crédito, não pretendendo o Fornecedor ganhos financeiros, mas transferência de
custos financeiros.
O fluxo de caixa que se dirige a esse público da empresa, como nos mostra a Figura 1-1, está dividido em
dois vetores. O primeiro se insere no Custo Monetizado, exceto juros, e diz respeito a um dispêndio operacional, ao
passo que o outro, os Juros, são despesas não operacionais e representam a remuneração do Fornecedor, não como
um supridor de insumos, mas como um estruturador do Passivo da empresa. Essa bifurcação de fluxo tem, como
veremos, reflexo direto no cálculo dos fluxos de caixa dos períodos operacionais.
Como nos ensinam Bierman e Smidt38 "Cash disbursed for interest is normally excluded from the cash
flow computation used in analysing investments. The interest factor is taken into consideration by the use of the
present-value procedures. To include also the cash disbursernent for interest would result in double counting ....
As.
stated previously it is incorrect to include interest payment in the cash flows". Assim, se estamos mensurando o
mérito do projeto, devemos excluir das saídas de Caixa o pagamento de juros e só nesta circunstância será legítimo
usar-se o custo de capital, que é uma média ponderada dos custos dos recursos de todos os estrutura dores do Passivo,
inclusive credores, para praticar as atualizações dos diversos fluxos representativos do projeto. Excluir os juros do
fluxo de caixa é identificar a empresa com seus proprietários, o que não nos parece aceitável.
Caso nosso interesse se limite a avaliar o mérito do projeto para os acionistas, incluiremos os juros como
saídas de caixa,. mas teremos, ademais, que optar por uma das maneiras existentes para mensurar o valor de uma
ação. Este procedimento é, em nossa opinião, uma forma defeituosa de encarar o problema, o qu~ nos leva a escolher
a contribuição marginal do projeto para o fluxo de caixa da empresa, como a que, de forma abrangente, avalia a real
dimensão do seu mérito econômico.
38 Biennan and Smidt, The C!lpital. 3rd. cd.• p. 114, 1) 5, ) 69, 170.
22
Uma qualificação importante do fluxo de caixa operacional é aquele que' trata da saída de Caixa para a
reposição de Ativos Fixos. Tomamos a posição de que os dispêndios com a reposição desses ativos, de vida mais curta
do que a da planta como um todo, devem ser acolhidos no contexto do fluxo de caixa operacional, pois são gastos
não volitivos, compulsórios, indispensáveis à "continuação" da atívldade, como o são as despesas operacionais. Já os
dispêndios iniciais são volitivos, isto é, dependem da vontade do investidor, que pode alocá-los nesse ou noutro
projeto. Apoiamos nossa posição nas afirmações de Van Home39:
"The initialoutlay is discretionary in the sense that the firm can choose to either commit funds to the
project or ,.J employ them elsewhere. Subseguent cash outflows are not discretionary in this sense; they are
embodied in the system" (Os grifos são nossos);
e de Schwab e Lusztíg+":
"We may look at an investment as a specialized production system, requiring an input (initial investment)
and in turn producing an output, the output which an investor values obviously being the present values of
net benefits...
the agregate ratio does not recognize the essencial difference between costs which the
investors has to provide from his scarce capital resources as an input to the system (CI), and çosts which
.!llily. be covered by benefits generated within the system (C2). In effect, while the initial costs (Cl) are
discretionary in 'the sense that the investor may well initially choose to allocate these resources to other
projects, the latter costs (C2) are committed in the sense that this money is generated but also necessarily
consumed yvithin the sy'stem; it is not available to the investor for use in pursuing alternative investment
purposes". (Os grifos são nossos).
Ambos os autores estão se referindo frontalmente aos custos operacionais, na discussão das "relações
beneffcio/custo, líquidas ou agregadas", mas suas proposições se ajustam perfeitamente ao propósito da questão da
reposição de equipamentos, conforme atestam nossos grifos acima. A reposição não é, usualmente, um investimento
que requer mais aporte de recursos dos investidores, mas investimento subseqüente, que encontra financiamento
interno à.própría empresa. Por outro lado, os recursos da depreciação não estão disponíveis para o investidor aplicar
em outras alternativas. A reposição é uma migração inversa de recursos, de Ativos Circulantes para Ativos Fixos.
)
Os gastos com reposição devem ser destacados como um fluxo de investimento não volitivo, e devem ser
vistos no sentido de um dispêndio operacional. Fazer, de uma ou de outra forma, não altera o Valor Presente
Líquido - VPL, mas afeta o Valor Presente Líquido Unitário - VPLU, de um projeto.
No fluxo de caixa operacional a visão é, rigorosamente, de fluxo de ativos líquidos, considerando-se as
entradas e as saídas, mas diferenciando-se Receitas Contábeis de Entradas de Caixa, e Despesas Contábeis de Saídas
de Caixa; a rigor, não se aceita a visão de Lucro Contábil + Amortizações + Juros - Investimentos de Reposição,
como Fluxo de Caixa Operacional.
Daí porque devemos nos ater à ótica do Caixa, numa visão prospectiva do projeto cuja possibilidade de
adoção estamos analisando, e não só em função dos interesses dos acionistas. Estes são, hoje, apenas um dos públicos
com quem lida a empresa moderna.
A exata visão do Fluxo de Caixa Operacional como requerido pelo estudo de Orçamento de Caixa, não é
fácil de obter-se. Para tanto, seria necessário fazer uma simulação tão acurada e cuidadosa quanto possível de todas
as contas do Razão, apoiada em realísticas hipóteses de trabalho, para identificar, com razoável grau de fidedignidade, as diferenças existentes entre o lucro contábil e o fluxo de caixa que buscamos.
É por esta razão que a análise de investimentos se apoia com tanta freqüência nos dados contábeis para
extrair os dados de fluxo de caixa. Mesmo sabendo que as Receitas e Despesas apuradas pelo princípio da competên-·
cia de exercício não refletem os fluxos de caixa, seria possível obtê-los a partir daí, se considerássemos que o projeto
está em "regime estacionário", ou seja, que os recebimentos e dispêndios de Caixa ocorridos num exercício, fruto da
atividade de exercícios anteriores, são iguais aos recebimentos e dispêndios desse exercício, que foram diferidos para
exercícios futuros, e que os pendentes do Ativo e do Passivo apresentam comportamento análogo. Esse equilíbrio de
fluxos permitiria aceitar o lucro contábil como base para o fluxo de Caixa operacional e dele nos utilizaremos para
desenvolver as equações e os gráficos que apresentaremos adiante.
"
39 Van Hornc, Financiai, p. 76.
40 Bcrnhard Schwab and Pcter Lusztíg, "A Cornparative analysis of thc nct prescnt value and benefít-cost ratío as meausurcs of the
economic dcsirability of investmcnts", Journal ~f tinancc 24 (June 1969): 510-1 L
23
Conceituaremos fluxo de caixa operacional de um projeto, se ele é o único que dá corpo a uma empresa,
como sendo o montante de recursos por ele gerados, num momento posterior ao pagamento, ou provisionamento do
Imposto de Renda e das gratificações, mas anterior ao pagamento de Juros e Dividendos, recursos esses que podem
ser gastos, sem prejudicar o nível de Ativos Circulantes necessãríos a seu pleno funcionamento, para premiar anueles
estruturadores de Passivo com quem a empresa pactuou juros ou em que criou expectativas de recepção de dividend~"
.
Essa massa de recursos gerados internamente pelo projeto não se reveste, usualmente, ao final do exercício,
da forma líquida, mas representa excesso de Ativo de Giro com relação às necessidades das atividades planejadas
para o projeto, se, no início do exercício sob consideração, esses ativos se encontravam no nOiveiconsiderado ideal.
-·Quando o projeto se acrescenta a um conjunto de projetos já empreendidos por uma mesma pessoa
jurídica, nosso conceito comporta algumas explicações. Em primeiro lugar há a questão da interação econômica
entre o novo projeto e os preexistentes, que se resolve modificando os fluxos absolutos do projeto e da empresa,
para refletir as canibalizações e sinergias acaso existentes. Há ainda a questão fiscal que decorre da contribuição
positiva ou negativa do novo projeto para o lucro tributável da empresa, que pode ser, também, tanto negativo como
positivo. Encontraremos a solução, dizendo que o fluxo de caixa do projeto, nessas circunstâncias, é o fluxo de caixa
marginal experimentado pela empresa, resultante da comparação de suas feições "com" e "sem" o novo projeto. Os
fluxos dessas duas situações deverão ser encarados como se os 'n' projetos anteriores e os 'n + l' projetos posteriores se
fundissem num só projeto, o que nos permite voltar, integralmente, ao conceito de fluxo de caixa, antes registrado.
Para desenvolver as equações a seguir, vamos criar as notações e nomenclaturas
de que nos utilizaremos:
..
INVREP
== investimentos não volitivos de reposição do exercício;
RECEI
= somatório de todas as receitas monetizadas de operação e de desinvestimento do exercício;
CUMEJ
= somatório
JUROS
= somatório de todos os juros, explícitos e implícitos, do exercício;
de todos os custos monetizados
variáveis, exceto juros;
de operação e de desinvestimento
do exercício,
fixos e
CUNAMO = somatório de todos os custos não monetizados, fixos e variáveis, referentes ao exercício, como depreciação, exaustão e recuperação de at~vos intangíveis;
AMOEMP = amortização anual dos empréstimos de longo prazo;
TIRLUf
= taxa
do imposto de renda sobre o lucro tributável (expressão decimal);
TIRDIB
= taxa
do imposto de renda sobre dividendos brutos (expressão decimal);
TAGRA T
= taxa de gratificação sobre o lucro distribuível (expressão decimal);
PYOTRA
= "payout ratio", ou taxa de distribuição de dividendos brutos sobre o lucro distribuível
decimal);
DEDED
= despesas dedutíveis do exercício para fíns de imposto de renda, expressas por:
DEDED = CUMEJ
LUfRIB
(expressão
+ JUROS + CUNAMO;
= lucro tributável do exercício, traduzido por:
LUTRIB = RECEI - DEDED;
IRLUf
.= imposto
de renda sobre o lucro tributável do mesmo exercício, calculado através de:.
IRLUT
LUDIS
= TIRLUT
x LUTRIB;
= lucro distribuível ou lucro depois do imposto de renda sobre o lucro tributável, equacionado por:
LUDIS = LUTRIB -'- IRLUT;
/.
24
DIVBRU
= dividendos
brutos (inclui o imposto de renda pago pela empresa sobre os dividendos brutos), revelados
por:
DIVBRU = PYOTRA x LUDIS;
IRDIB
= imposto
de rerida sobre dividendos brutos, obtido por:
IRDIB = TIRDIB x DIVBRU;
DIVLIQ
= dividendos líquidos, relativos aos resultados do mesmo exercício, explicitados por:
DIVI,JQ = (1 - TIRDIB) DIVBRU;
GRATI
= gratificações a funcionários e diretoria, referentes aos resultados do mesmo exercício, mensuradas por:
GRATI =TAGRAT x LUDIS;
LUCRET
= lucros retidos, a qualquer título, a partir dos resultados do exercício, dimensionados por:
LUCRET
= (1 -
PYOTRA - TAGRAT) LUDIS.
Praticando as substituições algébricas necessárias e considerando o conceito de fluxo de caixa acima enuncíado.vern, no enfoqu~ da empresa e em função das variáveis primárias:
FLUCAX
= fluxo de caixa de operação para um exercício anual (periodicidade do imposto de renda):
a) Quando LUTRIB ~ O
FLUCAX = (1 - TIRLUT) ( 1 - TAGRAT - TIRDIB x PYOTRA) x
(RECEI - CUMEJ - JUROS - CUNAMO) + JUROS +
CUNAMO - lNVREP;
b) Quando LUTRIB ~ O
- FLUCAX
CAPAMO
= RECEI
- CUMEJ - INVREP;
= Capacidade de Amortização de Empréstímo gerada no exercício:
a) Quando LUTRIB ~ O
CAPAMO = (1 - TIRLUT) (1 - TAGRAT - PYOTRA) x (RECEI - CUMEJ - JUROS
- CUNAMO) + CUNAMO - INVREP;
b) Quando LUTRIB ~ O
CAPAMO = RECEI - CUMEJ - JUROS - INVREP.
REREIN
= recursos reinvestíveis gerados no exercício:
a) Quando LUTRIB~O
RERElN = (1 - TIRLUT) ( 1 -TAGRA T - PYOTRA) (RECEI - CUMEJ - JUROS
- CUNAMO) + CUNAMO - INVREP - AMOEMP;
b) Quando LUTRIB ~ O
. REREIN = RECEI - CUMEJ - JUROS - It\TVREP - AMOEMP.
Valer-nos-emos da Figura 1-2 (a) e 1-2 (b) para visualizar o que acima se equacionou. A primeira delas reflete
uma situação de Lucro Tributávelpositivo, enquanto que em (b) vemos o caso de LUTRlll menor que zero. Quando
este é zero, qualquer dos dois conjuntos de expressões pode ser usado. Estas equações continuam válidas quando
uma ou mais das taxas, TIRLUT, TIRDIB, TAGRA e PYOTRA são nulas,l Omitimos nessas duas Figuras o Investimento de Reposição, que é simplesmente subtra ído do Fluxo de Caixa e da Capacidade de Amortização de
25
Empréstimos, havendo ou não Lucro Tributável, porque os recursos nele despendidos não podem ser vistos nem
como um prêmio teórico aos estruturadores do Passivo, nem como valores disponíveis para ampliações do Ativo ou
redução do Passivo Exigível.
81
JUROS
~ CUNAMO
IIlUCRET
~ DlVlIQ
IG8B
OEDED
LUTRIB
lUDlS
OIVBRU
FlUCAX
CAPAMO
RECEI
L-__C_UM_E_J
~II~
~II~
JU_R_OS
C_UN_A_M_O
__ ~
FlUCAX
CAPAtAO
RECEI
-----
•
".- ..
-
. -"
--- -------
---
..
- -- ._--~--_._-----_
__ .---
..
FIGURA
1-2
Visão gráfica dos fluxos de caixa e das capacidades de amortização em situaçâo de lucro e de prejuízo.
É interessante notar que não é imprescindível que a empresa tenha Lucro Tributável positivo para que hája
Fluxo de Caixa e Capacidade de Amortização de Empréstimos, positivos. Estas figuras esclarecem também uma
dúvida muito freqüente sobre se a Despesa de Depreciação é ou não fonte de Fluxo de Caixa. O Fluxo de Caixa de
um período operacional, como a Renda ou Produto Internos, em Macroeconomia, pode ser visto e mensurado de
duas maneiras. Verdadeiramente quem cria todo o "superávit" de recursos líquidos no mecanismo de Caixa é a
Receita. A visão primeira e natural do Fluxo ·de Caixa é portanto o que sobre ou falta, da Receita, com relação aos
Custos Monetizados, deduzidos os Impostos de Renda e as Gratifieações, se houver, pois Governo e gratificados não
os recebem por sua condição de estruturadores do Passivo.
26
Uma visão complementar se obteria pelo somatório dos integrantes das chaves que indicam o FLUCAX, na
ordem em que se apresentam na Figura 1-2; encontramos aí CUNAMO que significa Depreciação e outros custos não
monetizados da espécie. Visto desta forma, poderíamos dizer que Depreciação não gera Fluxo de Caixa, no sentido
restrito do verbo, mas este pode ser calculado pela soma de monõmíos entre os quais está a Depreciação, mas
somente na medida em que esta se encontra ao abrigo da Receita. Como vemos em (b), só a parte da Depreciação
que se contém na Receita pode, neste enfoque, participar do cômputo do Fluxo de Caixa. "Mutatis mutandis", o
mesmo é válido para a Capacidade de Amortização de Empréstimos, porque a Depreciação que cabe na Receita,
equivale à migração de recursos dentro do Ativo, do bloco dos Investimentos Fixos para o grupo do Ativo Circulante, produzindo um "superávit" nesse tipo de recursos que a legislação não permite distribuir como dividendos e
que pressiona o administrador financeiro por uma decisão sobre seu uso. Caso a empresa tenha compromissos a
./
.
"pagar, relativos à amortização de Empréstimos de longo prazo, estes devem ser atendidos em primeiro lugar. As
sobras, se existirem, serão utilizadas para incrementar o Ativo através da ampliação das atividades existentes, da
adoção de novas atividades, ou da constituição de carteiras de ativos mobiliários. Podem, ainda, se os estatutos e
contratos permitirem, ser empregadas para resgatar, no mercado, ações e debêntures da própria empresa.
1.2.3 - OS FLUXOS DE CAIXA DA FASE DE DESINVESTIMENTO
É fácil de tratar-se deste período porque ele se insere nos mesmos mecanismos, equações e gráficos dos
períodos de operação, mudando-se apenas o enfoque dos lançamentos que apresenta.
A Receita de Desinvestimento é uma receita não operacional, mas nem por isso deixa de se adicionar à
receita operacional, para todos os efeitos práticos de imposto de renda, dividendos e retenção de lucros se for o caso.
Traduzimos por Receita de Desinvestimento a obtenção de recursos com a venda de ativos operacionais de qualquer
espécie quando são considerados dispensáveis para o funcionamento normal do projeto.
Os Custos Monetizados do Desinvestimento, como mão-de-obra de desmontagem, transporte, administração
do desinvestimento e impostos indiretos, alinham-se ao lado de iguais custos operacionais como saídas efetivas de
caixa.
Os Juros do Desínvestimento, nos casos em que se tomam empréstimos para financiar os Custos Monetizados do Desinvestimento, são saídas de caixa que se superpõem às saídas de mesma natureza, decorrentes da
operação remanescente da empresa.
Os Custos são Monetizados do Desinvestimento refletem o resíduo ainda não recuperado dos ativos fixos ou
de giro, vendidos, e se agregam aos custos dessa natureza provenientes da operação.
O Lucro do Desinvestimento, se houver, é oferecido à tributação, da mesma forma como se faz com o lucro
operacional; o lucro tributável da empresa é a soma algébrica de seus lucros operacionais e de desinvestimento.
Como vimos, a superposição da operação com o desinvestimento não requer as preocupações de segregação
de fluxos, mencionadas no caso da su,!'erposiçãO dos períodos de investimento e de operação, porque os fluxos de
desinvestimento não se somam algebricamente com os fluxos do investimento, mas se associam por inteiro aos fluxos
da operação, formando os dois um mecanismo de "saída", contrário ao de "entrada", representado pelo investimento. As equações e a visão gráfica do desinvestimento são, portanto, as mesmas desenvolvidas acima para a
operação.
o desinvestimento de que falamos aqui é aquele que se. antevê no "ponto de decisão" da adoção do projeto,
em face da- previsão das vidas físicas e tecnológicas dos Ativos Fixos ou das vidas mercadológicas de produtos, ou
serviços.
O estudo da troca de equipamento, não planejada inicialmente, em meio à vida de um projeto, se constitui
num outro ponto de decisão que contém dois projetos: o desinvestimento que se transforma num "projeto de
financiamento" com fluxos positivos iniciais e fluxos negativos, em seguida, e a nova aquisição que se classifica como
um "projeto de investimento", com fluxos negativos iniciais e positivos, a seguir. Este problema requer, necessariamente, um enfoque marginal, e merece um estudo em separado.
Oferecemos no Anexo 6.1 um programa para o computador de bolso da Hewlett Packard, modelo HP-25,
que calcula o Lucro Tributável, o Fluxo de Caixa, a Capacidade de Amortização de Empréstimos de Longo Prazo e
os Recursos Reinvestíveis Anuais consoante as idéias acima enunciadas.
l'
27
1.2.4 - COMENTÁRIOS ADICIONAIS
Há empresas que adotam uma estrutura ótima de capital, incluindo a participação de recursos de empréstimo em proporção constante e que têm naturalmente o ânimo de perpetuar-se através de muitos e novos projetos.
Desta forma, os débitos não são pagos nunca, porque a cada amortização da dívida corresponde um novo endividamento. Este mecanismo é acionado com facilidade por meio da emissão de séries de debêntures, convenientemente
defasadas no tempo, para permitir um endividamento estável, tanto quanto possível, e uma continuada reciclagem da
dívida. Este modelo simplifica a avaliação dos cursos futuros de ação dessas empresas porque permite supor constantes os seus custos de capital.
Esse quadro retrata bem o que se passa nos países desenvolvidos mas não descreve convenientemente a
situação brasileira, já que a maioria das empresas não tem mentalidade de empresa aberta, o mercado bursátil é ainda
incipiente e, sobretudo, porque o instituto da debênture continua sendo, em nosso meio, um ilustre desconhecido.
No Brasil, as estruturas de capital das empresas são fortemente alavancadas, e os financiamentos de longo
prazo encontram suporte' nos empréstimos especializados, oferecidos pelos Bancos de Desenvolvimento, que operam
com a intenção de antecipar os recursos de Patrimônio Líquíoo que serão gerados no futuro com o próprio
funcionamento das empresas.
Esses empréstimos são concedidos mediante um estudo global de suas necessidades de recursos estáveis, e
seus pagamentos são casados com as "Capacidades de Amortizações de Empréstimo", consumindo, usualmente,
apenas uma fração destas,
•
A conseqüência direta deste esquema é que essas empresas não têm uma definição prévia de estrutura ótima
de capital nem a curto nem a longo prazo. Na fase inicial, a participação de' débito é anormalmente alta, enquanto na
, fase final, pretende-se que as dívidas se restrinjam ao exigível de curto, prazo comum a qualquer empresa do setor
que se analisa. A cada parcela amortizada do empréstimo corresponde uma substituição de recursos de terceiros por
recursos de lucros retidos e, não raro, o contrato de empréstimo determina a constituição anual de uma Reserva para
Aumento de Capital, equivalente às amortizações do penodo., com o fim de assegurar esta migração de recursos
exigíveis para recursos de capital. Nestas circunstâncias não se pode falar de um custo de capital constante, mesmo
que credores e acionistas sejam indiferentes às mudanças na alavancagem financeira.
Em tais situações pode ser desejável conhecer também o "fluxo de caixa para acionistas" além do "fluxo de
caixa para a empresa". No período de implantação deveremos considerar apenas as contribuições aportadas, em
dinheiro ou em espécie, por estes estruturadores do Passivo. No período de operação excluiremos não só os juros
pagos a credores, agora divididos em permanentes e transitórios, mas também as amortizações pagas a estes últimos.
Na fase de desinvestimento retiraremos ainda o montante necessário ao completo pagamento dos credores que se
vincularam de forma específica ao projeto em extinção, quer se trate de credores de curto ou de longo prazo. Este
procedimento é normalmente empregado por Bancos de Desenvolvimento visando a conhecer a TIR dos acionistas
para usá-la em um primeiro teste aceita-rejeita, tendo em vista o risco próprio do negócio sob avaliação.
A comunidade acadêmica, no entanto, parece considerá-lo como um procedimento secundário, quando se
trata de decisões na área de Orçamento de Capital. Bierman e Smidt,41 por exemplo, depois de dedicar todo o 60.
Capítulo ao estudo do Fluxo de Caixa para avaliação de investimentos, consoante as idéias aqui defendidas, mencionam resumidamente no 90. Cap ítulo, de permeio com o estudo do custo de capital que: "Instead of computing
the yield of the investment (excluding the cash flows associated with debt) we can also compute the yield on the
investment of stockholders
We can also compute the present value of the cash flows associated with the
stockholders' investment
The computation of the yield and the present value of the cash flows associated with
the stockholders' ínvestrnent are interesting calculations". (O grifo é nosso). A taxa de desconto para o cálculo do
VPL seria, segundo esses autores, o custo de capital da empresa.
.
.
Muito embora. o objetivo da empresa seja maximizar o valor do agregado das ações possuídas por seus
acionistas, este intento é conseguido maximizando-se o Valor Presente Líquido da visão global da empresa. Isto se dá
porque há uma lógica por trás do custo médio ponderado de capital, 'k', que assegura a elevação dos preços das
ações, sempre que a empresa aceita projetos com retornos superiores a 'k'. Como explica Van Home,42 "This
increase occurs because investment projccts accepted are expccted to yield more on their equity - financed portion
than the cost of equity capital, ke."
41 Bicrman and Smidt, Thc Capital, 3rd. cd, p. 169-70.
42 Van Horne, Financia.!, p. 116.
,
28
Chegar ao fluxo de benefícios do acionista e à taxa de desconto para atualizá-lo, não é, contudo, uma tarefa
fácil como parece à primeira vista. Há pelo menos três correntes importantes e que são:
a) a abordagem do "fluxo de caixa para o acionista", obtido como acabamos de descrever acima c '(ue usa
o custo de capital da empresa como taxa de desconto;
-
b) a abordagem+é da "corrente dos lucros econômicos verdadeiros" que avalia a empresa, somando divi-dendos e lucros retidos e subtraindo os investimentos novos, necessários à manutenção do poder de
lucros futuros, não cobertos pela depreciação, e ~~scontando o resultado, em seguida, ao custo de
capital da empresa, e;
.
c) aescola~3 dos "dividendos" que entende serem estes os únicos formadores do valor de uma empresa. A
taxa de desconto é a taxa de retomo esperada pelos acionistas.
Olhando para a Figura 1-2 (a) vamos distinguir claramente, para aquela situação em que os débitos são
permanentes, os quatro procedimentos alternativos para mensuração dos benefícios líquidos anuais de um projeto:
a) O Fluxo de Caixa para a Empresa que está dado por:
JUROS+CUNAMO+LUCRET+DIVLIQ,
sentada;
que é a solução que adotamos e que está ali graficamente repre-
b) O Fluxo de Caixa para os Acionistas que se expressaria por:
CUNAMO+LUCRET+DIVLIQ,
omitindo-se naturalmente
o pagamento dos juros;
c) O Lucro Econômico que estaria traduzido apenas por:
LUCRET+DIVLIQ, uma vez que os lucros retidos também pertencem aos acionistas e dado o pressuposto de que as Depreciações atendem exatamente às necessidades de novos investimentos para assegura.r
o mesmo poder de lucros no futuro;
d) Os Dividendos Líquidos que se expressariam simplesmente por:
DIVLIQ como único fluxo de benefícios que chega efetivamente ao bolso do acionista, a partir da empresa.
As retenções de lucros e das recuperações de ativos, seriam potencializações de dividendos futuros.
Modigliani e Miller asseguraram que, quando adequadamente formuladas, todas as alternativas são equivalentes, mas este tópico, a "mensuração do valor de uma empresa", continua sendo um dos mais controvertidos em
Finanças de Empresas.
A amortização de empréstimos de longo prazo, naqueles casos em que a estrutura de capital é cambiante,
com progressiva redução da alavancagem financeira, não altera o "fluxo de caixa para a empresa", porque este reflete
a capacidade da empresa de premiar 'seus estruturadores de Passivo, que não é modificada por tal fato. Os recursos
para estas amortizações são' os produzidos pelos Lucros Retidos e/ou pela recuperação de Ativos Fixos, traduzida
pela porção de CUNAMO ao abrigo da Receita. Ademais, o prêmio de credores s6 se completa com a devolução do
principal, a menos que estes débitos se constituam em "pe.rpett:idades",situação
na qual o prêmio se representa
apenas pelo caudal infinito de juros. Ainda no enfoque da empresa, a Amortização de Empréstimos de Longo Prazo
não altera a capacidade de amortizá-los mas, obviamente, reduz o montante de Recursos Reinvestíveis, como se
mostrou nas equações de CAPAMO e REREIN antes apresentadas.
A amortização desses empréstimos de longo prazQ, nos anos em que ocorrem, afeta o "fluxo de caixa dos
acionistas",relativo ao ano 'n', através de um mecanismo em três etapas: redução pelo montante do AMOEMP do ano
'n', ampliação pela diminuição dos JUROS de 'n' motivada pelo AMOEMP do ano 'n-l', e redução pelo acréscimo do
imposto de renda, determinado pelo estreitamento desses mesmos juros. Finda a amortização, atinge-se um novo
equilíbrio, no qual cessam os fluxos de juros para credores e aumentam os fluxos de acionistas, mas não na medida
em que aqueles se reduziram, em virtude do engordamento do fluxo canalizado pelo imposto de renda para a
Fazenda Federal.
Embora não haja concordância sobre como avaliar uma empresa, parece haver um satisfatório entendimento
sobre as regras essenciais que governam as decisões em Orçamento de Capital. Isto tem muito de paradoxal, pois são
43 Ver J. C. Francis, Invcstments; analysis and managerncnt (New York: McGraw-Hill Book Company, 1972), p. 343-64.
29
dois assuntos intimamente
de uma empresa.
ligados, já que a política de investimento é um dos fatores mais influenciadores
do valor
Em Orçamento de Capital, o Fluxo de Caixa da empresa, no enfoque marginal, é apontado, de forma
consensual, como a variável relevante para as decisões que levam à adoção de novas propostas de aplicações reprodutivas de recursos fmanceiros.
1.3 - ·AS ALA VANCAGENS OPERACIONAL,FINANCEIRA
E COMBINADA
1.3.1 - ALA VANCAGEM OPERACIONAL
Define-se "Grau de Alavancagem Operacional - G.A.O.", como sendo a razão entre a variação relativa do
Lucro Operacional (LO) e a variação relativa das Quantidades Produzidas e Vendidas (Q)44, conhecida a estrutura
produtiva da empresa. Sua expressão genérica, na análise diferencial, seria:
G.A.O.
d(LO) !LO
dQ! Q
=
d(LO) . Q
dQ . LO
=
e na análise incrementaI fmita, teríamos:
IJ. (LO)! LO
IJ.Q!Q
G.A.O.
i (LO)
=
iQ
Admitindo-se que LO =Q(p - v) - F onde o Preço de Venda (p), o Custo Variável Unitário (v) e o Custo
Fixo Total (F) são constantes, decorre que:
d(LO)
dQ
= p - v; então G.A.O.
Q(p-v)
Q(p-v)-F
=
:::: Margem de Contribuição Total
Lucro Operacional
::::
MCT
LO
Esta equação só é válida se prevalecer a suposição de que LO é a função linear de 'Q', acima mostrada. Por
esta razão é que se obtém igual expressão para G.A.O., partindo-se de sua definição incremental fmita; só a linearidade de LO com 'Q' permitiria substituir d (LO)!dQ por !J. (LO)/ IJ.Q.
Como IJ.(LO) ::::IJ.Q (p - v),já que 'F é cónstante, teinos:
IJ.(LO)
G.A.O.
LO
.AJL
::::
IJ.Q(p-v)
Q(p-v)-F
.ss:
=
Q(p-v)
Q(p-v)-F
Q
Q
Supondo-se que a empresa não apresenta Receitas e Despesas Não Operacionais, exceto Juros, e nem
Ganhos ou Perdas Extraordinários, o Lucro Operacional é o mesmo que Lucro Antes dos Juros e Imposto de Renda
(LAJIR), o que nos permite escrever
G.A.O.
::::
M.C.T.
LAJIR
, todos referidos a um ponto genérico 'Q'.
o comportamento típico de G.A.O. com 'Q', sob as condições indicadas, está mostrado na Figura 1-3, onde
se nota que seu gráfico começa no ponto Pj , apresenta uma descontinuidade no ponto P2 que corresponde a
M.C.T. = F, ou seja, LAJlR = 0, e onde G.A.O. salta de - 00 para + 00. O ponto P2 é um ponto de equilíbrio no enfoque operacional. É conveniente ressaltar que no Custo Fixo Total não estão incluídos os Juros pagos a credores
que se façam presentes na estrutura de capital, em caráter permanente, o que poderia ensejar sua classificação nesta
categoria de custo. Vê-se ainda que G.A.O. assintota + 1 em P3, quando Q tende para + 00:
Acrescerttái110S à mesma Figura os comportamentos
lineares.
44 Admitimos um perfeito' sincronismo entre produção e vendas,
de MCT e LAJIR 'com 'Q', que são rigorosamente
30
MCl
MCl
ou
!.AJlR
G.A.D.
LAJlR
----------------------~-----------'"'\.
,-
/
/,
'--------.
P3
Q
GAD.
FIGURA
Comportamentos
1-3
típicos de G.A.O., MCT e LAJI R com o níve'l de atividade da empresa.
o Grau de Alavancagem Operacional, como de resto os dois outros que aqui estudaremos, é uma grandeza
adimensional quese, expressa por um simples número sem qualquer unidade. É um operador que transforma variações relativas adimensionais da Produção e Vendas em variações relativas adimensionais do Lucro Operacional.
Como este operador pode assumir valores negativos, nulos ou positivos, verificamos que a alavancagem operacional
se presta, igualmente, para ampliar Lucros ou Prejuízos Operacionais, e sua maior ação se dá ao redor do ponto
P2, enquanto P4 é o ponto de Vendas Máxirnas Programadas.
t"
31
1.3.2 - ALA VANCACEM FINANCEIRA
o
"Grau de- Alavancagem Financeira - C.A.F." retrata a razão entre variações relativas do Lucro de
Acionistas (LA) e do Lucro Operacional (LO), conhecidas as estruturas produtiva e financeira da empresa analisada. Sua expressão diferencial é:
C.A.F.
=
d (LA) L LA
d(LO)jLO
. d(LA). LO
d(LO).LA
=
Na análise incrementaI finita viria:
C.A.F.
=
~(LA)LLA
~ (LO) / LO
=
iLA
iLO
Mantendo-se a definição de LO e aceitando-se que LA = [Q (p - v) - F .:...J] (1 - % IR) retrata o comportamento do Lucro Bruto de Acionistas, preservando-se a constância de 'p', 'v' e 'F' e acrescentando-se a constância dos Juros (J) e da Taxa do Imposto de Renda (% IR), vem:
LA = (LO - J)(1 - %IR) para (LO - J)
e
>
O
para (LO .: J) .s;;; O
LA = (LO-J)
donde d (LA) / d (LO) = (1 - % IR) para (LO - J)
e
dLA / d(LO)
>
O
para (LO - J) .s;;; O
= 1
Para qualqu~r dos dois casos:
C.l\..F. =
Q (p - v) - F
Q(p-v)-F-J
=
Lucro Operacional
Lucro Tributável
=
LAJIR
LAJIR - J
sempre referidos a um ponto genérico 'Q' .
É curioso notar como o C.A.F. independe do operador 1 - % IR. O Lucro Tributável que aparece em
denominador pode ser também chamado de Lucro Depois dos Juros e Antes do Imposto de Renda (LDJA.IR),
enquanto o Lucro de Acionistas é o mesmo que Lucro Depois de Juros e do Imposto de Renda.
A linearidade como prevista entre LA e LO: nos dois casos, permite que, partindo da definição incrementaI, cheguemos à mesma expressão acima encontrada. Não é demais repetir que esta só é válida se se cumprirem as estruturas algébricas de LA e LO e se for mantida a constância de seus parâmetros integrantes, como.mencionado acima.
.
Caso qualquer um deles (p, v, F ou J) varie com 'Q', suas funções têm que ser introduzidas nas definições
de LO e LA, antes que se obtenha a derivada necessária. 'F' e 'J' e mesmo 'p' e 'v' poderiam ser funções de 'Q'.
A Figura 14 nos dá o comportamento
de CA.F., LO e LA com 'Q', dentro dos pressupostos indicados.
32
LAJIR=LO
G.A.F,
ou
LDJAIR
ou
LDJIR
=:
LA
LAJIR = LO
LDJAIR
LDJIR =LA
G.A.f.
-----
1 -----------------
r,r--••.....•..
__
~
O
- ---- --",/"---•
---.
~
Q
P5
G.AJ.
FIGURA
1-4
•
ComportamentostípiCQS
do G.A.F., LAJIR, LDJAIR e LDJI R com o ruvel de atividade da empresa.
Algumas considerações interessantes podem ser feitas sobre os gráficos postos na Figura anterior. Com respeito ao G.A.F., vemos que ele começa em PI, onde sua ordenada é F/CF + J), mas a ordenada onde ele termina em
P4 é + 1, quando 'Q' tende para + 00. Além desses dois pontos característicos, encontramos dois outros. O primeiro,
P2, é um ponto de interseção com o eixo horizontal e ocorre quando LAJIR :::0, ou seja, MCT :::F. Note-se que este
é o mesmo ponto onde sucede a descontinuidade de G..A.O. O segundo, P3, é um ponto de descontinuidade que
acontece porque LAJIR = J, fazendo com que G.A.F. salte de - 00 para + 00. Aqui a Margem de Contribuição Total
consegue absorver também os Juros. O ponto· P3 é o ponto de equihbrio na ótica financeira.
33
É neste mesmo ponto P3 que LDJIR sofre uma inflexão, pelo início da atuação do mecanismo do Imposto
de Renda; o novo coeficiente angular que para MCT, LAJIR e LDJAIR era de p - v, passa a ser (p - v) (1 - % IR).
o Grau
de A lavancagem Financeira é uma grandeza adimensional que transforma variações relativas adirnensíonaís do Lucro Operacional em variações relativas adimensionais do Lucro de Acionistas.
Àsemelhança do GÀ.O, o GÀ.F. pode assumir valores negativos, nulos ou positivos, operando, assim,
tanto como incrementador de lucros como de prejuízos. Sua m; ior ação se dá no entorno do ponto P3 ou seja, no
ponto de nivelação ou "break even point" da abordagem financeira. Ps é o Ponto de Vendas Máximas Programadas.
.•
1.3.3 - ALA VANCAGEM COMBINADA
O "Grau de Alavancagem Combinada - G.A.C." é descrito como sendo a razão entre a variação relativa do
Lucro de Acionistas (LA) e a variação relativa das Quantidades Produzidas e Vendidas (Q), conhecidas as estruturas
. produtiva e financeira da empresa sob análise. Estaria expresso de forma genérica por:
G.A.C.
=
d(LA) [LA
dQ/Q
=
l:!. (LA) [LA
l:!. Q/Q
-º-
d(LA)
dQ
=
LA
ou
G.A.C.
=
iLA
iQ
Preservando-se as definições e as restrições de variabilidade já definidas em G À.F., vem para o caso de
Lucro Tributável> O.
.
LA=
Q(p-v)(l-%IR)-(F+J)(l-%IR)
d~QA)
= (p-v)(1-%IR)
G.A.C.
:::
(p - ,,)(1-%
IR) . Q
[Q(P - v) - F -J](l-%IR)
Q (p -v)
Q(p-v)
-F-J
No caso de Lucro Tributãvel C O temos:
LA = Q (p - v) - F - J
d(LA)
dQ
=
G.A.C.
=
(p _ v)
Q (p- v)
Q(p-v)
- F-J
que
expressa ainda por:
G.A.C.
todos referidos a um ponto genérico Q.
=
Margem de Contribuição Total
Lucro Tributável
é idêntica à anterior, e pode ser·
34
A estrutura algébrica linear proposta vinculando LA e 'Q', nos dois casos, e as outras restrições já mencionadas, permitem que se atinja igual expressão para C.A.C., partindo-se de sua definição incrementai finita.
Mais urna vez notamos que C.A.C. independe do operador 1 - %IR, e que, se um ou mais dos parâmetros 'p', 'v', 'F' e '1' se tomam variáveis com 'Q', a expressão obtida não pode ser aplicada. Uma outra tem que ser
desenvolvida, considerando-se na derivada d (LA)jdQ todas as implicações disso decorrentes.
lDJIR=lA
G.A.c.
. lDJIR= LA
G.A.C.
:-_------- -----
-
----.
,
----~--I
- - -- - - --- -~--- ---- ----------'\,./"'-----O
P3
P4
.,
I
I
GAc.
,
I
I
.,I
FIGURA 1- 5
Comportamentos
.•
típicos de G.A.C. e LDJ IR com o nível de atividade da empresa.
Q
35
Na Figura 1.5, a reta de LDJIR é exatamente a mesma do gráfico de G.A.F. O ponto P2, onde se dá a sua
inflexão e também a descontinuidade de G.AC., continua sendo aquele para o qual LAJIR = J ou Lucro Tributável
igual a zero.
A curva do G.A.C. principia em PI, com um valor nulo e fmda em P3, com um valor unitário, quando 'O'
tende para + 00 e tem uma semelhança muito grande com a de G.AF. Na verdade, G.A.C. é uma transformada não
linear de G.AF.
G.A.C.
=
G.A.F.
+
F
Q(p-v)
- F-J
porque a parcela ajustadora depende de 'Q'.
A curva de G.A.C. está deslocada para baixo, com relação a de G.A.F., sendo que este deslocamento tem
intensidade variável com 'Q'. Esse deslocamento é igual a F/(F + J) quando 'Q' é zero; é ± infinito quando 'Q' faz o
Lucro Tributável ser nulo, e é nulo quando 'Q' é infinito, Estas diferenças não lhe tiram a semelhança gráfica já
apontada. Como não há deslocamento horizontal, o ponto de descontinuidade permanece na mesma altura já comentada para o G.A.F.
O Grau de Alavancagem Combinada é uma grandeza adimensional que opera transformações de variações
relativas adimensionais das Quantidades Produzidas e Vendidas erv variações relativas adimensionais de Lucro de
Acionistas, podendo assumir, como os anteriores, valores negativos, nulos ou positivos; é, à semelhança dos demais,
um multiplicador de lucros ou prejuízos. Sua faixa de atuação só tem sentido entre PI e P4, onde se posiciona a
máxima produção da empresa de que se trata, mas sua ação mais vigorosa se dá no entorno de P2, que é o ponto
de descontinuidade da função.'
.
1.3.4 - CONSIDERAÇÕES COMPLEMENTARES
Para encerrar este breve estudo sobre alavancagens, faremos três comentários adicionais. O primeiro diz
respeito à palavra alavanca, nesta aplicação em Finanças. Em Física, alavanca é uma máquina simples que amplia
ou reduz uma força. Em Finanças, alavanca operacional, financeira ou combinada são também mecanismos de
multiplicação, à semelhança da alavanca- física, produzindo as variações adimensionais a que já nos referimos, mas
que resultam, em qualquer dos três casos, em ampliação ou redução de algum tipo de lucro.
Em segundo lugar queremos mencionar a identidade de estrutura algébrica que as equações de alavancagem
apresentam, com respeito às expressões que em Economia traduzem as Elasticidades-Preço e Renda. Estas são,
portanto, também, um mecanismo de alavancagem, que se expressam por:
ep
=
dQ/Q
dP / P
=
dQ/Q
dY/Y
e operam sobre uma variação relativa de preço ou de renda para produzir uma variação relativa de quantidades.
Por fim, queremos destacar que, na estruturação das três expressões desenvolvidas acima, nos valemos de
variáveis e parâmetros que classificaríamos em três categorias:
a) grandezas mercadolôgicas: são 'Q' e 'p', porque dependem,
à empresa e basicamente das condições de mercado;
em grande medida, do ambiente externo
'
b) grandezas tecnológicas: são 'v' e 'F' porque dependem da função de produção empregada. Segundo
Bierman e Hass45, estas duas variáveis dependem de quão artezanal ou quão automatizada é a função
de produção empregada. Com o incremento da mecanização cresce 'F' e cai 'v';
45 Harold BicrIn:ln Jr. amíJcromcc
E. Haas, An InÚ6duction to managcriàlfi;lanee
(New York, W; W. Norton
s: CO.lnc;),
1973; p. 97-.
36
c) grandezas econômico-financeiras: são 'J' e '% IR', que dependem da estrutura
e da política fiscal do ambiente onde ela se insere.
de capital da empresa
o
Lucro, objetivo último do estudo da alavancagem ê, no entanto, uma variável bem mais complexa do que
revela a anãlíse simples, ora apresentada.
Mostramos no Anexo 6.2 um programa para o computador de bolso HP-25, com vistas à obtenç.to dos
graus de alavancagem operacional, financeira e combinada, além de outras variáveis fmanceiras necessárias a esses
cálculos.
1.4
OS RISCOS DO ATIVO, DO PASSIVO E rOT AL
1.4.1 - O CONCEITO E A MEDIÇÃO DO RISCO
Na análise de investimentos o conceito de risco é o centro das atenções da abordagem probabilística, mas,
mesmo na abordagem determinística, ele não pode ser omitido, dadas suas implicações na mensuração do custo
de capital.
Em essência, risco significa a possibilidade, a chance, a probabilidade de ocorrência de um evento desagradável e indesejável, como um acidente ou uma perda. Em Finanças, entre outras coisas, o que se teme é o insucesso
de um ínvestímento+f que, em última análise, significa a não geração de resultados no montante mínimo requerido
para deflagrar a decisão de nele investir, incluindo-se também a possibilidade de produzir prejuízos, como se mostra
na Figura 1-6.
DENSIDADE DE
PROBABllIO,ADE
DE OCORRENCIA
-30
- 20
. -10
O
10
20
30
40
50
60 RENTABILIDADE
FIGURA 1-6
Curva de distribuição dos possíveis retornos de um investimento.
46 Ver Wladimir A. Puggina, Analysis of rates of rcturns and risk for common and prefcrred stocks - the brasilian expericnce,
(Michigan State University: 1974), p. 19-24, (Tese de doutorado).
,
37
Para tornar a idéia de risco prática, manipulável, é necessário criar uma grandeza quantitativa que a substitua, como uma medida sub-rogada sua. Esta medida está calcada na dispersão da função'
probabilidade do indicador discreto de mérito escolhido, ou da função densidade de probabilidade de indicadores contínuos de mérito,
como o Valor Presente Líquido - VPL, Taxa Interna de Retemo - TIR, numa visão abrangente de longo prazo,
ou o Fluxo de Caixa do Ano Típico e a Rentabilidade sobre o Investimento no Ano Típico ;- ROI, numa visão
parcial de curto prazo.
Para Frands47 "The Wideness of a probability distribution of rates of return is a measure of uncertanty
and risk". Van Home48 se manifesta inicialmente de maneira mais geral quando diz "The riskiness of an ínvestrnent
proposal is defíned as the variability of its possible returns", desdobrando posteriormente seu estudo para enfocar
o risco no contexto da empresa - risco não diversificável - e risco no âmbito do mercado de capitais - risco
diversificável. Nossa atenção se voltará apenas para o primeiro desses aspectos do risco.
Várias são as medidas de dispersão que podem ser adotadas como medidas sub-rogadas do risco, dentre
as quais citamos, a seguir, as mais usadas, com suas respectivas expressões matemáticas. Em todas elas Xi significa
o valor discreto do indicador de mérito escolhido, Pi sua probabilidade de ocorrência e 'N' o número total de
observações da análise:
1) O Desvio Padrão, definido como:
N
(~
PiXi
1
i
2) O Semi-Desvio, do trecho inferior da curva, definido como:
. sd =~~
1
j
( ~
1
-
onde j é a ordem da classe que tem como limite superior a média49 da distribuição sob análise.
3) A Variância, explicitada como:
2 _ ( N
~
N
PiXi
= ~
1
1
4) A Semi-Varíância, do trecho inferior da curva, calculada por:
SV =
(sd)2
j
~
1
PiXi2
_
(~
j
PiXi )2
1
onde j tem o mesmo+? significado acima.
5) O Coeficiente de Variação ou Dispersão Relativa, traduzido por:
CV =. Desvio Padrão/Média.
;...•> ---
47
.
Francis, lnvcstmcnts, ? 251-84.
48 Van Hornc, Financinl, p. 134.
.
49 __
, --,!l.
170, nota de rodapé no 6.
38
6) A Probabilidade de Insucesso, traduzida pela área sob a curva de distribuição e à esquerda de um valor
.pré-fixado do indicador de mérito utilizado e considerado como mínimo aceitável.
Estas seis medidas não listam um elenco de projetos na mesma ordem de precedência quanto ao ricco, Os
pares formados pelas medidas 1 com 3 e 2 com 4 são coerentes entre si, de tal sorte que para dois projetos
A e B se:
>
dB
então,
>
sdB
então,
dA
sd
A
V'·
.\
>
.e
se,
Não podemos afirmar, no entanto, que se dA> dB teremos sdA> sdg, porque o valor do Semi-Desvio
depende do grau de assimetria da distribuição; duas curvas, A e B, com mesma Média e mesmo Desvio Padrão,
mas corri fortes assimetrias negativa e positiva, respectivamente, poderão apresentar sdA> sdB, determinando,
desse modo, a escolha do projeto B (assimetria positiva). O mesmo . pode ser dito,"mutatis
mutandis", com re.
lação aos critérios da Variância e da Semi-Variância.
-------_._---
DENSIDADE DE
PROBABILIDADE
media
o
RENTABILIDADE
FIGURA1-7
Curvas de distribuição de retornos com idênticos desvios e médias, mas com assimetrias opostas.
O Coeficiente de Variação é uma transformação 'do Desvio Padrão através de sua divisão pela Média,
logo a classificação de dois projetos A e B não tem que ser a mesma, se obtida com o auxílio do Desvio Padrão e
da Variância,já que depende também da Média.
Esta ~ledida relativa de risco conta com a simpatia de diversos autores. Van Horne50 a considera necessária, sempre que estão em comparação projetos com consideráveis diferenças entre suas Médias e seus Desvios
Padrões, .respectivamente. Weston e Brigham51 usam o Coeficiente de Variação para comparar projetos, sempre
que o Desvio Padrão é um indicador imperfeito, o que acontece quando as Médias são muito diferentes e os
Desvios são muito próximos. O Coeficiente de Variação mede, pois, o risco relativo e é assim uma medida menos
tendenciosa do risco.
50 Van Hornc, Fjnancial, p. 136-37.
51 Weston and Brigham, Man;lgcrial, p. 187 -88.
r
39
Outra característica interessante que constatamos para o Coeficiente de Variação diz respeito à sua correlação positiva com a área sob a curva "normal" e à esquerda do ponto "zero" . Se ele é o indicador de mérito escolhido para comparar dois projetos A e B, que apresentam distribuições normais com diferentes Médias e diferentes
Desvios, mas idênticos Coeficientes de Variação, as porções l!e área sob as curvas à esquerda do ponto zero
são iguais.
Transformando
estas duas curvas
Z.
1
=
normais em suas "curvas reduzidas" através da expressão
-
CV
e fazendo Xi = zero, vemos que Zo = - CV.
Como é a variável reduzida que nos permite o emprego das tabelas de áreas sob a curva normal reduzida,
vemos que a probabilidade de ocorrência á esquerda de 0, é a mesma para as duas curvas A e B.
DEN SIDADE DE
PROBABILIDADE
A
FIGURA
Duas curvas de distribuição
1- 8
de retornos com diferentes desvios e médias, I!'as com mesma área à esquerda de O.
Concluímos que as áreas achureadas vertical e horizontalmente,
têm o mesmo valor, mas esta coincidência não ocorre para qualquer outro valor da variável representada no eixo horizontal.
Entendemos que as situações apontadas, em que se torna necessário o uso do Coeficiente de Variação
para bem retratar o risco, são casos particulares do problema geral, resultando assim a idéia de que esta medida
sub-rogada do risco é superior ao Desvio Padrão.
A Probabilidade de Insucesso, medida pela área à esquerda de um certo valor prefixado do indicador de
mérito escolhido é, a nosso ver, a melhor medida de risco. Segundo Francis52• "If the risk is defmed as the chance
of loss or injury, it seerns more logical to measure risk by the area in a probability distribution wich is below its
expected return". Ele acrescenta entretanto que" ... this can be difficult, and furthermore unnecessary if the
probability distribution is symmetric".
.'
Van Horne53 se expressa de maneira análoga, quando diz: "knowledge of this probabilities is fundamental
for a realistic assesment of risk ... we are interested in the area under the curve, or the probability density function,
52 Francis, Investmcnt, p. 255.
53 Van Horne, Finandal,p.
142, 144.
40
that is to the left or to the right of a particular net-present value or internal rate of returno By computing this
area, we are able to determine the probability thatthe index will be greater or less than a particular amount and
judge the risk of the project accordingly".
Resta especular qual é o ponto sobre o eixo horizontal abaixo do qual devemos considerar a área sob a
curva. Nas linhas acima já mencionamos dois deles: zero e a média, quando consideramos um indicador intensivo
de mérito, como são as diferentes manifestações da rentabilidade. Dois outros valores há, que merecem comentários nossos.
o
primeiro é o valor da Taxa Livre de Risco, que traduz os resultados quase certos, quando se trata de
um investimento em Obrigações do Tesouro Federal. Esta taxa é um importante divisor de águas entre o sucesso
e insucesso de um investimento, porque mostra quão tolo é correr o risco de uma empresa, necessariamente mais
arriscada que as obrigações federais, que são isentas de risco, por uma remuneração que alcança apenas o pré mio
pela espera por um maior consumo futuro. Van Horne54 descreve com bastante propriedade este aspecto da
questão, que se traduz por um VPL < zero, quando os fluxos de caixa são descontados à taxa livre de risco, por
uma rIR menor que a taxa livre de risco, ou por um Indice de Rentabilidade < 1, calculado a essa taxa.
o
segundo valor que merece menção é o representado pelo Custo de Capital, necessariamente mais elevado
que a Taxa Livre de Risco. A área abaixo deste ponto representa a probabilidade de .não se alcançar aquela situação
em que os estruturadores do passivo recebem o prêmio mínimo requerido, em face do risco total da empresa.
Resumindo, diríamos que a ocorrência, em determinado ano:
a) de um retórno inferior a zero, significa um insucesso absoluto. Há prejuízo verdadeiro e redução da
substância patrimonial;
b) de um retorno entre zero e a Taxa Livre de Risco, representa um insucesso real, porque embora não
haja prejuízo, houve uma perda de ganhos certos sem correr, praticamente, nenhum risco;
c) de um retomo entre a Taxa Livre de Risco e o Custo de Capital, traduz um insucesso virtual, na medida em que o risco não foi adequadamente remúnerado, e o valor da empresa sofreu redução por
apresentar VPL < zero;
d) de um retomo entre o Custo de Capital e a Média, revela. um sucesso parcial, uma vez que não foi
atingida a esperariça matemática do jogo empresarial de que se está participando. Supõe-se Média
> Custo de Capital;
e) de um retorno acima da Média, reflete aquela situação privilegiada em que o "valor esperado" foi
superado e se penetrou na faixa do "up side risk" que todos gostariam de correr, atingindo-se o sucesso absoluto.
A despeito da superioridade dos últimos indicadores analisados, é o Desvio Padrão a medida sub-rogada
de risco mais comumente usada, pelas seguintes razões:
a) ele tem a mesma dimensão da média da distribuição da qual mede a dispersão. Tratando-se de VPL,
por exemplo, a Média e g Desvio são expressos em $; isto permite visualizar melhor o problema do
risco como um fenômeno de variabilidade do VPL. Já a Variância se expressa em $2, o que é difícil
de entender, enquanto o Coeficiente de Variação e a Probabilidade de Insucesso são grandezas adimensionais que se expressam simplesmente por um número;
b) é um indicador de dispersão muito conhecido e bem entendido, fácil de calcular e que serve bastante
bem aos propósitos do estudo do risco, quando se trata de curvas aproximadamente simétricas e com
·Médias não muito diferenciadas. Um estudo de Blume55 revelou que as distribuições probabilísticas
de retornos não são muito assimétricas, o que preencheria ri primeira condição acima exposta. O mesmo se poderia afirmar com relação ao VPL. As taxas de retomo como TIR e ROI têm mais facilidade
de preencher a segunda condição, o que já não acontece com o VPL, mais sujeito a oscilações em se,us
valores, que se expressam em unidades monetárias.
54 Van Horne, Financial, p. 190.
55 M. E. Blurne Apud Franeis, Investrncnts, p. 255.
41
c) Para curvas simétricas d = ..J2sd, o que nos revela ser o risco do trecho inferior da curva uma transformada linear do risco de toda a curva, tornando assim desnecessários o cálculo do Semidesvio e a
preocupação com os riscos "down-side" e "up-side".
Apesar da preferência de muitos autores pelo Desvio ou Variância, como Markowitz56, Hillier57, Sharpe58,
outros há, como Weston e Brígham-'", que preferem o Coeficiente de Variação. Qualquer que seja,'no entanto, a
medida sub-rogada de risco utilizada, ela traduz a variabilidade do indicador de mérito escolhido.
1.4.2 - AS INTERRELAÇÕES
ENTRE REMUNERAÇÃO E RISCO
Restá-nos agora especular um pouco sobre a vinculação existente entre o risco e a remuneração exigida pelo
investidor para enfrentá-lo. Considerando que as pessoas são, em sua grande maioria, avessas ao risco e tão mais
temerosas quanto maior é o risco, podemos entender, como nos mostra Weston e Bríghamv'', que a remuneração
exigida é uma função monotonicamente crescente do risco, e mais; que sua primeira derivada é também uma função
monotonícamente crescente do risco. Isto significa que para se aceitar um incremento no risco, se exige uma remuneração mais que proporcional a esse aumento.
RETORNO
REQUERIDO
PREMID
PElO RISCO
CORRIDO
PREMIO
TOTAL
REQUERIDO
PREMID
PElA
_
ABSTENÇAO DO
CONSUMO
RISCO
o
>
FIGURA 1-9
Relacionamento entre prêmios e riscos.
Podemos ver na Figura 1-9, que há um requerimento de prêmio pelo investimento, mesmo quando o risco
é nulo, e que serve para premiar a espera imposta pelo adiamento do consumo. Esta remuneração é a taxa livre de
risco e expressa o valor do dinheiro, no tempo, na sua acepção restrita.
O prêmio relativo ao risco total está decomposto
risco do ativo e do passivo. .
o
em dois segmentos básicos, quais sejam, os referentes ao
O risco .do Ativo cuida de mensurar a variabilidade do Lucro Operacional produzido pelos Ativos e diz
respeito ao tipo de atividade que a empresa desempenha, à natureza dos bens e serviços que comercializa, às características mercadológicas e tecnológicas do setor onde se inclui e à administração que possui. É o risco básico de uma
empresa em particular .
•
56 Harry Markowitz, "Portfolío selection", The Journal of Finance 7, n? 1 (March 1952): 77-91.
57 Frederick S. Hillicr, "The Derivation of probabilistic information for the valuation of risky investments", Management Sience9
(AprilI963):443-57.
58 William F. Sharp, Portfolio theory ~pital
59 Wcston and Brigharn, Managcrial, p. 186-88.
60
---,--,p.198.
markets (New York: McGraw-Hill, Inc., 1970), p. 23-44.
42
o
risco do Passivo está vinculado à forma como a aquisição dos Ativos foi financiada. É uma visão do risco
operacional feita como que através de lentes especiais, sendo que cada categoria de financiador dispõe de sua lente
específica, que é cada vez mais ampliadora de risco, quanto mais baixo se encontra o investidor na escala de preferências dos frnanciadores da empresa.
A categoria dos credores mais privilegiados; se não é muito ponderável dentro da estrutura de capital, vê o
risco operacional praticamente sem modificações. Já os acionistas ordinários enxergam-no através de um mecanismo
ampliado r de riscos, ~anto de ganhar como de perder, que é a alavancagem financeira. Entre estes dois extremos estão
as outras categorias que vêem ampliadcs os seus riscos, em graus variáveis.
o
risco que mais interessa estudar, ou pelo menos ao qual os autores emprestam mais importância, é o do
acionista ordinário. Continuando a análise no contexto da empresa, poderemos dizer que o retorno requerido por
um investidor, nessa condição, estaria composto por três parcelas distintas, como abaixo se expressa:
k=i+a+b
onde
i = taxa livre de risco, remuneradora da espera por um consumo futuro;
a = prêmio pelo risco do Ativo ou risco do negócio;
b = prêmio pelo risco do Passivo ou risco financeiro;
a + b = prêmio pelo risco total.
[
RETORNO
PREMIO
PELO RISCO
FINANCEIRO
PREMIO
PElO RISCO
DO ATIVO
REQUERIDO
--- -~--- - --- - --- --- ---- - -~- -- ----------
[
PREMIO
PELA
ESPERA
o
AlAVANCAGEM
FINANCEIRA
FIGURA 1-10
Relacionamento entre o retorno requerido pelos acionistas e o grau de alavancagem financeira.
A visualização do risco do Ativo é facilitada quando supomos várias empresas do mesmo porte e com igual
estrutura de Passivo, mas operando em diferentes setores produtivos e com diferentes administradores. As que se.
dedicarem à produção de bens ou serviços essenciais, se inserem num ambiente mercadológico de comportamento
. mais previsível e estável, sofrendo menos o impacto das variações conjunturais ou mesmo estruturais da economia e,
portanto, correm menos risco, mas, em compensação, alcançam menor rentabilidade. Como exemplos, citaríamos a
produção de utilidades públicas e alimentos básicos. As que se dedicarem à oferta de bens suntuários, apresentarão
maior- variabilidade de receita e portanto maior risco, já que são essas "especialidades" os primeiros itens a serem
cortados do orçamento familiar, em momentos de crise.
Os ativos de uma empresa, via de regra, apresentam pouca flexibilidade operacional, se prestando para a
oferta de uma gama reduzida de produtos ou serviços, mormente quando pensamos no 'setor secundário. Nesta
43
inflexibilidade reside a essência do risco do Ativo, e a ela se acrescenta, como elemento adicional de incerteza, a
qualidade de administração ou o que Francísv! chama de risco administrativo.
Somos de opinião que o risco administrativo tem dimensão ambivalente de risco de Ativo e de Passivo.
A qualidade das administrações da produção e mercadológica tem muito o que ver com o risco do Ativo, enquanto
a eficiência de administração financeira, está ligada a ambos os riscos.
Da mesma forma, o risco do Passivo se torna mais nítido, quando imaginamos várias empresas de i. esmo
porte, operando no mesmo setor produtivo, com administrações igualmente eficientes, mas com estruturas financeiras diferentes.
Numa situação extrema e artificial, em que todo o ativo operacional está financiado por recursos de credores de uma só categoria,os retornos do ativo operacional se transportariam integralmente para esses credores,
não fosse o detalhe contratual que lhes dá direito a uma taxa fixa de retorno. Tal fato altera tanto a função densidade de probabilidade, como a função probabilidade de auferir retornos.
DENSIDADE DA
PROBABILIDADE
<=
função impulso
o
RETORNO
PROBABllIOADE
DE
RECEBER k OU MENOS
10D'/,
o
J
degrau ou
descontinuidade
RETORNO
FIGURA
Estudo da transformação do risco operacional em risco de credor do passivo exig(vel, para uma empresa financiada totalmente com recursos dessa fonte.
.
61 Francis.Tnvestments,
p:26:3.
1-11
44
Na Figura 1-11 (a), temos a função densidade da probabilidade de receber um retorno 'k', onde notamos
uma função .impulso'' 2, a altura de kc. A área sob essa função impulso é igual à área achureada. Como os credores
receberão kc, sempre que o retorno operacional foi igualou superior a kc, então a ordenada neste ponto tem que
representar o somatório de todas as ordenadas para todos os pontos à direita de kc, o que a torna infinita,
A Figura 1-11 (b) mostra as áreas à esquerda de um dado 'k', como uma função desse mesmo 'k'. Notamos
que a função impulso, verificada em (a) é fruto da descontinuidade, ou função degrau, observada em (b). Este salto
é fruto da convenção de incluir as funções impulso, verificada- no limite superior do intervalo de integração, no
cálculo da área que representa a probabilidade, conforme nos ensina Drake.
Probabilidade de k .;
kc
f~
(Função Densidade da Probabilidade de k).
dk
A altura do degrau em (b) é, portanto, o valor da área achureada em (a).
É claro que uma empresa não pode ser financiada integralmente por credores, mas esta situação caricatural
. ajuda a perceber a curva que traduz o risco dos credores, mesmo na presença de acionistas.
A presença da função impulso em kc traz conseqüências sobrea Média e o Desvio da distribuição do Retorno Operacional, reduzindo o valor de ambos. Por isso afirmamos, linhas acima, que os credores mais privilegiados
vêem seu risco bem próximo do risco operacional.
A proximidade desta visão dependerá do indicador de risco que se escolheu. Com o Desvio e a Variância, o
risco desses credores é menor que o risco operacional,já que sua curva é menos dispersa. Caso nosso indicador seja a
área abaixo de zero ou abaixo de kc, então o risco não se altera. Usando o Semi-desvio ou a Serní-variâncía, o risco
estará profundamente alterado, se a função impulso, kc, se encontrar à esquerda da Média da distribuição do retorno
operacional. Sendo o Coeficiente de Variação o indicador escolhido, nada poderemos dizer em caráter genérico, já
que ambos, Média e Desvio, se reduzem. A variação de CV dependerá de como se reduzem as variáveis com que se
estrutura.
Como se vê, o conceito de risco, quando matematicamente tratado, perde a sua unicidade. A escolha criteriosa de um desses indicadores e seu uso consistente atenuam essas dificuldades,
A outra situação extrema, e também pouco real, é representada por uma empresa que tem todo o seu Ativo
financiado por acionistas ordinários. Neste caso, o risco do ativo se transporta para os acionistas, filtrado pelo mecanismo do Imposto de Renda pago pela empresa, isto é, a curva de distribuição do Lucro Operacional, e conseqüentemente do retorno operacional, é afetada apenas no seu trecho acima de zero, pelo operador 1- (% IR sobre Lucro
Tributável). Imaginemos, por questão de simplicidade, que afora os juros, inexistentes no caso, não ocorrem
quaisquer .Receitas ou Despesas não Operacionais e quaisquer Ganhos ou Perdas: Extraordinários.
62 Ver Alvin W. Drake, Fundamentais of applied probability theo!y (New York; MacGra'l!r-HillBook Co. 1967), p. 63-9.
45
DENSIDADE DE
PROBABILIDADE
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FIGURA 1-12
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Estudo da transformação
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OPERACIONAL
LUCRO
em risco do acionista, para uma empresa totalmente
financiada
46
A Figura 1-12 mostra como percebemos o problema, na ausência completa de credores. A transformação da
curva (a) na curva(b) se faz com o auxílio de um mecanismo de ábaco, cujo fulcro está em (c). Sua lógica se apoia
na semelhança de triângulos. Por exemplo, os triângulos FOIA e F02B são semelhantes o que nos permite afirmar
que:
---
02B é, portanto,
=
=
0,7
1
o lucro para acionista, calculado a partir de 0IA, retirando-se o Imposto de Renda de
30%. A densidade de probabilidade com que ocorre 02B é a mesma com que acontece 0lA, razão por que transportamos AC para BD, embora com uma mudança de escala.
Essa alteração de escala se deu por uma conveniência do desenho que a fez diminuir mas, sobretudo, pela
necessidade de manter a área sob a curva igual a 1, com uma base menor, o que fez reduzir ainda mais a escala. Assim
sendo, uma unidade de comprimento, no eixo vertical de (b), vale bem mais que uma unidade, no eixo vertical
de (a), significando isto que a curva de distribuição do Lucro de Acionista em (b) não SÓ tem menos amplitude na
base, como tem cotas maiores nesse intervalo, quando comparada com a curva de distribuição do Lucro Operacional
em (a).
Se o operador 1-% IR atuasse sobre toda a extensão da curva e não apenas sobre o trecho em que ocorre
lucro, então a Média da distribuição de Lucro de Acionistas seria igual a (1 - % IR) (Média de Lucro Operacional)
.e o Desvio de Lucro de Acionista seria dado por (l- % IR) (Desvio de Lucro Operacional), deixando, portanto,
intocado o Coeficiente de Variação.
A não atuação do operador sobre a faixa de lucros negativos atenua o fenômeno de contração horizontal
da curva, mas não o elimina. Essa contração será tanto menor quanto maior for a área da curva na zona de prejuízo.
A conseqüência desses fatos é tornar a Média e o Desvio da curva em (b), menores que iguais parâmetros da
curva em (a). Como a escala do eixo horizontal não foi alterada, as reduções da Média e da dispersão são evidentes.
Os comentários que poderíamos fazer sobre a modificação do risco operacional para risco do acionista são
semelhantes aos que fizemos para a obtenção do risco de credores no exemplo anterior,exceto pela problemática da
função impulso, que aqui não existe.
o
risco terá se reduzido ou não, e em qu~ extensão, na dependência da medida sub-rogada de risco que escolhemos. Por paradoxal que pareça, o risco, ou se reduz (Desvio, Variância), ou apresenta um comportamento
dependente do problema em particular.
Não fossem os fenômenos da cláusula de juros fixos para credores e do imposto de renda pago pela empresa,
o risco do ativo se transportaria, sem qualquer modificação, para credores e acionistas, mas estas ausências fariam
com que deixasse de haver distinção entre eles, como financiadores da empresa. Deixamos de fazer qualquer consideração sobre os Impostos de Renda da pessoa física desses entes econômicos, dada a total impossibilidade de generalizações precisas, nesse campo.
Afora as considerações acima, registraríamos ainda a' existência de duas formas de tratamento para o risco:
uma via ajustamento da taxa de desconto a ser empregada pelo decisor de investimento, como usada por Markowitz
e seus seguidores e outra por meio de ajustamentos dos fluxos de caixa esperados, como proposto por Hicks, com o
auxílio do coeficiente do equivalente certo. A primeira dessas abordagens é a mais 'difundida e dela estamos nos
utilizando ao longo desta monografia.
1.5 -
A QUANTIFICAÇÃO
DO MÉRITO DE UM PROJETO
1.5.1 - UMA CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS INDICADORES DE MÉRITO
A necessidade de aferir-se a qualidade ou o demérito dos projetos, para compará-los ou não entre si, levou
os estudiosos de Orçamento de Capital a instituir indicadores dos mais variados tipos. Podemos classificá-los, segundo
três enfoques principais:
... ,'
47
a) critérios extensivos contra critérios intensivos;
b) critérios que levam versus critérios que não levam em conta o valor do dinheiro no tempo;
c) critérios dcterminfsticos
e critérios probabilísticos.
Chamamos de critérios extensivos àquelas grandezas de um projeto que podem ser somadas às grandezas
respectivas de outros projetos, quando a eles o projeto se junta para formar um pacote de investimentos. As interações econômicas, acaso existentes, podem alterar-lhes o valor, mas não lhes tira a propriedade aditiva que as
caracteriza, como extensivas.
Exemplos:
a) as Receitas de um ano típico de funcionamento;
b) o Valor Presente do Fluxo de Benefícios Futuros;
c) o Valor Presente Líquido
- VPL.
Grandezas de natureza semelhante são, nos sistemas físicos, o comprimento,
. eo tempo.
a área, o volume, a massa
Denominamos de critérios intensivos àqueles parâmetros de um projeto que não podem ser somados a
idênticos parâmetros de outros projetos, quando a estes o projeto se reúne para formar uma proposta conjunta de
. investimentos. Alguns exemplos:
a) a taxa de lucratividade de um ano típico;
b)a
taxa de rentabilidade de um ano típico
c) a taxa interna de retorno
- ROI;
- TIR;
d). o Valor Presente Líquido por unidade de Valor Presente dos Investimentos
e) as relações benefícios/custos,
~ VPLU;
líquidas ou agregadas;
f) o "payback".
Fazendo uma analogia com sistemas físicos, esses critérios se assemelham à temperatura,
velocidade e à aceleração.
à densidade, à
Os critérios que consideram as entradas ou saídas de caixa históricas, sem preocupação com sua cronologia,
não consideram o valor do dinheiro no tempo, operando sobre unidades monetárias de hoje, da mesma forma como
fazem com valores relativos 11 um período situado a uma década, no futuro. Estes critérios pecam por reunir grandezas heterogêneas, por não considerarem a diferença de utilidade de um mesmo volume de dinheiro, em diferentes
instantes no tempo.
Independentemente dos aspectos que dizem respeito 'ao risco, considerando-se portanto como um fato absolutamente certo, a ocorrência de um dado evento financeiro não se reveste da mesma importância, se ele acontece
hoje, ou se ocorre dentro de um certo intervalo de tempo. Tratando-se de uma receita, é melhor que ocorra mais
cedo porque confere com mais brevidade, poder de consumo ao seu beneficiado. Para as despesas o desejável é que
sejam pospostas, porque adia a redução do poder de consumo de quem está na obrigação de fazê-las.
A diferença entre um valor futuro e um valor presente, num mundo de certeza, está quantificada pelo
prêmio da espera cobrado por quem se absteve de uma satisfação presente, em troca de uma maior satisfação futura.
Havendo incerteza, acrescentam-se a esse prêmio básico os prêmios relativos aos diversos tipos de risco envolvidos.
Entre os critérios que aqui se enquadram, citamos:
a) o "payback" clássico;
b) a receita do ano típico;
c) o lucro do ano típico;
d) a taxa de rentabilidade do ano típico
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- ROI.
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48
Os critérios que diferenciam os valores monetários, em função do tempo em que ocorrem, utilizando-se
dos operadores de Matemática Financeira, são chamados de "técnicas de fluxo de caixa descontado", e procuram
retratar com mais precisão os reais contornos de uma proposta de investimento. Entre eles, encontramos:
a) o "payback" atualizado;
b) o valor presente do caudal futuro de benefícios;
c) o Valor Presente Líquido
d) a Taxa Interna de Retorno-
- VPL;
TIR.
Os operadores de redímensíonamento de valor, ao longo do tempo, estão estruturados com base nos conceitos dos prêmios pela espera e pelos riscos enfrentados pelo ente econômico a que se referem os fluxos financeiros em análise.
Os critérios de fluxos de caixa descontados são os que merecem nossa maior atenção e sobre os quais
há um grande número de trabalhos publicados. Sobre eles nos deteremos, ainda que de forma sucinta.
Os critérios determinísticos simplificam a visão do futuro, imaginando que os números obtidos para as
diversas variáveis que integram o cálculo do fluxo de caixa são quantidades tidas como certas e que, portanto,
acontecem rigorosamente conforme o planejado. Não é difícil de se concluir que o conhecimento exato do estado
futuro de um complexo sistema social, como é uma empresa, é impossível de se obter, como quer a abordagem
determinística. Esta maneira de proceder é, no entanto, uma simplificação útil da realidade e nela assentaremos
nossa conduta, ao longo desta monografia.
Os critérios probabilísticos associam a cada variável relevante do sistema uma ou mais curvas de densidades
de probabilidade, que permitem, ao final de um processo de sírnulaçãov 3, conhecer critérios extensivos, como o
lucro do ano típico ou mesmo o Valor Presente Líquido de toda a atividade da empresa, ou critérios intensivos,
como a Taxa Interna de Retorno pu uma das muitas relações benefício/custo, mas enriquecidos, todos, por uma distribuição probabilística que nos pode fornecer sua esperança matemática, bem como outros momentos estatísticos
da variável retratada. Com o auxílio do segundo momento, poderemos encontrar um indicador de dispersão a quem
atribuiremos a prerrogativa de traduzir o risco do projeto, que agora pode ser representado no espaço ortogonal
retorno-risco.
1.52
O MÉRITO DE UM INVESTJMENTO NO ESPAÇO RISCO RETORNO
Para conhecermos, na abordagem probabilística, o melhor projeto ou o melhor pacote de projetos, temos
que nos valer dos ensinamentos da "Teoria de Seleção de Carteiras" ou "Teoria do Portfolio".
Esta teoria foi desenvolvida para estudar a formação de carteira de valores mobiliários por parte do público
investidor, preferencialmente através da Bolsa de Valores, e não especificamente para orientar os empresários que
levam a cabo investimentos concretos. Isto não impede que seus ensinamentos sejam utilizados para analisar qualquer
tipo de investimento, o que faremos a seguir, com projetos empresariais. Antes, vejamos o funcionamento clássico da
teoria mencionada.
A região fechada ABMCDEGHIJA da Figura 1 representa o conjunto de oportunidades existentes num
determinado instante para os investidores bursáteis na ausência de letras do Tesouro Federal. A curva ABMCD está
composta só de "carteiras" e não de "ações isoladas", exceto no ponto 'D', onde pode se localizar uma dessas
ações64. Isto se deve ao mecanismo de diversificação que reúne duas ou mais ações, reduzindo o risco do conjunto.
Esta curva é a "fronteira eficiente" e reúne todas as melhores carteiras possíveis, que são as que apresentam o
maior retorno para sua classe de risco, ou o menor risco para sua classe de retorno. Isto significa, respectivamente,
movimentos parao norte e para oeste, o que dá à fronteira eficiente esta configuração de fronteira noroeste.
63 Ver David B. Hertz, "Risk analysis in capital investmcnt", Harvard Busincss Rcvicw 42 (Jan./Fcb., 1964): 95-106.
64 Ver Van Hornc, Financiai, p. 45,51.
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RISCO
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1 -13
de dois investidores, 11 e 12, no espaço risco x retorno.
A poligonal AJIHGED, reúne as piores oportunidades de investimento, constituindo-se a "fronteira
ineficiente" com configuração sudeste, o que significa deslocamentos na direção de menores retornos e maiores
riscos. Os pontos salientes nessa fronteira representam investimentos isolados e os pontos interiores, carteiras
formadas por esses investimentos.
Todos os pontos do conjunto de oportunidades de investimento apresentam retorno e risco positivos.
Um ponto há, fora desse conjunto, que apresenta um baixo retorno, mas risco nulo. São as aplicações em Títulos
do Tesouro Federal que premiam o investidor com uma taxa denominada de "livre de risco" e que é remuneradora
apenas da espera por maior consumo futuro, já que não compensa nenhum risco.
A tangente FMN, ou a linha mista FMCD constituem agora, respectivamente,
as novas fronteiras eficientes,
quando:
a) é possível emprestar e tomar emprestado à taxa livre de risco;
b) é possível emprestar (investir em Letras do, Tesouro) à taxa livre de risco, mas não há condições de .
tomar emprestado a essa taxa.
Das três fronteiras eficientes apresentadas, a mais usual é a última, representada pela tangente FM e pela
curva MCD, onde o ponto 'M' significa o "portfolio" representativo do mercado bursátil que vai se compor, ao
longo da reta FM, com as Letras do Tesouro, para formar novas carteiras resultantes da junção de ativos com risco
e sem risco.
A designação de fronteira eficiente significa que todos os pontos que a compõem representam soluções
ótimas, do ponto-de-vista do mercado. Em cada classe de risco a cartei!a representada pelo ponto correspondente
na fronteira eficiente é a que mais oferece esperança de remuneração para o investidor individual. Não está esclarecido; até agora, como este investidor se localiza na fronteira eficiente.
Devemos notar que a razão retorno/risco é variável, ao longo de toda a fronteira eficiente. Ela começa
com + 00 no ponto 'F', cai bruscamente para valores finítos sempre decrescentes até 'M', progredindo na sua queda
no trecho MCD.
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Isto significa que os diversos pontos da fronteira eficiente premiam diferentemente o risco com uma ampla
e contínua gama de prêmios relativos, onde todos os investidores encontram lugar, cada um de acordo com sua
atitude face ao risco; O investidor típico é avesso ao risco, significando isso que ele exige remunerações crescentes
com o risco, numa função côncava para cima, como as assinaladas na Figura 1-13 pelas curvas sob as chaves onde
se lê 11 e12.
Quanto mais avesso ao risco é o investidor, maior é a inclinação de suas curvas de indiferença, como é o
caso do investidor 11. Já 12, conquanto ainda avesso ao risco crescente, se permite tomar maiores doses de risco
pela mesma remuneração exigida por 11.
.
A carteira ótima para um investidor individual está determinada pelo ponto de tangência de sua curva de
indiferença de mais alta utilidade com a fronteira eficiente, já que a utilidade cresce na direção noroeste. Vemos
que para o investidor 11, muito receoso de risco, esse ponto é 'P', onde, além de ações diversificadas do mercado
traduzidas por 'M', ele adquire também uma porção de Letras do Tesouro, livres de risco. O investidor 12 não se
interessa por esse último tipo de ativo e prefere montar a sua carteira só com ações de alta remuneração e alto
risco, posicionando-se em 'C'.
A reta que.isaíndo de 'O' passa em 'P', tem um ângulo 'm' maior que o ângulo 'n' de reta semelhante que
passa em 'C'. A tangente de cada um desses ângulos representa a amplitude da remuneração que o investidor requer
. para correr uma unidade de risco. Como vemos, 11 é mais exigente que 12.
Olhemos agora o problema de um empresário que, além das oportunidades de investimento acessíveis para
o público investidor, dispõe de oportunidades outras que lhe são privativas. Suponhamos que esse investidor se
_defronte com as oportunidades 'K' e 'L' registradas no espaço retorno-risco da Figura 1·13.
Essas oportunidades não têm por que estar sobre a fronteira eficiente. Usualmente elas estão abaixo dessa
fronteira, principalmente quando as atividades a serem empreendidas encontram no sistema econômico muitas empresas concorrentes e que comparecem no mercado de valores mobiliários com suas ações. Caso o negócio a implementar seja revolucionário, do ponto de vista tecnológico ou mercadológico, o que lhe propicia altas taxas de retorno
(por exemplo, a produção de um medicamento para a CUIado câncer), ou se o empreendimento a ser abraçado é
muito lucrativo e está empreendido por um grupo restrito de empresas ausentes da Bolsa de Valores, então o ponto
que o representa pode se situar em posição de dominância com relação à fronteira eficiente, como indicado, por
exemplo, pelo ponto 'Q'.
'vimos então que as oportunidades que se oferecem para os empresários se acrescentam às já disponíveis
para o público investidor em geral, representadas pela fronteira eficiente. Os empresários se defrontam, assim, com
um leque de oportunidades mais amplo que os demais investidores, mas o posicionamento da nova oportunidade
em 'Q' não é condição suficiente para que o empresário a adote, mesmo estando acima da fronteira eficiente do
mercado. Ela seria aceita por 12, mas seria rejeitada por 11, em função das peculiaridades de seus comportament~s
face ao risco. Para o grupo de projetos que se deixam dominar pela fronteira eficiente, situação esta mais comum,
a escolha depende ainda do perfil psíquico do empresário.
Suponhamos os projetos 'K' e 'L' e os empresários 11 e 12 da mesma Figura 1-13. Limitando suas escolhas
a um só dos projetos, por razões de estreiteza orçamentária, por exemplo, os resultados seriam distintos. 11 elegeria
'K' e 12 preferiria 'V.
Quando colocamos no espaço retorno-risco todas as oportunidades privativas de um dado investidor, além
das aplicações.livres de risco, e não permitimos que elas se reunam em carteiras, vamos encontrar um conjunto de
pontos isolados. A ordenação pelo mérito intensivo se faz listando as propostas a partir da que se encontra na sua
curva de utilidade mais alta. Para o exemplo da Figura 1-14 seria 'c', 'b' ou 'd', depois 'a' e, por fim, 'f.
Mas este não é, ainda, o procedimento correto. Em primeiro lugar, temos que incluir a atividade já empreendida pelo empresário, que chamaremos de 'a'. Em segundo lugar, devemos fazer todas as combinações possíveis
com todos os tamanhos possíveis, com essas 'n' oportunidades de investimento, envolvendo sempre a proposta 'a',
quando não se admite o desinvestimento das atividades anteriores ou, o que é mais racional, fugindo a essa restrição.
Em terceiro lugar, devemos saber qual o orçamento disponível para o investidor (com ou sem a hipótese de desinvestimento) e qual a sua intenção com relação às sobras: se devolver o excedente aos estruturadores do Passivo
ou absorvê-los em ativos do tipo 'f. Convém lembrar que estes investimentos têm retornos negativos ao custode
capital da empresa e só se justificam como aplicações transitórias para ensejar bons investimentos no futuro. Nesta
altura é possível, eliminar definitivamente todas as carteiras que não se contiverem no orçamento disponível.
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LEGENDA
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RISCO
FIGURA
Comportamento
de projetos
1-14
de um empresário no espaço risco x retorno.
Em quarto lugar, calcularemos todas as esperanças de retorno e os desvios desses retornos para cada uma
dessas carteiras, o que nos permite posicioná-las no espaço retorno-risco. Surgirão numerosos pontos que formarão
a fronteira eficiente privativa do empresário, não como uma curva contínua, mas como um conjunto de pontos
eficientes, porque só é possível formar-se as carteiras pelo .montante total dos investimentos de cada projeto. Estas
"descontinuidades" restringem a uma quantidade finita e perfeitamente determinada o número de carteiras factíveis,
como mostrado pelos pontos Pl a Pn.
Em quinto e último lugar, precisamos conhecer a família de curvas de isoutilidade do empresário, o que nos
permitirá encontrar a carteira de investimentos privativos que se posiciona na curva de mais alta utilidade, Pi. Esta é
a estratégia ótima de investimento, se a intenção com relação às sobras é a de abservê-Ias em ativos do tipo 'f, fazendo, assim, com que os investimentos de todas as carteiras sejam rigorosamente iguais, como requer a Teoria de
Seleção de Carteiras, e determinando que o mais alto retorno (mérito intensivo) corresponda ao mais alto valor da
empresa (mérito extensivo), que é o critério fundamental, Os critérios da mais alta utilidade e da dominância da
estratégia eleita se casam sem nenhum conflito.
Caso a intenção seja a de devolver as sobras orçamentárias, os investimentos de cada carteira serão diferentes, o que nos impede de afirmar que o pacote que tangencia a mais alta curva de utilidade do empresário é o que
lhe aparta a maior esperança de riqueza extensiva, porque pode representar uma estratégia de pequena dimensão,
Teremos então que pesquisar outros pacotes, para descobrir aquele que oferece o maior valor extensivo. O critério
extensivo da maior utilidade prevalece sobre o critério intensivo da dominância. Um dos pressupostos da Teoria do
Portfolio diz que, para um dado. investidor e em cada momento, o volume de sua carteira tem que ser constante,
no processo de busca de seu ponto ótimo sobre a fronteira eficiente. A aplicação desta teoria, bem como do Modelo
de Precificação de Ativos de Capital, às carteiras de ativos indivisíveis, como costumam ser os investimentos empresariais, carece de cautelas adicionais.
Em resumo, o comportamento do empresário é análogo ao do investidor bursátil, mas se distingue deste
por apresentar urna atitude mais aguerrida, por dispor de um elenco de oportunidades não disponíveis para aquele,
por sua vocação para criar e dirigir empresas, pelo desejo de recepção de benefícios outros, a partir da empresa como
prolabores, mordomias, "status", sentimento de realização pessoal e satisfação de comando, por manobrar maiores
volumes de recursos que nem sempre encontrariam aplicações satisfatórias no mecanismo da Bolsa.
Em sociedades capitalistas modernas separamos a figura do empresário tecnocrata da figura do capitalista,
o público investidor, e-vemos que as razões que movem um, não sesuperpõem inteiramente às do outro. Ao empre-
52
sário cabe empreitar, empreender, correr risco, enquanto ao investidor cabe escolher entre as oportunidades
tentes, as que melhor se adaptam às suas curvas de preferência pelo- risco.
exis-
o
empresário é o elemento dinâmico propulsor do sistema, que tem idéias, que conhece oportunidades e
que usa o dinheiro dos poupadores para implementá-las. Não lhe cabe comparecer às Bolsas para fazer investimentos
mobiliários. Ele enxerga preferentemente no espaço retorno-risco, as oportunidades de investimentos reprodutivos
que ensejam a formação da fronteira eficiente do mercado de valores mobiliários.
1.5.3 - AS DIFICULDADES ENFRENTADAS PELO ANALISTA DE INVESTIMENTOS
Nessa ordem de idéias, a tarefa do analista de investimentos a soldo do empresário é ingrata. Seus sentimentos pessoais face a um risco que ele não vai correr são irrelevantes. Ele carece de um instrumental analítico que
permita explicitar o comportamento do investidor para quem trabalha.
A avaliação de projetos pela ótica probabilística não é ainda possível de implementar em toda a sua extensão. Consideráveis progressos já foram feitos na mensuração do risco, mas não na mensuração do comportamento do
empresário, face ao risco.
Para se chegar ao projeto ótimo é necessário conhecer os detalhes de cada um dos projetos candidatos de
per si, as correlações estatísticas entre os retornos de todos os pares possíveis de constituir, a partir deles o que,
apesar de viável, já é uma tarefa formidável. Além disso, e bem mais difícil que isso, é preciso conhecer as curvas de
indiferença do empresário ou, o que é ainda mais complexo, conhecer essas curvas para o grupo de empresários
. que forma o órgão colegiado decisor de uma empresa.
•
Os estudos nesse sentido estão em rnarcha65 mas, até onde estamos informados, não podem oferecer ainda
uma metodologia capaz de ser introduzida na prática decisória das empresas. Quando isto acontecer, a tarefa do analista estará terrivelmente ampliada em termos de volume de computação e de juízos de valor sobre o comportamento
das variáveis básicas, mas estará grandemente facilitada no julgamento comparativo das propostas porque, simplesmente, ele terá um sistema que lhe permitirá, em termos de Orçamento de Capital, pensar semelhantemente aos empresários a quem serve.
A despeito da grande variedade de indicadores do mérito de um projeto hoje disponíveis, ainda não existe
um só que retrate de forma completa e inquestionável a qualidade de uma proposta de investimento, principalmente
quando dele se espera a seleção do melhor projeto, ou pacote de projetos, face a situações de exclusão mútua, por
razões técnicas ou econômicas, e também em decorrência de restrições orçamentárias.
65 Ver Carl S. Spctzlcr, "The Dcvclopmcnt of a corporate risk policy for capital investmcnt decísions", IEEE Transactions on
~y'stems scicnce and cybcrnetics, SSC-4, n9 3 (Septernbcr 1968): 279-300, e
Robert B. Wilson, "Decision analysis in a corporation", IEEE Transactions on systems scicnce artd cybernetics, SSC-4, n9 3
(ScptcmbC11968): 220-26.
.
53
1.5.4 - ALGUNS CRITÉRIOS RELEVANTES
Recapitulando, diríamos que os critérios extensivos dizem dos volumes de recursos gerados pelo projeto, de
forma bruta ou líquida, mas não revelam a eficiência com que estão sendo utilizados os recursos por ele absorvidos.
Os critérios intensivos nos revelam, de uma forma ou de outra, essa eficiência, mas falham em traduzir o
montante dos benefícios e dos custos envolvidos com o projeto.
Os critérios que omitem o aspecto temporâneo do dinheiro são ainda muito usados no Brasil t: no exterior66, mas perdem importância, dia a dia em favor de técnicas mais acuradas. Com exceção do "payback", não nos
ocuparemos deles aqui.
Os critérios que consideram a cronologia dos eventos financeiros, apesar das dificuldades no seu uso, são os
que reúnem as preferências do mundo acadêmico com crescente adesão do mundo empresarial.
Os critérios determinísticos
na realidade, variáveis aleatórias.
falham ao considerar como eventos certos, entradas e saídas de caixa, que são,
Os critérios probabilísticos requerem maior massa de informações e de qualidade crescentemente subjetiva.
Estas dificuldades contribuem para que se encontrem, em grande medida, fora das aplicações práticas das empresas.
1.5.4.1 -
O "Pay:back" Clássico
Este indicador consiste no cálculo do número de períodos requerido para recuperar o investimento inicial.
O resultado pode ser inteiro ou fracionário e o projeto será tanto melhor quanto mais curto for o período do
"payback".
O teste aceita-rejeita consiste em comparar o resultado com um prazo teto além do qual os projetos são
rejeitados. Este teto é uma função inversa do risco do projeto. Quanto mais estável são os retornos de uma proposta,
maior será o teto admissível. Quanto mais arriscado for um empreendimento, maior o interesse em recuperar com
brevidade o seu investimento.
O "payback"
clássico usa o conceito de fluxo de caixa e não de lucro contábil, mas falha em dois pontos
básicos:
a) não atualiza os fluxos de caixa futuros, comparando-os
históricos;
com .o investimento
inicial, por seus valores
b) não considera os fluxos que acontecem depois do período de "payback".
Há, contudo, uma vantagem, ainda que questionada por alguns autores, que recomenda
como um indicador principal, ou único, mas com um critério secundário ou de desempate. O
"payback" se traduz pela mensagemo empírica que traz com respeito à liquidez e ao risco
"payback", maior a liquidez e menor o risco de que os investimentos não sejam recuperados.
entretanto, mais como uma restrição a ser obedecida do que como um indicador de mérito.
•
o seu emprego, não
atributo valioso do
do projeto.
Menor
.
Ele deve ser visto,
1.5.4.2 ~ O "Pay:back" Atualizado
É uma visão modificada da anterior, com a única diferença de que todos os fluxos de caixa, quer de
investimentos volitivos, quer dos benefícios líquidos auferidos, são atualizados ao custo de capital da empres.a e
formam dois conjuntos: o valor atualizado dos investimentos a amortizar e o valor atualizado dos benefícios
líquidos. O número de parcelas e fração deste último conjunto, a contar da primeira e em ordem cronológica,
necessários para amortizar os valores do primeiro conjunto é o "payback" atualizado.
66 Ver Thomas Klarnmer, "Empirical evidence of the adoptíon of sophisticatcd capital budgcting techniques",
Busincss 45 (July 1972): 393.
~1'
Thc Journal of
54
Excetuando-se a desvantagem da não atualização, agora corrigida, todas as demais considerações antes mencionadas são válidas, também, para este indicador. Nele as confrontações de custos e benefícios, para efeito de amortizações se fazem em unidades monetárias homogêneas do ponto de vista da empresa. Para qualquer custo li', capital
maior que zero e para um dado problema, o "payback" atualizado é maior que o "payback" clássico e reflete de
forma mais precisa o período necessário para a integral recuperação do investimento total, contado a partir do instante do primeiro investimento.
Vejamos um exemplo. Um projeto requer, no instante zero, investimento de $ 100 para estudos e desenhos
uuciais. Ao fim do 10. e do 20. anos são gastos $ 1.000 e $ 2.000, respectivamente, quando se completa o
.investimento. A fase de operação apresenta fluxo de caixa de $ 100 para o lo. ano, $ 500 para o 20. e 30. anos,
$ 1.000 para o 40. e 50. anos, e $ 1.500 do 60. ao 80. anos. A partir daí o projeto definha e é desinvestido ao fim do
100. ano de operação efetiva, como indica a Tabela 1-1.
..
TABELA 1-1
ESTUDO COMPARATIVO DOS PAYBACKS CLÁSSICOS E ATUALIZADO
FLUXOS DE CAIXA
:
De Investimento
, Instantes
De Operação
.
Histórico
Atualizados
O
100,00
100,00
1
1.000,00
892,86
:i
2.000,00
1.594,39
(3)
,4
-
5
.....,
6
-
3
7
8
9
10
11
12
.
Total
FONTE:
3.100,00
,
2.587,24
Históricos
(1)
(2)
Atualizados
-
-
100,00
71,18
500,00
317,76
500,00
283,71
1.000,00
506,63
1.000,00
452,35
1.500,00
605,82
1.500,00
540,92
1.500,00
482,96
500,00
143,74
1.000,00
256,68
9.100,00
3.661,74
(1)
Proposição e cálculos do autor.
NOTAS;, (1) Atualizados para o instante zero ao custo de capital de 12%.
(2) Reúne $ WO de fluxo operacional e $ 900 de fluxo de desinvestimento total.
(3) Intervalos de 1 ano.
o
"payback" clássico é de 7 ,00 a110Sa contar do instante zero, mas o "payback" atualizado é de 8,65 anos,
também a contar do mesmo instante. Os textos de Finanças usualmente apresentam exemplos mais simples, em que
todo o investimento se faz no instante zero ao qual se refere o "payback". Com investimentos em vários instantes
tomar-se necessário eleger um desses instantes para início da contagem do período de recuperanção. Nossa preferência, como mostramos no exemplo acima, é pelo instante em que se -dá o primeiro investimento.
li.
55;
Caso o projeto apresente VPL negativo ao custo de capital, ele não tem "payback" atualizado, porque o
somatório de todos os benefícios atualizados não é bastante. para amortizar os custos atualizados.
Quando a corrente de fluxos de caixa é "não convencionel", isto é, quando apresenta mais de duas inversões
de sinal, o projeto pode apresentar mais de um "payback". Consideremos o exemplo:
o
Instantes
1
+ 5.000
10.000
Fluxos
3
2
+ 10.000
- 20.000
4
5
::-0.000
+ 20.000
Dentro da feição clássica, o 10. payback é de 1,5 anos e o 20. de 3,75 anos. Entendemos que é este último o
que traduz o verdadei.r<;!período de recuperação deste projeto.
Damos no Anexo 6.3, um programa para o computador de bolso HP-25, capaz de calcular os "paybacks",
clássico ou atualizado, de projetos de investimento com qualquer extensão em suas correntes de fluxos de caixa. .
1.5.4.3 -:-0 Valor Presente Líquido
- VPL
Ê um indicador extensivo, que leva em conta o valor do dinheiro no tempo, podendo ser determinístico ou
probabilístico e é um dos mais importantes no estudo de Orçamento e Racionamento de Capital. Calcula-se, soman. do-se algebricamente todas as "entradas" e "saídas" de caixa atualizadas com o auxílio do custo de capital, 'k'. Para
o exemplo citado na tabela 1-1, ele é de ($3.661,74) - ($2.587,24) = $1.074,50.
°
VPL é uma função da taxa de desconto usada para a atualização. Para fluxos convencionais, isto é, com
uma só inversão de sinal, o gráfico de VPL = f(k) nos mostra uma curva monotonicamente
decrescente, com a
ascenção de 'k'.
Com o auxílio da equação VPL
integrantes da Tabela 1-2.
=
n
i~h Fi (1
.
+ k)
.
-1,
analisaremos o comportamento
dos três projetos
TABELA 1-2
FLUXOS DE CAIXA DE PROJETOS HIPOT~TICOS
Convencionais
.
Não Convencional
Projeto C (1)
Instantes
Projeto B
Projeto A
O
-500
-500
-180
1
100
100
100
2
200
500
100
3
300
500
100
4
400
500
100
5
500
200
100
6
500
150
-100
7
500
100
-100
200
50
-100
-
-
-100
8
•
9
10
20
o
.
-100
200
FONTE: Proposições do autor.
NOTA:
(1) Exemplo adaptado de Eugene L. Grant and W. Grant Ireson, PrincipIes of Engineering Economy, (The
Ronald Press Co., New.York: Fifth Editon - 1970), p. 557 - 559.
~..
56
o campo de variação de'k' é normalmente de 0% a + 00%. Excepcionalmente pode haver interesse no
comportamento do VPL com avariação de 'k', no íntervalov? de. :iOO% a 0%. Apresentamos na Tabela 1-3 e na
Figura 1-15 os valores e os gráficos dos VPL's dos três projetos em exame.
TABELA 1-3
ESTUDO DA VARIAÇÃO DO VPL COM 'k'
k
0,0
Projeto A-
Projeto B
Projeto C
2.200,00
1.600,On
20,00
1,0
7,46
,
0,00
1,8605
.
5,8 (mín.)
-11,20
1.197,38
10,0
1.004,79
-
6,57
14,3480
0,00
17,5
3,02
20,0·
643,18
631,18
21,0650
599,90
599,89
21,2 (máx.)
- --~--- --4,21
,
25,0
3,11
29,0220
0,00
40,0
107,28
47,4780
0,00
58,6880
- 14,08
208,88
-00,00
.-'. o. _ .
60,0
-124,33
_ 10,92
80,0
-242,03
- 139,68
~ 309,38
- 221,68
- 86,15
- 500,00
- 500,00
- 180,00
100,0
00
.
- 43,59
FONTE:
Cálculos do autor.
NOTA:
Os espaços em,branco significam que não houve interesse no cálculo do VPL para aquele projeto, àquela'
taxa.
67 Ver Jamcs C. Mao, Qy3ntit3tive analysis of financiai dccisions, (London: Thc MacMillan Co., 1969) p. 204 e
David Quirin,.The Capital cxpcnditure dccision (Homcwood,l11inois: Richard D.lrwin, Inc., 1971), p, 54 •.
57
VPLC
VPLB
2.500
20
2.000
1.500
10
1.000
500
o
80
90
=
100
B
A
A
-500
@)
B
-10
. C
Curvas de variação do VPL com a taxa dedesêOhto":"
... ' FIGURA
1 -15
58
Analisemos, inicialmente, os comportamentos de A e B. Vemos que são curvas monotonicamente decrescentes com 'k', apresentando duas interseções com os eixos coordenados. A primeira, com o eixo vertical, nos dá conta
da soma algébrica histórica de todos os fluxos de caixa do projeto e traduz o VPL para a situação em que não se
pratica atualização <!"lS fluxos futuros. A segunda, com o eixo horizontal, mensura a taxa que reflete o equilíb rio
entre os custos e benefícios atualizados. É chamada de Taxa Interna de Retomo - TIR de que nos ocuparemos
logo adiante.
A taxa de desconto é um mecanismo de penalízaçâ t dos fluxos futuros e está intimamente ligada à
percepção do risco, cumo visto pelos estruturadores do Passivo que financiam o projeto, razão por que ela é,
usualmente, o custo de capítals 8.
Para um dado custo de capital, um projeto convencional é tanto melhor quanto mais alto é o seu VPL e
toma-se irtaceitável quando este VPL assume valores nulos ou negativos, ou, o que é o mesmo, quando o custo de
capital iguala o}l supera a TIR. Para fluxos convencionais, portanto, VPL e TIR dão a mesma indicação no teste
aceita-rejeita.
Quando de dois projetos, 'A'e 'B', um só pode ser empreendido, por razões de exclusão mútua determinada
por motivos técnicos, econômicos ou de racionamento de capital, então o eleito é o que apresenta sua curva mais alta
naquele ponto representativo do custo de capital. Consultando a Tabela 1-3 e a Figura 1-15, vemos que para os
exemplos que temos em mãos, o projeto 'A' domina o projeto 'B' para todos os custos de capital entre e 21,065%,
e é dominado por este a partir desta taxa até + 00%.
°
Este ponto de inversão de dominâncias, 'k'F, abcissa do ponto F, é chamado de Taxa de Fisher, ou taxa
fisheriana, que é também a Taxa Interna de Retorno do "projeto diferença" entre 'A' e 'B', projeto este rotulado
ainda de "custos de Fisher,,69.
o Valor Presente Líquido não é um indicador de mérito autônomo, capaz de por si só, mensurar e comparar
projetos, apenas com os fluxos de caixa a eles relativos, O VPL é um critério circunstancial porque seus resultados
dependem de um dado relativo à empresa que dele se utiliza. Este parâmetro é o "custo de capital" da empresa e,
diferenças no seu valor para duas empresas distintas, podem por paradoxal que pareça, determinar a adoção de
soluções antagônicas na escolha entre 'A' e 'B'.
O que explica este comportamento do VPL é um seu pressuposto implícito que diz respeito à taxa de
reinvestimento dos recursos que são devolvidos pelo projeto durante sua fase produtiva. Estes recursos, na lógica do
VPL, são considerados como reinvestidos, à taxa de desconto utilizada no seu cálculo. Quando esta taxa é o custo de
capital, uma empresa que tem uma estrutura de capital onerosa, ao calcular o VPL de 'A' e 'B', pressuporá
reinvestimentos em oportunidades virtualmente mais nobres que aquelas imaginadas por outra empresa que conta
com recursos mais baratos. Assim, o projeto que devolve um maior volume de recursos mais cedo, como é o caso do
projeto 'B', cresce de mérito frente ao 'A', à medida que cresce a taxa dessas reinversões, determinando que, além de
um certo ponto, o ponto F, ocorra a dominância já mencionada. À taxa de Fisher, as duas propostas estão empatadas.
Para custos de capital, à direita da taxa fisheriana, VPL e TIR estabelecem a mesma ordenação entre os dois
projetos, acontecendo o contrário, à esquerda desse ponto. Neste último caso, qual indicador seguir? A solução para
essa controvérsia reside nas hipóteses que se fazem relativamente ao reinvestimento dos recursos devolvidos, o que
veremos com o estudo da TIR.
O projeto C apresenta um comportamento deveras caprichoso. A princípio, a curva de seu VPL cai vertiginosamente, intercepta o eixo horizontal, à taxa de 1,8605% {la. TIR), e passa por um mínimo,à taxa de 5,8%. No
trecho em ascenção que se segue, a curva volta a interceptar o eixo dos k's, desta vez à taxa de 14,3480% (2a. TIR),
atingindo um 'máximo para k = 21 ;2%, a partir da qual volta a descer continuamente até k = + 00, onde o VPL
assume o valor limite de - $500. Nesse descenço, corta mais uma vez o eixo das abcissas, quando 'k' vale 29,0220%
(3a. TIR). As explicações que caberiam aqui, vêm no estudo da Taxa Interna de Retomo.
Incluímos nos Anexos 6.4e 6.5 dois programas para o computador de bolso HP-25. O programa do Anexo
6.4 está concebido para calcular o VPL de um projeto com até onze fluxos de caixa, podendo também calcular a TIR
por iteração externa. O programa do anexo 6.5 calcula VPL's e VFL's de projetos convencionais, ou não, com
qualquer extensão em suas correntes de fluxos de caixa.
68 Ver Van Horne, Financiai, p. 74.
69 Clovis de Faro, Engenharia econômica - elementos (Rio de Janeiro: Apcc Editora S.A., 1972), p. 40.
59
1.5.4.4. -
O Valor Presente Líquido Unitário
- VPLU
É um indicador intensivo que leva em conta o valor do dinheiro no tempo, podendo ser determinístico ou
probabilístico. Inscreve-se no elenco das relações benefício/custo e como elas apresenta alguns problemas particulares.
Segundo B'erman e Smidt70, há duas dificuldades básicas com essas relações. A primeira é inerente
condição de indicador intensivo, pois r.ão dá idéia da escala do investimento, como já comentamos.
à sua
A segunda está ligada à eleição do que colocar em numerador e em denominador, dentre as muitas
alternativas possíveis. Van Horne 71 monta a razão dos "fluxos de caixa líquidos" sobre o "investimento do instante
zero". Faro72 reúne em numerador todas as "receitas brutas" e em denominador todos os "custos" que representam
investimentos e despesas operacionais. A OECn73 considera como benefício o somatório dos fluxos de caixa
operacionais, e como custos o somatório dos investimentos, incluindo nestes os investimentos de reposição que não
são volitivos. Schwab e Lusztig74 estabelecem uma distinção entre o "índice líquido" e o "índice agregado",
optando "pelo primeiro, posição que adotamos, mas que qualificamos devidamente quando tratamos do assunto
Fluxo de Caixa.
Adotando as definições de Van Home, Faro e Schwab-Lusztig, o projeto é aprovado se sua relação supera o
piso de 1,00.
No nosso caso, elegemos trabalhar com a razão entre o Valor Presente Líquido e o Somatório Atualizado
dos Investimentos. Esta relação é sugerida por Lorie e Savage 75, em seu famoso artigo, e é uma transformada das
outras definições. Ela traduz a intensidade do enriquecimento adicional para o implantador do projeto, pois mede o
valor presente líquido decorrente da inversão de uma unidade de capital.
Seu teste aceita - rejeita nos diz que serão aprovados os projetos que apresentam VPLU
dos aqueles que mostrem VPLU ~ O.
>O
e reprova-
Hierarquizando projetos, na ausência de restrições técnicas, econômicas ou orçamentárias, coloca o projeto
A como melhor que o projeto B se VPLU A > VPLUB._
A definição precisa de uma relação benefício/custo não elimina certos problemas inerentes à técnica do
fluxo de caixa descontado, quando esta é usada no seu cálculo. O primeiro e mais evidente reside na necessidade de
eleger-se uma taxa de desconto para atualizar os benefícios e os custos, porque a relação benefício/custo por nós
eleita é uma função de 'k', como se vê na expressão abaixo:
VPLU
=
onde:
a) Fi representa todos os fluxos de caixa, quer de implantação, quer de operação e desinvestimento,
podendo existir mais de um fluxo para o mesmo período, pois consideramos cada uma dessas correntes
de fluxo como entidades independentes. O numerador sendo o VPL elimina qualquer ambigüidade por
classificação de fluxo, pois todos os fluxos de caixa, a qualquer título e com qualquer sinal, comparecem
no seu cálculo. Contornamos, assim, qualquer dificuldade de caracterização do numerador;
70 Biennan and Srnidt, The Capital, 3rd. ed. p. 47-48.
71 Van Horne, FinanciaI, p. 76.
72 Faro, Engenharia, p. 34-36.
73 Organization fotÉ;nomic
Co-Opcration and Dcvclopment - OECD '-, Manual
dcvcJoplng countrics, (Paris, 1972), p. 116.
74 Schwab and Lusztig, A Comparativc, p. 507 -11.
75 Lorie and Savage, Thrcc problcms, p. 298.
-v .•
or industrial
projccts analysis in
- ----
.60
b) li representa os fluxos de investimentos volitivos do projeto que ocorrem no seu período de implantação
inicial ou em outros instantes da operação, mas previamente planejados na origem; exclui, entretanto, os
. investimentos de reposição que pertencem ao numerador da relação, sendo essa a única particularidade
conceitual existente em sua estruturação.
o segundo problema está intimamente ligado aos problemas do VPL e da TIR e diz respeito à inversão de
Fisher e às múltiplas Taxas Internas de Retorno.
o
VPLU é uma tra risformada do VPL. Se o investimento se dá todo no instante zero, esta transformada é
linear porque o operador de transformação é uma constante. Admitindo-se que no caso do projeto 'C' da Tabela 1-2,
os fluxos de F6 aFIO, inclusive, no valor de -100, são operacionais e não de investimento, então o gráfico de
VPLU = f (k) apresentaria a mesma configuração esdrúxula mostrada na Figura 1-15, com uma única mudança na
escala do eixo das ordenadas, onde perceberíamos que o projeto seria aprovado ou reprovado no teste aceita-rejeita,
dependendo do custo de capital da empresa. As TIR's seriam exatamente as mesmas e poderiam ser obtidas
indistintamente pelo cálculo do VPL ou do VPLU.
Para os casos dos projetos A e B, que também só apresentam inversões iniciais no instante zero, os gráficos
do VPLU revelariam o mesmo problema da inversão de Fisher, que se daria na mesma taxa em que ocorreu para o
VPL.
.
Quando há inversões em outros instantes além do instante zero, a equação VPLU == f(VPL) não é mais uma
. reta que passa na origem, com coeficiente angular lãI,porque o operador de conversão é agora, ele próprio, também,.
uma função de'k' e expresso por:
...
Operador (VPL
m
~ VPLU) = [L
li' (1 +k)- i] - 1
..
O
Este fato não impede, contudo, que encontremos situações em que VPLU corno função de 'k', para um
determinado projeto, seja representado por um gráfico que intercepta mais de uma vez o eixo horizontal, nem que os
gráficos de VPLU para~ois projetos se interceptem num certo ponto.
.
Nestes casos, as interseções no eixo das abcissas, simples ou múltiplas, não indicam mais o valor de TIR, e as
interseções entre duas curvas não conduzem mais às taxas fisherianas.
O VPLU é o complemento
aprisionados pelo. projeto.
ideal para o VPL, pois permite' conhecer
o valor
atualizado
dos recursos
1.5.4.5 - A Taxa Interna de Retorno - TIR
Este é uni indicador intensivo de mérito que leva em conta o valor do dinheiro no tempo, podendo ser
determinístico ou probabilístico, eqôe transporta uma mensagem fácil de entender. Como vimos no tópico anterior,
a Taxa Interna Média de Retorno é representada graficamente pelo segmento O k, onde "k" é o ponto em que a
curva do VPL intercepta o eixo das abscissas.
Algebricamente a TIR é "a raiz" da equação que expressa o VPL, ou seja, é o valor de 'k' que torna o VPL
nulo. Acontece que a função VPL = f(k) costuma apresentar estrutura algébrica algo complexa, na forma de
polínõmios'Inteíros e de elevada ordem em 'k',que apresentam 'n' raízes iguais ou diferentes, negativas ou pos.itivas,
reais ou imaginárias.
O adjetivo "Interna" significa que este parâmetro não é circunstancial como o VPL, mas que indcpende de
qualquer consideração exógena à sua lógica; esta raiz depende exclusivamente da estrutura algébrica da equação 'do
VPL e dos coeficientes que nela comparecem. É algo que está embutido, que é inerente à ~rópria corrente de fluxos
de caixa que representa o projeto. Keynes a chamou de "eficiência marginal do capital" 6. Já o adjetivo "Média"
quer significar que o retorno é aquele visto na perspectiva de todo o investimento e de toda a duração do projeto.
76 Ver Solomon "Thc Arithmetic of capital-budgeting dccisions" In Foundations
James Van Home (Homewood, IlIionois: Richard D. lrwin, Inc.), p. 288.
for [maneial managcmcnt: a book of rcading~
:~::.
61
A TIR também tem', à semelhança do VPL, um pressuposto de reinvestimento que encobre um mecanismo
de reaplicação dos reéursos devolvidos por cada projeto, à sua própria taxa de retorno 77. Encontramos aqui um
problema deste indicador de mérito que implica em tratamentos não consistentes para com 'n' projetos com TIR's
distintas, que uma empresa esteja considerando. Se o ambiente dessa empresa é um só, se seu leque de oportunidades
futuras é um só, não faz sentido imaginar-se que os recursos de diferentes projetos irão ser aplicados em oportunidades diferentes e que se lhes assemelham.
Em princípio, usar o VPL traduz uma atitude mais conservadora, mais adequada a conjunturas em que a
economia se apresenta menos aquecida, porque suas hipóteses de reinvestimento são mais cautelosas que as da TIR,
sendo este, portanto, um indicador mais adequado para conjunturas de arrancadas econômicas, em que há fartas e
gordas oportunidades de reinvestimento. Em nenhum dos dois casos, contudo, há a garantia de que os reinvestimentos se farão às taxas imaginadas. Os dois métodos apresentam falhas metodológicas que precisam ser bem
conhecidas por quem os usa. Há correntes a favor de um e outro indicador. Van Horne 78 diz: "If a choice must be
made, the present-value method generally is considered to be superior theoretically". Com ele concordam Hirsleifer,
Lorie; Savage, Clóvis de Faro e muitos outros. Grant e Ireson 79 embora sem tomar o partido da TIR contestam a
superioridade do VPL quando dizem: "Some writers in economics, finance, and operation research have taken the
position that present worth (or net present value, as they usually call it) is the only valid method for evaluation of
investment proposals. .. Our position in this book has been that when the rnethods are porperly applied, sound
conclusions can be obtained with a variety of methods ... ".
Esta é também a posiçao de Solomon, quando diz80 " ... the apparent conflict between the two
approaches .results only from differing assump.tions that each makes about the future, If a common assumption is
adopted, both approaches will always rank projects identically". (O grifo é nosso). A solução proposta por este autor
parece-nos racional. Ao invés de usar o pressuposto do VPL, pouco sensato, porque varia de empresa para empresa,
ou o pressuposto da TIR, também pouco lógico, porqu~ varia de projeto para projeto (o autor desvia-se da maioria,
neste aspecto, dizendo que este reinvestimento se dá pelo menos à TIR do projeto mais longo, o que é uma
proposição esdrúxula e não muito bem defendida), sugere ele que se perscrute qual o retorno viável de se obter no
futuro, com os reinvestimentos das devoluções de recursos, que deverá ser aplicado consistentemente a todos os
projetos candidatos. Cada projeto concreto dará lugar assim; a "projetos fantasmas" que transportam todas as
devoluções de recursos, a essa taxa, para uma "data terminal" que coincide com o final do projeto mais longo; o
Valor Presente Líquido, "the over-all rate of return", bem como o Valor Presente Líquido Unitário da nova feição
de cada projeto hierarquizariam as propostas numa mesma ordem, sem nenhum conflito, se os investimentos iniciais
de todos os projetos forem iguais.81
Suponhamos que os Projetos A e B, mostrados na tabela, sejam reformulados por projetos fantasmas de
reinversão de cada uma de suas devoluções de recursos do 10. ao 80. anos e que produzam 20% cumulativamente ao
ano. Suponhamos que a empresa que pretendia esposá-los tenha um custo de capital de 10% e, portanto, se encontre
diante de indicações contraditórias entre o VPL e a TIR. Para k = 10%, 'A' é melhor que 'B', segundo o VPL,
enquanto pela TIR, 'B' supera 'A'. Fugindo aos pressupostos implícitos de reinversão dessas duas técnicas, nos
.utilizaremos agora do pressuposto explícito de reinvestir as devoluções em desacordo com as visões pessimistas e
otimistas, respectivamente, do VPL e da TIR. Usaremos a técnica proposta por SoJomon, imaginando que as
oportunidades futuras não são nem tâo pobres quanto os 10% do custo de capital, nem tão ricas quanto os 47,5 ou
58,7% das TIR's dos dois projetos.
Suponhamos' que dois analistas têm percepções diferentes sobre o futuro. A análise prospectiva do cenário
econômico recomenda reinvestimen!os a 15% para o primeiro e. a 30% para o segundo, para uma dada empresa .
•
77 Esta é a posição de Van Horne, Brigham, Weston and Faro, mas Solomon em seu artigo, The Arithmctie, p. 290, entende que este
reinvestimento é feito pelo menos ao TlR do projeto mais longo presente no problema decisório.
78 Van Horne, Financial, p. 81.
79 Eugene L. Grant and
p.560.
w.
Grant Ireson, PrincipIes of cnginccring~y,
5th. ed, (New York: The Ronald Press Co., 1970),
80 Ver Solomon, "Thc Arithmetie of capital budgct~g decision" In Foundations, Van Horne, p. 290.
81 Ver Renshaw, "ANote on arithmetic of capital budgeting decisions", lounial ofBusincss (July, 1957).
62
A tabela 1-4 nos mostra os valores futuros obtidos na data terminal para estas duas hipóteses distintas de
oportunidades de reinvestimentos futuros.
TABELA 1-4
VALORES FUfUROS NO INSTANTE 8 DOS REINVESTIMENTOS DAS
DEVOLUÇÕES DE RECURSOS DE PElÚODOS ANTERIORES
Reinversão A 30% (1)
Reinversão A 15% (1)
Instantes
Proj. A
Proj. B
Proj. A
Proj. B·
1
266,00
266,00
627,49
627,49
2
462,61
1.156,53
965,36
2.413,40
3
603,41
1.005,68
1.113,88
1.856,47
4
699,60
874,50
1.142,44
1.428,05
5
760,44
304,18
1'.098,50
439,40
198,38
845,00
253,50
.
6
661,25
7
575,00
115,00
650,00
130,00
8
200,00
50,00
200,00
50,00
4.228,31
3.970,27
6.642,67
7.198,31
TOTAL
FONTE:
Cálculo do autor.
NOTA:
(1) Ocorrem sete fantasmas de reinversão para cada projeto.
Os Projetos 'A' e 'B' apresentam agora uma visão muito simples em que todo o investimento está retratado
no instante zero, $ 500 para cada um, e todo o benefício está condensado no instante 8 pelos valores $ 4.228,31 e
$ 3.970,26 ou $ 6;642,67 e $ 7.198,30, respectivamente, conforme o reinvestimento se dê a 15 ou 30%. Cabe-nos
agora estudar os novos valores dos VPL's de 'A' e 'B', extraindo ainda suas novas Taxas Internas de Retornos, que
serão necessariamente unív.ocas.·
Atualizando os valores futuros dos benefícios de 'A' e 'B', a 15 e 30%, respectivamente, do flm do 80. ano
para o fim do 10. ano, e depois prosseguindo na atualização até o instante zero, ao custo de capital de 10%, como
quer Solomon, encontramos:
a) para reinvesti!uentos a 15%:
VPLA = 945,07
VPLB = 856,88
VPLU A = 1,890
VPLUB =
b) para reinvestimentos
1,714
a 30%:
=
VPLA = 462,38
VPLB
VP.LUA =0,925
VPLUB =
542,88
1,086 ".
63
TABELA 1 -r- 5
ESTUDO DAS VARIAÇÕES DE V?L COM 'k' PARA OS
PROJETOS 'A' E 'B' MODIFICADOS PELAS REINVERSÕES
Reinversão A 30%
Reinversão A 15%
k
Proj. A
Proj. B
Proj. A
Proj. B
0,0
3.728,31
3.470,26
6.142,67
6.698,30
10,0
1.472,54
1.352,16
2.598,85
2.858,06
20,0
483,37
423,36
1.044,87
1.174,09
314,32
. 382,44
0,00
29,5630
18,35
30,0
-
13,29
0,00
30,5870
0,00
38,1725
0,00
39,5670
-213,49
40,0
-230,97
~ 49,89
-
12,24
50,0
-335,02
-345,09
- 240,81
- 219,13
100,0
-483,48
-484,49
-474,05
-471,88
-500,00
-500,00
- 500,00
-500,00
00
FONTE:
Cálculos do autor.
NOTA:
Os espaços em branco significam que não houve interesse no cálculo do VPL para aquele projeto, àquela
taxa.
Comprovamos assim a firmação anterior. Na hipótese de reinversão de 15%, o projeto A supera B por
qualquer dos 4 indicadores, Valor Futuro Líquido, Valor Presente Líquido, Taxa Interna de Retomo e Valor
Presente Líquido Unitário, e para qualquer valor de 'k'. Com a hipótese de reinversão a 30%, o mesmo é válido com
relação a B. A hierarquia obtida poderá ser usada para ordenar os projetos, quer eles sejam ou não mutuamente
exclusivos, mas é de extrema importância no primeiro caso.
Observamos que a nova taxa de Fisher foi agora deslocada + 00, nas duas hipóteses. Isto ressalta a importância de ter pelo menos os investimentos do instante .zero iguais (não necessariamente os investimentos iniciais};
quando se comparam projetos.
Esta não é, entretanto, a única solução apontada para este problema. Diversos outros autores, inclusive Van
Home82, postulam uma análise incremental onde se calcula a TIR do fluxo de caixa diferencial dos dois projetos em
análise. Caso esta taxa seja maior que o custo de capital da empresa, deverá ser escolhido o projeto que apresenta
maior VPL ao custo de capital nulo, independentemente de qual seja o valor de sua TIR. Sabemos que a TIR dó
'projeto incremental é a taxa de Fisher, que no nosso caso vale 21,065%. Para kF maior que o custo de capital na
Figura 1-15, vence o projeto cuja curva intercepta o eixo horizontal no ponto mais alto e que no nosso exemplo é o
'A'. Caso contrário, prevalece o 'B'.
82 Van Horne, Financiar,
p. 81-82.
64
Devemos ressaltar que este algoritmo não nos traz qualquer ensinamento novo, com relação ao que já nos
contou a Figura 1-15. Seu único mérito está em calcular a taxa de Fisher como sendo a TIR do fluxo diferencial, o
que requer menos trabalho que o cálculo da interseção das curvas originais dos VPL's de 'A' e 'B'. Esta pequena
vantagem é anulada, entretanto, pelo grave problema das múltiplas inversões de sinal, com a conseqüente possibilidade de múltiplas TIR's, que costumam acontecer em fluxos de caixa diferenciais, o que invalida inteiramente o
procedimento.
Queremos 'embrar que os exemplos numéricos propostos por nós e por Van Horne encerram duas coincidências que merecem destaque. Em ambos, os dois projetos apresentam a mesma inversão inicial e a mesma vida útil,
embora exibam diferentes fluxos de caixa de operação.
A taxa de Fisher nasce do fato de que em ambos os exemplos,
operação crescentes e o outro os tem decrescentes. Já Solomon, em seu
mentos iniciais, mas diferencia os fluxos de caixa de operação e a vida
conflitos entre o VPL e a TIR, quando os investimentos iniciais são também
um dos projetos tem fluxos de caixa de
exemplo, mantém constantes os investiútil. Resta indagar sobre a solução dos
diferentes.
Faro83 nos dá um exemplo desse problema, mas mantém iguais as vidas úteis dos dois projetos. Para sua
solução sugere a adoção de um dos dois métodos acima expostos, com as modificações que o caso requer:
a) a adoção de um projeto fantasma que absorva os recursos sobrantes do projeto de menor investimento,
.com respeito ao investimento do maior projeto. Neste caso, a taxa de geração de resultados desse projeto
fantasma não precisa ser buscada no futuro, mas pode ser o retomo marginal de alternativas economicamente justificáveis, encontradas no presente;
b) o emprego da análise incrementai, na mesma forma descrita acima.
Faro dá a entender que os dois métodos dão o mesmo resultado, mas isto acontece em seu exemplo, porque
ele adota uma taxa muito baixa em sua hipótese de reinvestimento para os projetos fantasmas e que coincide com o
custo de capital ou "taxa mínima de atratividade". As soluções oferecidas pelos dois métodos não devem ser, aqui,
como no caso anterior, necessariamente iguais. A prevalência de um projeto sobre o outro dependerá do valor da
taxa de retomo adotada para os reinvestimentos virtuais imaginados.
Notamos que a técnica dos projetos fantasmas serve para tomar tão comparáveis quanto possível dois
projetos em confronto e, ainda, que há três tipos desses fantasmas:
a) a que levam fluxos de caixa para a data terminal, mesmo quando os investimentos iniciais e as vidas úteis
são iguais. A taxa de reinvestimento é ~ esperada de prevalecer no futuro;
b) os que levam fluxos de caixa para a data terminal, mesmo quando os investimentos são iguais, mas as
vidas úteis são diferentes. Neste caso, a data terminal é a da morte do projeto mais longo e a taxa de
reinvestimento é a esperada de prevaiecer no futuro;
c) os que levam as sobras de investimentos iniciais para a data terminal, quer as vidas úteis sejam iguais ou
diferentes. A taxa de reinvestimento pode ser a que se verifica no presente, cumulativamente com taxas
futuras.
Mencionaremos que na maioria dos casos, dois desses três tipos deverão estar presentes ao processo de
tomar mais comparáveis dois projetos em confronto, e ainda que nos três casos a taxa de reinvestimento do fantasma
pode ser variável de ano para ano, conforme as perspectivas de uma economia cambiante. Diríamos também que, a
rigor, dois projetos só são comparáveis quando têm a 'mesma inversão inicial, a mesma vida útil, a mesma depen-'
dência estatística dos eventos sociais e econômicos, quando interferem de forma equivalente com as atuais atividades
da empresa, quando mantêm abertas para o futuro as mesmas oportunidades técnicas e econômicas e quando
apresentam os mesmos riscos entre outros fatores. Dificilmente encontraremos, na prática, projetos diferentes que
preencham cumulativamente todos estes requisitos.
Brigham e Weston84 são bem explícitos quando apontam as condições em que ocorre conflito entre o VPL
e o rIR, no que concerne às características dos projetos e que são:
:"":)-'--
83 Faro, Engenharia, p. 40-44.
84 Wcston and Brigharn, Managcrial, p. 150, 151, 168.
65
a) o fluxo de caixade um projeto aumenta ao longo do tempo, enquanto o do outro diminui;
b) as vidas esperadas são diferentes;
c) o investimento de um projeto é mais alto que o do outro.
São também taxativos quando afirmam84 : "The correct choice of methods for the firm to use thus depends
upon which reinvestment rate is closest to the rate that the firm will be able to earn on the cash flows generated by
its projects ... "84 "When capital rationing is imposed, we cannot assert with confidence whether the NPV or the
IRR method will give better results. However, if the oportunity cost of cash flows - the highest available returns
on projets that cannot be undertaken because of capitallimitations
- are quite high, well above the cost of capital,
then the IRR method will probably make 'better' selections. If the oportunity cost of cash flows is close to the cost
of capital, then the NPV will be better". Embora eles mencionem que o valor da firma é o valor presente do valor
terminal , fruto do reinvestimento escolhido
e falem de uma rentabilidade marginal economicamente disponível, eles
.
não adotam o projeto fantasma, como fizeram Solomon e Faro. Este procedimento se constitui, a nosso ver, numa
solução inteligente para o problema, inclusive para os casos em que dois projetos apresentam mais de uma taxa de
Fisher.
Outra dificuldade importante da TIR diz respeito à possibilidade de ocorrência de múltiplas raízes reais e
positivas para a equação doVPL, como já vimos em exemplo anterior.
Para um projeto com três fluxos de caixa FO' F I e F2nos instantes O, I e 2, respectivamente,
VPL está dada por:
.-
a equação do
.
.
Para encontrarmos suas raízes, igualamos esta expressão a zero e 'verificamos que caímos na clássica equação
do 20. grau, ax2 + bx + c =0, que apresenta sempre duas raízes. Quando o discriminante b2 - 4ac é positivo, as duas
raízes são reais e diferentes, caso contrário, são imaginárias. No caso bem particular em que o discriminante é nulo,
temos duas raízes reais e iguais. E este é um caso singelo. Para o caso de 4 fluxos, Fo, Fi, F~ F3' teríamos:
e
VPL = FO k3 + (3FO + FI) k2 + (3FO + 2FI + F2) k + (FO +FI'+
F2 + F3)
que conduz a três raízes iguais ou diferentes, reais ou imaginárias.
Para o caso genérico de n+l fluxos, a equação do Vl'L teria a expressão genérica seguinte:
n+l
VPL = FOkn + ...
+ (~ "Fi)
o que ensejaria 'n' raízes.
i= O
Conceituar a TIR como "a raiz" da equação que expressa o VPL, como fizemos acima, é uma liberalidade
perigosa que agora reparamos. A rigor, somente quando todas as raízes reais e positivas forem iguais, poderemos falar
na "verdadeira", "genuína" e ."correta" Taxa Interna de Retorno. Quando existirem várias, nenhuma delas terá
qualquer utilidade, como guia para decisão de investiment085 .
•
Colocamos no Anexo 6.6 um programa para o computador de bolso HP-25, para cálculo, por iteração
interna tentativa, da TIR de fluxos convencionais com até cinco termos, podendo também servir para o cálculo da
TIR de fluxos não convencionais que represente a abscissa da interseção de um trecho descendente de sua curva do
VPL.
.
84 Weston and Brígham, ManagclÍal, p. 150, 151, 168.
85
Ver Grant and Ireson, PrincipIes, p. 557.
66
1.5.4.6 - O Retorno Sobre o Capital Investido
- RIC
Sobre o tema "múltiplas TIR's" há muitos trabalhos, mas um deles se destaca dos demais pela objetividade
e pela contribuição que trouxe ao estudo do problema. Referimo-nos a dois artigos de Teichroew, Robichek e
Montalbanof 6, a quem chamaremos doravante de TRM, cuja metodologia já começa a surgir nos bons textos de
Fínançasâ".
A Lei dos Sinais de Descartes88 para raízes de polinómios em 'x', já nos informava que a quantidade de
suas raízes reais e positivas está limitada pelo número de mudanças de sinais verificados, quando percorremos o
.polinômio,em
sua forma ordenada, do termo em xO ao em xn, ou vice-versa. Polinômios com duas inversões de
sinais apresentam nenhuma ou duas raízes, reais e positivas. Polinômios com três inversões de sinal exibem urna
ou três raízes reais, positivas. Polinômios com quatro inversões de sinais, possuem nenhuma ou duas ou quatro
raízes reais e positivas. Induzindo, um polinômio com 'n' inversões de sinal apresenta O ou 2 ... ou n-2 ou 'n'
raízes reais e positivas, se 'n' for par, e 1 ou 3 ... ou n-2 ou 'n', se 'n' for ímpar. Mas qualquer polinômio apresentará, pelo menos, uma raiz real, pcsitiva, se o termo em xn tiver coeficiente negativo e o termo em XO o tiver
positivo. Observando o polinômio para o caso genérico apresentado acima, verificamos que o termo em kn tem
por coeficiente o investimento do instante zero, que é sempre negativo para projetos de investimento e que o termo
em kO é a soma dos fluxos históricos de caixa que deve ser sempre positiva para projetos de investimento, porque
é o valor do VPL a um custo de capital nulo e representa o valor da interseção no eixo vertical. Sendo esta interseção positiva, o projeto de investimento apresentará, pelo menos, uma interseção no eixo horizontal. Se, no
entanto, a curva do VPL apresentar um valor negativo para k = O, não há certeza de que ela apresente, pelo menos,
uma TIR positiva.
O fato de ter uma só TIR real e positiva não implica que ela tenha significado financeiro (é o caso do'
projeto -100+400-600+800),
bem assim, o fato de ter mais que uma inversão de sinal, não determina a existência
de mais de uma TIR real e positiva (é o caso do projeto -100+110-1.8+84),
como mostra a técnica de TRM, que a
seguir resumimos.
Os autores cunharam em seus trabalhos as seguintes nomenclaturas:
a) projeto: oportunidade
de investimento, de financiamento ou ambas;
b) saldo do projeto (Sj): é o somatório dos valores futuros calculados no instante 'j', à Taxa Interna de
Retorno, de todos os fluxos de caixa, positivos e negativos, ocorridos no instante 'j' e anteriores a
T. Representa a quantia investida ou extraída do projeto até o final do período 'j';
c) valor futuro (Sn): é o saldo do projetocalculado
em 'n', último instante do projeto;
d) .projeto simples: o que tem o fluxo do instante zero, FO, com sinal diferente de todos os outros fluxos
de FIa Fn; investimento simples é, pois, aquele que tem uma "saída" no instante zero, seguido de
"entradas" em todos os outros instantes;
e) projeto não simples: o que tem fluxos de FI a Fn, com sinais misturados; investimento
apresenta, portanto, algum sinal negativo entre FI e Fn;
não simples
f) taxa interna de retorno, TIR: qualquer taxa que torna o VPL nulo;
g) projeto puro: o que tem, quando usada a taxa TIR, todos os "saldos do projeto", com um mesmo sinal,
podendo ser nulos, para todos os instantes de O a 11-1; investimento puro é o que tem, para TIR, todos
os Sj < O para todos os instantes de O a n-l; investimento puro é aquele que requer recursos investidos
durante toda a vida do projeto;
86 Daniel Teichrocw, Alexander A. Robichek, Míchael Montalbano, "Mathematical analysis of rates of retums under certainty",
Managellll'nt Scicncc 11, n9 3 (J an, 1965): 365 -403, e
Teichrocw, Robichck, Montalbano, "An Analysis of critcria for ínvcstment and financing decisions under certainty", Managerncnt
Sciencc 12, n9 3 (Nov. 1965): 151-79.
87 Ver Mao, Quantitativc, p. 197 -212.
88 Ver Grant and Ircson, Principies, p. 556 c
-Quirin, ~3pital,
p.56.
67
h) projeto misto: é aquele que apresenta os "saldos do projeto" com sinais diferentes (Sj ~ O) para todos os
instantes de O a 11, quando calculado para qualquer das TIR's; nos períodos em que Sj < O, o projeto é
de investimento e está absorvendo recursos da empresa, mas naqueles em que Sj > O, o projeto é de financiamento, porque está emprestando dinheiro à empresa,
Todo investimento simples é um investimento puro, mas entre os investimentos não simples há investimentos puros e mistos. A classificação entre simples e não simples é feita visualmente, de acordo com as definições
acima. A classificação entre puro e misto se faz através do algorítrno abaixo:
a) calcular uma Taxa Interna de Retorno postiva, sem a preocupação de saber se há uma ou mais. Havendo
díficuldade em encontrá-la, construir o gráfico VPL = f (k) no intervalo O a + 00, pois como já dissemos
acima, alguns polinômios não têm raízes reais, como é o caso do fluxo -100 + 200· - 150;
b) calcular todos os Sj's com o emprego da TIR encontrada.
sempre nulo;
O cálculo de Sn é dispensável porque ele é
.
c) observar os sinais de Sj. Se todos forem negativos ou nulos, o projeto é um investimento puro, quer seja
simples ou não simples, e tem uma só TIR com significado financeiro; se surgir pelo menos um Sj > O,
o projeto é misto de investimento e financiamento, e é sempre um investimento não simples; pode haver.
uma só ou mais TIR's mas, em nenhum dos casos, este indicador tem utilidade em análise de investimentos.
ilustremos isto com os exemplos abaixo:
Prójeto D
-500
+200
+400
+200
Projeto E
-100
+110
-
+ 84
Projeto
-100
+400
-600
F
18
+ 800
Os três são supostamente projetos de investimento porqueFx«; O. O· projeto D é simples e forçosamente
será um investimento puro. O projeto E é um projeto não simples, puro, que apresentará uma s6 TIR positiva com
significado financeiro, a despeito de exibir três inversões de sinal. O projeto F é um projeto não simples, misto, que
apresentará uma s6 TIR positiva, apesar de ter três inversões de sinal; a Unicidade da TIR positiva vai, no entanto,
se revelar inútil porque sendo F um projeto misto, uma só taxa não deve ser empregada simultanemente para os trechos em que o projeto é investimento e naqueles em que é fmanciamento.
.
.
TABELA 1-6
A APLICAÇÃO DA TÉCNICA DE TRM A TImS PROJETOS HIPOTÉTICOS
Projeto D
Projeto E
Projeto F
FO
-500,00
-100,00
-100,00
FI
+200,00
+110,00
+400,00
+400,00
-
18,00
-600,00
+200,00
+ 84,00
+800,00
+300,00
+ 76,00
+500,00
TIR (%)
+ 27,4208
+ 40,0000
+ 188,1250
So (TIR)
-500,00
-100,00
-100,00
SI (TIR)
-437,10
30,00
+ 111,88
S2 (TIR)
-156,96
-
60,00
-277,66
Parâmetros
F2
F3
•
~Fi
S3 (TIR)
0,00
0,00
0,00
FONTE: Proposições e cálculos do autor.
I,
--.~'~
68
Como era de se esperar, todos os "saldos do projeto" para a proposta 'D' são negativos ou nulos. Para 'E',
constatamos a mesma coisa, o que nos permite ratificar a afirmação anterior de que é um projeto não simples,
puro. Já o. projeto 'F' apresenta SI = + 111,88, indicando que no intervalo que vai do instante 1 ao instante 2, o
projeto está emprestando recursos a seus financiadores, ao invés de deles absorver recursos. No período indicado,
ele é um projeto de financiamento e não de investimento, daí sua classificação como projeto misto. Para este último
projeto, portanto, não é lícito dizer-se que 188,125 % é sua Taxa Interna de Retorno, porque ela não deve ser aplicada ao período em que há financiamento, uma vez que os financiadores do projeto não tomariam o empréstimo de
$ 111,88, a juros tão altos quanto sua TIR.
Analisemos, num último exemplo, o projeto 'C', já apresentado anteriormente e com três TIR's. Segundo
a técnica de TRM, a indicação de que o projeto é misto deve surgir, qualquer que seja a TIR usada, o que demonstraremos adiante. Relembrando a configuração do projeto, temos:
180,00
FO
=
=
=
=
=
=
=
FI a F5
F6 a FIO
Fll a F19
F20
TIRl
TIR2
TIR3
+ 100,00
100,00
0,00
200,00
1,8605
14,3480
29,0220
TABELA 1-7
APliCAÇÕES
DA TÉCNICA DE TRM AO PROJETO 'C' COM TR.eSTIR's
Parâmetros
Para TIRl
Para TIR2
Para TIR3
80 (rIR)
-180,00
-180,00
-180,00
SI (rIR)
- 83,35
-105,83
-132,24
S2 (rIR)
+ 15,10
-
- 70,62
S3 ('rIR)
+115,38
+ 75,98
+
S4 (rIR)
+217,53
+ 186,88
+111,47
S5 (rIR)
+321,58
+313,69
+243,82
S6 (rIR)
+227,56
+258,70
+214,58
S7 (rIR)
+131,79
+195,81
+176,85
S8 (rIR)
+ 34,24
+123,91
+.128,18
Sg (rIR)
- 6~12
+ 41,69
+ 65,38
S10 (rIR)
-.:.166,33
- 52,33
- 15,65
S11 (rIR)
-169,43
- 59,84
- 20,19
S12 (rIR)
-172,58
- 68,42
- 26,05
S13 (TIR)
-175,79
-: 78,24
- 33,62
. S14 (rIR)
-179,06
- 89,47
- 43,37
S15 (rIR)
-182,39
--102,30
- 55:;J6
. S16 (rIR)
-185,78
-116,98
-72,20
S17 (rIR)
-189,24
-133,77
- 93,15
S18 (rIR)
-192,76
-152,96
-120,19
S19 (TIR)
-196,35
-174,91
-155,07
e
S20 (rIR)
FONTE: Cálculos do autor.
0,00
.
21,01
0,00
"
.,
8;89
0,00
69
Constatamos, portanto, o surgimento das indicações de que o projeto assume posição credora, frente aos
financiadores, qualquer que seja a TIR utilizada. Os montantes e os períodos dos empréstimos diferem de escolha
para escolha, mas estas são unânimes em afirmar que a Taxa Interna de Retorno não tem sentido e deve ser
substituída por um indicador intensivo mais refinado.
Na nova técnica TRM propõem um tratamento diferencial para os trechos de financiamento e de investimento de um projeto misto. Para o primeiro, falam do "Project Financing Rate - PFR" e para o segundo, do
"Project Investment Rate - PIR". Ma089 identifica o primeiro com o custo de capital da empresa e o scjundo
com a taxa de retomo do trecho de investimento, à qual chama de "Return on Invested Capital - RIC" nomenclatura e notação que passaremos a adotar. A empresa tomaria por empréstimo ao seu custo de capital, as sobras
líquidas de recursos, Sj, do projeto em cada ano da vida deste, quando ocorrerem.
A nova técnica cria um mecanismo mais abrangente que a TIR, passando esta a ser um caso particular do
RIC para os projetos puros. Quando o "saldo do projeto" é negativo, ele deve ser composto a RIC, mas quando o
saldo é positivo, ele deve ser composto a 'k'. Para projetos puros não há necessidade da utilização do operador
1 + ke a TIR independe do custo de capital da empresa. Quando o projeto é misto, 'k' participa da composição do
valor futuro, Sn, ao lado de RIC. Sn é, portanto, uma função de'k' e de RIC. Estipulado'k' e impondo-se a condição de Sn = 0, surge RIC como raíz dessa equação, à semelhança da TIR e que pode ser calculado do mesmo
modo. Só que agora os trechos de fmanciamento, devidamente identificados, são tratados diferencialmente na
montagem de Sn.
Os autores mencionam uma outra forma de separar os projetos não simples em puros e mistos e que é
indispensávelao cálcul~ do RIC.
Sempre que FO<O, podemos tornar nulos ou negativos os "saldos do projeto" de SI a Sn-l, desde que
ajustemos a taxa de capitalização empregada. Evidentemente, como esta taxa não é necessariamente uma TIR, o
Valor Futuro Sn, não será necessariamente nulo.
Chamaremos de Rmín a menor taxa que é capaz de obter a condição acima, lembrando que isto significa
que pelo men,?sum Sj de SI a Sn.l será nulo e os demaisnegativ:os.
Quando o projeto é puro, como por exemplo, os projetos De E, seus SI a Sn-l são negativos quando
calculados à TIR, mas, usualmente· entre eles não há nenhum valor nulo. Logo a TIR não é o Rmín. Para encontrá-lo, teremos que experimentar taxas menores que a TIR, que capitalizem menos intensivamente FO para o
futuro, o que determinará, então, pelo menos um valor nulo para um Sj situado entre SI e Sn-l e um valor positivo
para Sn.
.
Projeto puro é, agora, o que apresenta Sn ~ 0, calculado à Rmín, e Rmín
< TIR.
°
Quando o projeto é misto, como o projeto F, ele apresenta pelo menos um Sj > no trecho SI a Sn_},
calculados à TIR. Para tornar esse Sj nulo é necessário elevar-se a taxa para exacerbar a negatividade de FO, nos
instantes futuros. Encontrado Rmín, teremos pelo menos um Sj = entre a série SI a Sn-l, mas teremos
Sn <O e Rmín> TIR.
°
Notamos, de logo, que, para um dado projeto, Sn como função de RIC, é um polinômio de grau menor
que a VPL como função da TIR, porque cada Sj capitalizado a 'k' (e há pelo menos um em qualquer investimento
misto), contribui para a queda de um grau de polinômio de Sn.
O algoritmo propost090 para o cálculo do RIC, acrescido das elucidações que julgamos convenientes, se
decompõe nas etapas seguintes;
a)"encontrar por tentativa e erro uma taxa Rmín que 'torne todos os Sj <
decimal; .
b) calcular os Sj's do projeto, de So a Sn, com o Rmín encontrado;
89 1I1ao,~1titative,
p. 205.
90 -,
--,
p. 202-203.
° exceto Sn; expressá-lo na :orma
70
c) analisar o sinal de Sn (Rmín):
.se Sn (Rmín);;;;' 0, o investimento é puro; calcular a TIR pelos métodos tradicionais de tentativa e erro,
ou de interpolação e encerrar o problema.
se Sn (Rmín) < 0, o investimento é misto; definir o custo de capital 'k', expresso em termos decimais,
para capitalizar os "saldos dos projetos" nos períodos de fmanciamento e empreender o cálculo do
me,
d) fazer So = FO
So e FO são sempre negativos para projetos que se iniciam como Investimento;
e) expressar SI sempre com o operador (1 + RfC):
. SI = So (1 +ruC) + FI;
t) estimar o possível valor de SI (RIC) e conseqüentemente
o seu sinal, substituindo
RIC por Rmín na
expressão de SI:
a lógica desta substituição está no fato de que ruc não pode ser superior a Rmín' da mesma forma
que a TIR. não pode ser superior a Rmín em projeto misto. A taxa Rmín faz com que o projeto se
torne puro, a esta taxa, pois faz todos os Sj ~ para j de 1 a n-J; esta estimativa de sinal não é sempre
correta pois depende da magnitude de SO, de FI e do afastamento de RIC do Rmín' mas é uma boa
indicação do sinal de SI, para efeito de decidir como .calcular S2; a veracidade desta estimativa será
comprovada em outra etapa deste algoritmo. Caso não se confirme a natureza do sinal, o que é infreqüente, repetir-se-á todo o cálculo, alternando-se a presunção anterior;
°
g) expressar S2 com uI?a das equações abaixo:
para SI <O
°
para SI ;;;;.
S2=St{1
I
+k)+F2=I[S0(1
+ RI C) +F1]
(l+k)+F2;
h) estimar o possível valor de S2(ruC) para conhecer-lhe o sinal, substituindo
adequada ao caso:
ES ;::: [So(1 + Rmín) + F il (1 + Rmín) + F2
2
RIC por Rmín na equação
.
ou
ES ;::: [So (1+ Rmíu) + FI] (1 + k) + F2;
2
a obtenção de um valor nulo para ES' a Rmín, indica que o instante j' é aquele que apresenta o mais
alto valor positivo para SjCTIR) e umJvalor nulo para SjCRmíu); este valor nulo se considera, por convenção, como positivo, embora considerá-lo cornó negativo, não trará qualquer diferença no cálculo de
S· + I:
J
.'
i) repetir as etapas h) e i), mudando-se o que se tem de mudar, até chegar a Sn que se expressará por:
Sn;::: Sn-l (1 + RIC) + Fn
se Sn-l
<
°
não é necessário analisar o intervalo de variação de Sn;
°
j) encontrar as raízes positivas de Sn :::f(RIC) =
°
por tentativa e erro; é conveniente construir a tabela
Sn x RIC para o intervalo
a + 00 com vistas ao convencimento sobre a univocidade dessa raiz; esta
raiz positiva é, normalmente, única porque Sn, como função de RIC, se apresenta usualmente com
todos os coeficientes negativos, exceto para o termo em RICO, exibindo assim, uma s6 inversão de
sinal; estes fatos implicam na existência de uma só raiz real e positiva; a existência de mais de uma
raiz positiva implica no abandono do método; a indicação do R1Cé integralmente concordante com
a indicação do VPL. Se RIC > k então Vl'L > e vice-versa;
°
71
k) calcular Sj = f(RIC) para j = 1 a 'n', a fim de confirmar as suposições sobre os seus diversos sinais;
havendo discordância, repetir o cálculo, alterando convenientemente os pressupostos incorretos.
Este algoritmo pode ser substituído por um simples programa de computador que permite varrer tentatívamente o intervalo O a + ocPJo e que permite calcular o valor de todos os Sj, praticando automaticamente os
modos de capitalização, conforme seus sinais. Por tentativa se consegue uma taxa que faz Sn O e que é o RIC.
=
Um tal programa, para uma grande quantidade de fluxos, é fácil de fazer-se em FORTRAN, que conta
com o poderoso comando DO. Registramos, no Anexo 6.7, um programa para o computador de bolso HP-25, que
é capaz de trabalhar com até 5 fluxos de caixa, de Fo a F4 e calcular o RIC, enquanto no Anexo 6.8 há um outro.
programa que calcula RIC para qualquer mínimo de fluxos de caixa.
.
.
,
Passemos a uma ilustração numérica, considerando o exemplo do projeto F da Tabela 1-6. Sabemos que ele
é um projeto misto, com uma s6 TIR, mas sem significado financeiro. Vamos calcular o seu RIC:
a) cálculo de Rmín por tentativa e erro:
Rmín = 300%
b) cálculo de So a S3 à Rmín
So (~lÍl)
SI (Rmí~=O
= - 100
S3 (Rmí~
S2 (RmínY = - 600
= - 1600 < O (projeto misto)
c) o projeto tem confirmada sua condição de projeto misto;
d} definição do custo de capital k = 0,10 = 10%, por exemplo
e) fazer So = FO
SO= -100<0
1) expressar SI com o operador (1
SI = -100
(1
+ RIC)
+ RIC) + 400
g) estimar o possível sinal de SI (RIC)
ES 1 = - 100 (1
+ 3) + 400 = O
h) expressar S2 com o operador (1
S2 = SI (1
+ k)
+ 0,1) - 600 = [- 100 (1 + RI C + 400] 1,1 - 600
i) estimar o possível sinal de S2 (RIC)
ES
2
= [ - 100 (1
+ 3) + 400 ] 1,1 - 600 = - 600 < O
j) expressar S3 com o operador (1 + RIC)
S3 = S2 (1
=
+ RIC) + 800
[r -100
. = -110
(1
=
+ RIC) +40~] 1,1 - 600} (1 + RIC) + 800
RIC2·-
380 RIC
=
+ 530 = O
k) .encontrar a raíz positiva '
RIC :;;, 1;06587 ou 106,587%
esta é' a única raiz positiva desta equação do 20. grau; a outra vale -4,520
donada;
e é automaticamente
aban-
72
1) calcular Sj = f(RIC) para
T de 1a 'n'
SI (RIC) = 193,41
.So (RI C) = -100,00
(projeto misto)
S3 (RIC) = 0,00
S2 (RIC) = - 387,25
estão confirmadas as suposições de sinal adotadas no presente cálculo.
o Retorno sobre o Capital Investido - RIC, isto é, sobre os trechos da vida do projeto em que ele funciona como projeto de investimento, é de 106,6% (supondo-se um custo de capital de 10%) e não de 188,1% como
quer sua Taxa Interna de Retorno.
Contamos agora com um novo indicador intensivo de mérito, o RIC, mais elaborado que a TIR, do qual ela
é um caso particular.
A técnica de Solomon antes mencionada, seria, também, uma solução alternativa para este problema.
O transporte para a data terminal de todos os fluxos positivos, e só destes, a uma taxa adequada às perspectivas futuras, eliminaria todas as inversões de sinal, exceto uma que é índíspensãvel à existência de qualquer projeto simples,
transformando assim qualquer proposta num projeto puro. Esta solução aplicada ao problema F em questão nos dará
os seguintes resultados:
a) fluxo original:
-600
+400
-100
+800
b) fluxo modificado pela reinversão dos fluxos positivos, à taxa de 10% e até à data terminal:
o
-100
1284
-600
c) taxa interna de retorno única e com significado financeiro do fluxo modificado:
TIR
=
53,6009%
Antes de comentarmos a diferença entre o valor do RIC e da TlR de Solomon acabados de calcular, vamos
resumir uma outra ilustração numérica para o cálculo de RIC.
Suponhamos o projeto G:
a) Fluxo de caixa:
-1300
+ 1200
+ 1100
-1000
b) taxa interna de retorno única e sem significado financeiro:
TIR ::::65,80176%
c) "saldos do projeto" à TIR:
SI (rIR) = -558,02
So (TIR). = - 1.000,00
• S2 (TI R) = + 274,80 >0
S4 (TIR) = 0,00
I S3 (TIR) = -~44,38
L (projeto misto)
d) taxa mínima para tornar o projeto puro:
Rmín = 77,5765%
e) "saldos do projeto" à Rmín:
So (Rmín)
= - 1.000,00
S2 (Rmín)
= 0,00
. Sl(Rmín)
S3(Rmín)
= -675,77
= - 1.300,00 .
+ 1400
73
S4 (RmíyJ
= - 908,49
<O
+
projeto misto
f) retorno sobre o capital investido, supondo-se um custo de capital de 10% e, conseqüentemente,
reinversão dos Sj > O a esta taxa:
uma
RIC = 60,5243%
g) "saldo
(11)
projeto" à RIC:
SI (RIC)=
So (RIC) = - 1.000,00
+388,?6
I
S3(RIC)
L..;,.., projeto
= 0,00
- 505,24
= -872,14
misto
h) equação de Sn como função de RIC :
Sn = -1.100
RIC3 - 2_090 RIC2-
860 RIC + 1.530
i) fluxo de caixa modificado pela técnica de Solomon, considerando uma reinversão dos fluxos positivos a
10% e até à data terminal:
-1.000
o
O
-1.300
+4.316,10
j) taxa interna de retorno do fluxo de caixa modificado:
TIR = 27,66595%
Notamos que há sensível diferença entre os valores do RIC de TRM e da TIR de Solomon: 106,6% contra
53,6% para o projeto F e 60,5% contra 27,7% para o projeto G, respectivamente.
À luz desses dois casos, consideremos as principais diferenças entre os dois métodos:
a) a taxa de reinversão na técnica de TRM é .sempre o custo de capital da empresa, significando que os
recursos que esta toma emprestado ao projeto para aplicações em outras oportunidades só lhe são pagos
a essa taxa. As diferenças de retorno que forem obtidas com as novas oportunidades premiarão a
empresa, mas não serão atribuídas ao projeto sob análise. Já para Solomon, a taxa de reinversão não é
necessária nem normalmente o custo' de capital, mas a que retrata a conjuntura de oportunidades de
inversões, ao tempo em que forem geradas as sobras, e premiam o projeto e não a empresa. Usamos
10% em nossos dois exemplos apenas para tornar comparáveis os pressupostos de reinversão ;
b )os valores reinvestíveis diferem também nos dois casos: Solomon usa os fluxos de caixa positivos, que
são devoluções dos recursos aprisionados pelo projeto, independentemente da ocorrência da recuperação
total dos recursos nele investidos; TRM considera o "saldo do projeto", isto é, o "balanço", entre os
recursos entrados e saídos do projeto, como sobras reínvestíveis;
c) os prazos de reinversão são considerados de forma diversa, nos dois métodos: para TRM o empréstimo
de Sj > O é feito só por um período e a análise das disponibilidades é feita ao final de cada período.
Solomon pratica um reinvestimento dos fluxos de caixa positivos até o final da vida do projeto, até
sua data terminal.
.
Os dois métodos diferem sensivelmente entre si, quando se trata de aferir o mérito intensivo de um projeto.
Esta dificuldade, entretanto, inexiste quando a intenção é comparar dois ou mais projetos, desde que sejam aplicados consistentemente ao pacote de propostas de investimentos.
74
1.6 -
CLASSIFICAÇÕES DE PROJETOS E DE SUAS INTERAÇÕES TÉCNICAS E ECONÔMICAS
1.6.1 - UMA TENTATIVA DE CLASSIFICAÇÃO GLOBAL
Este ângulo do estudo é de notável importância para o estudo de Racionamento de Capital, porque traz
implicações sérias para a lógica e para as regras que decidem as escolhas de projetos e pacotes de projetos feitas sob
essa condição.
Formamos nossa opinião através da leitura de vários autores, como Far091, Lorie e Savage92, Bierman e
93
. Srnidt , Van Horne'i+, Brigham e Weston95, Mao96, Grant e Ireson97, Weingartner98, Peterson e Haydon99,
Quirin100, Dean101, Manual da OECDI02 e Hess et alii103.
Ao invés de citarmos suas opiniões uma a uma, no que há muitas superposições, julgamos mais conveniente
fundi-las num só corpo de idéias, acrescendo-as de outros aspectos não tratados por esses autores, mas que julgamos
merecedores de menção. Dessas classificações, que listaremos abaixo sem maiores detalhes, escolheremos as que
julgamos mais relevantes para o estudo do Racionamento de Capital, a fim de desdobrá-las em seus aspectos
particulares e revelarmos os conceitos que lhe são próprios.
Sem pretendermos esgotar o assunto, sugerimos o seguinte esquema para a classificação de projetos em
geral, e de projetos de investimento, em particular:
1.6.1.1 - Quanto às Características Individuais de um Dado Projeto visto Isoladamente
Qualquer Outro, segundo:
de
.
a) a natureza de seus objetivos e seu caráter privado ou estatal;
b) os seus efeitos germinativos sobre a economia e seu impacto sobre o balanço de
pagamentos;
c) o conjunto de recursos produtivos nele empregados;
d) o grau de democratização de seu capital;
e) a nacionalidade de seu capital;
f) o seu comportamento
face ao início e ao fim de crises econômicas;
g) a destinação geográfica de seus produtos e origem de seus principais insumos;
h) a sua agressividade ao sistema ecológico e aos recursos naturais não renováveis;
91 Faro, Ellgenharia,p. 16-20,59-60.
92 Lorie and Sayage, Three problcms, p..296,298,299, 304.
93 Bierman and Smidt, The Capital, 3rd. ed., p. 74-94,351-58.
94 Van Horne, Financiai,p. 76.
95 Brighamand Weston, Managerial,p. 140-42.
96 Mao, Quan~itative.p. 196~201.
97 Grant and lrcson, PrincipIes,p. 214,546,554,555.
98 Weingartncr,MathcmaticaI,p. 11,19,37.
99 D. E. Pcterson and R. B. Haydon, A Quantitative frarnework for fmaneiaI managemcnt (Hornewood, lJIionois: Richard Irwi ,
Inc., 1969), p. 16-17.·
---,
10°Quirin,Thc Capital, p. 79, 177, 179.
101Joc1Dean, Capital budgeting (New York: CoIumbia UniversítyPrcss, 1962), p. 82-88.
102_
-UECD,Manual,p. 92-93.
103Gera1doHesset alíi,§Egcnharia econômica (Rio de Janeiro: Forum Editora, 1973), p. 129-31.
<or'
75 -
i) o grau de liberdade na decisão de implementá-lo;
j) o controle governamental sobre suas variáveis econômico-financeiras;
k) o estímulo ou desestímulo governamental ao setor em que se insere;
1) a regulamentação que lhe é imposta pelas normas técnicas;
m) a acessibilidade e o nível da tecnologia nele empregada;
n) o dinamismo da evolução tecnológica no seu setor;
o) a existência e importância das economias de escala em seu setor;
p) a influência de antecipações ou posposições na sua implantação;
q) a sua liberdade ou coerção locacional;
r) o perfil de seu fluxo de caixa;
s) a confiabilidade da mensuração de seus fluxos de caixa;
t) a natureza determinística ou probabilística de seus fluxos de caixa;
u) a destinação dada aos recursos por ele absorvidos;
v) a magnitude e estrutura de seus ativos e seu grau dealavancagem operacional;
w) sua estrutura do passivo e seu grau de alavancagem financeira;
x) a duração de seu planejamento, implantação e maturação;
y) a duração da vida útil de sua planta ou da vida mercadológica de seus produtos
ou serviços;
z) a variabilidade estacional de suas receitas e despesas;
aa) as modificações por ele provocadas no risco operacional, financeiro e conjunto
da empresa-mãe;
ab) a sua eficiência no uso dos recursos financeiros e seu impacto na riqueza do
acionista;
ac) a disponibilidade e requerimentos de recursos físicos, financeiros e tecnológicos
para sua implantação;
ad) os requerimentos de modernas técnicas de gerência nos seus diversos segmentos
administrativos;
ac) a inscrição de seus investimentos dentro dos tetos orçamentários dos períodos
em que deva ser implantado.
1.6.1.2 - Quanto às Características do Relacionamento entre Projetos em Função:
a) da existência ou não de racionamento de capital;
b) da abordagem determinística ou probabilística desse relacionamento;
c) da dependência de eventos macroeconômicos que afetam seus fluxos de caixa e
seus valores em Bolsa;
.
d) da interação física ou técnica;
e) da interação econômica e financeira;
76
f) da comparabilidade
1.6.2 -
dos projetos.
DESDOBRAMENTOS DE ALGUMAS CLASSIFICAÇÕES DE PROJETOS
Enfocaremos com mais detalhes, a seguir, aquelas classificações que têm maiores implicações para o estudo
de Orçamento e Racionamento de Capital, o que faremos, primeiro, sob um enfoque individual, observando um
projeto, sem preocupações com qualquer fenômeno decorrente de sua presença frente a outro projeto, mesmo que
seja a atividade preexistente da empresa que eventualmente vier a adotá-lo.
1.6.2.1
Classificação de um Projeto,
mentá-lo
1.6.2.1.1
Segundo o Grau de Liberdade na Decisão de Imple-
- Visão Interna da Empresa
a) projetos obrigatórios por determinação legal ou contratual, ou por
sentença judicial;
b) projetos obrigatórios,
acidentes e sinistros;
para recuperação
de ativos destruídos por
c) projetos não volitivos, decorrentes da necessidade de substituição
de ativos fixos de vida útil mais curta que a planta, como um todo;
d) projetos não volitivos, relativos à recomposição de ativos de giro
consumidos por prejuízos e indispensáveis à continuação da atividade do projeto;
e) projetos facultativos que englobam a aquisição só de ativos de giro
ou só de ativos fixos ou de ambos. Incluem-se nesta categoria os
projetos já iniciados cuja completação não é considerada obrigatória, e a própria atividade preexistente cuja continuação também
não é compulsória.
1.6.2.1.2
Visão Externa da Empresa:
a) projetos livremente acessíveis à iniciativa privada;
b) projetos que dependem de autorização ou de concessão governamental;
c) projetos vedados à iniciativa privada;
d) projetos proibidos a pessoas e grupos;
1.6.2.2
•
Classificação de um Projeto em Função da Influência da Antecipação ou Posposição
na sua Implantação
1.6.2.2.1
- Projetos indiferentes
São os que não têm seu mérito afetado pela decisão, de adotá-los
agora ou depois, ou por um ritmo de implantação mais rápido ou
mais lento;
.
1.6.2.2.2
- Projetos sensíveis
São os que têm o seu mérito econômico-financeiro
ca e pelo ritmo de sua implantação;
influído pela épo-
a) projetos antecipáveis têm o seu mérito incrementado
trar mais cedo em operação;
quando en"~O
.'
77
b) projetos adiáveis vêem o seu mérito mantido
quando têm posposto o início de sua operação.
1.6.2.3 -
ou aumentado
Classificação de um Projeto Segundo o Perfil de seu Fluxo de Caixa 104
1.6.2.3.1
Projetos de Investimento
São aqueles que têm uma saída de caixa, FO
fluxo de sua corrente de fluxos:
<
0, como primeiro
a) projetos convencionais são os que apresentam uma só inversão de
sinal. São sempre projetos puros e apresentam uma só TIR, com
significado financeiro, ainda que traduzindo prejuízo:
i) projetos simples são os que apresentam todo o investimento
concentrado no primeiro fluxo da corrente, que é seguido
sempre por fluxos nulos ou positivos;
ii) projetos não simples são aqueles que exibem
tivo além do primeiro, mas que têm todo o
centrado consecutivamente nos 'n' períodos
seguem-se, obrigatoriamente, fluxos nulos ou
algum fluxo negainvestímentoconiniciais, aos quais
positivos;
b) projetos não convencionais são os que apresentam duas ou mais
inversões de sinal, e como tal apresentam algum investimento além
do primeiro fluxo negativo, mas que se encontra misturado a fluxos positivos. Podem apresentar uma só TIR com ou sem significado financeiro, ou múltiplas TIR's, todas sem utilidade em Finanças:
i) projetos simples não podem surgir nunca neste caso;
ii) projetos não simples são forçosamente
investimento não convencionais:
todos os projetos de
projetos puros são os que se comportam sempre como absorvedores de recursos e que se caracterizam por ter Valores
Fu turos Cumulativos Parciais, ou Saldos de Projetos
S/TIR), calculados com o auxílio da TIR, sempre negativos
ou nulos. Apresentam uma só TIR e com significado financeiro;
projetos mistos são os que exibem trechos de sua vida como
projeto de investimento (absorvedor de recursos) e trechos
como projeto de financiamento (gerador de recursos). Caracterizam-se por apresentar Sj(TIR) <
nos trechos de'
investimento e SjCTIR) > e nos trechos de financiamento.
Podem apresentar uma ou múltiplas TIR's, que não transportam, em qualquer caso, nenhuma informação financeira.
Para esses projetos se requer a criação de um tipo de TIR, o
RIC, que depende do custo de capital da empresa.
°
1.6.2.3.2
10'\:lassificação apoiada 'nos ensinamentos
Investido - RIC, neste trabalho.
°
Projetos de Financiamento
São os que apresentam uma entrada de caixa, FO > 0, como primeiro
fluxo da corrente, seguida usualmente por fluxos negativos que representam a amortização do empréstimo. Sua problemática é semelhante
à dos projetos de investimentos, embora não sejam comuns os casos
de projetos mistos. Seu estudo não interessa a este trabalho.
de Tcichrocw, Robichck e Montalbano, Ver estudo acerca do Retorno sobre o Capital
78
1.6.2.4 -
Classificação. de um ' Projeto. de Investimento., Segundo a Natureza Econômica
Destinação. dos Recursos
1.6.2.4.1
da
- Projetos não. Reprodutivos
São aqueles que não. visam a engendrar diretamente atividade cconômica "strícto sensu", podendo ter caráter especulativo. São aquisições
de:'
a) divisas;
b) metais preciosos;
c) objetos de arte;
d) contratos de fornecimento
de produtos primários ("commodities");
e) valores mobiliários (mercado secundário);
i) ações;
li) obrigações
.
f) valores imobiliários .
'
1.6.2.4.2
- Projetos Reprodutivos
São os adotados por empresas que, reunindo fatores de produção,
geram bens ou serviços econômicos. Em sentido. lato, podem comportar tanto.s projetos de investimento. como de desinvestimento e são,
em abordagens não mutuamente exclusivas:
a) projetos de implantação. de uma nova unidade produtiva, contemplando. todos os recursos necessários:
b) projetos de desinvestimento
tente;
parcial ou total da atividade preexis-
c) projetos de obtenção-de ativos tangíveis para reposição, expansão,
modernização, relocalização, diversificação. ou integração. relativas
à atividade preexistente;
d) projetos de obtenção de ativos intangíveis por aquisição. externa
e/ou produção interna de ativos como "know how" e fundo de
comércio;
e) projetos de retificação de composição. do. ativo operacional ou da
estrutura do passivo;
f) projetos financeiros, mercadológicos, de engenharia,
tação profissional, de bem-estar comunitário, etc.;
de capací-:
g) projetos de outros tipos.
1.6.2.5 - Classificação de um Projeto, Consoante a Eficiência no Uso dos Recursos Financeiros e o Impacto na Riqueza do Acionista
1.6.2.5.1
1.6.2.5.2
-
Projetos Gravosos, ou Projetos de Definhamento
São os que apresentam retorno. inferior ao. custo de capital da empresa e que provocam o empobrecimento de seus acionistas;
Projetos Neutros, ou Projetos de Expansão.
São. os de retorno equivalente ao. custo de capital da empresa, que não.
têm qualquer impacto sobre a riqueza de seus acionistas; "
,,;..
79
1.6.2.5.3
- Projetos Rentáveis ..ou Projetos de Crescimento
São os que exibem retomo superior ao custo de capital da empresa e
que causam o enriquecimento de seus acionistas.
1.6.2.6 - Classificação de um Projeto, no que Conceme à Repercussão que sua Adoção
Causa na Feição do Risco da Empresa que o Adota
1.6.2.6.1
- Projetos que não .Iteram a feição do risco total por não modificarem
o risco do negócio nem o risco financeiro ou por introduzirem mudanças que se compensam nesses dois tipos de risco, o que mantém
inalterado ocusto de capital da empresa;
1.6.2.6.2
-
Projetos que alteram a feição do risco total, determinando
no custo de capital da empresa, e frut? de:
variação
a) modificações no risco do ativo;
b) modificações no risco do passivo;
c) modificações simultâneas em ambos os riscos.
1.6.2.7
1:6.2.8
Classificação de um Projeto, tendo em Vista as Defmições dos Tetos Orçamentários
para os Períodos de sua Implantação
1.6.2.7.1
- Projetos Factíveis, cujos investimentos se contêm dentro dos diversos
limites orçamentários;
1.6.2.7.2
- Projetos Impossíveis por insuficiência de recursos.
Classificação de um Projeto, Tendo em Vista outros Aspectos não Incluídos em
Itens Anteriores
1.6.2.8.1
1.6.3 -
- Projetos Fracionários ou Contínuos
São projetos que podem absorver qualquer quantidade
como são, em geral, os investimentos não reprodutivos;
de dinheiro
1.6.2.8.2
- Projetos Indivisíveis ou Discretos
São projetos que só podem existir se for aplicado um determinado
montante de recursos, como são comumente os investimentos reprodutivos;
1.6.2.8.3
- Projetos Modulares
São projetos discretos que podem ser adotados em diferentes valores
que se apresentam em degraus crescentes. São, em geral, projetos
reprodutivos com pouca economia de escala, que crescem pela junção
de um pacote mínimo básico de investimento;
1.6.2.8.4
- Projetos Repetidos
São projetos que comparecem mais de uma vez no problema de
Racionamento de Capital, ora integrando um conjunto de propostas
mutuamente exclusivas, ora integrando outro conjunto de propostas
dessa espécie. Ocorre, por exemplo, em estudos de alternativas de
localização.
AS CLASSIFICAÇÕES DOS RELACIONAMENTOS ENTRE PROJETOS
Resta-nos ver as principais classificações das relações entre projetos. Antes, queremos ressaltar que os
rótulos que aprescn taremos para os projetos sob este ângulo não são um atributo intrínseco de um projeto, pois
dependem essencialmente da presença de um outro projeto no cenário econômico do primeiro. Apenas para simpli-
ficar a linguagem, usaremos essas classificações para adjetivar os projetos em si, sem, no entanto, perder de vista a
explanação feliz que nos é feita porPeterson e Haydon 105 "It is frequcntly possible to discern important relationships among the oportunities contained in that available set. These relationshiI?!, are often crucial to an operational
formuJation of the search tecnique designed to select the optimaI subset. They are ... relations of mutuaI exclusiveness ... conditionaI relationshjp ... índependece re1ationship..§.... " (os grifos são nossos).
Para facilitar ainda 'mais a nossa tarefa só nos ocuparemos de relacionamentos binários, isto é, de relacionamentos entre dois projetos, e não do relacionamento de um projeto com um pacote de projetos nem do rel-cíonamento entre dois ou mais pacotes de projetos.
1.6.3.1 -
Classificação do Relacionamento
Entre Dois Projetos que Competem Entre si P2L
. Recursos Orçamentários:
1.6.3.1.1
-
Há orçamentos limitados, explícitos e inflexíveis:
a) projetos incompatíveis são dois projetos factíveis, que se excluem
mutuamente, já que os orçamentos permitem apenas a adoção de
um deles;
b) projetos compatíveis são dois projetos factíveis que podem coexistir um ao lado do outro, em face do orçamento:
i) projetos puramente competitivos são dois projetos factíveis e
compatíveis que se comportam sempre como absorve dores de
recursos, nos períodos orçamentados..
ii) projetos parcialmente competitivos são dois projetos que
apresentam, um só, ou ambos, período ou períodos de geração
de recursos para reforço orçamentário;
c) projetos livres' são os projetos factíveis que se encontram na situação particular em que há recursos orçamentários para a adoção de
todos os projetos candidatos.
'
1.6.3.1.2
1.6.3.2
Classificação Relacionamento
da Análise:
Entre Dois Projetos, Segtlndo o Enfogue Estatístico
1.6.3.2.1
- Projetos Deterministicamente Relacionados
São dois projetos que interagem mutuamente de forma negativa, nula
ou positiva, mas que apresentam fluxos de caixa antes e depois da
interação, conhecidos com absoluta certeza;
1.6.3.2.2
Projetos Probabilisticamente Relacionados
São dois projetos que, tratados probabilisticamente em seus fluxos de
caixa, antes do relacionamento, interagem reciprocamente de forma a
promover mudanças na esperança matemática e na dispersão de seus
fluxos de caixa" parâmetros estes que continuam a ser expressos na
ótica probabilística, após a interação.
•
1.6.3.3
Há orçamentos flexíveis ou não há limitação de recursos, o que permite a adoção de todas as boas oportunidades de investimento disponívejs. Neste caso, todos os projetos são livres, no que tange ao requerimento de recursos.
Classifcação do Relacionamento Entre Dois Projetos, Consoante Suas Respostas a
Eventos Sociais e Econômicos Relevantes:
1.6.3.3.1
10;'cters~n and Haydon, A Quantitative, p. 16.
- Projetos Estatisticamente Independentes
São dois projetos que têm conjuntos de eventos que interferem em
81
seus fluxos de caixa, totalmente distintos um do outro e sem nenhuma correlação entre elementos de um conjunto e do outro conjunto;
.esta independência assegura uma correlação nula entre as variações
dos preços de Suas ações em Bolsa;
1.6.3.3.2
- Projetos Estatisticamente Dependentes
São dois projetos que encontram eventos comuns que interferem
semelhante ou dissemelhantemente em seus fluxos de caixa, ou eventos singulares de interferência com correlação não nula entre si, que
afetam diferentemente os preços de suas ações. Eles podem ser:
a) projetos positivamente correlacionados que exibem movimentos
semelhantes, mas de amplitudes diferenciadas, para as oscilações
dos preços de suas ações;
b) projetos negativamente correlacionados, que revelam movimentos
contrários, embora de diferentes amplitudes, para os preços de
suas ações em Bolsa.
1.6.4 -
OS RELACIONAMENTOS TÉCNICOS E ECONÔMICOS
Antes de prosseguirmos com a análise dos relacionamentos técnicos e econômicos, que carecem de maiores
detalhes, vamos tecer a malha básica dessas classificações com o auxílio da Figura 1-16
EXCLUSÃO
MOTUA
SUBSTlTUTI BILlDADE
PARCIAL
Ii
•
Jj'
Esquema básico da interação unilateral entre projetos.
INDEPENDÊNCIA
COMPLEMENTARIDADE
PARCIAL
I
CONTINGÊNCIA
i
•
I
FIGURA 1-16
Comecemos pela visão econômica que é jnaís ampla. A independência traduz a ausência total de influência
sobre os fluxos de caixa do projeto 'A', decorrente da presença do projeto 'B'. Esta independência pode ser unilateral
ou bilateral, mas é sempre total. Não há "independência parcial" pois esta situação é estudada mais adiante sob o
título de "dependência parcial".
A substitutibilidade significa a competição ou concorrência sofrida .pelo projeto 'C', fruto da atividade do
projeto 'D' que prejudica os fluxos de caixa de 'C', aumentando-lhe os de implantação e/ou reduzindo-lhe os de
operação. Esta interferência danosa pode ser unilateral ou bilateral e pode ser ainda leve, situação próxima da
dependência, ou pesada, situação próxima da exclusão mútua.
A substitutibilidade total é, portanto, o limite da substitutibilidade parcial e é sempre bilateral, o que lhe
vale a designação de "mútua exclusão". Se 'C' canibaliza totalmente os fluxos de caixa de operação de 'D', é porque
ambos se encontram em concorrência frontal, determinando que também 'D' canibalize integralmente os fluxos de
'C'.
A complementaridade
parcial retrata a situação em que o projeto 'E' é ajudado pelo projeto 'F', que
desenvolve, assim, um efeito de sinergia sobre os fluxos de caixa de 'E'. Esta interferência salutar pode ser unilateral
ou bilateral, podendo ocorrer com uma intensidade leve, próxima da independência, ou pesada, próxima da contingência ou condicionalidade.
A complementaridade total é, assim, o limite da complementaridade parcial e se designa por contingência,
mas não é obrigatoriamente bilateral! 06. O projeto 'E' pode ter todos 'os seus fluxos dependendo integralmente de
'F', mas este pode existir na ausência de 'E'.
;._';':
l°\rer
--
Wcingartner, Mathcmatical, p. 11.
82
Identificamos, assim, cinco relacionamentos
técnica como da econômica e que são:
unilaterais, básicos que tanto servem para o estudo da interação
1) independência unilateral, sempre total;
2) dependência por substitutibilidade
unilateral-parcial;
3) dependência por substitutibilidade
unilateral-total;
4) dependência por complementaridade
unilateral-parcial;
5) dependência por complementaridade
unilateral-total.
o número de combinações binárias possíveis desses relacionamentos
nos dará todo espectro de relacionamentos bilaterais entre dois projetos.
( ~) c/rep. =
1 com
1 com
1 com
1 com
1 com
1
2
3
4
5
5!
+ 5 = 10+5
unilaterais, permitidas as repetições,
= 15 .combínações e que são:
2! (5 - 2) !
2 com 2
2com3
2com4
2 com 5
3 com 3
3 com 4
3 com 5
4com4
4 com'S
5 com 5
A análise desses pares vai nos revelar que nem todos parecem ocorrer na prática das interações econômicas,
como nos mostra a tabela 1-8, sendo que o leque possível para as interações técnicas é ainda mais restrito.
TABELA 1-8
COMBINAÇÕES BINÁRIAS DE RELACIONAMENTOS ECONÔMICOS
UNILATERAIS DE PROJETOS
USUAIS
1 com 1
1 com 4
1 com 5
2 com 2
3 com 3
4com4
4 com 5
5com5
EXCEPCIONAIS
1 com 2
2com4
2com5
IMPOSSÍVEIS
1 com 3
2com3
3 com 4
3 com 5
FONTE: Proposições do autor
Antes de justificar porque excluímos alguns pares do nosso estudo, vamos expor como entendemos o relacionamento usual entre dois projetos, desdobrando o estudo nas diversas fases de sua vida.
Na implantação, julgamos, por simplicidade, que não há qualquer interferência econômica, já que os
projetos encontrarrrsernpre com abundância os fatores de produção que lhes são necessários, não havendo, portanto,
qualquer restrição em suas quantidades nem elevação em seus preços. Esta é, sem dúvida, uma simplificação. Na
implantação, a única interferência que antevemos é a mútua exclusão técnica, quando um fator singular, um dado
terreno, por exemplo,j}ca indisponível para 'D', se for usado por 'A:'
83
Os fluxos de caixa 'operacionais de um projeto, em sua versão original e básica, são sempre aqueles que
expressam seu comportamento na ausência de qualquer projeto. Assim, projetos independentes, dependentes por
substitutibilidade parcial ou total e dependentes por complementaridade parcial apresentam fluxos bem definidos e
quase sempre diferentes de zero. Esses fluxos serão alterados pela presença de projeto ou projetos interferentes e
assumirão valores diversos para cada conjuntura, mas uma vez definida esta, estes fluxos assumem novos valores bem
definidos.
Comportamento diverso apresentam os projetos dependentes por complementaridade total que apresentem
fluxos todos nulos na sua versão original e básica, o que equivale a uma alternativa de não fazer nada, simplesmente
porque estes projetos não podem existir na ausência de seus projetos pré-requisitos. Estes apresentam, então, um
efeito sínérgico infinito sobre os fluxos de caixa dos projetos contingentes, posto que elevam seus fluxos de zero para
fluxos finitos, Esta dificuldade é facilmente contornada, considerando-se sempre o "projeto composto" do pré-requisito e do contingente, como formando uma só oportunidade de investimento para efeitos práticos.
Sabemos que o fluxo de caixa operacional é uma variável que depende de um bom número de outras
variáveis, conforme mostramos em outro ponto deste trabalho. A interação entre projetos se desdobra em pelo
menos dois mecanismos principais que atuam sobre os mercados de produtos e/ou serviços e sobre os mercados de
fatores, respectivamente.
Admitimos, assim, que a independência de 'A' com respeito a 'B' decorre da não interferência de B nas
receitas e nos custos de A; a substitutibilidade de 'D', face a 'C', significa que 'D' diminui as receitas e/ou aumenta os
custos de 'C'; a complementaridade de 'F' a 'E' pode representar o aumento das receitas e/ou a redução nos custos de
'E'.,
'
Cumpre ressaltar que esses mecanismos não são absolutamente estanques. Como receitas e custos se decompõem em quantidades e preços, uma restrição quantitativa de insumos, por exemplo, provoca uma restrição quantitativa de produtos ou serviços, que, por sua vez, poderá ter ou não influência positiva nos preços e na receita,
compensando ou não o impacto negativo daquela restrição. O~ comportamentos a esse nível de detalhe levariam à
análise de muitas situações particulares, o que não contribuiria para tomar, mais claro o assunto. Julgamos, no
entanto, que são incomuns as situações em que há sinergia através das vendas e concorrência através das compras e
vice-versa ou, se acontecem cumulativamente, o que nos interessa ao fim e ao cabo, é o resultado destas múltiplas
interferências nas quantidades e preços de insumos e produtos sobre os fluxos de caixa operacionais do projeto.
Admitimos ademais que o relacionamento de um projeto face a outro é sempre do.mesmo tipo, quaisquer que sejam
as intensidades cambiantes das interações a nível desses mercados, sendo improvável, assim, que num trecho da vida
haja complementaridade e em outro, substitutibílidade.
Justifiquemos agora nossas proposições da tabela 1-8. Consideramos excepcional o casamento da independência unilateral de 'A' com a substitutibilidade unilateral-parcial de 'B', porque entendemos que as relações de
concorrência, de competição, são necessariamente bilaterais. Se 'B' concorre com 'A', este tem que, forçosamente,
concorrer com 'B'. Quando os poderes de concorrência de 'A' e 'B' forem muito diferentes ou quando a agressão de
'B' sobre 'A' for muito tênue, podemos considerar 'A' como unilateralmente independente, mas com isso fugimos ao
rigor da análise.
o
O casamento da substitutibilidade unilateral-parcial com a complementaridade unilateral-parcial parece-nos
irreal porque não vislumbramos a possibilidade de um projeto 'C' interferir negativamente em 'D', e receber dele
efeitos sinérgicos. Mais estranho é ainda o fato de um projeto 'F' ser contingente de 'E', enquanto este lhe faz competição de alguma forma, A existência de eventuais e especialíssimos exemplos desses tipos nos levaram a admíti-Ios
como excepcionais .
•
Os pares impossíveis são sempre aqueles que envolvem a substitutibilidade unilateral total, que não admite
junção, a não ser com ela mesma, para montagem da situação limite de mútua exclusão.
Na abordagem técnica, a rigor, não existem dependências unilaterais parciais por substítutíbílidade e por
complementaridade. Esta última será admitida em caráter excepcional porque um projeto 'A' pode ser cumulativamente contingente de 'I3', 'C' .. .'Z', o que ensejaria uma visão de complementaridade unilateral-parcial com relação a
'B', por exemplo, embora isto seja uma visão míope do problema, porque contingência é sempre uma relação de
complementaridade total.
,I·
84
No enfoque técnico entendemos que existem os seguintes pares:
1 com
1 com
1 com
1 com
1
3
4
5
3 com 3
3com4
3 com 5
4com4
4com5
5 com 5
Catalogando esses pares segundo suas possibilidades de ocorrência vêm os resultados da tabela 1-9.
TABELA 1-9
COMBINAÇÕES BINÁRIAS DE RELACIONAMENTOS TÉCNICOS
UNILATERAIS DE PROJETOS
USUAIS
EXCEPCIONAiS
IMPOSS(VElS
1 com 4
1 com 1
1 com 5
3com3
5 com 5
1 com 3
3com4
3 com 5
4com4
4comS
, FONTE: Proposição do autor.
Analisaremos, a seguir, as combinações usuais desses relacionamentos
co e depois no nível econômico:
1.6.4.1
binários, inicialmente no plano técni-
Classificação do Relacionamento Usual de Dois Projetos, no que Rcspeita ao Aspecto
Físico ou Técnico (consultar a Figura 1-17):
1.6.4.1.1
- Projetos Tecnicamente Independentes
São projetos que podem ser implantados
outros projetos:
na ausência de outro ou de
a) projetos bilateralmente independentes são dois projetos 'A' e 'B'
que podem ser adotados simultaneamente sem qualquer interrelacionamento recíproco da espécie; é o caso da combinação 1 com
1;
b) projeto unilateralmente independente é o projeto 'A' que pode ser
empreendido sem a presença do projeto 'B', quando 'B' não pode
ser implantado sem 'A'; é o caso da combinação 1 com 5;
1.6.4.1.2
•
- Projetos Tecnicamente Dependentes'
São projetos que apresentam interações das naturezas de substitubilidade total, sempre recíproca,(exclusão mútua) ou complementaridade total (condicionalidade ou contingência), recíproca ou não:
a) Projetos mutuamente exclusivos são dois projetos 'A' e 'B' que
não podem existir um na presença do outro. A adoção de um
impede a adoção do outro. A mútua exclusão técnica é sempre
bilateral; é o caso da combinação 3 com 3;
.
b) projetos contingentes são projetos que s6 podem ser implantados
na presença de outro ou de outros projetos chamados pré-reqúísitos:
i) projeto unilateralmente contingente é o projeto 'B' que só
pode ser implantado depois ou ao mesmo tempo que 'A',
quando 'A' pode ser implantado sem 'B'; é o caso da combinação 1 com 5. Vemos que 'A' é pré-requisito de '}3', que '}3' é'
contingente de' 'A' e que 'A + S' forma um "projeto composto
85 '
técnico"107 que é mutuamente exclusivo de 'A'. Ou se faz 'A'
ou se empreende 'A + B'. A independência unilateral de 'A' se
casa com a contingência unilateral de 'B'. 'A' e 'A + B' formam
degraus de .ntegração vertical de uma atividade produtiva;
ii) projetos bilateralmente contingentes são dois projetos 'A'e 'B'
que, isoladamente, não podem subsistir sem a presença do outro, numa relação de complementaridade
total e simétrica.
Ambos são simultaneamente pré-requisito e contingente um do
outro; é o caso da combinação 5 com 5. 'A + B' forma um
"projeto composto técnico" que não tem alternativa de decomposição em 'A' e 'B', razão por que não é mutuamente
exclusivo de 'A' ou de 'B'.
-
1.6.4.2
Classificação do Relacionamento Usual de Dois Projetos no g~ge
Econômico-Financeiros (consultar a Figura 1-17):
1.6.4.2.1
-
Projetos Econômicamente
aos Aspectos
Independentes
São projetos que têm seus fluxos de caixa imunes à presença de
outros projetos:
a) projetos bilateralmente independentes são dois projetos 'A' e 'B'
que não apresentam qualquer interferência recíproca de natureza
econômico- financeira ; é P caso da combinação 1 com 1;
\
1.6.4.2.2
b) projeto unilateralmente independnnte é o projeto 'C' que não
recebe qualquer influência da espécie, quando se defronta com
projeto 'D' sobre o qual interfere por complementaridade parcial,
ou com o projeto 'E', para o qual é um projeto pré-requisito; são
os casos das combinações 1 com 4 e 1 com 5;
Projetos Econôrnícamente Dependentes
São os projetos que sof:rem modificações, para mais ou para menos,
em seus fluxos de caixa, em função da presença de outro projeto em
seu ambiente ecnômico:
a) por relações de substitutibilidade:
i) projetos bilateralmente
dependentes por relação de substitutibilidade parcial, são dois projetos 'F' e 'G' que se canibalizam
parcial e mutuamente; é o caso da combinação 2 com 2;
ii) projetos bilateralmente dependentes por relação de substitutibi!idade total, são dois projetos 'H' e '1', mutuamente exclusivos
e que se canibalizam total e mutuamente; é o caso da combinação 3 com 3;
b) por relações de complementaridade:
i) projeto unilateralmente
dependente por relação de complementaridade parcial é o projeto 'D' que não exerce qualquer
influência sobre 'C', mas recebe deste uma sinergia parcial; é o
caso da combiriação 1 com 4. É também o projeto 'I' que éparcialmente beneficiado por 'K', .enquanto este depende totalmente de 'I'; é o caso da combinação 4 com 5;
107Ycr Wcingartncr, Mathematical, p. 11.
86
ii) projetos bilateralmente dependentes por relação de complementaridade parcial, são dois projetos 'L' e 'M' que se ajudam
parcial e mutuamente; é o caso da combinação 4 com 4;
iií) projeto unilateralmente dependente por relação de complementaridade total é o projeto contingente 'E', que depende
totalmente de .'C', embora este não receba qualquer influência
de 'E'; é o caso da combinação 1 com S. É também o projeto
contingente 'K' que depende totalmente de 'J', enquanto este
é só parcialmente beneficiado por 'K'; é o caso da combinação
4 com 5, que representa um "projeto composto econômico"
que é mutuamente exclusivo do projeto pré-requisito;
iv) projetos bilateralmente dependentes por relação de complementaridade total, são dois projetos 'N' e 'O', simetricamente
contingentes, que representam o caso da combinação 5 com S.
Formam um "projeto composto econômico", que não é mutuamente exclusivo de nenhum dos dois projetos envolvidos.
As relações binárias de natureza econômica entre dois projetos 'X' e 'V' não são eventos que possam ser
. vistos isoladamente de seus relacionamentos técnicos. Em outras palavras, estes condicionam, com diferentes graus
de liberdade, aquelas, como mostramos na Tabela 1-10.
TABELA 1-10
MATRliDE VINCULAÇÃO DAS PRECONDIÇÕES DE RELACIONAMENTOS
TÉCNICOS BINÁRIOS USUAIS COM A OCORRÊNCIA DE RELACIONAMENTOS
ECONÔMICOS BINÁRIOS USUAI~ ENTRE DOIS PROJETOS
'X' E 'V'
1
~1)
com
1
T
1 com 1
1 com 5
3com3
5 com 5
FONTE:
NOT AS:
#
1
com
4
#(3)
2
com
5
com
2
com
3
4
com
4
#(3)
# (2)
#(3)
#(3)
#(3)
1
~
3
4
com
5
5
com
5
#(3)
#(3)
#(3)
#(3)
#
#
Proposição do autor.
(1) Usamos a numeração
que traduz
cada tipo de relacionamento
unilateral já empregada consistentemente
no
texto para o nível técnico e econômico;
(2) Os relacionamentos econômicos devem se dar nos mesmos sentidos observados nos relacionamentos técnicos;
o
(3) Os relacionamentos econômicos são, em cada direção, mais restritivos ou de igual restrição que os respectivos relacionamentos técnicos.
Vemos, por exemplo, que para a existência de um relacionamento econômico binário do tipo 'X' é contingente de 'Y' e 'V' é independente de 'X', é necessário que no plano técnico ocorram relacionamentos idênticos e nas
mesmas di;eções ou que haja uma independência técnica bilateral. Esta última é a precondição técnica mais liberal
que permite a ocorrência de qualquer situação no plano econômico.
.
Vemos na Figura 1-17 as diferentes classificações técnicas e econômicas
respeitando as precondições necessárias em cada caso.
que acabamos
de enunciar,
ANALISE
ANALISE
T"CNICA
20. PROJETO
10. PROJETO
COMB.
ECONOMICA
indeper.dência
independência
unilateral
L
independência
Ir----~~-:-----:D
i\
substitutibilidade
unilateral
parcial
ru"", ruo'"" ,,'".
""""''''
'"'" ,
V
. i'\.
1 com 1 ~
unilateral
l\
complcmcntaridede
complementaridade
unilateral
parcial
unilateral
total
independência unilateral
co.n.t.i.ng;;.ê.n..;c.ia
-(])l com 5(al,/comPlcmentaridade
unilateral
\
\.
unilateral
total
5 Com 1 (b)
continqência
/
1/
complementaridade
corr,plomentaridode
complementaridade
unilateral
porcial
unilateral
total
5 co'm 5(c)
contingência
complementaridade
unilateral
300m
complementaridade
parcial
4com4
unila:ocJI total
unilateral
3(9)
4coml
4 com 5(e)
indeps ndência unilateral
5com1
parcial
5 com 4!e)
unilateral total
complementaridade
unilateral
comolementaridadc
unilateral total
complementaridade
unilatera! total
5com5
,
total
1com 5(~)
4 com S(e)
,
.
unilateral
total/comPlementaridade
complementaridade
unilateral
total
5com
S(e)
5 com1(e)
unilateral
unilateral
parcial
5 com 4(e)
total
5 com S(h)
Projeto composto técnico por contingência unilateral direta.
Projete comp~to técnico por contingência unilateral inversa.
Projeto composto técnico por contingência bilateral.
Proje1.os mutuamente exclusivos por imperativcn técnicos.
complementaridade
unilateral :ot21
5 com s{e)
1
G>--~~~~~~~~~~~~~------~----------_a>_--------------------------------------------~~
3 com 3(d)
subStitutibilidade
unilateral
total
do Autor.
LEGENDA:
(a)
Ib)
(c:)
(dl
2com2
~----~~------~
~----~--------~~~--------_c--~~~~~~~~~--------
substitutibilidade
substitutibilidade
\-----~to-t-a~l-u-n~il-ot-e~ra~I--------~------~-t~o~t..;al~u~n..;i~la-t-er~a~I-------<P
?topoliç.30
unilateral
1com4
1 com S(e)
unilateral
complementaridade
unilateral
FO~TE:
,
~~~----------------------~\--------------~--~-------Q
indep'odência
~--~u~ni~fat~era-I-----0'
\
total
substltutibilidede
independência
unitsterel
unilateral
pardal
comptementaridads
I
parcial
unilateral
'j\
complementaridade
'-
unilatcra!
substitutibílidade
independência
CO~lB.
1 corn.t
.
independência
unilateral
unilateral
VcomPlcmentaridade
I
I
I
20. PROJETO
10. PROJETO
substitutibilidade
unilateral total
3 com 3 (i!
FIGURA 1-11
(e)
Projetos
(f)
(9)
(h)
(i)
Projeto composto econômico por contingência bilateral.
Projetos mutuamente exclusivos por imperativos econômicos.
Projetos contingentes por imperativos técnicos 8 econômicos.
.
Projetos mutuamente exclusivos por imperativos técnicos e eccnêmlccs,
compostos
econômicos
por conting.}ncia
unilateral
direta
ou inversa.
Visualização do encadeamento de precondições técnicas usuais e relacionamentos econômicos usuais.
ANALISE
ANALISE
TECNICA
10. PROJETO
COMB.
20. PROJETO
10. PROJETO
independência
I
..
'.
I 'I
y'SUbstitutibilidade
independência
independência
unilateral
.
complementaridade
I
,
contingência
continqência
unilateral
substitutibilidade
total unilateral
FO~TE:
?roDO~i~
V
1\
complementaridade
complementaridade
5 co·m S(c)
cornplernentaridade
3 com 31d
substitutibilidade
J
unilateral
substitutibilidade
total unilateral
total
unilateral
substitutibilidade
unilateral
to tal
total
V
parcial
1\
unilateral
total
,
unilateral
V
unilateral
.;
total
independência
lcom4
1 com5le)
,
complementaridade
unilateral
unilateral
4comJ
parcial
4com4
total
4 com 5(e)
independência unilateral
complementaridade
unilateral
parcial
;,m,',m,o",'"''
unilateral total
comolemcntarídacs
unilateral
total
complementaridade
unilateral
total
complementaridade
unilateral
total
unilateral
V
i\
total
unilateral
unilateral
total
cp
total
independêncía
unilateral
parcial
unilateral
total
complementaridade
unilateral
total
unilateral
5coml
,
5 com 4(e)
I
1 COm 5(~)
4 com 5(e)
5rom
JI
!
.
complementaridade
substitutibilidade
,
5com5
.
unilateral
complementaridade
total
(c) Projetos. compostos econômicos por contingência unilateral direta Ou inversa.
econõmico por contingência
bilateral.
(gl Projetos mutuamente
exclusivos por imperativos econômicos.
(h) Projeto, contingentes
por imperativos técnicos e ccooõmioos.
(i) Projetos mutuamente
exclusivos por imperativos técnicos t eoonô~ico ••
.
Visualização do encadeamento de precondições técnicas usuais e relacionamentos
-
econômicos usuais.
5(e)
5 com lle)
5 com 41.)
5 com 5(h)
O
1
FIGURA l-H
(fi Projeto composto
2com2
3 com 3(9)
unilateral
complementaridade
I"
,
parciat
do Autor.
Projeto comporto técnico por contingência unilateral direta.
P:,oje10 ecmcesto técnico por contingência unilateral inversa.
Projeto ccmpostc técnico por conting~ncia bilateral.
Projetos mutuamente exclusjyos por imperativos técnicos.
unilateral
parcial
unilateral
contingência
cornplementaridads
,
I
5 Com l(b)
lndep-adêncla
LEGENDA:
(a)
(b)
(e)
Id)
1\
,
parcial
unilateral
1 com 5(alVCOmPlementaridJJe
unilateral
unilateral
unilateral
I
complementaridade
1 com.l
corr,plementarid~de
substitutibilidade
unilateral
COMB.
unilater al
"o" at eral parcial
I
!
indeper.dência
1\
,
independência
~
V
1 com 1 ~
I
I
20. PROJETO
unilateral
substitut ibilidad
unilateral
ECONOMiCA
5 com S(e)
3 com 3 (i)
..
88
1.6.5 O PROBLEMADA
1.6.5.1 -
COMPARABlLIDADE.
Classificação de Projetos Segundo o Grau de Comparabilidade
mento de Capital:
para Efeito de Orça-
1.6.5.1.1
- Projetos comparáveis
São dois projetos que apresentam o mesmo investimento inicial, a
mesma vida útil, o mesmo relacionamento com as atividades r -eexistentes da empresa, as mesmas perspectivas técnicas e econômicas para
o presente e para o futuro, o mesmo risco do ativo e do passivo e o
mesmo grau de utilização de seus ativos fixos, entre outras confrontações relevantes. Esta visão é muito rigorosa e algumas destas restrições
podem ser relaxadas sem prejuízos significativos para a comparabilidade. Em outros casos estas restrições podem ser atendidas através de
artifícios! 08;
1.6.5.1.2
-
Projetos não Comparáveis
São os que não preenchem cumulativamente
as condições acima.
Esta preocupação com comparabilidade é muito importante quando se trata de propostas mutuamente
exclusivas. Ainda assim, segundo Bierman e Smidt109 "In deciding whether a group of mutually exclusive alternatives is sufficiently comparable for pratical purposes, one must apply a reasonable approach ... investments may
.sometimes be comparable even if they do not have a common life ... Simpler techniques achieve their simplicity by
using general assumptions about the nature of future opportunities rather than conjectures tailor-rnade to a particular sítuatíon",
Dois dos segredos da obtenção de comparabilidade parecem residir nas pressuposições dos reinvestimentos
equalizadores de montantes investidos e vidas úteis e na consideração de todas as possíveis repercussões de um curso
de ação.
.
1.7 -
O ORÇAMENTO EMPRESARIAL
CONCEITOS E CLASSIFICAÇÕES
Orçamento é um plano financeiro,': quantitativo, formal e escrito, que contempla a evolução futura das
principais, senão de todas as contas patrimoniais e de resultado de uma empresa, visando, em última análise, a
planejar seu lucro e antever-lhe o retrato operacional e patrimonial contãbil l ! o, futuro.
O orçamento é considerado como uma das mais poderosas ferramentas de administração geral e principalmente financeira de uma empresa. Recebe, atualmente, crescente adesão das empresas, porque é a essência do seu
planejamento, dando-lhes uma antevisão integradora de todas as suas partes, disciplinando-lhes o estabelecimento de
objetivos, a tomada de compromissos, o pensamento sobre o futuro, a busca criativa de oportunidades novas,
favorecendo-lhes a comunicação, a coordenação e a coerência internas, permitindo-lhes um melhor entendimento
do ambiente externo, a criação de padrões de desempenho e de monitoração física e financeira de suas realizações,
identificando desvios no momento em que acontecem e evitando surpresas desagradáveis "a posteriori". É, enfim, o
planejamento racional que busca o emprego ótimo dos recursos de toda ordem, aprisionados pela empresa. Útil para
empresas pequenas, é indispensável a empresas médias e imperioso para empresas grandes .
•
lO\rer Bierman and Smidt, The Capital, 3rd. ed. p. 81-94.
109
--,
--,
p. 82,87.
ll~ão
estamos desavisados de que o Balanço não é, e não pretende ser, o registro da situação patrimonial real de uma empresa;
consideramos o valor de uma empresa corno o espelho de sua capacidade futura.de.obter lucros.
;. ",,'
89
o orçamento empresarial apresenta três subdivisões importantes e que são os orçamentos de operações
de caixa e de capital. O Orçamento de Operações planeja todos os aspectos funcionais da organização para o futuro
imediato. É o denominado "accurate short-run forecast" que cobre o exercício fiscal corrente e no máximo o exercício fiscal futuro. Este horizonte de planejamento é mais compatível com o horizonte de dados da empresa e por
isso o planejamento se torna mais fácil. Costuma subdividir-se em Orçamento de Receitas, operacionais e não operacionais, que é o ponto de partida do processo e Orçamento de Despesas, operacionais e não operacionais; ambos podem comportar muitas outras subdivisões. Este orçamento está intimamente vinculado aos fluxos da Demonstração
de Resultados do Exercício e contém, portanto, previsões adicionais sobre o imposto de renda e sobre a distribuição
do lucro.
O Orçamento de Caixa é uma peça extremamente importante para o dia a dia da empresa. Ele recebe
impactos do Orçamento de Operações e do Orçamento de Capital e tem como finalidade precípua assegurar a
solvência técnica ou financeira da organização. Seu enfoque é de administração dos recursos líquidos num horizonte
mensal, semanal e até diário, dependendo do tipo da atividade. Suas variáveis fundamentais são os volumes e as
cronologias das entradas e saídas de recursos. Frisamos que Orçamento de Caixa, na visão aqui exposta, não se
confunde com o conceito de Fluxo de Caixa para efeito de avaliação de projetos em Orçamento de Capital.
1.7.1
-
O ORÇAMENTO DE CAPITAL
O Orçamento de Capital se ocupa de modelar a feição da empresa para um futuro mais distante e tem como
centro de suas atenções as evoluções das contas patrimoniais de Ativo Fixo e de Giro, bem como das contas de
Passivo Exigível e de Patrimônio Líquido.
É costume pensar-se em Orçamento de Capital apenas como aquisição de Ativo Fixo. Entendemos, no
entanto, que todas as absorções de recursos em caráter permanente, mesmo que sejam na conta Caixa, são objeto de
estudo de Orçamento de Capital. Seu interesse não se restringe somen1:e à composição do Ativo, mas estende-se à
estrutura do Passivo que lhe fornece, como veremos, dados imprescindíveis às decisões sobre o Ativo. Podemos assim
dividi-lo em Orçamento de Ativos Circulantes e de Ativos Fixos e em Orçamento de Passivo Exigível e de Patrimônio
Líquido.
As dificuldades de planejamento, neste caso, são bem mais significativas porque o horizonte de dados varia
consideravelmente de setor para setor e a fidedignidade desses dados cai, à medida que se mergulha no futuro. Por
outro lado, esse horizonte costuma se deslocar para o futuro quando cresce o volume dos investimentos, em face do
maior tempo demandado para a construção de muitos equipamentos e de grandes obras civis e, posteriormente, para
a própria operação do projeto. São os "long-range strategic plannings" da nomenclatura internacional.
Para avaliar projetos e escolher um curso ótimo de ação que enriqueça ao máximo a empresa, não podemos
nos furtar a um exaustivo exercício de futurologia. A investigação do futuro está limitada por dois horizontes que
são: o horizonte de dados, ou intervalo de tempo no futuro, no qual podemos estimar com precisão aceitável o's
fluxos de caixa do projeto, e o horizonte de planejamento que imagina o tempo de sua sobrevivência física e/ou
mercadológica. A avaliação de um projeto requer que seu horizonte de planejamento se inscreva dentro do seu
horizonte de dados e que estes retratem por inteiro o desempenho que dele se espera no futuro.
Os prazos mencionados na literatura são bem variados. Fala-se em dois,lll cincol12 e dez111 anos só para
a fase de implantação e na dependência do setor de que se trate. Em utilidades públicas há mais facilidades de
previsões de receitas e custos e maiores dificuldades de estimativa das inversões. Na iniciativa privada o obstáculo está
nos fluxos operacionais. É 'mister que se façam ainda previsões sobre os fluxos de desinvestimento quando da morte
do projeto.
Com muita freqüência, os horizontes têm que ser suficientemente distantes para cobrir todo o espectro
cronológico do projeto, razão por que as estimativas resultam algo imperfeitas, mas nem por isso inúteis e desnecessárias. Incluindo a operação, raramente este prazo é inferior a dez anos e raramente ultrapassa vinte e cinco anos. É
impossível prever-se, corü a desejada precisão, em um mundo com a atual efervescência tecnológica, política,
econômica e social, o que acontecerá com uma empresa ao longo de períodos futuros tão remotos.
111 Dcan,,Çapl!i!1 p. 9-10.
112 Weíngartnes, Mathcrnatical, p. 120.
90
Esta incerteza tem origem nos impactos recebidos do meio externo sobre o qual a empresa tem pouco ou
nenhum controle, e da eficiência interna, controlável em certa medida, mais de otimização quase sempre ínalcançãvel.
A separação entre os Orçamentos de Operações e de Capital nem sempre é pacífica. No primeiro, estão
incluídos os dispêndios que devem ser recuperados dentro de um ano ou dentro do ciclo produtivo da empresa, se
superior a este prazo. No último são catalogados os dispêndios que não se enquadram nessa regra e que implicam na
aquisição de ativos, rotativos ou não, que devem prestar serviç ,s à empresa por muitos períodos até mesmo sem
serem consumidos (terrenos, ativo de giro realizável) ou sofrendo' depleção gradual corno é o caso de equipamentos e
edificações.
A importância da orçamentação de capital a nível de empresa transcende seus limites privados e passa a ser
uma preocupação governamental porque os níveis futuros de atividade e de renda, de uma economia dependem do
fluxo de projetos em planejamento e implantação no momento atual.
A prática de orçamentação é uma tarefa consumidora de tempo e recursos, principalmente no que se refere
a Orçamento de Capital, envolvendo a participação de executivos e profissionais de vários níveis e especialidades,
internos e externos à empresa, para a descoberta e detalhamento das oportunidades disponíveis. Não raro os
, recursos, principalmente os não monetários, são escassos até para a preparação das propostas de investimento, mas
estudos empíricos113 nos dão conta da crescente preocupação com a adoção de técnicas modernas de orçamentação
de capital, principalmente, no setor público e mais recentemente no setor privado.
No ,Brasil, a 'ação das agências de desenvolvimento econômico tem conscientizado os empresários da
necessidade da preparação de "projetos" para orientá-los nos seus planos de investimento, documentos esses que não
são outra coisa senão peças de orçamentação de capital. Atualmente, todas as propostas de médio e grande porte que
recebem estímulos fiscais e creditícios governamentais através de Conselhos e/ou Superintendências de Desenvolvimentos nacionais, regionais ou setoriais, de 'Bancos de Desenvolvimento, nacionais, regionais e estaduais e de Bancos
de Investimentos, se revestem de planejamento formal nos moldes de um estudo de Orçamento de Capital. Esta ação
racionalizadora das decisões de investir iniciou-se com o setor secundário, mas atinge agora, nas suas atividades mais
-ímportantes, também os setores primário e terciário.
'
Definido o elenco de boas oportunidades que se abrem para uma empresa no início de cada ciclo orçamentário,' e conhecidos os requerimentos de recursos tangíveis e intangíveis, financeiros e não financeiros, passa esta a
estudar suas fortalezas e fraquezas, visando a implementá-los. Inicialmente inventaria seus recursos internos alocáveis
aos novos projetos, em seguida relaciona os recursos faltantes e busca suprí-los no mercado nacional e eventualmente
no internacional.
Obtido o rol dos recursos mobilizáveis, internos e externos,
empresa nas .suas decisões de investimento. Muito embora os modelos
restrições não menetárias, como disponibilidades de recursos naturais
de natureza fmanceira, até porque a maioria dos outros recursos
aquisição com dinheiro.
estão explicitadas as restrições que limitarão a
de Programação Matemática possam manipular
e de mão-de-obra, a restrição por excelência é a
demandados pelos projetos são passíveis de
Os recursos internos provêm, principalmente, da realização de Ativos Fixos ou de Giro pertencentes a
outros projetos em fase de caducidade, do excesso de Ativos de Giro dos projetos em andamento, da cobrança
efetiva, em diversos anos anteriores, dos custos de depleção dos ativos tangíveis e intangíveis dos projetos existentes,
do saldo de lucros acumulados não absorvidos por outros projetos, de recursos físicos de dirigentes e de empresas
coligadas apropriáveis ao projeto, dos recursos fmanceiros de dirigentes e de empresas coligadas, ofertados ao projeto
sob a forma de aquisições de ações ou obrigações, ou mesmo de empréstimos na forma da lei, e dos recursos
acumulados de incentivos fiscais de diversos tipos passíveis de aplicação no projeto.
Os recursos externos advêm, usualmente, da ampliação do Passivo Exigível de curto prazo, através da
obtenção de créditos vários, de caráter rotativo mas permanente, junto a fornecedores e bancos comerciais, por
exemplo, da amplíação d~ Passivo Exigível de longo prazo junto a Bancos de Desenvolvimento e de Investimento,
junto ao público debenturista, junto a fornecedores de equipamentos do país e também do exterior e junto a bancos
estrangeiros, da incorporação de ativos tangíveis e intangíveis de pessoas físicas e jurídicas até então fora da empresa,
e da emissão de ações preferenciais e ordinárias junto ao mercado primário com ou sem a interveniência de
''underwritters'' .
113 Ver;Klamer •••·Empirical ••, p. 388-397.
---
91
o
confronto das necessidades com as disponibilidades e a eleição do curso de decisão que mais enriquece a
empresa numa perspectiva de longo prazo, atendidas todas as restrições acaso existentes, é o centro do problema do
Racionamento de Capital, cuja solução requer regras teóricas e práticas bem estruturadas. O estudo deste problema é
o objeto desta Dissertação,
1.7.2. - A INFLAÇÃO E O PROCESSO ORÇAMENfÁRIO
.Dentre os muitos problemas que conturbam o processo de orçamentação destacamos os resultantes da
inflação, que são estudados por Bierman e Smidtl14 em seu novo texto, e que dizem respeito às mudanças do poder
de compra dos fluxos de caixa futuros e às dificuldades de escolha de um índice correto de deflação.
A inflação é conceituada como sendo uma elevação no nível geral de preços. Sua mensuração através de
índices globais nem sempre se ajusta perfeitamente às necessidades de todas as empresas, cada uma delas caracterizada por um conjunto de dispêndios com fatores e insumos e por um fluxo de receitas operacionais.
Na orçamentação de capital sob inflação é indispensável conhecer as tendências de longo prazo de cada um
dos itens de despesa e receita já que cada empresa recebe um impacto inflacionário singular a partir de uma mesma
conjuntura de ascenção de preços. A tendência dos salários, que é um item muito importante, deve ser analisada com
detalhe em virtude do desejo generalizado de uma maior distribuição de renda e de uni melhor padrão de vida para as
classes assalariadas e também porque os salários não costumam comparecer diretamente nos índices de preço.
Os "fluxos de caixa monetários" de cada período, afetados pelos impactos inflacionários diferenciais
mencionados, devem ser convertidos para um "fluxo de caixa real", através de adequados índices gerais de preços os
quais precisam também ser estimados para o futuro, a partir de uma crítica dos índices atuais e das expectativas de
comportamento da economia e do próprio setor.
Os princípios básicos de orçamento de capital continuam sendo aplicáveis quando há inflação, mas esta
incorpora um risco adicional ao problema, expresso pela variabilidade adicional dos fluxos de caixa reais, futuros,
provocados pelas incertezas da evolução inflacionária e pelo impacto do fenômeno sobre os fluxos monetários
futuros da empresa sob estudo.
Se o intuito da análise é medir o efetivo poder de compra da empresa no seu setor, devem-se utilizar
deflatores ou índices setoriais; caso o enfoque seja o de aferir o poder de compra da empresa face à cesta geral da
economia, e esta é a corrente 'mais ponderável, recomenda-se o emprego de índices gerais. Uma terceira corrente
postula o emprego do mais alto dos dois, para que a empresa não perca posição nem face à economia nem frente ao
seu setor específico.
Há dois tipos básicos de investidores em regime de variação de preços. Existem aqueles cuja utilidade
depende de "renda monetária" porque estão presos a obrigações também monetárias, como, por exemplo, uma
empresa com emissão de debêntures sem indexação e que enfrenta uma tendência declinante de preços em seu setor.
Há ainda os investidores cuja utilidade depende de "renda real", e estes são a maioria, porque estão presos a
compromissos também reais. Investimentos de renda monetária representaria um risco indesejável sob condição de
elevação no nível de preços.
Para contrabalançar a expectativa de inflação um "investimento de renda monetária" deve proporcionar
uma TIR mais alta que a de um "im?estimento de renda real", ambas calculadas com todos os fluxos presentes e
futuros expressos na forma das respectivas proposições originais; a diferença percentual decimal entre suas TIR's
deve corresponder, aproximadamente,
à taxa inflacionária prevista, e exatamente à divisão entre os operadores
"1 + TIR", das duas propostas em confronto,menos 1, se queremos que estas propostas sejam equivalentes.
Esdareçamos com um exemplo. Suponhamos um investimento de renda monetária, M, que absorve $ 2.500
no instante zero e promete fluxos de caixa monetários de $ 1.000 por dez anos consecutivos; imaginemos ôutro
investimento de renda real, R, que absorve $,2.500 no instante zero e promete fluxos de caixa reais de $ 500, do
instante zero, por dez anos consecutivos. Temos as duas proposições nas suas feições originais:
114 Ver Biclmanand
Smidt, The Cal'ital, 4th. ed, (New York: MacmilJan Publishing Co. Inc., 1975), p. 309-317.
92
1.000
M) - 2.500
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
500
500
500
500
500
500
500
500
500
TIRM = 38,455%
R) - 2.500
500
= 15,098%
TIRR
Pela regra aproximada da diferença das TIR's encontradas, estas propostas são equivalentes se a inflação for de
38,455-15,098 = 23,357% mas se deflacionarmos o fluxo de caixa M a esta taxa vamos encontrar a proposta M':
M') -2.500
TIRM,
811
=
657
533
432
350
284
230
187
151
123
12,249%
Como se percebe o deflacionamento foi excessivo e a TIR de M' caiu abaixo de 15%. A regra correta para
calcular a inflação que torna as propostas equivalentes é
[ (1 +TIRM)
(1 + TIRR)
1,38455
1,15098
- 1] x 100 =
- 1] x 100 = 20,293%
Deflacionando a proposta M com esta nova taxa temos a equivalência esperada:
~") -" ~.500 831 691 574 478 397 330 274 228 190 158 TIRM"
Este exemplo e o que vem a seguir mostram que não podemos simplesmente
inflacionária a taxas de retorno quando trabalhamos em orçamento de capital.
= 15,098%
subtrair ou somar a taxa
A conversão, em fluxo real presente, de um fluxo de caixa monetário futuro no ano 'n', por capitalização
discreta, requer um divisor igual ao produto (1 + taxa de ínflaçãoj'' x (1 + taxa de descontoj'! que é maior que
(1 + taxa de inflação + taxa de descontoj'': essa diferença é tanto maior quanto maiores forem as taxas presentes
no problema.
Semelhante conversão por capitalização cqntfnua requer um divisor que é igual a:
[e (taxa de inflação) n] [e(taxa de desconto)n]
=
e (taxa de inflação
+
taxa de desconto) n
Abandonamos a capitalização contínua e usamos a discreta com periodicidade anual, que é
corrente, devido ao cicIo de apuração dos resultados do exercício e de pagamento do imposto de renda;
prazos grandes e a taxa de inflação elevada, deveremos utilizar o inverso do produto acima apontado, como
atualização para pagamento simples", no cálculo dos Valores Presentes Líquidos a partir dos Fluxos
monetários futuros, afetados pelo fenômeno inflacionário.
a prática
sendo os
"fator de
de Caixa
Caso as taxas inflacionárias esperadas variem, de período a período, a atualização de cada fluxo deverá ser
feita em etapas, sendo cada uma delas equivalente aos 'm' anos nos quais se presume que a inflação permanecerá
constante.
Exemplificando, se a previsão do fluxo de caixa de um projeto no 100. ano for de $ 100 medidos em $ do
instante zero, se a expectativa de evolução do índice geral de preços da economia como um todo for de 20%
cumulativos anuais, se o impacto dessa inflação sobre todos os itens de receita e despesas do projeto forem
equivalentes ao da cesta geral do índice, então teremos que este fluxo deverá ser de 5>619,17 em termos nominais
naquele ano. Como o período inflacionário foi dado como homomêneo o cálculo do Valor Presente pode ser feito
em uma só etapa; considerando-se uma taxa requerida de retorno de 10%, por exemplo, teremos:
a) usando o procedimento
VPa =$61-9,17/(1
aproximado:
+ 0,20 + 0,10)10 = $ 44,91
b) usando o procedimento
correto:
VPc =$ 619,17 / [(1 + 0,20) (1 + 0,10)] 10 =
s 38;55
93
Este mesmo resultado será obtido se abstrairmos que há inflação e que os $ 100 reais previstos para o 100.
ano são descontados só à taxa requerida de retorno:
VPc '=
s 100,00/(1
+ 0,10)10 =
s 38,55
Como vemos, os resultados dos dois procedimentos, aproximado e correto, são claramente distintos, representando a diferença um erro de 16,5% a maior, o que é inaceitável em Orçamento de Capital.
Suponhamos agora um fluxo de $ 100 no 100. ano, medidos em $ do instante zero. Imaginemos ainda que
a expectativa da inflação aponta taxas de 40% para os primeiros cinco anos e de 20% para o último qüinqüênio.
Nesta situação, o fluxo monetário do 100. ano seria de $ 1.338,28 caso se cumpram os pressupostos antes mencionados. O cálculo do Valor Presente desse fluxo, ao custo de capital já indicado, deve ser feito em duas etapas,
cada uma delas correspondendo a um período em que o inflação é tida como homogênea.
A equivalência financeira ao fim do 50. ano será de,
VPSo. ano
= 1.338,28
I [(1 + 0,20)(1 + 0,10)]5=
$ 333,95
e no instante zero valerá,
=
VP c
333,95
I [(1 + 0,40)(1 + 0,10)]5 =
$ 38,55
valor que já havíamos encontrado anteriormente.
Reunindo as duas etapas, teremos:
1.3~8,28
=
VP
'
[(1 + 0;20)(1 + 0,10)]5 [(1 + 0,40)(1 + 0,10)]5
c
Generalizando para um fluxo qualquer
contendo um só ano, teremos: .
VP c
=
=
$ 38,55
FCn e para n etapas de inflação homogênea,
cada uma delas
n
i ~1 [(1 + INFi)(1 + k)]
onde, INFi é a taxa de inflação experada para o ano i registrada na sua expressão decimal, e 'k' é a taxa requerida
para a atualização do fluxo. .
~
1.7.3 -
O RACIONAMENTO DE CAPITAL: FATORES DETERMINANTES E CONSEQüBNCIAS
Os orçamentos podem ser classificados em flexíveis ou fixos, se admitem ou não variações nos montantes
previstos. Quando o Orçamento de Capital não permite a adoção de todas as boas propostas disponíveis temos uma
situação de Racionamento de Capital.
As razões que determinam a ocorrência de situações que exibem restrições orçamentárias são de várias
ordens mas podem ser classificadas em três grupos principais: razões do proprietário, da empresa e do ambiente
externo. Esta classificação nãoé estanque pois uma determinada razão que é, por exemplo, do proprietário, pode ser,
também, da erppresa e, às vezes, desta e de seu ambiente externo. Por outro lado, uma condicionante do racionamento que se inscreve num grupo pode apresentar uma contraface que pertence a outro grupo.
Registramos a seguir um conjunto dessas razões, obtidas na bibliografia mencionada
interpretadas e ampliadas:
.
1.7.3.1 -
e que foram por nós
'
Limitações Impostas pelo Proprietário: Neste grupo surgem aquelas razões mais
encontradiças em empresas familiares, ou em grupos restritos de capital fechado,
em geral de pequeno ou médio porte.
a) orgulho de nunca ter recorrido a financiamento externo;
b) aversão a acolhida de novos sócios ainda que sem direito a voto;
"
c) aversão a dar satisfação a acionistas minoritários
pêndios da empresa;
do desempenho
e dos~dis-
94
d) aversão ao endividamento externo de longo prazo, mormente quando há cláusulas de garantia hipotecária e de correção monetária;
e) aversão a riscos e responsabíiidades adicionais por projetos de expansão e orincipalrnente de diversificação em setores que desconhece;
f) alcançamento de realização espiritual e enriquecimento
. de rendas e posse de patrimônio julgados satisfatórios;
material pela auferição
g) dificuldade de continuação da atividade, por inexistirem sucessores, por estarem
estes vinculados a outras atividades, ou por não terem propensão para o negócio
da família;
h) desânimo provocado por idade avançada, por saúde precária ou por desentendimentos entre sócios e/ou seus familiares;
i) receio de reduzir ou perder o controle acionário quando não é possível apro-.
veitar por inteiro o direito de preferência no aumento do capital, mesmo sem a
entrada de novos sócios;
j) interesses em setores mais promissores fora da empresa que absorvem prioritariamente seus recursos de capital; aqui surge um problema paralelo de racionamento de capital do proprietário que se superpõe e· interfere com o problema
de racionamento de capital da empresa;
k) desejo de maiores dividendos ou retiradas de recursos da empresa para realização de seus planos pessoais, domésticos ou empresariais, com a conseqüente
diminuição dos lucros retidos na empresa;
1) recusa em conceder garantia pessoal a empréstimos de longo prazo tomados pela
empresa, que redundariam em benefícios para sócios ou quotistas que não prestaram ou não poderiam prestar essa garantia;
m) disputas entre sócios .e quotistas
diretivos oferecidos pela empresa;
para o preenchimento
dos escassos cargos
n) manutenção de uma política de tradição de pai para filho a 'n' gerações com
base em uma função de produção tecnologicamente
superada ou pouco
atualizada;
o) excessiva centralização das grandes decisões que moldam o futuro da empresa
nas mãos de dirigente muito avesso ao risco e com o espírito pouco aberto às
inovações e às mudanças do ambiente externo;
p) temperamento isolacionista pouco agregativo dos empresários de países subdesenvolvidos que impede a existência de grandes sociedades capazes de empreender grandes projetos;
q) limitações legais impostas a estrangeiros, falidos e concordatários;
e
r) outras limitações.
1.7.3.2 -
Limitações Impostas pelo Ambiente Interno da Em{>resa:
a)
re baixamento
dos padrões de crédito da organização para
fornecedores, provocado por endividamento necessário à exp~nsão;
com
seus
b) escassez de recursos gerados internamente
em montante adequado para
compor, sem alteração substancial da estrutura e do custo de capital da
empresa, o pacote de recursos requeridos para a adoção de todas as
oportunidades aprovadas no teste aceita-rejeita;
95
c) indigestão administrativa e técnica decorrente da indisponibilidade de pessoal
interno, qualificado para a implementação dos novos projetos ou, o que é o
mesmo, descompasso entre recursos gerenciais e oportunidades de investimento;
d) política de investir só na medida dos recursos gerados internamente;
e) aversão à obtenção de recursos financeiros externos, quer de acionistas, quer de
debenturistas ou de empréstimos bancários, com receio a testar a eficiôr cia da
administração;
f) ausência ou desconhecimento
de boas oportunidades pela inexistência de
pesquisa tecnológica interna ou por falta de condições para adquirir e absorver
tecnologia externa;
g) inexistência de uma boa imagem empresarial ou de um bom poder de barganha
para empreitar "joínt ventures" com grupos estrangeiros;
h) política de manter uma taxa estável de dividendos, na ausência de uma reserva
fundada para tal, o que implica em contrair .os investimentos em anos de
escasso lucro, ainda que decorrente de determinantes conjunturais;
i) incapacidade de comparecer no mercado financeiro de débito e de ações para
captar grande volume de recursos para grande projeto;
j) falta de um processo sistemático de investigação de novas oportunidades
investimento ede capacitação de toda ordem para adotá-los;
de
k) atitude deliberada de conter investimentos por uma temporada para reter
recursos que deverão financiar grande projeto em futuro breve e em fase de
planejamento;
.
1) política de guardar alguns projetos posponíveis para anos futuros, em que sejam
escassas as oportunidades de investimento;
m) existência de tetos para investimento
"holding";
impostos pela matriz ou pela empresa
n) culto à segurança e ao controle mais que ao crescimento, revelados por atitudes
coletivas avessas ao risco e ciosas do controle acionário;
o) insuficiência de poder competitivo e de eficiência gerencial que desaconselham
expansões
significativas, ainda que em face de oportunidades
ricas e
abundantes;
p) política de não permitir a elevação do custo de capital e de aceitar apenas
P&opostas que apresentem retornos superiores a esse custo em "u"unidades
percentuais;
q) receio de adotar bons projetos mas que podem vir a reduzir, temporariamente,
o lucro por ação e a prejudicar o desempenho do seu papel em Bolsa;
•
r) necessidades organizacionais que requerem a adoção de orçamentos como ferramenta de planejamento e controle, de racionalização no uso dos recu~sos e
que implicam na existência de tetos "de investimentos e pisos de rentabilidade;
s) limitações de recursos outros que não financeiros, gerenciais e tecnológicos,
como por exemplo, mão-de-obra semi-especializada e espaço físico;
t) in definição das políticas
empresa;
u) outras limitações.
de investimento,
financiamento
e de dividendos da
96
1.7.3.3 -
Limitações Impostas ~lo Ambiente Externo
à Empresa:
a) restrições legais a setores, atí- idades, grupos e pessoas;
b) políticas econômicas governamentais restritivas para determinadas atividades
que interferem com objetivos nacionais, como por exemplo, as que dependem
de equipamentos, insumos e serviços importados em situações de déficit da
Balança de Pagamentos;
c) dificuldades à entrada de capital estrangeiro, de risco ou de empréstimo, face à
orientação política do país, ao seu endividamento externo ou ao seu potencial
de comércio exterior;
d) desaquecimento global da economia ou desaceleração natural ou induzida de
alguns setores de atividade;
e) escassez de financiamento interno ou externo para projetos de certo porte ou
para aquisição de bens de capital e tecnologia importada;
f) dificuldades de aquisição de ativos fixos nacionais ou importados
dam grandes prazos para construção ou para entrega;
que deman-
g) indivisibilidade de projetos, principalmente os que são muito sensíveis às economias de escalas e os que demandam grandes períodos e custos de implantação;
h) dificuldades na aquisição de matérias primas essenciais, nacionais ou estrangeiras ou outros insumos e serviços críticos para a atividade da empresa;
i) forte concorrência no presente, ou expectativa de acirrada competição no futuro, em conseqüência de projetos de grande porte em fase de implantação;
j) limite para a captação de recursos impostos pelas comunidades financeiras, nacional e estrangeira a uma dada empresa em expansão;
k) escassez de recursos não monetários e não físicos, por exemplo, recursos gerenciais, tecnológicos e empresariais para a adoção das oportunidades oferecidas
pelo ambienteeconômico;
.
1) fragilidade da pesquisa científica e tecnológica nacional, tanto a nível universitário como empresarial; dificuldades na adaptação e absorção de tecnologia estrangeira;
\
m) conhecimento incompleto e não sistemático dos recursos naturais economicamente aproveitáveis e das tecnologias específicas para explorá-los;
\
n) limitações da renda per capita e da poupança nacional, despreparo do pequeno
e médio investidor para aplicações em papéis de renda variável, imaturidade do
mercado bursátil e ~omportamento pouco responsável das empresas para com
as minorias acionárias;
o) ausência de permeabilidade e efetividade dos mecanismos legais para assegurar
os direitos dos credores e investidores em sociedades de risco;
p]. altos custos de transação e de "underwriting" para o capital coletado no rnerca-,
'\10, principalmente para empresas de pequeno e médio porte, neófitas ou com
t.~,~ucotrânsito nesse mercado;
\
q) Idíossincrasías do investidor que favorecem a capitalização das empresas emissoras \~ papéis considerados "blue chips" em detrimentos de outras empresas
com bof(~ planos para o futuro.;
\
\
r) outras limi.. ..cões,
97
A conseqüência principal do racionamento, quaisquer que sejam suas causas determinantes, é o desencadeamento de cursos de ação subótimos para o "status" futuro da organização e para a riqueza de seus sócios.
Comparando uma empresa a um organismo biológico cujo crescimento se dá pautado por leis naturais internas e
pelas restrições do meio ambiente, verificamos que sua evolução é um fenômeno que depende de dois elos c que o
mais fraco deles determina o ritmo de desenvolvimento do sistema. Como o meio ambiente é um dado do problema,
cumpre aos empresários minimizar suas limitações e as de suas empresas, a fim de fugir ao máximo às implicações
impostas pelo onipresente processo do Racionamento de Capital.
2 - UMA INTRODUÇÃO
RACIONAMENTO
AO ESTUDO TEÚRICO
DE CAPITAL
DO ORÇAMENTO
E
Neste segmento de nosso estudo dedicar-nos-emos a uma revisão de alguns dos principais trabalhos teóricos
relativos ao Investimento de Capital. Concentraremos, inicialmente, nossa atenção sobre os principais livros e artigos
surgidos na segunda metade deste século, entre os quais se encontram as contribuições originais de Joel Dean, de
Friedrich e Vera Lutz, de Jack Hírshleifer :e outros mais. Reservaremos, entretanto, todo o quarto capítulo para a
análise do importantíssimo trabalho de Martin Weingartner.
Alguns desses textos não se referem frontalmente ao problema do Racionamento de Capital, mas criam a
moldura básica e constroem os conceitos e raciocínios fundamentais para o estudo do problema do Orçamento de
Capital, do qual aquele é apenas uma parte.
.
Recapitularemos ainda as posições assumidas pelos principais livros didáticos de Finanças no campo sob
. investigação, para depois explicitarmos nossa posição face às polêmicas que ainda se observam no desenvolvimento
da metodologia de avaliação de investimentos sob condição de restrição orçamentária.
A preocupação com o investimento de capital antecede ao próprio nascimento da Economia como ciência
. há duzentos anos e é assunto presente nas obras de todos os economistas, desde Adam Smith. Alfred Marshall com o
seu tratado "Principles of Econornics" deu início a uma importante renovação nesta ciência com a introdução da
análise parcial que foi de grande significação para o fortalecimento da Teoria do Investimento e da Teoria da
Firma. A ele se juntam, na primeira metade deste século, inúmeros nomes célebres, dos quais citamos alguns dos
mais referidos na literatura financeira, 1 para dar uma idéia da atenção que o assunto recebeu da comunidade
acadêmica da época.
Nesse mesmo período "Finanças de Empresa" emergia como um campo separado de estudos científicos e
paralelo ao estudo de Economia. Criou, no entanto, nomenclaturas e fílosofias próprias e em "business parlance"
passou-se a falar de "capital budgeting" e "cost of capital" entre outros termos.
A torrente de trabalhos e publicações que começou a jorrar a partir de 1950, de economistas,
financistas e pesquisadores operacionais sobre a problemática do investimento, suas interligações com as questões do
financiamento e dos dividendos é capaz de absorv..er por longo tempo qualquer estudioso mais aplicado. A lista dos
artigos que consultamos, que não contempla a abordagem probabilística e inclui somente os trabalhos mais relevantes de Programação Matemática aplicada ao tema, nos revela a intensa efervescência de idéias que irrompeu no
após-guerra e persiste ainda hoje.
•
1
Irwing Fisher, The Rate of interest (Macmillan, 1907); E. V. Bohom-Bawerk, Positjve Theode des Kapm, 4 th cd. (Jcna, 1921); ,
Irwing Fisher, The T.heory of intcres! (Macrnillan, 1930); F. H. Knight, "Capital time and interest rate" ,!k.Q!lQ.!pctric3 (August,
1934); Kenneth E. Boulding, "Thc Thcory of a single ínvestment", Quarterly Journal of Economics (May, 1935); John
Maynard Keynes, The Theory of employmcnt, interest and moncy, (Londo n: Harcourt, Brace and Co., 1936); Paul
Samuelson, "Sarne aspect s of the pure theory of capital", Quartely Journal of Economics 51 (1936-37): 469-96; N.Kaldor,
"Annual survey of econornic theory: t he recent controvcrsy on the theory capital" EconomctriC-1 (July 1937): 201-33;
A. G. Hart, "Ant ecipat ion, busincss planning and the cycle", Quarterly Journal of Economics 51(1937): 273-97; J. B.
Wílliams, Thc Theory of investmcnt value, (Carnbridgc, Mass.: Harvard University Press, 1938), p, 87 -96 :N. Kaldor.
"Capital intcnsit y and the tradc cycle", Economcirica (Feb. 1939); M. Kalccki, Thc Principie 01' incrcasing risk, in Essay.ll!l
the theory 01' cconomic flutuat ions, (London, 1939); J. R. Hicks, Value and capital, 2nd. ed. (Oxford, 1946); F. A. Hayek ,
~
thl'Ory 01' capital (Lo ndo n, 1941); Friedrich Lutz, "The Critcrion of maxirnum profits in thc thcory of
ínvcstmcnt", .Ql.!.;Il'krlyJournal Df Economics (Novemb cr, 1945); George W. Terborgh, QYnJll1ic cql!.ipmcnt policy, (Ncw
York, 1'.~cGraw-Hi1I,1949); Eugenc L. Grant and W. GrautIrcson; Principks 01' cnginecring~y,
(Ncw York;,The
Roland Prcss Company, 1930) e muitos outros autores igualmente fecundos.
.99
Nesta ampla massa de informações encontramos muitas polêmicas, muitos pontos obscuros, muitos desenvolvimentos teóricos que se completam e que se destroem, deixando-nos a convicção de que a avalição de propostas
de investimentos é, ainda hoje, uma questão em aberto à pesquisa, porque há falta de consenso sobre muitos
problemas e pela falta de operacionalidade de muitas idéias que parecem promissoras.
Neste capítulo elegeremos um punhado desses trabalhos que marcaram época no desenvolvimento do tema
que nos ocupa, e deles apresentaremos um relato sucinto de seu conteúdo, sobretudo sobre os temas mais ligados ao
Orçamento e ao Racionamento de Capital.
Antes de fazê-lo queremos mencionar a diferença de tratamento que observamos entre os economistas e os
financistas. Estes estão mais preocupados com a empresa, um ente econômico isolado dos acionistas, que não
consome, que não se possui a si própria, que não tem fortuna nem renda pessoal, que se apropria de recursos de
outros entes econômicos apenas na medida em que dispõe de oportunidades de aplicações que são usualmente
indivisíveis, não fracionáveis. O custo do pacote de recursos à disposição da empresa é mensurado pelo "custo de
capital" que é uma média ponderada dos custos individuais dos diversos tipos de recursos que absorve. A adoção de
novos projetos determina o incremento desses recursos, o que se dá freqüentemente por porções discretas com um
custo de capital marginal que afeta ou não o custo médio anterior.
Os economistas estudam o investimento como um problema abrangente que tanto interessa a empresas
. como a pessoas, mas são muito atraídos para a análise destas últimas, que, dispondo de uma renda pessoal,
enfrentam um primeiro ponto de decisão representado pela dicotomia consumo x investimento, passando em
seguida para outros pontos de decisão ao longo dos segmentos em que se desdobram o consumo e o investimento;
este é entendido como uma posposição
do consumo e está sempre presente na comparação das utilidades dos
. consumos presentes e futuros, o que varia de pessoa para pessoa, consoante suas características individuais. Para este
último investidor as oportunidades de investimento soem ser uma função contínua onde se adapta com perfeição o
tratamento marginal que explica o equilíbrio. Além disso, o investidor indivíduo é dono de seu próprio dinheiro que
deve ser consumido ou poupado. Não desejando consumir ou investir, entesoura mas não devolve recursos ao sistema
econômico, como acontece com a empresa quando não encontra oportunidades satisfatórias de aplicação.
Mesma quando os economistas se detêm no estudo do Equilíbrio da Firma, continuam prevalecendo
suposições egressas da Teoria do Investimento, como por exemplo a monotonicidade das curvas de oferta e demanda
de recursos de investimento, a dicotomia poupança e consumo, presentes ou futuros. Por outro lado, parece-nos que
não separam convenientemente os entes econômicos investidor e empresa, insistindo em fazer do primeiro o foco de
suas atenções e da empresa um instrumento das intenções desse investidor, como é o caso de Fisher, dos Lutzes e de
Hirshleifer, que analisaremos a seguir. As taxas de desconto são por sua vez, freqüentemente, juros do mercado
financeiro de empréstimo, ou eficiência dos projetos disponíveis, mas nunca o custo de capital da empresa como
visto .em Finanças.
O universo de preocupações da Economia é muito mais abrangente, o sistema que estuda é bem mais
complexo, sua tarefa é muito mais ingrata. Em "business finance" tratamos com um subsistema econômico que
trabalha segundo regras mais explícitas e que se estrutura com base num ente impessoal que é a empresa, que só
capta recursos externos na medida dos planos concretos de investimento disponíveis e que pode devolver ao sistema
os recursos que excedam esses planos, através da distribuição de dividendos e/ou da amortização antecipada de
empréstimos.
2.1 -
UM COMENTÁRIO SOBRE O LIVRO DE JOEL DEAN
O ano de 1951 trouxe à luz o festejado livr02 "Capital Budgeting" que é considerado
referência dos progressos em Finanças no campo do Orçamento de Capital.
um marco de
Nele, o autor discute inicialmente os aspectos da demanda por recursos da parte de uma empresa, os
critérios de mérito desses projetos e as ordenações descendentes, segundo suas Taxas Internas de Retomo. Enfoca
ainda a dimensão temporal dos dispêndios de capital, os princípios de medição dos ganhos produzidos pelo capital, a
problemática da incerteza do futuro, terminando por ratificar a visão marginal que se requer para a adoção de um
projeto por uma empresa já constituída, quando afírmaê "The essential principIe is that estimates should be based
on the change in the company's total earnings and total costs that will result from the proposed investment".
2
3
Dcan, ºpital,
--,-,
6th. printing,1962.
p. 35.
100
Em seguida, encontramos o estudo do suprimento de recursos para a empresa, desdobrados em fontes
internas, constituídas de lucros retidos mais depreciações.é e fontes externas, representadas por obrigacionistas e
acionistas. São discutidos assuntos palpitantes para a época, como política de retenção de resultados, custos de
captação de recursos e estrutura e custo de capital.
o capítulo IV é todo dedicado ao problema do "Racionamento de Capital", como decorrência natural da
justaposição da "demanda" com o "suprimento" de fundos, apresentando o que o autor denomina de uma "theory
of capital rationing" na qual os projetos são comparados por sua taxa de retorno. Apesar do uso de curvas contínuas
de demanda; Dean já as julgava uma simplificação da realidade porque "capital proposals are lumpy and discrete".
A "Teoria do Racionamento
de Capital" de Dean apresenta cinco pressupostos bãsícos.ê
a) o objetivo da empresa é maximizar lucros;
b) há perfeita previsão de todas as oportunidades
futuras de investimento;
c) é possível cal~ular-se com precisão a taxa de retorno prospectiva de cada projeto;
d) os riscos dos projetos são iguais ou foram equalizados por um "handicaping system";
eY a empresa tem acesso ao mercado de capital de débito e de ações, e seu custo combinado de capital pode
ser calculado.
A prática do racionamento
requer.s
a) um sistema de aferição de mérito para listar os projetos, que Dean elege como sendo a Taxa Interna de
Retorno;
b) uma taxa padrão de rejeição que pode ser:
i) a taxa de interseção das curvas de demanda e oferta de recursos, por ele defendida;
li) uma taxa básica rmruma inflexível, independente
oportunidades, condenada por Dean;
da oferta de recursos e da disponibilidade
de
íií) uma taxa de corte de longo prazo que busca antever a interseção das curvas de oferta e demanda de
recursos cinco ou dez anos no futuro, por ele igualmente criticada; e,
iv) uma taxa diferencial que proteje investimentos estratégicos, igualmente por ele rejeitada.
Dean estuda duas das situações clássicas de limitações de recursos que, segundo sua nomenclatura,
são:
a) financiamento autônomo: neste caso a quantia de recursos para novos investimentos é fixa e deriva do
montante de recursos internos disponíveis que se encontra representado por uma reta vertical da oferta,
inelástica, e que intercepta a curva da demanda por recursos num ponto denominado de "cut-off rate".
Esta taxa deve ser igual ou superior ao custo de capital para que todos os recursos disponíveis sejam
efetivamente aplicados, do contrário teremos o não aproveitamento total dos recursos internos que
seriam assim parcialmente distribuídos como dividendos extras. Quando há abundância de ricas oportu-:
nidades de investimento, esta taxa de corte pode ficar muito acima do custo de capital e a empresa não
maximiza a riqueza do acionista, a menos que incorra em algum financiamento externo; este comportamento inflexível poderia ser rotulado de "racionamento interno", ou racionamento senso restrito, ou
racionamento "duro" e está mostrado na Figura 2-1 (a);
b) Financiamento externo: aqui a quantia de recursos é determinada pela interseção da curva de demandá
com a curva de oferta (esta se compõe de uma reta vertical, correspondente aos recursos internos, que
..•
: ;::-._-
4
5
6
Dcan, Capital, 6th. pr inting, 1962. p. 38, 39 e 59.
-.
--,
p. 75-6.
--o
--,
p. 63.
BmLIOTECA IíARL A. BOEDECliBP
101
continua por uma: curva monotonicamente ascendente representando o comportamento dos custos dos
recursos externos de débito e de ações) se a taxa de interseção for igual ou maior que a taxa de corte;
.esta se encontra agora representada pelo custo do financiamento externo em obrigações e ações, antes da
escalada dos custos desses recursos externos.
Quando acontece extrema escassez de oportunidades de investimentos, a situação se converte na anteriormente descrita de financiamento autônomo. Este comportamento flexível comportaria a denominação de "racionamento externo" ou racionamento "brando" e está mostrado na Figura 2-1 (b).
1·
TAXAS OE RETORNO
PROSPECTIVA
E DE
CORTE
Oferla
Im
Prosperidade
Cul - 011 rale
único
•
Demanda em
Depressão
. O~'~'i~d~
em
Prosperidade
'2
ImSTlMENTO
Oferla
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em Depressão
1111
Depressão
Olerla
em Prosperidade
P2
....':.::.:...Dell1and~ em
. O-ormao
•
LRI
Dilidendos
hlras
o estudo
Demanda tm
°rosperidade
do equilfbrio em condições de financiamentos
LR2
IZ
Empréstimo
INVESTlMEITO
FIGURA 2-1
autônomo e externo, segundo Dean.
102
Para Dean, a taxa de corte deveria ser determinada pela taxa de interseção, em qualquer caso, desde que'
igual ou superior ao custo de capital, mas, na prática, esta taxa costuma ser imposta pela administração.
Neste estudo são mostrados também os comportamentos diferentes das curvas da demanda e oferta de
recursos para investimento quando há depressão ou prosperidade e as suas conseqüências sobre o ponto de equilíbrio. Vemos também uma forma curiosa de tratar a incerteza com a criação de uma faixa sombreada de cada lado da
curva da demanda.
É importante notar a abordagem larga dada por Dean ao conceito de Racionamento de Capital para a
empresa. Anteriormente esta expressão estava ligada à idéia do racionamento interno e inflexível, ou à idéia de Hart
.de urna? "non price limitation on the acquisition of debt and equity funds". Esta visão é contrastada por outra
defendida por Weingartnerf segundo a qual o Racionamento de Capital é principalmente um procedimento administrativo para alocar racionalmente recursos escassos, mas de montantes variáveis, entre oportunidades abundantes e de
méritos decrescentes.
A opção de Dean pela Taxa Interna de Retorno não o livrou de enfrentar o, problema das "cut-off rates",
por ele tratadas de forma muito pragmatista quando diz9 "the cut-off - is the pivot of the procedure capital
budgeting procedure .. Theorically ... is determined exogenously, but in practice are, for administra tive reasons,
set by management using rough forecasts of the intersection rates". A reta vertical representativa da oferta de
recursos internos a qualquer custo alertou, também, Dean para o problema dos custos de oportunidades apresentados
por aplicações fora áa empresa, o que seria uma visão da "lending rate" mencionada por muitos economistas da
época, como veremos em seguida, em outros trabalhos.
A disputa sobre que taxas de corte usar no cálculo do yPL, ou para comparar com a Taxa Interna de
Retorno, era anterior a Dean, mas se acirrou nos anos que se seguiram à obra sob comentário.
2.2 -
UMA NOTÍCIA SOBRE O TRABALHO DE FRIEDRICH E VERA LUTZ
Em 1951 foí também o ano do surgimento do livro 1 O "The Theory of the Investment of the Firm" do qual
comentaremos apenas o Capítulo lI, "Criteria of Profit Maximization". Seus autores estabelecem quatro critérios
possíveis, para medir o mérito de um projeto do ponto de vista dos empresários, e que deveriam ser maximizados.
Chamando de V o valor presente das receitas brutas e de C o valor presente de todos os custos, os quatro critérios
seriam:
.a) Maximizar V - C ;
b) Maximizar V tc
;
c) Maximizar a Taxa Interna de Retomo sobre todo o capital empregado - TIR;
d) Maximizar a taxa de retomo 'k' sobre o capital do empresário.
Os propósitos do estudo dos Lutzes são, primeiro, mostrar que os quatro critérios podem conduzir a
resultados diferentes na ótica do empresário e, segundo, eleger um deles como base da Teoria do Investimento.
7
Ver Jack Hirshlcifcr, "On the theory of optimal ínvestment decision", Journal of PoliticalEconomy
Managemcnt or corporate cap!!i!.l,Ezra Solomon (G lencoc, Illinois: The Frce Press, 1959), p. 214.
8
Ver Willard T. Carleton, "Linear programrning and capital budgcting models - a new intcrprctatíon", Jour nal or Finance
24(Deccmbcr 1969) :830 e também, Stewart C. Mycrs, "A Note on linear prograrnming anti capital budget ing", Journal
of Finance 17 (March 1972): 90.
9
10
Dean, 9pital,
(August, 1958) In Thc
p. 80.
Friedrich Lutz and Vera Lutz, The Thcory or the invcstmcnt of the firm, (Princepton Univcrsity Prcss, 1951).
103
Quanto à segunda questão, a escolha dos autores se faz de forma simplista quando dizem logo no inícioll:
"We shall suppose that under all circunstances the entrepreneur will want to maximize the rate of return (k) of his
(given) capital over whatever period he has in view"; e corroboram ao finall2 :"It seems appropriate to suppose that
the entrepreneur should aim at maximizing the rate of return k on his own capital over the whole period for wich he
expects that capital tobe available for investment".
o restante rio texto é dedicado, portanto, ao estudo dos conflitos entre os indicadores mencionados, nas
diversas circunstâncias em que se depara o investidor, para concluir quel3 a maximização de V - e coincide com a
maximização de 'k' em todas as situações realísticas, e que essa coincidência é menos freqüente quando se trata da
Taxa Interna de Retorno Média - TIRmed' Por esta razão elegem V - C como critério básico, vez que é mais fácil de
manipular algebricamente do que 'k', optando também pela capitabilização contínua.
v -e é da família dos Valores Presentes Líquidos, e sua individualização depende da taxa de desconto
utilizada. Para o financista a menção do VPL traz usualmente a idéia de uma equivalência financeira obtida com o
emprego do "custo de capital". Para os Lutzes V - C é obtido com outras taxas provenientes do mercado financeiro, e
seu estudo se divide em dois segmentos principais, sendo o primeiro relativo à "escala" ou extensão monetária do
investimento e o segundo; à intensidade da "técnica" ou duração do investimento.
o estudo da otimização da empresa com seu tamanho é feita em duas etapas. A primeira, muito irreal,
contempla uma situação em que o capital inicial do acionista é fixo, as taxas de juros de emprestar e tomar
emprestado são iguais e constantes e o seu acesso ao mercado financeiro é ilimitado. O investimento inicial é todo
feito num s6 instante, e todos os benefícios são auferidos num s6 instante futuro. Estas são as duas variáveis
contínuas do modelo a otimizar. Neste caso V-C e 'k' serão maximizados conjuntamente quando a Taxa Interna de
Retorno Marginal - TIRmar for igual à taxa única de juros, e v/e e TIRmed serão maximizadosem conjunto
quando as Taxas de Retorno, Média e Marginal, forem iguais.14 O volume de investimentos 12 para maximizar VPL
é maior d? que 11 para otimizar TIRmed' como mostrado na Figura 2-2.
o segundo modelo de análise de escala é mais real, porque admite que taxas de emprestar
emprestado são diferentes, e que a primeira é constante mas a segunda é variável com o volume de
envolvidos. As demais condições do modelo anterior são mantidas, e os resultados-f mostram que V - e e
nuam sendo maximizados juntos quando a taxa marginal de retorno é igual à taxa marginal de tomar
emprestado. V/C e TIR dão, agora, indicações diferentes do volume ótimo de investimento.
e tomar
recursos
'k' contidinheiro
o problema da duração do investimento, ou da "técnica" como querem os autores, é mais complexo. Em
primeiro lugar eles distinguem dois horizontes: o "horizonte de fundos" que traduz a expectativa do tempo em que
os recursos dos empresários estão disponíveis para o investimento, e o "horizonte de investimento" que é o tempo
presumido da absorção de recursos pelo projeto. Em segundo lugar, eles classificam esses horizontes em "dependentes" e "independentes", em função da indivisibilidade ou divisibilidade desses tempos, o que afeta a maximização dos indicadores de mérito em estudo.
o problema de diferentes "técnicas" é estudado para uma taxa de juros única, ou taxas de juros diferentes,
e para diferentes escalas, entretanto, quando16 o horizonte de fundos é independente, o volume de investimento
que maximiza V - C é o mesmo que maximiza 'k', o que não prevalece quando este horizonte é dependente.
11
12
13
Lutz and Lutz, The Theory, p. 17.
--,--;
--,
p. 42.
--'
-, p. 17.
14 ---,--;..p.-21-22.
15
16
--,
--,
p. 23-24.
--,
--,
p. 31-38 .
.
-
104
TAXAS INTERNAS MEDIA
[ MARGINAL OE RETORNO
[ DE JUROS
INVESTIMEKTO
FIGURA 2-2
o estudo
da "escala" ótima de investimento, segundo os Lutzes.
Os Lutzes encerram dízendo.l ? "We conclude, then, that in alI the pratícally important cases, maximizing
V - C both with respect to scale and with respect to technique is a correct criterion to follow, since in these cases this
criterion is identical with the criterion of maximizing the rate of return (k) on the entrepreneur's own capital. Wl1en
the rate of interest on the entrepreneur's borrowed funds is constant (and equal to the lending rate) this means
bringing the marginal internal rate of return to equality with the interest rate at both 'extensive' (scale) and the
'intensive' (technique) margins. When the borrowing rate is not constant, but is a increasing function of the volume
of funds borrowed (and does not coincide with the lendíng rate) the conditionthat
the marginal internal rate ofreturn is brought to equality with the marginal borrowing rate still holds at the scale margin ... but it holds at the
technique margin only under special assumptions concerning the entrepreneur's internal investment horizon. When
these assumptions ... do not hoid ... involves the market lending rate as wíll the borrowing rate". (Os grifos são
nossos).
Deparamo-nos com um depoimento valioso em favor do Valor Presente Líquido que é encontrado em
muitos outros textos, mas nos deparamos também com a controvérsia fundamental e igualmente generalizada sobre
qual taxa de desconto usar como ponto de corte para o volume de investimento ótimo.
17
Lutz and Lutz, Thc Thcory, p. 42-43.
••
105
o
No que tange a "racionamento" os Lutzes recomendam evitar o uso da maximização de V-C sempre que
investidor não tiver acesso ao mercado financeiro ou tiver esse acesso "racionado" com respeito às quantidades a
tomar emprestado.
2.3 -
AS PROPOSIÇÕES REVOLUCIONÁRIAS
DE MODIGLIANI E MILLER - MM
A obra de MM é muito ampla e complexa para ser resumida em poucas linhas, razão por que nos ateremos
aqui apenas ao artigo "The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment" por estar intimamente ligado ao assunto do nosso interesse.
O foco desse trabalho é o "custo de capital" sob. condições de incerteza com suas inúmeras implicações
sobre as políticas de investimento e financiamento da empresa. De início são mencionados os tratamentos para a
incerteza na forma da "taxa de desconto ajustada para o risco", elo "equivalente certo dos fluxos de benefícios" ou
da "teoria da utilidade do investidor". Os autores se manifestam favoráveis a esta última mas observam que não é
possível conhecer as preferências pelo risco do conjunto de acionistas de uma empresa.
Os pressupostos da análise de MM são numerosos e repousam fortemente. na existência de um mercado
financeiro perfeito. Eles criam, por exemplo, um conjunto de classes de "retornos equivalentes" que permite
enquadrar todas as ações existentes no mercado. Dentro de cada classe, o retorno de uma ação é proporcional ao
retorno de qualquer outra ação da mesma classe. Uma ação pode. ser caracterizada pela classe a que pertence e por
. seu retorno esperado.
Para a situação particular em que uma empresa está financiada só por capital, o preço de uma ação é
facilmente obtido pela divisão dos retornos constantes e perpétuos a ela vinculados -R-, pelo coeficiente 'k' que
caracteriza cada classe de ação.
P=R/k
O operador 'k' é interpretado como sendo18 a taxa dê retorno esperada para as ações daquela classe, ou a
taxa de capitalização do mercado para os fluxos de benefícios das ações dessa classe, ou 19 o ponto de corte para os
investimentos da empresa, ou ainda2.O como seu custo médio de capital.
Relaxando a suposição anterior, isto é, admitindo a presença de credores, a Proposição I de MM revela que,
ainda assim, o valor de mercado de qualquer empresa, que inclui, agora ações e obrigações, é independente de sua
estrutura de capital e é dado pela atualização de seus retornos esperados à taxa 'k' apropriada para sua classe, ou,
como corolário, que o custo de capital, 'k', para qualquer empresa é completamente independente de sua estrutura
de capital e é igual à taxa de atualização de sua classe.
A Proposição II estabelece que a rentabilidade -rde uma ação é uma função linear da razão
"Debt/Equity"
em que o coeficiente linear é 'k', e o coeficiente angular é k-j, onde 'j' é a taxa de juros sobre os
débitos. Temos,
r =k
+ (k - j) D/E onde (k - j) D/E é o prêmio relativo ao risco fínanceiro que se sobrepõe a k.
Com estas proposições o problema da estrutura ótima de capital desaparece-U porque todas as empresas
tenderiam ou para uma escolha de estrutura de capital indiferente ou para uma situação de financiamento quase
totalmente apoiada em recursos de terceiros, maximizando o retorno do resíduo de capital próprio existente .
•
18
F. Modigliani and Merton H. Míller, "The Cost of capital, corporation finance and the theory of investment", American
Economic Revíew 48 (June 1958) In Fo li nd atio ns for financialm3nagcmcnt: a book of readi!)g!. J. C. Van Horne
(Horncwood, IIIinois: Richard D. Irwin, Ine.) p. 374.
19
--,
--,
p. 395.
20
--,
--,
p. 375.
21
Modigliani and Miller, The Cost, p. 399.
106
A Proposição III é uma decorrência das anteriores e diz que22 o ponto de corte para investimento numa
empresa será em todos os casos 'k' e será completamente independente da forma como se financia o empreendimento, ou, como corolário, que o custo marginal de capital é igual ao custo médio de capital para qualquer firma e
para diferentes volumes de investimento.
As implicações desta teoria para o racionamento de capital são claras e simples. O comportamento orçamentário está determinado em primeiro lugar pela classe de risco em que a empresa se encontra e em segundo lugar pelo
elenco de oportunidades de que dispõe, podendo sempre imp'ementar todos os projetos que passarem no teste
aceita-rejeita. Para MM lucros retidos são considerados ações subscritas compulsoriamente, e o acesso ao mercado
financeiro perfeito é franco, não havendo portanto oportunidade para o tipo de racionamento "hard" imposto pelos
.recursos internos.
CUSTOS
PERCENTUAIS
D/E
D/E
k
D/E
FIGURA
Abordagens do "Net Operatíonal lncorne", do ';Net Income" e "Traditional"
de Capital de uma empresa.
22
Modígliani and Miller, The Cost, p. 395.
na Teoria da Estrutura
2-3
107
MM refinaram posteriormente suas proposições considerando o impacto do imposto de renda, dos custos de
transação e de outras imperfeições do mercado real mas não abandonaram sua idéia básica da constância do custo de
capital médio de uma empresa, ao menos dentro de um amplo trecho da relação D/E, o que tentaram comprovar
com pesquisas empíricas em vários setores de produção.
Pretendem também com sua teoria criar uma "definição. operacional de custo de capital" para base das
decisões racionais í.:~investimento, mas reconhecem que muito resta a fazer para que "custo de capital" seja
considerado 'um problema definitivamente resolvido em Finanças.
As contribuições de MM não são fáceis de aceitar mas são muito bem estruturadas teoricamente, o que
deu lugar a um aceso debate éntre os pesquisadores da época. Esta visão, também denominada de "Net Operating
Income Approach" é uma das três escolas existentes sobre estrutura de capital e que estão mostradas na Figura
2-3. As outras duas são a do "Net Income Approach" onde os custos de recursos de débito e de capital são sempre
constantes com a variável D/E, e o "Traditional Approach", à qual aderimos, que considera tanto os custos de débito como os de ações, como funções, constantes a princípio e monotonicamente
crescentes a seguir, da razão
D/E. Em ambas, o custo 'de capital 'k' não é mais constante e apresenta um ponto de mínimo que aponta? estrutura ótima de capital para uma dada empresa.
2.4 -
A CONTRIBUIÇÃO DE JACK HIRSHLEIFER
Partindo dos ensinamentos de Fisher para um mercado de capital perfeito, Hírshleífer+ê aprofundou o
estudo do problema do investimento ótimo a dois períodos, envolvendo-se na disputa entre os dois critérios mais em
voga, quais sejam o VPL e a TIR, e defendendo a posição fisheriana de que o investimento ótimo nâo pode ser
estudado ' como um fim em si mesmo porque ele é parte de um processo de distribuição do consumo no tempo.
Decisões de consumo e de investimento são assim interdependentes e essa é uma das grandes contribuições de Fisher
ao estudo da Teoria do Capital.
Utilidade Crescente
FIGURA 2-4
A visão de Fisherp'ara o investimento a dois
23
Hírshleifer, "On thethcory",
perfodos.
Journal of Polítieal Econorny (A ugust 1958) InThe Managcmcnt, Solomon, p. 205 -28.
108
o problema a que se propõe Hirshleifer é determinar a "escala" e a "composição" de um curso de ação
ótimo de um investimento simples a dois períodos, significando "investimento" um misto das oportunidades de
"produção" e "trocas" no mercado de capitais. Sua análise está mais voltada para indivíduos do que para empresas e
estes conhecem com certeza os retornos das oportunidades existentes, enquanto as empresas são entendidas como
instrumentos de atuação econômica dos indivíduos.
Um mercado de capitais perfeito significava para Fisher que a taxa de emprestar é igual à de tomar
emprestado e que ? -nbas não são afetadas pelos montantes envolvidos. Hirshleifer recorda essa posição antes de
diferenciar essas taxas de juros.
. A situação de um investidor individual a dois períodos é analisada no sistema de dois eixos cartesianos da
.Figura 2-4, representando o horizontal - RI - a renda disponível para consumo no período 1 e o vertical- R2 - a
renda disponível para consumo' no período 2.
Qualquer investidor é representado nesse gráfico por um ponto (que pode estar até em outros quadrantes
que não o primeiro, mas a análise se restringe a este), o que significa que há renda não negativa ou num ou noutro ou
em ambos os períodos. Por cada ponto desse quadrante passa uma reta descendente representando "a linha de
oportunidade de trocas" que permite a abstenção de consumo no período 1 em troca de mais consumo no período
2. Suponhamos que o Investidor A, que possui P unidades monetárias no período 1, resolva substituí-las por Q
unidades de renda, no período 2, através de empréstimo à taxa única de mercado 't'. Evidentemente Q é maior que P
e a reta Q P tem um ângulo 'a' menor que 1350. O mesmo raciocínio é válido para qualquer deslocamento no
gráfico; o investimento feito no período 1 é sempre a diferença de abscissas entre a situação inicial e final do
movimento do investidor, podendo essa diferença ser negativa quando o investidor antecipa recursos do período 2
para 1, através de um empréstimo, como é o caso do movimento de S para R, do investidor B. Todas as linhas de
mercado são, portanto, paralelas, e cada uma delas representa um "locus" de riqueza a dois períodos que aprisiona
um dado investidor, caso ele esteja restrito a emprestar ou tomar emprestado a umà taxa única de mercado. Cada
reta repre~enta um nível de Valor Presente - VP - no período 1, ou Valor Futuro - VF - no período 2.
Admitindo-se que cada investidor tenha uma família de "curvas de indiferença" por recursos no período 1
ou no período 2, a simples existência da "linha de oportunidade de trocas" ou "linha de mercado" já determina o
mais alto nível de utilidade que pode ser atingido com um dado VP. Para o caso dos exemplos retratados na Figura
2-4, as utilidades máximas se encontram no ponto X para B e no ponto Y para A. As curvas de isoutilidades são
convexas quando vistas da origem, e são pouco inclinadas como em UB, quando o investidor prefere consumo futuro,
e muito inclinadas como em UA quando o investidor prefere consumo presente.
Suponhamos que além desse tipo de investimento, via empréstimo, entre dois períodos, o indivíduo disponha de um elenco contínuo de oportunidades independentes de investimento reprodutivos que se denomina "curva
de oportunidades de produção" que são, em média, mais rentáveis que os empréstimos anteriores, e que para o
investidor B estaria representada pela curva RMWZV. Esta curva é côncava quando vista da origem e isto significa
que as primeiras abstenções de consumo no período 1, para investimentos que vão retornar no período 2, são mais
ricas de retorno que as últimas. O valor da derivada dessa curva num ponto, ou a tangente a essa curva nesse ponto,
retrata essa eficiência marginal que, como vemos, é maior que a eficiência. do empréstimo pelo menos nas fases
iniciais do processo de investimento. A reta que liga o ponto R a qualquer ponto de RMWZV traduz a eficiência
média dos investimentos feitos até aquele ponto.
O objetivo de qualquer investidor é subir em suas curvas de utilidade, o que B pode conseguir investindo LR
R e se posiconando no ponto W. Mas esta ainda não é a melhor situação para o investidor B, pois ele pode prosseguir
investindo até chegar ao ponto Z, para, tornando empréstimos sobre a reta Q P, posicionar-se finalmente em K,
ponto tangente com a curva de indiferença mais alta que ~le pode obter partindo de R.
Vê-se que o investidor B, através de duas etapas, conseguiu se situar na mesma "linha de mercado" do
investidor A. A primeira foi cumprida através de uma atuação produtiva e a segunda por meio de um estratagema
financeiro. É claro que A também pode fazer o mesmo, desde que tenha boas oportunidades de investimento
reprodutivo a sua disposição, sendo estas o trampolim mais importante para saltos visando curvas de indiferença de
mais alta utilidade,
Notemos, contudo, que a obediência à regra do mais alto Valor Presente - VP só levaria o investidor B até
Z, não dando qualquer indicação para seu deslocamento até K, porque estes dois pontos têm o.mesmo VP à taxa
única de mercado. A utilidade em Z, no entanto, é menor que em K para esse investidor.
O seguimento da regra que manda investir até que a taxa de retorno marginal seja igual ao 'custo de
oportunidade de emprestar no mercado financeiro também deixaria o investidor em Z, porque a tangente neste
ponto é uma "linha de mercado" construída com esse custo de oportunidade.
109
Neste exemplo o Valor Presente - VP - e a Taxa Marginal de Retorno - Tm - dão a mesma indicação de
volumes a investir mas são ambos impotentes para levar o investidor ao ponto que melhor satisfaz suas preferências
cronológicas, no que concerne ao balanço entre poder de consumo presente e poder de. consumo futuro. Só a
abordagem da utilidade tem condições de executar essa tarefa.
Em condições de racionamento de capital em que o investidorB não tenha acesso a empréstimos, as regras
do VP e da Tm o conduziriam até Z, quando deveria investir só o suficiente para alcançar o ponto W porque, para
nosso investidor hipotético, a curva de utilidade que passa em l?, UB2' é mais alta que a curva que passa ernZ, Este
racionamento interno, que ainda não é "severo" porque tem corno taxa de corte uma taxa de custo de oportunidade
dos recursos e não uma "cut-off rate" mais alta, arbitrariamente imposta, não permitiu a otimização da utilidade do
.investidor. Caso este se impusesse, por motivos de cautela ou por qualquer idiossincrasia, uma taxa marginal de corte
mais alta, ele se posicionaria, por exemplo, em M, o que é uma situação pior, quer vista pelo enfoque do VP ,quer
pela da Teoria da Utilidade.
o racionamento interno por falta de acesso ao mercado e com o uso da Tm produz uma subotimização pela
ótica da utilidade, já que impede uma escalada a curvas de utilidade mais altas, mas representa uma solução racional
pela abordagem do VPL à taxa de mercado. Já o racionamento arbitrário, por taxa de corte bem mais alta que a taxa
de mercado produz quase sempre soluções ilógicas pelos dois enfoques.
o
racionamento arbitrário, por imposição de um volume prefixado de recursos para dispêndio de capital,
produz efeitos semelhantes ao da taxa de corte arbitrária, mas pode ser até mais irracional, porque pode deixar o
investidor em qualquer ponto da linha de produção e há pontos de elevado investimento, à esquerda de W, que .têm
a mesma utilidade que pontos de baixo investimento, à direita de W.
R
F
.:
Utilidade
Cresce ote
Q
o
D
s
p
A
FIGURA
A visão de Hirshleifer para o investimento
a dois per íodos.
.
n-
2 - 5
110
Este foi o estágio de desenvolvimento legado por Fisher a partir do qual trabalhou Hirsh1eifer, mantendo
todas as suposições anteriores, mas relaxando aquela da igualdade das taxas de juros de "emprestar" e "tomar
emprestado", embora mantendo cada uma de per si, constante; a primeira passa a ser mais baixa que a segunda. Istonos cria dois conjuntos de "linhas de mercado", cada um deles cobrindo todos os pontos do gráfico a dois períodos,
como mostrado na Figura 2-8.
Nesta nova circunstância suponhamos um investidor I que disponha de muitos recursos no período 1,
medidos por O A, mas de uma pobre "curva de oportunidades de produção" representada por A B C. Este investidor
fará aplicações reprodutivas até atingir o ponto B, abandonando aí sua curva de oportunidade de produção e
seguindo pela "linha de mercado de emprestar", P Q, até o ponto G onde atinge sua mais alta utilidade. Note-se que
a taxa de corte para o cessamento dos investimentos reprodutivos foi a taxa de emprestar.
Suponhamos o mesmo investidor hipotético, em outro par de períodos de sua atividade econômica, onde
prevalecem as mesmas taxas de juros de emprestar e tomar emprestado, e suas mesmas preferências temporâneas com
relação a consumo presente ou consumo futuro. A diferença reside na menor quantia de recursos, O D, que dispõe
no novo período 1 e na nova curva de oportunidades de produção D E F, agora muito mais rica. Este indivíduo
investe até atingir o ponto E, onde abandona a curva de produção e retoma pela "linha de mercado de tomar
emprestado" até H, onde, por mera coincidência, se posiciona no mesmo nível de utilidade da hipótese anterior.
Atentemos para o fato de que a taxa de corte dos investimentos foi agora uma taxa de tomar emprestado.
As retas P Q e R S e todas as que lhe são paralelas são ambas instrumentos de transformar VP em VF e
vice-versa, mas operando com taxas diferentes e que são, a taxa de emprestar e de tomar emprestado. Com a presença
da Teoria da Utilidade a unicidade do conceito de Valor Presente rui por terra, e o que é pior, veremos que há ainda
uma terceira taxa alternativa a considerar para seu cálculo.
Consideremos a situação retratada na Figura 2-6, onde uma curva de utilidade UI tangencia uma "linha de
mercado de tomar emprestado" em H e uma "linha de mercado de emprestar" em G, osculando ainda a "curva de
oportunidades de produção" em C, ponto este que se situa entre H e G.
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RI
FIGURA
2 - 6
A visão de Hirshleifer para situações em que as duas taxas de mercado são imprestáveis para comandar
o fim do investimento.
111
Começando a investir partindo de A, chegamos ao ponto B onde o "locus" de oportunidades de produção
intercepta a "reta de emprestar" com uma taxa marginal maior que este custo de oportunidade, não compensando
ainda parar de investir produtivamente para emprestar, porque, como vemos, caminharemos na direção de níveis de
utilidade mais baixos.
Prosseguindo com os investimentos reprodutivos atingimos o ponto D onde se dá uma nova interseção,
agora com a reta de "tomar emprestado" e com uma eficiência marginal menor que o custo desses recursos. Parar de
investir e iniciar a trrnada desses empréstimos encaminha, também, o investidor, na direção de níveis de utilidade mais
baixos.
Além da conclusão de que as interseções em B e D não são pontos de corte para cessar o processo de
investimento reprodutivo, podemos tirar mais algumas:
a) os pontos B e D não são os que apresentam a mais alta utilidade como a obtida no ponto C pela
tangência do "locus" de produção, diretamente, com uma curva de utilidade;
b) a reta que é simultaneamente tangente, no ponto C, às duas curvas representa: i) a taxa marginal de
eficiência da curva de produção ao nível do investimento ótimo; ii) a taxa de substituição ótima entre
rendas futuras e rendas presentes do investidor em referência; e iii) uma inclinação intermediária entre a
taxa de emprestar e de tomar emprestado;
c) as taxas de emprestar e tomar emprestado não se prestam como ponto de corte para determinar a escala
ótima do investimento, e são substituídas pelo retorno marginal do capital no ponto de tangência com a
curva de isoutilidade mais alta.
Reunindo numa só imagem mental as Figuras 2-5 e 2-6 podemos concluir com Hirshleifer que:
a) em todas as situações em que a curva de produção tangencia a reta de emprestar, à direita do G, o ponto
de corte do investimento reprodutivo ótimo é a taxa de emp'restar. Esta porção do gráfico recebeu o
rótulo de Zona III;
.
b) em todas as situações em que a curva de produção tangencia a reta de tomar emprestado, à esquerda de
H, o ponto de corte do investimento reprodutivo ótimo é a taxa de tomar emp'restado, e teremos aí
delimitada a Zona I;
c) em todas as situações em que a "curva de oportunidades de produção" tangencia a curva de utilidade
mais alta entre os nontos G e H. a taxa correta de desconto é a taxa marginal desse "locus" de produção
nesse-ponto de tangência. Neste caso nem o cálculo do Valor Presente, nem a comparação da Taxa Marginal
de Retorno com qualquer das taxas de mercado darão indicação segura do montante li investir; mas
ambos darão a mesma indicação com o emprego da taxa marginal mencionada. Esta é a Zona 11,
É valioso observar que neste caso o racionamento externo de capital não afeta a decisão de investir porque
não haverá oportunidade para tomada de empréstimos, e que, apesar de o autor se referir a indivíduos, empresas e
departamentos governamentais, esta colocação se presta muito bem para o indivíduo que pode destinar ao consumo
os recursos remanescentes do período 1; já para a empresa, como não pode consumir, entendemos que terá de
devolver essas sobras aos acionistas para que sejam por estes consumidas. No âmbito do racionamento interno, o uso
de uma taxa arbitrária de corte maior que a de tomar emprestado conduz sempre a um investimento menor que em
C. Com o racionamento do tipo volume arbitrário de recursos é possível por coincidência atingir-se o ponto C. Mas se'
o primeiro não pode ir além de C, este último pode, o que o torna, por isso mesmo, mais irracional.
Prevalece assim a idéia original de Fisher de que o problema do investimento reprodutivo ótimo está
imbricado com os problemas do financiamento e com as preferências dos acionistas entre o consumo e o investimento, no presente ou no futuro. Persiste, no entanto, uma dificuldade básica. Não se conhece antecipadamente a
farmlia de curvas de utilidade do investidor e, por conseqüência, o ponto de tangência com sua curva de produção.
Não se conhece então em que zona se encontra o problema e que taxa de desconto utilizar.
Inserimos aqui alguns comentários nossos. Hirshleifer e Físher nos falam de "linhas de mercado" padronizadas. para todos os. investidores. Entendemos, no entanto, que as linhas de tomar emprestado devem variar de
investidor para investidor em função de sua classe de risco, fazendo com que nem todos obtenham, por empréstimo,
o mesmo montante de recursos no presente, a partir de uma mesma renda esperada no futuro. Percebemos, por outro
lado, que para qualquer porte econômico do investidor a taxa de "borrowing" deve variar, crescendo com o
montante a ser tomado emprestado, devido ao risco de crédito. Se-isto é verdadeiro, não há uma só reta passando,
112
por exemplo, no ponto R, mas diversas retas, uma para cada investidor e para cada volume de empréstimo pretendido. Esta inclinação pode atingir o limite de 900. para o ângulo 'a', o que significa ser infinita a taxa de juros de
tomar emprestado, ou a proibição de acesso ao mercado de empréstimo.
Uma tal situação foi percebida por Scítovsky-+ através de um tipo de racionamento externo de capital que
se assemelha ao racionamento interno, já que a empresa perde o acesso ao mercado de empréstimos, pelo menos no
volume pretendido, mas o mantém a seu alcance para volumes menores. Esta situação é no entanto verdadeira, para
qualquer volume desejado, para empresas com péssimos padrões de crédito.
..
Hírshleífer considera esta "situação de Scitovsky" apenas como um problema de curto prazo na implementação de um orçamento já esgotado por erro de cálculo e enquanto se aguarda a aprovação de um novo orçamento. O
retrato desta situação na Figura 2-6 nos revela que a Zona I desaparece porque o ponto de tangência H ocorre sobre
o eixo vertical. Como só restam as Zonas 11e I1I, as taxas de cálculo do VP e de comparação da Tm serão as já
apontadas para cada caso. Perceba-se que a taxa de tomar emprestado não pode ser usada para qualquer dos
problemas orçamentários na situação de Scitovsky.
Segundo Hirshleifer, as soluções na Zona 11 são típicas em situações de racionamento de capital, e as regras
do Valor Presente e da Taxa Interna de Retorno podem ser aplicadas desde que adaptadas pelo uso da taxa de corte
representada pela taxa de retorno marginal da curva de oportunidades produtivas, no ponto de tangência com a mais
alta curva de utilidade, taxa essa que não sendo conhecida por antecipação, não é de qualquer ajuda para alcançar-se
a solução desejada.
Já na Zona 111a indicação da taxa de emprestar é clara e pode ser vista como um preço sombra que reflete a
eficiência de aplicações financeiras fora da empresa.
Quando os recursos no período 1 não podem ser repartidos entre consumo e investimento, nos afastamos
da visão flsheriana e caímos no enfoque de Scitovsky onde os recursos da empresa devem ser investidos até o ponto
em que a ordenada seja máxima, como é o caso, por exemplo, do ponto Q ou F na Figura 2-5. Parar o investimento
em qualquer ponto anterior a esses pontos, em cada caso, significa maiores taxas médias de retorno sobre a porção
aplicada, mas também a existência de recursos sobrantes que não são admitidos neste caso. Note-se que estão sendo
exploradas as oportunidades de aplicações reprodutivas e financeiras.
Hirshleifer discorre em seu artigo sobre outros' temas correlatos importantes, como a interação entre
projetos, as múltiplas taxas de retorno e ensaia mesmo uma generalização de sua teoria para problemas de investimento a multiperíodo, o que será, entretanto, melhor desenvolvido por Martin Bailey.
Ao final apresenta três conclusões principais:
a) a conclusão positiva diz que a regra do Valor Presente é correta para uma grande variedade de situações
mas não é universal. Atingir o maior VP não é o mesmo que alcançar a mais alta curva de utilidade que
balanceia consumos presente e futuro. Conduz a uma solução "produtiva" ótima intermediária mas não
à solução ótima final. Há três taxas possíveis para seu cálculo e o custo de capital é considerado. por
Hirshleifer como uma taxa de tomar emprestado, que só funciona na Zona L A regra do Valor Presente
falha sempre nos casos em que há a superposição de projetos dependentes com um mercado de capital
imperfeito, mas pode dar também indicações discutíveis mesmo com projetos independentes, nas situações já comentadas;
.
b) a conclusão negativa fala da incorreção quase generalizada da regra da Taxa Interna de Retorno - TIR
quando aplicada a investimentos multiperíodos. A correção deste indicador está praticamente limitada a
investimentos a dois períodos;
c) a conclusão normativa nos dá conta de que nenhuma abordagem de decisão de investimento que
prescinda da Teoria da Utilidade e do balanceamento entre consumo e investimento, no presente e no
futuro, será universalmente válida.
24
T. Scitovsky, WC'lfarc and compctition (Chicago: Richard Irvíng, Inc., 1951) Apud J. Hírshlcifer, "On the theory"
Man~cl11cnt. Ezra Solornon, p. 214-15.
In The
113
2.5 -
A ANÁLISE DE MARTIN BAILEY
Um importante
trabalh025 deste pesquisador visa a estender a análise de Hirshleifer a problemas do tipo
multiperíodo. Inicialmente, Bailey considera que um investimento independente e convencional a multiperíodo com
toda a inversão num só momento pode ser considerado como uma sucessão de investimentos a dois períodos, onde o
excesso de benefício do período "n' é reinvestido para produzir o benefício do período n + 1. Com esta técnica
estuda projetos a três períodos e explica o paradoxo das múltiplas taxas de retorno que ocorre, por exemplo, no
problema de bomba de petróleo de Lorie e Savage. De acordo com sua técnica, a solução para o problema da decisão
de investimento não pode se apoiar exclusivamente em uma única taxa de retorno de longo prazo, mas em taxas
seqüenciais de retorno de curto prazo. A seqüência de projetos que produz uma mesma taxa de retorno em todos os
pares de períodos consecutivos possíveis, é apenas uma das versões imagináveis do processo de reinvestimento dos
excessos dos fluxos de caixa líquidos, apresentados originalmente pelo projeto, e esta taxa é a conhecida Taxa
Interna de Retorno. Quando há múltiplas TIR's existem vários arranjos de reinvestimentos que produzem esta
igualdade. Em qualquer dos casos, simples ou múltiplas Taxas de Retorno, elas não transportam significado porque
são t~xas de longo prazo que escondem flutuações de curto prazo.
A análise de Bailey não é complexa e pode ser assim resumida para um projeto de investimento (FO
três períodos:
.
se é um projeto convencional, como por exemplo -1 + 1 + 1, ele pode ser decomposto
maneiras em dois projetos de investimento a dois períodos, como mostrado abaixo.
x
-1
de infinitas
F2
FI
-1
< O) a
-y
1
x-y
1
10.
projeto:
investimento
20.
projeto:
investimento
onde x-y
=
1
Para que exista um projeto a dois períodos é preciso que os dois fluxos apresentem sinais diferentes, logo
'y' pode ser negativo porque F2 > 0, e o 20. projeto pode ser de inv~stimento sendo 'y' um reinvestimento.
o
analista tem liberdade de ajustar o valor de 'x' de tal sorte que o retorno do 10. projeto seja igual ao
retorno de equilíbrio desejado no lo. período. Com isso fica determinado 'y' e o retorno do 20. projeto.
Caso este retorno seja maior que a taxa de equilíbrio desse período, o projeto é valioso e deve ser aceito.
As taxas de equilibrio não precisam ser iguais nos dois períodos.
se o projeto é de investimento não convencional do tipo -1 3 - 1, ele só pode ser decomposto em um lo.
projeto de investimento e num 20. projeto de financiamento, ambos a dois períodos:
.., FI
x
-1
•
F2
-1
y
-1
x+y
-1
Neste caso 'y' não pode ser negativo porque F2
empréstimo que será pago com F2'
°
10.
projeto:
investimento
2°.
projeto:
financiamento
onde x
< 0, fazendo
+y = 3
com que 'y' seja um desinvestimento
ou um
°
Como no caso anterior,
analista tem liberdade de ajustar o valor de 'x' a fim de que lo. projeto produza
a taxa de equilíbrio do lo. período, o que determina o valor de 'y' e os "juros" cobrados sobre empréstimo do 20.
projeto. Se estes juros foram menores que os esperados de vigir naquele período, o projeto é meritório e deve ser
adotado.
25
°
Martin J. Bailey, "Formal critcria for investrnent decísíon", Journal of Political Economy 47.{October 1959): 476-88.!.':2é
.r.
114
Em qualquer dos casos, conhecendo as taxas de equilíbrio dos dois períodos é possível calcular o Valor
Presente do projeto global que agregará tanta riqueza extensiva a seu empreendedor, quanto maior for o valor desse
indicador.
A contribuição de Bailey não se restringe a essa visão de equilfbrio seqüencial de curto prazo. Ele estende a
metodologia de Fisher e Hirshleifer a três e mais períodos. No primeiro caso caímos num espaço tridimensional,
onde as "linhas de mercado" se transformam em "planos de mercado", a "curva de oportunidades" se converte
numa "superfície de oportunidades de produção", côncava quando vista da origem, e as "curvas de índíferen-as" se
transmutam em "superfícies de indiferenças", convexas se observadas da origem.
Nos projetos de investimentos a mais de três períodos nos colocamos num espaço multi dimensional, onde
teremos hiperplanos de mercado, hipersuperfícies de oportunidades de produção e de isoutilidades. Não é fácil
mentalizar essas situações.
Os mecanismos lógicos usados são exatamente os mesmos já descritos por Hirshleifer e as conclusões,
mudando-se o que se tem de mudar, são também as mesmas.
A construção da curva de oportunidades de produção de Fisher carece de um trabalho de avaliação de cada
proposta pela sua Taxa de Retorno e de uma ordenação dessas propostas pela ordem decrescente dessas taxas. Se os
projetos forem discretos, essa curva se converteria num encadeamento de pontos, mas o gradiente do retorno entre
dois pontos consecutivos é sempre decrescente quando se prossegue aumentando os investimentos do período inicial.
No problema a multiperíodo, a ordenação pelas taxas de retorno se torna mais difícil porque um projeto a
'n' períodos tem n-I taxas de retorno para seus subprojetos a dois períodos. Projetos discretos a três períodos
produzem dois subprojetos a dois períodos e conseqüentemente duas taxas de retorno interperíodo. A ordenação
dessas duas taxas pode ser obtida graficamente, representando-se cada projeto num espaço cartesiano i 1 x i2' que são
. os retornos do lo. e 20. períodos, respectivamente. Essa ordenação que, nesse caso, já é bidimensional, será 'n-l'
dimensional para projetos a 'n' períodos, e se tornará ainda mais complexa quando o número de projetos aumenta e
quando, no limite, a variável investimento se torna uma variável contínua. A construção da superfície de oportunidades é uma tarefa ainda por resolver para problemas a multiperíodo.
Raciocinando, para simplificar, com o problema a três períodos, vemos que, quando não há oportunidade
de emprestar e tomar emprestado, isto é, quando há racionamento interno, o ponto de investimento ótimo se dá na
tangência das duas superfícies, de oportunidades e de isoutilidade mais alta.
Quando o acesso ao mercado existe, os "planos de mercado" de emprestar e de tomar emprestado aumentam a superfície de oportunidades, e o processo de tangência se faz como na vez anterior, entre esta superfície
expandida e a superfície de mais alta utilidade.
Elencos de oportunidades dependentes, por substitutibilidade ou complementaridade,
dão lugar a superfícies de oportunidades distintas obtidas por combinação dessas oportunidades. Aquela que oscular a superfícies de
utilidade mais alta deverá ser a escolhida. Essas combinações diferem entre si pela presença ou ausência de um ou
mais projetos, e para serem estudadas completamente deve ser montada a superfície envelope que alberga todas as
combinações possíveis. O ponto de maior utilidade vai indicar a superfície de oportunidades que a ele corresponde.
O Valor Presente agora está representado por planos que interceptam o sistema coordenado com inclinações
que refletem as taxas dê desconto utilizadas no seu cálculo. Em mercados perfeitos essas taxas são iguais e conhecidas previamente. Em mercados imperfeitos essas taxas só são conhecidas com a determinação do plano que oscula as
duas superfícies em tangência, no ponto de tangência.
Bailey conclui por dizer que a única regra segura e geral para otimizar a escolha de uma carteira de
investimentos a multiperíodo é a que se estriba na abordagem. da utilidade intertemporal máxima de recursos para
consumo. C·onquanto teoricamente sólida, entendemos que sua' adoção é, até o momento, impraticável.
.
2.6 -
OUTRAS CONTRIBUIÇÕES IMPORTANTES
Harry Roberts publicou em 1957 um interesante artigo com o propósito de lançar luz sobre quatro tópicos
de Orçamento de Capital:
a) definição do custo de capital;
b) tratamento
dos custos de tomar emprestado;
115
c) seleção de um arranjo financeiro ótimo;
d) tratamento
de corrente de rendas de diferentes extensões.
Para o articulista "custo de capital" é fonte de muita confusão porque tem sido usado como i) taxa de
tomar emprestado recursos de débito ou de ações - uma "borrowing rate" -, e ii) taxa para desconto de fluxos de
caixa futuros, na mensuração do Valor Presente - uma "lending rate".
Dean, Hirshleifer e muitos outros consideram o custo de capital como uma taxa de tomar emprestado,
rejeitando ou estabelecendo condições especiais para que a taxa de emprestar possa ser usada com o propósito de
aferir Valor Presente. Já os Lutzes são inclinados por esta última taxa e vêem-na como uma aplicação do princípio do
custo de oportunidade das aplicações fora da empresa.
o uso da taxa de emprestar seria, segundo Roberts=", a única maneira de aclarar o problema para a Teoria
do Capital, propondo para ela uma definição engenhosa e subjetiva que passa a ser a taxa de retorno esperada sobre
investimento acionário em outras empresas fora da que está orçando seus dispêndios de capital, e que apresentam
graus de risco semelhantes ao desta. Este retorno deve ser determinado não por economistas e estatísticos mas pelo
próprio empresário, com sua percepção e atitude, face ao risco.
Outra colocação marcante de Roberts diz que, dado qualquer arranjo financeiro, podem-se selecionar
propostas de investimento para maximizar o Valor Presente da feição marginal da empresa e, como corolário que,
. dada qualquer proposta de investimento, um arranjo financeiro pode ser escolhido para maximizar-lhe o Valor
Presente. Advoga a tese de que os recursos disponíveis devem ser aplicados dentro ou fora da empresa, omitindo a
possibilidade de não captá-los ou de devolvê-los a seus proprietários; estes investimentos externos são analisados à
taxa de emprestar, consoante definição acima, e para um horizonte semelhante ao dos investimentos internos.
O tratamento defeituoso da incerteza, e não a escolha da taxa de desconto é, para Roberts, o maior
obstáculo para a prática correta de Orçamento de Capital'.
Charnes, Cooper e Miller27 foram provavelmente os primeiros a propor a utilização da Programação Mate.
mática para solução de problemas em Finanças, principalmente em Orçamento' de Capital. Os dois primeiros cientistas são renomados pesquisadores operacionais e vinham de uma série de artigos sobre a matéria.
Evitam qualquer consideração sobre risco, mas destacam a possibilidade da utilização de restrições não
monetárias, enfatizam a função das variáveis duais como "avaliadores" do valor adicionado à empresa pelo investimento marginal de uma unidade monetária até o fim do horizonte planejado, e a possibilidade de este custo de
oportunidade interno, inerente ao próprio problema, cujo valor se obtém conjuntamente com sua solução, vir a
,contribuir para solver a disputa sobre que taxas usar para descontar os fluxos de caixa do projeto, principalmente em
condições de racionamento de capital.
Este posicionamento pode ser resumido dizendo que o uso de uma taxa de desconto para avaliar um
investimento é sempre uma abordagem de custo de oportunidade. Este, contudo, não deve ser o "custo do dinheiro",
e sim o mais alto retorno perdido pelo não emprego de recursos adicionais.
Cheng e Shelton28 trouxeram também luzes sobre novos ângulos do problema orçamentário de capital.
Segundo esses autores, o "custo de capital" não é a taxa de corte perfeita quando vários projetos estão sendo
considerados simultaneamente, porque o lucro por ação não será necessariamente maximizado, se todos os projetos
com expectativa de retorno superior ao custo de capital forem aceitos. Maximizar lucro por ação é, para os autores, o
mesmo que maximizar o valor de mercado da empresa e este é o seu objetivo. Como o público investidor não confia
totalmente na realização dos lucros dos novos projetos, o preço pago pelas novas ações para financiá-los reflete o
lucro em cl1rso mas não os lucros futuros, porque o preço de mercado não se ajusta automaticamente aos investimentos projetados.
26
Harry Roberts, "Currcnt problems in the economics of capital budgeting", Journal of Business 30 (Jan, 1957): 12-17. In
The Managemcnt 01' corporatc capital, Ezra Solomon (Glcncoe, Illinois:Thc Free Press, 1959), p. 198-202.
27
A.Charnes; W. W. Cooper and M. H. MiIlcr, "Application of linear programming to fínancíal budgcting and the costing of
funds", Journal of Busincss 32 (Jan. 1959) In Thc ManagcIllcnt, Solornon, p. 229-55.
28
Paul Chcng and John. P. Shelton, "A Contribution
~
18 (May 1963): 622-37.
to the thcory of capital budgcting - the multi-investiment case", Journal of
,
116
A taxa
analiticamente,
taxa de retorno
custo de capital
de corte ótima encontra-se, pois, acima do custo de capital, o que os autores demonstram gráfica e
e se dá no ponto em que a taxa marginal de retorno dos novos projetos for igualou superior à futura
do patrimônio líquido investido. Isto rejeita alguns projetos que apresentam retornos maiores que o
da empresa.
.
Um projeto só é valioso, e com isso concordam Modgliani e Miller, se ele eleva o valor de mercado das ações
da empresa. Assim o custo de capital só é válido como taxa de corte para a implantação de um projeto por vez, e o
multiinvestimento deve ser feito numa estratégia seqüencial que demandará sempre menos recursos que o ap -ntado
pela regra usualmente proposta.
Há uma escola ponderável e um razoável consenso entre os financistas de que as três grandes políticas de
uma empresa são interdependentes. O estudo da influência da política de dividendos sobre o nível de investimento
ótimo foi estudado por muitos deles, mas gostaríamos de destacar James Walter, Myron Gordon e a dupla Modigliani
e Miller.
. Walter29 equacionou a interrelação entre essas variáveis, desenvolvendo um modelo de capitalização de
dividendos e lucros retidos, segundo o qual o valor de uma ação só é positivamente afetado se a empresa adotar
apenas projetos cujos retornos superem o custo do capital levantado para financiá-los. Nesse caso o valor de ação
cresce com o aumento da retenção de recursos internos. O modelo clássico de G.ordon30 é de capitalização de
dividendos e suas conclusões são análogas às de Walter.
Modigliani e Miller31 por sua vez arguem que a política de dividendos não tem efeito sobre o valor das
. ações, e que as abordagens P'lra avaliação de uma empresa através do fluxo de caixa, dos lucros e dos dividendos são
equivalentes quando devidamente formuladas. Sua lógica se apoia em pressupostos rígidos como a existência de um
mercado perfeito, o comportamento racional do investidor, a indiferença entre dividendos e ganhos de capital e em
conceitos por eles utilizados como, a teoria de clientela, o dividendo doméstico, e a arbitragem.
Martin Weingartner. é um dos grandes responsáveis pelo estudo e emprego das técnicas de programação
matemática na solução de problemas de Orçamento e Racionamento de Capital. Sua Tese de Doutorado+ê publicada
originalmente em 1963, tem 200 páginas e não será comentada aqui. Este trabalho revestiu-se de tal importância que
ganhou o prêmio da Fundação Ford para dissertações, e motivou uma onda de artigos de apoio e também de crítica.
A obra desse cientista não se resume a essa Tese, mas inclui muitos outros artigos33 sobre o mesmo assunto de
avaliação e seleção de propostas de .investimento. Analisaremos no Capítulo 4 a contribuição aportada por Weingartner. ao estudo do Racionamento de Capital.
Na montagem
da função-objetivo
de seu modelo de programação linear, tanto discreta como contínua,
Weíngartnerê+ utilizou Valores Presentes dos projetos individuais obtidos com o emprego de uma taxa prefixada de
desconto ou do "custo de capital" não atribuindo maior importância à discussão sobre qual deveria ser essa taxa.
29
Jarnes E, Walter, "Dividend policy: its influence on the value of the enterprise", Journal of Finance (May 1963).
30
Myron Gordon, "The Savings investment and valuation of a corporatíon". Review of Economics and Statistics 44 (February
1962): 37-51 e .
--,
"Optirnal investment and financing policy" Journal of Finance 18 (May 1963): 264-72.
31
Merton H. Millcr and F. Modigliani, "Dividend policy, growth and the valuation of shares", Journal of Business 34 no. 4 (Qct.
1961):411-33.
32
Martin H. \Vcingartncr, Mathcmatical p~gramming and the analysis of capital budgctingyroblcms
Publishing Cornpany, 1967).
33
Ver, por exemplo, Martin H. Wcirgartner, "Capital budgcting of intcrrclated projects - survey and synthesis", Managemcnt
Scicnce 12, no. 7 (March 1966);
-,
"Critcria for programming invcstment projcct selection", Jo urnal of Industrial Eoonomics 15 (November 1966);
--,
"Thc Gcneralized rate of rcturn", Journal of Financiai and Quantitative Analysis 1 (Scptcrnbcr 1966).
34
--,
Mathernatical, p. 9,17 c 25.
(Chicago: Markham
117
Por essa razão, Baumal e Quandt35 lhe teceram críticas alegando que uma taxa fixa de desconto só tem
sentido quando o mercado de capital é perfeito e que sob condições de racionamento de capital a empresa, por não
poder tomar emprestado, perde o contacto com esse critério de desconto externo, necessitando se apoiar em um
critério interno. Consideram o custo de capital um conceito defeituoso que, numa primeira tentativa, poderia ser
substituída por uma taxa subjetiva obtida a partir das funções de utilidade do empresário, ficando a nova função-objetivo expressa em termos de utilidade, que é o que se pretende maximizar, abandonando-se assim a abordagem do
Valor Presente. Como não há ainda uma maneira fácil de determinar-se esta função de utilidade, o novo método não
pode dar uma maior contribuição prática.
Os autores se propõem então a desenvolver um modelo de taxa de desconto intrínseca ao próprio problema
com o auxílio dos custos de oportunidade representado pelas variáveis duais correspondentes a cada limite orçamentário. A equação de atualização que transporta uma unidade monetária do período '1', Mt, para o período t-I, Mt-l '
é dada por
onde dt e dt-l são as variáveis duais relativas aos orçamentos dos períodos t e t-l , respectivamente. dt/dt-l seria a
taxa de desconto genuína do problema e dele dependeria, sendo suas soluções obtidas conjuntamente; atualizações a
mais de um período e sempre para o instante zero seriam expressas por
A introdução deste mecanismo no cálculo do Valor Presente que comparece na função-objetivo,
n
Z = k
j =1
h
k
t=O
(FJ't dt/dO)
Xl'
onde Fjt é o fluxo de caixa do projeto 'j' no período '1', 'h' é o horizonte das inversões e Xj é a fração do projeto 'j'
que maximiza Z, teria solvido o crucial problema da verdadeira taxa de corte com o custo de oportunidade interno
de cada período.
.
Este modelo revelou-se, no entanto, impotente para indicar o ótimo da função-objetivo do primal porque a
montagem do seu dual, que lhe ofereceria os operadores de atualização, revelou a imposição de que todos os Xj
fossem positivos, o que por sua vez. implicava em ter dO = .... dt = O para minimizar a função-objetivo do Dual. A
função-objetivo do primal ficou assim indeterminada porque dt/dO é um símbolo de indeterminação. Disso tudo
resultou que os custos de oportunidade seriam todos nulos e os fatores de atualização e os valores de Xj seriam
indeterminados. O ótimo do primal ficaria indeterminado (não haveria ótimo) e' não se obteriam as "genuínas e
desejadas" taxas de desconto para cada período.
A solução para esse impasse é proposta pelos autores através do abandono da função-objetivo estruturada
com base em Valor Presente, e pelo retorno à Teoria da Utilidade, com a montagem de uma nova função-objetivo em
que é maximizada a habilidade do investidor para consumir, ou do valor útil de suas retiradas sobre o investimento:
Z
=
k Ut
w,
onde Ut é, por simplicidade, uma função linear de dinheiro no período 't' ou a utilidade de uma unidade monetária
em 't', e Wt os dividendos, drenados dg sistema para consumo.
A taxa de desconto dt/dO deve ser, então, menor que ou igual a Ut/ Uo como impõe o dual. Esta é uma taxa
subjetiva de avaliação para o período 't' que deve superar a taxa de troca permitida pelas oportunidades de
investimentos disponíveis.
Segundo seus autores esta abordagem ajusta a análise de Fisher sob condições de racionamento de capital às
características básicas da programação linear, e estabelece uma forma de comparar uma taxa de desconto subjetiva
Ut/UO com a taxa objetiva dt/do.
.
Moag e Lerner36 contestam a aplicação da poderosa teoria de Hirshleifer para os problemas decisórios .da
empresa porque, a menos que se use a Taxa Interna de Retorno com todos os seus percalços, a construção da "curva
de oportunidades de produção" requer o conhecimento prévio da taxa de equilíbrio de mercado.
35
Williarn J. Baurnal and Richard E. Quandt, "Investment and discount rates under capital rationing - a programming approach",
The Economic Journal 75 (Junc 1975): 317":"29.
36
Joseph S. Moag and Eugene M. Lcrncr, "Capital budgcting dccisions underimpcrfcct
Journal of Finance 29 (Septcmb er 1969): 613-21.
market conditions - a systern framework",
118
Prosseguem desenvolvendo o modelo de maximização de dividendos de Baumal e Quandt, mas reagem à
idéia de fluxos de caixa conhecidos por antecipação e por isso propõem uma visão sistêmica da empresa com seus
problemas de aquisição de fatores, de produção e de vendas. Reconhecendo que essas restrições econômicas são não
lineares, propõem ainda o emprego de um método desenvolvido por Chames, Cooper e Ijiri para desdobrar uma
restrição não linear em uma restrição poligonal e assim permitir o emprego da Programação Linear.
Preservando a idéia de que um projeto vale não por seus fluxos de caixa mas pela contribuição que dá ao
poder de consumo de seus acionistas e ampliando a análise peí» inclusão das novas restrições econômicas citadas,
desenvolvem um modelo mais amplo de maximização da utilidade dos dividendos de acionistas, sujeitas a restrições
das áreas de suprimento, de tecnologia e da mercadologia, fundindo assim num só algoritmo os quatro grandes
'segmentos da análise e avaliação de projetos.
A
favor de Weingartner, pelo menos no tocante ao uso de um custo de capital fixo, e face às críticas de
Baumal e Quandt - BQ -, encontramos Willard Carleton, Edwin Elton e Stewart Myers, entre outros.
Carleton 37 sugere inicialmente a possibilidade de que a Programação Linear tenha criado mais problemas
do que soluções. Ainda assim se dispõe a contribuir para aprimorar esta técnica pelo desenvolvimento de um modelo
financeiro para uma grande companhia, do qual a seleção de projetos é apenas uma parte.
Segundo esse autor, as críticas de BQ não procedem porque Weingartner entende "racionamento de capital"
como um procedimento administrativo, como um racionamento suave, que não é o tipo de racionamento que
corta o vínculo da empresa com o mercado, como ocorreria com o racionamento interno imaginado por BQ. Logo, o
custo de capital pode ser aplicado e o estudo do racionamento de capital é consistente com os procedimentos
tradicionais e simples de avaliação de projetos.
Carleton pensa que os dois modelos em conflito são insatisfatórios ou incompletos, na montagem de suas
funções-objetivo, na explicitação do conceito de racionamento de capital e na racionalização do vínculo entre
orçamento de capital e taxa de desconto. Sua nova interpretação faz distinções explícitas entre os três elementos
presentes, no problema, empresa, investidores e projetos, e esclarece que os dividendos que precificam uma ação são
pagos a partir dos lucros da empresa e não dos fluxos de caixa do projeto individual. Em sua concepção, um tal
modelo deve produzir a um só tempo um plano financeiro de investimento e um custo de capital para seu uso.
, Carleton adota a forma da função-objetivo de BQ mas substitui o significado de Wt, que deixa de ser
"dividen~os" para ser as devoluções de recursos, a partir dos projetos selecionados, para a caixa geral da empresa.
o
e
modelo de Carleton vai além dos problemas de investimento
pode incorporar as políticas de dividendo e
de financiamento e as aplicações no "open", mas pressupõe a ausência dos impostos e dos custos de transação, como
condição para que se possa adotar 'k', como uma taxa de desconto externa. Esta taxa pode assim ser usada para
calcular o Valor Presente de projetos individuais, dentro da premissa de que suas "entradas" e "saídas" fluem com
relação à caixa única de recursos da empresa.
.
Já Elton,38 sustenta que quando as curvas de indiferença são adequadamente traçadas no grãfico de
Hirshleifer, as taxas externas de desconto participam do processo decisório para escolha de projetos numa firma
operando sob condições de racionamento de capital, porque mesmo que a empresa não esteja desejando tomar
recursos emprestados, ainda assim ela está sendo avaliada nesse mercado. Tomar emprestado significa para o autor,
com muita propriedade, captar recursos tanto de empréstimo como de ações; o "custo de capital" é, portanto, uma
"borrowing rate",
A revisão feita por Elton com base no artigo de Hirshleifer incorpora interessantes esclarecimentos. Em
primeiro lugar: como mencionamos antes, este autor não distingue, com adequação, a empresa do investidor,
superpondo dois entes econômicos que são distintos e que têm diferentes funções no sistema. O modelo seria
conceitualmente correto se as curvas de produção fossem da firma e as curvas de utilidade do investidor. Em segundo
lugar, o que está sendo avaliado é fluxo de caixa "stricto sensu", dinheiro que entra no projeto e dividendo que sai ,
do projeto e não renda potencial ou lucro distribuível. Em terceiro lugar, e o mais importante, as curvas de utilidade
devem ser retas e devem se confundir com a linha de tomar emprestado, se não existem imperfeições de mercado
37
Car1eton, "Linear prograrnming", Journal of Financc 24 (Deccmbcr 1969): 825 -33.
38
Edwin J. Elton, "Capital ratio ning and external discount rates", Journalof
Finance 25 (JUI1C1970): 573-84.
119
como restrições de crédito, garantias e custos de transação, porque ambas as "curvas" são operadores que transportam dinheiro do futuro para o presente. Em quarto lugar, se há racionamento de capital, a reta de tomar emprestado
da firma não existe, mas não deixa de existir a curva de isoutilidade do acionista, que depende das taxas externas de
desconto para empresas da mesma classe de risco; o racionamento de capital que atinge a empresa pode não atingir os
acionistas que permanecem em sua "linha de trocas ou de mercado".
Entendemos que a dificuldade da análise de Hirshleifer parece residir no tratamento inadequado do risco
(que a nosso ver daria uma linha de mercado de "borrowing" diferente para cada empresa), na suposição de curvas de
isoutilidade extremamente convexas, e no tratamento pouco explícito da empresa e do acionista. Hírshleifer em
artig039 mais recente
reviu sua posição anterior e passou a considerar a empresa com uma unidade decisória
separada do investidor, conforme se vê na Figura 2-7.
RI e R2 significam recursos ou rendas no período 1 e 2, respectivamente. OPQ é a curva de oportunidade
de produção da empresa e MB é uma das retas de sua família de linhas de tomar emprestado. Como a empresa não se
possui a si mesma, e se situa, por exemplo, no ponto P, o fluxo de caixa de investimento do período 1, OA, é
negativo e tem que ser suprido a partir do ambiente externo através de empréstimos que englobam ações e obrigações. A amortização desse empréstimo no período 2 consome recursos equivalentes a DC, pois a inclinação da reta
. MB é tal que DC-OA := Juros do intervalo 1-2. OC são os recursos remanescentes no período 2, isto é, o lucro do
empreendimento, que pode ser antecipado para o período 1 através de empréstimo, gerando um resultado líquido
igual a OB.
M
A
FIGURA
•
2-7
1
Nova posição de Hirsleifer para o investimento a dois perfodos,
39
Jack Hirshlcifcr, "Invcstmcnt dccisiori under unccrtanty:
129,no. 4 (Nov. 1965):509-36.
choice-theorctic
"'lo-
approachcs", Thc Quarterly Journal of Econornics
•
~/
120
A linha MB continua representando um nível de Valor Presente OB;
valor, ela procura ter um lucro OC o maior possível, desenvolvendo curvas de
cionem um ponto de tangência P, o mais alto possível, e obter recursos OA
ângulo 'a' esteja o mais perto possível de 135?, o que significa custo de capital
como a empresa busca maximizar esse
oportunidades produtivas que proporos mais baratos possíveis, para que o
nulo.
Note-se que Hirshleifer, segundo Elton, abandonou a idéia de posicionar a empresa na mais alta curva de
utilidade para colocá-la agora na mais alta linha de mercado que é a de maior Valor Presente. Podemos deduzir que,
implicitamente, a linha de mercado foi transformada numa linha de .utilidade, já que obtido OA, a empresa não tem
mais acesso ao mercado, e MB não se presta para deslocar o ponto P para qualquer outra posição onde a empresa
fique mais bem situada. MB seria uma linha de tomar emprestado e ao mesmo tempo uma curva de isoutilidade.
As observações de Elton sobre as polêmicas relativas a orçamentação de capital via programação matemática
são muito categóricas. Primeiro, ele observa que não há um consenso sobre como montar a função-objetivo. Charnes,
Cooper e Miller, por exemplo, não usaram, em alguns modelos, a técnica do fluxo de caixa descontado enquanto
Weingartner dela se valeu. Já Baumal e Quandt maximizaram a utilidade na perspectiva do tempo. Segundo, ele
registra
que existe um consenso em torno da significação dos duais, como taxas de desconto implícitas dos
projetos que estão sob processo de escolha e que os avaliadores duais são independentes da taxa externa de desconto.
Esta idéia se casa com os ensinamentos de Hirsh1eifer e por isso tem trânsito fácil. Ocorre que a solução do dual
depende de sua estrutura e esta depende da estrutura do primal. Se não há unicidade sobre a função-objetivo do
primal, a coerência sobre o significado dos avaliadores duais é apenas virtual. Terceiro, há uma generalizada confusão
entre o conceito de empresa e o conceito de projeto. Para descontar os "fluxos de caixa da empresa como um todo",
. a taxa correta é a externa de mercado e com ela se deve montar a função-objetivo. As taxas de desconto dos "fluxos
de caixa do projeto individual marginal" serão sempre os avaliadores duais que podem ser iguais ou maiores que a
taxa de desconto de mercado. Se o objetivo é maximizar os dividendos atualizados e se há fluxos em todos os
períodos, os duais para todos eles serão iguais à taxa de mercado. Ocorrendo a ausência de fluxo no período 't',
então seu dual pode ser maior que essa taxa. Em resumo, a taxa de desconto para o fluxo de caixa da empresa como
um conjunto de projetos é diferente das taxas de desconto dos fluxos de caixa do projeto marginal. Por último, ele
condena a decisão de abandonar a taxa externa de mercado, proposta por Weingartner, sempre que o modelo
incorpora restrições não monetárias, porque não há nada na literatura econômica que justifique tal procedimento. Se
esta é uma implicação do modelo de programação matemática; ela não pode prevalecer sobre a lógica essencial dos
fenômenos que analisa.
Myers,40 em um trabalho' incisivo, pretendeu completar o trabalho de Carleton e Elton, defendendo o
ponto de vista segundo o qual a existência de racionamento de capital dos tipos severo ou brando não deixa a
empresa independente dos fenômenos monetários que ocorrem à sua volta. Entende Meyers por "brando" o racionamento que impõe uma restrição tentativa como um instrumento de planejamento e controle, enquanto o "severo"
significa um limite absoluto, uma estreiteza incontornável de recursos, que afasta a empresa do mercado de capital.
Esta última situação é entendida como uma imperfeição adicional do mercado.
Myers observa que as restrições do modelo final de Baumal e Quandt
Maximizar Z
sujeito a
=
h
k
t =0
Ut Wt
n
k a.,x,
j =1 Jl J
Mt
para
t
=
1, 2, .... , h e Wt, ~
;;'0
deverão ser sempre igualdades, porque Dividendo, Wt, é uma variável de folga. Como desigualdades elas permitem a
existência de "sobras" de recursos, face ao orçamento Mt, e a possibilidade de adoção de novos projetos que
aumentariam sempre o valor da função-objetivo, ou a distribuição de mais dividendos, se esses projetos estiverem
indisponíveis. As fontes e usos de recursos devem ser iguais.
Reforrnulando
o modelo de BQ vem:
h
Maximizar Z ::: k
t=O
40
Myers, "A Note", Journal or Finanee 27 (March 1972): 89-92.
~t
~]
121
sujeito a
t = 1, 2, .... , h
para
e
onde o termo entre colchetes na função-objetivo é o valor de Wt explicitado a partir das restrições.
Este modelo difere do de Weingartner em três pontos: a ~resença de variáveis de folga Wt, o uso da utilidade
na função-objetivo e a presença nesta de um termo constante.
o
termo LUt Mt pode ser eliminado porque não altera em nada o processo de maximização; além disso a
função utilidade se confunde com o fator de atualização para pagamento simples para o custo de capital 'k' existente
no mercado, porque os investidores que enfrentam uma taxa prefixada ajustam suas carteiras de tal sorte que uma
unidade de utilidade no presente vale mais que uma utilidade no futuro. Temos,
1
=
Como a escala de utilidade é arbitrária,
Uo pode sempre ser considerado igual aI, logo
1
( 1+ k)
Substituindo
t
esta expressão na função-objetivo acima, e lembrando que a introdução da variável de folga,
normal da programação linear, constata-se que os modelos de BQ e Weingartner são
Wt, é um procedimento
equivalentes,
Myers também observa que a distribuição de dividendos é um mecanismo intimamente ligado à restrição
orçamentária. Sem uma definição precisa daqueles, não se pode chegar a esta, e dividendos expressos como uma
variável de folga não traduzem qualquer definição de política de dividendos.
As conclusões de Myers são contundentes:
a). o problema de Hirshleifer não se aplica ao processo decisório da empresa para investimento de capital, se
a restrição orçamentária é a imperfeição de mercado alegada;
b) BQ não criaram nada diferente do proposto por Weingartner;
c) o racionamento de capital não altera o objetivo de maximização do valor da empresa que é a soma dos
valores presentes dos projetos aceitos;
d) o racionamento de capital não isola a empresa do mercado, pois permanece o elo dos dividendos, que ela
pode pagar sob essa condição, e que são avaliados à taxa externa 'k';
e) o custo de capital serve perfeitamente
racionamento de capital "severo".
bem como um critério de desconto externo, mesmo em caso de
Nós acrescentaremos ainda que para uma rigorosa montagem do modelo de Programação Linear para
Orçamento de. Capital sob restrição orçamentária é preciso definir a política de distribuição de dividendos, pois estes
são usos da "caixa comum de recursos" da empresa.
.
Lusztig e Sch~ab,41 LS, procuraram também esclarecer a questão da taxa relevante de desconto a ser ,
adotada para a montagem da função-objetivo de um modelo de programação linear em situações de racionamento de
capital, no que foram contestados por Lockett e Tomkine,42 LT
41 Peter Lusztig and Bernhard Schwab, "A Note on the application of linear programming to capital budgeting", Journal of
Financiai and Quantitativc Analysis (Dcccmbcr 1968).
42
Geoffrcy A. Lockett and Cyril Tornk ine, "The Discount rate problcm in capital rationing-comment",
anc!..Quantitativc Analysis 5 (June 1970): 245-60.
Journal of Financiai
'
122
Para LS a taxa relevante é o custo de oportunidade dos recursos tomados pela empresa; quando se fala de
seleção de carteiras, isto significa a Taxa Interna de Retorno, TIR, da carteira mais atrativa por ela perdida. Propõem
então um algoritmo iterativo engenhoso que pode ser resumido como segue:
a) usar um modelo de programação linear contínua e convencional como o de Weingartner;
b) montar a função-objetivo,
usando uma taxa qualquer 'ki' para calcular os valores presentes dos projetos
envolvidos;
c) solve: o problema, encontrando
TIR1;
d) reestruturar a função-objetivo,
a carteira ótima e a Taxa Interna de Retorno da melhor carteira perdida,
usando TIR 1;
e) repetir 3 e 4 sempre que a nova solução torna a anterior subótima;
f) extrair, ao final da análise de otimicidade, uma carteira ótima, obtida com uma função-objetivo
o custo de oportunidade da própria carteira eleita.
que usa
LT interpretaram inicialmente o conceito de "melhor carteira perdida" como uma combinação de projetos
que é virtualmente igual à da solução ótima e cuja Taxa Interna de Retorno difere apenas levemente da TIR desta.
Resolvendo problemas com este entendimento, descobriram que o algoritmo conduzia a um processo de poda que
levava à seleção somente do projeto com mais alta TIR individual, o que evidentemente quase nunca otimizava o uso
dos orçamentos disponíveis. Por outro lado, o fluxo de caixa da carteira apresentava-se, vez ou outra, não convencional, mesmo quando composto só de fluxos de caixa convencionais, o que impedia o cálculo da TIR indispensável ao
prosseguimento da análise de otimicidade.
Lustig e Schawb replicam que a interpretação correta é a tradicional visão marginal, ou seja, a TIR da
carteira incrementaI permitida por um afrouxamento unitário das restrições. Lockett e Tomkíne refizeram a análise
sob esse enfoque, embora argumentando que essa situação só é útil na prática quando é permitida a perfeita
divisibilidade dos investimentos. Considerando projetos indivisíveis, como é o caso usual, usaram como conceitos de
projeto marginal, um projeto a menos, ou um projeto a mais, com relação à carteira subótima e mostraram que o
algoritmo proposto por LS ainda assim pode conduzir à eleição de apenas um projeto.
Propõem, então, uma adaptação do modelo para permitir a .utilização de todos os recursos orçamentários,
providenciando para tanto que haja sempre projetos externos disponíveis para absorver todos os recursos de cada
período. O método de LS foi reusado e produziu soluções aceitáveis.
LT concluem o seu artigo com interessantes considerações sobre a problemática orçamentária de capital.
Primeiro, se uma política de dividendos é adotada em face das necessidades de consumo dos acionistas, o modelo é
"satisfazente" mas não "otimizante". Segundo, o horizonte do plano orçamentário tem profunda repercussão nos
resultados e os modelos usuais otimizam, tendo em vista o horizonte do projeto mais longo. A taxa correta de
desconto é um problema imbricado com o do horizonte de planejamento, com o perfeito conhecimento das
restrições e oportunidades futuras dentro desse horizonte, e com a escolha da técnica de programação, inteira ou
contínua.
Concluem que é impossível encontrar a taxa e o horizonte corretos e que o investidor não decide definitivamente com relação ao futuro, mas só o faz para os investimentos do período corrente. Os modelos de programação
matemática, segundo LT, devem intentar ser um poderoso instrumento do planejamento corrente, e não um infalível
instrumento de planejamento para todos os ângulos e dimensões imagináveis.
.
Há muitos outros artigos importantes por comentar. Infelizmente não é possível rever todos os que foram
consultados e incluídos na bibliografia posterior a 1950 que está apensa a este trabalho.
Podemos citar uns poucos ângulos adicionais da questão antes de tentarmos
formar a nossa.
conciliar tantas opiniões par?
Como lembra Renshaw43 há a interdependência entre os projetos de pesquisa e desenvolvimento
presente e ao volume de oportunidades e as taxas de corte do futuro.
...•. -:'---
;
43
Ed. Renshaw, "A Note on the arithmctic of capital budgcting dccision", JOUInal of Busincss (July 1957) In The Manag~t,
Ezra Solomon, p. 85.
;;~.
~.
do
123
Durand nos ensina que44 "não é uma tarefa fácil formular uma definição operacional de custo de capital
para um mundo onde os mercados são imperfeitos ... , onde as relações preço de ação para preço de livro variam de
um décimo a sete, onde o crescimento está na ordem do dia r~ onde os investidores e seus serviços de assessoria
insistem na distinção entre dividendo e apreciação no longo prazo. Esta definição pode mesmo tornar-se uma tarefa
impossível" .
Robichek e Myers45 notam que as decisões de investimento são freqüentemente tomadas tendo a decisão
financeira como uno dado do problema, em decorrência de um conjunto restrito de alternativas de financiamento
para as empresas. O uso de um "custo de capital" único e simples para decisões de investimento implica em
considerar já tomada essa decisão de financiamento.
Gordon e Shapiro46 nos apontam quatro importantes razões que motivam a pesquisa para mais sistemáticas
descobertas, avaliações e seleções de investimentos e que são: o crescente nível dos dispêndios de capital, o crescimento do tamanho das empresas, a descentralização e delegação de autoridade para estudo e decisões de investimento e por fim o uso cada vez mais intensivo da ciência da administração.
Jeynes.é? por sua vez, nega totalmente o significado financeiro das taxas de reinvestimento entendendo-as
como meros instrumentos de equivalências financeiras, o que torna impossível os reinvestimentos considerados
indispensáveis a um mínimo de comparabilidade entre projetos quando seus montantes e seus horizontes são
diferentes, como quer Solomon.f 8
2.7. - O RACIONAMENTO DE CAPITAL E OS LIVROS TEXTOS DE FINANÇAS
A deduzir pelo que lemos, existem ainda muitas polêmicas acerca do problema do Racionamento de Capital
e sobre as técnicas adequadas para resolvê-lo. Sabemos que é nas revistas científicas que se forja a ciência que se
condensa, mais tarde, nos livros textos.
Antes de tomarmos nossa posição vamos consultar alguns desses compêndios levando em conta que neles o
nível de discórdia é menos intenso e que as disputas todavia existentes foram filtradas e analisadas por pessoas da
maior competência. Escolhemos os livros recentes de James Ma049, David Quirin50, Weston e Brigham-! , James
Van Horne52 e Bierman Smidt53.
Para Mao,54 sob condições de incerteza, o custo de capital é igual à taxa pura de juros acrescida de um
premio pelo risco. Um projeto é lucrativo se sua taxa de retorno é superior ao custo de capital, mas este é
dependente das decisões de investimento e do arranjo financeiro respectivo. No mundo rea155 as empresas têm
freqüentemente um limitado acesso ao mercado de capitais e os projetos são usualmente indivisíveis. O mérito de um
projeto deve ser visto em confronto com os dos outros projetos competidores e o empresário, mais do que um teste
aceita-rejeita, requer regras que maximizem o Valor Presente da empresa. Estas regras são a de listar os investimentos
44
David Durand, "The Cost of capital in an imperfect market: a reply to Modigliani and Millcr,.The Amcrican Economic Review
(June 1959) In The Management , Ezra Solomon, p. 197:
45
Alexandcr A. Robichck and Stcwart
1965), p..98.
46
Myron Gordon and Eli Shapiro, "Capital equipment analysis: thc required rate of profit", Managemcnt ScíenceS (October
1956):141.
47
Paul H. J eynes, "The Significance of rcinvestment rate", Thc El1gineeril1gEconomist 11, no. 1 (FallI965):
48
Solomon, "The Arithmctic",
49
Mao, Quantitative,
50
51
Quirin, 'f.hc Capital, 1971.
Wcston a nd Brígham, Manag~rial, 1972.
52
Van Horne, Financiai, 1974.
C.Mycrs, ".Qptimal financing dccisions" (Englewood Cliffs, Ncw J ersey: Prentice Ha!l, Inc.,
Journal of Business 39 (April1956):
1969.
S3
Bierrnan and Smidt, Thc Capital, 3rd. ed, 1971 c 4th. ed. 1975.
S4
Ver Mao , Ql!antitativc, p. 182-3.
55
Ver --,
--,
p. 226-8.
124-29)
9.
In Foundations, Van Horne, p. 287 -94.
124
por um critério intensivo de mérito ou usar prograraação matemática. A primeira tem os problemas já conhecidos de
inversões fisherianas, múltiplas taxas de retorno c não condução ao VPL máximo sob condições de racionamento de
capital em face das indivisibilidades. A segunda só contorna o problema das indivisibilidades se for programação
matemática inteira.
Apesar de alguns autores negarem a validade do conceito de reinvestimento,
ração na determinação da atratividaderelativa de dois projetos competidores.
ele é uma importante
conside-
Quando há restrição orçamentária do tipo fixo,56 o pnncípio do custo de oportunidade requer que o VPL
dos projetos competidores seja calculado usando várias taxas, que podem ser todas iguais, e que são o retorno
marginal sobre investimentos do momento da decisão ou as taxas de reinvestimentos esperados para os períodos
futuros. Note-se que Mao adota uma posição mista de custo de oportunidade presente e reinvestimento futuro, sendo
este último a técnica de Solomon. Caso todas as taxas sejam iguais, temos o VPL convencional, mas calculado sempre
ao custo de oportunidade. Mesmo que sejam diferentes, o uso de taxas de reinvestimento para cada período elimina
sempre o conflito eventual entre o VPL e a TIR.
o
tratamento da índívísíbílídadeô? requer o cômputo dos VPL's, não dos projetos, isoladamente, mas de
todas as combinações possíveis de projetos. Suas quantidades, no entanto, crescem rapidamente com o número de
projetos. Uma solução promissora é a programação linear inteira. A indivisibilidade só cria problema quando há
racionamento e ambos são resolvidos conjuntamente.
Para David Quirin58 o racionamento pode surgir por i) imposição do mercado e ii) por auto-imposição. No
ângulo do mercado, os volumes de recursos para uma dada empresa, obteníveis no mercado num intervalo de teinpo
mais ou menos limitado, estão condicionados a custos crescentes, e estão limitados por uma barreira intransponível;
estes dois fatos são considerados imperfeições do mercado. No enfoque da empresa, esta pode tomar a decisão de
restringir seus investimentos aos recursos internos gerados pelas "efetivas" cobranças de depreciação e pelos lucros
retidos; este racionamento auto-imposto pode ser explicado por várias razões como, aversão ao endividamento,
retenção de controle acionário e indigestão administrativa,entre
outras:
A maneira mais fácil de selecionar projetos sob restrição a um período é listá-los segundo uma ordem
decrescente de atratividade e escolher a partir do topo até esgotar o orçamento. A escolha do critério de atratividade
pode conduzir a diferentes soluções.
.
Quando há restrição orçamentária,59 há associado um custo de oportunidade implícito que é igual à taxa de
retorno da melhor oportunidade perdida. O uso da TIRé equivalente ao uso da relação benefício/custo, descontados, quando calculada a esta taxa de oportunidade, mas não ao da calculada ao custo de capital regular da empresa.
O "Profitability Index" calculado à maior TIR perdida é menos problemático que esta e seleciona pacotes idênticos
aos selecionados pela TIR. Note-se que a relação benefício/custo eleita por Quirin60 é dada por:
~
B(l+k)-t
~
C(l+k)-t
t
t
e incorpora necessariamente
restrição.
um mecanismo de Valor Presente, sé que calculado ao custo de oportunidade
56 Ver Mao, Quantitative, p; 230-2.
57
Ver --,
58
59
Ver Quirin, The Capital, p. 175-6.
Ver --,
--,
p. 178-9.
60
Ver --,
-.--,
p. 35.
--,
p. 240.
relativo à
125
o uso do custo de oportunídadev! como taxa de corte, entretanto, não conduz necessariamente a maximização do Valor Presente, calculado ao custo de capital da empresa, e por isso tem sido criticado. Não obstante, é
recomendado para os casos de racionamento auto-imposto como uma política permanente, porque conduz a um
crescimento mais rápido dos fluxos de caixa, o que contribui para aumentar os tetos orçamentários do futuro. Taxas
de reinvestimentos mais altas favorecem projetos que geram fluxos de caixa mais cedo.
Uma alternativa, que maximiza o Valor Presente do orçamento de um só período é ordenar os investimentos pela relação benefício/custo ao custo de capital, mas essa srtução é considerada insatisfatória porque, eliminar
projetos de baixo mérito pode não ser a solução mais racional num horizonte a mais de um período.
Para problemas de racionamento de capital a multiperíodo, Quirin62 só menciona a solução da Programação Linear básica proposta por Weingartner. A função-objetivo maximiza o somatório dos Valores Presentes de todas
as receitas-e custos associados com os projetos individuais, ao custo de capital da empresa .
.Maximizar B
=
L
j
Os orçamentos Ct são fixos e atualizados ao mesmo custo de capital mas' não se menciona que provêm
exclusivamente de recursos internos. Os investimentos dos projetos, Cjt, também são atualizados à mesma taxa e as
restrições são do tipo
Este model063, apesar de não ser de programação inteira, não produz mais que 'n' Xj's fracionários, sendo
'n' o número de restrições orçamentárias e apresenta sempre uma versão dual do tipo:
Minimizar
L U.
J
j
L . Pt Ct
t
..
Sujeito a
L
t
Pt,
Pt Cjt
U.
J
~
+ Uj
O
~
b·
J
para
= 1,2, ... , T
= 1,2, ... , n
As variáveis duais Pt's são custos de oportunidade associados às restrições orçamentárias, enquanto as duais
U·'s significam, para um projeto aceito, o excesso de seu valor presente bj sobre a soma dos investimentos descontad~s ao custo de oportunidade de cada período orçamentário porquev+:
.
O modelo é capaz de manipular outras restrições e situações encontradiças em Orçamento de Capital. Há
contudo dificuldades próprias do planejamento de investimentos que criam obstáculos a uma aplicação inquestionável do método.
Weston e Brigham65 nos relernbram que Orçamento de Capital é a aplicação da proposição clássica da Teoria
da Firma, segundo a qual o ponto ótimo de investimento se dá quando os benefícios marginais se igualam aos custos
marginais, ou.vo que é o mesmo, quando a Taxa Interna de Retomo do projeto marginal iguala ao custo marginal de
capital.
61
Ver Quirin, The Capital,p.
62
Ver --,
--,
p.185-97.
63 Ver --,
--,
p. 187 -8.
180-1.
64
Ver __ , __
, p. 190; Há um erro de impressão na fórmula (8) apresentada por Quirin. O somatório é referente a 't' e não a
'j'. Ver Weingartncrv Mnthcmatical, p. 25.
6S
Ver Westo n and Brigham,
Managerial,
p. J 39--40.
. .' h...,.
126
A curva da demanda por recursos de investimento pode ser contínua ou por degraus, e a curva de oferta de
capital é inelástica ou monotonicamente crescente. O volume ótimo é obtido pela interseção das duas curvas, o que
pode acontecer antes ou depois do início da ascenção do custo marginal de capital.
Este procedimento é usado ordinariamente na ausência de racionamento de capital66 e significa perseguir o
mais alto VPL incrementai com os recursos orçamentários. Com racionamento, que os autores entendem como
interno e severo, o critério do VPL pode não maximizar o valor da firma, sendo recomendável permanecer com o
critério da TIR, sempre que projetos economicamente aceitáveis e divisíveis são rejeitados por estreiteza de re 'ursos.
Eles duvidam, entretanto, que esse racionamento severo seja freqüente, daí porque o uso do critério do VPL
proporciona uma solução satisfatória.
Os autores reiteram seu entendimento sobre racionamento de capítalv", afirmando que. ele acontece quando
um limite arbitrário é imposto ao volume de dispêndios de capital durante um dado ano e que, não é correto
interpretar racionamento de capital como a situação em que a empresa deseja mas não consegue vender novos papéis
aos preços correntes de mercado, porque seu custo de capital está subindo.
Quando não há racionamento e a ordenação da TIR conflita com a seleção do VPL, estão ocorrendo
inversões de Fisher; como o custo marginal de capital se identifica com o retorno marginal dos projetos, o VPL deve
ser preferido à TIR.
Quando, cumulativamente, o racionamento é arbitrãríov 8 , o retorno de corte resulta bem acima do custo de
capital, os projetos são comparáveis em dimensão de investimento e nos horizontes de tempo, então nenhum dos
. métodos maximizará o valor da empresa, porque oportunidades valiosas estão sendo desperdiçadas, mas qualquer um
dará resultados satisfatórios. Mas se os projetos não são comparáveis nos investimentos e prazo, as considerações
sobre reinvestimentos de sobras presentes e de fluxos de caixa futuros são imprescindíveis. O critério a adotar é
maximizar o Valor Futuro no horizonte de planejamento, descontado para o presente ;10 custo de capital corrente da
empresa. Percebe-se que esta técnica tem uma diferença essencial da proposta por Solomon uma vez que este
desconta cada período à taxa presumida de reinvestimento no período, e não à taxa única e corrente do custo de
capital.
Generalízandov'", quando um teto arbitrário é imposto, de tal sorte que o "retorno de corte" fica muito
acima do custo de capital corrente e constante, a TIR provavelmente dará melhor resultado, mas se fica próximo
deste custo, o VPL será melhor. Obviamente, se o limite arbitrário permite a adoção até de projetos com VPL .
negativo, deixa de haver problema de racionamento de capital para existir um problema de escassez de oportunidades. O ponto de interseção é a solução.
Conceitualmente 70, a empresa, sujeita ou não a racionamento, deve eleger seus projetos em cada ano, de
sorte a otimizar o seu valor que é o Valor Presente de seus fluxos de caixa futuros. Em condições de racionamento e
com investimentos divisíveis pode se valer de programação linear contínua, mas com projetos indivisíveis deverá
utilizar-se da programação linear inteira.
O trecho ascendente da curva do custo marginal de capital cria problemas graves para situações sem e com
racionamento 71, que só a programação dinâmica pode resolver. A Programação Linear inteira ou contínua necessita
do custo de capital como um dado; e se este não está disponível, não se pode montar sua função-objetivo. A
programação dinâmica oferece, por tentativa e erro, e simultaneamente, os resultados para o volume orçamentário e
para o custo de capital .
•
66
67
Ver Weston and Brigham, Managerial; p.154-5.
Ver --,
--,
p. 165,155.
68
Ver--,--,p.166-7.
69
70
Ver ~-,
--,
p. 168.
Ver --,
--,
p. 175-6.
Ver --,
--,
p.168 e 176.
71
I
;1'
127
Para Van Horne 72, racionamento de capital significa também um teto fixo de gastos de capital, situação
esta freqüentemente ligada a decisão de financiamento interno. Nessa circunstância, a empresa procura selecionar
uma combinação de projetos que proporcione o mais alto "Profitability Index-Pl", ou seja, a mais alta relação
benefício/ custo, atualizados.
o objetivo, sob racionamento de capital? 3, não é aproveitar os melhores projetos segundo o PI, nem aceitar
todos os que tenham PI maior que 1, mas selecionar uma combinação de investimentos que produza o mais alto VPL
com o orçamento disponíve1.
.
o custo para a firma de um teto orçamentário imposto, pode ser interpretado como o retorno da melhor
oportunidade perdida. Sob racionamento de capital74 o critério de aceitação não é nem a taxa requerida de retorno
nem o custo de capital. A taxa de desconto a ser utilizada em qualquer período orçamentário é o retorno da
oportunidade perdida de mais alto PI, ou o custo de capital, o que for mais alto.
Recursos ilimitados não existem para nenhuma empresa mesmo explorando o mercado externo. Dentro
deste enfoque sempre restritivo, a empresa deve aceitar todas as propostas com retornos superiores ao seu custo de
capital, e levantar o necessário financiamento externo a este custo aproximado. Esta política tende a maximizar o
valor da firma enquanto o racionamento inflexível conduz quase sempre a soluções subótimas.
A Programação Matemática 75 pode ser aplicada para resolver o problema de racionamento a multiperíodo.
O modelo básico de Weingartner é o apresentado para maximizar o VPL das propostas disponíveis, atendendo às
restrições orçamentárias, e é referido como sendo um meio sistemático e abrangente para selecionar projetos, embora
apresente limitações relativas ao próprio processo de planejamento de investimentos .
.
Os livros de Bierman e Smidt - BS - são específicos de orçamento de capital; trabalhamos com a terceira
ediçã076 que tem um único capítulo, o 100., sobre Racionamento de Capital e coma quarta edíção"? que traz dois
capítulos sobre nosso assunto. O primeiro estudo, que não se detém sobre Programação Matemática, é reproduzido
integralmente no capítulo 80. do novo texto. Este exibe, agora, o 220: capítulo, inteiramente dedicado à aplicação
desse importante instrumento de análise em situações de restrições orçamentárias.
BS identificam 78, de' início, dois tipos de racionamento
de capital. O racionamento
interno significa a
imposição, por parte da administração, de uma das três situações:
a) um montante a ser dispendido;
b) uma qualidade dos investimentos a serem adotados;
c) um critério de aceitação que recomenda apenas parte dos investimentos adotáveis pelo mercado.
O racionamento
externo é conceituado
como sendo uma imperfeição do mercado que diferencia taxas de
emprestar e de tomar emprestado e impõe custos de transação.
Ambos os tipos criam problemas especiais para a orçamentação de capital que podem ser resolvidos por
técnicas simplistas que conduzem a resultados aproximados, ou por técnicas matemáticas que contemplam todas as
alternativas de investimentos, podendo conduzir a soluções confiáveis.
72
Ver Van Horne, FinanciaI, p. 85-6.
73 Ver --,
--,
p. 86-7.
74 Ver --,
--,
p. 87~8.
75 Ver __
76
77
, --,
p. 89-92.
Biermanand Smith, "The Capital". 3rd. cd.1971.
--,
--,4th,
ed.1975.
78 Ver --,
.....---, 3rd. ed. p. 182-3.
128
No estudo de racionamento externo BS pressupõe que:
a) a estrutura de capital não se altera com a aquisição de novos recursos;
b) "borrowing" significa obter recursos a partir de ações e obrigações; sua taxa é constante independentemente dos volumes envolvidos;
c) "lendin-" traduz a aquisição de uma carteira de ativos mobiliários de mesmo risco que a própria empresa;
sua taxa independe dos volumes emprestados;
d) em mercados imperfeitos a taxa de emprestar é menor do que a de tomar emprestado.
Uma técnica simples' e aproximada 79 para racionamento
divisíveis e independentes, é a que segue:
externo
a um período
e para investimentos
a) preparar uma tabela mostrando os dispêndios necessários para implantar todos os projetos que têm VPL
positivos a diversas taxas;
b) traçar esta curva de demanda de recursos no espaço dispêndio x retomo; é uma curva descendente;
c) determinar a quantia de recursos internos disponíveis para investimentos,
representativa;
traçando
sua linha vertical
d) traçar as retas horizontais dos custos de emprestar e de tomar emprestado no presente;
e) analisar a interseção da oferta interna fixa com a curva da demanda:
i) se ocorrer acima da linha de "borrowing", tomar recursos adicionais emprestados, à taxa de mercado, até o montante necessário para adotar todos os projetos que igualam ou superam esta taxa;
ti) se acontecer abaixo da linha de "lending", investir internamente só nos projetos que igualam ou
superam essa taxa; os recursos sobrantes devem ser emprestados a essa mesma taxa, ou devolvidos
aos estruturadores do passivo da empresa;
íii) verificando-se entre as taxas de. emprestar e de tomar emprestado, não captar mais recursos nem
deixar sair recursos da empresa; adotar todos os projetos que esgotem esses recursos e que serão
avaliados a essa taxa de interseção.
Entendemos que a principal desvantagens desta técnica está em não especular sobre os níveis das taxas de
mercado no futuro em que os projetos vão viver e quando ocorrerão os reinvestimentos de seus fluxos de caixa
positivos.
As políticas de racionamento
intern080 se dividem em dois grupos principais e se caracterizam:
a) pela imposição de uma taxa de corte que é superior ao custo dos recursos da empresa e é mantida como
uma política de investimento de ano para ano, o que lhe permite planejar os futuros investimentos a essa
taxa; a intenção é criar uma margem de segurança contra falhas de planejamento. A lógica desse procedimento é incorreta porque uma taxa de desconto deve medir o custo de oportunidade dos recursos
disponíveis para a empresa. O excesso de recursos pode ter vários destinos mas é usualmente investido
em obrigações governamentais de curto prazo;
b) pela imposição de um montante rígido de recursos, equivalentes aos lucros retidos, dependente, portanto, da política de dividendos e que pode deixar bons projetos sem acolhida. Esta política pode ser a de
manter um volume de dividendo fixo independentemente dos lucros, o que lança toda a variabilidade
destes sobre os lucros retidos e sobre a política de investimentos; as taxas de corte serão também
variáveis e difíceis de prever no futuro. Outra alternativa é pagar uma fração fixa dos lucros como
dividendos. A fração complementar está disponível para investimento mas só deve ser investida em .
. oportunidades de VPL positivo.
.
79
Ver Bicrman and Smidt, The Capital. 3rd. ed. 1971, p. 183-6.
80
Ver _,
--,
p. 187.
129
o racionamento de capital, de um tipo ou de outro, é um fenômeno freqüente em muitas empresas. Ele
pode apresentar-se em diferentes graus, que os autores rotulam de "minor" num extremo e de "severe" em outro.
Para o primeiro, a regra do VPL ao custo de capital pode ser usada com confiança; para o segundo, deve ser ajustada
por taxas de desconto, para cada ano futuro, que reflitam o custo de capital adicional (taxa de tomar emprestado), a
atratividade dos investimentos externos (taxa de emprestar) e a preferência dos investidores por rendas presentes e
futuras (influência da política de dividendos no custo de capital).
A abordagem de Programação Matemática de BS81 está inteiramente
Weingartner, de Baumal e Quandt e Carleton já mencionados neste trabalho.
apoiada nos ensinamentos
de
Os autores afirmam que o racionamento é um problema usual das empresas,que não é necessário ordenar
projetos segundo um critério de mérito mas selecionar o melhor pacote de projetos, e que o objetivo a ser perseguido
é maximizar o Valor Presente dos dividendos futuros.
Através de um exemplo simples, BS mostram que o pacote ótimo, de um problema de racionamento,com base no VPL, depende:
eleito
a) da taxa de desconto utilizada; e
, b) do conjunto de projetos candidatos e que cada solução apresenta custos de oportunidades
referentes ao melhor projeto perdido.
distintos,
Afirmam ainda que em situações de racionamento o valor "do dinheiro no tempo não pode ser usado como
taxa de desconto porque não representa o custo de oportunidade dos recursos; quando todos os investimentos
seqüenciais são incluídos no estudo, estes custos de oportunidade devem ser usados como taxas de reinvestimentos
para produzir um valor terminal que é o critério ideal a ser maximizado ..
Para a montagem da função-objetivo os autores escolhem o procedimento de maximização de dividendos
futuros, e para a taxa de atualização desses dividendos uma "default free market rate". Propõem, em seguida, um
ajustamento para o risco sobre o valor presente já calculado, por meio da subtração de um termo corretivo, se o
projeto não é risco-neutro.
Em notação matricial o primaI teria o seguinte aspecto:
Maximizar Z = a' D
Sujeito a
Cx+
x,
D ~ M
D :;:;.O
que em notação convencional seria:
Maximizar Z =
Sujeito a
T
L
t=O
~ Dt
J
L
j=l
O,. _., T
t
=
1,
, J
0,
, T
onde as incógnitas do mpdelo são além de Xj' também Dt; por convenção (contrária a de Baumal e Quandt), as
entradas de recursos são positivas.
81
Bierman and Smidt, Tltc Capital •.4th. ed. 1975. p. 397.
130
Lembramos a observação feita por Myers82 segundo a qual este tipo de restrição não faz sentido porque Dt
tem que se transformar, ele próprio, numa variável de folga com a desigualdade se convertendo em igualdade. Entendemos que uma outra variável de folga representaria sobras não disponíveis nem para investimento nem para
distribuição de divide.idos, mas para outros usos como amortização de dívidas. Um tal modelo requereria, entretanto, restrições adicionais como, por exemplo, uma política de dividendos que o modelo de BS não inclui. O exemplo
numérico apresentado por BS comprova a assertiva de Myers de que é impossível ter desigualdades nessas restrições
com os dados da solução ótima.
A única diferença desse modelo para o de Baumal e Quandt está no vetor de atualização dos dividendos que
deixa de ser relativo à utilidade de uma unidade monetária no período 't', para ser um operador de atualização com
base numa taxa de juros em situações livres de inadimplência. Não percebemos, na ilustração numérica mencionada,
qualquer correção de Valor Presente para traduzir o risco, como sugerem os autores e como requer o problema.
o
dual resulta de aparência mais simples que o primal, e suas soluções são interpretadas no interesse deste.
Encontramos ainda observações sobre diversas possibilidades de ampliação do modelo, inclusive para torná-lo de
Programação Linear inteira. Segundo os autores qualquer desses modelos requer muita informação sobre as oportunidades' futuras, razão por ,que, em vez de perder tempo ordenando investimentos, as energias devem ser dirigidas no
sentido de descobri-las no futuro.
2.8 -
UMA TOMADA DE POSIÇÃO
Pelo que vimos, o racionamento de recursos pode existir a nível de qualquer ente econômico, governo,
empresa, indivíduos e associações. Entendemos que o racionamento é um fenômeno universal e onipresente, porque
nenhum desses entes tem recursos ilimitados, porque sempre há o problema de como' alocar os recursos disponíveis
entre consumo e investimento, e nestes, entre as diversas alternativas que apresentam. A intensidade da estreiteza de
recursos face às necessidades pode variar de situação para situação, mas o problema das prioridades e da escolha final
sempre existirá.
A nível de indivíduo, o primeiro ponto de decisão diz respeito a quanto consumir e quanto poupar para'
investir. A Teoria do Consumidor nos ensina que o equilíbrio se dá pela igualdade entre as utilidades dos dispêndios
marginais em consumo e investimento. A utilidade deste último é, ao fim e ao cabo, a utilidade do potencial de
consumo futuro criada por essa inversão marginal, que depende da esperança matemática, da variabilidade e da
cronologia desse consumo. Nesse julgamento entram dois fatores subjetivos: a atitude do investidor face ao risco e
suas preferências cronológicas por consumo. O segundo ponto de decisão, que diz respeito a que consumir e em que
investir não está, portanto, dissociado do primeiro, porque o processo é iterativo e as soluções acontecem simultaneamente. As análises de Fisher, de Hirsh1eifer e de Bailey contemplam explicitamente a preferência interperíodo do
investidor por consumo, e incorporam na inclinação das linhas de mercado uma expressão do risco como visto pela
comunidade econômica em seu conjunto, mas não na ótica do investidor em particular.
Entendemos que o procedimento orçamentário racional do indivíduo conduz a um racionamento do tipo
"brando" onde os volumes a poupar e investir são determinados pelo equilíbrio entre a satisfação marginal de
consumir no presente e a de consumir um pouco mais no futuro. Entendemos que existe, também, o racionamento
do tipo "duro" no qual uma quantia fixa e arbitrária é destinada à inversão, enquanto o restante do orçamento se
endereça ao consumo; este procedimento, mais raro, representaria a imposição de uma autodisciplina visando a fugir
aos apelos de uma sociedade de consumo para conquistar a emergência e segurança futuras.
'
A poupança disponível no sistema econômico provém de indivíduos, de empresas e do governo e pode ser
acrescida da poupança do resto do mundo (capitais de riscos e de empréstimos líquidos). Definidas cada uma dessas
parcelas, teremos o volume de investimentos possíveis no exercício, financiáveis por ações ou obrigações. É evidente,
portanto, que o racionamento de capital individual tem relação com o racionamento de capital das empresas, mas
este é mais" visível nas empresas fechadas, de acesso limitado ao mercado financeiro, como costumam ser as empresas
de pequeno e médio porte, em setores tradicionais de baixa rentabilidade, ou ausentes das prioridades governamentais. Nestes casos as oportunidades individuais dos sócios competem com as da empresa pela poupança destes que
advém, muitas vezes, e em grande proporção, da própria empresa, o que pode levar a uma política de distribuição de
resultados prejudicial ao seu crescimento. A taxação do imposto de renda, sobre a distribuição de lucros da pessoa
jurídica e sobre a auferição de lucro das pessoas físicas, é o grande mecanismo defensor dos interesses de uma
empresa nessas circunstâncias.
82 Ver Myers,~,
p. 91.
131
o primeiro ponto de decisão antes mencionado não existe para a empresa porque esta não consome no
sentido restrito de se utilizar de um bem ou desfrutar de um serviço para auferir satisfação. Em troca, temos a
decisão de quanto distribuir da renda por ela gerada para consumo ou poupança de seus sócios e que se consubstancia na política de dividendos. Quando estruturada racionalmente, visando aos interesses da empresa, esta l-olítica
deve maximizar o seu valor de mercado o que ocorre quando os graus de retenção e de distribuição coincidem com
os desejos de seu público investidor, tendo em vista as oportunidades de reinvestimento oferecidas pela própria
empresa e as oportunidades de investimentos outras existentes no mercado, todas vistas nos seus aspectos fundamentais de risco e retorno. Isto significa dizer que a política de +ívídendos é caudatária da política de financiamento.
o
Racionamento de Capital se biparte em racionamento externo e interno. Este, por sua vez, se desdobra
em dois ângulos importantes. O primeiro condiciona os investimentos ao volume dos recursos gerados internamente e
pode ser defensável para uma empresa individual ou fechada, mas não é apropriado para uma empresa de capital
democratizado como nos ensinam Weston e Brigham83 e por várias razões:
a) o uso exclusivo de recursos proveniente de lucros retidos encarece os recursos da empresa porque lucros
retidos têm custo semelhante ao de ações ordinárias e assim há um deslocamento da estrutura de capital
no sentido de menor alavancagem financeira; como os recursos da deprecíaçãoê+ têm custo equivalente
ao custo de capital, o conjunto desses recursos internos tem um custo médio superior ao custo de capital
da empresa. Portanto, sempre que houver reinversão de lucros retidos haverá custo marginal mais alto
que o CUslOmédio anterior e conseqüente elevação do custo de capital;
b) o volume dos recursos internos só por coincidência equivalerá ao volume dos investimentos disponíveis e
economicamente desejáveis ao custo marginal de capital. Neste aspecto podem acontecer três situações
básicas:
. .
.
i) racionamento interno grave: os recursos internos são muito mais estreitos que as oportunidades de
reinvestimento interno; neste caso, bons projetos próprios deixarão de ser adotados, o retorno da
oportunidade perdida é bem mais alto que o custo marginal e este é mais alto que os custos médios
de capital antes e depois do reinvestimento; a sub otimização é patente;
li) racionamento interno discreto: os recursos internos estão próximos das oportunidades internas e
basicamente todos os projetos próprios viáveis são aceitos; o retorno da oportunidade perdida é
equivalente ao custo marginal de capital que é por sua vez superior aos custos médios de capital
antes e depois do reinvestimento; o grau de subotimização está na dependência do encarecimento
desse custo médio que poderia ter ficado constante se houvesse financiamento externo;
iii) racionamento interno leve: os recursos internos são mais que suficientes para atender todas as
oportunidades internas, sobrando recursos para aplicações em oportunidades externas; neste caso,
também, o retorno da oportunidade marginal é igual ao custo marginal de capital e este superior aos
custos médios antes e depois do reinvestimento. O grau de subotimização se revela, de novo, através
do encarecimento desnecessário do custo médio de capital. Havendo sobras de recursos, o teto
orçamentário é definido pela escassez de oportunidades de investimento.
O montante a que nos referimos nesta variante de racionamento interno é determinado por uma atitude
volitiva e caprichosa do administrador. Os recursos disponíveis para investimento são a variável independente do
modelo que resulta ser o mais irracional dos usados em Orçamento de Capital.
A outra alternativa de racionamento interno é a imposição arbitrária de uma taxa de corte mais alta que o
custo marginal dos recursos a serem aprisionados pela empresa. Neste caso, o volume de recursos requerido pelos
projetos assim eleitos é uma variável secundária do processo de racionamento, mas este volume é algo arbitrário na
medida em que depende de uma taxa de corte impositiva e predeterminada; seu financiamento pode se dar por via
interna, externa ou por ambas. A subotimização se revela pelo abandono de oportunidades economicamente desejáveis que seriam aceitas para alcançar o equilíbrio entre retorno marginal e custo marginal, e que assim deixaram de '
aportar riqueza à empresa'. Este modelo de decisão é, no entanto, mais racional que o anterior.
O racionamento externo é um procedimento administrativo racional do qual emerge um volume ótimo de
investimentos que é ao mesmo tempo um teto e um piso aos quais a empresa deve sujeitar-se se persegue o objetivo
de maximizar a riqueza dos acionistas.
83
Ver Weston and Brigharn, Managerial, p. 155.
84
Ver Van Horne, FinanciaI, p. 118.
132
Como mostra a Figura 2-8, uma empresa, num dado momento, dispõe, por exemplo, de uma curva
oportunidades em degraus, ABCDE, que contempla tanto as inversões internas como as externas, incluídas nestas
aplicações de "open market", e dispõe de um suprimento de recursos, GHI, a custos marginais constantes, dentro
uma ampla faixa de valores, OH', a partir da qual sua curva inicia uma escalada até o ponto 1', onde o suprimento
torna completamente inelástico.
de
as
de
se
Nenhuma empresa, por maior e mais bem gerida que seja, pode levantar recursos ilimitados no mercado,
porque eles não existem nessa quantidade, porque o mercado é cauteloso em alocar recursos além daquela soma que
a empresa pode digerir e ainda porque não há oportunidades infinitas e economicamente viáveis na mão de uma só
empresa.
Os recursos do eixo horizontal já consideram as ações, os empréstimos e os endividamentos de todos os
tipos; ao atingir o equilíbrio a empresa está impedida de tomar emprestado, na ótica fisheriana, para atingir maiores
níveis de utilidade. A interseção das duas curvas se dá em K, sendo O C' o volume orçamentário ótimo que considera
a implantação do pacote A B C, resolvendo sempre o problema da indivisibilidade dos projetos reprodutivos usuais e
obedecendo sempre à ordenação descente das taxas de retorno.
Neste tocante podemos observar que o racionamento interno por taxa de corte arbitrária atende igualmente
a esses dois aspectos como se vê, por exemplo, no ponto de interseção L. Isto já não acontece com o racionamento
interno por volume fixo de dispêndio, quando a interseção se. dá, por exemplo, em J, onde os problemas da
indivisibilidade e da ubediência à ordenação pelo critério de mérito intensivo eleito, estão pendentes de solução e
devem ser enfrentados simultaneamente.
CUSTOS E
RETORNOS
1'1.1
TETO
IMPOSTO
OFERTA
I
I
DEMANDA
,
I
I
I
I
I
I
I
I
E I
OPEM
,,
I
r
s'
J'
C'
O'
H'
E'
I'
FIGURA
RECURSOO
2 - 8
Uma visão satisfatória do problema de racionamento de capital.
Para o racionamento externo podemos também imaginar que o Racionamento de Capital significa um teto
imposto para dispêndios de capital, não necessariamente de origem interna, mas do "elenco de recursos considerado
ótimo para a empresa". Como recursos totais = recursos próprios + recursos de terceiros e como a estrutura ótima
requer uma definição na proporção das duas parcelas, a limitação dos recursos totais pode se encontrar na inelasticidade dos volumes de cada uma dessas parcelas.
Os recursos próprios podem estar limitados pela vontade e disponibilidade de recursos dos proprietários de
uma empresa fechada, por situações adversas de mercado para lançamento de ações para uma empresa aberta e por
outros motivos, do proprietário e da empresa como detalhamos no oapftulo.auterior.
.~,"'".
133
Os recursos de empréstimo podem estar limitados pela capacidade de oferecer garantias reais, por parte da
empresa, dê seus diretores e acionistas majoritários, por condições adversas de mercado para a absorção de debêntures e para a tomada de empréstimos, entre outras razões.
Abstraindo o fato de que a natureza e o risco dos investimentos influenciam o volume de recursos assim
reunidos, vemos que conhecidos os recursos totais, cabe ao empresário ajustar a constelação de projetos a implantar.
Neste caso, freqüentemente, a ordem dos retornos descendentes precisa ser subvertida, para que se obtenha o VPL
máximo com os recursos disponíveis, bem como fica pendente de solução a questão das indivisibilidades.
Quando o racionamento é duro e se espera que continue duro no horizonte do orçamento, a taxa de
desconto torna-se o "custo de oportunidade" ou o retorno do melhor projeto perdido, mas quando o racionamento é
brando e se espera que assim continue ao longo do horizonte de dados, o "custo marginal de capital" é uma taxa
aceitável. Em cada caso essas taxas indicam a taxa de retorno marginal que seria obtida com um pequeno incremento
orçamentário e mesmo havendo inversões de Físher, as soluções seriam as mais adequadas. Quando os custos de
oportunidades são diferentes de período para período, o que nos é revelado pelos avaliadores duais do método
simplex85, o racionamento é irregularmente duro ao longo do horizonte de planejamento e seria conveniente
praticar uma transladação de recursos interperíodos para equalizá-los.
Convém ressaltar que "custo marginal de capital" não é o custo intensivo direto pago aos novos estruturadores do Passivo pelos recursos necessários à adoção dos novos projetos, mas também os custos intensivos adicionais
exigidos pelos financia dores pré-existentes, em face das variações dos riscos do ativo, do passivo e gerencial. Esta
última é motivada, no nosso entender, pelo empioramento da eficiência gerencial das atividades preexistentes,
decorrente da adoção dos novos projetos, bem como, pela erosão da eficiência planejada para estes. As curvas de
distribuição dos retornos das atividades preexistentes e incremental, não só se deslocariam para a esquerda, diminuindo suas médias, como teriam aumentadas suas dispersões em face do alargamento do "down-side risk".
Por fim, gostaríamos de adaptar a análise de Fisher e de Hirshleifer, ainda 'que só a dois períodos, para a
visão 'de uma dada empresa (e não de um indivíduo), que enfrenta oportunidades discretas, que não "consome" e
que só aprisiona recursos de custos marginais conhecidos, embora variáveis, e dentro de um processo de racionamento externo racional, por taxa de interseção, o que fazemos com o auxílio da Figura 2-9.
-,'\
\
\
\
\
C
Uma adaptação da análise de Hirshleifer para empresas com projetosindivisfveis
85
e custo de capital crescente.
FIGURA
fe ~ 'a ao
éodo
'111
I x oCa
'tulo4
2-9
134
Suponhamos que uma empresa disponha, não de uma curva contínua de oportunidades como a representada por OABC, mas de três projetos discretos A, B e C, todos a dois períodos, com retornos decrescentes
e com volumes de investimento definidos por
IB
= A'B'
e
Ie
= B'C'.
Suponhamos ainda que o custo unitário para obter OA' seja menor que o custo unitário para conseguir OB'
e este menor que o custo unitário do pacote OC', o que nos é revelado pelos ângulos 'a', 'b' e 'c', respectivamente.
A implantação do projeto A vai produzir como resultado líquido o montante OR no período
produzirá um Valor Presente equivalente a OX. Neste caso, a atualização se expressará por
OX
=
OR
tg (180 - a)
2, que
onde
A implantação simultânea de A e B demandará recursos equivalentes a OB' e produzirá um resultado
líquido no montante OS que redunda num valor presente OY. Neste caso o operador de atualização é l/tg (l80-b)
e, como 'b' é menor que 'a', a penalização para a conversão de recuros futuros em Valor Presente é mais intensa. Por
essa razão, a implantação de B, em acréscimo à A, não produz o mesmo Valor Presente que a sua implantação
isolada. De seus resultados líquidos, RS, deverá sair, não só, a pena para sua atualização ao novo custo de capital,
mas também um incremento de pena pela atualização de OR, em face do encarecimento do custo de capital. Como o
projeto B' é também menos intensivo de riqueza que A, vemos que a estratégia A + B é menos eficiente que a
estratégia A, quando vista no enfoque intensivo, mas é extensivamente melhor que esta porque leva a empresa para
um nível de Valor Presente, OY, maior que OX.
A implantação de C em acréscimo a A + B sofre dos mesmos problemas já mencionados para B. Além de ser
menos eficiente que os dois anteriores na geração de resultados no período 2, deve pagar o encarecimento do pacote
global de recursos para implantar os três projetos. Este fato pode fazer com que sua adoção não adicione qualquer
quantidade de Valor Presente à empresa, como é o caso do exemplo. retratado na Figura 2-9. Quando a atualização
de O'I', ao novo custo de capital, não produzir mais que a atualização de OS ao custo anterior, fazendo com que o
ponto Z caia sobre o ponto Y ou à sua esquerda, não compensa adotar C, porque isto mantém ou diminui o nível de
Valor Presente já alcançado na estratégia anterior.
As retas que partem A, B e C e interceptam o segmento positivo de RI não significam mais níveis crescentes
de VPL porque deixaram de ser paralelas. O Valor Presente Líquido dos diferentes cursos de decisão são medidos
agora pelas abscissas dessas interseções.
Vemos, por outro lado, que as "linhas de tomar emprestado" da empresa representam também as "curvas
de isoutilidade" de seus acionistas, no que concerne ao VPL de seus investimentos. No estabelecimento dessas linhas
estão incorporadas todas as considerações relativas ao risco dos diversos tipos e para cada uma das estratégias sob
consideração.
O Valor Presente Líquido, visto num enfoque seqüencial, revela-se, assim, como o critério mais indicado
para nortear o processo de investimento de uma empresa que dispõe de projetos indivisíveis e custos crescentes de'
capital.
3
UM ESTUDO CRITICO
3.1 -
DO ARTIGO
DE LORiE E SAVAGE
COMENTÁRIOS INICIAIS
Em outubro de 1955, o "Journal of Business" trouxe um artigo assinado por Lorie and Savage,", que se
tornou clássico na literatura deOrçamento
de Capital. Ele foi reproduzido em diversos livros de "leituras" em
Finanças e é ainda hoje objeto de seminários na maioria das Escolas de Administração.
Propomo-nos neste capítulo a fazer uma revisão crítica deste importante trabalho que é pioneiro sob muitos
aspectos da questão, para demonstrar certas dificuldades do método que advoga. Impossibilitados de recorrer ao
texto' original, nos valemos de reimpressões feitas nos livros "Foundatíons for Fínancial Management: A Book of
Readings" de James Van Horne, e "The Management of Corporate Capital" de Ezra Solomon. As notas de rodapé
estão feitas com base no primeiro destes documentos.
Os autores, que ao longo deste relato chamaremos de LS, se dedicaram ao estudo de três questões cruciais
no estudo do Orçamento de Capital, e que são:
a) Conhecido o custo de capital, que investimentos independentes
b) .Dada uma quantia fixa para gastos em investimentos
de investimento devem ser implementadas?
devem ser selecionados?
de capital, que grupo de propostas independentes
c) Como deve uma empresa selecionar a melhor entre alternativas mutuamente
exclusivas?
A primeira pergunta não se insere nas preocupações restritas do Racionamento de Capital pois é uma
questão bem mais abrangente do próprio Orçamento de Capital. Ela foi acrescentada pelos autores par(l dar introdução ao assunto principal, o racionamento, que está contido nas perguntas restantes.
O teste aceita-rejeita' implícito na primeira interrogação e pelo
propostas de investimento, é visto pela ótica do Valor Presente Líquido
demonstrem muita devoção pelo trabalho de Joel Dean, LS manifestam
critérios, e desenvolvem com rara felicidade a problemática das múltiplas
caixa não convencionais, cabendo-lhes a autoria do exemplo antológico da
repetido em muitos outros trabalhos.
.
qual, supõe-se, devem passar todas as
e da Taxa Interna de Retorno. Embora
suas preferências pelo primeiro desses
Taxas Internas de Retornode fluxos de
substituição de uma bomba de petróleo,
Quanto à necessidade absoluta de que todo projeto deva ser aprovado neste teste, veremos, no estudo do
racionamento de capital a multiperíodo, que algumas das propostas por ele rejeitadas podem vir a ser desejáveis,
quando transferem recursos de anos em que há excesso, para anos em que há escassez, como LS mesmo já reconhecem.
A segunda pergunta -dá lugar'ao que chamaremos, ao longo desta dissertação, de PROBLEMA TIPO A e que
tem a seguinte configuração:
a) A empre~a se defronta com um certo número de projetos, independentes dois a dois, significando isto
que quaisquer que sejam os projetos componentes do pacote ótimo, eles são sempre compatíveis entre si,
técnica e economicamente;
•
b) A cada um desses projetos está associado um "projeto fantasma" que é a "alternativa de, não' fazer
nada". Cada projeto concreto e seu fantasma formam uma família de dois projetos e nunca mais de dois
projetos;
c) Embora cada família tenha um projeto fantasma, estes são idênticos entre si e se representam por um só
instrumento analítico - equação - e um só gráfico - reta (para 1 período), plano (para 2 períodos)
ou hiperplanos (para 3 ou mais períodos);
1 Lorie and Savage, "Three
problems", Journal of Business 28 (October 1955): In Foundations, Van Horne, p. 295-309.
. ",
136
d) O tipo de racionamento pode ser a I período, com todos os projetos se completando nesse prazo e com
o orçamento definido também a um período. Este é o PROBLEMA TIPO A-I;
e) O tipo de racionamento pode ser, ao contrário, a 2 (ou mais) períodos, com dispêndios e orçamentos
mensurados isoladamente para cada um dos períodos. A este caso denominaremos PROBLEMA TIPO
A-2.
A terceira pergunta nos conduz a um outro tipo de situação' que rotularemos de PROBLEMA TIPO b
se caracteriza como segue:
':!
que
a) A empresa dispõe de um número de famílias de projetos, que são, elas, independentes entre si, duas a
duas. Qualquer que seja a constelação de famílias eleita, para compor o pacote ótimo, este será viável
tanto técnica como economicamente;
b) Cada, uma dessas famílias apresenta, além do obrigatório projeto fantasma, dois ou mais projetos que
são mutuamente exclusivos, de tal sorte que para o pacote ótimo só sairá de cada família um único
projeto, que poderá ser O projeto fantasma;
c) Estes projetos fantasmas são idênticos e portanto se representam por-um . só instrumento analítico
- equação - e um só gráfico
reta (para o caso de I período), plano (para 2 períodos) ou hiperplanos (para 3 ou mais períodos);
d) Quando o racionamento se dá a I período, temos o PROBLEMA TIPO B-l;
e) -Se o problema contempla 2 (ou mais) períodos, nos defrontamos com o PROBLEMA TIPO B-2;
f) Eventualmente é possível ter-se um só projeto concreto em uma ou mais famílias, mas pelo menos uma
família deverá ter dois ou mais projetos concretos.
Podemos notar, de início, que o PROBLEMA TIPO A. é uma visão mais simples do PROBLEMA TIPO B,
porque as famílias se compõem de um só projeto concreto, e que o PROBLEMA TIPO I é um caso mais simples que
o PROBLEMA TIPO 2. Mas a lógica que resolve um é a mesma que resolve o outro. A regra é maximizar '2: Z, como
veremos adiante.
A técnica dos autores consiste em utilizar multiplicadores positivos que penalizam os investimentos dos
projetos de forma ajustável, antes de compará-los com o seu Valor Presente Líquido e em extrair um indicador de
mérito circunstancial, através da equação genéríca-:
i
'2: p. I··
I J
1)
onde
i = índice identificador da proposta sob análise;
Zi
=
indicador de mérito da proposta i;
j = número de ordem do período a que se refere o orçamento;
=
VPLi
Valor presente líquido da proposta i;
lij = Investimento atualizado ao custo de capital da proposta i no período j;
p.:::
•
J
Multiplicador auxiliar positivo, que opera sobre o investimento do período
j; encontra-se por tentativa e erro e que tem a dimensão de ($ VPL)
($ I.atual.).
I
Segundo LS, estes p's são pesos que permitem encontrar a média ponderada dos investimentos atualizados
de cada projeto, média esta que representaria um "custo" do projeto a ser comparado com o "benefício líquido"
que é o VPL, mas, na verdade, o uso dos pesos não produz média, como dizem os autores. 'Z' é uma grandeza da
2 Os au~orcs ~saram uma notação diferente: y - Pl C1 para racionamento
dOIS períodos.
a .um período e y - Pl C1 - P2C2 para racionamento a
137
dimensão do VPL, linear e diretamente proporcional ao "benefício líquido" e linear e inversamente proporcional aos
cu~tos. 'Z' premia o VPL (coeficie~te + 1) e penaliza os investimentos dos períodos (coeficientes - Pj), revelando
assim a sobra de Valor Presente Líquido sobre a suposta Média Ponderada dos Investimentos Atualizados.
.
Vemos, portanto, que, para um dado projeto, se 'p' aumenta, a sobra 'Z' diminui, e vice-versa. O gnu de
penalização dos investimentos pode diferir de período para período, mas é igual para todos os projetos em cada
período.
o
emprego dessa técnica é recomendado
conforme se vê na Tabela 3- I, abaixo:
pelos autores para três dos quatro problemas acima mencionados,
.
TABELA 3-1
USO DA TÉCNICA DOS MULTIPLICADORES DE LS
Situações
Problema Tipo 1
Problema Tipo 2
Problema Tipo A
Não
Sim
Problema Tipo B
Siin
Sim
FONTE: Artigo em referência.
Veremos, no decorrer desta crítica, que a técnica de LS não conduz ao pacote ótimo de maneira
em qualquer dos casos acima resumidos, mas esta impotência se toma mais evidente quando se trata do
mais simples que é o A-I, o que, supomos, levou os autores a não propô-la para este caso, alegando que o
das "descontinuidades"
a tomava imprópria para se atingir o objetivo de maximizar o Valor Presente
obtenível com o orçamento disponível.
infalível,
problema
problema
Líquido
Para este problema simples,LS limitam-se a mostrar que nem sempre o projeto mais nobre comparece no
pacote ótimo, porque dois projetos relativamente mais pobres podem resultar em maior VPL que o daquele.
Alertados pN este fato, ainda assim propuseram soluções para os três outros problemas mais complexos,
não percebendo, ao que parece, que a mesma dificuldade das descontinuidades apontadas para A-I iriam surgir nas
outras situações.
3.2 - O PROBLEMA TIPO A-I
Conquanto a técnica dos multiplicadores não tenha sido indicada para este caso, nós a aplicaremos em A-I
para melhor entendermos a lógica de seu algoritmo e a gênese de suas dificuldades.
As equações genéricas de 'Z' para as propostas concreta e fantasma seriam dadas, respectivamente,
Zc
=VP;Lc - Ic'?
ZF
= O- O.p
A representação gráfica da família típica do problema A-I. está traçada na Figura 3-1.
por:
138
~~
~~
~~
B
.
---7-------------------------------------~
D
I
I
I
Representação Gráfica de uma Família Típica do Problema A~ 1.
p
FIGURA 3-1
.A observação desta Figura nos dá informações interessantes:
a) A reta de Ze é sempre descendente porque 'p' é sempre um número positivo, conforme recomendação
expressa de LS; o sinal "menos" pertence à fórmula e representa o mecànismo de penalização do
investimento. Essa condição de reta descendente conduz, sempre, à existência de duas interseções, uma
no eixo vertical e outra no eixo horizontal, que ~aracterizaI?- um dado projeto;
b) A interseção com eixo vertical, ponto 'B', representa o Valor Presente Líquido - VPL - que é um
indicador de mérito extensivo da proposta. Quanto mais alta for essa interseção, mais riqueza o projeto
aporta à empresa que o implementa;
c) A interseção com o eixo horizontal traduz o mérito intensivo da proposta representado
Presente Líquido, gerado pela inversão de uma unidade de capital nesse projeto.
pelo Valor
Fazendo Ze =0, estamos no ponto 'A', que é esta última interseção.
o =VPLc
- PAle:·
PA =VPLclle
=VPLU
Este indicador, que chamamos de Valor Presente Líquido Unitário, VPLU, édo gênero "Relação Benefício
Custo" como o é também o "Profitability lndex" citado por Van Horne3. Aqui, contudo, se usa no numerador o
valor presente do benefício líquido, e não o valor presente do benefício total, como faz esse autor. Ambos os .
indicadores, no entanto, são uma transformada linear do outro:
Quanto mais à direita estiver o ponto 'A', maior será o mérito intensivo do projeto, mas o fato de um
projeto ter alto mérito extensivo, VPL, não implica que ele deva ter alto mérito intensivo, medido pelo VPLU.
o coeficiente
angular da reta Z(p) é - I ou tg m, mas 'I' é a tangente do ângulo 'n' que lhe é suplementar.
Ie =
3 Van Hornc, FinanciaI, p. 76.
tg n
VPLe
VPLe
VPLU
139
Para um dado VPL, quanto maior o VPLU, menor tg n, menor 'n' e menor o investimento. Para um dado
VPLU, quanto maior o VPL, maior tg n, maior 'n' e maior o investimento.
A essência da técnica de LS está em, dispondo de funções Z's preestabelecidas, cada uma representando um
projeto, ajustar o valor penalizante dos investimentos, 'p', de tal sorte que de cada família só compareça um único
projeto, o vencedor, no pacote ótimo. Este, por sua vez, deveria ser o que apresenta maior VPL dentre os que se
contêm no orçamento. Nessa ordem de idéias notamos que, na família sob análise, para O < P < PA, o projeto
vencedor ou "domir. mte" é o projeto concreto, enquanto para valores de 'p' iguais ou maiores que PA o projeto
dominante é' o fantasma, já que Zc assume valores nulos ou negativos. Na verdade, LS não introduzem logo de
imediato a presença do projeto fantasma no estudo do PROBLEMA TIPO A, só o fazendo depois do estudo do
PROBLEMA TIPO B, quando esclarecem ser o primeiro um caso particular do segundo. De início, portanto, sua
recomendação é escolher apenas o projeto que apresenta 'Z' positivo, e não escolher nada, se 'Z' for nulo ou
negativo. Esta segunda recomendação equivale à escolha do projeto fantasma para o qual 'Z', VPL e 'I' são sempre
nulos.
Subir o valor de 'p' significa subir a exigência de "requerimento mínimo de mérito intensivo" no período
sob racionamento. À medida que subimos 'p', a partir de zero e até PA, exclusive, o projeto concreto suporta a
exigência e vence o fantasma porque Zc > O. A partir de pA, o fantasma prevalece porque sua interseção no eixo
horizontal é indeterminada e pode por isso mesmo ser considerada + 00 (0/0 =símbolo de indeterminação).
Estabelecido o requerimento mínimo de mérito intensivo 'p', temos o produto p.l que é o "requerimento
mínimo de mérito extensivo" exigido do projeto para que ele participe do pacote ótimo. Lembramos que p.I tem
dimensão de VPL pois só assim poderia ser subtraído dessa grandeza, A diferença VPL - p.I, que é 'Z', significa a
sobra, ou a falta de valor presente líquido aportável pelo projeto à empresa, face a esse requerimento de mérito
extensivo determinado por 'p'. A técnica de LS, que pretende maximizar o valor do VPL obtenívcl com um
determinado orçamento, maximiza, na verdade, as sobras de VPL com relação a um VPL mínimo exigido, sendo
este, por sua vez, função de 'p'. A função a ser maximizada, 'Z', é uma função de função de 'p'. A maximização de
'Z' ocorre debaixo da restrição prévia de um 'p' mínimo. Nem todas as famílias podem sequer ser candidatas em
determinadas situações de restrição orçamentária.
A poligonal BAP pode ser considerada, à semelhança do que se diz na Teoria do Portfolio, como uma
"fronteira eficiente" na qual o ponto 'A', para efeito de decisão financeira, pertence ao segmento AP e não ao BA.
Permitimo-nos aqui uma rápida digressão. Já registramos que o mérito de um projeto não pode ser caracterizado pelo uso isolado de um indicador extensivo de mérito, como o .VPL, ou de um indicador intensivo de mérito,
como o VPLU. Um complementa o outro, dá colorido ao outro. Se nos defrontamos com duas propostas mutuamente exclusivas e ao abrigo de um certo orçamento, o empate num dos indicadores pode ser desempatado com o
auxílio do outro, e vice-versa.
Já que um projeto é tanto melhor quanto maiores forem, cumulativamente, seus méritos extensivos e
intensivos, ou seja, quanto maior for a área do retângulo OADB ou do triângulo OAB, ocorreu-nos a idéia de propor
a criação de um indicador de mérito que reunisse os dois indicadores mencionados, pela mensuração de uma dessas
áreas. Suas expressões algébricas seriam:
E
=
(VPL)2
I
ou
E'
=
A validade de um tal critério dependerá da correção de seu comportamento na solução dos problemas
clássicos de Orçamento e Racionamento de Capital, o qu~ não será aferido neste trabalho.
Voltando ao PROBLEMA A-I, enunciaremos os passos a seguir para executar o algoritmo não recomendado
por LS, mas decorrente do que os autores propuseram para os outros três problemas:
a) Montar as equações Z = f(p) para cada um dos projetos
gráficos, o que facilitaria sobremodo as escolhas de 'p';
concretos e opcionalmente
b) Eleger arbitrariamente
'z' para
um valor de 'p' e calcular os valores de
construir seus
cada projeto concreto;
c) Construir o pacote candidato apenas com os projetos que apresentem Z's positivos (o empate do projeto
concreto com o fantasma favorece este último);
d) Calcular o investimento do pacote, k I, e confrontá-lo com os recursos disponíveis. Aceitar condicionalmente o pacote, se seu investimento for menor que o orçamento, eliminando-o, definitivamente, no caso
contrário. Para os aceitos, calcular k VPL e VPLU;
.
r
140
e) Repetir as etapas b), c) e d) até alcançar, por tentativa e erro, a convicção de que o pacote ótimo
finalmente eleito é o que mais aproveita o orçamento. Com relação à etapa b), as escolhas subseqüentes
de 'p' já não precisam ser arbitrárias, mas pode-se tirar partido das experiências anteriores. Se L I for
mais alto ~ue o orçamento, aumentar 'p'. Caso contrário, reduzi-lo;
f) Dispondo-se dos gráficos Z (p), como na Figura 3-2, testar um só valor de 'p' para cada intervalo de
interseção com o eixo horizontal. Este valor pode ser qualquer um dentro do intervalo, exceto seu ponto
extremo direito. Executar os testes a partir da direit. para a esquerda, parando na ocasião em que surgir
o primeiro pacote que se deixa circunscrever pelo orçamento. Este é o pacote ótimo.
o nosso primeiro problema se compõe, portanto, de duas ou mais famílias como descritas acima e com
racionamento a só um período. Ao invés de fazermos um gráfico para cada família, como fizemos na Figura 3-1,
vamos reuni-las todas num só, onde o eixo horizontal representa os fantasmas existentes no problema.
Consideremos uma situação com três famílias, conforme o que indica a Tabela 3-2.
TABELA 3-2
EXEMPLO DE PROBLEMA TIPO A-I
FAMÍLIAS E
PROJETOS
-
VPL
EQUAÇÕES DE Z
VPLU
INV.
.
Família 1
lG
1 F
Fam11ia 2
2G
2F
Famflia 3
3G
3F
.,
12,0 -12,0 P
0,0 - O,Op
12,0
0,0
12,0
0,0
1,0
"indet.
8,0
0,0
4,0
0,0
2,0
indet.
8,00,0-
4,0 P
0,0 p
3,0
0,0
1,0
0,0
3,0
indet.
3,00,0 -
1,0 P
Opp
FONTE: Proposição do Autor.
Estes seis projetos estão representados na Figura 3-2 e sua análise permite tabular os dados a seguir:
TABELA 3-3
UNIVERSO DAS POSSIVEIS SOLUÇÕES APONTADAS
PELA TÉCNICA DE LS
.
INTERVALO DE
VARIAÇÃO DE 'p'
0,01--1,0
1,01-2,0
2,0t--3,0
3,0 1-:---1 00
PACOTES CANDIDATOS
Constituição
lG
1F
1F
1F
2G
2G
2F
2F
3G
3G
3G
3F
FONTE: Observações e cálculos do autor.
LVPL
LI
VPLU,
23,0
11,0
3,0
0,0
17,0
5,0
1,0
0,0
1,353
2,200
3,000
Indet,
INTERVALO DE
VARIAÇÃO DE LZ
23,0 I--- 6,0
6,01--1,0
1,01--0,0
O,Ol--lO,O
141
12
10
4
1,0
2,0
3,0
rrr
FIGURA
Representação Gráfica Consolidada de um Problema Tipo A-l.
Vários comentários podem ser feitos com respeito à Tabela3-3. Em primeiro lugar, observamos que ~ VPL,
~ I e VPLU, para os pacotes candidatos, são funções do tipo "degraus" para variações contínuas de 'p'. Em segundo
lugar, a função ~ Z é uma função contínua de 'p', mas com pontos de inflexão quando mudam os intervalos de 'p'.
Em terceiro lugar, vemos que há uma correlação positiva entre VPLU e 'p', fazendo com que os pacotes candidatos, à
medida que 'p' cresce, apresentem VPLU's sempre crescentes, O inverso se dá com ~ VPL e ~ L Esses detalhes
podem ser vistos nas Figuras 3-3 e 3-4.
Constatamos também que a técnica de LS não contempla todos os pacotes possíveis. Por exemplo, quando
o problema apresenta três ou mais famílias, ela nunca junta num mesmo pacote binário o projeto concreto de mais
baixo VPLU com o de mais alto VPLU, como é o caso do presente exemplo, onde não aparece a combinação lG2F
3G. Tampouco permite a formação de todos os pacotes unitários.
A efetiva possibilidade de que o pacote ótimo, segundo o critério do VPL máximo dentro do orçamento
disponível, se encontre no conjunto dessas combinações alijadas é o calcanhar de Aquiles do método sob investigação, conforme demonstraremos com o "método da análise combinatória" a seguir. Segundo esta técnica, todas as
combinações de 'n' projetos (n =número de famílias) devem ser feitas e analisadas no seu VPL e Investimento para
que a eleita seja aquela que apresente o maior VPL, atendida a restrição de que o Investimento se contenha dentro
do orçamento prefixado.
A Tabela 3-4 mostra todas as combinações para o problema em questão. Vemos que das 8 combinações
possíveis, o método de LS só analisa 4. As 4 restantes representam alternativas onde pode estar a solução ótima em
determinadas si.tuações orçamentárias, como veremos a seguir..-
3-2
142
~:t-
••
YPLU
IY\.
I
I
I
24
............... -....
22
~
20
~.".-.-..-.-.-.
lB
16
14
3.000
.
p.-----_ .._-- ----
2.200
12
~.
10
._-~_._--
___
• __
1.353
.
I
8
...-.•..... -.-.-
6
4
-'
_.-.-.-.-.-
2
LEGENDA:
:EYPL
-----_.
P
3.000
2.000
1.000
O
,
•
.
'
~o_._._._._· , ....- ..
~
-
FIGURA
YPLU
•.-._..r~I'\
3-3
,
Gráficos dos Comportamentos
de ~ VPL,
~ I e VPLU com 'p'.
24
20
16
12
1.000
i-;.
t
Gráfico do Comportamento
2.000
da Função ~ Z com 'p'.
..
3.000
FIGURA
3-4
143
TABELA 34
ESTUDO ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÕES POSSfVEIS
CONSTITUIÇÃO
lG
2G
~VPL
~I
VPLU
3G
23,0
17,0
1,353
lG
2G
3 F(l)
20,0
16,0
1,250
lG
2F
3 G(l)
15,0
13,0
1,154
lG
2F
3 F(1)
12,0
12,0
1,000
1F
2G
3G
11,0
5,0
2,200
1 F
2G
3 F(l)
8,0
4,0
2pOO
1F
2F
3G
3,0
1,0
3,000
1F
2F
3F
0,0
0,0
Indet.
FONTE: Cálculos do autor.
NOTA:
(1) Combinações ausentes do estudo de LS.
A Tabela 3-5 reúne todas situações de conflito entre a técnica de LS e o método da análise combinatória,
mas apenas para valores inteiros da restrição orçamentária. Considerássemos nós esta variável como contínua, e não
discreta, e o número de situações de conflito se elevaria a infinito. Aceitando-a como discreta ao nível de centavo o
número possível de soluções incorretas, pelo método de LS, seria ainda muito grande, mesmo para um problema
singelo como o escolhido.
TABELA 3-5
SITUAÇÕES ORÇAMENTÁRIAS
QUE APRESENTAM CONFLITO
ENTRE OS DOIS MÉTODOS
~VPL
~I
VPLU
PACOTE
lF 2G 3G
11,0
5,0
2,200
lG 2G 3F
15
1F 2G 3G
11,0
5,0
2,200
14
lF 2G 3G
11,0
5,0
13
1F "2G 3G
11,0
12
lF 2G 3G
MENTO
PACOTE
16
"
MÉTODO COMBINA TÓRIO
MÉTODO DE LS
ORÇA-
,"
:'-
4
~I
VPLU
20,0
16,0
1,250
lG 2F 3G
15,0
13,0
1,154
2,200
1G 2F 3G
15,0
13,0
1,154
5,0
2,200
lG 2F 3G
15,0
13,~
1,154
11,0
5,0
2,200
1G 2F 3F
12,0
12,0
1,000
3,0
1,0
3,000
lF 2G 3F
8,0
4,0
" 2,000
~VPL
"'--
lF 2F 3G
FONTE: Cálculos do autor.
144
A mesma Tabela nos ensina que:
a) ·0 método de LS nem sempre aproveita ao máximo os recursos orçamentários disponíveis, não maximizando o VPL permitido pelo orçamento;
b) Em todos os casos, a solução de LS ganha, no que concerne ao VPLU do pacote, mas perde no critério
que interessa, que é o VPL, confirmando nossas observações anteriores;
c) O método de LS apresenta quatro patamares entre o VPL máximo ($ 23) e o VPL mínimo ($ O),
enquanto a análise combinatória nos revela oito patamares, sendo este o número máximo para o presente
problema. Isto equivale a dizer que LS não tratam com adequação o problema das descontinuidades das
variáveis ~ I e ~ VPL, o que não acontece com a análise combinatória;
d) O algoritmo de LS se prende rigidamente à ordenação pelo VPLU e o pacote eleito é sempre o pacote
permitido pelo orçamento com o maior VPL, mas constituído sempre pelos projetos de maior VPLU.
Estas dificuldades foram tão evidentes no PROBLEMA TIPO A-I, que não houve recomendação dos
autores para seu emprego, neste caso;
e) Para que o algoritmo de LS funcionasse perfeitamente neste primeiro problema, seria necessário que a
variável ~ li para os pacotes formados fosse uma variável discreta, mas que apresentasse na Figura 3-3,
patamares equidistantes de uma ~nidade da grandeza monetária em que se expressa o orçamento. Para
alcançarmos isso, teríamos que dispor de Um número muito grande de projetos (e famílias), de tal sorte
que ~ li percorresse todos os valores discretos desde zero até ~ li' Nestas condições, nosso eixo
horizontal na Figura 3-2 apresentaria um elevado número de interseções, o que determinaria igual
número de intervalos para valores de 'p': A cada um desses intervalos correspondería um pacote cujo
investimento agregado seria capaz de atingir qualquer valor orçamentário, como já mencionamos. A
poligonal RSTU da mesma Figura apresentaria, também, um número elevado de interseções, mas não
necessariamente tão grande quanto o das interseções no eixo horizontal, porque muitas retas poderiam
ser dominadas, não participando da fronteira eficiente.
A análise do primeiro problema não prova ainda que a técnica de LS é defeituosa, mas nos dá a base para os
estudos subseqüentes dos três casos restantes nos quais verificaremos que tampouco af obterá ela melhor desempenho.
3.3 -
O PROBLEMA TIPO B-I
Neste problema o racionamento continua sendo a um período e contempla duas ou mais famílias independentes entre si, que abrigam agora dois ou mais projetos mutuamente exclusivos.
v
A representação analítica de uma família de quatro projetos concretos, além do fantasma, seria:
e
ZG
=
VPLG
IG.p
ZH
=
VPLH
IH·p
:::
VPL1
II'P
VPLK
IK·p
O
O.p
ZI
ZK :::
ZF
=
Sua representação gráfica é a que aparece na Figura 3-5 ..
.1 __
145
FIGURA
3-5
Representação Gráfica de uma Família Típica do Problema R-1.
Neste caso, semelhantemente ao que aconteceu em A-I, deve sair um só projeto vencedor de cada família,
como autoriza o algoritmo adiante transcrito. Agora, interessam pouco as interseções de 'Z' com o eixo horizontal,
tornando-se importantes as interseções de um reta com outra e apenas na poligonal RSTU que continuaremos
chamando de "fronteira eficiente" da família em apreço.
Notamos na Figura 3-5 que um dos projetos, 'K', não contribui para a formação de nenhum dos lados dessa
fronteira, para nenhum valor de 'p'. Ele está sempre dominado por um dos 3 outros projetos concretos ou pelo
projeto fantasma, não tendo sequer a chance de surgir como combinação unitária.
Constatamos ainda que, para valores de 'p' entre zero e PS, é 'G' o representante desta família, mas 'H'
assume esta posição no intervalo PS ..; PT, sendo substituído por '1' no intervalo PT - PU· O fantasma assume a
liderança para valores acima de PU até infinito.
Um desses 4 projetos sairá para compor o pacote ótimo deste tipo de problema. Sua identidade dependerá
do 'p' que otimiza a utilização dos recursos orçamentários, e atua com o mesmo valor sobre todas as famílias
presentes ao problema .
O •algoritmo aqui é o proposto por LS, mas está acrescido por nós de detalhes ausentes na sua ~ersão
original, o que não o desfigura em nada e só o torna mais explícito.
a) Montar as equações Z = f(p) para cada um dos projetos concretos em todas as famílias presentes. A
construção de um gráfico para cada família muito contribuirá para a eleição dos p's tentativos;
.
b) Eleger arbitrariamente
projeto;
um valor de 'p' com o qual se calculam todos os valores de Z, um para cada
c) Construir o pacote candidato apenas com os projetos vencedores, um em cada família; havendo empate
entre 'n' projetos concretos em uma família, construir simultaneamente 'n' pacotes; o empate com o
fantasma favorece o fantasma;
.
.
146
d) Calcular o investimento requerido pelo pacote e confrontá-lo com os recursos disponíveis, aceitando-o
condicionalmente, se for possível sua adoção, Em caso contrário, rejeitá-lo definitivamente;
e) Repetir a; etapas b), c) e d) até alcançar-se, por tentativa e erro, a convicção de que o pacote ótimo,
finalmente eleito, é o que mais aproveita o orçamento. As escolhas subseqüentes de 'p' serão orientadas
pelos resultados obtidos nas tentativas anteriores. Escassez de investimento aconselha reduzir o valor de
'p', enquanto excesso autoriza sua elevação.
Vista a expressão gráfica da Família Típica e conhecido o algoritmo para nosso segundo problema, vamos
analisar um exemplo numérico simples. Consideremos um problema constituído por duas famílias, cada uma delas
com 3 projetos concretos e 1 fantasma, estando seus dados básicos reunidos na Tabela 3-6.
TABELA 3-6
EXEMPLO DE PROBLEMA TIPO B-1
FAMfLIASE
PROJETOS
I
VPL
INV.
VPLU
EQUAÇÕES DE Z
Família 1
1G
IH
1 I
1 F
20,0
15,0
10,0
0,0
10,0
5,0
2,5
0,0
2,000
3,000
4,000
Indet.
20,0 - 10,0 P
15,0 - 5,0 p
10,0 - 2,5 P .
0,0 - 0,0 p
Faml1ia 2
2G
2H
2 I
2F
15,0
12,5
9,0
0,0
10,0
5,0
3,0
0,0
1,500
2,500
3,000
Indet.
15,0 - 10,0 P
12,5 - 5,0 P
9,0 - 3,0 P
0,0 - O,Op
I
.
FONTE: Proposições e cálculo do autor.
Conforme podemos ver na Figura 3-6 adiante, a Família 1 apresenta uma "fronteira eficiente", constituída
da poligonal RI SI TI UI VI. Semelhante fronteira para a Família 2 está representada por R2S2T2U2V2·
Como, agora, são estas interseções R, S, T, U e V que criam os novos intervalos de 'p', aos quais correspondem os pacotes de projetos apontados pela técnica de LS, deveremos calculá-las e registrar seus pares ordenados,
o que fazemos na Tabela 3-7. Convém ressaltar que estes intervalos de 'p' são obtidos juntando-se todas as abcissas,
'p', dos pontos de interseção das fronteiras eficientes das duas (ou mais famílias) e reunindo-as, independentemente
de suas origens, em uma ordem crescente, como fazemos na Tabela 3-8.
TABELA 3-7
COORDENADAS DAS INTERSEÇÕES NAS FRONTEIRAS EFICIENTES
FRONTEIRAS E
PONTOS
ABCISSA (p)
ORDENADA (Z)
0,000
1,000
2,000
4,000
20,00
10,00
5,00
0,00
0,00
00
15,00
10,00
3,75
0,00
0,00
0,000
0,500
1,750
3,000
00
FONTE: Cálculos do autor.
..-.,.""
147
Na Figura 3-6 os projetos da primeira família estão representados por linhas cheias; já os da segunda
aparecem como linhas interrompidas. Os pontos VI e V2, antes mencionados; se encontram em + 00 sobre o eixo
dos p's.
t""
Z2I
"
,
"
\
\
\
"
"\ "
"
\\
\
\
,,
,~
\.
------------------,------
,
\
\
\
1.000
"I:
-s
-
T2
\
\
\
0.500
~
\
1.50D
1.750
2.000
2.500
3.000
FIGURA 3-6
Representação Gráfica Consolidada de um Problema Tipo 8-1.
148
Analisaremos na Tabela 3-8 os pacotes indicados como candidatos ao pacote ótimo, para diferentes valores
de 'p'.
TABELA 3-8
UNIVERSO DAS SOLUÇÕES APONTADAS PELA TÉCNICA DE LS
PACOTES CANDIDATOS
INTERVALO DE
VARIAÇÃO DE p
Constituição
~VPL
~I
INTERVALO DE
VPLU
VARIAÇÃO DE ~ Z
I
I
I
I
0,000 I
10,500
lG
2G
35,0
20,0
1,750
35,0
0,500 I
I 1,000
lG
2H
32,5
15,0
2,167
25,0
1,000 I
I 1,750
IH
2H
27,5
10,0.
2,750
17,5
I
12,000
IH
2 I
24,0
8,0
3,000
10,0
2,000 I
I 3,000
1 I
2 I
19,0
3,455
8,0 I
3,000 I
14,000
1 I
2F
10,0
5,5
2,5
4,000
2,5
I +
1 F
2F
0,0
0,0
Indet.
0,0 I
1,750
4,000
I
00
I
125,0
I 17,5
I 10,0
I 8,0
I
2,5
I 0,0
I 0,0
FONTE: Observações e cálculos do autor.
Notamos que neste caso, como no anterior, .~. VPL e ~ I são funções descontínuas e inversas de 'p',
enquanto VPLU cresce descontinuamente com 'p'. ~ Z, por sua vez, é uma função linear decrescente com 'p', mas
com inflexões nas mudanças de intervalo de 'p'.
Percebemos ademais um aspecto problemático desta técnica de LS. Se a restrição orçamentária for, por
exemplo, $ 10, vamos verificar que o primeiro valor de 'p' que comporta um investimento igual ou inferior a $ 10 é
1,750. Mas este valor de 'p' é a interseção de duas retas da fronteira eficiente da Família 2. Para este valor de 'p',
bem como para os demais (0,500; 1,000; 2,000; 3,000 e 4,000), as respostas do algoritmo não são unfvocas. Há para
cada um desses pontos dois pacotes distintos com diferentes Investimentos e diferentes VPL's. Para o exemplo em
que estamos, e para p = 1,750, os pacotes IH 2H e IH 21 cabem dentro de restrição orçamentária, mas o primeiro é
melhor do que o segundo porque apresenta maior Vl'L, embora exiba menor VPLU.
Os au.tores não registram essa dificuldade que é difícil de visualizar sem o auxílio do gráfico que eles
mencionam mas não apresentam. Este, no entanto, não é prático de fazer quando temos muitas famílias e muitos
projetos dentro de cada família. Uma forma de resolver esta dificuldade é investigar, nestes pontos de interseção das
fronteiras. eficientes de todas as famílias, os possíveis pacotes que ensejam, analisando-lhes o ~ VPL e ~ I. Este
cuidado é essencial quando dois ou mais desses pontos se posicionam sobre um mesmo valor de 'p', porque nesses
casos outras combinações deverão surgir e que estão representadas por esses conjuntos de pontos e não pelos
alinhamentos verticais de segmentos de retas, como é o usual.
Outra conclusão que já esperávamos diz respeito ao reduzido número de combinações, 7, oferecido por essa
técnica dentre as 16 que são possíveis de fazer-se com os projetos presentes. Este fato seria até meritório, por reduzir
computações, se não houvesse qualquer risco de o "pacote ótimo" estar presente nas combinações omitidas, o que
não é verdadeiro, como veremos.
Na Tabela 3-9 estão mostradas as 16 combinações possíveis para o problema proposto, com seus parâmetros
financeiros.
149
TABELA
3--9
ESTUDO ATRA vÊS DA ANÁLit:E COMBINATÓRIA
COMBINAÇÕES POSSÍVEIS
-CONSTITUI çÃO
kVPL
kI
VPLU
lG
lG
lG
lG
2G
2H
2 I (1)
2 F (1)
35,0
32,5
29,0
20,0
20,0
15,0
13,0
10,0
1,750
2,167
2,231
2,000
IH
IH
IH
IH
2 G (1)
2H
2 I
2 F (1)
30,0
27,5
24,0
15,0
15,0
10,0
8,0
5,0
2,000
2,750
3,000
3,000
1
1
1
1
I
I
I
I
2 G (1)
2H (1)
2 I
2F
25,0
22,5
19,0
10,0
12,5
7,5
5,5
2,5
2~000
3,000
3,455
4,000
1F
1 F
1 F
1 ·F
2G (1)
2 H (1)
2 I (1)
2F
15,0
12,5
9,0
0,0
10,0
5,0
3,0
0,0
1,500
2,500
3,000
Indet.
FONTE: Cálculos do autor.
NOTA: (1) Pacotes ausentes na técnica de LS.
A Tabela 3-10 reúne todas as situações de conflito entre os dois métodos, quando os níveis orçamentários
são expressos com a precisão de meia unidade monetária.
TABELA 3-10
SITUAÇÕES ORÇAMENTÁRIAS QUE APRESENTAM CONFLITO
ENTRE OS DOIS MÉTODOS
MÉTODO COMBINATÓRIO
MÉTODO DELS
ORÇA-
~VPL
~I
VPLU
lG 21
29,0
13,0
2,231
2,750
lG 21
29,0
13,0
2,231
10,0
2,750
1G 21
29,0
13,0
2,231
27,5
10,0
2,750
1G 21
29,0
13,0
2,231
21
19,0
5,5
3,455
11. 2H
22,5
7,5
3,000
11 2F
10,0
2,5
4,000
IH 2F
15,0
5,0
3,000
MENTO
PACOTE
~VPL
kI
VPLU
PACOTE
14,5
IH 2H
27,5
10,0
2,7~0
14,0
IH 2H
27,5
10,0
13,5
IH 2H
27,5
13,0
IH 2H
7,5
11
5,0(1)
FONTE: Observações e cálculos do autor.
NOTA: (1) A esse nível de orçamento a análise combinatória oferece duas soluções melhores que LS. A primeira, e
a melhor das duas, se encontra tabulada. A segunda é a combinação lF' 2H que apresenta um VPL de
de $ 12,5, superior, portanto, aos $ 10,0 da combinação 11 2F apontado como solução pelo método
dos multiplicadores.
",
150
Podemos repetir aqui basicamente os mesmos comentários feitos após a análise do PROBLEMA A-I:
a). As variáveis ~ VPL e ~ I são funções em degraus, descontínuas e decrescentes de 'p';
b) A variável VPLU é uma função em degrau, descontínua e crescente com 'p';
c) A variável 'Z' é uma função contínua e decrescente de 'p' e com inflexões com a mudança de intervalo
de 'p';
d) O método dos multiplicadores auxiliares não permite a formação de todas as combinações possíveis,
mesmo com os projetos que estão na "fronteira" em suas respectivas famílias, impedindo por completo
o aparecimento dos projetos dominados;
e) O método de LS nem sempre alcança o seu objetivo de maximizar o VPL com o orçamento disponível;
ele subordina este critério a um outro, qual seja o de atender também à condição de apresentar o mais
alto VPLU possível; este toma-se assim um critério interferente na escolha do pacote ótimo, com
sacrifício eventual do critério correto, que é maximizar o VPL dentro do orçamento;
f) Em todas as situações de conflito as soluções de LS vencem no tocante ao VPLU, mas perdem com
respeito ao VPL;
g) O número de degraus da função ..~ I é de 7 para o primeiro método e de 16 para o segundo, comprovando que LS não tratam adequadamente o problema das descontinuidades, como faz o método combinatório. Para que se esgotasse precisamente qualquer orçamento proposto, seria necessária uma disponi.bilidade tal de projetos candidatos, que permitisse a formação de pelo menos um pacote para cada valor
de orçamento proponível. Neste caso, a técnica de LS daria resultados corretos, com menos trabalho de
computação do que a análise combinatória, pois a superioridade do VPLU para um dado orçamento é
condição necessária e suficiente para a superioridade do VPL. É o problema da descontinuidade, aliado
à ordenação pelo VPLU como critério básico, que invalida a técnica de LS nos casos como o descrito.
Lembraríamos ainda aquela dificuldade nova já registrada acima e que diz respeito à falta de unicidade de
resposta para um dado valor de 'p', quando este é o limite dos intervalos de 'p' que caracterizam os pacotes. Neste
ponto de inflexão podem estar representados 2 ou mais pacotes, nem sempre fáceis de identificar.
Obtivemos nossa primeira prova sobre a inadequação da técnica de LS. Este exemplo simples e bem
particular já não se inscreve no conjunto dos problemas que por acaso encontra solução correta por esse método.
Para problemas mais complexos a possibilidade de insucesso aumenta porque aumenta a proporção das combinações
por ele não contempladas. O número de combinações admitidas na técnica de LS cresce com o número de interseções entre projetos dominantes nas fronteiras eficientes e com o número de famílias do problema. Este crescimento
é, quando muito, linear. O número de combinações possíveis na análise 'combinatória cresce exponencialmente em
função do número de projetos e famílias; logo, a razão entre o número dos pacotes construídos pela técnica de LS e
o número total de pacotes possíveis decresce com a complexidade do problema, bem como decresce a probabilidade de
a solução correta encontrar-se com o seu emprego.
3.4 - O PROBLEMA TIPO A-2
Nosso terceiro problema contém só farnílias simples, constituídas de 1 projeto concreto e de 1 projeto
fantasma, rãas o racionamento de capital, agora se dá a dois (ou mais) períodos. Trataremos neste segmento só do
racionamento a dois períodos.
.
A representação
Zc
= VPLc
analítica de uma família típica seria dada por:
-ICI"Pl
- IC2·P2
ZF = O - O.Pl - 0.P2
Lembramos que ICj, conforme definição anterior, é o investimento atualizado do projeto concreto no
período
Esta atualização deve ser feita para o mesmo instante de tempo em que está expresso o VPLC, para que a
soma algébrica dos termos de Zc se faça em unidades monetárias de dimensões cronológicas homogêneas.
.: ü,·
r.
151
Como k Iq vai ser comparado com o orçamento do período 1', este também deve ser atualizado para o
instante escolhido, a fim de que todos os valores do problema estejam expressos em moeda de um mesmo instante,
(não estamos pensando em inflação). Estes detalhes estão mencionados no trabalho que ora analisamos.
A nova função Zc deixou de ser uma reta e se transformou num plano. Sua representação requer agora
três eixos ortogonais, dos quais somente dois serão colocados no plano do papel, ficando o outro perpendicular
a ele e com seu segmento positivo acima desse plano.
A representação gráfica de Zc poderá ser feita, ou em desenho perspectivo, ou através das suas interseções com os três planos que compõem o triedro ortogonal de referência, como fazemos nas Figuras 3-7 (a),
3-7 (b) e 3-7 (c).
(e)
FIGURA
Interseções de. Zc com os três Planos do Triedro Ortoqonal.v-
3-7
152
o
plano Zc é descendente no sentido dos dois eixos PI e P2, como nos mostram as figuras (b) e (c), que
são semelhantes à Figura 3-1, porque:
em(b)
P2 ·::0
e em (c) PI :::;O
e ZC:::; VPLc -
IC 1 P -
e ZC:::; VPLC - O -
O
1C2P
reproduzindo uma visão parcial, de racionamento a um dos pene.tos. As interseções e os ângulos das figuras (b) e (c)
têm exatamente, mudando-se o que se tem de mudar, os mesmos significados já revelados na Figura 3-1. O segmento
OT representa o VPLc do projeto concreto e é necessariamente igual em ambos os gráficos; o segmento OS significa
Q mérito
intensivo do projeto, no que respeita ao investimento do primeiro período e está representado por
PIS:::; VPLUCI :::;VPLc/IC ; o segmento OR tem idêntica significação, sendo representado por P2R:::; VPLUC2 :::;
I
VPLclIC2·; a tangente de n 1 representa o investimento do primeiro período, ICI' e tg n2 :::;IC2.
O eixo que representaZr; não aparece em (a) porque é ele que assume a posição perpendicular ao plano do
papel, onde estão contidos os eixos PI e P2 e ao qual chamaremos, no restante deste capítulo, de plano-base ou
plano 'B', que por sua vez representa qualquer projeto fantasma.
.
Como VPLi, lij e Pj são quantidades que não podem assumir valores negativos, todo nosso interesse se restringe ao 1.0 triedro.' Nele o plano Zc parte de uma cota equivalente ao VPLc sobre o ponto 'O' da Figura (a) e mergulha na direção de PI e P2, interceptando o plano-base segundo o segmento RS ali traçado. Assim sendo, para todos
os pares ordenados PI, P2 que determinem pontos dentro do triângulo ORS, o valor de Zc é maior que zero, porque
o seu plano domina o plano-base. Para todos os pontos a nordeste da interseção RS, o plano B domina o plano Zc
porque este apresenta ordenadas negativas. No primeiro caso o representante da Famílía Típica é o projeto concreto,
ao passo que no segundo é o projeto fantasma.
A "fronteira eficiente" não é mais·uma poligonal, mas,no caso, um diedro formado pela porção positiva de
ZC, a sudoeste da interseção RS (que tem por projeção no plano B o triângulo ORS), e pela porção do plano-base, a
nordeste de RS.
O método de LS continua essencialmente o mesmo já que PI e P2 são multiplicadores penalizantes dos
investimentos atualizados ICI e IC2' respectivamente. O somatório PI ICI + P2 IC2 representa o demérito extensivo
total.do projeto que vai ser comparado com o seu mérito extensivo, representado pelo VPLC. A função Zc continua
representando a "sobra (ou falta) de mérito" para cada situação traduzida por PI, P2 que são os "requerimentos
mínimos de mérito intensivo" para os períodos um e dois, respectivamente.
O projeto concreto, para vencer o projeto fantasma, tem que suportar cumulativamente as exigências de
mérito intensivo traduzidas por PI e P2; esses valores que podem ser iguais ou diferentes, m.as sempre positivos, são
encontrados por tentativa e erro e aplicados sobre todas as famílias presentes no tipo de problema que ora investigamos e refletem a estreiteza orçamentária relativa de cada período, face aos dispêndios previstos para os projetos. .
Em resumo, a técnica dos multiplicadores continua maximizando L Zi que é sobra de Valor Presente
Líquido e conseqüentemente
maximizando o VPL do pacote suposto ótimo, mas condiciona essa otimização à
ocorrência dos melhores valores para Pl e P2.
O algoritmo proposto pelos autores, acrescido dos detalhes que julgamos convenientes, está descrito como
segue:
a) M~ntar as equações Z :::;f(Pl> P2) para cada um dos projetos concretos, presentes no problema. Opcionalmente, construir os gráficos de suas interseções sobre o plano-base, o que facilitaria as escolhas de
. PI e P2;
b) Eleger, arbitrariamente,
um par de valores Pl- P2 e calcular o valor de 'Z' para cada projeto concreto;
c) Construir o pacote candidato apenas com os projetos que apresentem Z's positivos (o empate com o fantasma favorece o fantasma);
d) Calcular os investimentos L I I e L 12 e confrontá-los com os orçamentos de idênticos períodos. Aceitar
condicionalmente o pacote que se contiver dentro das duas restrições orçamentárias, rejeitando definitivamente qualquer pacote que superar o orçamento de um dos dois períodos ou de ambos; para os aceitos, calcular L VPL, VPLUI e VPLU2;
153
e) Repetir as etapas b), c) e d) até alcançar-se, por tentativa e erro, a convicção de que o pacote eleito ao
fmal, como ótimo, é o que mais aproveita os orçamentos dos dois períodos, produzindo o mais alto
~ VPL. As escolhas posteriores de PI' P2 podem se louvar nos resultados obtidos nas tentativas
anteriores;
"superávit"
ou' "déficit", em um período, indica a necessidade de reduzir ou elevar o 'p'
respectivo até o ajuste definitivo em ambos os períodos, com o alcançamento do pacote ótimo.
Passemos, agora, a um exemplo numérico composto de quatro famílias cujos dados essenciais estão registrados na Tabela 3-1 I.
TABELA 3-11
EXEMPLO DE PROBLEMA TIPO A-2
FAMÍLIAS E
PROJETOS
VPLi
lil
Ii2
VPLUl
VPLU2
EQUAÇÕES DE Zi
Faffil1ia 1
1G
1 F
12,0
0',0
8,0
0,0
12,0
0,0
1,500
Indet.
1,000
Indet.
12 - 8 Pl - 12 P2
O - O PI - O p~.
Família 2
2G
2F
10,0
0,0
6,0
0,0
4,0
0,0
1,667
Indet.
2,500
Indet.
10 - 6 Pl
O-O
Pl
Família 3
3G
3F
8,0
0,0
4,0
0,0
4,0
0,0
2,000
Indet.
2,000
Indet.
3,0
0,0
2,0
0,0
1,0
0,0
1,500
Indet.
3,000
. Indet.
-
-
4 P2
O P2
8 - 4 Pl O - O Pl -
4 P2
O P2
Famflia 4
4G
4F
I
3 O -
2 PI
O PI
-
I P2
O P2
FONTE: Proposição do autor.
Com, as informações disponíveis já é possível traçar todas as interseções dos quatro planos dos projetos
concretos com os três planos coordenados, como mostramos na Figura 3-8, (a), (b) e (c) adiante. É útil, contudo,
conhecer as equações dessas interseções que são mostradas na Tabela 3-12; Notar que os quatro projetos fantasmas
são representados pelo mesmo plano 'B'.
TABELA 3-12
ESTUDO DAS INTERSEÇÕES COM OS PLANOS COORDENADOS
EQUAÇÕES DAS INTERSEÇÕES COM O PLANO:
PROJETOS
(2)
P2 O PI
P2
2 G
P2=2,5
3 G
P2 = 3 -
F (1)
;
...•-:'--
O
= 12
Z
Pl
O
P2
Z = 12 -
12 P2
Z = 10 - 6 Pl
Z = 10 -
4 P2
PI
Z=
Z=
8 -
4 P2
2 PI
Z=
3 -
Z=T 3 -
I P2
Z=
O,PI
1 - 2/3 PI
P2 = 2 -
4 G
"
=
1 G
Z
-
I,5PI
P2 = (indet.)
x PI
FONTE: Cálculos do autor.
NOTAS: (1) Representa os quatro fantasmas.
(2) É o plano-base,
Z
- 8 PI
8 -.4
PI
2 PI
z=
0,P2
154
• _o,
•.,~.;
•.'. -
,~
.•_.... '_,_," •
~.• _ .•. ,.
."""
u
•
155
I
1
L
I
156
12
10
-,
4
FIGURA
Interseções dos Planos dos Projetos com os Planos Coordenados,
3-8
----
----
A Figura 3-8 nos permite os seguintes comentários:
a) é possível que 2 ou mais planos se interceptem
(a) e (b);
num mesmo ponto, como é o caso dos pontos L e M de
.
b) não há "interseção" do projeto fantasma com o plano P20Pl, porque ele é o próprio plano-base;
c) nas Figuras (b) e (c) a interseção do fantasma é sempre o eixo horizontal;
d) o valor de Zi para um dado par Pt. P2 é a distância vertical entre um ponto no referido plano e o par
ordenado, localizado no plano B;
e) o aspecto de dominação deverá ser visto, neste caso, exclusivamente entre cada projeto concreto e seu
fantasma e para cada dado p'!! Pl, P2; a Figura apropriada para análise dessas dominações é a 3-8 (a).
A cada um dos .polígonos dessa Figura corresponde um pacote distinto como se mostra na Tabela 3-13.
Convém mencionar que a delimitação algébrica de cada polígono se faz através de suas "condições de contorno"
que incluem as equações de cada reta fronteira e as coordenadas dos pontos extremos dessas fronteiras.
Da análise dos dados conhecidos, inferimos que:
a) cada polígono está biunivocamente
ligado a um pacote;
b) os polígonos que têm fronteira no eixo PI. como OMQ. QMLR. LMN e LNP. apresentam VPLUl crescenjes, Avordem em que os polígonos foram enunciados .corresponde a uma variação crescente de,pl·
157
TABELA 3·13
DESCRIÇÃO ANALÍTICA DAS FUNÇÕES QUE CARACTERIZAM OS PACOTES DE U;
POLÍGONOS E
PACOTES
DOMINANTES
CONDIÇÕES DE CONTORNO
.
EQUAÇÕES DE
FRONTEIRA
VARIÁVEIS E EQUAÇÕES DAS
INTERVALOS DE
P 1
P2
Oa1
OMQ
Pl ==0
-
1G 2G 3G 4G
P2 = O
O a 1,5
P2 = 1-2/3pl
O a 1,5
Oal
QMLR
Pl =0
1F 2G 3G 4G
P2 = 1 - 2/3pl
O a 1,5
Oal
P2 = 3 -2Pl
1 a 1,5
Oal
P2 =2~P1
Oal
la2
RLS
P1 =0
nf F
P2 ==2 -Pl
2G 3F 4G
-
Oal
1a2
2 a 2,5
1a2
FUNÇÕES FINANCEIRAS
,
~Ii2 ==21
VPLU1 =-1,650
1,5 P1
Oal
VPLUT = 0,805
---
~Zi = 21 - 12Pl - 9P2
~VPLi = 21
, ~Iil = 12
~Ii2 = 9
, ~IiT = 21
VPLU1 ==1,750 , VPLU = 2,333
2
VPLUT ==1,000
,
~Zi = 13 - 8Pl - 5P2
~VPLi =.13
, ~lil = 8
, ~IiT = 13
~Ii2 = 5
,
, VPLU2= 2,600
1 a 2,5
VPLUT = 1,000
2,5 a 3
~Zi ==3 - 2p 1 - P2
~VPLi = 3
, ~1i1 = 2
~1i2 = 1
SLT
Pl =0
lF 2F 3F 4G
P2 ==2,5-1,5Pl
Oal
1 a 2,5
P2 = 3 - 2Pl
Oal
la3
LMN
P2 = O
1,5a5/3
lF 2G 3G 4F
P2 = 3 -
-
lF 2F 3G 4F
RTLPU (1)
VPLUT = 1,000
-
~1i2 = 8
, ~IiT = 18
VPLU 1 = 1,800
; VPLU2 ==2,250
1 a 1,5
Oa1
P2 = 2,5-1,5Pl
1 a 5/3
Oal
P2 =0
5/3 a 2
-
P2 = 2,5-1,5Pl
1 a 5/3
Oa 1
P2 =2 -
1a2
Oa1
~Ii2 = 4
VPLU1 = 2,000
VPLUT = 1,000
-
3 a=
~Zi=O
P2 = 3 - 2Pl
Oa I
1a 3
~Ii2 = O
VPLU I = indet.
P2 = 2 -
la2
2 a 00
O ai
VPLU
Pl = O
PI
P2 = O
-
.
VPLUT = 1,000
~Zi = 8 - 4Pl
~VPLi =8
-
T
-
,
4P2
, ~Iil = 4
, ~IiT ==8
, VPLU2 = 2,000
0,P1 -
~VPLi=O
lF 2F 3F 4F
,
~Zi ==18 - 10Pl - 8P2
~VPLi = 18
, ~lil = 10
2Pl
Pl
,
, ~IiT = 3
, VPLU2 = 3,000
VPLU 1 = 1,500
LNP
~IiT = 41
, VPLU2 = 1,571
VPLU1 = 1,625
P2 = 2,5-
,
~Zi ==33 - 20Pl - 21P2
, ~Iil = 20
~VPLi = 33
,
0·P2
~Ii1 = O
,
, ~IiT = O
, VPLU2 = indet.
= indet.
FONTE: Observações e cálculos do autor.
NOT A: (1) Representa toda a área a nordeste da poligonal indicada na Figura 3·8 (a). R e U estão em
+
00.
~'.1. - ;.,"
158
Logo, VPLU 1 é uma função em degraus, descontínua e crescente de PI; para esses mesmos polígonos
:2; VPL e :2; li I, são funções em degraus, descontínuas e decrescentes de PI e a função :2; Zi é uma função
contínua e decrescente de PI com pontos de inflexão na mudança de intervalo de PI;
c) "mutatis mutandis", o mesmo se pode dizer com respeito aos polígonos OMQ, QMLR, RLS e SLT que
têm o eixo P2 por fronteira;
d) as soluções de LS continuam selecionando pacotes que, numa visão de um dado período, mais absorvem
o orçamento respectivo e produzem mais VPL, mas sujeitos à restrição de serem compostos com os melhores projetos na ordenação do VPLUj de que se trata;
e) o número de combinações propostas é muito reduzido frente ao número máximo possível. No problema
atual, LS encontrariam apenas 7 pacotes dentre as 16 combinações possíve-is;
f) o número de situações em que pares de valores PI, P2 indicam dois ou mais pacotes é, agora, infinito.
Todos os pontos sobre as fronteiras que separam duas áreas na Figura 3-8 (a) estão nessa condição. No
ponto 'L' a ambigüidade atinge o máximo; a ele correspondem 6 dos 7 pacotes indicados pela técnica de
LS;
g) a visão gráfica de :2; Zi, :2; VPLi, :2; li}, ~ 1i2, ~ IT, VPLUl, VPLU2 e VPLUT, não é mais aquela de segmentos de retas, como na Figura 3-3. Eles são agora porções de planos sobre cada uma das áreas demarcadas na Figura 3-8 (a). Das 7 funções mencionadas, as 6 últimas são patamares paralelos ao plano-base.
Apenas ~ Zi apresenta-se como porções de planos inclinados, atendendo a uma equação diferente para
cada polígono do plano 'B'.
Como todos esses planos estão no espaço, não é fácil representá-los. Das 8 .funçôes citadas, escolhemos as
três mais importantes, ~ Zi, ~ VPLi e ~ li 1, ou ~ 1i2, conforme o caso, para retratá-los nas Figuras 3-9 (a) e 3-9 (b).
Estas figuras mostram, respectivamente, as interseções desses 3 planos com os planos Z O PI e Z O P2 das Figuras
3-8 (a) e 3-8 (b). Sobre o eixo OZ estamos representando agora, ao mesmo tempo, os valores de ~ Zi, Z; VPLi e
:2; lij.
.-- . - . - . -- . --
i
'li
33
.
30
(a)
20
-
- - •• - - - - -
- - - -
-
-
.., -
••••
-
•
18
\0
.-.-.
LEGENDA
:E: li
LYPli
.c:: 1I1
4
3
t
Dl-----------------------+-----------+---+1.I/ 33
0
\,5
5/3
-.
-.-
-
: li
: YPlI
: li2
159
. _.-._.-.-
33.
eb>
.-.-.-.- ..
2\
.-.-.
\3
\2
.-. -.-.
--------
\
0,5
2,5
Gráficos dos Comportamentos
das Funções L Zi'
L VPLi
e L
'u
P2
FIGURA
3-9
com Pj'
;
Para encontrar as equações dessas interseções consultamos as equações das funções financeiras constantes
da Tabela 3-13. Uma delas, L Zi, carece de adaptação, eliminando o termo em P2, ou em PI, conforme se trate da
Figura 3-9 (a) ou 3-9 (b), Ademais só interessam as porções de planos que têm por projeção no plano-base aqueles
polígonos com fronteira em PIOU P2, respectivamente.
.
.
A Figura 3-9 (a) é uma visão do que acontece com as três funções retratadas, quando se varia PI. mantido P2::::O. Isto significaria que não há restrição orçamentária no segundo período, não havendo necessidade de
adotar-se o mecanismo de penalização representado por P2. Os resultados dependerão exclusivamente da 'dotação
orçainentária no primeiro período e da correção na eleição do pacote ótimo.
Situação análoga é a que se vê retratada na Figura 3-9 (b). Agora os recursos seriam abundantes no primeiro período e toda a atenção se volta para os dados fínanceíros do segundo. O sucesso da decisão depende da
correção da escolha, à luz desses dados.
A verdadeira situação do problema em tela prevê a existência de restrições orçamentárias em ambos os
períodos. Esta visão gráfica requer um esforço de abstração para imaginar os poliedros representativos dessas funções
financeiras, no espaço a três dimensões, tendo por base o que se mostra na Figura 3-8 (a), a mais importante das
que construímos para o problema em foco.
. ,) pr- "',, " " .
,
160
Passemos agora à solução deste mesmo problema pela análise combinatória. O que temos a fazer é preparar
todas as combinações possíveis, cada uma com quatro projetos, lembrando que toda família deve comparecer com
um só representante, ainda que seja o fantasma.
Essa análise está contida na Tabela 3·14 e sua observação vai nos mostrar que há 16 combinações possiveis,
das quais o método dos multiplicadores só nos revelou 7; as nove restantes podem, em determinadas situações orçamentárias, representar soluções ótimas, como demonstramos na Tabela 3-15.
TABELA 3-14
ESTUDO ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÕES POSS(VEIS
CONSTITUIÇÃO
lG
lG
lG
lG
lG
lG
lG
lG
1F
1F
1F
1F
1F
1F
1F
1F
2G
2G
2G
2G
2F
2F
2F
2 F.
2G
2G
2G
2G
2F
2F
2F
2F
3G
3G
3F
3F
3G
3G
3F
3 F
3G
3G
3F
3F
3G
3G
3F
3F
4G
4 F
4 G
4 F
4G
4 F
4G
4 F
4G
4F
4G
4 F
4 G
4F
4G
4F
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
~VPLi
~ 1i
~Ii
33,0
30,0
25,0
22,0
23,0
20,0
15,0
12,0
21,0
18,0
13,0
10,0
11,0
8,0
3,0
0,0
20,0
18,0
16,0
14,0
14,0
12,0
10,0
8,0
12,0
10,0
8,0
6,0
6,0
4,0
2,0
0,0
21,0
20,0
17,0
16,0
17,0
16,0
13,0
12,0
9,0
8,0
5,0
4,0
5,0
4,0
1;0
0,0'
1
2
~ Ii
VPLU1
VPLU2
VPLU
41,0
38,0
33,0
30,0
31,0
28,0
23,0
20,0
21,0
18,0
13,0
10,0
11,0
8,0
3,0
1,650
1,667
1,563
1,571
1,643
1,667
1,500
1,500
1,750
1,800
1,625
1,667
1,833
2,000
1,500
Indet.
1,571
1,500
1,471
1,375
1,353
1,250
1,154
1,000
2,333
2,250
2,600
2,500
2,200
2,000
3,000
Indet.
0,805
0,789
0,758
0,733
0,742
0,714
0,652
0,600
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Indet.
T
O~O
T
FONTE: Cálculos do autor.
NOTA: (1) Combinações ausentes da técnica de LS.
TABELA 3-15
SITUAÇÕES ORÇAMENTÁRIAS QUE APRESENTAM CONFLITO
ENTRE OS DOIS MÉTODOS
PER. 1
20
19
18
17
16
7
6
PER. 2
20
19
18
17 .
• 16
7
6 ..~.',-
MÉTODO COMBINATÓRIO
MÉTODODELS
ORÇAMENTO
PACOTE
lF
lF
lF
lF
lF
lF
lF
2G
2G
2G
2G
2G
2F
2F
3G
3G
3G
3G
3G
3G
3G
FONTE: Observações do autor.
4G
4G
4G
4G
4G
4F
4F
~VPLi
~lil
~Ii2
21
21
21
21
21
8
8
12
12
12
12
12
4
4
9
9
9
9
9
4
4
PACOTE
iG
lG
lG
lG
lG
lF
lF
2G
2G
2G
.2G
2G
2F
2F
3G
3F
3F
3F
3F
3G
3G
4F
4G
4G
4G
4F
4G
4G
~VPLi
~lil
~1i2
30
25
25
25
22
11
11
18
16
16
16
14
6
6
20
17
17
17
16
5
5
.
.
161
Para a montagem da Tabela 3-15 nos cingimos, apenas, às situações em que as restrições orçamentárias são
inteiras e iguais nos dois períodos. Muitos outros casos seriam apontados, se abandonássemos essas duas limitações.
Vemos que em todos os casos a indicação do primeiro método está incorreta, porque apresenta menor VPL que a
solução do métodoeombinatório.
Obtivemos nossa segunda prova sobre a inadequação do método de Lorie e Savage. Mais uma vez são as
descontinuidades associadas às ordenações pelos VPLU's que determinam o insucesso desta técnica. O fato de o
problema ser a dois períodos não impediu que o mecanismo de penalização parcial produzisse as mesmas +istorções essenciais antes identificadas e que se refletem na não apresentação de todas as alternativas factíveis.
Registraremos ainda que foi para este PROBLEMA TIPO A-2 que os autores dedicaram o único exemplo numérico para sua técnica dos multiplicadores auxiliares. Trabalharam com nove famílias, mas não mencionaram
as presenças dos projetos fantasmas que permaneceram implícitos, o que não altera os resultados encontrados.
Não testaremos aqui a solução apontada pelos autores para seu problema, com o auxílio da análise combinatória; pois teríamos que analisar 29 = 512 combinações, todas contendo nove projetos, inclusive os fantasmas. Um
tal trabalho só se toma prático em computador. A solução encontrada está correta como comprova um estudo feito
por Weíngartner+ com a Programação Linear Inteira, mas esta correção é mais uma exceção à regra do que a própria
regra.
Por fim, mencionaremos que a análise do algoritmo de LS para três e mais períodos fica impossível com a
. abordagem que vimos adotando até aqui. Entretanto, a dificuldade essencial nasce do mecanismo simples mostrado
já para os problemas aum período, e que vai se acumulando nos casos de dois, três e mais períodos. Por indução,
podemos afirmar que, também para esses casos o método não funciona pelas razões já apontadas.
3.5 - O PROBLEMA TIPO B-2
O problema em destaque é aquele em que há várias famílias de projetos mutuamente exclusivos, cada
uma composta de dois ou mais projetos concretos e o projeto fantasma, e com racionamento de capital a dois
períodos.
A análise gráfica deste problema se toma mais difícil que as anteriores, mas segue o raciocínio básico da
que investigou o problema tipo A-2, sendo este, na verdade, um caso particular de B-2.
v
.
Suponhamos um problema composto por 2 farrnlias, contendo cada uma 2 projetos concretos e o projeto
fantasma, todos com investimento a dois períodos.
A representação de 'Z' continua requerendo um sistema a três eixos, PI> P2 e 'Z'; os dois primeiros deixamos no plano do papel e 'Z' emerge perpendicular a ele, na Figura 3-10. Os dois projetos da Fanu1ia I estão representados p~r planos que interceptam o plano 'B', ou PI O P2,.segundo linhas cheias, ao passo que as interseções dos
planos da Família 2, com o mesmo plano-base, são mostradas em linhas interrompidas. Os dois projetos fantasmas,
um para cada família, se confundem e são representados pelo plano-base ..
4 Weingartner, Mathcmatical, p. 46.
162
2,500
z,ooo
1,500
1,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,508
3,800
FIGURA
3-10
Interseções de 'Z' com o Plano-Base para um Problema Tipo B-2.
Os dados essenciais para um exemplo do nosso quarto e último problema estão alinhados na Tabela 3-16.
As interseções com o plano-base, mencionadas, são de menor interesse no presente caso, pois não se trata
de comparar cada projeto com o projeto fantasma para saber se é ou não dominante, isto é, se 'Z' apresenta ou não
valor positivo. Aqui o interesse é saber qual o projeto que domina os demais de sua famrlia, conhecido um par ordenado Pl . P2, pois de càda família só deverá sair um projeto que a represente em cada situação orçamentária,
podendo este representante ser o fantasma.
Uma visão parcial dessas dorninâncias pode ser obtida com as Figuras 3-11 (a) e 3-11 (b). Elas mostram as
interseções dos Planos.Z, com os outros dois planos do triedro de referência e melhoram a visão do problema iniciada
com a Figura 3-10.
As interseções da Família 1 continuam com linha cheia e as da Família 2 com linha interrompida. É importante destacar que o estudo da dominância tem que ser feito dentro de cada família. Os comentários que faremos
dizem respeito ou às linhas cheias ou às interrompidas.
.,' ed', "",,)
,
"
'
163
TABELA 3-16
EXEMPLO DO PROBLEMA TIPO B-2
FAMÍLIAS E
PROJETOS
EQUAÇÕES DO
PLANOZi
VPLi
li1
1i2
VPL/1i1
VPL/1i2
Família 1
lG
21-7PI-I0,5P2
21,0
7,0
10,5
3,000
2,000
IH
15-6Pi-6P2
15,0
6,0
6,0
2,500
2,500
0,0
0,0
Indet.
Indet.
1 F
0-0.P1-0.P2
0,0 .
.
Família 2
2G
18-12PI-12P2
18,0
12,0
12,0
1,500
1,500
2H
16-8Pl-8P2
16,0
8,0
8,0
2,000
2,000
0,0
0,0
0,0
Indet.
Indet.
2F
.
0-0,P1-0,P2
FONTE: Cálculos do autor.
Podemos adiantar que o "poliedro eficiente" formado por uma família típica deste problema é usualmente
convexo quando visto por quem se situe na origem 'O' e olhe na direção do I P triedro. Antevernos cinco situações
clássicas para o comportamento dos planos representativos de cada projeto:
a) é sempre dominado e não participa da formação do poliedro eficiente, não é o caso do exemplo;
b) é sempre dominante e forma sozinho a fronteira eficiente. Este é o único caso em que o poliedro não é
convexo, porque, é plano; não é o caso do exemplo;
c) é dominante e passa a dominado quando os p's crescem; é o caso de IG e 2G, que se deixam dominar
primeiro por IH e 2H, respectivamente, e depois pelos fantasmas;
d) é dominado e depois passa a dominante; é sempre o caso dos projetos fantasmas IF e 2F;
e) é dominado e passa a dominante e depois volta a ser dominado; é o caso de IH e 2H que são dominados
por l G e 2G, respectivamente, para depois serem ambos dominados pelos fantasmas.
A visão integral dessas dominâncias, retratada pelos poliedros resultantes dessas interseções, s6 seria possível
com aconstrução-de-um
modelo sólido, ou com um complicado desenho em perspectiva. Na ausência deles só nos
resta resta contar com as projeções já mostradas e imaginar o que se passa no interior do triedro de referência.
164
z
(a)
15
10
lF
o
2F
.t •
0,500
(soo
1,000
2,000
2,500
2,000
2,500
1
, Z
Cb)
20
10
•
5
lF
o
2F
• t
0,500
1,000
1.500
FIGURA
3-11
Interseções de 'Z' com os Outros Dois Planos Ortogonais.
3,000
Pl
165
Cumpre-nos, portanto, dentro de cada família, conhecer as interseções e as posições relativas de cada par de
projetos. Os gráficos anteriores mostram as interseções de cada um desses projetos com os planos coordenados, sendo
esta informação uma peça útil para o estudo que segue.
Na interseção de dois planos, os valores de 'z' são os mesmos para os dois planos. Se igualarmos duas
equações quaisquer, de uma mesma família, encontraremos uma equação a duas incógnitas, PIe P2, o que nos
permite explicitar uma em função da outra. Isto não nos dará a equação da verdadeira interseção que se situa no
espaço, mas da projeção ortogonal, dessa interseção sobre o plano-base. A verdeira interseção se retrata pelo conjunto das 3 equações de projeção ortogonal sobre cada um dos planos do sistema de eixos Z, PI e P2. Dessas três
projeções investigaremos apenas aquela sobre o plano-base, já mencionada, identificando em cada poligonal fe- .
chada, formada por essas projeções, qu~ o projeto que domina os demais, em cada uma das famílias.
A Tabela 3-17 nos mostra as 3 equações das projeções de interseções paracada
fanu1ia, explicitadas em
P2·
TABELA 3·17
ESTUDO DAS INTERSEÇÕES DOS PLANOS Z's
PROJETOS QUE
FORMAM A INTERSEÇÃO
COORDENADAS PARA
Z=O E PARA:
EQUAÇÕES DAS PROJEÇÕES, SOBRE
O PLANO:;-BASE, DAS INTERSEÇÕES
DE DOIS PLANOS Zi's
Pl =0
P2 =0
Família 1
1G x 1H
1G x 1 F
1H x 1 F
P2 = 4/3 - 2/9 PI
P2 = 2 - 2/3 Pl
P2 5/2 - Pj
P2 = 1,333
P2 = 2,0.00
P2 = 2,500
PI = 6,000
Pl 3,000
Pl = 2,500
Família 2
2G x 2H
2G x 2 F
2H x 2 F
P2 = 1/2 - Pl
P2 = 3/2 -PI
P2 = 2 - PI
P2 =0,500
P2 = 1,500
P2 = 2,000
PI = 0,500
PI=I,500
PI = 2,000
=
=
FONTE: Cálculos do autor.
Com os dados da Tabela 3-17 é possível construir a Figura 3·12, que analisada, polígono por polígono,
nos indica qual o plano representativo do projeto, dentro de cada família, que domina os dois outros. Conhecendo
os projetos dominantes em cada família, estamos de posse do pacote dominante, segundo LS, para qualquer ponto
da área do referido polígono. Na Tabela 3·18 indicamos essas prevalências e esses pacotes para o problema em tela.
Cada polígono está ligado de forma unívoca a um pacote, mas um pacote pode estar ligado a mais de um polígono.
TABELA
3-18
ESTUDO DAS DOMINÂNCIAS POR POLfGONO
DOMINÂNCIA
PACOTE DOMINANTE
POLfGONOS
..
'
OKV
KLYUV
LMXY
MNWX
NPW
UYT
YXST
XWS
WRS
PQW
:.-.,._P 1Q\yRP2 (1)
Família 1
Família 2
lG
lG
lG
lG
IG
IH
IH
IH
IH
1F
1F
2G
2H
2H
2F
2F
2H
2H
2F
2F
2F
2F
FONTE: Observações e cálculos do autor.
NOTA: (1) Não se trata de polígono mas do restante da área do quadrante.
lG
lG
lG
lG
lG
IH
IH
IH
lH
1F
1F
2G
2H
2H
2F
2F
2H
2H
2F
2F
2F
2F
166
.-•.
•..
N
I
M
«
o:
:::>
(.9
u,
<:>
<:>
q
...,
:-.
::c
......•
167
A superioridade de cada um desses projetos sobre os demais foi testada para cada uma das áreas mencionadas, usando-se um par ordenado qualquer a ela pertencente. Esta superioridade se mantém para todos os outros
pontos circunscritos pelo polígono, exceto para os pontos deste onde se dão as interseções.
A ambigüidade de escolha do pacote dominante, já apontada no estudo dos dois problemas anteriores,
aparece aqui em grau muito mais avançado. Todos os pontos de uma interseção são pontos ambíguos que indicam
ao mesmo tempo os dois projetos representados pelos planos que formam a interseção, ambigüidade que já ocorre
a nível de família. Visto no âmbito do problema inteiro, o número de pares PI, P2 que conduz a respostas não
unívocas é infinito. Em cada caso a multiplicidade de respostas depende do desenho das interseções e do número
de famílias e projetos. Pode acontecer simultaneamente ambigüidade ao nível de duas ou mais interseções, como
é o caso do ponto 'X' do presente exemplo. Em 'X', a la. Família tanto pode contribuir com I G como com IH,
enquanto a 2a. Família entraria com 2H ou 2F. Teríamos, portanto, 4 pacotes, dos quais, para um orçamento
de $ 15,0 no primeiro e $ 18,5 no segundo período, só o projeto IG 2H seria ótimo.
A Tabela 3-19 mostra o estudo procedido pelo método combinatório
importantes de todos os pacotes possíveis.
e os parâmetros
financeiros mais
TABELA 3-19,
ESTUDO ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
INVESTIMENTO
VPL
PACOTES
ANO 1
ANO 2
lG
2G
39,0
19,0
22,5
lG
2H
37,0
15,0
18,5
lG
2F
21,0
7,0
10,5
IH
2 G (I)
33,0
18,0
18,0
IH
2H
31,0
14,0
14,0
IH
2F
15,0 '
6,0
6,0
1F
2 G (1)
18,0
12,0
12,0
1F
2H (I)
16,0
8,0
8,0
I F
2F
0,0
0,0
0,0
FONTE: Cálculos do autor.
NOTA:
(1) Ausentes da solução de LS.
Comparando o elenco de combinações de 2 projetos, com o conjunto permitido pela solução dos autores,
constatamos que' 3 combinações resultaram omitidas deste último estudo, e que há situações orçamentárias que
apontam duas delas como soluções ótimas, através do mesmo critério de maximizar o VPL do pacote com os orçamentes períódícosdjsponíveís.
'
Na Tabela 3-20 mostraremos algumas das situações conflitantes entre os dois métodos, utilizando-nos
apenas de situações orçamentárias em que os recursos disponíveis são inteiros nos dois períodos. Inúmeros outros
conflitos surgiriam, se permitíssemos que os orçamentos descessem ao nível de centavo.
;1.' , •••
- , -.
·168
TABELA 3-20
SOLUÇÕES CONFLITANTES ENTRE OS DOIS MÉTODOS
ORÇAMENTO
ANO 1
ANO 2
20
19
18
18
18
18
10
10
10
10
9
9
9
9
8
10
9
8
10
9
8
8
8
8
MÉTODO DOS MULTIPLICADORES
PACOTE
IH
IH
IH
IH
IH
IH
IH
IH
IH
IH
lil
IH
2H
2H
2H
2F
2F
2F
2F
2F
2F
2F
2F
2F
~VPLi
31
31
31
15
15
15
15
15
15
15
15
15
MÉTODO COMBINATÓRIO
~ I.
11
~ I.
12·
PACOTE
~VPL
~ I·
11
~ I.
12
14
14
14
6
6
6
6
6
6
6
6
6
14
14
14
6
6
6
6
6
6
6
6
6
IH 2G
IH 2G
IH 2G
lF 2H
1F2H
1F 2H
lF 2H
1F 2H
1F 2H
1F 2H
IF 2H
1F 2H
33
33
33
16
16
16
16
16
16
16
16
16
18
18
18
8
8
8
8
8
8
18
18
18
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8·
FONTE: Observações do autor.
Obtivemos a terceira prova da inadequação do método de LS. Suas razões são as mesmas já expedidas.
anteriormente, e que deverão invalidá-lo também para PROBLEMAS DO TIPO B, a três ou mais períodos.
3.6 - REVISÃO E COMENTÁRIOS ADICIONAIS
. Todos os quatro exemplos aqui apresentados foram fruto de uma única tentativa, em
contrar uma situação que não se comportasse bem, através do algoritmo de LS. Muitas outras
mente quando cresce o número de famílias, porque o número de combinações possíveis cresce
significando cada uma delas um polígono distinto que o método sob análise nem sempre consegue
cada caso, para enexistem, principalexponencialmente,
produzir.
O emprego da técnica de LS em racionamento a mais de 2 períodos é possível tanto para o problema
tipo A como para o tipo B, entretanto a abordagem aqui utilizada não pode neles ser empregada, porque teríamos
que trabalhar com um sistema a mais de 3 eixos. Podemos afirmar, contudo, que a análise de LS é também
impotente para resolvê-los satisfatoriamente nesses casos. A dificuldade básica reside no que os autores chamam
de "discontinuities"
que significa o fato de o somatório dos investimentos de um pacote não ser uma variável
contínua, mas discreta, que anda a saltos diferentes de pacote para pacote, e reside ainda na técnica usada de alinhamento dos projetos pelo Valor Presente Líquido por Unidade de Investimento.
Os autores já conheciam essa dificuldade mas confessavam não saber resolvê-la, como dizem textualmente- "Such discontinuities deserve special attention, but the general princíples dealing with them wiIl not worked
out-here, primarily because we do not know them", Não obstante eles afirmam ter encontrados " ... one method
that will work".
A técnica de LS só seria perfeita se a variável ~ Zi fosse contínua, o que implicaria em ter os investimentos
tão fracionados que ~ li também seria uma variável contínua, capaz de se ajustar precisamente ao orçamento. Nossos
autores revelam esse desejo de continuidade quando dizem 7: " ... the solution to the relatively complexproblem
,
wíll-abstractíng form disoontinuíties-require expending the full amount available for investment in each period . _. "
••... the amounts to be expendcd in the first and second periods, according to the rule just enunciated, are
prccisely the amounts permitted by constraints". (Os grifos são nossos).
5 Lorie and Savage, "Three problcrns", Journal of Business 28 (üctobcr·1955):In
6 --,--,p.301.
7 __
, __
, ". 300.01.
. ,,
Foundation, Van Horne, p. 299.
169
Mais adiante, ao fim de seu problema ilustrativo, eles já se afastam de afirmação tão rigorosa, dizendof
"Values of 0,33 e 1, for Pl e P2 result in a near perfect-fit" (O grifo é nosso). Nesse problema a solução aponta
uma sobra de $ 2 no orçamento de $ 50 do primeiro ano.
Por fim, eles reconhecem que nem mesmo este ajustamento próximo da perfeição é possível, ao afirmarem9 " ... of course, that value of 'p' wiIl have be found which results in matching as nearly as discontinuities
perrnit the outlays required by the accepted proposals with the outlays perrnitted by the stated budgetary
constraints". (O grifo é, mais uma vez, nosso).
. O que os autores não dizem é que as dificuldades apontadas invalidam completamente o seu método,
mesmo para problemas primários. Eles só reconheceram a dificuldade para o problema mais simples que é o A -1,
e por isso não o recomendaram nesse caso. Não perceberam, ao que parece, que a mesma inadequação existia para
os outros {rês tipos, A-2, B-I e B-2, como de resto para todos os casos a mais de 2 períodos.
Como afirmam Schwab e Lusztig10 "the limitations of the benefit-cost ratio should be recognized (a)when
considering mutually exclusive projects with varying capital requirements ... "
O artigo de Lorie e Savage tem que ser visto dentro da perspectiva do tempo - outubro de 1955 - em
que foi escrito. A década dos 50 foi de grandes contribuições ao estudo do Orçamento e do Racionamento de
. Capital, mas não dispunha das facilidades de computação hoje disponíveis nem dos conhecimentos que foram,
obviamente, acumulados daquela época a esta parte, fruto de trabalhos pioneiros como os de Lorie e Savage.
Analisada' a técnica dos multiplicadores auxiliares, nos ocuparemos no próximo capítulo da Técnica de
. Otimização por Programação Linear com vantagens e desvantagens mas sem as incorreções aqui I ;encontradas .
•
8 Loríe and Savage, ''Three problems", Journal of Business 28 (October 1955):ln FOllndation, Van Horne, p. 302.
9
--,
--,
.
p. 304.
10 Schwab and Lusztig, "A'Comparative analysis", Journal of Financc, 24 (1une 1969), p. 516.
4 - O PROBLEMA DE LORIE E SAVAGE E A PROGRAMAÇÃO
MATEMÁTICA
Este trecho da monografia está grandemente apoiado na Tese de Doutorado de H. Martin Weingartner para
quem o problema de alocar recursos escassos entre investimentos que por eles competem, passou a ser denominado!
de "problema de Lorie e Savage". Pretendemos neste capítulo ressaltar a importância da Programação Matemática
no trato dos problemas de Racionamento de Capital.
Como vimos, LS2 perceberam que a regra clássica enunciada por Joel Dean de estabelecer a ordenação de
projetos com o auxílio da TIR e escolhê-los pela ordem descendente desse critério até esgotar o orçamento, nem
sempre conduzia à maximização do Valor Presente da empresa, quando calculado ao custo de capital. Propuseram
em vez disso o uso do "present value to cost", e desenvolveram um algoritmo que significou um bom progresso na
Teoria do Orçamento e Racionamento de Capital. Suas dificuldades já foram reveladas no capítulo anterior, mas
seu artigo foi a semente de um grande volume de atividade intelectual dirigida para.o assunto, que teve como conseqüência a utilização de técnicas matemáticas de desenvolvimento recente, rotuladas como Pesquisa Operacional,
no trato deste e de outros problemas em Finanças. O problema de Lorie e Savage exibia uma estrutura perfeitamente
adaptada ao emprego da Programação Linear.
A Pesquisa Operacíonalê é fruto do emprego da abordagem científica em Administração e foi de notável
utilidade durante a II Guerra Mundial, porque sua preocupação
fundamental é a utilização racional de recursos
escassos. Se esse era um problema crucial em um empreendimento militar, é também uma inquietação permanente
na vida diária das empresas. O após-guerra reuniu acontecimentos importantes para o desenvolvimento dos métodos
quantitativos, aplicados à Administração. Com o fim do conflito, os pesquisadores operacionais que nela serviram
se voltaram para os problemas das empresas. Os computadores eletrônicos haviam nascido em 1946 e se encontravam em fase de rápido desenvolvimento. O interesse pela pesquisa nesses dois campos redobrou de intensidade nas
empresas e nas universidades. Em 1947 George Dantzíg-' desenvolvia o método simplex para solver os modelos
matemáticos de programação linear.
.
Programação traduz planejamento e o adjetivo linear nos diz que todas as funções empregadas no modelo
são do 19 grau. A Programação Linear tem um número incalculável de usos mas a sua característica fundamental é
a otimização que tanto pode significar maximização como minimização. Pode ser -contínua ou fracionária, quando
a solução permite que as variáveis de decisão adotem valores no campo dos números reais, positivos, e inteira ou
discreta, quando estas soluções estão restritas ao conjunto dos números naturais.".
4.1 - O MODELO BÁSICO DE WEINGARTNER
. Não comporta detalhar aqui a técnica da Programação Linear - PL - que se encontra sobejamente
descrita em muitos e bons textos estrangeiros e nacíonaís>. Além do mais, as aplicações de Programação Linear
se desdobram em vários segmentos cO.,moo problema da dieta, do transporte, da designação e outros que não ínteressam ao nosso estudo.
.
1 WCingartne;, Mathematical, p. 4, 6,17,34
e 35.
2 Loric and Savage, Three problems, p. 296,298,
3 Hillier and Líeberman, Introduction
4
309 e Wcingartner,.Mathematical,
p. 7.
(1972), p. 3 e ·4.
6 método
simplex pressupõe que as variáveis do modelo de Programação Linear são positivas, mas há um artifício que permite
variáveis de sinal não restrito. Ver Hillicr and Liebcrman, Introduetion, p. 144 c 156.
5 Ver, por exemplo, HiIlier and Licbcrrnan, I ntroduetion, p. 127-207; R. L. Ackoff anel M. W. Sasicni, Fundamental of operat ions
rescarch (New York: John Wilcy & Sons, Inc. 1968); R. Dorfrnan, P. Samuclson and R. So low, Linear progranuning & cconomic analysis (Tokyo: Kogakusha Co mpany, Ltd, 1958); G. Hadlcy, Nonlincar and dynamic p!Pgranuci"ng (Rcading , Massachusscts: Add ison-Wesley Publishing Cornpany, 1972); Elwood S. Buffa, Administraç40 da produç;!o (Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1972); Abelardo de L. Puccini, Introdução a Pl2gramaç;lo fulcar (Rio de Janeiro: Ao
Livro Técnico S.A., 1972); Alberto Von Ellenrieder, Pesquisa operacional (Rio de Janeiro: Almeida Neves - Editores Ltda.,
1971).
--
171
Resumiremos, entretanto, os pontos fundamentais da técnica de PL com nomenclatura e notaçãof voltadas
especificamente para o problema do Racionamento de Capital, começando pelo seu problema mais simples que
apresenta as seguintes características:
a) todos os investimentos são independentes
e facultativos;
b) a função-objetivo representa o Valor Presente Líquido da estratégia de investimento, calculado usualmente ao custo de capital da empresa, e deve ser rnax'mízada;
c) todas as restrições de recursos são monetárias e estão expressas por desigualdades do tipo";;;
d) todos os tetos das restrições estão representados por quantidades positivas;
e) todas as variáveis originais estão restritas ao intervalo que vai de O até
+ 1, inclusive.
As condições acima descritas conduzem ao problema clássico da PL, no qual o conjunto de soluções
possíveis está todo contornado por restrições do tipo "fronteira superior", exceto pelas restrições "fronteira inferior" naturais, que obrigam a positividade de suas variáveis de decisão.
Algebricamente, este primal, que é o básico de Weingartner, pode ser expresso por sua função-objetivo
três conjuntos distintos de restrições:
Maximizar Z(x)
n
L
j=l
b , X:
J J
onde:
Valor Presente Líquido das diferentes estratégias possíveis
e que deve ser otimizado;
b·
Valor Presente Líquido do projeto 'j', calculado com uma
taxa de desconto que costuma ser o custo de capital;
J
variável de decisão representada pela fração do projeto 'j' ,
que pode variar entre O e + I; na solução ótima assume o
valor ~:;
quantidade de projetos candidatos.
n
Sujeito ao primeiro grupo de restrições que trata das disponibilidades de capital:
n
L
j =1
para t
1, ... , T
onde:
Ctj == quantidade do recurso de capital absorvido pelo projeto 'j' no período 't';
Ct
T
;=
estoque disponível de capital para dispêndio no período 't';
número de períodos cobertos pelo planejamento orçamentário.
Sujeito ao segundo grupo de restrições que cuida da unicidade dos projetos candidatos:
para j == 1, ... , n
Sujeito ao terceiro grupo de restrições, que restringe o valor das variáveis de decisão ao campo positivo:
')
;;;;. O para j = 1, ... , n
Este último conjunto pode ser omitido completamente,
6 Preservamos tanto quanto possível a notação de Wcingartner,
porque é íntnnseco ao funcionamento
do simplex.
'.'.r, .
e
172
A conversão das inequações deste modelo, em equações, vão demandar T + n variáveis de folga e nenhuma
variável artificial, deixando-as, e à função-objetivo, na forma adequada para entrar no lP tableau do símplex, Esta
última se apresenta como segue:
n
~
j=l
Z(x) -
b
j
T
".i -
n
d s~
~
t=l
t
t
-
[=I
onde:
b· = valor presente líquido do projeto de ordem T, no tableau inicial, mas
J
não nos table~us seguintes; no tableau final estes coeficientes se transformam em bj' e são todos nulos;
st = variáveis de folga das restrições de recursos no período 't';
dt
coeficientes dessas variáveis que no 10. tableau, com todas as variáveis
de folga na base, são todos nulos e, no tableau final, são os avaliadores
.
duais, rt*, das restrições orçamentárias;
qj = variáveis de folga das restrições de unicidade dos projetos
T;
e· = coeficientes dessas variáveis que no 10. tableau, com todas as variáveis
J
de folgapa base, são todos nulos e, no tableau final, são os avaliadores
duais, Uj' relativos a cada uma das restrições de unicidade dos projetos;
W·1 = valor de Z(x) na iteração de ordem "i"; no primeirotableau
no último tableau, de ordem k:
Z(x)
porque
máximo
:;~ *
bj . ".i
= Wk
=
O para todo j
rt* . St* = O para todo t
Uj* . qj*
O para todo j
*
n
Z.(x)' máximo é, também, igual a ' ~ b,
j=1 J
o primeiro
grupo de restrições aparece como
para
t
e o segundo se oferece como
".i +
=
1
para j = 1, ... , n
Neste ponto temos no tableau:
- uma função-objetivo Z(x) ;
- T restrições orçamentárias;
-
X:
J
n restrições de unicidade de projetos;
- T + n restrições totais;
- n variáveis de decisão;
- T + n variáveis de folga;
- T + 2n variáveis totais;
T + n variáveis básicas (exceto Z(x));
~.-- - n variáveis não básicas.
1, ... , T
W1 = O e
eJ. q,i = W1·
J
173
4.1.1 - O MÉTODO PRIMAL SIMPLEX
O algorrtmo do simplex funciona em resumo, através dos seguintes passos:
a) eleger uma solução básica possível inicial, que é usualmente obtida, introduzindo-se todas as variáveis
de folga na base e obtendo Z (x) = O. Este é o vértice do "locus" de soluções possíveis que coincide
com a oríjern do sistema coordenado das variáveis de decisão. Assim temos:
Xj = O
paraj
st = Ct
parat = 1, ... , T
qj
=
1
para j
= 1,
... , n
= 1, . . . ,n
b) eleger a variável que vai entrar na base, como sendo aquela que apresenta, na função-objetivo,
coeficiente precedido de sinal negativo; havendo empate, escolher uma qualquer;
o maior
c) eleger a variável que vai sair da base, como sendo a que apresenta o menor coeficiente
lado
direito da igualdade
coeficiente da variável que vai entrar
se houver empate, escolher qualquer uma delas, mas a solução será degenerada, significando que haverá
muitas soluções possíveis, mais de uma solução básica possível e, pelo menos, uma variável básica será
nula no próximo tableau;
.
d) obter o tableau seguinte, com o método de eliminação de Gauss-Jordan 7, que expressa Z (x) e todas as
variáveis básicas em função das variáveis não básicas e oferece uma nova solução básica possível. Examinar os coeficientes de sua função-objetivo. Havendo pelo menos um deles negativo, a solução obtida'
ainda não é ótima, voltando-se para o passo b). Alcançada a situação em que todos os coeficientes das
variáveis não básicas da função-objetivo têm valores não negativos, (os das variáveis básicas são todos
nulos, por imposição do método de Gauss-Jordan), chega-se à solução básica possível e ótima, ou a
uma delas, se a solução for degenerada quando, pelo menos, uma das variáveis básicas é nula. Diz-se
então que a solução passou pelo teste de "otímícídade'<;
e) extrair a "solução ótima" na qual Z (x) atinge o valor máximo que é o apresentado à direita da igualdade, e onde as variáveis básicas assumem os valores mostrados à direita das respectivas igualdades,
enquanto as variáveis não básicas são todas nulas.
Uma observação adicional se faz necessária sobre o empate na saída. Quando isto acontece na eliminação
do último coeficiente negativo da função-objetivo, isto é, na passagem para um tableau que pode ser considerado
como solução básica possível e ótima, ainda que degenerada, não há maiores problemas; mas, se ocorre numa
iteração qualquer, antes da última, quando há mais de uma variável para entrar, o simplex entre em "loop" antes
de atingir a solução ótima, permutando na entrada e na saída as variáveis empatadas. A solução seria descumprir
o passo b), elegendo uma outra variável para entrar. A partir desta nova base o simplex continuaria a busca do ótimopelo caminho mais curto, depois de abandonar o primeiro caminho que o conduziu ao impasse citado.
Vejamos os frutos da técnica descrita, aplicada ao exemplo registrado na Tabela 4-1, que é a célebre ilustração numérica de Lorie e Savage. A montagem e os resultados do problema estão reunidos na Tabela 4-2.
------- -~
:._;"
7 Ver Hillier and Lieberman, I ntroductíon, p. 146 c 618 ou os outros textos citados.
8 A expressão "otimicidade"
considerada ótima.
é usada neste texto como equivalente à "Optirnality"
e significa o atributo de uma solução que é
174
,
TABELA 4-1
EXEMPLO DE PROBLEMA TIPO A-2
DISP~NDIOS
PROJETOS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RESTRIÇÕpS
ORÇAMENTARIA
DE CAPITAL
VALOR PRESENTE
LIQUIDO
PERÍODO 1
PERÍODO 2
12
54
6
6
30
6
48
36
18
3
7
6
2
35
6
4
3
3
14
17
17
15
40
12
14
10
12
50
20
-
FONTE: Lorie e Savage;Three Problems, p, 302.
TABELA 4-2
O EXEMPLO DE LORIE E SA VAGE - PRIMAL
Maximizar:
Sujeito a:
+ 18 x9 + sI :: 50
12 xl + 54 x2 + 6 x3 + 6 x4 + 30 x5 + 6 x6 + 48 x7 + 36 x8
3 xl + 7 x2 + 6 x3 + 2 x4 + 35 x5 + 6 x6 + 4 x7 + 3 x8 + 3 x9 + '82 :: 20
x4 + ~
x2 + q2 :: 1
x5 + q5 :: 1
x8 + q8 ::·1
x6+q6=1
~ + q9 :: 1
x3 + q3
=
1
Soluções: (2)
:: 1
x7
Duais: (1).
=
Z(x) máx
70,27
=
=
6,770
LI* :: 0,000
0,000
Li=
Lj=
xi :: 0,000
ql* --
0,000
UI*
q2*- -
1,000
ui
x*3 -- 1,000
q3*- -
0,'000
u3* --
1,000
<4=
0,000
u4
:: 0,000
q5* --
1,000
u5* --
0,000
q = 29,320
qJ'=
0,030
u6* --
0,000
L*6 -- 0,000
q*7 --
0,955
u7* --
0,00.0
=
q9' =
s2* =
1,000
0,000
0,500
0,000
u*8 -*
u9
3,950
0,000
*
=
L7::
Lg=
19=
fI
::
0,136
f2* --
1,864
xi :: 1,000
x4
,xs
'.
+ q7 :: 1
Xl + qI :: 1
=
x6 := 0,970
x7
= 0,045
Xs ::
0,000
x9
=
1,000
si
:: 0,00
FONTE:
NOTAS:
•
qg
5,000
= 10,450
3,410
0,000
L*4 -- 0,000
0,000
0,000
Weingartner, Mathematical, p. 18.
'
(1) As variáveis Uj* , Lj* .~rt* serão comentadas
no estudo do DUAL a seguir;
(2) A solução não é degenerada porque temos 11 variãveís-na base e .l-lvalores diferentes de zero paraíes-. ,,,,"
sas variáveis.
,> .
175
Lorie e Savage com o seu método. dos multiplicadores auxiliares haviam apontado como solução inteira o
pacote 1, 3, 4, 6 e 9 com um VPL = 70, enquanto a PL indicou um pacote formado pelos projetos 1,3,4 e 9,
tomados na sua integridade, e por frações dos projetos 6 e 7.
É uma propriedade fundamental do modelo sob análise que o número de projetos fracionários na solução
ótima deve ser igual ou menor que o número de restrições orçamentãrías'"; daí porque surgiram dois projetos fracionários, um deles pela quase totalidade e o outro por uma fração insignificante. Arredondando os resultados
fracionários para o õnteiro mais próximo, chegamos à mesma solução de Lorie e Savage que é, por acaso, também
ótima como' solução inteira.
Esta propriedade da Programação Linear resolve em parte o problema da indivisibilidade de projetos sempre que o número destes for bem superior ao número de restrições orçamentárias (n > > T), como
o caso do
exemplo, sendo de pouca ou nenhuma utilidade nos outros casos.
é
o arredondamento de soluções contínuas para soluções inteiras mais próximas tem duas dificuldades
importantes 1 O . A primeira mostra que nem sempre o arredondamento, mesmo para o valor inferior, assegura a
permanência da solução dentro do conjunto de soluções possíveis. A segunda revela que nem sempre a solução
arredondada é ótima, podendo mesmo se distanciar muito da solução oferecida pela Programação Linear Inteira.
O problema de Lorie e Savage é, pois, um problema de Programação Linear inteira 11 e não de Programação Linear
fracionária.
Na solução de PL acima podemos ver que s~ e s; são nulos, significando a inexistência de sobras orçamentárias nos dois períodos, o que nem sempre acontece. Para que isto ocorra 12 é necessário que existam projetos
sobrantes com necessidades de recursos de tal monta nos dois períodos que, formando pares de projetos de frações
adequadas (excepcionalmente um s6 projeto fracionário), consumam integralmente os recursos dos dois períodos, e
que o par eleito contribua com um VPL superior a qualquer contribuição dada por um projeto isolado e fracionário.
Sucedendo esta última hipótese, isto é, a adoção de um só projeto fracionário, oferecendo a mais alta
contribuição de VPL com as sobras orçamentárias, mesmo não as consumindo integralmente em um dos períodos,
um dos St* será não nulo e o seu correspondente rt* será nulo, porque SÓ quando um orçamento é esgotado, se pode
falar em custo de oportunidade de um incremento nesse orçamento. Havendo sobras, esse custo de oportunidade
é nulo.
4.1.2 -
AS VARIÁVEIS DUAIS E OS MULTIPLICADORES DE LORIE E SAV AGE
O significado econômico das variáveis duais rt é de extrema valia para a Teoria do Orçamento e do Racionamento de Capítall ê. Se os orçamentos são críticos, isto é, se são totalmente esgotados, r; >0 e seu valor significa o custo de oportunidade de não dispor de uma unidade monetária adicional no período 't'. A rigor, diríamos
que ri é o valor da derivada parcial az(x/ aC para todos os outros Ct's constantes e no ponto particular do valor
t
do Ct considerado.
.
.
Em outras palavras, ri indica 14 a taxa à qual subiria (ou desceria) o VPL da estratégia eleita, se a restrição
do período 't' fosse aumentada (ou diminuída) de uma unidade monetária, mantidas as demais restrições constantes.
Como o modelo é linear, essa taxa é constante, mas só dentro da faixa de variação do Ct considerado que não provoca alteração na solução ótima já encontrada. ri é portanto15 um valor marginal, implícito, incremental, um preço
sombra, interno, de eficiência, do recurso Ct.
9 Weingartner, Mathcmatical, p. 19 e 35.
10 Hillicr and Liebcrrnan, I ntroduction, p. 553 e 554.
11 Weingartncr, Mathematical, p. 35.
12 Para maiores detalhes sobre este aspecto ver Wcingartner, Matheruatical, p. 19-23.
13 Ver Wcingartner, Mathcmatícaí, p.24.
14 Ver Hillier and Liebcrman, Intro duction, p. 164.
15
Ver --,
--,
p. 489.
176
* * indica que seria desejável deslocar recursos do primeiro
No caso do exempo de Loriee Savage, f2»rl
para o segundo período. Uma análise de sensibilidade do VPL do pacote a essa permuta mostraria até que ponto
deveria ser praticada, onde a nova solução aparesentaria duais equivalentes. Quando há o problema de descontinuidade, nem sempre é possível obter-se essa situação ideal, mas pode atingir-se uma com o menor deseqvilíbrio
entre esses avaliadores,
Antes de prosseguirmos com a análise dos avaliadores uj e 1j*vamos recordar a estru tura do dual que acompanha obrigatoriamente todo primal e que é resolvido junto com este, como subproduto da aplicação do simplex 16.
j
.
o dual que decorre
do prímal mostrado anteriormente
T
Minimizar Z(r, u) = tEI
Sujeito a:
T
k
t=I
n
Ct rt + j~l
Ct' r + u, >b·
J
J t
J
tem a seguinte estrutura original:
Uj
para
=
1, ... , n
para
t =
j =
1, . : . , T
1, ... , n
onde rt e Uj são as novas variáveis do problema,
Estruturando
o dual do exemplo de Lorie e Savage, vamos encontrar o problema mostrado na Tabela 4-3.
TABELA 4-3
O EXEMPLO DE LORIE E SAVAGE -
DUAL
Minimizar:
Z(r ul = 50 rI + 20 ri + UI + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8 + U9
Sujei o a:
12
54
6
6
30
6
48
36
18
rI
rI
r{
rI
rI
ri
rI
rI
rI
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 r2 +
7 r2 +
6 r2 +
2 r2+
35 r2 +
6 r2 +
4 r2 +
3 r2 +
3 r2 +
UI
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
l~
- YI + wI
Y2 + w2
- Y3 + w3
- Y4 + w4
- Y5 + w5
- Y6 + w6
- Y7 + w7
- Y8 + w8
- Y9 + w9
=
=
=
=
=
=
=
=
14
17
17
15
40
12
14
10
= 12
Soluções: (2)
Z(r, u)mín
=70,25
rI * =0,136
r2* = 1,864
ui = 6,770
u2* = 0,000
u3*= 5,000
u4*= 10,450
u5*= 0,000
U~*=
°,
000
Ui
=: 0,000
ui
:o:
0,000
li<)i' = 3,950
FONTE:
Duais:
(1)
(3)
Yi = 0,000
= 3,410
Y3 = 0,000
Y4 = 0,000
Y5 = 29,320
Y6 = 0,000
Y7' = 0,000
Y8 = 0,500
Y9 = 0,000
Yi
(3)
w*
l
w2
=
=
=
:::
0,000
0,000
0,000
0,000
w3
wl
w5 = 0,000
w*6 = 0,000
w7 = 0,000
* = 0,000
W8
w9* ::: 0,000
xi
x2
x3
xl
xs
x6
=
=
=
=
=
=
1,000
0,000
1,000
1,000
0,000
0,970
x7 = 0,045
0,000
1,000
x9=
Xg :::
Tabela 4-2 e análise do autor.
NOTAS: (1) Z(x) deve sei: igual a Z(r,u); a diferença se deve a arredondamentos
nos valores das soluções;
(2) A solução continua não degenerada, com 9 variáveis na base e 9 valores não nulos para essas
variáveis;
(3) Ver adiante definição de Yj e wj'
16 Ver Hillier and Lieberman, Introduction,
p. 160-63.
177
Interpretemos
agora as restrições do dual e sua variável U} Tomemos a restrição do projeto genérico
T:
Na solução ótima e com uma reorganização algébrica temos:
o
segundo lado da inequação mostra a diferença entre o VPL do projeto e o somatório dos investimentos de
. cada período multiplicados pelo custo de oportunidade da restrição orçamentária respectiva. Vale dizer, cada
requerimento de recursos foi penalizado por um multiplicador próprio e o somatório dessas desvantagens foi
comparado .com as vantagens líquidas, surgindo um resultado que pode ser negativo, nulo ou positivo. Como ur,
entretanto, está restrito ao campo positivo, na solução ótima só surgirão projetos com uj nulos ou positivos. u:"é uma
medida de mérito do projeto eleito. uj > significa aceitação total do projeto. uf = O significa aceitação párcial ou
rejeição do projeto.
°
.
Recordando a técnica de Lorie e Savage, verificamos a semelhança entre sua regra para solução do problema tipo A-2, de só aceitar os projetos para os quais
e a restrição do dual acima apontada. PI e P2 que assumiram valores de 0,33 e I respectivamente, na solução de
Lorie e Savage, são agora ri e r2, com os valores respectivos de 0,136 e 1,864; a solução de Lorie e Savage é, neste
caso, uma solução equivalente à da Programação Linear.
Essa semelhança tem seus pontos de divergência, no que se refere à ordem de prioridade em que os projetos
são listados no pacote por seus méritos. Mesmo usando-se apenas a técnica de Lorie e Savage, podemos eleger uma
ínfínídade de pares de valores PI' P2 sem alterar o pacote eleito!", mas alterando a ordem em que os projetos
são chamados a integra-lo. Esse conjunto de pares, quando representado no espaço Pl' P2, são pontos circunscritos por um 1>0lígono, no qual um dos vértices representa a solução apontada pela Programação Linear contínua.
Calculando os valores de Uj
* para fI* = 0,136 e r2* = 1,864 e os valores de Zc para PI =0,33 c P2
encontrar os dados reunidos na Tabela 4-4.
17 Ver Weingartncr, Mathernat ical, p. 29, Figura 3-3.
• •••,
, ••••••
;
...,
II..!
I
= 1, vamos
., '1·"
178
TABELA 4-4
MÉRITOS E DEMÉRITOS DOS PROJETOS DO EXEMPLO DE LORIE E SAVAGE
MEDIDOS POR
PROJETOS
7,040
1
-
-7,820
2
r;
uj* (2)
Zc
(2)
6,776
0,000
3,392 (1)
3,392
3
9,020
5,000
0,000
4
11,020
10,456
0,000
-29,320
-4,900
5
6
4,020
7
-5,840
8
-4,880
-.
3,060
9
(1)
29,320
0,000
0,000
0,016 (3)
0,016 (3)
0,488 (1)
0,488
3,960
0,000
FONTE: Cálculos do autor.
NOTAS: (1) Estes valores nãosão possíveis em PL e são substituídos por 0,000;
(2)
Alguns valores de uj diferem ligeiramente dos apresentados na Tabela 4-2, por causa de arredondamentos ali praticados;
(3) O valor correto é zero.
Para facilitar o raciocínio podemos considerar um projeto como se fosse um "recurso de oportunidade de
investimento"; quando uma restrição de recurso é atingida, isto é, quando um projeto é aceito totalmente, surge
um custo de oportunidade desse recurso; quando um projeto não é aceito ou é aceito parcialmente, o custo de
oportunidade desse recurso é nulo; para o caso do projeto 7, por exemplo, aceito parcialmente, u? = 0,016 é um
valor incorreto devido a arredondamentos nos valores de ri e ri que participaram de seu cálculo. Seu valor cor. reto é mesmo zero, como mostrado na Tabela 4-2.
Os valores calculados para Zc podem ser negativos e estes casos indicam a rejeição desses projetos. Os
valores calculados para
não podem ser negativos, mas, se pudessem, indicariam igualmente os projetos a ser rejeitados.
uj
Á inequação genérica do nosso dual apresenta a desigualdade na "direção errada" 18, mas esta pode ser
invertida, multiplicando-se ambos os membros por -1. Eliminamos uma dificuldade mas críamos outra porque,
agora, o "lado direito"19, b·, é negativo e o emprego de uma variável de folga para transforma-la em igualdade
cria díflculdades-? na escolha de solução básica possível, inicial. Partir com todas as variáveis de folga na base
dá lugar a uma solução que não é permitida pela PL19 porque a variável de folga em questão fica negativa. Dentre
18 Ver Hillier and Licberman, Introduction,
19 Ver __
, --'
-, p. 152.
p. 151.
•
~ r" •.•••
179
as soluções existentes para contornar a dificuldade, uma das mais empregadaslf é o uso simultâneo de uma variável
de folga com sinal positivo e uma variável artificial com sinal negativo, multiplicando-se em seguida toda a equação
novamente por -1. Esta variável artificial vai para a base inicial, e vai também para a função-objetivo com um
coeficiente 'M' de valor tão grande quanto processável em computador, para obrigar essa variável artificial a assumir
valor nulo quando da obtenção da solução ótima. O sinal de 'M' dependerá da intenção de maximizar ou minimizar a
função-objetivo.
Esses esclarvcímentos foram prestados por podermos interpretar a variável y que aparece nas Tabelas 4-2
e 44. Elas representam o valor das variáveis de folga das inequações do dual (as artificiais são nulas no tableau
final), quando do alcançamento da solução ótima. Partindo da restrição original, temos:
=
para
1, ... , n.
Multiplicando-se por - 1 vem:
T
- ~
t =1
- b.
J
Cf rt - u,
J
J
para j = 1, ... , n
Acrescentando-se as variáveis auxiliares surge:
T
-~
t=l
- b·
J
para j = 1,..., n
Multiplicando-se novamente por - 1 temos:
para j
Fazendo-se
1= Yj -
1, ... , n
wj e expressando a restrição para a solução ótima surge ao final:
T
~
pa~a j = 1, ... , n
t=l
onde:
variável de folga da restrição 'j';
Yj
wj = variável artificial da restrição 'j';
Lj
=
variável de folga - variável artificial de ordem 'j'.
O "valor" de um projeto fica dado, então, por:
T
~
t=1
':'
ctJ· rJ' +
:~
L·
J
.
* = O' para J = 1, ... , n e T~
* para J. = 1 , ... , n; para que a vanave
" I Uj* nao
- assuma os
Na solução ótima Wj
--j = Yj
valores negativos que indicam um mérito negativo do projeto na conjuntura do problema,
tem que assumir o valor
positivo simétrico que indica um demérito positivo do projeto.
é nulo para projetos aceitos total ou parcialmente
e é positivo para os projetos rejeitados. Ver Tabela 44.
S
r;
Como nos ensina Weingartner20 "The uj' andy
are by-products of the linear programming solution and
are 'natural' guantities for ranking ali projects considered. The rank arder so established may well differfrom
rankings by, present value or by 'internal rate of return'. Its chief difference and virtue lies in that it takes into
19 Ver Hillicr and Licbcrman, lntroduction,
p. 152.
20 Weingartner, t.hthcmatical, p. 27. 54-5; a notação sofreu modificação.
;
«» ; .•
. ...
180
account not only the merits of the individual projects, but also their ínterrelationships via the budget
(os grifos são nossos). Para Weingartner uj é "the goodwill earned by the accepted projects" enquanto
tive goodwill associated with the reject projects",
..
constraints"
lj é o "nega-
À semelhança da técnica de Lorie e Savage, para a programação linear21 "The value of an accepted p'roject
is the excess, if any, of its present value, as calculated at a predetermined rate of discount, over the sum of the
discounted outlay~
as evaluated at the oportunity cost of the limited funds of each year budget" (os grífos são
nossos). Um projeto rejeitado tem
positivo porque os seus investimentos avaliados aos custos de oportunidade
superam o seu valor presente, avaliado a uma taxa requerida de retorno que é usualmente o custo de capital.
r.j
Duas observações adicíonaís e interligadas cabem aqui. Primeiro, entendemos que o processo de descontar
da programação linear não é o processo ortodoxo de descontar ou de atualizar, conhecido em Matemática Financeira, mas um mecanismo de ~nalizar os investimentos exatamente como se fez na técnica de Lorie e Savage. é
um operador de atualização para pagamentos simples mas não uma taxa de desconto. De outra parte, o valor do
projeto, u! e Zc, numa e noutra técnica, tem um significado muito especial e distinto do VPL ou de qualquer outro
indicador de mérito extensivo que se conhece. Este valor é a sobra do VPL (o qual já reflete a dedução dos investimentos atualizados à taxa requerida de retorno) sobre os investimentos ponderados pelos operadores de penalização. Este valor é, portanto, fruto de urna dupla dedução dos investimentos, a partir dos benefícios do projeto.
Considerar uj como um custo de oportunidade do recurso "projeto", como fizemos acima, não é a forma mais
adequada de interpretar esse dual, cujo exato significado é o que acima traduzimos.
q
Segundo, uma consulta à Tabela 4-4 vai nos mostrar as diferenças na ordem de mérito que Lorie e Savage
e a PL atribuíram aos projetos que compuseram o pacote eleito. Usando o símbolo>
para significar "melhor
que", Lorie e Savage fizeram uma lista de projetos em que 4 > 3 > 1 > 6 > 9, enquanto para a PL, 4 > 1 > 3 > 9
> 6 = 7. Não só a ordem é diferente como, em PL contínua podem entrar, parcialmente, projetos com valor igual
a zero, o que não acontece na outra técnica. Ambas estão, sem dúvida, intimamente relacionadas, como relacionadas
estão as variáveis duais com os multiplicadores de Lagrange- 2, mas têm comportamentos internos diferentes.
4.2 - EXTENSÕES DO MODELO BÁSICO DE WEINGARTNER ...
Os modelos descritos até aqui ainda não incorporam muitas.das peculiaridades comuns à orçamentação
capital. Trataremos agora e sucintamente de como incluir algumas delas.
de
4.2.1 - AS INTERAÇÕES ENTRE PROJETOS
A mútua exclusão entre dois ou mais projetos pode ser incluída com a adição de uma restrição, tal como:
~
j de J
onde J representa o conjunto dos projetos que se excluem mutuamente. Esta adição, na verdade, dispensa todas as
restrições Xj ,ç 1 dos projetos pertencentes a J, porque a nova restrição é uma "fronteira superior" mais estrangulante que cada uma das anteriores, melhorando o desempenho do computador no processamento do problema.
O estratagema enunciado não impede totalmente a eleição de frações de dois ou mais projetos mutuamente exclusivos e que atendam a nova restrição. Isto faz com que só seja absolutamente eficiente em Programação Linear
inteira. Há insucessos, contudo, que trazem informação útil. É o caso, por exemplo- 3, da solução que aponta fração
de uma dispendiosa, mas durável ponte de aço, cumulativamente com outra fração de uma perecível, mas barata ponte
de madeira, que indica a conveniência de uma tecnologia alternativa que reúna as vantagens e evite as desvantagens
dos dois projetosparcialmente
eleitos.
.
21 Weingartncr, Mathernatical, p. 25; a notação sofreu modificação.
22
.
Ver --,
--,
p. 31, nota.22.
23 Ver
._-,
--,
p. 33 e 40.
181
A substitutibilidade binária parcial uni ou bilateral entre dois projetos 'a' e 'b', pode ser tratada formando
o projeto composto a + b, no qual ficam reveladas a(s) canibalização(ões) existente(s), e fazendo com que os três
projetos se tornem mutuamente exclusivos, através das seguintes restrições:
A contingência bilateral entre projetos se resolve necessariamente pela formação do projeto composto, que
substitui defmitivamente os projetos-parcelas, já que nenhum destes subsiste isoladamente do outro.
A contingência unilateral de 'c' com relação a 'd', encontra solução com o desaparecimento do projeto 'c'
e pela formação do projeto composto c + d, que é posto em relação de mútua exclusão com o projeto viável, isoladamente, no caso 'd', através da restrição
ou ainda pela simples imposição de que não sendo aceito 'd', não é possível aceitar 'c', como revela a restrição
A complementaridade
binária parcial uni e bilateral entre dois projetos 'e' e 'f pode ser manipulada,
também, pela formação do projeto composto e + f que traduz a(s) sinergia(s) existente(s) e que integra um conjunto
de três alternativas mutuamente exclusivas, como se vê pelas restrições abaixo, iguais às já oferecidas para a substitutibilidade parcial:
Xc + xf ~ 1;
Xc + X(e+f) ~ 1;
xj+ X(e+f) ~ 1
Em caso de dependência binária parcial, por substitutibilidade, complementaridade, ou ambas24, uni ou
bilateral, portanto, a solução é a já apontada por duas vezes, acima. À exclusão mútua entre os projetos parcelas
se explica pela impossibilidade 'de ambos os projetos comparecerem no projeto composto com seus fluxos de caixa
originais. Esta visão só é legítima na expressão do projeto composto.
No campo de dependência entre projetos podemos imaginar outras situações mais complexas-f. Suponhamos que a existência do projeto 'i' seja indispensável para a viabilidade do projeto 'h', e que por sua vez o funcionamento, deste seja imprescindível para a factibilidade do projeto 'g'. Este é o caso da "contingência unilateral
encadeada", que pode ser tratada de duas maneiras. Como percebemos que só podem existir três alternativas mutuamente exclusivas que se retratam por 'i' ou h + i ou g + h + i, então temos que a solução deve atender à condição
Xi + X(h+i) + X(g+h+i) ~ 1
ou, alternativamente
Outro exemplo interessante dá conta de uma situação em que dois projetos T e 'k' são mutuamente exclusivos mas são, cada um por sua vez, unilateralmente contingentes do projeto 'm', Aqui também há duas soluções.
A primeira repousa na conclusão que só há três estratégias 'mutuamente exclusivas, 'm' ou j +m ou k + m, e que
devem atender à restrição seguinte:
.
xm + ~+m)
+ X(k+m) ~
1
ou, em vez desta, ao conjunto de restrições adiante:
24 Situação que no Capítulo 1 julgamos excepcional.
25 Exemplos adaptados do Wcingartner, Mathcmatical, p. 34 e 40.
182
Um último exemplo característico de dependência nos diz que os. projetos 'q' e 'r' são mutuamente independentes, enquanto 'p' só pode ser adotado se os dois anteriores forem aceitos conjuntamente, significando isto
ser 'p' contingente de q + r. Esta situação pode simplesmente resolver-se com a restrição
onde o coeficiente 2 comparece com o intuito de impedir que xp assuma valores entre 1 e 2 quando 'q' e 'r' forem
aceitos integralment, ou em frações que, somadas, superem 1.
.
Em Programação Linear é possível forçar a aceitação de um projeto. Se este é independente de todos os
demais, não há qualquer problema porque basta subtrair seus requerimentos dos orçamentos disponíveis e usar a
PL para alocar as sobras. Quando, entretanto, este investimento privilegiado se apresenta por meio de várias alternativas mutuamente exclusivas, a escolha da melhor delas só pode ser realizada no contexto do problema da restrição
orçamentária. Este intento se consegue freqüentemente eliminando a variável de folga da inequação que representa
sua família I de propostas mutuamente exclusivas, transformando-a em igualdade.
~
1
i de I
4.2.2 - ALGUMAS RESTRIÇÕES NÃO MONETÁRIAS
o
modelo de PL admite com toda a facilidade a inclusão de outras restrições de recursos não monetários
do tipo intangível, como habilidade gerencial e científica, e do tipo tangível, como recursos da natureza. Para.os
recursos cujas restrições são ou podem ser consideradas constantes no tempo como, terrenos, potência elétrica e
água para irrigação, a restrição é uma só para cada um desses recursos, e o conjunto delas pode ser resumido como
segue:
n
~
j =1
3.:k X,k
J
J
<
Ak
para k > 1, ... ,. R
onde:
ajk = consumo do recurso 'k' pelo projeto
T;
Ak = disponibilidade do recurso 'k';
R
número de recursos da espécie, sob restrição.
Para os recursos de disponibilidade variável no tempo, como pode ser o caso de equipamentos, mão-de-obra e materiais para a implantação e o funcionamento, requer-se uma restrição para cada período, ou seja, um
conjunto de restrições para cada recurso; a visão global dessas restrições estaria expressa por:
n
j
31 atjk
Xtjk
<
~k
para
t=l,
k=l,
,T
,S
onde:
;
_-
atjk
consumo do recurso 'k' pelo projeto 'j' no período 't';
Atk
disponibilidade do recurso 'k' no período 't';
S
= número de recursos da espécie, sob restrição.
...•• ) ..
Estas variáveis não monetárias são expressas, por exemplo, em homens, hectares, kilowatts, metros cúbicos, mas os seus duais representam a taxa em que as unidades' monetárias do VPL da estratégia mudariam .se. .
183
uma unidade a mais de um' desses recursos estivesse disponível. A dimensã026 desses duais é pois t:.VPL/homem,
... , ~ VPL!kilowatt, O ~ignificado do d,ual uj': que, como vimos, representa o valor de um projeto aceito, 'j' deve
agora incluir uma derluçao para a quantidade dos recursos não monetários, escassos, por ele absorvidos, avaliada
pelo seu preço-sombra. No caso de o modelo básico acrescentar uma só dessas restrições independentes do tempo,
digamos, relativa à potência elétrica, e se essa restrição for estrangulante, então o valor de um projeto aceito será
dado por
:!:
U,
J "
=
b,
-
J
*
T
!:
t=1
l]g
ct]' ft
*
onde:
l]
= potência elétrica demandada pelo projeto 'j';
g*
=
custo de oportunidade
em $ VPL/kw da estratégia eleita.
O produto l]g, * é o prêmio que o projeto l' deve pagar, além da penalização relativa aos recursos fínanceiros absorvidos nos diversos anos t's; ~..projeto só será aceito se, após todas essas deduções apartir do VPL, houver
uma sobra positiva para ser atribuída a uj:
4.2.3 - O DESLOCAMENTO INTERPERÍODO DE RECURSOS E DE PROJETOS
A existência de recursossobrantes no período 't' e de recursos faltantes em outros períodos, quer anteriores
quer posteriores, sem que se permita uma drenagem de sobras nas duas direções, é uma conseqüência do modelo
básico que tem um custo de oportunidade. Isto equivale á dizer que uma maior liberdade na distribuição dos recursos
orçamentários, ao longo do tempo, poderia conduzir a estratégias de mais altos VPL's. Uma total liberdade de recursos tanto para frente como para trás, transformaria qualquer problema de racionamento de capital num problema a
um período, além de se distanciar muito da realidade. As antecipações de recursos não são de preocupar porque a
pressuposição básica da restrição orçamentária é a de que a empresa já levantou todos os recursos obteníveis nos momentes mais cedo possíveis. Sobra-nos a alternativa de acrescentar ao modelo uma característica que permita o deslocamento de sobras para o futuro, o que pode ser feito, pelo menos, de duas maneiras. A mais fáci127 se obtém com
uma família de T restrições, como segue:
'
n
!:
j=1
t
!: cJ.t
t=l
t
X:
J
~
!: Ct
t=1
para, t = 1, ... , T
Notar que o índice superior dos somatórios é 't' e não 'T'. Isto significa, por exemplo, que os recursos disponíveis para investimento nos três primeiros anos são Cl + C2 + C3, que os requerimentos da fração do projeto
T nesses três primeiros anos são 91 sj + 92 Xj + 93 Xj e que os requerimentos das frações de todos os projetos ao
longo desses mesmos anos são:
A~ abrigo desse mecanismo de deslocar sobras somente para o futuro, a racionalidade de deixar recursos
sobrantes é alcançada à luz de todos os projetos e de todos os recursos 'presentes no problema. Este modelo de PL
requer, no entanto, que todas as restrições 'e todos os requerimentos de capital sejam expressos por seus valores
presentes ao custo de capital da empresa, que são mensurações unívocas de um dado valor intrínseco, situado em
qualquer ponto no tempo.
26 Wcingartner, Mathcrnatical, p. 128 e 129.
27 Ver Quirin, The CaIlital, p. 193.
184
Podemos ainda incluir no modelo básico de Weingartner o estudo de antecipaçâo/posposição de projetos28,
incluindo no problema diversas versões de uma mesma proposta de investimentos com distintas cronologias dos
eventos financeiros, cada uma delas refletindo as conseqüências que esses diferentes ritmos de implementação
produzem sobre os fluxos de caixa do projeto em estudo. Essas oportunidades de investimento são então tratadas
como projetos mutuamente exclusivos através da restrição:
~
j de J
X:
J
~
1
onde J representa esse conjunto de projetos que significa a mesma proposta de investimento. Caso no mesmo problema já coexista um estudo de deferimento de orçamento, então todos os fluxos de caixa do estudo de antecipação/posposição devem ser expressos em moeda do instante zero. Caso contrário, a atualização não é necessária,
mas seu uso não compromete em nada o rigor do estudo. Discordamos da proposição de Quirin em sua Tabela 9-7,
de aplicar os recursos não absorvidos pelo projeto
a uma taxa fixa, fazendo com que seus requerimentos complementares futuros sejam reduzidos do valor dos juros. Segundo esta abordagem há dois fenômenos superpostos,
quais sejam, um adiamento do projeto concreto e um investimento financeiro e não é isso exatamente o que se
deseja estudar; busca-se conhecer as repercussões do adiamento sobre a solução ótima, face ao problema orçamentário particular em estudo. Os recursos liberados pelo adiamento devem ficar à disposição dos outros projetos candidatos.
r
4.2.4 - A GERAÇÃO INTERNA DE RECURSOS
A possibilidade de contar com os recursos futuros gerados pelos projetos que maturam dentro do período
sob análise orçamentãria é uma das extensões úteis que podem ser acrescentadas ao modelo de PL. Isso pode ser
feito com facilidade quando dispomos de uma política de dividendos independente da política de investimento.
Dito de outra forma, podemos, independentemente
dos requerimentos
exigidos pelo pacote ótimo ainda desconhecido, explicitar a "príori" os montantes disponíveis para reinvestimento, ou podemos expressá-los como uma
função dos fluxos de caixa dos pacotes tentativos.
No primeiro cas029 as restrições orçamentárias teriam a forma de
para t = 1, ... , T
onde:
Qtj .= recursos reinvestíveis gerados pelo projeto
é adotado integralmente.
T no
período 'C, quando 'j'
No segundo cas030 teríamos:
para
... ,T
t=l,
{ Utj
~
O
onde:
Utj = lucro do projeto 'j' no período 't'; quando apresentar valor negativo
substituir por zero;
.
Vtj = custos não monetizados cobertos por receitas, líquidos de gastos com reposição;
E
28
29
'.
= taxa constante de retenção de lucros.
,.,.-.
Ver Quirin, The Capital, p. 194.
---Ver --,--,
p. 195.
30 Adaptado a partir de A. Geoffrcy Lo ckett and Cyril Tomkinc, "Thc Discount rate problcm in capital rattíoníng situations:
eomment", Journal of financiai and '1uantitative analysis 5 (June 197.0)': 247.255 ... ·
. f',.:
185
Podemos reorganizar esta restrição na forma
1, ... , T
para
o
mas devemos ressaltar que ela apresentará sérios defeitos se a PL não for inteira porque, como sabemos, os custos
não monetizados, a reposição e principalmente os lucros não são lineares com "j0 Ademais, uma política de divídendos independente não pode conduzir a uma política ótima de investimentos. Este modelo peca ainda por não
estudar o impacto do imposto de renda sobre o lucro conjunto da empresa.
4.2.5-
AS GARANTIAS EXIGIDAS POR CREDORES
A estrutura de restrição apresentada no primeiro caso se presta ainda para o estudo do interessante problema das "garantias" exigidas pelos credores e que pode condicionar a escolha do pacote ótimo. Pensando em garantias
como um recurso escasso que já existe num certo montante, mesmo na ausência de qualquer projeto, pela oferta
de bens já possuídos pela empresa, por seus sócios ou diretores, e lembrando que os próprios projetos geram novas
garantias, podemos ter
n
~
j:::l
para
t ::: 1, ... , T
para
t
ou rearranjando os termos
::: 1, ... , T
onde:
~j
::: requerimento de garantias do projeto 'j' no período 't';
Gt ::: oferta de garantias no período 't' independente do pacote eleito;
qtj
garantias criadas pelo projeto 'j' no período 't'.
4.2.6 - AS SOBRAS ORÇAMENTÁRIAS E OS INVESTIMENTOS MOBILIÁRIOS
Diversas outras características importantes podem ser acrescidas. Mencionaremos por último a possibilidade
de aplicar todos os recursos sobrantes em oportunidades de investimentos financeiros31 externos que rendam uma
taxa fixa de juros '()'. Para tanto, imaginaremos, para cada período T do estudo orçamentário, a existência de um,
projeto de 1$ de investimento que renderá ()$ de juros até o último ano do horizonte de operação, ao fim do qual
ocorrerá a devolução do principal; podemos usar ainda qualquer outro esquema cronológico que bem traduza o planejamento que se pretende fazer. As variáveis Xj representativas desses projetos não ficarão restritas a qualquer teto
superior, podendo assumir valores tão altos quanto as disponibilidades de recursos Ct do ano a que se referem. Desta
sorte, qualquer sobra orçamentária em qualquer período será absorvida por projetos múltiplos desses projetos financeiros unitários. As restrições ficariam assim:
-----'0,0
.
.
~,l,Adaptado de Lockett and Tornkine, "Thc Discount", Journal or financial'q:Uantitative analysis 5 (June 1970): 254.
186
(n-T)
j ~1
":i
Ctj ":i
:::
+ x(n-T+t)
~
Ct
para
t
para
j
1, ... , T
:::
1, ... , n-T
qualquer valor positivo para j ::: n - T + 1, ... , n
onde:
n
::: número total de projetos, inclusive os T projetos financeiros;
n - T ::: número de projetos concretos.
Não usamos uma igualdade na restrição para não forçar a adoção dos projetos fmanceiros quando forem
gravosos, mas ela poderá ser uma igualdade se esses projetos tiverem VPL > O ao custo de capital. A função-objetivo
não sofreria qualquer alteração e os bj de ordem 'n - T + l' até 'n' seriam os Valores Presentes Líquidos dos 'T' projetos fmanceiros.
....
.
Como não se trata de um estudo típico de transferência de recursos interperíodo,
expressar todos os valores monetários em moeda constante do momento da decisão.
não há necessidade de
De nada adiantará o estratagema enunciado, no entanto, se esses VPL's forem negativos, como costuma
acontecer com os projetos fmanceiros usuais para os quais
é menor do que o custo de capital, k, da empresa,
situação na qual nenhum desses projetos comparecerá no pacote final porque suas ausências são pré-condição para
maximizar Z(x)' Seus VPL's serão tanto mais negativos quanto mais 'k' se distanciar de
e quanto mais tempo
os recursos ficarem investidos.
,
Admitir que a sobra do período 't' é nele investida e desinvestida em t + 1 para reforçar o orçamento deste
período, é uma outra forma de ver o deslocamento de sobras orçamentárias para períodos futuros. A presença de
projetos fmanceiros gravosos só tem sentido quando esta flexibilidade interperfodo permite alcançar soluções com
mais altos VPL's. Suponhamos que st represente estas sobras e que todos os valores monetários das restrições estejam
expressos em valores presentes do instante zero o que nos permite transladar valores entre qualquer dois pontos no
tempo, sem maiores problemàs. Este procedimento abriga implicitamente um reinvestimento virtual das sobras ao
custo de capital. Assim sendo, nem precisa considerar as sobras como um projeto múltiplo de um investimento financeiro unitário, bastando considerá-las como uma variável de folga do orçamento do período 't' que se converte num
reforço orçamentário do período t + 1.
e
e
As restrições do modelo32 seriam dadas por
n
~
Clj ":i
+
~
Ctj ":i
+ St
j==1
n
j :::1
SI
:::
=
C1
para t
=
para t
=
Ct + s(t -1)
o
ou
n
~
Ctj ":i - s(t - 1) + St
":i
~
.j :::1
•
.~
:::
Ct
para j ::: 1, ... , n
para t = 1, ... , T
== qualquer valor positivo
32 Ver Weingartner, Mathcmatical, p. 124.
2, ... , T
~:4.i ._.
1 __
187
Como a empresa não encontra assim tão automaticamente, oportunidade de investir todas as suas sobras
pelo intervalo de um período rendendo exatamente seu custo de capital, este modelo não é realista, mas a fusão
dos dois anteriores nos permitiria chegar a um terceiro33 que reflete com mais propriedade o mecanismo dos investimentos fínanceiros, gravosos ao custo de capital.
Suponhamos que estamos com um problema de estudo orçamentário a 'T' períodos; isto permite 'f - 1
deslocamentos de recursos de um período para o imediatamente futuro. Desta forma, todas as retenções se farão
apenas por um penedo e isto basta para deslocar recursos do primeiro para o último ano, se assim for conveniente.
A sobra do último ano não será investida porque seu desinvestimento extrapola o período orçamentário sob estudo.
Como o fluxo interperíodo de sobras se fará via investimentos financeiros reais (e não virtuais), não se
toma necessário trabalhar com homogeneidade temporânea da moeda, mas expressar o que de fato se passa com as
recuperações desses investimentos financeiros que rendem
mas são descontados a k, Sendo k > 8.
e,
o valor
b,
J
presente de cada unidade monetária deslocada do período 't' para o 't
~I
=
+
(1 +8)
=
(1+k)t+l
(8 - k)
+ l' está dado por:
para t = 1, ... , T - 1
{I+k)t+l
onde j = t se os projetos financeiros forem colocados antes dos projetos concretos na ordem de indexação.
Teremos então:
T
-e-
1 projetos financeiros 'j', para j
=
1, ... , (T - 1);
n projetos concretos 'j', para j = T, ... , (n
n
+ T - 1);
+ T - 1 projetos totais.
A função-objetivo ficaria:
Maximizar
n+T-I
~
j=T
bJ.X: +
J
T-l
.~
j =.1
(8 -k)
(1+k) (j + 1)
As restrições orçamentárias não seriam igualdades, como fez Weingartner, para não forçar a aceitação desses
projetos, havendo, portanto, uma variável de folga em cada restrição; seu conjunto se expressaria por:
n+T-I
~
j=T
n+T-I
j !T
cIJ'
X:
J
[ctj "j]
+ Xl ~
- (I
CI
para t
+ 8) X(t _ I) + ~ ~ Ct
n+T-I
1;
para t = 2, ... , T - 1;
para t = T
~
j=T
qualquer valor positivo
para j = 1,... ,(T-l)
para j = T, ... ,(n+T-I)
33 Concepção do autor.
188
"
o
Neste modelo os projetos financeiros só entrarão no pacote ótimo se isto conduzir a uma estratégia de VPL
mais elevado que aquela obtida sem esta flexibilidade orçamentária. Sua presença na solução significa, portanto,
que projetos nobres seriam preteridos por estrangulamentos orçamentários em determinados períodos, enquanto
sobrariam recursos em outros.
4.2.7 - AS NOVAS RESTRIÇÕES E OS PROJETOS FRACIONÁRIOS
Uma observação suplementar sobre o modelo básico de Weingartner contempla o efeito que as restrições
adicionadas por qualquer razão ao problema, trazem ao número máximo de projetos fracionários permissíveis na
solução ótima. Como regra geral é possível enunciar-se que cada restrição nova dilata esse teto em uma unidade,
fazendo com que quanto mais complexo for o modelo matemático, mais sua solução se afasta do ideal de obter-se
indicações de aceitação ou rejeição total dos projetos individuais, com o uso de PL fracionária.
4.3 - AS PROGRAMAÇÕES POR METAS E PARAMÉTRICAS
Citaremos, ainda, apenas a título de notícia, que existem duas extensões da Programação Linear contínua
que muita ajuda podem trazer ao estudo do Orçamento e Racionamento do Capital.
A primeira destas extensões é a programação por metas ou "goal programing" desenvolvida por Chames,
Cooper e Ijiri e apresentada com bastante detalhe por Ma034. À semelhança da Programação Linear, busca, também,
otimizar uma função-objetivo sujeita a uma série de restrições, e usa o método simplex para consegui-lo. Suas principais diferenças podem ser resumidas como segue:
a) a Programação Linear ordinária tem usualmente apenas uma meta em sua função objetivo; outras metas
acaso existentes, são tratadas como restrições. Na programação por metas, todas elas, sejam muitas ou
poucas, são incorporadas à função-objetivo; estas metas nem sempre são perseguições ao ótimo mas a
algo satisfatório e desejado pela administração, enquanto as restrições traduzem sobretudo as estreitezas
ambientais da empresa;
"o
b) a Programação Linear busca o "ótimo" de um objetivo, enquanto a programação por metas, conquanto
otimizando sua função-objetivo, está apenas atingindo o "satisfatório" equacionado nessa função. Não
é necessário que as metas incorporadas ao modelo sejamnecessariameIlte
atingíveis; o intuito é aproximar-se delas o quanto possível, tanto por cima como por baixo do valor escolhido como alvo. Uma participação no mercado de 25% das vendas do setor, uma margem de contribuição de $0,25 por unidade,
um lucro global $100.000 podem ser metas satisfatórias o bastante, boas o suficiente, podem refletir a
posição desejável na opinião da administração e como tal são introduzidas na função-objetivo;
c) na Programação Linear ossobjetivos que parecem secundários, e que vão para as restrições, são, na verdade, mais prioritários que o tido como principal e que estrutura a função-objetivo; além do mais, esses
objetivos são de igual importância porque todos condicionam com a mesma intensidade a solução ótima,
com respeito à função-objetivo. Em programação por metas, as verdadeiras metas vão para a função-objetivo e podem ser listadas segundo uma ordem de importância, mesmo que sejam conflitantes, e é
exatamente nestes casos que ela revela sua superioridade sobre a Programação Linear convencional .
•
A programação por metas pode ser usada para planejar o lucro, o nível de capital de trabalho, de saldo de
caixa, o nível e o tipo de atividade produtiva e muitas outras metas entrelaçadas da espécie, tanto na abordagem do
período simples como na do multiperíodo. Sua formulação algébrica é mais complexa que a da PL, mas seus resultados são mais ricos de informação.
34 Mao, Quantitativc, Capítulos 4 e 5.
--';t- .
o
189
A outra extensão útil da Programação Linear se denomina programação paramétrícaê>. Seu objetivo é estudar as variações da solução ótima frente à variação de um parâmetro que afeta um dos dados básicos do problema,
como por exemplo, os bj's dos projetos ou os tetos das restrições, Ct's. No primeiro caso, a função-objetivo ficaria:
Maximizar Z(x)
= ~ (bj
+ 1> b'j)
1
onde cp é o parâmetro, nulo para a situação padrão, mas que pode assumir valores positivos ou negativos, revelando
um aumento ou uma diminuição, respectivamente, da capacidade de os diferentes projetos gerarem a riqucra adicional, medida pelo VPL.
No segundo caso, as restrições se apresentariam como:
para t
1, ... , T
nas quais parâmetro 1/1, que pode ser negativo, nulo ou positivo, permite analisar o elenco de soluções ótimas que surgem
nos intervalos permitidos para as variações das restrições orçamentárias.
Na programação paramétrica os valores de <I> ou 1/1 são trocados automaticamente e as soluções respectivas
são anotadas ao fim de cada corrida. Quando bj =bj e C't= Ct para todos os j's e todos os t's, respectivamente,
. supõe-se que há uma perfeita proporcionalidade nas variações de todos os coeficientes afetados pelos parâmetros.
Quando se deseja que esse efeito seja diferente, mas semp!e linear, elegem-se diferentes bj ou q para cada projeto ou
cada restrição, podendo alguns deles ser nulos. Definidos os elencos de bj ou C~',o parâmetro <po~ 1/1, que é o mesmo
em cada corrida, provoca impactos diferenciais na variação dos coeficientes originais bj ou Ct. E óbvio que quando
bj ou q é nulo para determinado projeto ou re~trição, podemos eliminar o termo <Pbj ou 1/1 Cf da expressão respectiva.
Em PL é também possível estudar as conseqüências de escolhas tecnolõgícasêv mais ou menos intensivas de
mão-de-obra, desde que se conheça a influência dessa variável sobre a eficiência dos projetos e que se possa expressar
essa eficiência por uma curva reduzida a uma poligonal, para preservar a estrutura linear do problema.
4.4 - O MODELO DE '~VALOR DE HORIZONTE" DE WEINGARTNER
A função-objetivo desse modeloâ? de PL, contínua ou mista, pretende maximizar o valor da empresa num
instante futuro 'T' chamado de ''horizonte''. Este modelo usa todos os fluxos correntes, e não atualizados, e representa uma abordagem intermediária entre a de Lorie e Savage, que oferece todos os fluxos e taxas de atualização,
e a abordagem de Chames e Cooper, que trabalha com as relações fundamentais do sistema físico-financeiro da
empresa, dele extraindo os fluxos e os fatores de desconto.
O modelo se expressa por:
Z
Maximizar
=
onde:
•
~ = valor no horizonte, 'T', de todos os fluxos de caixa posteriores ao ponto
de horizonte até infinito, descontados à taxa de mercado 'k' e provenientes do funcionamento do novo projeto T a ser adotado pela empresa;
1=
"r =
fração do novo projeto
T, podendo
ser inteiro;
volume de recursos disponíveis para empréstimo no ano 'T';
wT = volume de recursos tomados por empréstimo no ano 'T'.
35 Weingartner, Mathematical, p. 130.
36 Para maiores detalhes, ver Weingartner, Mathemati~I,
37 Weingartncr, Ma1hematical, capo 8.
p. 132 .:
190
A função-objetivo reflete a soma do acervo líquido de ativos financeiros com os resultados esperados dos
ativos operacionais da empresa no horizonte T_
As restrições do modelo são:
n
j ~1
n
~
j =1
+ VI -
a1j "j
at]- X: J
O~"j~l
w1
~
;;.. O
para t =
(1 + k) vt _ 1 + vt + (1 +k) wt _ 1 - wt
para j
vt' wt
Dl
~
Dt
para t
=
2, ... , T
1, ... , n
para t = 1,. _., T
onde:
fluxo de caixa do projeto 'j' no período '1'; é, por convenção,
positivo quando representa um dispêndio de capital e negativo
quando significa uma recuperação desse capital;
vt
Wt
=
volume de recursos emprestado pela empresa no ano '1' e pelo prazo
de um ano;
= volume de recursos tomado emprestado pela empresa no ano 't'
pelo prazo de um ano;
e
Dt = volume de recursos a serem gerados no ano '1' pelos ativos atualmente possuídos pela empresa, e não pelos que o modelo irá indicar; eles
representam os recursos de que a empresa poderá dispor, fruto de suas
atividades operacionais existentes no momento da decisão dos novos
investimentos;
k
taxa anual de juros tanto para emprestar como para tomar emprestado no curto prazo;
Este modelo apresenta, para um problema com 'n' projetos concretos e T períodos orçamentários:
n
variáveis "j
n
variáveis de folga das restrições "j ~O
T
T
variáveis vt
variáveis wt
2T+2n
variáveis totais
T+n
restrições totais
Uma observação nas restrições permite ver que à empresa é facultado o direito de transacionar num mercado financeiro p.erfeito onde as quantidades são ilimitadas e a taxa de juros é única e constante.
A primeira restrição nos diz que o somatório dos investimentos produtivos e financeiros do lP ano não
pode superar o agregado dos recursos disponíveis, gerados pelas atividades preexistentes, pelas novas atividades e
pelos recursos tomados emprestados.
A restrição de ordem '1' nos diz que o somatório de investimentos
repagamento do empréstimo do ano anterior, (principal + juros), não pode
tado pela união dos recursos produzidos pelas antigas e novas atividades,
anterior (principal + juros); e com a obtenção de novo empréstimo nesse ano
produtivos e financeiros do ano 't' e do
superar o volume de recursos represencom a recepção do empréstimo do ano
't',
A grande inovação é, portanto, a substituição da tradicional restrição orçamentária fixa, Ct, por um pacote
de recursos composto de disponibilidades geradas internamente, tanto pelas antigas como pelas novas atividades,
e de recursos líquidos de empréstimo. Apesar da possibilidade de emprestar quantias ilimitadas, as restrições não
forçam a aplica~ão financeira dessas eventuais "sobras, pela prese rvação.da inequação ~.."
191
A solução desejável do problema reclama soluções inteiras para Xj e contínuas para 'v' e 'w', o que requer
uma Programação Linear mista.
Segundo Weingartner38 comprova com o estudo do dual, a maximização do valor do horizonte da empresa
é exatamente equivalente à maximização do valor presente, quando calculado à taxa de desconto 'k' prevalescente no
mercado financeiro.
Quando as propostas são índependentesêê , os investimentos selecionados para o pacote ótimo são todos
aqueles que apresentam VPL não negativo a essa mesma taxa 'k', e os rejeitados são todos os que tem VPL < O.
Quando as propostas 'são interdependentes, a conclusão acima não prevalece. Se temos um conjunto de
projetos mutuamente exclusivos, é possível que dentre os rejeitados, por força da restrição
~
j de J
haja projetos com VPL > O. Ademais, como essa restrição substitui todas as Xj :;;;;1 para o conjunto'J',
então a
variável dual uj que lhe é correspondente, não mais se identifica com um projeto individual e não mais expressa
o seu valor
*
J
u,
=
mas uj ;;;:.O toma-se o custo de oportunidade
T
~
t=1
da redução do número de projetos elegíveis do conjunto J.
Quando tratamos a dependência, por substitutibilidade ou complementaridade, pelo método da formação de um "projeto composto", posicionando-o num conjunto mutuamente exclusivo, o problema se repete e
as mesmas conclusões acima são válidas. Surge, no entanto, outro aspecto da questão que diz respeito à aceitação
de projetos com VPL < O, quando este se abriga dentro do projeto composto sem comprometer a não negatívidade do valor presente deste último.
Este modelo apresenta aspectos favoráveis, no que concerne ao número máximo de projetos inteiros
permissíveis ~a solução ótima de uma PL contínua e que têm relação com a presença das variáveis Vt e Wt; estas
não podem aparecer simultaneamente na solução para um dado período 't', mas a presença de uma delas é garantia para a ausência de um projeto fracionário. Somente quando as duas estiverem ausentes, há a possibilidade de
surgir um projeto não inteiro. Assim, o número de projetos fracionários em PL contínua está limitado ao número
de períodos em que não ocorrem nem empréstimos nem tomada de empréstimos, se o problema só contiver projetos independentes. Neste caso, o modelo acima produzirá sempre soluções 'inteiras, porque os projetos fracionários que surgirem pela não existência de operações financeiras, num determinado ano, podem ser abandonados
pois não contribuem para o VPL da estratégia apontada+f e a solução é degenerada.
Esta vantagem é, no entanto, aparente, porque nesta situação ideal, de mercado perfeito e projetos independentes, não há sequer necessid ade de programação matemãtíca+J, bastando adotar todos os projetos que apresentarem VPL > O à taxa de mercado. O problema de investimento está inteiramente desligado do problema de
financiamento. Este, na verdade, não existe. O poder de resolução do modelo surge exatamente quando nos afas- '.
tamos dessa idealidade, muito embora fique comprometida sua capacidade de oferecer soluções inteiras, ~'que
pode ser remediado com o uso da programação mista.
38 Weingartner, Mathcrnatical, p. 142.{j.
39 -,--,p.146-7.
40 Ver Weingartner, Mathcrnatical, p. 153.
41 Ver --,
--,
p. 153,154,157.
.;,..: ,
192
4.4.1 - O HORIZONTE E A QUALIDADE DAS INFORMAÇÕES
Antes de estudarmos o impacto das imperfeições do mercado financeiro, dois aspectos interligados precisam ser mencionados. Primeiro, em qualquer análise de investimento não se podem explorar todas as oportunidades
e todos os cursos de ação abertos à empresa numa perspectiva cronológica infinita. Só pode ser decidido hoje o
que se conhece, ou se estima conhecer, hoje, sobre o futuro. É imprescindível, portanto, cortar essa cadeia de eventos num ponto para que a análise se torne praticável, e, este ponto é o horizonte que dá título ao modelo. Ele pode
ser descrito como sendo aquele marco temporâneo mais cedo no futuro que, se for deslocado para diante, não
causa mudanças no elenco de projetos disponíveis ou, alternativamente, como aquele ponto a partir do qual, um
deslocamento até infinito não causa alterações no pacote eleito pelo modelo. O horizonte mais cedo é aquele que,
se for encurtado, causará repercussões na análise pela exclusão de projetos que só tomarão lugar depois do horizonte, a menos que se tomem providências para acolher essas informações pós-horizont-e.
O conceito de horizonte não é, portanto, unívoco, podendo um mesmo problema ser estudado com diferentes horizontes. Quando o mercado é perfeito e os projetos são independentes, o horizonte pode ser o instante
zero e é exatamente isso o que fazemos quando usamos a regra do VPL e adotamos todos os que passam no teste
aceita-rejeita, porque equivale a
Maximizar
Z(x) =
Sujeito a
O ~
~
n'
~
j=l ~ ~
~
Quando o mercado é ainda perfeito, mas há projetos interdependentes,
operacional do projeto que demarra mais tarde.
o horizonte deve se situar na etapa
Em segundo lugar há o problema da produção e qualidade dos dados sobre o futuro. Quando uma informação é imperativa, ela é provida de alguma maneira, ou gastando-se mais para consegui-la ou rebaixando-se o padrão
de qualidade dela requerido. Se devemos decidir hoje sobre algo, devemos obter hoje as informações mínimas necessárias à instrução dessa decisão, mesmo que estas informações se refiram apenas indiretamente ao que vamos
decidir hoje, e se prendam mais diretamente a decisões' que se tomarão no futuro. Não fosse pelas conseqüências
sobre os rumos a serem tomados hoje, essas informações poderiam 'ter sua produção adiada. A habitualidade do
planejamento de longo prazo favorece a produção e a qualidade das informações, na forma de dados bastante precisos, ou na forma de estímatívas preliminares com base em projeções econômicas. A programação paramétrica é
de muita ajuda no estudo dos diferentes "estados do mundo" possíveis de existir no futuro.
4.4.2 - AS IMPERFEIÇÕES DO MERCADO FINANCEIRO
~ exatamente sob condições de imperfeição do mercado de capitais, com juros diferenciais entre emprestar
e tomar emprestado, com custos de transação, com limites para tomar emprestado, com taxas de juros crescentes
com o empréstimo, com condicionamentos entre os investimentos e o financiamento, por exemplo que surgem as
situações de racionamento de capital. Este é mais uma dessas imperfeições ou o resultado das demais. Segundo
Hart42, "capital-rationing is an essential trait of the capitalist economy". Diríamos nós que é também uma caracte-·
rística da economia socialista onde o planejamento centralizado se defronta com o mesmo problema de alocar recursos escassos entre alternativas sempre abundantes de utilização.
A primeira dificuldade trazida pelo mercado imperfeito se relaciona com a escolha da função a maximizar;
o valor presente e o valor futuro, que se equivalem no mercado perfeito, perdem essa equivalência financeira em
mercados imperfeitos porque a taxa de capitalizar é diferente da taxa de atualizar. Weingartner não defende qualquer escolha mas adota o valor terminal para dar continuidade ao estudo do modelo já esboçado.
A primeira, e provavelmente a mais severa imperfeição de mercado é a imposição de limites para tomar
emprestado, por .!a~geS já nossas conhecidas. O máximo dessa imperfeição é a total impossibilidade de tomar
empréstimos, por decisão própria da empresa ou por decisão do mercado. Este só excepcionalmente atua dessa
maneira. Na prática, as limitações externas se dão por limites de capacidade de repagamento e de garantias e pela
presumida capacidade de digestão do grupo empresarial. Um modelo que retrata esta limitação pode ser derivado
facilmente do anterior:
42 Hart, A. G. "Antecípatíon",
lo Mathcrnatical, Wcingartoer, p. 159.
-----
193
Maximizar
n
Z
~
â:
"r -
wI
j =1
J
+ vT - wT
X:
J
Sujeito a:
j
n
~
=1
aIJ'
+
X:
J
n
~ a..
j = 1 "lJ
X:
J
(1
-
~
para
Dl
t
=
+ k) vt 1 + vt + (1 + k): wt_I -wt ~ Dt
-
.
para t =2, ...
,T
paraj
,n
=l, ...
para t = 1, ...
,T
para t = 1, ... , T
A única diferença com relação ao modelo anterior é a inclusão de tetos de endividamento, Bt, para cada
período 't'. Outra modificação facilmente introduzível seria a distinção entre as taxas de emprestar e de tomar
. emprestado que afetam, respectivamente, os termos em Vt e Wt.
O impacto da imposição de tetos de endividamento se traduz pelo aumento da taxa efetiva de avaliação
implícita dos projetos, como revela o estudo do dual desse modelo+ê. Sendo bt a variável dual dessa nova família
de restrições, teremos:
b*t -O
quando a restrição Bt não é atingida;
b*t >0
qu~do
a restrição Bt é atingid~.
O projeto aceito precisa ter uj ~ O e este valor no horizonte só será não negativo, se o VPL do projeto 'j'
superar seus custos, avaliados estes por r; que é o custo de oportunídade+l relativa à restrição do período 't'.
T
u·*
~
J
t=1
mas rr está agora influído pelo teto Bt e reflete o custo de oportunidade
(1
+ k) T -
t
+
T
~
t'=t
(1
+ kt
-t
bt~',
para
desses recursos através da equação43:
f
b;,
>
O
. t = 1, ... , T
onde:
t'
=
é um novo índice genérico de tempo que permite criar a variável t' - t
que mensura quantos períodos as restrições Bt' se encontram adiante
do período 't' considerado.
Por outro lado vemos, a partir do estudo do dual, que as taxas de desconto+ê para cada período que vai
de 't' até t + 1 não são iguais e se expressam por:
rt*
* + 1)
r(t
* + 1)
r(t
43 Wcingartner, Mathcrnatical, p. 162.
44
--,
--o
p. 163-7.
4S
--o
--
p.163-7.
•.
=
1
+ k
quando a restrição Bt não é atingida
>
1
+ k
quando a restrição Bt é atingida.
.".-.
194
As informações
ofertadas pelo dual e comentadas
acima permitem concluir que o critério do Valor Prepudessem ser conhecidas antes da solução do
problema. Como não são, o emprego de uma taxa fixa pode conduzir a soluções erradas, sempre que b~' >0. isto é,
sempre que o teto dp, endividamento de pelo menos um dos períodos for atingido. Em outras palavras, o teste
aceita-rejeita para um projeto no contexto, de um problema orçamentário não pode ser feito simplesmente através
do cálculo de seu VPL ou VFL 47 a uma taxa de mercado 'k'. É preciso cobrar desses projetos um prêmio adicional
pelo consumo de recursos nos anos em que o orçamento é todo consumido e creditar-lhe um incentivo, se eles geram
recursos para ajudar o orçamento nesses anos de recursos escass;.s. Substituindo a equação de rj na de uj e reorganizando os termos, temos que o valor de horizonte de um projeto está dado por:
sente46 dos projetos seria válido se as taxas de desconto interperíodo
T
~ (-~J.)(I+k)
t=I
T
-
t
+
T
~ (-a ·)
tJ
t= 1
T
,
~ (1+k)t-t
t'=t
,
Relembrando que atj' por convenção, é positivo quando se trata de uma "saída de caixa" e negativo
quando é uma "entrada de caixa", vemos que a reunião dos dois primeiros termos reflete o VPL tradicional do
projeto calculado no horizonte, à taxa 'k', e que o último termo é o prêmio ou penalidade recebido pelo projeto em
face de seu comportamento com respeito aos orçamentos. O simples fato de o VPL do projeto 'j' ser negativo não
,justifica sua eliminação, que só ocorre quando uj < O, ou melhor, quando
> O, porque o mérito representado pelo
terceiro termo pode suplantar o demérito representado pelos dois primeiros, de tal sorte que uj > O e o projeto deve
ser aceito. Esta conclusão vem legitimar a posição tomada por nós anteríorménté, quando admitimos o ingresso de
projetos gravosos (VPL < O) no pacote ótimo, desde que isto permita, via transferência de recursos inter-períodos, a
.elevação do VPL da estratégia ótima, e vem exemplificar uma situação em que as técnicas do VPL e do VPLU
podem ser enganosas, sempre que algum bt > O. Quando todos os bt = O, a regra do VPL pode produzir soluções
confiáveis e nenhum projeto gravoso comparece no pacote ótimo.
'
rj
Limites rígidos de endividamento, bem como tetos orçamentários inflexíveis, entrelaçam todos os projetos
de um dado problema orçamentário, despindo-os de sua individualidade, e faz com que um mesmo projeto, presente
em duas distintas conjunturas: orçamentárias de uma mesma empresa, tenha diferentes valores ou méritos, mesmo se
for mantida constante a taxa de mercado e se ficarem inalterados ou a constelação de projetos ou o elenco de tetos
de endividamento. A interligação entre as políticas de investimento e financiamento não poderia se revelar mais
nítida.
A influência da política de dividendos sobre as demais pode ser vislumbrada a partir dos dois modelos
acima. Em situação de mercado perfeito e projetos independentes, distribuir mais ou menos dividendos afetará o
volume de recursos internos gerados pelas antigas e novas atividades, mas como estes podem sempre ser adequadamente completados por empréstimos até o montante em que todos os projetos com VPL não negativo são aceitos, o
Valor Presente ou Futuro da empresa48 não será afetado quando calculado à mesma taxa de mercado. Este achado já
nos tinha sido ensinado por Modigliani e Miller. Em situações fora da idealidade já descrita e quando a taxa de
mercado é diferente do custo de capital que atualíza+? âj' as conclusões de MM já não prevalecem.
Para Weingartner a política de investimento é dependente das políticas de financiamento e dividendos, a
deduzir por sua afirmaçã050 "Generally, in situations of less-than-perfect capital markets, the preferred
consumption pattern (indifference map) of the owners - together with the set of investments opportunities
will
determine the optimal investment decision" (o grifo é nosso) ..
4.4.3 -
OUTRAS VERSÕES DO MODELO DE HORIZONTE
Weingllrtner nos oferece ainda
solução ótima quando a taxa de juros
crescente por degraus com os volumes
degraus(i) 'a e~se endividamento. Apesar
mais três variantes de seu modelo de horizonte. O primeiro deles51 busca a
de tomar emprestado, ri, é diferente da de emprestar, r; além disso, ri é
de endividamento da firma, Bit, que representam, por sua vez, restrições por
do interesse que desperta, não o detalharemos.
46 Weingartner, Mathcmat ical, p. 164-6.
47 VFL - Valor Futuro Líquido ou Valor de Horizonte.
48
v« Weingartner,
49 Ver --,
50
Vcr --,
51 Ver --,
--,
Mathematic:tl, p. 168.
p. 144 equação 8.10 e p. 164 equação 9.6.b.
--,
p. 168.
-.-,
p. 169-172.
j~;i
••.•
195
o
segundo> 2 será objeto de nossas atenções porque acrescenta às atividades financeiras de emprestar e
tomar emprestado, com um ano de prazo e a taxas diferentes, empréstimos de longo prazo - a uma taxa mais alta
. que a de curto prazo - que só se amortizam no horizonte "I". O autor considera estes empréstimos de longo prazo
como um sub-rogado de financiamento por "capital" e apresenta o novo modelo como segue:
Maximizar
n
I:
Z =
â.
J
j =1
X:
J
+ vT - wT
Sujeita a:
parat=
1
n
vt'
wt'
.
wt
O
~
para j
=
1, ... , n
para t
=
1, ... , n
onde as diferenças são:
ke = taxa anual de juros dos empréstimos de longo prazo;
wt = volume do empréstimo de longo prazo tomado no ano 't';
ks = taxa anual de juros dos empréstimos de curto prazo, tal
que ke
ks;
>
/
O modelo até aqui não limita nem os volumes de empréstimos de curto prazo nem os de longo prazo, o que
poderia ser feito simplesmente agregando duas famílias de restrições do tipo:
para t = 1, ... , T
e
. para t = 1, ... , T
Em lugar disso Weingartner preferiu incluir uma outra restrição, freqüente nos empréstimos de curto prazo,
tipo "linha de crédito". Para evitar que esses financiamentos tomem o caráter de recursos permanentes, os banqueiros costumam exigir que eles sejam periodicamente liquidados. e assim permaneçam durante algum tempo antes de
sua renovação. Como resultado, o uso da linha de crédito se torna intermitente. No caso em que a linha de crédito
funciona um ano "sim" e outro "não", o conjunto adicional de restrições seria:
Wt
:s:;;;
B
O .:S:;;; W
t
O
:s:;;;
Wt
:s:;;;
Wt
1 mas inteiro (zero ou um)
+ Wt + 1
52 Ver Weingartner, Mathcmatical, p. 172-74.
:s:;;;
para t = 1•...•
para t = 1•...
T
, T
para t = 1, ... , T-l
196
onde:
B = um teto de endividamento de curto praz053 :
se este teto é restritivo e constante para todos os anos 't', 'B' é um
só valor de grandeza compatível com a realidade do problema;
se este teto é restritivo, mas assume grandezas diferentes em cada
ano 't', 'B' é transformado num vetor Bt que traduz essa situação;
se o teto não é restritivo, 'B' é um número bastante grande, capaz
de superar qualquer volume de empréstimos de curto prazo necessários ao problema.
Wt
=
variável artificial que estabelece um teto unitário para a razão empréstimo efetivo/teto do empréstimo.
o funcionamento dessas restrições é simples e engenhoso. Quando w; = 0, não há empréstimo no ano 't' e
W; assume o valor zero, sendo possível empréstimos no ano anterior, t-I, e/ou no ano posterior, t+l . Quando 0< w;
~ B, W; assume sempre o valor unitário e isto impede a tomada de empréstimo nos anos vizinhos a 't'. Nestes anos a
alternativa de financiamento externo ininterrupto está no lançamento de ações que se comporta como um empréstimo não exigível até O horizonte, custando, entretanto, mais caro que os empréstimos de curto prazo.
o novo modelo, que requer Programação Linear mista, retrata uma situação interessante que pode ser
modificada à vontade. Seu grande mérito está na arquitetura do mecanismo que aproxima o fmanciamento por
"capital" do financiamento por empréstimo de longo prazo, exigível apenas no horizonte; a fixação deste, agora,
deve retrat-ar tão realisticamente quanto possível o aprisionamento dessses recursos estáveis por parte da empresa.
o último modelo de Wetngartner-" é mais abrangente que os demais e pretende completar a integração das
decisões de investimento e financiamento, indicando ao mesmo tempo e para todos os anos até o horizonte:
a) o conjunto ótimo de investimentos novos;
b) o esquema ótimo - valores e momentos - de emprestar e tornar emprestado;
c) o esquema ótimo - montantes e instantes - de captar recursos de capital.
Neste modelo, o financiamento por ações é tratado como empréstimos que não reclamam pagamento nem
mesmo no horizonte, a empresa não paga dividendos (mas seria simples acrescentar uma política de dividendos de
montante fixo, ou através de uma função de outra variável como recursos disponíveis, operada por um multiplicador
fixo), os acionistas de hoje que possuem em conjunto SI ações, só desejam emissão de novas ações, se o incremento
acionário não provocar redução no valor de horizonte de suas ações e não estão preocupados com o controle
acionário, com base nas ações hoje possuídas; por fim, os preços das novas ações, Pt- são conhecidos para cada
emissão a ser feita no período 't' futuro.
A função-objetivo do modelo é maximizar o valor da empresa no horizonte, e não em qualquer outro
instante anterior a ele, mas sujeita à restrição de que .0 valor da ação naquele instante seja maior do que o vigorante.
hoje, ou nas palavras de Weingartner: "Thus we shall only seek to find that numbers of shares to be issued and the
date of their issuance which maximizes the per-share value of the firm at the horízon't.> 5
o valor da empresa
no horizonte está dado por:
Z
=
n
~ â:x..:+vT-w1'+Ú
j =1 J J
~-'-~
..••.
:
53 Esta é uma extensão à visão de Wcingartner, concebida pelo autor.
54 Ver Weingartncr. Mathcrnatical, p. 174-7.
55 Ver --,--,
p. 175
.
'.,!
197
onde a única diferença para a função-objetivo do modelo básico de valor de horizonte é a presença de Ú, que
significa o valor no horizonte de todos os fluxos de caixa provenientes do funcionamento da atividade preexistente
além do ponto de horizonte, atualizados à taxa de mercado 'k'. Como este valor é uma constante, pode ser omitido
do modelo sem prejudicar o objetivo de maximização de 'Z', o que nos traz de volta ao modelo básico mencionado.
o problema é resolvido em duas etapas. A primeira é empreendida com o modelo básico de valor de
horizonte, sem qualquer modificação, e oferece o valor ZI que é o valor da empresa no horizonte, sem nenhuma
emissão de ações e com 9 todo financiamento dos novos projetos, repousado na geração de recursos internos e em
financiamentos externos, rotativos, de curto prazo. Esta etapa permite calcular
ZI
.
z1 = SI que é o valor da ação hoje e que servirá de. parâmetro para a mais importante restrição do modelo
de programação paramétrica, usado na segunda etapa, que assim se expressa:
Maximizar:
Sujeito a:
para t =
n
k
at)·
j= I
X:
J
-
(1 + k) vt
_
I + vt + (1 + k) wt
-
I
para t
restrição paramétrica para O
<e ~
=
2, ... , T
00
onde:
St
=
quantidade de ações vendidas no período 't';
Pt = preço de uma ação no período 't' conhecido por ant.ecipação;
Z2 = valor de horizonte da empresa na estratégia de emitir novas ações; notar que
Z2 comparece na função objetivo e na restrição resultante de
T
que traduz o interes-
k
t= I
se dos antigos acionistas, SI' de só admitir novos acionistas
fizer z2 ;;;. zI
e =
o
k St' se isto
t
parâmetro que restringe em cada corrida a quantidade de ações a ser lançada
no futuro e que pode variar de zero a infinito.
modelo .nso inclui a tomada de empréstimos de longo prazo, não impõe tetos para as tomadas de
empréstimos de curto (e longo) prazo(s), não diferencia as taxas de juros e não inclui outras características mencionadas em modelos anteriores, o que poderia fazê-lo sem maiores dificuldades.
198
. O programa é rodado e são anotados os pares .de valores 22, L St resultantes e que permitem calcular os
respectivos z2's.
. t
A estratégia ótima, se existir, é aquela que maximiza a diferença z2 - z 1, e revela, do ponto de vista dos
antigos acionistas, as políticas ótimas de investimento e de financiamento, via empréstimos e ações, explicitando o
"quantum" e a cronologia dos valores envolvidos.
Todas as imperfeições do mundo real acima enunciadas fazem com que, mais e mais, os critérios tradi-, ionais
da TIR e do VPL se tornem inadequados para a escolha de estratégias ótimas de investimento. Os duais, que surgem
com cada nova restrição introduzida, acrescentam elementos novos no processo de avaliação do mérito dos projetos,
os quais s6 serão aceitos se esse mérito passar no novo e complexo teste aceita-rejeita, do qual o VPL é apenas uma
parte.
4.5
RUDIMENTOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA
O problema de Racionamento de Capital envolvendo apenas projetos financeiros, como aplicações em
ações, obrigações e outros valores mobiliários, pode ser resolvido com Programação. Linear fracionária, em face da
alta divisibilidade desses investimentos. Quando surgem propostas mais ou menos indivisíveis, como são comumente
os projetos produtivos, comerciais, industriais, agropecuários, de infra-estrutura econômica e social, ou quando há
variáveis indivisíveis como número de homens, máquinas e veículos, faz-se necessário o uso de Programação Linear
. inteira ou mista. Já mencionamos os perigos do arredondamento de soluções contínuas para a obtenção de soluções
discretas, (a menos que as variáveis tomem valores muito grandes, o que não é o caso em orçamento de capital),
dando nascimento à necessidade de um algoritmo especial para tratar do problema de Lorie e Savage.
Como nos ensinam Hillier e Lieberman56 em 1972 "This restriction is a difficult one to handle mathernatically ... Some progress has been made in recent years ... Unfortunately, these algorithms have been proven to be
rather ineficcient for most problems. .. require a prohíbitíve amount of eletronic computer time even to solve small
problems involving only a few constraints and a few variables. The development of efficient integer programming
algorithms appears to be inherently difficult".
.
Hadley57 considera a programação inteira como uma técnica de programação não linear e por isso a inclui
em seu livro. Ela se desdobra em programação toda inteira e programação mista quando todas ou s6 algumas das
variáveis devem ser inteiras.
.
O problema atraiu a atenção de dezenas de pesquisadores e existem hoje diversos algoritmos para resolvê-lo,
que se encontram centrados em três abordagens distintas58 :
a) o método dos planos de corte;
b) a técnica do "branch and bound";
c) o método da enumeração parcial.
Transcende ao escopo deste trabalho um estudo aprofundado dessas técnicas, razão por que nos ateremos
ao que nos parece essencial, tendo em ~sta o interesse do estudo de Racionamento de Capital.
.
4.5.1 -.A ABORDAGEM DOS PLANOS DE CORTE
o desenvolvimento
do método da criação de novos pl~nos de corte se deve fundamentalmente a Gom9ry59
que concebeu um procedimento para gerar novas restrições que conduzem, através de um número finito de passos, a
uma solução totalmente inteira. Este algoritmo, em resumo, apresenta as seguintes etapas60:
56 HilIierand Licberman,Introduction ,
p. 553-55.
57 Hadley, Nonlinear 2nd dynarnic p.!Egrarnrning,p. 251.
58 Ver GeorgeC. Philippatos, Financiai rnanagcmentthcory and tcchnig~ (Holden Day Inc., 1973), p. 535-6.
59 Ralph E. Gornory, "Outline of an algorithrn for integer solutions to linear programs, Bu11etinof the Arnerican Mathernatical
Socicty 64 (Scptcmbcr 1958):275-8;
"An Algorithrn for integer solutions to linear programs", IBM Mathernatics Rcscarch Project Tcchnical Repor! 1 (Princeton:
Princeton UniversityPress, 1958).
, ,:
I
60 Ver Hillier and Líeberrnan,Infroduction
I
p.556-61,
.,
•••.
:. I.
199
a) Achar uma solução ótima, fracionária, através da Programação Linear ordinária;
b) Escolher no tableau final a linha que apresenta o mais alto "valor fracionário" para o valor da variável
básica; por valor fracionário entendemos a fração men""!rque 1, que sobra de um valor inteiro;
c) Reescrever a restrição expressa nesta linha, decompondo todos os coeficientes das variáveis não básicas e
o lado direito em duas porções que, somadas, lhes sejam equivalentes. Estas porções são:
. um número inteiro, negativo, nulo ou positivo;
. uma fração sempre positiva e menor que 1;
d) Desenvolver os parênteses que contêm essas decomposições e reorganizar a restrição, deixando no lado
esquerdo só os termos das variáveis não básicas, precedidos de coeficientes fracionários, passando para o
lado direito todas as variáveis não básicas com coeficientes inteiros; reorganizar o lado direito, colocando
em primeiro lugar aquela fração não seguida de Xj reunindo dentro de um par de parênteses todos os'
demais monômios;
.
e
e) Abandonar o conteúdo deste par de parênteses e substituir o sinal de ~ por ~ ; nesta altura a inequação
só apresenta termos positivos e fracionários em ambos os lados;
f) Multiplicar por -1, acrescentar uma variável de folga e restabelecer a igualdade; está formada a nova
restrição na qual todos os termos (exceto a variável auxiliar recém-introduzida) são negativos e fracionários, inclusive o do lado direito, o que não a impede de ser utilizada diretamente no método "Dual
Simplex",
o dual símplexv! parte do "não possível", ou "melhor que o ótimo", e se encaminha na direção da
factibilidade e oferece a mesma solução ótima apresentada pelo primal simplex; é muito útil na Programação Linear
inteira com o método dos planos de corte de Gornory, porque nos permite aproveitar o último tableau obtido antes
da entrada de uma nova restrição, sem ter que reiniciar todo o problema. Seu funcionamento é semelhante ao do
primal simplex, exceto pelos critérios de eleição para as variáveis que vão entrar e sair e pelo teste de otimicidade da
solução. Ele só pode ser utilizado quando os coeficientes da função-objetivo já são todos positivos (solução ótima ou
mais que ótima) e quando há pelo menos um lado direito negativo. Esta é exatamente a situação existente quando se
acrescenta uma nova restrição de Gomory ao tableau ótimo recém obtido -.
Concebemos um exemplo bem simples para ilustrar estas idéias básicas. Suponhamos dois projetos indivisíveis, 1 e 2, que apresentam os seguintes Valores Presentes Líquidos e investimentos a um só período, quando a
restrição orçamentária é de $ 24:
VPLl
=
$4
11 =
s 12
Este problema é tão simples que pode ser resolvido por simples inspeção, que indica a escolha total do
projeto 2 e a rejeição total do projeto 1, mas nos será muito útil para revelar como funciona este algoritmo de
Gomory62.
o
Os problemas que surgem em Racionamento de Capital, onde os projetos são indivisíveis, são todos do tipo
fronteira superior com maximização da função-objetivo, o que simplifica muito as coisas: Basta a família de restrições Xj <; 1 e inteiros, para j = 1, ... ,n, para criar um conjunto de oportunidades apoiado na origem do sistema
coordenado, com uma fronteira superior totalmente fechada, quer por retas, planos ou hiperplanos, e que irá ser
oscu1ada pela reta, plano ou hiperplano respresentativo da função-objetivo.
As restrições que representam as estreitezas orçamentárias e de outros tipos, se não seccionam este conjunto
de soluções possíveis, são redundantes e podem ser abandonadas pois não influenciam a solução do problema.
Quando, entretanto, eliminam porções desse conjunto, restringem ainda mais as soluções possíveis.
61 Algoritmo criado por C. E. Lernke, "The Dual method for solving the linear prograrnming problem", Naval Research Log íst ics
QuartC'rly 1 no. 1 (1954): 3647 e descrito por Hillier and Licbcrrnan, Introduction,p. 485-8.
62 Gornory desenvolveu outras abordagens para Programação Inteira.
,uti,>
~r~viJ,;"
,f_
r-
•
200
XI :5 I
(Restrição Original)
2
H
K
B
X2:51
(Restrição Original)
o
.,.,
.,
3
Fúnção-
XI + X2:5 I
(Restrição Gomory)
Objetivo
12XI + 20X2 :524
(Restrição Original)
FIGURA
Visão Gráfica de um Problema de Programação Linear Inteira
BIBLIOTECA. KARL A. BOEDECI{i~~;
4-1
201
Em programação inteira, esse conjunto não é o universo de pontos contínuos, contidos dentro dessa
fronteira que separa o possível do impossível, mas o conjunto dos "lattice points" que, no sistema coordenado em
estudo, representam as soluções inteiras.
Analisando a Figura 4-1, vemos que o conjunto contínuo possível, à luz das restrições de unicidade dos
projetos, é a área delimitada por O A B C que contém 4 pontos representativos de soluções inteiras, nos seus quatro
vértices. Os pontos H, I, J, K e F não poderão ser objeto de nossas preocupações neste problema. Já a restrição
orçamentária EF eliminou a área DBG, mas para nosso problema só perdemos o ponto inteiro B.
Defrontamo-nos,
Maximizar Z
pois, com o seguinte problema:
= 4xI + 5x2
+ 20x2::;;;; 24
Sujeito a 12xI
Xl::;;;;
1
x2::;;;;
1
}
e inteiros
cuja solução está iniciada na Tabela 4-5 que contém a la. etapa do slgoritmo dos planos de corte. O tableau 3 mostra
a solução fracionária inicial que acolhe inteiramente o projeto 1 e aceita 60% do projeto 2, que não é ainda a solução
inteira desejada.
Notar que em programação inteira, se as variáveis auxiliares (de folga e artificiais) são obrigadas a assumir
valores inteiros, (não necessariamente O ou 1) e se os coeficientes das variáveis nas restrições são inteiros, então o
próprio valor da restrição deverá ser inteiro; do contrário, o problema não teria solução possível. O usual é empregar
todas as variáveis e coeficientes, inteiros, restringindo a O ou 1 apenas as variáveis de decisão.
A solução fracionária, isto é, sem considerar que as variáveis de decisão têm. que ser inteiras, apresenta os
seguintes resultados para as variáveis do primal e respectivo dual: .
Z*
*
xl
=
7
=
1
*
3/5
*
O
r*
=
1/4
x2
x3
x4
=
O
uI*
=
1
x5*
=
2/5
u2
*
=
O
Prosseguindo com o algoritmo descrito acima, vamos criar uma nova restrição, derivada das anteriores, que
vai restringir ainda mais o conjunto de soluções sem, contudo, eliminar qualquer solução inteira. A variável x2 é a
que apresenta a maior parte fracionária no último tableau de PL, e por isso será escolhida para gerar a nova restrição:
etapa b):
.
1
x2 +-o
20
x3 -
3
3
5
=
x4
5
etapa c):
1
x2 +-20
•.
x3 +(-1+-)
2
x4
5
3
=
5
etapa d):
1
-20
x3 +
2
5
3
=
x4
5
+ (-x2
+ x~
etapa e):
1
x3 +
20
2
x4
5
~
3
-5
ou
etapa f):
-1
20
x3
2
5
x4 + x6
=
3
5
202
TABELA 4-5
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO FRACIONÁRIA TRADICIONAL
Tableau
Z
Xl
x2
x3
X4
x5
1.D_ (1)
Z
1
-4
-5
O
O
O
O
x3
O
12
20
1
O
O
24
x2
X4
O
1
O
O·
1
O
1
sai
x5
O
O
1
O
O
1
1
x3
Z
1
O
4"
O
O
6
entra
x2
O
T
1
1
20
O
O
5
6
Xl
X4
O
1
O
O
1
O
1
sai
X5
O
O
1
-20
O
1
-T
1
x4
Z
1
O
O
4"
.
1
O
7
x2
O
O
1
1
20
-T
O
5
Xl
O
1
O
O
1
O
1
x5
O
O
O
1
5"
BASE
No.
1
2
-1
3
3
-5
3
FONTE:
NOTA:
1
1
3
1
3
T
-20
Movim.
entra
3
2
Cálculos do autor.
= Lado Direito da equação.
(1) L. D.
Esta restrição pode ser usada diretamente, no dual simplex sem maiores preocupações. Para uso no primal
simplex necessita-se de acrescentar uma variável artificial x7 com sinal negativo e depois multiplicar-se ambos os
membros por -1. Além disso, essa variável artificial deverá comparecer na função-objetivo com o coeficiente 'M',
como ensina '0 método do "Big M".
'
Outra alternativa para o primal simplex é expressar a nova restrição em termos de suas variáveis de decisão
originais. Substituindo na nova inequação
vem:
20
[ 24 - 12xI - 20x2]
+
2
3
5
5
o que nos fornece
cujo uso no primal simplex não causa o menor embaraço. Esta restrição está marcada na Figura 4-1 pela linha
pontilhada CA e traduz o primeiro e único plano de corte de Gomory para este problema. Como se vê, esta restrição
adicional elimina a área ADGC do conjunto de soluções fracionárias possíveis, inclusive o vértice D onde se
posicionou a solução fracionária ótima anterior, sem eliminar qualquer das soluções inteiras, C e A, pertencentes ao,
conjunto original de soluções possíveis.
O problema modificado pela nova restrição será resolvido, a seguir, pelo primal simplex, partindo-se
novamente das equações originais, como se vê na Tabela 4-6.
'.:;. __
203
TABELA 4-6
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO INTEIRA ÓTIMA COM O PRIMAL SIMPLEX
Tableau
No.
-
4
5
.
xl
Z
BASE
x2
x3
x4
x5
x6
LD.
5
O
O
O
O
O
O
O
24
O
1
O
I
1
1
5
5
20
4
O
1
1
O
1
1
Z
1
x3
O
12
20
1
O
x4
O
1
O
O
1
x5
O
O
1
O
O
1
x6
O
1
1
O
O
O
Z
1
1
O
O
O
x3
O
-8
O
1
O
O
x4
O
1
O
O
1
O
x5
O
O
O
O
1
x2
O
1
O
O
O
-
4
-1
1
-
I
I
O
I
I
!
i
O
.
-
-
Movim.
entra
x2
sai
x6
FONTE: Cálculos do autor.
Com uma só iteração, atingimos a solução inteira ótima, cujos resultados são para o primal e respectivo
dual:
z*
xl*
=
5
=
O
x2*
=
1
x3*
=
4
r*
=
O
x4*
=
1
uI*
=
O
x5*
=
O
u2*
=
O
=
5
x6*
O
A
u3
(dual da nova restrição)
Esta segunda fase da solução pode ser também empreendida com o uso do dual simplex, como faremos na'
Tabela 4-7, a partir do tableau No. 3, acrescentando-se a nova restrição, obtida linhas atrás, na forma da equação
expressa com as variáveis auxiliares.
204
TABELA 4-7
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO INTEIRA OTIMA COM O DUAL SIMPLEX
Tableau
No.
BASE
6
7
..
8
x4
x5
x6
L.D.
Movim.
1
O
O
7
entra
-5
3
O
O
5
3
x4
O
1
O
O
1
sai
1
3
5
1
O
2
x6
Z
xl
x2
x3
Z
1
O
O
4"
x2
O
O
1
I
20-
xl
O
1
O
x5
O
O
O
- 20
x6
O
O
O
z
1
O
O
x2
O
O
1
8.
xl
O
1
O
1
-8'
Xs
O
O
O
-g
1
-
-
.
5
3
1
20
-5
2
O
1
1
O
O
2
2:
O
O
-2
3
3
2
O
O
5
1
O
1
8
1
1
1
x4
O
O
O
g
z
1
O
O
O
x2
O
o
1
O
Xl
O.
1
O
O
x3
O
O
O
x4
O
O
O
I
I
I
I
I
5
2
3
2
-5
11
-2
1
-2
5
3
I
O
-2
O
1
4
5
1
O
1
1
O
.0
O
-1
1
O
- 8
O
1
. 1·
entra
x3
sai
x5
2
-12
4
::- 1
1
FONTE : Cálculos do autor.
o
'Necessitamos de duas iterações para conseguir o tableau No. 8, que é ótimo e. que apresenta os mesmos
resultados para as variáveis do primal, mas com algumas diferenças para os resultados das variáveis do dual .
•
Xl'"
=
=
O
x2'"
=
1
x3'"
=
=
=
4
Z.'"
x4'"
Xs'"
x6'"
5
O
O
r '"
=
O
UI'"
=
O
u2'"
=
1
u3
=
4
...*
~'.(dual da nova restrição)
I. -.
't <....
...
205
Este singelo exemplo nos revela alguns pontos importantes sobre Programação Linear inteira. Em primeiro
lugar, encontramos as duas armadilhas do arredondamento de soluções fracionárias. Caso arredondemos x2 de 0,6
para 1,0, a solução fica impossível, e se eliminarmos x2' fazendo-o zero, a solução fica errada, já que os tableaus
Nos. 5 e 8 nos indicam a sua aceitação total.
Em segundo lugar, verificamos que nem sempre o dual simplex atinge o ótimo mais rapidamente que o
primal simplex, embora essa anomalia só aconteça em problemas simples, como o que foi mostrado. Quanto mais
vértices representativos de soluções ótimas apresentar o problerr a, mais probabilidade existe de o dual simplex se
desincumbir melhor.
Vemos ainda que a técnica dos planos de corte é recursiva, testando a natureza inteira da solução ótima
encontrada, e gerando novas restrições que obrigam essa solução a ser inteira. Cada nova restrição torna uma outra
redundante. Este procedimento pode requerer um .grande volume de computação, pois cada iteração é um problema
de PL por si mesmo e com uma estrutura cada vez mais complicada. Ma063 nos dá notícia de um problema com
apenas 10 variáveis e 3 restrições que, após 5.000 iterações, não havia ainda convergido para uma solução inteira,
embora Gomory tenha provado que esta convergência sempre acontece com um número finito de novos planos de
corte64•
Por último, vemos que só um tipo de Programação Linear que assegure variáveis de decisão inteiras pode
. fazer funcionar perfeitamente os artifícios antes enunciados para tratar a dependência entre projetos. Pode ser uma
programação inteira ou mista.
4.5.2 -
OS DUAIS DA PROGRAMAÇÃO LINEAR IN;TEIRA
A interpretação dos duais de uma programação inteira não é fácil e foi estudada por vários autores65. As
novas restrições alteram o problema original e não só geram novas variáveis duais, como influem sobre o valor dos
duais correspondentes às restrições originais. Ademais, as novas restrições não transportam um significado que se
acople facilmente ao sentido do problema na sua feição inicial. Elas são, em termos gerais, a tradução dos requerimentos da indivisibilidade dos projetos e seus duais seriam, numa primeira aproximação, o custo de oportunidade
dessa indivisibilidade.
Para analisar este ângulo da questão, Gomory e Baumal desenvolveram um algoritmo que pretende distribuir
o valor dos duais das restrições de corte entre os duais das restrições das quais foram geradas, chegando-se, por
conseqüência, às restrições originais do problema, asúnicas que ao final do processo apresentam valores duais para a
interpretação econômica, o que não é sempre fácil ou possível. Por outro lado, Weingartner66 concluiu que estes
duais, recomputados não expressam necessariamente o custo de oportunidade para uma variação discreta nas restrições.
Os' recursos com duais recomputados nulos seriam bens econômicos livres, no verdadeiro sentido econõmico, segundo entendimento de Gomory e Baumal, mas nem todos os bens econômicos livres teriam duais recomputados nulos.
Vários problemas foram identificados no método descrito como, por exemplo:
a) o valor dos duais recomputados
planos de cortes 7 ;
depende da trajetória da programação inteira, ou seja, da escolha dos
b) os valores de u;, duais que retratam os "valores" dos projetos, que tinham sido em PLpositivos para os
projetos aceitos e negativos para os rejeitados, agora podem surgir positivos ou negativos tanto para os
aceitos como para os elimínadosv? i
c) os duais recomputados nem sempre satisfazem o teorema da dualidade, que afirma ser Z(x)
quando calculados com os valores do primal e do dual6 7 • '
.
= Z{y)
63 Ver Mao, Quant itative, p. 2.55-6.
64
Ver --,
--,
p. 246.
65 Os trabalhos mais importantes se devem a Ralph E. Gornory and William J. Baumal, "Intcgcr programming and pricing", Econometrica 28, no. 3 (July 1960):521-50 e Wcingartncr, Mathematical, p. 100-7.
66 Weingartncr, Mathematical, p. 72,73.
67 --,
-••p. 77, 102,7 3 .
206
Pelas razões acima, Weingartner propõe um esquema alternativ068 para recomputar os duais, onde os
projetos aceitos são os de valor positivo ou de valor negativo subsidiado e os rejeitados, os que apresentam valor
negativo. Esses resultados independem do caminho seguido na otimização inteira. Os "duais alternados", como
nomeou seu autor, são mais fáceis de interpretar, gozam da propriedade da unicidade dos duais da programação
linear convencional e obedecem ao teorema da dualidade.
A forma de tra!ar as decisões de investimento contida na programação matemática parece conter um golpe
fatal para a descentralização dessas decisões, já que o panorama r visto por inteiro e estudado pela autoridade central
do processo orçamentário. Quando os investimentos são divisíveis e sem economics de escala, é possível descentralizar69, desde que se possa estimar os avaliadores duais ótimos, r;para os orçamentos da empresa em cada período, e
.que servirão de guia para os planejadores descentralizados, a fim de que descubram se seus projetos têm ou não valor
positivo no contexto do planejamento centralizado. Quando os projetos são necessariamente inteiros 70, a descentralização se torna menos indicada em face das dificuldades inerentes ao cálculo dos duais necessários à avaliação, como
acima se mencionou. Mesmo que os r; pudessem ser estimados, eles serviriam apenas para um primeiro teste
aceita-rejeita, mas não para decidir que projetos normalmente rejeitáveis deveriam ser aceitos sob condição de
subsídio, ou que projetos aparentemente aceitáveis deveriam ser penalizados, o que poderia significar sua rejeição.
Este trabalho final caberia ao planejamento centralizado.
4.5.3 -
UMA BREVE NOT(CIA SOBRE A TÉCNICA DO "BRANCH AND BOUND"
O segundo método para a obtenção de soluções inteiras, chamado de "branch and bound", é uma técnica de
, Programação Linear, acoplada a um análise combinatória, que se teI!1 revelado muito mais eficiente que a dos planos
de corte e é muito adaptada à programação mista onde os valores inteiros não têm que ater-se, necessariamente, aos
valores O ou 1.
Suponhamos que temos 20 variáveis de decisão inteiras do 'tipo O, 1, ... , 10. O número de soluções
inteiras possíveis é de 1020, ou mais de 10 trilhões de combinações possíveis. Com problemas ainda maiores, este
número se torna astronômico, e mesmo para os computadores modernos que executam 1.000.000 de operações
elementares por segundo, uma análise exaustiva seria impossível. A alternativa é analisar apenas aquelas soluções
promissoras e abandonar as que se possam antecipar como dominadas.
A técnica de "branch and bound" pode ser usada em problemas de maximização, mas é freqüentemente
descrita corno um procedimento para minimizar a função-objetivo 71, sendo o valor desta,_limitado entre uma
fronteira superior e uma fronteira inferior até que, ao atingir-se o ótimo, as duas fronteiras se encontram. O primeiro
passo seria congregar todas as soluções possíveis no nó básico da árvore de decisão que vai ser construída e
determinar as duas fronteiras, separadas o bastante para que todas as soluções se contenham entre elas. Em seguida se
força a aceitação de um dos 'n' projetos, um por vez, fazendo com que desse nó básico nasçam 'n' galhos qu~
decompõem o conjunto original em subconjuntos que serão analisados à luz de novas fronteiras inferiores e superiores, criadas pelo próprio problema, e pela fixação do valor de uma nova variável.
De cada conjunto de galhos só o melhor se constituirá num novo nó de análise, sendo todos os demais
eliminados sumariamente. O processo de esgalhar um conjunto de soluções possíveis em novos subconjuntos prossegue até que se esgotem todas as etapas desse procedimento ótimo, o que se faz com um mínimo de trabalho de
computação, vez que a maior parte das estratégias foram abandonadas ao longo do estudo. O caminho entre o nó
básico e a extremidade final da árvore, que representa a solução ótima, fica elucidado sem ter que explicitar o resto
da rede que conduz às outras soluções subótimas.
Philippatos 72, por sua vez, menciona que as fronteiras superiores e inferiores, que forçam a convergência do
problema para o ótimo, são aplicadas sobre as variáveis de decisão e não sobre a função-objetivo, como mencionam
Hillier e Lieberman.
68 Weingartner, Mathematical,p.
69 --,
70
--,
--,
p. 55.
--,
p. 107,112.
100-7.
71 Ver Hillier and Licberman, Introduction,
72 Philippatos, Financiai, p. 535.
p. 565-71.
• • t '. ~ .
207
Em termos práticos, para o racionamento de capital, o que importa é que seus resultados são referidos, pela
bibliografia consultada, como superiores aos do método dos planos de corte, no que tange à rapidez com que a
solução ótima é alcançada.
Uma visão de um "branch and bound" simplificado, para racionamento de capital, prescinde da programação matemática, trabalhando só com a análise combinatória e com 'm' fronteiras superiores, relativas aos orçamentos de cada ano.
Caso as restrições sejam muito apertadas face às oportunidades, construiríamos uma árvore de decisão cujo
nó inicial representaria o "pacote vazio" e a ausência total de projetos, o que,naturalmente
não supera nenhum
orçamento. A primeiro nível de esgalhamento teria 'n' galhos de ordenação genérica 'j', correspondentes aos 'n'
projetos presentes no problema, e que representariam a inclusão do primeiro projeto no pacote vazio. Cada uma
dessas 'n' pontas seriam testadas frente às 'm' fronteiras, sendo eliminadas de análise posterior aquelas que superassem pelo menos um dos orçamentos. As que passassem no teste se converteriam em novos nós de onde nasceriam
galhos em número igual a n-j e que significariam a inclusão do segundo projeto no pacote.
o
teste de fronteira e os esgalhamentos prosseguiriam até que fossem atingidos 'n' níveis de "branching"
quando teríamos todas as pontas possíveis a partir das 'n' estratégias iniciais, e todas elas apresentariam investi, mentos que se conteriam nos tetos orçamentários previstos. Neste ponto o melhor curso de ação seria obtido por
comparação entre os valores de uma ou mais funções-objetivo seqüenciais, impostas para presidir à escolha.
Em situação de orçamentos mais frouxos, que permitem a adoção de uma maior porção das oportunidades,
seria preferível resolver o problema complementar, isto é, colocaríamos no nó inicial todos os projetos, o que,
evidentemente, ultrapassaria pelo menos um dos tetos orçamentáriÓs. Desse nó surgiriam 'n' galhos que representariam as 'n' estratégias iniciais de retirar projetos do "pacote total". Suas pontas seriam testadas com relação às
fronteiras orçamentárias. As que não superassem qualquer dos orçamentos seriam transformadas em pontas terminais; em caso contrário, seriam transformadas em novos nós de esgalhamento para prosseguirmos com o processo de
retirada de projetos do pacote total, seguindo a mesma heurística já mencionada. Teríamos, ao final, todas as pontas
terminais que representam as soluções possíveis para o problema, dentre as quais se encontra o pacote ótimo, que
será escolhido por comparação, segundo a(s) função(ões)-objetivo predeteiminada(s). A amplitude da árvore do
problema complementar seria menor que a do problema original, representando menor esforço computacional.
Esta simplificação do "branch and bound" não produz, entretanto,
que a versão anterior.
4.5.4 -
a mesma economia de processamento
UM MÉTODO DE ENUMERAÇÃO PARCIAL
O terceiro procedimento clássico para a solução de problemas que requerem soluções inteiras se denomina
de "enumeração parcial" e um de seus algoritmos foi desenvolvido por Lawler e BeU73 cujo resumo está apresentado
no texto do Mao 74.
'
Segundo Philippatos, este método é uma extensão da técnica do "branch and bound" que se expressa como
um problema de Programação Linear,estando voltado exclusivamente para problemas em que todas as soluções estão
presas à dicotomia O ou 1.
73 E. L. Lawer and M. D. BeU, "Method for solving discrete optimizatlon
1098-1112.
74 Mao, Qu:\ntitative, p. 248-57.
'problerns", Qpcration
research 14 (Nov./Dec. 1966):
208
A estrutura básica do problema em notação matricial é:
Minimizarfo(X)
Sujeito a
f11 (X)
-
f12 (X)
O
~
x.i = O ou I para j = 1, ... , n
onde:
x
= (xI"'"
n
=
m
x.i' ...
xn);
número de projetos;
número de períodos de restrição orçamentária;
fo e f 11 . .. fm2
=
funções monotonicamente não decrescentes
com respeito a cada um dos X;, o que equivale a dizer que todos os c~efÍcientes de x.i
são nulos ou positivos.
Embora esta estrutura não coincida, à primeira vista, com a do problema de orçamento de capital, pode ser
facilmente convertida para se ajustar a ela. A função objetivo deste é multiplicada por -1, o que a converte de
maximização em minimização, mas isto cria coeficientes negativos para Xj' deixando X de ser uma função monotonicamente não decrescente de cada Xj' Para remediar isto pratica-se uma mudança de variável do tipo -"j = 1-xj, o
que transforma nossa função-objetivo original do tipo
Maximizar
Z(x)
n.
~
j=l
=
bj x.i
para a forma:
Minimizar
Z(x')
=
n
~
j=l
b· x'·
J
J
-
n
~
j=l
bj
Mudanças semelhantes têm que ser feitas nas restrições originais, transformando-as
n
~
j=l
em
x'· J
n
~
j=l
O.x'J' + Ct
do tipo.
n
~
j=l
ctj' ~
O
o vetor X pode ser representado simbolicamente por um número binário, já que cada x j só pode ser O ou
. 1. Calculado a partir do número binário assim formado, o vetor X tem um valor decimal que lhe confere uma ordem
numérica para a solução que representa.
Suponhamo). um pacote com 4 projetos, D, C, B e A. O conjunto de todas as combinações possíveis seria:
209
[
Vazio
OOOOJ
. (O)
r-- [
A
0001
(1)
~r
BA
J
[
0011J
(3)
\
\
.
CA·
[0101
(5)
B
[
(2)
J
[O~~~
\
c
[
0100 ]
(4)
D
.
[1000
]
(8)
DCBA
0111
]
(7)
[1111
(15)
,
J
D BA
[
1011 ]
(11)
DC
A
1101 ]
(13)
D A
1001 ]
(9)
[
0010
J --.[
CBA
',:.
CB
] _[
DCB
J
1110
(14) .
DB
[
-_r
1010 ]
(10)
DC
1100 ]
(12)
Entre colchetes está o número binário que representa um pacote e seus dígitos revelam a presença ou
ausência do projeto respectivo. Entre parênteses está o número decimal que lhe corresponde e que dá a ordem
numérica da combinação cujo valor se obtém por:
•
n
n (X) = ~
2n-j x. .
.
j=1
J
Esta "ordenação total" principia pelo primeiro nó superior e depois progride, na árvore mostrada, para os
nós inferiores e para os nós mais à direita, ordenando assim todos os cursos de ação, mas sem percorrer de forma
seqüencial cada esgalhamento que corresponde a uma estratégia inicial de colocar o primeiro projeto no pacote. Na
"ordenação total" o vetor X é anterior ao vetor Y, se n(X) < n(Y). Esta condição se verifica com pacotes no mesmo
galho ou em galhos diferentes, mas não assegura que os pacotes sejann "comparéveis't.,
.;!H
' .•.
"J
_
Lawler e Bell criaram ainda uma "ordenação parcial" capaz de identificar se dois projetos são comparáveis;
nessa nova ordenação o vetor X é anterior ao vetor Y se Xj < y' para j :::1, ... , n. Esta é a condição para que dois
pacotes sejam comparáveis: ordenar-se de forma crescente pela Jordenação parcial". Além do mais, dois pacotes que
se ordenam de forma crescente pela "ordenação parcial" sempre o fazem pela "ordenação total". Ao contrário, dois
pacotes que se ordenam de forma crescente pela ordenação total, nem sempre são comparáveis; quando se ordenam
também pela ordenação parcial, são comparáveis, caso contrário, não são.
Para que dois pacotes sejam comparáveis não é obrigatório que se encontrem no mesmo galho. Se eles .orem
pontas terminais, ou se, nascidos de um mesmo nó, se distanciarem igualmente de suas pontas, também serão
comparáveis. Dois pacotes há que são comparáveis com todos os demais: o que tem todos os projetos e o que não
tem nenhum projeto.
Voltemos ao nosso exemplo para verifícar, entre outras coisas, que:
a) o pacote (1) é comparável com o pacote (3) porque (1) < (3) e O = O, O ::: 0,0 < 1, 1 ::: 1; estão no
mesmo galho;
b), o pacote (3) não é comparável com o pacote (5) apesrr de (3) < (5) porque O::: O, 0< 1, mas 1> O e 1
= 1; não estão no mesmo galho;
c) o pacote (11) é comparável com o pacote (15), apesar de não estarem no mesmo galho, porque (11) <
(15) e 1::: 1, 0<1,1:::
1, 1::: 1; são pontas terminais;
d) o pacote (5) é comparável com o pacote (7), embora estejam em galhos diferentes e não sejam pontas
terminais; são pacotes nascidos de um mesmo nó, (1), e igualmente distantes de suas pontas, (13) e (15),
respectivamente.
o
que se busca não é portanto saber se os pacotes estão ou não no mesmo galho, mas se são comparáveis. É
verdade que pacotes de um mesmo galho são sempre comparáveis, mas essa comparabilidade também existe entre
pacotes de galhos distintos, em situações especiais.
A importância da comparabilidade é crucial para a análise porque se n(X) < n(Y) (ordenação total) para
projetos comparáveis, então fQ(X) < fo(Y)' uma vez que fo é uma função monotonicamente não decrescente para
cada membro desse vetor.
Os vetores, que pela "ordenação total", vêm depois de um dado vetor X, quando visto pela "ordenação
parcial", ou são posteriores a X (vetor comparável) ou não são comparáveis. No nosso exemplo, se elegermos o
pacote (2) como ponto de partida, veremos que (3) lhe é comparável, mas (4) já não o é. Escolhendo o vetor (5),
observamos que o imediatamente seguinte, (6), não lhe é comparável. Lawler e Bell desenvolveram três regras para
calcular o número, relativo à "ordenação total", do primeiro vetor posterior a X que não lhe é comparável.
.Chamando a esse vetor de X*, podemos encontrá-lo, partindo de um vetor X qualquer, em três etapas, o que
ilustraremos, simultaneamente, com os dois exemplos dados acima:
a)
calcular X-I
i) para n(X) ::: 2
ii) para n(X) ::: 5
X.,.. 1
0010-1
0001
X - I = 0101 - 1 ::: 0100
X-I
* fazendo com que (x '".;...I)j seja zero se
forem ambos nulos; do contrário, fazer
h
J
.
(x - I)j ::: 1:
b) determinar
x, e (x - I)
•
i) comparando 0010 formado por ~'s
.
com
' 0001 formado por ~x - 1)/s
vem
0011 para
X-I
porque os dois primeiros pares verticais são nulos e os dois
últimos não são.
ii) comparando 0101 formado por "j's
com
vem
0100 formad*o por (x - l)j'S,
, 0101 para X-I
porque o lo. e o 30. pares verticais são nulos e o 20. e o 40.
não são.
211
c)
*
encontrar X *, adicionando 1 a X-I
i) X* = 0011
ii)
X* =
+ 1 = 0100
0101 t 1 = 0110
n(Xj
= 4
n(X *)
= 6
Encontramos os mesmos resultados já conhecidos pela ir speção anterior da árvore.
o
conceito de comparabilidade, os limites de trechos de enumeração total onde essa comparabilidade
crescente da função-objetivo, nesses trechos, vai-nos permitir afirmar que no trecho X a
X* - 1, o vetor X é o que minimiza a função-objetivo e o vetor X* -I é o que maximiza essa função.
ocorre e a monotonicidade
o
procedimento começa pelo "vetor vazio" e prossegue saltando trechos da enumeração total até o vetor
que representa a presença de todos os projetos. Estes saltos permitem analisar apenas parte do conjunto de combinações possíveis sem correr o risco de deixar de encontrar o mínimo ótimo, e estão disciplinados por três regras.
Generalizando, chamemos de
vetor que está sendo analisado:
x o vetor
que acabou de ser analisado cujo valor fo
a) Se fo(~ ~ fo(X), salte para X* porque X não é melhor que
X* - 1 que se desempenhe melhor que X;
oo está anotado,
x e não há nenhum
eXo
vetor no trecho X até
b) Se Fo(~) ;;;;.fo(X) e X respeita as restrições do problema, coloque X como base de comparação e salte
para X* porque X dominou ~ e não há no intervalo X a ·X* - 1, nenhum vetor melhor que X;
c) Se fo (~;;;;. fo (X) e X não respe~ta as restrições do problem~, calcule:
- f k1 (X* - 1) - fk2 (X) para k = 1, ...
, m
i) se, pelo menos, um desses resultados for negativo, salte para X", porque todos os vetores entre X e
X* - 1 não respeitam, pelo menos, uma das restrições;
íí) se todos os resultados forem positivos, analise o vetor imediatamente
a seguir, porque pode existir
um ou mais vetores no intervalo X a X* - 1, que respeitem as restrições; o salto não possível.
o algoritmo de Lawler e Bell tem-se mostrado prodigiosamente rápido na obtenção de soluções ótimas.
Problemas com 15 projetos e 15 restrições têm sido resolvidos em poucos segundos. Problemas que necessitam de
centenas de planos de corte de Gomory são resolvidos em menos de 1 minuto.
Este procedimento não utiliza o método simplex. Sua estrutura de Programação Linear serve apenas para
orientar a lógica do programa que calcula o valor mínimo da função-objetivo e oferece os valores de Xj para a solução
ótima.
4.6 -. _OUTRAS OBSERVAÇÕES
A Propamação Linear inteira é um poderoso e adequado instrumento de análise para o problema do
racionamento, mas não é de fácil estruturação 75 através de qualquer das diferentes técnicas já mencionadas e que
forçam o atingimento de soluções inteiras. Ao tempo da revisão do trabalho de Weingartner, em 1967, podíamos
ler76 "Recent advances in integer programming suggest formal solutíons to problems of fixed financing charges
although practical applications ofthese methods are not yet at hand".
75 Ver Wcston and Brigham, Managcrial, nota 13, p. 176 e item 4, p. 177.
76 Wcingartncr, ~athcII41tical. p. 38, 194.
..:".:~=;
,.
212
Hoje já dispomos de "programas-produto",
criados por empresas especialistas, que são algoritmos gerais de
programação inteira, como é o caso do MPSX-MIP da IBM, em cujo catálogo podemos ler77: "During a run, MJP
computes (and prints) integer solutions in such a way that the values given to the objective function by successive
integer solutions become cIoser and cIoser to the optimum. (J,n integer solution is a solution that satisfies the
constraints and in which the integer variables have integer values). An optímal integer solution eventuaily is
produced. The technique used is a "branch and bound" method. For certain problems a long run may be necessary
to produce an optimal solution. In general demonstration of the optmality of an integer solution requires additional
computation after its discovery ... The first step of the MIP process is to solve the given problem ignoring the
integer constraints ... a second steps takes place in whích every integer variabIe is forced to take an integer
value. .. Successi'fe trials are made at assigning integer values to the integer variables in order to find better integ~
solutions ... arguments exist which allow the user to stop the search ... when the execution time exceeds a
specified time or when a specified number of integer solutions have been found ... the user may decides to continue
in order to find a better solution ... MIP can be used to solve problems in which alI of variables are integers.
However MIP is not intended to be used primarily for solving "pure combinatorial" problems ... Program logic
provides for a maximum of 4,095 integer variables. However, a realistic limit is ve!)' much smaller and is dependent
on the problem type and structure. .. The computation time of MIP is dependent upon the complexity of the
model and the constraints linking the integer variables together in adition to the number of integer variables. .. It is
certain that for some problems the search for an optimal integer solution and the proof of it's optimality are ~o time
consuming that they are too expensive for the user". (Os grifos são nossos).
Mas a programação linear inteira não é a única ferramenta capaz de resolver o problema do racionamento.
Há ainda a "programação dinâmica" que é estudada, entre outros, por Weingartner e Ness e cuja lógica básica do programa pode assim ser resumida 78: "In simplest term a project is considered alone and in combinations with other
P!9jects. In either case it must lead to a feasible solution, i. e., one that satisfies the original constraints ... By
rnaintaining the list of strategies (or combinations as they have been defined before) in increasing order of payoff19 ,
the new project is tentatively inserted into the list in its appropriate place. It is then compared with all preceding
items - síngle projects or combinations of projects - to see whether one or more strategies are dominated by the
new one, and next comparing it with iterns following it to see whether it, itself, is dorninated. Dominance here
means that either the payoff of one is bigger than the other and the outlays in each budget are the same or less.ior
the payoff is the same but the outlays are less in at least one budget. Ifundominated the new item is added to the
list in its appropriate place. Then ... the dominance tests are repeated". (Os grifos são nossos).
Esta abordagem é uma versão sofisticada da análise combinatória pura e, como esta, se limita à análise de
problemas com um reduzido número de projetos. Os autores mencionam experiências com 28 e 105 projetos com
investimentos a dois períodos, com diferentes critérios de estruturar alista e com diferentes heurísticas de solução,
encontrando tempos que vão de poucos segundos até pouco menos de 1000 segundos, na dependência de proposições sub ótimas já estudadas por outros métodos.
Para concluir, diríamos que a Programação Matemática é a mais poderosa ferramenta para a solução de
problemas decisórios na área do Orçamento de Capital. Lembramos, no entanto, a assertiva de Phílíppatosêv "It is
important to note that none of the above algorithms is sufficient to handle all of the various types of problems that
are found in thís category of programming techniques, and that a good deal of art is involved in the selection of the
most efficient algorithm for a particular problem".
4.7 -
"SOFTWARES" PARA PROGRAMAÇÃO LINEAR
A Programação Linear fracionária está hoje muito difundida e existem muitos programas para resolvê-la. O_
Centro de Processamento de Dados da EAESP possui alguns desses programas. O mais simples é o LINPRO e está
programado em BASIC para "time sharing". É um programa original da Hewlett Packard que pode trabalhar com
•
77 International Business Machines Corporation, Introduction to mathematical p!QgI:ammiplLsystem - exténdcd (MPS2Q, Mixed
intrg2!..programming (/li! P) and Generalized up~r boundi~ (GUB), 4th. ed, (New York, 1973), p. 11, 12, 13, 27,30.
78
H: -Martin WeinS~t~cr
e David N. Ness, "Mct hods for the solution of the mult idimcnsio nal 0/1 knapsak problern", Operations
Rcsearch 15, no. 1 (Jan./fcv. 1967) In Mathematical, Weingnrtncr, p. 255.
79payoff
=b
i = Valor Presente Líquido da estratégia.
80 Ver Philippatos, Financial, p. 543.
.
..• ;.
213
uma matriz de 30 linhas por 50 colunas. A precisão dos dados é de 6 dígitos e sua magnitude de 10±3 8. É um _
programa com 195 comandos cuja utilização é simples e está descrita no material didático CPD-06 LINPRO
A604-36068B. Este mesmo programa está convertido em FORTRAN IV para uso no computador 1130 e está
manualizado nas instruções CPD-11 O.
Programas mais poderosos estão hoje disponíveis como o LP - MOSS/I130
System/360, (LPS/360), ambos da International Business Machines Corporation - IBM.
e o Linear Programming
o LPS/360 é um programa bem sofisticado, escrito em FORTRAN IV, níveis E e F, requer 50 K de
memória e é capaz de resolver um problema com até 1.500 linhas, na versão 64 k. Utiliza o "método simplex
revisado" e inclui programação paramétrica discreta para todos os dados do problema e análise de pós-otírnícidade
para uma variável qualquer, vista isoladamente.
Os tempos de CPU de um problema de PL não podem ser previstos com precisão, mas uma idéia geral pode
ser encontrada no manual desse programaê l para problemas, começando com a solução inicial. Um problema com
100 linhas por 150 colunas demandaria de 0,3 a 2,0 horas, enquanto um problema de 1.500 linhas por 2.000 colunas
ficaria na faixa de 40,0 a 75,0 horas, num sistema iBM 360.
Programas mais poderosos ainda são o Mathematical Programming System/360 (MPS-360) e o Mathematical
Programming System-Extended (MPSX) também da IBM. Este último é, no momento, o mais sofisticado "software"
de programação matemática dessa companhia. A memória requerida pelo programa é de 40 K, e o tamanho do
problema depende da memória disponível para os seus dados. Com 500 K para essa finalidade ele pode resolver
. problemas de até 5.000 linhas.
o MPSX se acopla com Mixed Integer Programming - MIP para resolver problemas em que algumas ou
todas as variáveis devem ser inteiras. Este programa-produto se encontra disponível, no Brasil, nos "bureaux" de
serviço da IBM, no Rio de Janeiro e em São Paulo e tem sido muito pouco utilizado.
Muitas outras companhias existem, produtoras ou não de "hardware", que dispõem de "softwares" para
processamento de Programação Linear. Nossas referências a HP e a IBM se devem unicamente aos nossos contactos
com os programas dessas empresas.
81 IBM, LPS/360 A plicatíon description, GH20'()S13-1 (White Plains, Teclrnieal'Pubficatíons Dcpartment, 1970).
~/'
5 - CONCLUSÕES
Esta exposição foi longa, mas nossas conclusões serão breves e procurarão pinçar os pontos mais importantes mencionados neste trabalho. Revelam elas o atual desenvolvimento da Administração Financeira nos tópicos r.-aís
relacionados com o problema do Racionamento de Capital e a necessidade de muitos e difíceis progressos futuros
para que o clássico problema de Lorie e Savage venha a receber uma solução-plenamente confiável.
Chegamos à conclusão de que:
a) cabe à comunidade, através de ordenamentos jurídicos, impor à empresa seus interesses, decidindo sobre
a amplitude e natureza da ação empresarial e sobre a eficiência privada e social dos vários recursos com
que conta para promover o bem-estar de seus membros;
b) cabe ao empresário, enquanto empresário, posicionar inteligentemente as restrições internas de sua empresa, traduzidas por suas políticas de investimento, financiamento e de dividendos, e pugnar por alargamentos das limitações, contidas nas políticas sociais e econômicas, monetárias e fiscais, que lhe são
impostas, de sorte a permitir o alcançamento do mais alto nível na escala do valor de mercado de sua
empresa; como cidadão cabe-lhe, entretanto, contribuir para o aperfeiçoamento das regras que disciplinam o comportamento da sociedade;
c) o objetivo central de uma empresa privada é pois, em termos ideais, obter a maximização do Valor Presente Líquido do seu curso de ação futuro e que encerra o elenco de projetos simultâneos e seqüenciais
a ser implantado para perpetuar-lhe a existência e para otimizar a riqueza de seus acionistas; em termos
práticos a perspectiva cronológica desta avaliação se restringe ao horizonte de dados disponíveis;
d) a avaliação de projetos de investimento implica inevitavelmente em um difícil exercício de futurologia
no qual a variável relevante é o Fluxo de Caixa da empresa no seu enfoque marginal;
e) a análise de investimentos, mesmo na ótica determinística,
risco empresarial e suas implicações no custo de capital;
não pode prescindir de considerações sobre o
f) a despeito da existência de inúmeros indicadores de mérito para um projeto, é impossível avaliar-se de
forma completa e perfeita a qualidade de uma oportunidade de investimento, mesmo quando vista isola"
damente; como conseqüência, nem sempre é possível comparar-se de forma inquestionável duas propostas que competem por recursos escassos; por outro lado, existem ainda sérias dificuldades metodológicas
na determinação do volume ótimo de investimento a ser adotado por uma empresa;
g) a restrição orçamentária é um problema onipresente que atinge todos os entes econômicos em todo tempo e lugar; para a empresa a conseqüência principal do racionamento de capital é o desencadeamento de
o
'
cursos de ação subótimos para a feição futura da organização e para a riqueza de seus proprietários;
h) não há técnicas capazes de investigar com perfeição o futuro de um projeto, de retratar integralmente o
complexo sistema que é uma empresa e de oferecer soluções verdadeiramente ótimas para o problema
do Racionamento de Capital, mas o algoritmo dos multiplicadores auxiliares proposto por Lorie e
Savage pode apresentar soluções realmente incorretas quando as propostas de investimento são indí-.
visíveis;
i) a Programação Linear é uma das mais poderosas ferramentas disponíveis para o trato do problema do
Racionamento, oferecendo importantes informações sobre os méritos dos projetos, os custos de oportunidade dos recursos e as sensibilidades dos principais parâmetros; é extremamente flexível na tradução de restrições, monetárias ou não, e na incorporação de importantes características dos projetos,
da empresa e do mercado fmanceiro, apresentando ainda a possibilidade de oferecer resultados inteiros,
contornando assim o problema da indivisibilidade d.~ propostas; a Programação Linear Inteira nem
sempre é de fácil execução e por vezes se torna proibitiva em termos de tempo e custo de processamento em computador;
j)
? ótimo absoluto é inatingível dada a falta de informações completas e fidedignas sobre todas as variáveis que dizem respeito aos projetos e à empresa e em face do desconhecimento de muitos aspectos
. importantes do complexo modelo matemático que seria necessário para retratá-la cabalmente; aceito
o ótimo relativo como satisfatório, seu atingimento não é fruto de uma decisão única e definitiva mas
requer uma perseguição permanente e periódica através de decisões seqüenciais que apontam soluções
sempre subótímas e provisórias e que dependem, entre outros fatores, do custo dos recursos da empresa, dos montantes dos orçamentos de capital e dos elencos de projetos disponíveis; na avaliação de
investimentos, além do estudo individual dos projetos, deve-se dar uma atenção especial a programas
mais abrangentes de alocação de recursos.
t·
6-ANEXOS
•
217
6.1
(Ver 1.2.3) CÁLCULO DO FLUXO DE CAIXA, DA CAPACIDADE DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E DOS
RECURSOS REINVESTIVEIS DE PERIODOS DE OPERAÇÃO E/OU DESINVESTIMENTO.
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-
218
6.2
- (Ver 1.3.4) CÁLCULO DOS GRAUS DE ALAVANCAGEM OPERACIONAL, FINANCEIRA E COMBINADA.
----.--'-------------....-.;.---~-J
PArU\
PROGFU\rM\
HP - 25
f: ',,:1.\ L IÕt:m~;_S~~ili!LQâJl!V}lLs.m;:..A1AYMfCM~fM::àr.EM(;LO.fiATIi.NÃNÇ:Lll~e
..cillJl11.'i~L
.
.
--'-i
~
219
6.3 -
(Ver 1.5.4.2) CÁLCULO DO PAYBACK CLÁSSICO OU ATUALIZADO
CORRENTE DE FLUXOS DE CAIXA.
__________
REFERIDO
._~
AO INSTANTE ZERO DA
•
M
~_
PROGr::r:-r,~A Ptl.r:U\ 1-:/':- - 25
·FIT·IALI1)f.\Õ!~:_.c~k\lhll
.Q.MYM-cK:.CillSlêo7,;Ã-I'llAllZAD:(i;c.frrhl~-.a-Q_-iu;·-S-l~-Jl-IÇ-,Z.-Ç-.r.o-l.J.I-1aI;:::::~-::::::::::::::::~_-_-_
~
~CO~~clJtc9cfluxOL~~1~~a,~
.
.
_
220
.•
'.'
6.4
(Ver 1.5.4.3) CÁLCULO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO E DA TAXA INTERNA DE RETORNO (pOR ITERAçÃO EXTERNA) DE UM PROJETO, CONVENCIONAL OU NÃO, COM ATÉ ONZE FLUXOS DE CAIXA.
:-=-_~
~._
--
-~- PROGfUlJ/;l)"
. - ._: Pf.lRA
HP - 25
.__
-
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u:.~-1
F Ir:I:... L iD/·I D!~:_Ç;II cui'!U~.YJ\I.·Q1U'gL':!LN:J LLlQWDiLULIfl2: .L.lliIliIllliLDJi..1.U.illlli~KL( p.Q.L..i lcLtç.'llL=tc.r.n4--1
_de um p.!9k~~.!ly~.llcioIlJI..Q.ll não fQI1L.~lLQllZLÍl.uu.x~Q.DsUl.dcL:.....Lc;.il"~;·v.ii..."-----------------------I
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221
6.5
(Ver 1.5.4.3'\ CÁLCULO DOS VALORES PRESENTE E FUTURO LIQUIDOS E TAMBÉM DA TAXA INTERNA DE
RETORNO (pOR ITERAÇÃO EXTERNA) DE UM PROJETO, CONVENCIONAL OU NÃO, COM QUALQUER NÚMERO-DE FLUXOS DE CAIXA.
222
6.6
(Ver 1.5.4.5) CÁLCULO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (POR ITERAÇAo MISTA, INTERNA E EXTERNA),
DE PROJETOS, CONVENCIONAIS OU NÃO, COM ATÉ CINCO FLUXOS DE CAIXA (de FO a F4)'
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223
6.7
(Ver 1.5.4.6) CÁLCULO DO RETORNO SOBRE O CAPITAL INVESTIDO (RIC) PARA PROJETOS
MENTOS MISTOS E COM ATÉ CINCO FLUXOS DE CAIXA (de FO a F4)'
DE INVESTI-
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INVESTIMENTOS MISTOS COM QUALQUER NÚMERO DE FLUXO DE CAIXA.
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