CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
20
Página | 1
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
Página | 2
Geometria Espacial
Introdução
A preocupação com o cálculo de volumes é bastante antiga. Há milhares de
anos a civilização egípcia já conhecia alguns processos para esse cálculo. Os
habitantes da Grécia Antiga aprimoraram esses processos e desenvolveram
outros. Destaca-se o trabalho do matemático e físico Arquimedes, que viveu no
século III a.C.
Desenvolvendo raciocínios bastante criativos, Arquimedes mostrou como
calcular o volume de diversas figuras geométricas.
Conta-se que, enquanto tomava banho, constatou que a água subia quando ele
mergulhava. Essa quantidade de água que subia era seu volume.
Página | 3
Com esta aula iniciamos o estudo da Geometria Espacial. Nesta unidade você
estudará as propriedades de figuras espaciais, tais como: o cubo, o
paralelepípedo, a esfera, o cilindro etc. Aprenderá também a calcular o volume
dessas e de outras figuras.
Para o cálculo de um volume podemos usar diferentes unidades de medida.
Certamente você já conhece o litro e o metro cúbico. Portanto, vamos
aprofundar esses conceitos.
Página | 4
Volume ou Capacidade
Podemos ter muitas definições para a palavra volume, mas para a Matemática é
o espaço ocupado por um corpo. Todo sólido geométrico possui volume e
ocupa espaço.
Volume ou capacidade de um corpo (ou recipiente) é a quantidade de espaço
que esse corpo ocupa ou que ele dispõe para armazenar alguma coisa.
Por exemplo:
Esses recipientes têm a capacidade de armazenar 1 litro de líquido, conforme a
indicação em cada embalagem. Podemos dizer que o volume ou a capacidade
de cada um desses recipientes é de 1 litro.
Vejamos um outro exemplo: diariamente nos portos brasileiros, navios são
carregados ou descarregados com mercadorias que serão transportadas para
outros lugares. Em geral, essas mercadorias são armazenadas em grandes
caixas chamadas de “container”.
Existem dois tipos de container: o de 20 pés (cuja capacidade é de 32,88 metros
cúbicos) e o de 40 pés (cuja capacidade é de 66, 92 metros cúbicos).
Página | 5
Unidade de Volume ou de Capacidade
 O litro(ℓ)
Litro (simbolo: ℓ) é uma unidade de medida de volume que obedece ao sistema
métrico decimal e é aceito pelo Sistema Internacional de Unidades.
O litro é a quantidade de líquido capaz de encher completamente um cubo oco,
com 10 cm de aresta.
Quantos litros cabem num metro cúbico?
Para responder a essa pergunta vamos imaginar uma caixa cúbica com 1 metro
de aresta e muitos cubinhos com 10 cm de aresta. Cada um desses cubinhos
corresponde a 1 litro de água.
Podemos arrumar os cubinhos dentro da caixa grande em fileiras de 10, de
forma que o fundo da caixa fique com 10 · 10 = 100 cubinhos.
Como podemos formar 10 camadas, temos:
10 · 10 · 10 = 1 000 cubinhos
Página | 6
 O mililitro(mℓ)
Em algumas situações práticas, o volume a ser medido é tão pequeno que o litro
se torna uma unidade inadequada. Isso acontece, por exemplo, quando
queremos indicar a quantidade de líquido de um vidro de remédio. Nesse caso
usamos o mililitro (mℓ).
O mililitro é a quantidade de líquido que cabe num cubo oco com 1 cm de
aresta.
1 cm
1 cm
1 cm
As latas de refrigerante e cerveja costumam ter em seu rótulo a indicação em
mililitros de seu volume. Repare:
Muitas vezes é importante que saibamos relacionar duas unidades. Da mesma
forma que relacionamos a hora com o minuto, o metro com o quilômetro ou
com o centímetro, da mesma forma precisamos relacionar as unidades de
volume.
Página | 7
 Outras unidades de volume muito usuais.
Nos exemplos anteriores utilizamos o litro (cuja abreviatura é ℓ) e o metro
cúbico (cuja abreviatura é m3) como unidades de medida.
Além dessas unidades, temos também o centímetro cúbico (cm³), o decímetro
cúbico (dm³), o mililitro (mℓ) etc.
A escolha da unidade de medida adequada depende do tamanho do que se vai
medir.
O metro cúbico, por exemplo, é adequado para medir grandes volumes, como
no caso de um container. Nesse caso iremos representá-lo usando a seguinte
unidade:
1m³ (metro cúbico) = 1000 litros
Para medir pequenos volumes costumamos usar o litro(ℓ) e o mililitro(mℓ)
como no caso da caixa de leite.
Em situações em que o volume é muito pequeno podemos usar:
1cm³ = 1 mℓ (mililitro)
Em situações cotidianas usamos:
1 litro = 1000cm³ (centímetro cúbico) = 1dm³ (decímetro cúbico)
Podemos concluir que as principais unidades usuais de m³ (metros cúbicos) são:
1m³ = 1000 litros
1cm³ = 1 mℓ (mililitro)
1 dm³ = 1 litro
Página | 8
Exercícios
Questão 01:
Que unidade de medida você usaria para indicar a quantidade de líquido em:
a) um copo de chopp;
b) uma lata de óleo;
c) uma piscina;
d) uma ampola.
Questão 02:
Responda:
a) Quantos cm3 contém um litro (ℓ) ?
b) Quantos cm3 contém um mililitro (mℓ) ?
c) Quantos litros contém um m3?
d) 2000 cm3 equivalem a quantos litros?
e) 5 m3 equivalem a quantos litros?
Questão 03:
Uma outra unidade para medir volumes, muito usada na vida prática, é a
garrafa. Sabendo que a garrafa vale de litro indique sua capacidade em
mililitros.
Questão 04:
Uma lata de óleo tem, em geral 900 mℓ. Quantas latas correspondem a um galão
de 45ℓ de óleo?
Questão 05:
Com um barril de vinho de 360 litros, quantas garrafas de vinho de 750mℓ
podemos completar?
Questão 06:
Como você explicaria para uma criança o que é um litro de água?
Página | 9
Prismas
Veja alguns exemplos de prismas.
Prismas são sólidos geométricos que possuem as seguintes características:
 bases paralelas são iguais;
 arestas laterais iguais e paralelas e que ligam as duas bases.
Nomenclatura: Os prismas são desiguais pelo número de lados das bases, que
lhes dão o nome:
Veremos a seguir os volumes de alguns dos prismas mais utilizados em nosso
cotidiano.
Página | 10
O Cubo
Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma
quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.
É, de entre todos os poliedros, talvez o mais conhecido, por existirem muitos
objetos de uso diário de forma cúbica, como por exemplo um dado.
O cubo é um poliedro regular pois as suas faces são geometricamente iguais.
O cubo tem os seguintes elementos:

6 faces, que são quadrados geometricamente iguais;
 12 arestas iguais, que são segmentos de reta;
 8 vértices, que são pontos.
Para construir um cubo basta conhecer a medida de uma aresta. Aresta é o
nome que se dá à linha que separa uma face da outra. Os lados dos quadrados
que formam o cubo são as arestas do cubo.
Página | 11
O Volume do Cubo
O volume de um cubo depende da medida de sua aresta, consideramos apenas
uma medida, pois o cubo possui todas as arestas de tamanhos iguais e seu
volume é apresentado pela expressão
, onde a corresponde à medida da
aresta.
EXEMPLO:
Quantos litros cabem no reservatório abaixo?
Solução:
ℓ
ℓ
Página | 12
O Paralelepípedo
Uma caixa de fósforos, uma embalagem de detergente, um tijolo, algumas
caixas de medicamentos, um livro, uma pedra de dominó são objetos com os
quais lidamos diariamente e cuja forma se associa a um sólido geométrico a que
chamamos paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo é um prisma que possui em suas bases um paralelogramo.
Sendo que o paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos
que o constituem.
Este sólido geométrico tem os seguintes elementos:

6 faces (são retângulos iguais dois a dois);
 12 arestas (iguais quatro a quatro);
 8 vértices.
Para a construção de um paralelepípedo é necessário conhecer os
comprimentos das três arestas concorrentes a um mesmo vértice.
Página | 13
O Volume do Paralelepípedo
O volume de um paralelepípedo é o produto das medidas de suas arestas.
Matematicamente dizemos que:
ou
EXEMPLO:
Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa
d’água cujas dimensões são: 0,90 m de comprimento, 0,80 m de largura e 0,70 m
de altura?
Como
ℓ, teremos então:
x 1000
ℓ
São necessários 504ℓ para encher, completamente, essa caixa d’água.
Página | 14
Exercícios
Questão 07:
Os cubos seguintes têm, respectivamente, arestas 1, 2 e 3 cm.
Calcule o valor de cada um dos cubos.
Questão 08:
A piscina de um clube tem 2 m de profundidade, 12 m de comprimento e 8 m
de largura. Quantos litros de água são necessários para enchê-la?
Questão 09:
Uma caixa cúbica tem 50 cm de aresta e será totalmente enchida de água. Determine:
a) Qual o seu volume?
b) Quantas garrafas de 500 mℓ cada uma podem ser enchidas com a água
desta caixa?
Questão 10:
Precisamos construir uma caixa d’água com o formato de um paralelepípedo.
Quais podem ser as dimensões dessa caixa para que sua capacidade seja de
5.000 litros?
Página | 15
Questão 11:
Uma caixa de vinho tem as seguintes dimensões: 30 cm de altura, 40 cm de
comprimento e 25 cm de largura. Um comerciante importou um container de 20
pés (32,88 m3) de caixas de vinho. Quantas caixas de vinho ele encomendou?
Questão 12:
Um supermercado vende pedaços de goiabada. Os pedaços têm a forma
aproximada de paralelepípedos. Um pedaço mede 6 cm x 5 cm x 8 cm e custa
R$ 0,72. Um outro pedaço, de 8 cm x 6 cm x 9 cm, é vendido a R$ 1,35. Qual dos
dois pedaços será mais vantajoso comprar?
Questão 13:
O doce de leite é vendido, em um supermercado, em dois tipos de embalagem:
 um tijolo, cujas medidas são 8 cm x 10 cm x 9 cm e que custa R$ 4,80.
 pequenas unidades, medindo 1,5 cm x 3 cm x 1,0 cm.
Por quanto deve ser vendida cada uma das pequenas unidades, de modo a não
haver vantagem de uma embalagem sobre a outra?
Página | 16
Pirâmide
Introdução
A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos construídos
pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em
2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que pode ser comparado
a um prédio de 50 andares.
Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide
egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide
é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As
figuras abaixo representam pirâmides:
Página | 17
Elementos da Pirâmide
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces
laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
 Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se
apoia a pirâmide.
 Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da
base da pirâmide.
 Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região
poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa
pelo vértice e pelo centro da base.
 Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
 Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice
da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
 Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da
pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da
base.
 Apótema: É a altura de cada face lateral.
 Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces
laterais.
 Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
Página | 18
O Volume da Pirâmide
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área
da base pela altura da pirâmide, isto é:
EXEMPLO 01:
Qual o volume de uma pirâmide quadrangular, cuja altura mede 5 cm e a aresta
da base, 3 cm?
Resolução:
O volume dessa pirâmide é de 15 cm3.
EXEMPLO 02:
Uma indústria irá fabricar uma peça no formato de uma pirâmide de base
triangular com as medidas indicadas na figura. Sabendo que serão fabricadas
peças maciças de aço, determine o volume de aço gasto na produção dessa peça.
Resolução:
O volume dessa pirâmide é de 45 cm3.
Página | 19
Exercícios
Questão 14:
Uma pirâmide de base quadrangular possui altura medindo 2 metros e cada
lado da base com medida igual a 3 metros. Determine o volume dessa pirâmide.
Questão 15:
Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide
regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume
que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a
medida da aresta da base de 4cm e a medida da altura do frasco que é de 6cm.
Quantos mℓ de perfume há nesse frasco?
Página | 20
Corpos Redondos
Introdução
Você sabia que:
 Três quartos da superfície da Terra são cobertos de água?
 A linha do Equador mede, aproximadamente, 40000 km?
Pense agora nas seguintes questões, relativas ao planeta Terra:


Qual é o seu volume de sua superfície?
Qual é a área coberta de água em sua superfície?
As respostas a essas questões são possíveis com o estudo dos corpos redondos,
que faremos nesse capítulo.
Veja exemplos de corpos redondos:
Cilindro
Cone
Esfera
Página | 21
O Cilindro
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos
aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas
d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas
cilíndricas.
Aplicações práticas
Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?
O Volume do Cilindro
Podemos imaginar um cilindro formado por círculos de cartolina, todos do
mesmo tamanho, empilhados. Por isso, temos que o volume do cilindro é
também igual ao produto da área da base pela altura.
Onde:



h = altura
r = raio
d = diâmetro
r
d
Como a base do cilindro é circular, utilizamos a área do círculo para calcular a
área da base, sendo assim
,onde
. Assim, teremos:
Página | 22
EXEMPLO 01:
Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o raio da base igual a 2m e sua
altura é 5m e está completamente cheio. Qual é a quantidade de vinho existente,
em litros, nesse galão?
Resolução:
x 1000
ℓ
Nesse galão há 62800ℓ de vinho.
EXEMPLO 02:
Um reservatório tem as dimensões e a forma da figura abaixo. Quantos litros de
combustível ele pode armazenar?
Resolução:
ℓ ÷1000
ℓ
Ele poderá armazenar 14,130ℓ de combustível.
Página | 23
Exercícios
Questão 16:
São comuns os objetos em forma cilíndrica. Num supermercado, se você
observar as embalagens, vai identificar facilmente essa forma.
Uma pessoa dispõe de dois recipientes cilíndricos: um tem raio de 20 cm e
altura de 12 cm; o outro tem a metade do raio, porém o dobro da altura. Qual o
recipiente de maior capacidade?
Questão 17:
Uma lata de óleo tem a forma de um cilindro. Seu diâmetro mede 8,4 cm e, sua
altura, 18,2 cm. Será que ela comporta 1000 ml de óleo?
Questão 18:
Uma seringa tem a forma cilíndrica com 1cm de diâmetro, quando o êmbolo
estiver a 5cm da extremidade da seringa próxima à agulha, qual o volume
aproximado, em mℓ, de remédio líquido que a seringa pode conter?
Página | 24
Questão 19:
Para fabricar uma caixa de lápis de cor, é preciso saber inicialmente qual é o
volume de cada lápis.
a) Calcule então o volume de um lápis (sem apontar) que tem 0,8cm de
diâmetro e 8cm de comprimento.
b) Determine agora o volume aproximado de uma caixa que contém 12
desses lápis.
Questão 20:
Uma panela caseira tem a forma de um cilindro; sua altura é 12cm e o diâmetro,
20cm. Deve-se enchê-la com cubos de gelo de 2cm de aresta, de tal forma que
não transborde ao derreter o gelo. Qual a quantidade máxima de cubos de gelo
necessária para encher a panela?
Questão 21:
As bebidas normalmente, são vendidas em embalagens diferentes. É preciso ter
sempre atenção na hora de decidir qual comprar. Veja o exemplo:
Certa bebida é vendida em dois tipos de embalagem:
 em garrafa de 600 ml, por R$ 0,78.
 em lata de 350 ml, por R$ 0,49.
Qual das duas embalagens é mais vantajosa?
Página | 25
O Cone
Quando falamos em cone logo vem em nossa mente a imagem do instrumento
utilizado no trânsito, além desse exemplo, temos outros como as casquinhas de
sorvetes, chapeuzinho de aniversário, entre outros.
O Volume do Cone
O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do
cilindro com as mesmas dimensões, assim, teremos:
Onde:



h = altura
r = raio
d = diâmetro
Como a base do cone é circular, utilizamos a área do círculo para calcular a área
da base, sendo assim
,onde
. Assim, teremos:
Página | 26
EXEMPLO 01:
Qual é o volume de um cone de raio 5cm e altura 12cm?
Resolução:
ℓ
O volume desse cone é de 314 mℓ.
EXEMPLO 02:
Qual é o volume de um cone de diâmetro 6cm e altura 8cm?
Resolução:
ℓ
O volume desse cone é de aproximadamente 75 mℓ.
Página | 27
Exercícios
Questão 22:
Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo raio é
3cm e cuja altura é 10cm?
Questão 23:
Um tanque cônico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de
diâmetro. Qual é o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de
líquido?
Questão 24:
Uma taça de champanhe, no formato de um cone, tem 8cm de diâmetro e 12cm
de altura. Qual a capacidade dessa taça?
Questão 25:
Há um pirulito em forma de guarda-chuvinha sabor chocolate, com 6cm de
altura e 2cm de diâmetro.
a) Qual é o volume desse pirulito?
b) Uma fábrica fez uma encomenda de 1000 desses pirulitos, quantos litros
de chocolate serão necessários para fazê-los?
Página | 28
A Esfera
Sem dúvida alguma, a esfera é considerada um dos sólidos mais curiosos que
existem, e sua forma tem sido extremamente útil ao homem.
É possível que os homens tenham criado a forma esférica a partir da observação
e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua. Ou da verificação de
fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. O formato de nosso
planeta foi reproduzido em diversos objetos até chegar às bolas de futebol, vôlei
e outros.
Matematicamente, a esfera pode ser definida como "um sólido geométrico
formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de
um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de
tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou
ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a
mesma.
O Volume da Esfera
A fórmula que dá o volume da esfera foi demonstrada pelo matemático grego
Arquimedes, no século III a.C., em seu livro sobre a esfera e o cilindro.
Usando o método de exaustão, inventado por outro matemático grego chamado
Eudoxo, Arquimedes provou que o volume de uma esfera é igual a quatro
vezes o volume do cone, cujo raio é o raio da esfera e cuja altura é também o
raio da esfera.
Assim, o volume da esfera é:
Página | 29
EXEMPLO 01:
Qual é o volume de uma esfera cujo raio mede 5 cm?
Resolução:
ℓ
O volume dessa esfera é de aproximadamente 523 mℓ.
EXEMPLO 02:
Qual é o volume de uma esfera cujo diâmetro mede 6 cm?
Resolução:
ℓ
O volume dessa esfera é de aproximadamente 113 mℓ.
Página | 30
Exercícios
Questão 26:
O raio de uma esfera de ferro fundido é 4 cm. Qual é o volume aproximado
dessa esfera?
Questão 27:
Qual é o volume de uma bola de basquete cujo diâmetro mede 26 cm?
Questão 28:
Uma fábrica de suco de laranja confeccionou suas embalagens em dois
formatos: uma esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as
duas embalagens têm a mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes.
Lembre-se:
Página | 31
Gabarito
Questão 01:
a) mℓ
c) ℓ
b) mℓ
d) mℓ
Questão 02:
a) 1000cm3
b) 1cm3
c) 1000ℓ
d) 2ℓ
e) 5000ℓ
Questão 03: 750mℓ
Questão 04: 50 latas
Questão 05: 480 garrafas
Questão 06: resposta pessoal
Questão 07: V1= 1cm3; V2= 8cm3; V3= 27cm3
Questão 08: 192 000ℓ
Questão 09:
a) V= 125 000cm3 = 125ℓ
b) V= 250 garrafas
Questão 10: ℓ = 1m; c = 5m; a = 1m
Questão 11: 1096 caixas
Questão 12: O segundo pedaço
Questão 13: R$0,03
Questão 14: 6 m3
Questão 15: 32 mℓ
Questão 16: Recipiente 1
Questão 17: Sim, V=1008,09cm3
Questão 18: 3,9 mℓ
Questão 19:
a) V= 4,0192cm3
b) V= 48,23 cm3
Página | 32
Questão 20: 471 cubos
Questão 21: Garrafa
Questão 22: V= 94,20cm3
Questão 23: V= 37,68m3
Questão 24: V= 200,96cm3
Questão 25:
a) V= 6,28cm3
b) 6,28 litros
Questão 26: V= 267,94 cm3
Questão 27: V= 9198,10 cm3
Questão 28: Vcilindro= 401,92cm3 ; Vesfera= 267,94cm3
Página | 33
Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
Página | 34
Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010
Página | 35