MATEMÁTICA MATEMÁTICA Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS: OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO); O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Conjunto dos Números Inteiros – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a+b=b+a 3+7=7+3 - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z+0=z 7+0=7 - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (–z) = 0 9 + (–9) = 0 - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} Subtração de Números Inteiros - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que: 9 – 5 = 4 4+5=9 subtraendo minuendo Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero. Considere as seguintes situações: 1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3). Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Didatismo e Conhecimento diferença 1 MATEMÁTICA Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Distributiva: Para todos a,b,c em Z: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5) Divisão de Números Inteiros Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Dividendo divisor dividendo: Divisor = quociente 0 Quociente . divisor = dividendo Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1) Sabemos que na divisão exata dos números naturais: 40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40 36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36 Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4) Logo: (–20) : (+5) = +4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí: - Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo. - Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo. - A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. 1- Não existe divisão por zero. Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos números Resultado do produto Iguais Positivo Diferentes Negativo Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a x (b x c) = (a x b) x c 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7 Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. an = a x a x a x a x ... x a a é multiplicado por a n vezes Comutativa: Para todos a,b em Z: axb=bxa 3x7=7x3 Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é: zx1=z 7x1=7 Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal que z x z–1 = z x (1/z) = 1 9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1 Didatismo e Conhecimento - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 2 MATEMÁTICA - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 Exercícios Propriedades da Potenciação: 1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos? 2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro? Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2 Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10 3. Calcule: a) (+12) + (–40) b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13 4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras: a) x + (–12) = –5 b) x + (+9) = 0 c) x – (–2) = 6 d) x + (–9) = –12 e) –32 + x = –50 f) 0 – x = 8 Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. 5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações? Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul. Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul. Máxima prevista 37° no Piauí. Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ±3 mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10? Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. 8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham: a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36 7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números. Exemplos (a) 3 8 (b) 3 −8 (c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27. (d) 3 − 27 = 2, pois 2³ = 8. 9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse? = –2, pois (–2)³ = -8. 10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total? = –3, pois (–3)³ = -27. Didatismo e Conhecimento 3 MATEMÁTICA Respostas 8) Solução: a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x=7 1) Resposta “9²”. Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos. Os números quadrados perfeitos são: 1² = 1 (menor que dois algarismos) 2² = 4 3² = 9 4² = 16 (dois algarismos) 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 (mais que dois algarismos) Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81 b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7 d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185 2) Resposta “270”. Solução: (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101 55 – 51 + 165 + 101 = 270 Portanto, o número inteiro é 270. f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432 3) Solução: a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28 b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52 c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0 d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18 9) Resposta “738”. Solução: x + (-846) . -3 = 324 x – 846 . -3 = 324 -3 (x – 846) = 324 -3x + 2538 = 324 3x = 2538 – 324 3x = 2214 2214 x= 3 x = 738 4) Solução: a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7 b) x + (+9) = 0 → x = -9 c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4 d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3 e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18 f) 0 – x = 8 → x = -8 10) Resposta “3”. Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos: t+8-5=t+3 Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades. 5) Resposta “40˚”. Solução: A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º. 6) Resposta “-1320”. Solução: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x+2 = -10 x= -10 -2 x = -12 Números Racionais – Q Um número racional é o que pode ser escrito na forma m , n onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: (-12) . (-12+1) . (-12+2) = -12 . -11 . -10 = - 1320 7) Resposta “999900”. Solução: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x= 99 (99) . (99+1) . (99+2) = 99 . 100 . 101 = 999900 Didatismo e Conhecimento Q={ 4 m : m e n em Z, n diferente de zero} n MATEMÁTICA No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q+ = conjunto dos racionais não negativos; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 3,48 = 0,005 = Representação Decimal das Frações p Seja a dízima 0, 333... . Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x – x = 3,333... – 0,333... 9x = 3 x = 3/9 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 2 = 0,4 5 1 = 0,25 4 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3 . 9 Exemplo 2 35 = 8,75 4 Seja a dízima 5, 1717... . 153 = 3,06 50 Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512 x = 512/99 2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração Exemplo 3 1 = 0,333... 3 1 = 0,04545... 22 512 . 99 Seja a dízima 1, 23434... Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1234,34... . Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 1234,34... – 12,34... 990x = 1222 = 1222/990 167 = 2,53030... 66 Representação Fracionária dos Números Decimais 1000x = x 611 Simplificando, obtemos x = , a fração geratriz da dízima 495 1, 23434... Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 9 10 5,7 = 57 10 Exemplo: Módulo de – 3 é 3 . Indica-se 3 = 3 − 2 2 2 2 Módulo de + 3 3 3 3 é . Indica-se + = 2 2 2 2 Números Opostos: Dizemos que racionais opostos ou simétricos e cada outro. As distâncias dos pontos – 3 e 2 são iguais. 0,76 = 76 100 Didatismo e Conhecimento 1 5 = 1000 200 2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplo 1 Tomemos um número racional , tal que p não seja múltiplo q basta efetuar a divisão do de q. Para escrevê-lo na forma decimal, numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 0,9 = 348 100 5 3 3 – e são números 2 2 um deles é o oposto do 3 ao ponto zero da reta 2 MATEMÁTICA Soma (Adição) de Números Racionais - Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a - Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números raa c cionais e , da mesma forma que a soma de frações, através de: b a - Elemento inverso: Para todo q = em Q, qb diferente de a b b -1 -1 zero, existe q = em Q: q × q = 1 x =1 b a a d a + c = ad + bc bd b d - Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b)+(a×c) Divisão de Números Racionais Propriedades da Adição de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional. A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b)+c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a - Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q - Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Subtração de Números Racionais Exemplos: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) 3 8 2 2 2 2 a) = . . = 5 5 5 5 125 Multiplicação (Produto) de Números Racionais 3 1 1 1 1 1 b) − = − . − . − = − 8 2 2 2 2 Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na formaa de cuma fração, definimos o produto de dois números racionais e , da mesma forma que o produto de frações, através b d de: c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25 d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25 a c ac x = b d bd Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1. O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) 0 2 + = 1 5 - Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 1 9 9 − = − 4 4 Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. - Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. Propriedades da Multiplicação de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional. −2 - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b)×c Didatismo e Conhecimento 2 3 5 25 − = − = 9 5 3 6 MATEMÁTICA Exemplo 3 - Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 0,216 = 0,6. 3 8 2 2 2 2 = . . = 3 3 3 3 27 Assim, podemos construir o diagrama: - Toda potência com expoente par é um número positivo. 2 1 1 1 1 − = − . − = 5 5 5 25 N - Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 . = . . . . = 5 5 5 55 5 5 5 2+3 2 = 5 − 100 O número 9 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 10 como , quando elevados ao quadrado, dão 100 . 10 + − 3 9 3 Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. 2 O número não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 3 que elevado ao quadrado dê 2 . número racional 3 3 3 3 3 3 5− 2 3 . . . . 3 3 3 3 2 2 2 2 2 : = = = 3 3 2 2 2 2 . 2 2 2 Exercícios 1. Calcule o valor das expressões numéricas: a) 7 – 5 − 1 − − 7 + 3 24 12 8 6 4 - Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 3 3 1 5 9 7 : − + – − 16 12 2 4 2 2 2 2 2+ 2+ 2 3+ 2 6 1 2 1 1 1 1 1 1 = = = . . = 2 2 2 2 2 2 2 b) + 3 Radiciação de Números Racionais cia. Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos: 2. Escreva o produto 7 2 2 + . + como uma só potên 3 3 12 4 16 16 : − como uma só 3. Escreva o quociente − 25 25 potência. Exemplo 1 4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2. 3 13 1 3 4. Qual é o valor da expressão − − − : + ? 24 2 4 Exemplo 2 5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu 1 1 1 2 1 1 Representa o produto . ou .Logo, é a raiz 3 3 9 3 3 1 1 1 quadrada de .Indica-se = 9 9 3 Didatismo e Conhecimento Q Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 5 - Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 5 Z com 1 3 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das 6 4 figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram? 7 MATEMÁTICA 6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu a) A fração do livro que ela já leu. 1 4 do livro e no dia seguinte leu 1 do livro. Então calcule: 6 b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura. 4 7. Em um pacote há 5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo? 3 8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? 9 9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1 1 desses apartamentos foi vendido e 6 foi reservado. Assim: 3 a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados? 10. Transforme em fração: a) 2,08 b) 1,4 c) 0,017 d) 32,17 Respostas 1) Solução: 5 1 7 a) 7 - − − − + 12 8 24 6 7 10 − 3 − 14 + 9 3 - − = 4 24 24 12 = b) + 3 : − 1 + 16 12 7 5 7 7+10 7 – 24 + 12 = 24 − 24 24 5 - 9 7 − 2 4 2 mmc:(4;2)=4 2) Solução: 2 + 3 10 Didatismo e Conhecimento 8 = 7 17 10 5 − =− =− 24 24 24 12 MATEMÁTICA 3) Solução: 16 − 25 EXPRESSÕES NUMÉRICAS; 8 Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. 4) Solução: 3 13 1 3 − − − : + 24 2 4 − Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra. 13 1 3 13 4 −13 + 4 9 3 − : =− + = =− =− 24 8 4 24 24 24 24 8 5) Resposta “ Solução: 11 ”. 12 2 9 11 1 3 + = + = 6 4 12 12 12 6) Solução: a) 1 1 + 4 6 - O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4; - A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1); - O quadrado de um número mais 10: x2 + 10; - O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x + 2x; 𝑥 - A metade da soma de um número mais 15: + 15; 𝑥 2 - A quarta parte de um número: . 3 2 5 = 12 + 12 = 12 5 12 5 7 b) 1 − = − = 12 12 12 12 Exemplo 1 A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os. 7 7) Respostas “ ”. 15 Solução: 4 1 −3 5 12 5 1º número: x 2º número: x + 2 3º número: x + 4 7 = 15 − 15 = 15 4 (x) + (x + 2) + (x + 4) = 96 8) Resposta “ 9 ”. Solução: 1− Resolução: 5 9 5 4 = − = 9 9 9 9 x + x + 2 + x + 4 = 96 3x = 96 – 4 – 2 3x = 96 – 6 3x = 90 9) Solução: a) 1 + 1 3 6 b) 1 − 2 1 3 1 =6+6= 6= 2 1 2 1 1 = − = 2 2 2 2 x= 1º número: x = 30 2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32 3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34 b) 1,4 → 208 52 = 100 25 14 10 c) 0,017 → d) 32,17 → = Os números são 30, 32 e 34. 7 5 Exemplo 2 17 1000 3217 100 Didatismo e Conhecimento 90 3 x = 30 10) Solução: a) 2,08 → 4 O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o: 9 MATEMÁTICA Resolução: 3x + 4 = 52 3x = 25 – 4 3x = 21 Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então: 2G + 4C = 100 Sistema de equações Isolando C na 1ª equação: G + C = 35 C = 35 – G 21 x= 3 x=7 O número procurado é igual a 7. Substituindo C na 2ª equação: 2G + 4C = 100 2G + 4 . (35 – G) = 100 2G + 140 – 4G = 100 2G – 4G = 100 – 140 - 2G = - 40 Exemplo 3 A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um? Resolução: Atualmente Filho: x Pai: 4x Futuramente Filho: x + 5 Pai: 4x + 5 G= G = 20 Calculando C C = 35 – G C = 35 – 20 C = 15 4x + 5 = 3 . (x + 5) 4x + 5 = 3x + 15 4x – 3x = 15 – 5 X = 10 Exercícios Pai: 4x = 4 . 10 = 40 1. A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a idade de cada um, se a idade de Arthur é 2 da idade de Baltazar? O filho tem 10 anos e o pai tem 40. 5 2. A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é 9 da 5 idade de Maria? Exemplo 4 O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número? 5 3. Verificou-se que numa feira dos feirantes são de origem 9 2 japonesa e do resto são de origem portuguesa. O total de fei5 rantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes dessa feira? Resolução 2x + 3x = 20 5x = 20 x= 20 5 4. Certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. O primeiro menino recebe 3 da quantidade e o segundo, metade do 7 resto. Dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro menino? x=4 O número corresponde a 4. 3 5. Num dia, uma pessoa lê os 5 de um livro. No dia seguinte, 3 lê os do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais. Quantas 4 páginas têm o livro? Exemplo 5 Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara. 6. Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze. As medalhas de ouro totalizam 3 das medalhas da caixa. O núme5 ro de medalhas de prata é 30. O total de medalhas de bronze é 1 4 do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de bronze contidas na caixa? Galinhas: G Coelhos: C G + C = 35 Didatismo e Conhecimento 40 2 10 MATEMÁTICA 7. Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa, 3 2 percorrem-se os da distância total. Na segunda, os 5 do resto. 7 Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira foram percorridos 60 quilômetros. Qual a distância total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa? P= 2 5 . (𝐹. 𝐹) 5 9 J + P = 99 = 99 (mmc:9;45) 25 8𝐹 4455 𝐹+ = 45 45 45 33F = 4455 2 9. Num dia, um pintor pinta de um muro. No dia seguin5 te, pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou 7 do muro 9 todo. Quantos metros têm o muro? F= 4455 33 F = 135 3 8 10. Um aluno escreve do total de páginas de seu caderno com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa maneira, 79 do total de páginas do caderno. Quantas páginas possuem o caderno? 4) Resposta “350 cards; 3˚ menino recebeu 100”. Solução: X = cards (substituindo o “1°” e “2º” pelos valores respectivos) 1º = Respostas 2º = 3 .𝑥 7 3 2𝑥 𝑥+ 7 7 1º + 2º = 250 1) Resposta “Arthur 30; Baltazar 12”. Solução: A + B = 42 anos A= 2 .𝐵 = 250 (mmc: 1;7) 3x + 2x = 1750 5x = 1750 X= 1750 5 X = 350 cards. ------------------------------------------------------------------------- 5 (substituindo a letra “A” pelo valor ) + B = 42 (mmc: 5) 2B + 5B = 210 7B = 210 1º = 3 7 . 350 = 150 2º = 2 . 350 = 100 7 210 B= 7 3º = 350 – 250 = 100 B = 30 A = 12 5) Resposta “200”. Solução: X = livro 2) Resposta “Maria 25; José 45”. Solução: 9 J – M = 20 (substituindo a letra “J” por 𝑀) 9 5 M = 20 (mmc:1;5) 1 dia = 5 3 dia = 20 páginas 12x + 6x + 400 = 20x 20x – 18x = 400 2x = 400 (substituindo a letra “J” por 5/9.F) 5 2 𝐹 + 5. 9 1 dia + 2 dia + 3 dia = x 3 3 𝑥 + ¾ (x – 𝑥 ) + 20 = x 5 5 3 5𝑥 − 3𝑥 )+ 20 = x 𝑥 +¾( 5 5 3 2𝑥 𝑥 +¾. + 20 = x 5 5 3 6𝑥 𝑥 + + 20 = x (mmc:5;20) 5 20 100 4 M = 25 e J = 45 3) Resposta “135”. Solução: F = feirantes 3 𝑥 5 3 2 dia = ¾ (x – 𝑥 ) 5 9M – 5M = 100 4M = 100 M= J = 5/9.F 5 2 4𝐹 𝐹+ . = 99 9 5 9 5 8𝐹 𝐹 + 45 9 8. A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. Qual a 3 idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é da idade 4 de Gabriela? 9 𝑀 J= 5 5 2 9𝐹 − 5𝐹 𝐹+ . = 99 9 9 5 5 𝐹 −9𝐹 Didatismo e Conhecimento X= = 99 11 400 2 = 200 páginas MATEMÁTICA 6) Resposta “Ouro = 120; Bronze = 50”. Solução: O+P+B=T 9) Resposta “135 metros”. Solução: M = muro 1 3 + 30 + = T (mmc:5;4) 5𝑇 4𝑇 5𝑡 600 12𝑡 20𝑡 + + = 20 20 20 20 T = total 3 O= 5𝑇 P = 30 1 dia = 2 dia = 51 metros 17T + 600 = 20T 1 B= 4𝑇 2 𝑀 + 51 = 5 20T – 17T = 600 3T = 600 7 𝑀 9 (mmc:5;9) 18𝑀 2295 35𝑀 + 45 = 45 45 18M + 2295 = 35M 35M – 18M = 2295 17M = 2295 600 T= = 200 medalhas 3 ---------------------------------------------------------------------O= 2 𝑀 5 3 3 = . 200 = 120 5𝑇 5 M= 1 B= = ¼ . 200 = 50 4𝑇 2295 17 M = 135 metros. 7) Resposta “Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km”. Solução: T = total 10) Resposta “144 páginas”. Solução: 2 1ª = 7𝑇 P = total Azul = 2 3 7𝑇 − 2𝑇 3 5𝑇 3𝑇 3 = . = 2ª = 5 𝑇 − 7 𝑇 = 5 . 5 7 7 7 Vermelha = 58 3ª = 2𝑇 3𝑇 2𝑇 + 7 + 14 = 7 60 (mmc:7;14) 840 12 T = 70 4176 = 144 páginas 29 Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. Podemos dizer então que: 8) Resposta “Gabriela: 28 anos; Lúcia: 21 anos”. Solução: 3 27P + 4176 = 56P Múltiplos e Divisores 4ª = 70 – 60 = 10 L = 4𝐺 (mmc:8;9) MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS; PROBLEMAS. 4T + 6T + 2T = 840 12T = 840 L + G = 49 anos 7 𝑃 9 56P – 27P = 4176 29P = 4176 P= 1ª + 2ª + 3ª = 60 T= 3 𝑃 8 3 𝑃 + 58 = 8 “30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a. Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 3 (substitui a letra “L” por ) 4𝐺 3 + G = 49 4𝐺 (mmc:1;4) 3G + 4G = 196 7G = 196 Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 196 G= = 28 anos 7 L = 49 – 28 = 21 anos Didatismo e Conhecimento 12 MATEMÁTICA Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais: 7x0=0 7x1=7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 Exemplos: a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}. Exemplos: Observações: a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. - Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2 k (k ∈ N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 (k ∈ N). Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5. Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: Exemplos: a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8. c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8. a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6. b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. Exemplos: a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. Exemplos: Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. Didatismo e Conhecimento Exemplos: a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 13 MATEMÁTICA Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11. 4. Como são chamados os múltiplos de 2? 5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4. a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004 e) 58617 Exemplos: a) 1º 3º 5º ð Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2º 4º ð Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e menores que 20. 7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por quê? 15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. 8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9. b) 1º 3º 5º 7º ð (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º ð (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12. 10. Responda sim ou não: a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133? 19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11. Respostas Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”. Solução: 5x0=0 5x1=5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 20 5 x 5 = 25 Exemplos: a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11). c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). 2) Resposta “32, 40, 48”. Solução: 8 x 4 = 32 8 x 5 = 40 8 x 6 = 48 Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: 3) Resposta “6”. Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7. a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2). c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). 4) Resposta “Pares”. Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k ∈ N) 5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”. Solução: a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4. b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4. c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4. d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4. e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4. Exercícios 1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30. 2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50. 6) Resposta “14”. Solução: 7 x 2 = 14. 3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7? Didatismo e Conhecimento 14 MATEMÁTICA 7) Resposta “72”. Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser. Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores. Outro Exemplo: 8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”. Solução: 9x0=0 9x1=9 9 x 2 = 18 9 x 3 = 27 9 x 4 = 36 3 5 7 3+5−7 1 + − = = 2 2 2 2 2 Frações com denominadores diferentes: 3 5 Calcular o valor de 8 + 6 . Inicialmente, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum: 9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”. Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12. 3 5 = 9 20 + + 8 6 24 24 mmc (8,6) = 24 24 : 8 . 3 = 9 24 : 6 . 5 = 20 Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, simplificando o resultado, quando possível: 10) Solução: a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro. c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro. d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro. 9 20 = 9 + 20 29 = + 24 24 24 24 Portanto: 3 5 9 20 9 + 20 29 + + = = = 8 6 24 24 24 24 Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao menor denominador comum, após o que procedemos como no primeiro caso. FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES. Multiplicação Exemplo Números Fracionários Adição e Subtração De uma caixa de frutas, 4 são bananas. Do total de bananas, 5 2 estão estragadas. Qual é a fração de frutas da caixa que estão 3 Frações com denominadores iguais: estragadas? Exemplo 2 3 Jorge comeu 8 de um tablete de chocolate e Miguel 8 desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos? A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela também estão representadas as frações do tablete que Jorge e Miguel comeram: Representa 4/5 do conteúdo da caixa Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa. Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor 2 de 3 de 4 que, de acordo com a figura, equivale a 8 do total de 15 5 frutas. De acordo com a tabela acima, 2 de 4 equivale a 2 . 4 . 3 5 5 3 Assim sendo: 2/8 3/8 2. 4= 8 3 5 15 5/8 Observe que 3 2 5 + = 8 8 8 Ou seja: 2 2 4 8 de 4 = . = 2.4 = 3 5 3 5 3.5 15 Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 5 do tablete de 8 chocolate. Didatismo e Conhecimento 15 MATEMÁTICA O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Outro exemplo: 2 . 4 . 7 2.4.7 56 = = 3 5 9 3.5.9 135 Observação: 3 3 1 Note a expressão: 2 . Ela é equivalente à expressão : . Portanto Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificação recebe o nome de cancelamento. 3 2 1 5 1 5 = 3 1 3 5 15 : = . = 2 5 2 1 2 Números Decimais Adição e Subtração 3 12 21 . 4 . 9 = 1 5 3 5 10 25 Vamos calcular o valor da seguinte soma: Divisão 5,32 + 12,5 + 0, 034 Transformaremos, inicialmente, os números decimais em frações decimais: Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador de uma é o denominador da outra e vice-versa. 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 352 + 125 + 34 = 100 10 1000 Exemplo 2 3 é a fração inversa de 3 2 5320 12500 34 17854 + + = = 17, 854 1000 1000 1000 1000 1 5 ou 5 é a fração inversa de 5 1 = Considere a seguinte situação: Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854 4 Lúcia recebeu de seu pai os dos chocolates contidos em uma 5 Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra: caixa. Do total de chocolates recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia? - Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros. - Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula. - Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais. - Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados. Exemplo A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates 4 que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 5 : 3. 1 Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular desse 3 algo. 4 1 4 Portanto: : 3 = de 5 3 5 4 1 4 4 1 Como de = . = . 5 3 5 5 3 : 3= 4 . 1 1 5 3 1 4 , resulta que 4 : 3 = 3 5 5 2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5 Disposição prática: 2,3500 14,3000 0,0075 5,0000 21,6575 São frações inversas Observando que as frações 3 e 1 são frações inversas, 3 1 podemos afirmar que: Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Portanto Multiplicação 4 3 4 4 1 4 :3= : = . = 5 1 5 5 3 15 Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4. Transformaremos, inicialmente, os números decimais em frações decimais: 4 Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu do total de 15 chocolates contidos na caixa. Outro exemplo: 2 5 2,58 x 3,4 = 4 8 41 5 5 : = . = 3 5 3 82 6 Didatismo e Conhecimento 258 34 8772 . = = 8,772 100 10 1000 Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772 16 MATEMÁTICA Exemplo 2 Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: - Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais. - No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às do segundo fator. 9,775 : 4,25 Disposição prática: Exemplo: 652,2 x 2,03 Se quisermos continuar uma divisão aproximada, devemos acrescentar zeros aos restos e prosseguir dividindo cada número obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que colocamos o primeiro zero no primeiro resto, colocamos uma vírgula no quociente. DIVISÃO 9,775 1 2750 Numa divisão em que: temos: D r d q D=q.d+r 9,775 1 2750 0000 0,14 : 28 0,14000 0000 24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5 28,00 0,005 Exemplo 4 A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos em número natural o número decimal que aparecia na divisão. Com isso, a divisão entre números decimais se transforma numa equivalente com números naturais. Portanto: 24 : 0,5 = 240 : 5 = 48 Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: - Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor. - Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais. 2 : 16 20 16 40 0,125 80 0 Exercícios 1. Indique as divisões em forma de fração: a) 14 : 7 b) 18 : 8 c) 5 : 1 d) 15 : 5 e) 18 : 9 f) 64 : 8 Exemplo 1 24 : 0,5 24,0 0,5 40 48 0 2. Efetue as adições: a) 3/6 + 2/6 b) 13/7 + 1/7 c) 2/7+ 1/7 + 5/7 d) 4/10 + 1/10 + 3/10 Nesse caso, o resto da divisão é igual à zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o quociente é exato. 17 4,250 2,3 Colocamos uma vírgula no quociente. Exemplo 3 Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte divisão: 24 : 0,5. Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da divisão dada por 10. Didatismo e Conhecimento 4,250 2, Acrescentamos um zero ao primeiro resto. Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor Disposição prática: 4,250 2 Nesse caso, o resto da divisão é diferente de zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão aproximada e o quociente é aproximado. Disposição prática: 652,2 → 1 casa decimal x 2,03 → 2 casas decimais 19 566 1 304 4 1 323,966 → 1 + 2 = 3 casas decimais D é o dividendo d é o divisor q é o quociente r é o resto 9,775 1 275 MATEMÁTICA 3. Efetue as subtrações: a) 7/9 – 5/9 b) 9/5 – 2/5 c) 2/3 – 1/3 d) 8/3 – 2/3 NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: RAZÕES E PROPORÇÕES; DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS; REGRA DE TRÊS; PORCENTAGEM E PROBLEMAS. Respostas 1) Solução: Relação entre Grandezas a) Números diretamente proporcionais b) Considere a seguinte situação: Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são: c) d) 3 ovos 1 lata de leite condensado 1 xícara de leite 2 colheres das de sopa de farinha de trigo 1 colher das de sobremesa de fermento em pó 1 pacote de coco ralado 1 xícara de queijo ralado 1 colher das de sopa de manteiga e) f) 2) Solução: Veja que: a) - Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 colheres de farinha; - Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 colheres de farinha; - Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 colheres de farinha; - Observe agora as duas sucessões de números: b) c) Sucessão do número de ovos: 6 9 12 Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8 Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes são iguais: d) 3) Solução 6 3 = 4 2 a) Assim: b) 9 3 = 6 2 12 3 = 8 2 6 9 12 3 = = = 4 6 8 2 Dizemos, então, que: c) - os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8; d) - o número 2 , que é a razão entre dois termos correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade. 3 Didatismo e Conhecimento 18 MATEMÁTICA Duas sucessões de números não-nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais. Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00. Números Inversamente Proporcionais Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais: 2 3 8 x Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete por uma máquina da marca x-5: y 21 1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min. 2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min. 4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min. 6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min. Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é: 2 8 y = = 3 x 21 Observe agora as duas sucessões de números: Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6 Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20 2 y = 3 21 2 8 = 3 x 2x = 3 . 8 2x = 24 3y = 2 . 21 3y = 42 x= y= 24 2 x=12 Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais: 42 3 1 2 4 6 = = = = 120 1 1 1 1 120 60 30 20 y=14 Dizemos, então, que: - os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20; - o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado fator de proporcionalidade. Observando que Logo, x = 12 e y = 14 Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um. 1 é o mesmo que 1.120=120 1 20 Solução: Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de Toni por z, podemos escrever: 2 é o mesmo que 2.60=120 6 é o mesmo que 6.20= 120 1 1 60 20 x + y + z = 32400 y z x = = 24000 27000 30000 32400 x y z x+ y+z = = = 24000 27000 30000 24000 + 27000 + 30000 Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais. 81000 Resolvendo as proporções: Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais: 4 x 8 20 16 y Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter: 4 . 20 = 16 . x = 8 . y x 32400 4 = 24000 8100010 10x = 96 000 x = 9 600 y 4 = 27000 10 10y = 108 000 y = 10 800 16 . x = 4 . 20 16x = 80 x = 80/16 x=5 z 4 = 3000 10 10z = 120 000 z = 12 000 Didatismo e Conhecimento 4 é mesmo que 4.30=120 1 30 Logo, x = 5 e y = 10. 19 8 . y = 4 . 20 8y = 80 y = 80/8 y = 10 MATEMÁTICA Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda. Tomemos agora outro exemplo. Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos: x y z = = 1 1 1 2 3 4 x y z = = = 1 1 1 2 3 4 Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de álcool. De acordo com esses dados podemos supor que: - com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l; - com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l. 104 x+ y+z 1 1 1 + + 2 3 4 Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-deaçúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais. Como, Grandezas Inversamente Proporcionais vem Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela: Logo, os números procurados são 48, 32 e 24. Grandezas Diretamente Proporcionais 5 000 2 10 000 3 15 000 4 20 000 5 25 000 12 h 60 km/h 6h 90 km/h 4h 120 km/h 3h Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo: Com base na tabela apresentada observamos que: - duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar; - triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar, e assim por diante. Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais. Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais: Didatismo e Conhecimento 30 km/h - duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica reduzido à metade; - triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à terça parte, e assim por diante. Sacos de açúcar 1 Tempo Com base na tabela apresentada observamos que: Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte: Dias Velocidade 20 30 6 = 60 12 inverso da razão 12 6 30 4 = 90 12 30 3 = 120 12 inverso da razão 12 4 12 inverso da razão 3 60 4 = 90 6 inverso da razão 60 3 = 120 6 inverso da razão 6 3 90 3 = 120 6 inverso da razão 4 3 6 4 MATEMÁTICA Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda. 7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.) Acompanhe o exemplo a seguir: Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com esses dados, podemos supor que: - o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias; - o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias. Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. 8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson? 9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas recebeu cada família? EXERCÍCIOS 1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais: a) 1 5 x 15 7 y b) 5 x 10 8 y 24 c) x 14 y 35 d) 8 x 12 y 10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um? 21 49 Respostas 20 35 1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 21 2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3 3- 80, 32, 20 4- 21, 28, 43 5- 45, 150, 20 6- 90 7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio R$24.000,00 8- R$350.000,00 9- 60, 90, 150 10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto R$400.000,00 2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais: a) 4 25 x 20 y 10 b) 30 x c) 2 x 15 8 10 9 10 y d) x 12 y 4 y 15 2 6 Resolução 04 3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8. x+y+z --------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque 3+4+6 as partes são inversas) 91/13=x/3 13x=273 x=21 91/13=y/4 13y=364 y=28 4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a 1 1 1 , e 3 4 6. 5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a 3 5 1 , e 4 2 3. 91/13=z/6 13z=546 z=42 6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael? Didatismo e Conhecimento 21 MATEMÁTICA Resolução 05 Exemplo 1 A razão entre 20 e 50 é 20 = 2 ; já a razão entre 50 e 20 é x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante) x + y + z = 215 3k/4 + 5k/2 + k/3 = 215 (18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 x = 60.(3/4) = 45 y = 60.(5/2) = 150 z = 60/3 = 20 50 5 . = 20 2 50 5 Exemplo 2 Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão 18 3 = , o que entre o número de rapazes e o número de moças é 24 4 significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 18 3 = , o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 (x, y, z) → partes diretamente proporcionais Resolução 06 42 7 são rapazes”. x = Rafael y = Mateus Razão entre grandezas de mesma espécie x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo proporções, só calcular) A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. x/15=6 x=90 Exemplo Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala. Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade: Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2 Área do tapete: 384 dm2 Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão: y/12=6 y=72 Razão Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou . 384dm 2 384 16 = = 1800dm 2 1800 75 A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente. Razão entre grandezas de espécies diferentes Exemplos a) A fração Exemplo 1 3 lê-se: “três quintos”. 5 Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170. b) A razão 3 lê-se: “3 para 5”. 5 Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km Tempo gasto: 11h – 9h = 2h Os termos da razão recebem nomes especiais. Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso: O número 3 é numerador 3 a) Na fração 5 140km = 70km / h 2h O número 5 é denominador A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média. O número 3 é antecedente a) Na razão 3 5 Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes; - a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve acompanhar a razão. O número 5 é consequente Didatismo e Conhecimento 22 MATEMÁTICA Exemplo 2 “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995. Exemplo 1 Na proporção 2 6 = , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18; 3 9 e em 1 = 4 , temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16. Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2): 4 16 Exemplo 2 6628000 ≅ 71,5hab. / km 2 927286 Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança. A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica. Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por: 5gotas x = → x = 30gotas 2kg 12kg A notação hab./km (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão. 2 Exemplo 3 Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois: Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina: 5gotas = 20gotas / p → p = 8kg 2kg (nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.) Propriedades da Proporção O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção. 83, 76km ≅ 10, 47km / l 8l A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio. A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve acompanhar a razão. 4 12 e formam uma proporção, pois 3 9 Exemplo 4 Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho? Produtos dos extremos ← 4.9 → Produtos dos meios. = 3.12 comprimento i no i desenho 20cm 20cm 1 Escala = = = = ou1: 40 comprimento i real 8m 800cm 40 A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 36 5 10 ⎧ 5 + 2 10 + 4 7 14 = = ⇒⎨ ⇒ = 2 4 5 10 5 10 ⎩ A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala. ou Proporção 5 10 ⎧ 5 + 2 10 + 4 7 14 = = ⇒⎨ ⇒ = 2 4 2 4 2 4 ⎩ A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Na proporção 53 = 106 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios. A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções: Didatismo e Conhecimento 36 4 8 1 2 4 − 3 8 − 6 = ⇒ = ⇒ = 3 6 8 4 8 4 23 MATEMÁTICA ou 7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de Determine o comprimento de cada uma das partes. 4 8 1 2 4 − 3 8 − 6 = ⇒ = ⇒ = 3 6 3 6 3 6 8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa. A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. 12 3 ⎧12 + 3 12 15 12 = = ⇒⎨ ⇒ = 8 2 ⎩ 8+2 8 10 8 9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de: a) 45 b) 81 c) 85 d) 181 e) 126 ou 12 3 ⎧12 + 3 3 15 3 = ⇒ = ⇒⎨ = 8 2 ⎩ 8 + 2 2 10 2 A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. 10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números. 3 1 ⎧ 3−1 3 2 3 = = ⇒⎨ ⇒ = 15 5 ⎩15 − 5 15 10 15 Respostas ou 3 1 ⎧ 3−1 1 2 1 = ⇒ = ⇒⎨ = 15 5 ⎩15 − 5 5 10 5 1) Resposta “1320 km”. Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade) Exercícios *SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm 1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria? O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm) 22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km. Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km. 2) Resposta “1: 7 000 000”. Solução: Dados: Comprimento do desenho: 10 cm Comprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 000 cm 2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa? comprimentododesenho 10 1 = = ou1 : 7000000 comprimentoreal 70000000 7000000 3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade? Escala = 4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso? A escala de 1: 7 000 000 significa que: - 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real; - 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real; - 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real. 5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins? 3) Resposta “8,75 kg/dm³”. Solução: De acordo com os dados do problema, temos: densidade = 6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como 5 , determine a idade de cada uma. 2 Didatismo e Conhecimento 140kg = 8, 75kg / dm 3 16dm 3 Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico. 24 MATEMÁTICA 4) Resposta “75,5 km/h”. 27 8) Resposta “ 16 𝑐𝑚 ”. Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos: velocidademédia = 453km = 75,5km / h 6h Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção exis3 tente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa 4 é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm. Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm. 9 Portanto a sequência seria: (4...3... .... 27 ...) e assim por dian4 16 te. 3 Onde a razão de proporção é 4 ... e pode ser representada pela expressão: Ti . P elevado à (n - 1) Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora. 5) Resposta “4,15 hab./km² Solução: O problema nos oferece os seguintes dados: Densidadedemográfica = 1156000hab. = 4,15hab. / km 2 278500km 2 Onde: Ti = termo inicial, neste caso: 4 P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4 6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”. Solução: A – V = 12 anos A = 12 + V Teremos: 3 (Ti = 4; P = ; n – 1 = 3) 𝐴 5 12 + 𝑉 5 = → = 𝑉 2 𝑉 2 4 . = 3³ = 27 4 2 (12+V) = 5V 24 + 2V = 5V 5V – 2V = 24 3V = 24 V= 81 9 𝐴 9 = → = 𝑇 5 𝑇 5 24 3 9T = 405 T= A – 8 = 12 A = 12 + 8 A (Ângela) = 20 405 9 T = 45 A+T=? 81 + 45 = 126 litros 7) Resposta “24 cm; 54 cm”. Solução: x + y = 78 cm x = 78 - y 10) Resposta “117 e 52”. Solução: x – y = 65 x = 65 + y 𝑥 4 78 − 𝑦 4 = → = 𝑦 9 𝑦 9 𝑥 9 65 + 𝑦 9 = → = 𝑦 4 𝑦 4 9y = 4 (65 + y) 9y = 260 + 4y 9y – 4y = 260 5y = 260 9 (78 - y) = 4y 702 – 9y = 4y 702 = 4y + 9y 13y = 702 702 13 y= y = 54cm 260 5 y = 52 x – 52 = 65 x = 65 + 52 x = 117 x + 54 = 78 x = 78 - 54 x = 24 cm Didatismo e Conhecimento 16 9) Resposta “E”. Solução: A = 81 litros V (Vera) = 8 y= 4 25 MATEMÁTICA Divisão em duas partes diretamente proporcionais Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim: Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 120 = = = = = 10 2 4 6 𝑃 12 𝐴 𝐵 = 𝑝 𝑞 logo A=20, B=40 e C=60. Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120. A solução segue das propriedades das proporções: A solução segue das propriedades das proporções: 𝑀 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 = = = =𝐾 𝑝 𝑞 𝑝+𝑞 𝑝+𝑞 𝐴 𝐵 𝐶 2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶 120 = = = = = −15 2 4 6 2𝑥2 + 3𝑥4 − 4𝑥6 −8 O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K p e B =Kq Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de: logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos. Divisão em duas partes inversamente proporcionais 𝐴 𝐵 𝐴 + 𝐵 100 = = = = 20 5 5 2 3 Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q. Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo: Segue que A=40 e B=60. Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever: 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 𝑀 𝑀. 𝑝. 𝑞 = = = = =𝐾 1/𝑝 1/𝑞 1/𝑝 + 1/𝑞 1/𝑝 + 1/𝑞 𝑝+𝑞 𝐴 𝐵 𝐴 − 𝐵 60 = = = = 12 5 5 8 3 O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q. Segue que A=96 e B=36. Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que: Divisão em várias partes diretamente proporcionais Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn= P. 𝐵 𝐴+𝐵 120 120.2.3 𝐴 = = = = = 144 1/2 1/3 1/2 + 1/3 5/6 5 Assim A=72 e B=48. 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 = =⋯= 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑛 Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim: 𝐴 𝐵 𝐴−𝐵 10 = = = = 240 1/6 1/8 1/6 − 1/8 1/24 A solução segue das propriedades das proporções: 𝑥𝑛 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑀 𝑥1 𝑥2 = =⋯= = = =𝐾 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑛 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ 𝑝𝑛 𝑃 Didatismo e Conhecimento Assim A=40 e B=30. 26 MATEMÁTICA Divisão em várias partes inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥1 = =⋯= 1/𝑝1 1/𝑝2 1/𝑝𝑛 Cuja solução segue das propriedades das proporções: 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑀 = =⋯= = = 1/𝑝1 1/𝑝2 1/𝑝𝑛 1/𝑝1 + 1/𝑝2 + ⋯ 1/𝑝𝑛 1/𝑝1 + 1/𝑝2 + ⋯ + 1/𝑝𝑛 Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴+𝐵+𝐶 220 = = = = = 240 1/2 1/4 1/6 1/2 + 1/4 + 1/6 11/12 A solução é A=120, B=60 e C=40. Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções: 𝐵 𝐶 2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶 10 120 𝐴 = = = = = 13 1/2 1/4 1/6 2/2 + 3/4 − 4/6 13/12 logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13. Existem proporções com números fracionários! Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso: 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 𝑀 𝑀. 𝑝. 𝑞 = = = = =𝐾 𝑐/𝑝 𝑑/𝑞 𝑐/𝑝 + 𝑑/𝑞 𝑐/𝑝 + 𝑑/𝑞 𝑐. 𝑞 + 𝑝. 𝑑 O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q. Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 58 = = = = 70 2/5 3/7 2/5 + 3/7 29/35 Didatismo e Conhecimento 27 MATEMÁTICA Regra de Três Simples Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30. Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções: Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples. Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km? 𝐵 𝐴−𝐵 21 𝐴 = = = = 72 4/6 3/8 4/6 − 3/8 7/24 Solução: O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27. Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥1 = =⋯= 𝑝1 /𝑞 𝑝2 /𝑞 𝑝𝑛/𝑞𝑛 2 Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = =⋯= = 𝑝1 /𝑞 𝑝2 /𝑞 𝑝𝑛/𝑞𝑛 𝑝1 /𝑞1 + 𝑝2 /𝑞2 + ⋯ + 𝑝𝑛 /𝑞𝑛 Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”: 1 A solução segue das propriedades das proporções: 1 2 Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que: Distância (km) 180 210 mesmo sentido 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴+𝐵+𝐶 115 = = = = = 100 1/4 2/5 3/6 1/4 + 2/5 + 3/6 23/20 Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 180 6 15 = x 210 7 logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50. 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 105 6 x = 17,5 Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10. A montagem do problema fica na forma: 𝐴 𝐵 𝐶 2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶 10 100 = = = = = 1/2 10/4 2/5 2/2 + 30/4 − 8/5 69/10 69 Velocidade (km/h) 60 80 A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69. Didatismo e Conhecimento Litros de álcool 15 x 28 Tempo (h) 4 x MATEMÁTICA Regra de Três Composta Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: Velocidade (km/h) 60 80 O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta. Tempo (h) 4 x Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças? Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”: Velocidade (km/h) 60 80 Tempo (h) 4 x Máquinas 8 6 sentidos contrários 4x = 4 . 3 4x = 12 x= 12 4 As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: x=3 Resposta: Farei esse percurso em 3 h. Máquinas 8 6 Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso? Vamos representar pela letra x o tempo procurado. Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s). Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. Velocidade 18 s 240 km/h x Dias 4 x As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: Máquinas 8 6 Peças 160 300 Dias 4 x Sentidos contrários Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x. Daí temos: 200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x = 3600 Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que 4 contém o x, que é , com o produto das outras razões, obtidas x segundo a orientação das flechas 6 . 160 : 8 300 1 4 6 2 160 8 = . 5 x 81 30015 240 4 2 = x 5 x = 15 => 2x = 4 . 5 Resposta: Em 10 dias. O corredor teria gasto 15 segundos no percurso. Didatismo e Conhecimento Peças 160 300 Mesmo sentido Tempo gasto para fazer o percurso 200 km/h Dias 4 x Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 4 80 4 = x 60 3 Peças 160 300 29 a x= 4 2.5 21 => x = 10 MATEMÁTICA Exercícios Respostas 1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque? 1) Resposta “30min”. Solução: Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra de três é inversa: 5 tor. ------ 75min 2 tor. ------ x 5x = 2 . 75 = 5x = 150 = 2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min? 3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura. Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fósforo? x= 2) Resposta “52 km/h”. Solução: Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a regra de três é inversa: 6h30min = 390min 5h15min = 315min 4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso? 315min ------ 42km/h 390min ------ x 315x = 390 . 42 = 315x = 16380 = X= km/h. 5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches? 6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? a) 315 b) 2 2520 c) 840 d) 105 e) 1 260 3) Resposta “20 palitos de fósforo”. Solução: Levando os dados dado no enunciado temos: Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura. Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de largura. Portanto temos: 7. Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas restantes farão o mesmo serviço em: a) 3 horas e 10 minutos b) 3 horas c) 2 horas e 55 minutos d) 2 horas e 50 minutos e) 2 horas e 48 minutos Comprimento Largura 12 palmos 5 palmos 48 palitos X palitos Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura. As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer: 8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 dias? 9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia? Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura. 4) Resposta “18 segundos”. Solução: Levando em consideração os dados: Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ? 10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias. Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs). Didatismo e Conhecimento 30 MATEMÁTICA Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela: Velocidade km/h Tempo (s) 180 20 200 x Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 máquinas juntas produzem (min) 5 . 59,524 = 297, 62. Portanto temos: 1 min --------------------- 297,62 x min --------------------- 50000 Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos: Fazendo a regra de 3 teremos: 297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 → 180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 → Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso. 5) Resposta “5 pacotes”. Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos: Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63. Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105. Pacotes de Pães 168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos. 8) Resposta “840 peças”. Solução: Dados: 5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças 7 máquinas em 9 dias produzem x peças. Sanduíches 3 63 x 105 Organizando os dados no quadro temos: Basta fazermos apenas isso: 63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 → Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma. Pessoas 210 X de ano foi pavimentada estrada 75 225 N˚ de Máquinas (B) Número de Peças (C) 5 6 400 7 9 x Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”. Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”. Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao produto da variação das outras duas. 6) Resposta “D”. Solução: Em N˚ de Máquinas (A) de estrada tempo 4 8 = = De acordo com o quadro, temos: = x= Resolvendo a proporção: x = 315 pessoas para o término 315 210 que já trabalham = 105 pessoas. 30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 → Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 840 peças. 7) Resposta “E”. Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz por minuto. Para isso temos que dividir: Didatismo e Conhecimento 9) Resposta “4 dias”. Solução: Dados: 4 horas por dia, 200 km em 2 dias 5 horas por dia, 500 km em x dias 31 MATEMÁTICA Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração p por V. Organizando um quadro temos: N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C) 200 4 2 500 5 x P% de V = Exemplo 1 23% de 240 = 23 . 240 = 55,2 Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente proporcionais”. Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”. Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B. Exemplo 2 100 Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa? Resolução: 67% de 56 000 = 67 .56000 = 37520 Resposta: 37 520 pessoas. 100 Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Lucro = preço de venda – preço de custo A razão inversa de Daí, temos: 1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → 100 p .V 100 Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo. Assim, podemos escrever: Preço de custo + lucro = preço de venda Preço de custo – prejuízos = preço de venda . Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas: Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100% Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100% 10) Resposta “7260 kgs”. Solução: Ração Dias Bois 2420 8 2 x 12 4 Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo. Exemplo Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se: - o lucro obtido na transação; - a porcentagem de lucro sobre o preço de custo; - a porcentagem de lucro sobre o preço de venda. Porcentagem É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”. Resposta: Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00 Deste modo, a fração 50 é uma porcentagem que podemos 100 representar por 50%. Lc = Lv = Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35. Aumento Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V= p .V 75% = 75 = 0,75 100 100 Didatismo e Conhecimento 300 = 0,60 = 60% 500 300 = 0,375 = 37,5% 800 32 MATEMÁTICA VA = V + A = V + VA = ( 1 + Sendo V1 o valor após o aumento, temos: p V1 = V . (1+ 1 ) p .V 100 100 Sendo V2 o valor após o desconto, temos: V2 = V1 . (1 – p2 ) p ).V 100 100 V2 = V . (1 + p1 ) . (1 – p2 ) p Em que (1 + 100 ) é o fator de aumento. 100 Desconto Exemplo Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V= p .V 100 VD = V – D = V – 100 (VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são: p .V 100 n p .v Resolução: V = 1 + 100 p VD = (1 – ).V 100 p Em que (1 – ) é o fator de desconto. 100 A n VA = ⎛⎜ 1. 15 ⎞⎟ .1000 ⎝ 100 ⎠ Exemplo V = 1 000 . (1,15)n VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n A Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo? Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V V= Exercícios 1. (Fuvest-SP) (10%)2 = a) 100% b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,01% 3500 = 2500 1,4 Resposta: R$ 2 500,00 2. Quatro é quantos por cento de cinco? Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos: p V1 = V . (1 + 1 ) 3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00 e) R$ 125,00 100 Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos: V2 = V1 . (1 + p2 ) 100 p p V2 = V . (1 + 1 ) . (1 + 2 ) 100 100 Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%. 4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo: a) Prejuízo de 10%. b) Prejuízo de 5%. c) Lucro de 20%. d) Lucro de 25%. e) Lucro de 30%. Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos: V1 = V. (1 – p1 ) 100 Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos: V2 = V1 . (1 – p2 ) 100 V2 = V . (1 – p1 ) . (1 – p2 ) 100 inicial,100 Sendo V um valor vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%. Didatismo e Conhecimento 33 MATEMÁTICA 5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de: a) 38% b) 40% c) 42% d) 44% e) 46% 3) Resposta “D”. Solução: Pcusto = 100,00 O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00 Pc + 0,25Pc = 100,00 1,25Pc = 100,00 Pc = 6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é: a) 2,56 x b) 1,6x c) x + 160 d) 2,6x e) 3,24x 4) Resposta “C”. Solução: X reais (preço de custo) 50 = 10x + 5 2x + 1 = 10 2 (divi- Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50. 7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a) 25% b) 26% c) 44% d) 45% e) 50% Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%: 20.1,50 100 = 0,30 Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de lucro em cima do valor de custo. Alternativa C. 8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será: a) (0,7)7 V b) (0,3)7 V c) (0,7)8 V d) (0,3)8 V e) (0,3)9 V 5) Resposta “B”. Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria será: V2 = V.(1 + p1 ).(1 – p2 ). 100 100 Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2. p 1,61 = 1.(1 + 15 ).(1 – 2 ) 9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade? 100 100 p2 15 1,61 = (1 + ).(1 – ) (mmc de 100) 100 100 1,61 = ( 115 ).(1 – 10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina? 100 p2 ) 100 Respostas 1,61 = - 115(100 − P 2) 1) Resposta “D”. Solução: 16100 = -11.500 + 115P2 10000 115P2 = -11.500 + 16100 P2 = 4600/115 P2 = 40% 10 10 1 . = = 1% 100 100 100 6) Resposta “E”. Solução: 2) Resposta “80%”. Solução: 05 ----------- 100% 04 ----------- x 5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x = 100x + 50 Lucro de 50%: x + 50% = x + 100 = 100 dimos por 10 e depois dividimos por 5). 80 ⎞ ⎛ 80 ⎞ ⎛ . 1+ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x SA = ⎜ 1+ ⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 400 = 80% 5 Didatismo e Conhecimento 34 MATEMÁTICA 7) Resposta “C”. Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria será: V2 = V.(1 - p1 ).(1 100 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA; DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA. p2 ) 100 Substituindo V por um valor: 1, ficará: Conceitos Básicos V2 = 1.(1 - 20 ).(1 – 30 ) A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político… Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens. Existem indícios que há 300 mil anos a.C. já se faziam censos na China, Babilônia e no Egito. Censos estes que se destinavam à taxação de impostos. Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso quotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas. 100 100 V2 = ( 100 − 20 ).( 100 − 30 ) 100 100 V2 = ( 80 ).( 70 ) 100 100 V2 = 5600 10000 V2 = 56 que é igual a 56% 100 100% - 56% = 44% 8) Resposta “A”. Solução: 1º ano = 1 2º ano = 0,70 – 30% (0,21) 3º ano = 0,49 – 30% (0,147) 4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029) 5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203) 6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421) 7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947) 8º ano = 0,0823543 0,0823543 = (0,7)7V Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos. Em Estatística, um resultado é significante, portanto, tem significância estatística, se for improvável que tenha ocorrido por acaso (que em estatística e probabilidade é tratado pelo conceito de chance), caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas não sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. A expressão teste de significância foi cunhada por Ronald Fisher. Mais concretamente, no teste de hipóteses com base em frequência estatística, a significância de um teste é a probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é também chamado de α e não deve ser confundido com o valor p (p-value). Por exemplo, podemos escolher um nível de significância de, digamos, 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo a média) de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor, dada a verdade da hipótese nulo, ser 5%. Se o valor estatístico calculado (ou seja, o nível de 5% de significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante “ao nível de 5%”. Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é menor, o valor é menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. Deste modo, um resultado que é “significante ao nível de 1%” é mais significante do que um resultado que é significante “ao nível de 5%”. No entanto, um teste ao nível de 1% é mais susceptível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e por isso terá menos poder estatístico. 9) Resposta “5%”. Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados 5 25000 5 = 5%ou = = 5% 100 500000 100 Portanto, 5% da população da cidade é desempregada. 10) Resposta “500 unidades”. Solução: 4% → 20 bolinhas. Então: 20% → 100 bolinhas 100% → 500 bolinhas Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20. 4 = 0,004 , podemos escrever: 100 20 0,04 . x = 20 → x = → x = 500. 0,04 Como 4% = Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades. Didatismo e Conhecimento 35 MATEMÁTICA Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar maximizar o poder de uma dada significância, mas ultimamente tem de reconhecer que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso entre significância e poder, em outras palavras, entre os erros de tipo I e tipo II. É importante ressaltar que os valores p Fisherianos são filosoficamente diferentes dos erros de tipo I de Neyman-Pearson. Esta confusão é infelizmente propagada por muitos livros de estatística. uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador manipula algumas variáveis e então mede os efeitos desta manipulação em outras variáveis; por exemplo, aumentar artificialmente a pressão sangüínea e registrar o nível de colesterol. A análise dos dados em uma pesquisa experimental também calcula “correlações” entre variáveis, especificamente entre aquelas manipuladas e as que foram afetadas pela manipulação. Entretanto, os dados experimentais podem demonstrar conclusivamente relações causais (causa e efeito) entre variáveis. Por exemplo, se o pesquisador descobrir que sempre que muda a variável A então a variável B também muda, então ele poderá concluir que A “influencia” B. Dados de uma pesquisa correlacional podem ser apenas “interpretados” em termos causais com base em outras teorias (não estatísticas) que o pesquisador conheça, mas não podem ser conclusivamente provar causalidade. Divisão da Estatística: - Estatística Descritiva: Média (Aritmética, Geométrica, Harmônica, Ponderada) - Mediana - Moda - Variância - Desvio padrão - Coeficiente de variação. - Inferência Estatística: Testes de hipóteses - Significância Potência - Hipótese nula/Hipótese alternativa - Erro de tipo I - Erro de tipo II - Teste T - Teste Z - Distribuição t de Student - Normalização - Valor p - Análise de variância. - Estatística Não-Paramétrica: Teste Binomial - Teste Qui-quadrado (uma amostra, duas amostras independentes, k amostras independentes) - Teste Kolmogorov-Smirnov (uma amostra, duas amostras independentes) - Teste de McNemar - Teste dos Sinais Teste de Wilcoxon - Teste de Walsh - Teste Exata de Fisher - Teste Q de Cochran - Teste de Kruskal-Wallis - Teste de Friedman. - Análise da Sobrevivência: Função de sobrevivência - Kaplan-Meier - Teste log-rank - Taxa de falha - Proportional hazards models. - Amostragem: Amostragem aleatória simples (com reposição, sem reposição) - Amostragem estratificada - Amostragem por conglomerados - Amostragem sistemática - estimador razão - estimador regressão. - Distribuição de Probabilidade: Normal - De Pareto - De Poisson - De Bernoulli - Hipergeométrica - Binomial - Binomial negativa - Gama - Beta - t de Student - F-Snedecor. - Correlação: Variável de confusão - Coeficiente de correlação de Pearson - Coeficiente de correlação de postos de Spearman - Coeficiente de correlação tau de Kendall). Regressão: Regressão linear - Regressão não-linear - Regressão logística - Método dos mínimos quadrados - Modelos Lineares Generalizados - Modelos para Dados Longitudinais. - Análise Multivariada: Distribuição normal multivariada Componentes principais - Análise fatorial - Análise discriminante - Análise de “Cluster” (Análise de agrupamento) - Análise de Correspondência. - Séries Temporais: Modelos para séries temporais - Tendência e sazonalidade - Modelos de suavização exponencial - ARIMA Modelos sazonais. Panorama Geral: Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variáveis independentes são aquelas que são manipuladas enquanto que variáveis dependentes são apenas medidas ou registradas. Esta distinção confunde muitas pessoas que dizem que “todas variáveis dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma vez que se esteja acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. Os termos variável dependente e independente aplicam-se principalmente à pesquisa experimental, onde algumas variáveis são manipuladas, e, neste sentido, são “independentes” dos padrões de reação inicial, intenções e características dos sujeitos da pesquisa (unidades experimentais). Espera-se que outras variáveis sejam “dependentes” da manipulação ou das condições experimentais. Ou seja, elas dependem “do que os sujeitos farão” em resposta. Contrariando um pouco a natureza da distinção, esses termos também são usados em estudos em que não se manipulam variáveis independentes, literalmente falando, mas apenas se designam sujeitos a “grupos experimentais” baseados em propriedades pré-existentes dos próprios sujeitos. Por exemplo, se em uma pesquisa compara-se a contagem de células brancas (White Cell Count em inglês, WCC) de homens e mulheres, sexo pode ser chamada de variável independente e WCC de variável dependente. Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em “quão bem” elas podem ser medidas, isto é, em quanta informação seu nível de mensuração pode prover. Há obviamente algum erro em cada medida, o que determina o “montante de informação” que se pode obter, mas basicamente o fator que determina a quantidade de informação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de mensuração. Sob este prisma as variáveis são classificadas como nominais, ordinais e intervalares. - Variáveis nominais permitem apenas classificação qualitativa. Ou seja, elas podem ser medidas apenas em termos de quais itens pertencem a diferentes categorias, mas não se pode quantificar nem mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles “tem mais” da qualidade representada pela variável. Exemplos típicos de variáveis nominais são sexo, raça, cidade, etc. - Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em termos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade representada pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto mais”. Um exemplo típico de uma variável ordinal é o status sócio-econômico das famílias residentes em uma localidade: sabe-se que Variáveis: São características que são medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em muitos aspectos, principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma como podem ser medidas. Pesquisa “Correlacional” X Pesquisa “Experimental”: A maioria das pesquisas empíricas pertencem claramente a uma dessas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional (Levantamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar) nenhuma variável, mas apenas as mede e procura por relações (correlações) entre elas, como pressão sangüínea e nível de colesterol. Em Didatismo e Conhecimento 36 MATEMÁTICA média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode dizer, por exemplo, que é 18% mais alta. A própria distinção entre mensuração nominal, ordinal e intervalar representa um bom exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida nominal provê menos informação do que uma medida ordinal, mas não se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferença se compara à diferença entre mensuração ordinal e intervalar. - Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em postos os itens que estão sendo medidos, mas também quantificar e comparar o tamanho das diferenças entre eles. Por exemplo, temperatura, medida em graus Celsius constitui uma variável intervalar. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é maior do que 30C e que um aumento de 20C para 40C é duas vezes maior do que um aumento de 30C para 40C. Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer estão relacionadas se em uma amostra de observações os valores dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. Em outras palavras, as variáveis estão relacionadas se seus valores correspondem sistematicamente uns aos outros para aquela amostra de observações. Por exemplo, sexo e WCC seriam relacionados se a maioria dos homens tivesse alta WCC e a maioria das mulheres baixa WCC, ou vice-versa; altura é relacionada ao peso porque tipicamente indivíduos altos são mais pesados do que indivíduos baixos; Q.I. está relacionado ao número de erros em um teste se pessoas com Q.I.’s mais altos cometem menos erros. bilidade de uma relação observada entre variáveis na amostra pode ser estimada quantitativamente e representada usando uma medida padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância estatística). Significância Estatística (nível-p): A significância estatística de um resultado é uma medida estimada do grau em que este resultado é “verdadeiro” (no sentido de que seja realmente o que ocorre na população, ou seja no sentido de “representatividade da população”). Mais tecnicamente, o valor do nível-p representa um índice decrescente da confiabilidade de um resultado. Quanto mais alto o nível-p, menos se pode acreditar que a relação observada entre as variáveis na amostra é um indicador confiável da relação entre as respectivas variáveis na população. Especificamente, o nível-p representa a probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado observado como válido, isto é, como “representativo da população”. Por exemplo, um nível-p de 0,05 (1/20) indica que há 5% de probabilidade de que a relação entre as variáveis, encontrada na amostra, seja um “acaso feliz”. Em outras palavras, assumindo que não haja relação entre aquelas variáveis na população, e o experimento de interesse seja repetido várias vezes, poderia-se esperar que em aproximadamente 20 realizações do experimento haveria apenas uma em que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte do que a que foi observada naquela amostra anterior. Em muitas áreas de pesquisa, o nível-p de 0,05 é costumeiramente tratado como um “limite aceitável” de erro. Como determinar que um resultado é “realmente” significante: Não há meio de evitar arbitrariedade na decisão final de qual nível de significância será tratado como realmente “significante”. Ou seja, a seleção de um nível de significância acima do qual os resultados serão rejeitados como inválidos é arbitrária. Na prática, a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto a priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e comparações efetuadas no conjunto de dados; no total de evidências consistentes do conjunto de dados; e nas “tradições” existentes na área particular de pesquisa. Tipicamente, em muitas ciências resultados que atingem nível-p 0,05 são considerados estatisticamente significantes, mas este nível ainda envolve uma probabilidade de erro razoável (5%). Resultados com um nível-p 0,01 são comumente considerados estatisticamente significantes, e com nível-p 0,005 ou nível-p 0,001 são freqüentemente chamados “altamente” significantes. Estas classificações, porém, são convenções arbitrárias e apenas informalmente baseadas em experiência geral de pesquisa. Uma conseqüência óbvia é que um resultado considerado significante a 0,05, por exemplo, pode não sê-lo a 0,01. Significância estatística e o número de análises realizadas: Desnecessário dizer quanto mais análises sejam realizadas em um conjunto de dados, mais os resultados atingirão “por acaso” o nível de significância convencionado. Por exemplo, ao calcular correlações entre dez variáveis (45 diferentes coeficientes de correlação), seria razoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois (um em cada 20) coeficientes de correlação são significantes ao nível-p 0,05, mesmo que os valores das variáveis sejam totalmente aleatórios, e aquelas variáveis não se correlacionem na população. Alguns métodos estatísticos que envolvem muitas comparações, e portanto uma boa chance para tais erros, incluem alguma “correção” ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto, muitos métodos estatísticos (especialmente análises exploratórias simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este problema. Cabe então ao pesquisador avaliar cuidadosamente a confiabilidade de descobertas não esperadas. Importância das relações entre variáveis: Geralmente o objetivo principal de toda pesquisa ou análise científica é encontrar relações entre variáveis. A filosofia da ciência ensina que não há outro meio de representar “significado” exceto em termos de relações entre quantidades ou qualidades, e ambos os casos envolvem relações entre variáveis. Assim, o avanço da ciência sempre tem que envolver a descoberta de novas relações entre variáveis. Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é feita de forma bastante direta, bem como nas pesquisas experimentais. Por exemplo, o experimento já mencionado de comparar WCC em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. A Estatística nada mais faz do que auxiliar na avaliação de relações entre variáveis. Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas propriedades formais mais elementares de qualquer relação entre variáveis são a magnitude (“tamanho”) e a confiabilidade da relação. - Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a confiabilidade. Por exemplo, se cada homem em nossa amostra tem um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra, poderia-se dizer que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e WCC) é muito alta em nossa amostra. Em outras palavras, poderia-se prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão). - Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo, mas extremamente importante. Relaciona-se à “representatividade” do resultado encontrado em uma amostra específica de toda a população. Em outras palavras, diz quão provável será encontrar uma relação similar se o experimento fosse feito com outras amostras retiradas da mesma população, lembrando que o maior interesse está na população. O interesse na amostra reside na informação que ela pode prover sobre a população. Se o estudo atender certos critérios específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confiaDidatismo e Conhecimento 37 MATEMÁTICA Por que pequenas relações podem ser provadas como significantes apenas por grandes amostras: Os exemplos dos parágrafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as variáveis em questão (na população) é pequeno, então não há meio de identificar tal relação em um estudo a não ser que a amostra seja correspondentemente grande. Mesmo que a amostra seja de fato “perfeitamente representativa” da população o efeito não será estatisticamente significante se a amostra for pequena. Analogamente, se a relação em questão é muito grande na população então poderá ser constatada como altamente significante mesmo em um estudo baseado em uma pequena amostra. Mais um exemplo: Se uma moeda é ligeiramente viciada, de tal forma que quando lançada é ligeiramente mais provável que ocorram caras do que coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). Então dez lançamentos não seriam suficientes para convencer alguém de que a moeda é viciada, mesmo que o resultado obtido (6 caras e 4 coroas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda. Entretanto, dez lançamentos não são suficientes para provar nada? Não, se o efeito em questão for grande o bastante, os dez lançamentos serão suficientes. Por exemplo, imagine-se que a moeda seja tão viciada que não importe como venha a ser lançada o resultado será cara. Se tal moeda fosse lançada dez vezes, e cada lançamento produzisse caras, muitas pessoas considerariam isso prova suficiente de que há “algo errado” com a moeda. Em outras palavras, seria considerada prova convincente de que a população teórica de um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais caras do que coroas. Assim, se a relação é grande, então poderá ser considerada significante mesmo em uma pequena amostra. Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis: Foi dito anteriormente que força (magnitude) e confiabilidade são dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Contudo, eles não são totalmente independentes. Em geral, em uma amostra de um certo tamanho quanto maior a magnitude da relação entre variáveis, mais confiável a relação. Assumindo que não há relação entre as variáveis na população, o resultado mais provável deveria ser também não encontrar relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. Assim, quanto mais forte a relação encontrada na amostra menos provável é a não existência da relação correspondente na população. Então a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar fortemente relacionadas, e seria possível calcular a significância a partir da magnitude e vice-versa. Entretanto, isso é válido apenas se o tamanho da amostra é mantido constante, porque uma relação de certa força poderia ser tanto altamente significante ou não significante de todo dependendo do tamanho da amostra. Por que a significância de uma relação entre variáveis depende do tamanho da amostra: Se há muito poucas observações então há também poucas possibilidades de combinação dos valores das variáveis, e então a probabilidade de obter por acaso uma combinação desses valores que indique uma forte relação é relativamente alta. Considere-se o seguinte exemplo: Há interesse em duas variáveis (sexo: homem, mulher; WCC: alta, baixa) e há apenas quatro sujeitos na amostra (2 homens e 2 mulheres). A probabilidade de se encontrar, puramente por acaso, uma relação de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta quanto 1/8. Explicando, há uma chance em oito de que os dois homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa WCC, ou vice-versa, mesmo que tal relação não exista na população. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de obter aquele resultado por acaso seria praticamente zero. Observando um exemplo mais geral. Imagine-se uma população teórica em que a média de WCC em homens e mulheres é exatamente a mesma. Supondo um experimento em que se retiram pares de amostras (homens e mulheres) de um certo tamanho da população e calcula-se a diferença entre a média de WCC em cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido várias vezes). Na maioria dos experimento os resultados das diferenças serão próximos de zero. Contudo, de vez em quando, um par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulheres consideravelmente diferente de zero. Com que freqüência isso acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a probabilidade de obter esses resultados errôneos, que, neste caso, indicariam a existência de uma relação entre sexo e WCC obtida de uma população em que tal relação não existe. Observe-se mais um exemplo (“razão meninos para meninas”, Nisbett et al., 1987): Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia e no outro apenas 12. Em média a razão de meninos para meninas nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Contudo, certo dia, em um dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do que meninos. Em que hospital isso provavelmente aconteceu? A resposta é óbvia para um estatístico, mas não tão óbvia para os leigos: é muito mais provável que tal fato tenha ocorrido no hospital menor. A razão para isso é que a probabilidade de um desvio aleatório da média da população aumenta com a diminuição do tamanho da amostra (e diminui com o aumento do tamanho da amostra). Didatismo e Conhecimento Pode uma “relação inexistente” ser um resultado significante: Quanto menor a relação entre as variáveis maior o tamanho de amostra necessário para prová-la significante. Por exemplo, imagine-se quantos lançamentos seriam necessários para provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for de apenas 0,000001 %! Então, o tamanho mínimo de amostra necessário cresce na mesma proporção em que a magnitude do efeito a ser demonstrado decresce. Quando a magnitude do efeito aproxima-se de zero, o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproxima-se do infinito. Isso quer dizer que, se quase não há relação entre duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao tamanho da população, que teoricamente é considerado infinitamente grande. A significância estatística representa a probabilidade de que um resultado similar seja obtido se toda a população fosse testada. Assim, qualquer coisa que fosse encontrada após testar toda a população seria, por definição, significante ao mais alto nível possível, e isso também inclui todos os resultados de “relação inexistente”. Como medir a magnitude (força) das relações entre variáveis: Há muitas medidas da magnitude do relacionamento entre variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de uma medida específica em dadas circunstâncias depende do número de variáveis envolvidas, níveis de mensuração usados, natureza das relações, etc. Quase todas, porém, seguem um princípio geral: elas procuram avaliar a relação comparando-a de alguma forma com a “máxima relação imaginável” entre aquelas variáveis específicas. Tecnicamente, um modo comum de realizar tais avaliações é observar quão diferenciados são os valores das variáveis, e então calcular qual parte desta “diferença global disponível” seria detectada na ocasião se aquela diferença fosse “comum” (fosse apenas devida à 38 MATEMÁTICA relação entre as variáveis) nas duas (ou mais) variáveis em questão. Falando menos tecnicamente, compara-se “o que é comum naquelas variáveis” com “o que potencialmente poderia haver em comum se as variáveis fossem perfeitamente relacionadas”. Outro exemplo: Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em homens e 102 em mulheres. Assim, poderia-se dizer que, em média, o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma componente devida ao sexo do sujeito, e o tamanho desta componente é 1. Este valor, em certo sentido, representa uma medida da relação entre sexo e WCC. Contudo, este valor é uma medida muito pobre, porque não diz quão relativamente grande é aquela componente em relação à “diferença global” dos valores de WCC. Há duas possibilidades extremas: S - Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais a 100 e os das mulheres iguais a 102 então todos os desvios da média conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo. Poderia-se dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correlacionado a WCC, ou seja, 100% das diferenças observadas entre os sujeitos relativas a suas WCC’s devem-se a seu sexo. - Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a 1000, a mesma diferença (de 2) entre a WCC média de homens e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na diferença global dos valores que muito provavelmente seria considerada desprezível. Por exemplo, um sujeito a mais que fosse considerado poderia mudar, ou mesmo reverter, a direção da diferença. Portanto, toda boa medida das relações entre variáveis tem que levar em conta a diferenciação global dos valores individuais na amostra e avaliar a relação em termos (relativos) de quanto desta diferenciação se deve à relação em questão. relacionamento entre “magnitude” e “significância” das relações entre duas variáveis, dependendo do tamanho da amostra. Tal função diria exatamente “quão provável é obter uma relação de dada magnitude (ou maior) de uma amostra de dado tamanho, assumindo que não há tal relação entre aquelas variáveis na população”. Em outras palavras, aquela função forneceria o nível de significância (nível-p), e isso permitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejeitar a idéia de que a relação em questão não existe na população. Esta hipótese “alternativa” (de que não há relação na população) é usualmente chamada de hipótese nula. Seria ideal se a função de probabilidade fosse linear, e por exemplo, apenas tivesse diferentes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Infelizmente, a função é mais complexa, e não é sempre exatamente a mesma. Entretanto, em muitos casos, sua forma é conhecida e isso pode ser usado para determinar os níveis de significância para os resultados obtidos em amostras de certo tamanho. Muitas daquelas funções são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada de normal (ou gaussiana). Por que a distribuição normal é importante: A “distribuição normal” é importante porque em muitos casos ela se aproxima bem da função introduzida no item anterior. A distribuição de muitas estatísticas de teste é normal ou segue alguma forma que pode ser derivada da distribuição normal. Neste sentido, filosoficamente, a distribuição normal representa uma das elementares “verdades acerca da natureza geral da realidade”, verificada empiricamente, e seu status pode ser comparado a uma das leis fundamentais das ciências naturais. A forma exata da distribuição normal (a característica “curva do sino”) é definida por uma função que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão. Uma propriedade característica da distribuição normal é que 68% de todas as suas observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média, um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores, e 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média. Em outras palavras, em uma distribuição normal as observações que tem um valor padronizado de menos do que -2 ou mais do que +2 tem uma freqüência relativa de 5% ou menos (valor padronizado significa que um valor é expresso em termos de sua diferença em relação à média, dividida pelo desvio padrão). Ilustração de como a distribuição normal é usada em raciocínio estatístico (indução): Retomando o exemplo já discutido, onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados de uma população em que o valor médio de WCC em homens e mulheres era exatamente o mesmo. Embora o resultado mais provável para tais experimentos (um par de amostras por experimento) é que a diferença entre a WCC média em homens e mulheres em cada par seja próxima de zero, de vez em quando um par de amostras apresentará uma diferença substancialmente diferente de zero. Quão freqüentemente isso ocorre? Se o tamanho da amostra é grande o bastante, os resultados de tais repetições são “normalmente distribuídos”, e assim, conhecendo a forma da curva normal pode-se calcular precisamente a probabilidade de obter “por acaso” resultados representando vários níveis de desvio da hipotética média populacional 0 (zero). Se tal probabilidade calculada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente aceito de significância estatística, então pode-se concluir que o resultado obtido produz uma melhor aproximação do que está acontecendo na população do que a “hipótese nula”. Lembrando ainda que a hipótese nula foi considerada apenas por “razões técnicas” como uma referência contra a qual o resultado empírico (dos experimentos) foi avaliado. “Formato geral” de muitos testes estatísticos: Como o objetivo principal de muitos testes estatísticos é avaliar relações entre variáveis, muitos desses testes seguem o princípio exposto no item anterior. Tecnicamente, eles representam uma razão de alguma medida da diferenciação comum nas variáveis em análise (devido à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. Por exemplo, teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos valores de WCC que podem se dever ao sexo pela diferenciação global dos valores de WCC. Esta razão é usualmente chamada de razão da variação explicada pela variação total. Em estatística o termo variação explicada não implica necessariamente que tal variação é “compreendida conceitualmente”. O termo é usado apenas para denotar a variação comum às variáveis em questão, ou seja, a parte da variação de uma variável que é “explicada” pelos valores específicos da outra variável e vice-versa. Como é calculado o nível de significância estatístico: Assuma-se que já tenha sido calculada uma medida da relação entre duas variáveis (como explicado acima). A próxima questão é “quão significante é esta relação”? Por exemplo, 40% da variação global ser explicada pela relação entre duas variáveis é suficiente para considerar a relação significante? “Depende”. Especificamente, a significância depende principalmente do tamanho da amostra. Como já foi explicado, em amostras muito grandes mesmo relações muito pequenas entre variáveis serão significantes, enquanto que em amostras muito pequenas mesmo relações muito grandes não poderão ser consideradas confiáveis (significantes). Assim, para determinar o nível de significância estatística torna-se necessária uma função que represente o Didatismo e Conhecimento 39 MATEMÁTICA Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos: Não todos, mas muitos são ou baseados na distribuição normal diretamente ou em distribuições a ela relacionadas, e que podem ser derivadas da normal, como as distribuições t, F ou Chi-quadrado (Qui-quadrado). Tipicamente, estes testes requerem que as variáveis analisadas sejam normalmente distribuídas na população, ou seja, que elas atendam à “suposição de normalidade”. Muitas variáveis observadas realmente são normalmente distribuídas, o que é outra razão por que a distribuição normal representa uma “característica geral” da realidade empírica. O problema pode surgir quando se tenta usar um teste baseado na distribuição normal para analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas. Em tais casos há duas opções. Primeiramente, pode-se usar algum teste “não paramétrico” alternativo (ou teste “livre de distribuição”); mas isso é freqüentemente inconveniente porque tais testes são tipicamente menos poderosos e menos flexíveis em termos dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. Alternativamente, em muitos casos ainda se pode usar um teste baseado na distribuição normal se apenas houver certeza de que o tamanho das amostras é suficientemente grande. Esta última opção é baseada em um princípio extremamente importante que é largamente responsável pela popularidade dos testes baseados na distribuição normal. Nominalmente, quanto mais o tamanho da amostra aumente, mais a forma da distribuição amostral (a distribuição de uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da normal, mesmo que a distribuição da variável em questão não seja normal. Este princípio é chamado de Teorema Central do Limite. vendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões. Mediana, Moda e Quartis Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, os valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, existe um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores centrais para a mediana. É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: - Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. - Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. Como se conhece as consequências de violar a suposição de normalidade: Embora muitas das declarações feitas anteriormente possam ser provadas matematicamente, algumas não têm provas teóricas e podem demonstradas apenas empiricamente via experimentos Monte Carlo (simulações usando geração aleatória de números). Nestes experimentos grandes números de amostras são geradas por um computador seguindo especificações pré-designadas e os resultados de tais amostras são analisados usando uma grande variedade de testes. Este é o modo empírico de avaliar o tipo e magnitude dos erros ou viesamentos a que se expõe o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes usados não são verificadas nos dados sob análise. Especificamente, os estudos de Monte Carlo foram usados extensivamente com testes baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis eles eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas tinham distribuição normal na população. A conclusão geral destes estudos é que as conseqüências de tais violações são menos severas do que se tinha pensado a princípio. Embora estas conclusões não devam desencorajar ninguém de se preocupar com a suposição de normalidade, elas aumentaram a popularidade geral dos testes estatísticos dependentes da distribuição normal em todas as áreas de pesquisa. Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; então uma expressão para o cálculo da mediana será: Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolDidatismo e Conhecimento 40 MATEMÁTICA Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente. Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível aos dados. - Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. - A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75. Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas. Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo com a seguinte tabela de frequências: Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será: Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. - Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. - A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. Salário (em euros) 75 100 145 200 400 Frequência absoluta 23 58 50 Frequência acumulada 23 81 131 151 158 20 7 1700 2 160 Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos. Resolução: = = (75.23+100.58+...+400.7+1700.2)/160 = 156,10 Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80 e 81 = 100 euros. Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e uma mediana de 100, é reflexo do fato de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita essa ideia. A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores «muito grandes» ou «muito pequenos», mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: - for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da medianas a média tende a ser maior que a mediana. - for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como “outliers”), a média tende a ser inferior à mediana. Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou aproximadamente simétrica, as medidas de localização do centro da amostra (média e mediana) coincidem ou são muito semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é assimétrica, fato que se prende com a pouca resistência da média. Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral: Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais. Didatismo e Conhecimento 41 MATEMÁTICA Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, de maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana. Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal. Exemplo: Tendo-se decidido registrar os pesos dos alunos de uma determinada turma prática do 10º ano, obtiveram-se os seguintes valores (em kg): a) Determine os quantis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis. b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado “normal”, isto é nem demasiado magro, nem demasiado gordo? Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos: a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5 Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação). b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco “forte”, pois naquela turma só 25% dos alunos é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg. Médias Noção Geral de Média Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os elementos de A. Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação. Média Aritmética Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vimos anteriormente é a medida de localização, tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Qp. Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada. Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica. Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o cálculo dos quartis: Definição A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. Cálculo da média aritmética Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição: Qp = e, portanto, onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a. Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o nome de 1º quartil e 3º quartil. Didatismo e Conhecimento 42 n parcelas MATEMÁTICA Conclusão A média aritmética ponderada é 18. A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus elementos, dividida por n. Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, deve ser entendida como média aritmética. Exemplo Exercícios Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 1. Determine a média aritmética entre 2 e 8. Resolução 2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10. Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim: e 9? 3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter? A média aritmética é 7. 5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos: a) 15; 48; 36 b) 80; 71; 95; 100 c) 59; 84; 37; 62; 10 d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Média Aritmética Ponderada Definição A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada. 6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5? Cálculo da média aritmética ponderada Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição: 7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respectivos pesos 5 , 3 e 2. P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = = P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x = = P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma? 9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada: Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então: que é a média aritmética simples. Profissionais → Quantidade → Salário Conclusão Serventes → 20 profissionais → R$ 320,00 Técnicos → 10 profissionais → R$ 840,00 Engenheiros → 5 profissionais A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos. 10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respectivos pesos 10, 5 e 20. Exemplo Respostas Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente. 1) Resposta “5”. Solução: M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5. Resolução 2) Resposta “6”. Solução: M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 6. Se x for a média aritmética ponderada, então: Didatismo e Conhecimento → R$ 1.600,00 43 MATEMÁTICA 3) Resposta “10”. Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, portanto: 9) Resposta “ Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto: Logo, a média aritmética é 10. 4) Resposta “164”. Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média. Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir. Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação: 10) Resposta “11,42”. Solução: Média Geométrica Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto. Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n. Solucionando-a temos: Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164. Neste exemplo teríamos a seguinte solução: 5) Solução: a) (15 + 48 + 36)/3 = 99/3 = 33 b) (80 + 71 + 95 + 100)/4= 346/4 = 86,5 Utilidades da Média Geométrica Progressão Geométrica c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5= = 252/5 = 50,4 Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente: d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9= 45/9 = =5 6) Resposta “22”. Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos: Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63. Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63. Vejamos: Logo, a média aritmética ponderada é 22. Variações Percentuais em Sequência 7) Resposta “4,9”. Solução: Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em sequência. Exemplo 8) Resposta “ Solução: Didatismo e Conhecimento Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? 44 MATEMÁTICA Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores: E para a média geométrica de x e y. então an e hn convergem Cálculo da Media Geométrica Triangular Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividimos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos. Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento. Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%. Exemplo A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por: Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos: Salário Inicial +% Informado Salário final Salário inicial +% médio Salário final R$ 1.000,00 20% R$ 1.200,00 R$ 1.000,00 12, 8417 R$ 1.128,74 R$ 1.200,00 12% R$ 1.334,00 R$ 1.287,74 12, 8417 R$ 1.274,06 R$ 1.334,00 7% R$ 1.438,00 R$ 1.274,06 12, 8417 R$ 1.438,08 G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013 Aplicação Prática Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64. Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica. A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada. G = R[a × b] = R[64] = 8 Resposta É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm. Cálculo da Média Geométrica Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é Interpretação gráfica A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples. Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta. A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas. A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas: Didatismo e Conhecimento 45 MATEMÁTICA Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC. 4) Resposta””. Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, podemos escrever: Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será: Exercícios e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → 5) Resposta “8”. Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números: 1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8. 2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4. 3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respectivamente, iguais a 4 e 9. Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações? 4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média aumente 2 unidades ? Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever: 5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32? 6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números? Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos: 7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números? Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resolvendo a potência resultante: 8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9. 9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81 Logo, a média geométrica deste conjunto é 8. 10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234. 6) Resposta “16, 25”. Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média aritmética deles pode ser expressa como: Respostas 1) Resposta “4”. Solução: Já média geométrica pode ser expressa como: 2) Resposta “2”. Solução: Vamos isolar a na primeira equação: Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média geométrica entre dois números. 3) Resposta “6”. Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos: Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b: g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6. Didatismo e Conhecimento 46 MATEMÁTICA Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto. Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12. Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau: 8) Resposta “6”. Solução: G = 2 4.9 = 6 Solucionando a mesma temos: 9) Resposta “9”. Solução: G = 4 3.3.9.81 = 9 10) Resposta “6”. Solução: G = 5 1.1.1.32.243 = 6 Probabilidade Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos conferir. Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar: Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis. Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S). Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A). Sabemos que , portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de a. Para b = 16 temos: Para b = 25 temos: Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos. Ø = evento impossível. S = evento certo. Logo, os dois números são 16, 25. Conceito de Probabilidade 7) Resposta “12”. Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números, a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação: As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando: Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor numérico do produto destes dois números: Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos: - um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S. - o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3. Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada: Didatismo e Conhecimento 47 MATEMÁTICA Eventos Exaustivos Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S - a probabilidade do evento número par é 1/2, pois Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio - Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1. - Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. - Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 P(A). Então, logo: Demonstração das Propriedades Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos: Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 Probabilidade Condicionada Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A). Veja: União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos: Eventos Independentes Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando: Eventos Mutuamente Exclusivos P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B) Intersecção de Eventos Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo: Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente: P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) Didatismo e Conhecimento 48 MATEMÁTICA Assim sendo: P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação: A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama? Lei Binominal de Probabilidade Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p. 04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais? 05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é (A) 10% (B) 12% (C) 64% (D) 82% (E) 86% 06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca? Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes? Resolução: - Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A. - Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é: 07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é: (A) 42% (B) 45% (C) 46% (D) 48% (E) 50% - As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. - Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k 08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é: (A) 0,5 (B) 5/7 (C) 0,6 (D) 7/15 (E) 0,7 QUESTÕES 01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é: 09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é: 02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é Didatismo e Conhecimento 49 MATEMÁTICA B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2 10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é: Como AB = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(AB) = P(A) + P(B) = Respostas 01. 07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos: (A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta. 02. A partir da distribuição apresentada no gráfico: 08 mulheres sem filhos. 07 mulheres com 1 filho. 06 mulheres com 2 filhos. 02 mulheres com 3 filhos. Assim, temos: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30% P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 P (A B) = 0,28 + 0,18 P (A B) = 0,46 P (A B) = 46% Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25. 03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é: 05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500 08. Sendo A e B eventos independentes, P(AB) = P(A) . P(B) e como P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Temos: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7. A: o número sorteado é formado por 3 algarismos; A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500 B: o número sorteado é múltiplo de 10; B = {10, 20, ..., 500}. 09. Representando por a probabilidade pedida, temos: Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que a1 = 10 an = 500 r = 10 Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50 Dessa forma, p(B) = 50/500. 10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então: I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas. II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco. A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; A Ω B = {100, 110, ..., 500}. De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(AB) = 41/500 Por fim, p(A.B) = 06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas. Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9 A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4 Didatismo e Conhecimento A probabilidade de isso ocorrer é: 50 MATEMÁTICA Observações: Perceba que se a taxa de juros for mensal o tempo deverá ser descrito em meses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma unidade de tempo. Além disso outra informação muito importante e que às vezes passa por despercebido é que a taxa de juros (i) deve estar em forma decimal durante o cálculo e não em percentual. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS. A Matemática Financeira é uma área da matemática que aplica seus conceitos no estudo da variação do dinheiro ao longo do tempo. A origem da Matemática Financeira está intimamente ligada a dos regimes econômicos, o surgimento do crédito e do sistema financeiro. Todo o desenvolvimento da Matemática Financeira está ligado à utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrário de sua simples propriedade, que por si só não apresenta rendimento. Taxa exata e comercial: a taxa exata é como chama-se a taxa de juros que considera os dias conforme o calendário anual, ou seja, 365 ou 366 dias no ano, 28, 29, 30 ou 31 dias no mês. A taxa comercial é a convenção usada nos mercados, onde se considera meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias). Taxa efetiva e nominal: a taxa efetiva é a taxa que está sendo referenciada ao período de capitalização. A taxa nominal é a taxa dada em desconformidade com o período de capitalização. Usualmente utiliza-se para conversão, a convenção comercial. Assim, uma taxa anual capitalizada mensalmente deve ser dividida pelo número de meses do ano para obter a taxa efetiva. Capital ou Principal: é valor de uma quantia em dinheiro “na data zero”, ou seja, no inicio de uma aplicação. Capital poder ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor financiado de um bem, ou de um empréstimo tomado. Para evitar problemas com mudanças de unidades monetárias, e para tornar este livro mais amigável a leitores lusófonos, utilizaremos sempre uma unidade fictícia, chamada de unidade monetária, abreviada por u.m. ou representada por $, junto ao valor. Capital pode ser apresentado sob várias siglas e sinônimos: C (de Capital); P (de Principal); VP (de Valor Presente); PV (de Present Value); C (Capital Inicial). Prazo ou Período de Capitalização: é o tempo pelo qual o capital é aplicado. Representado por: n ou t. Montante: (também conhecido como valor acumulado) é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo. Matematicamente: Juros: são a remuneração paga pelo uso do dinheiro. Pode ser tanto o rendimento de uma aplicação quanto o juro a ser pago em um financiamento. Diferencia-se do capital por que resulta da aplicação financeira, enquanto o capital é o motivo da aplicação financeira. Os Juros sempre são expressos em unidades monetárias, e representam o montante financeiro referente a uma aplicação. Representado pela letra J. (considerando-se M a representação de Montante) Como é o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante é calculado apenas no fim da capitalização. Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); C. Juros (Capitalização) Simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. Prestação: é a parcela contínua que amortiza o Capital e os Juros, representada por: R (de Renda). Outras representações: PMT (de payment); Pgto (de Pagamento); a (Anuidade). Juros (Capitalização) Compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Desconto: é um abatimento oferecido sobre o valor nominal de um título ou sobre o montante de uma dívida a vencer, quando paga antecipadamente. Geralmente, o desconto é expresso em forma percentual. Por exemplo, um produto que custa R$500,00 com desconto de 5% sairá R$ 500,00 - 0,05 x R$ 500,00 = R$475,00. Representado por d: Taxa de juros: representa a razão entre o juro e o capital (J/C). O cálculo da taxa de juros é responsável pela observação da rentabilidade de uma operação financeira, sendo indispensável para a tomada de decisão de investimentos. Normalmente é representada em forma percentual. Um valor percentual é um valor que representa a taxa de juros para um capital de 100 u.m. Para efeito de cálculo sempre é utilizado a taxa unitária, que é aquela que resulta diretamente no juro de um período, quando multiplicada pelo capital. Representada por i. Por exemplo: 0,05 = 5% Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %. Outro item importante a considerar nas taxas de juro, é que elas sempre devem estar de acordo com o período de capitalização. Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais, anuais. 8% a.a. - (a.a. significa ao ano). 10% a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Didatismo e Conhecimento Capitalização e Descapitalização Chamamos de capitalização o processo de aplicação de uma taxa de juros sobre um capital, resultando de um juro e, por conseguinte de um montante. Quando queremos saber qual o valor de um montante, estamos querendo saber o resultado da capitalização do valor atual. A descapitalização, por outro lado, corresponde a operação inversa, sabemos o valor do montante e queremos saber o valor atual. Fazemos descapitalização quando queremos saber, por exemplo, quanto precisamos investir hoje em um determinado regime de capitalização, durante um determinado número de períodos, para ter numa data futura um determinado montante. 51 MATEMÁTICA Capitalização Simples Solução: No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008). M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Juros Simples No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004). O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . i.n Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100). (75/30) Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses M=P.(1+(i.n)) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. Didatismo e Conhecimento 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 52 MATEMÁTICA Capitalização Composta Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização. Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. (KUHNEN, 2008). Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 → log x = 12 log 1,035 → log x = 0,1788 → x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00 Exercícios 1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros? Primeiramente iremos calcular o valor do capital. Juros Compostos A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital: O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. (BRANCO, 2002). Após três meses de capitalização, temos: Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) ↓ 3% ------------- ½ ano (1 mês) i % ------------ 1ano Resolvendo: Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Identificando-se os termos disponíveis, temos: C= R$ 2.500,00 i= 3% a.m.→ 36% a.a. → j= R$ 1.800,00 Resolução: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? Didatismo e Conhecimento 53 a.a. → 0,36 a.a. MATEMÁTICA Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: C= R$ 27.000,00 i= 2,4% a.m.→ 28,8% a.a. → j= R$ 11.664,00 Substituindo o valor dos termos temos: a.a. → 0,288 a.a. Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: Logo: Portanto: O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período: Substituindo o valor dos termos temos: Logo: Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período: Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado: 2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material? Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, referente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado: Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total. Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00): 3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades. Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00): Montando uma regra de três simples direta, temos: M= R$74.932,00 j= R$ 22.932,00 C = M – j → C = 74.932,00 – 22.932,00 → C = 52.000,00 ↓ 2,4% ------------- ½ ano (1 mês) ↓ i % ------------ 1ano Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades. Resolvendo: Montando uma regra de três simples direta, temos: ↓ 3 bimestres ------------- 1 semestre ↓ n bimestres ------------ 3,5 semestres Didatismo e Conhecimento 54 MATEMÁTICA Resolvendo: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: Identificando-se os termos disponíveis, temos: Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: Substituindo o valor dos termos temos: Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: Substituindo o valor dos termos temos: Logo: Logo: Portanto: A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período: Portanto: 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período: Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo período de tempo, 30, obteríamos a taxa desejada: Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5, obteríamos a taxa desejada: 5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros? 4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.? Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Identificando-se os termos disponíveis, temos: Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00): C= R$ 2.000,00 j= R$ 450,00 n = 1 mês → 30 dias C= R$ 1.800,00 i= 1,3% a.m. → a.m. → 0,013 a.m. n = 1 ano → 12 meses Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades. Didatismo e Conhecimento Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: j = C . i . n Substituindo o valor dos termos temos: j = 1.800,00. 0,013 . 12 55 MATEMÁTICA Logo: j = 280,80 Substituindo o valor dos termos temos: O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor total dos juros. Tal como na fórmula: M = C+ j Logo: Ao substituirmos o valor dos termos temos: M = 1.800,00 + 280,80 → M= 2.080,80 Portanto: o valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria: 1.800,00 . 0,013 → 23,40 Portanto: Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria: Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado: 23,40 . 12 → 280,80 Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado: 7) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação? Identificando-se os termos disponíveis, temos: O valor do montante será encontrado, simplesmente somando-se ao valor do principal, o valor total dos juros: 1.800,00 + 280,80 → 2.080,80 6) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento? Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: ↓ 24,72% ------------- 2 semestres (1 ano) ↓ i % ------------ 1 semestre Resolvendo: Substituindo o valor dos termos temos: No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’). Logo: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: C= R$ 35.000,00 i= 24,72% a.a. → 12,36% a.s. → n = 1 semestre ↓ i ------------- 360 dias (1 ano) ↓ 0,0009 ------------ 1 dia a.s → 0,1236 a.s. Resolvendo: Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: Didatismo e Conhecimento 56 MATEMÁTICA Portanto: 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período: Portanto: A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 1.116,00, pelo valor do principal, R$ 18.000,00, de maneira a encontrar a taxa de juros total do período: Dividindo-se então, esta taxa de 0,0405 pelo período de tempo, 45, obteríamos a taxa desejada: Dividindo-se então, esta taxa de 0,062 pelo período de tempo, 1, obteríamos a taxa desejada: Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima. Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima. 8) Maria realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada? 9) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia emprestado? Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: ↓ 37,5% ------------- 12 meses (1 ano) ↓ i% ------------ 1 mês Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: Resolvendo: Substituindo o valor dos termos temos: Identificando-se os termos disponíveis, temos: No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’). Logo: i= 37,5% a.a. → 3,125% a.m. → → 0,03125 a.m. j= R$ 5.000,00 n = 1 mês ↓ i ------------- 6 bimestres (1 ano) ↓ 0,062 ------------ 1 bimestre Resolvendo: Para calcularmos o capital vamos utilizar a fórmula: C= Substituindo o valor dos termos temos: C= Didatismo e Conhecimento a.m. 57 MATEMÁTICA Logo: C = 160.000,00 Portanto: Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês. Poderíamos chegar à mesma conclusão pela seguinte forma: Se dividirmos o valor total dos juros pelo período de tempo, iremos obter o valor do juro por período: Portanto: O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período: Portanto, ao dividirmos o valor do juro por período, R$ 5.000,00, pela taxa de juros de 3,125%, iremos obter o valor do capital: Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.049,60, referente ao valor total do juro, por R$ 262,40 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado: 10) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses? 11) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do problema: Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: ↓ 19,2% ------------- 6 meses (1 semestre) ↓ i% ------------ 1 mês Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema. Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante: Resolvendo: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos: C = R$ 8.200,00 i= 19,2% a.s. → 3,2% a.m. → Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante: a.m. → 0,032 a.m. j= R$ 1.049,60 Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então: Substituindo o valor dos termos temos: Logo: Didatismo e Conhecimento 58 MATEMÁTICA Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros. 12) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? Calculando o valor da entrada para financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado: Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado: Logo: O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96. 13) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante? Do enunciado identificamos as seguintes variáveis: Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro composto é: Mas como estamos interessados em calcular o capital, é melhor que isolemos a variável C como a seguir: A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos em busca: Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada com os seguintes passos: Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos: Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior: Vamos então novamente isolar a variável C: Didatismo e Conhecimento Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado: 59 MATEMÁTICA O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 2,25%. Logo: Para que eu venha obter o montante desejado, é preciso que a taxa de juro composto seja de 2,25% a.m. Que após colocarmos C em evidência teremos: Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de aplicação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, a fórmula ficará apenas como: 4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital? Do enunciado identificamos as seguintes variáveis: Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido através da fórmula: Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro composto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que estamos a procura: Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, chegaremos à expressão: Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chegamos à mesma fórmula. Por quê? Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao final de cada período, assim como acontece na modalidade de juros compostos. Como há apenas um período, não há distinção entre uma modalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor principal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, por se tratar de apenas um período de aplicação. Substituindo o valor das variáveis na fórmula: Temos então que: Em qualquer uma das modalidades o rendimento será o mesmo. Descontos Simples e Compostos São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o pagamento, ou seja: Assim sendo: Para que eu consiga dobrar o valor do meu capital precisarei de 41,12 meses de aplicação. 5) Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento? Na modalidade de juros simples, temos que o montante pode ser obtido através da seguinte fórmula: D=S-C Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos, respectivamente. Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em: - Desconto comercial, bancário ou por fora; - Desconto racional ou por dentro. Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula: Descontos Simples Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à seguinte expressão: Didatismo e Conhecimento Por Fora (Comercial ou Bancário). O desconto é calculado sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros simples 60 MATEMÁTICA Resposta: Dc = 860 Dr = 781.82 Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr), N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 = 8600.22 Df = S.i.t É o desconto mais utilizado no sistema financeiro, para operações de curto prazo, com pequenas taxas. O valor a ser pago (ou recebido) será o valor atual C = S - Df = S - S.i.t , ou seja C = S.(1- i.t) Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é: Resposta: i = 60% a.a. → i = 0.6 a.a. A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto) 5D = N – D → N = 6D A = N * ( 1 – i*n) 5D = 6D ( 1 – 0.6 * n) 5 = 6 ( 1 – 0.6 * n) 5 = 6 – 3.6 * n 3.6 * n = 1 n = 0.277 (anos) n = 0.277 * 365 dias n = 101.105 dias Por Dentro (Racional). O desconto é calculado sobre o valor atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros simples Dd = C.i.t Como C não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte cálculo: C = S - Dd ==> C = S - C.i.t ==> C + C.i.t = S ==> C(1 + i.t) = S C = S/(1 + i.t) Este desconto é utilizado para operações de longo prazo. Note que (1 - i.t) pode ser nulo, mas (1 + i.t) nunca vale zero. Descontos Compostos O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, considerando n período(s) antecipado(s): Dc = S - C Questão 5. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de 516.000,00. Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais. Sendo a taxa de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de: Resposta: N = 600000 Ab = 516000 h = 0.02 i = 0.96 a.a. Db = Db + N*h Ab = N * [1 - (i*n+h)] 516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)] 0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.02 0.8533 = 0.98 – 0.96*n 0.96 * n = 0.1267 n = 0.1319 anos ≈ 45 dias onde, de S = C.(1 + i)n, tiramos que C = S/(1 + i)n Questão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de: Resposta: h = 0.04 iB = 0.12 * 3 AB = N * [1-(iB * h)] 300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)] 300000 = N * [1-0.4] N = 500000 Vc = 0.04 * N Vc = 0.04 * 500000 Vc = 20000 Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de vencimento é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é: Resposta: N = 256000 n = 7 meses i = 0.04 a.m. iB = n*i = 7*0.04 = 0.28 A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000 Questão 6. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples: Resposta: Dc = 600 i = 0.05 a.m. n=4 Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de: Didatismo e Conhecimento Dc = Dr * (1 + i*n) 600 = Dr * (1 + 0.05*4) Dr = 600/1.2 Dr = 500 61 MATEMÁTICA Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. Resposta: Dr = 800 i = 0.04 a.m. n = 5 meses Dc = Dr * (1 + i*n) Dc = 800 * (1 + 0.04*5) Dc = 800 * 1.2 Dc = 960 Questão 10. Um título sofre desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional: Resposta: Dc = 1856 n = 4 meses i = 0.04 a.m. Questão 8. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de deconto simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. Resposta: Dc = 9810 n = 3 meses i = 0.03 a.m. Questão 11. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. Resposta: N =10000 n = 3 meses i = 0.03 a.m. Dc = N * i * n Dr = N * i * n / (1+i*n) Dr = 1856 / (1+0.04*4) Dr = 1856 / 1.16 Dr = 1600 Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] (1+0.03)3 = 1.092727 Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727 Dcr = 848.58 Dcr = N – A 848.58 = 10000 – A A = 10000 – 848.58 A = 10000 – 848.58 A = 9151.42 Dc = Dr * (1 + i*n) 9810 = Dr * (1 + 0.03*3) 9810 = Dr * 1.09 Dr = 9810/1.09 Dr = 9000 Questão 9. Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal: Resposta: N = 10900 Dc = 981 n=3 Questão 12. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. Resposta: n = 4 meses i = 0.03 a.m. A = 840 Dc = N * i * n 981 = 10900 * i * 3 981 = 32700 * i i = 0.03 (3% a.m.) Dcr = N – A Dcr = N – 840 Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] (1+0.03)4 = 1.12550881 (1+0.03)4 -1 = 0.12550881 Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881 N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840 N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004 N = 945.4274004 Dcr = 945.4274004 – 840 Dcr ≈ 105.43 Dr = N * i * n / (1+i*n) Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3) Dr = 10900 * 0.09 / 1.09 Dr = 10900 * 0.09 / 1.09 Dr = 900 outra forma de fazer a questão seria usando: N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr) 10900 = 981 * Dr / (981-Dr) 10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr 11881 * Dr = 10692900 11881 * Dr = 10692900 Dr = 900 Didatismo e Conhecimento Questão 13. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m.: 62 MATEMÁTICA Resposta: Dcr = 6465.18 n = 4 meses i = 0.05 a.m. Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] (1+i)n = 1.331 (1+i)n -1 = 0.331 Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331 Dcr = 248,685.20 A = N – Drc A = 1000000 – 248,685.20 A = 751,314.80 Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] (1+i)n = 1.21550625 (1+i)n – 1 = 0.21550625 6465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625 N = 36465,14 Questão 17. Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções: I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.; II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.; III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m. Questão 14. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m. (despreza os centavos): Resposta: Dcr = 340.10 n = 6 meses i = 0.05 a.m. Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] (1+0.05)6 = 1.340095640625 (1+i)n – 1 = 0.340095640625 340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625 N ≈ 1340.10 Dcr = N – A 340.10 = 1340.10 – A A = 1000 Questão 15. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a: Resposta: N = 5 * Drc n = 10 meses A = 200000 Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção: Resposta: N = 11245.54 n = 60 dias = 2 meses I) Dc = N * i * n Dc = 11245.54 * 0.025 *2 Dc = 562.277 A = N – Dc A = 11245.54 – 562.277 A = 10683.26 II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n) Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2) Dr = 674.7324 / 1.06 Dr = 636.54 A = N – Dc A = 11245.54 – 636.54 A = 10609.0 III) Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] Dcr = 11245.54 * 0.05740409 Dcr = 645.54 A = N – Dc A = 11245.54 – 645.54 A = 10600 Drc = N – A Drc = 5 * Drc – 200000 4 * Drc = 200000 Drc = 50000 Drc = N – A Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o valor atual da escolha II e a III é nove, então se houve um erro na digitação da questão a resposta é a alternativa c. 50000 = N – 200000 N = 250000 Questão 18. Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00, quatro meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calculo o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m.. Resposta: Dc = 672 n = 4 meses i = 0.03 a.m. Questão 16. Um Commercial paper, com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate. Resposta: N = 1000000 n = 3 anos i = 0.1 a.a. Didatismo e Conhecimento 63 MATEMÁTICA Resposta: n = 1.5 anos = 3 semestres Drc = 25000 i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s. Dc = N * i * n 672 = N * 0.03 * 4 N = 5600 Dcr = N * [1 - (1/(1+i)n)] Dcr = 5600 * [1 - (1/(1+i)n)] (1+i)n = 1.12550881 Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881 Dcr = 624.47 Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n] (1+i)n = 1.520875 (1+i)n -1 = 0.520875 25000 = N * 0.520875 / 1.520875 N = 25000 * 1.520875 / 0.520875 N = 72996.16 Questão 19. Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver). Resposta: A = 4400 n = 4 meses i = 0.03 a.m. Descontos Racional e Comercial Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio; Fatura; Duplicata; Nota promissória. Este desconto é obtido quando o mesmo é resgatado antes do vencimento do compromisso. O valor do título no dia do vencimento é chamado de: valor nominal e este vêm declarado no mesmo. O valor do título em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de : valor atual. O valor atual é menor que o valor nominal Desta forma, o valor atual de um título qualquer é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto. Observe: A = N – Dc ou A = N - Dr Onde: A – Valor atual Exemplos para fixação de conteúdo: Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do prazo do seu vencimento? Resolvendo: N = 15.000 I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses) T=6 Dc = 15000 x 24 x 6 = 2160000 1200 1200 Dc= 1800 A = 15000 – 1800 = 13200 A = 13200 Observe algumas notações: A = N – Drc A + Drc = N Drc = N * [1 - (1/(1+i)n)] (1+i)n = 1.12550881 Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881 Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881 Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881 Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881 Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881 Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657 Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657 Drc * 0.888487048 = 490.657 Drc = 552.23 N = A + Drc N = 4400 + 552.23 N = 4952.23 Questão 20. Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, devendo o empréstimo ser pago após 4 meses, acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de desconto racional composto de 30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga por Carlos a título de quitação do empréstimo. Resposta: N = 100000 n = 4 meses = 120 dias i = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d. M =C * (1+i)n M =100000 * (1+0.005)120 M = 181939.67 A = M / (1+0.3/2) A = 158208.4 Questão 21. Calcule o valor nominal de um título que, resgatado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreu desconto racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com capitalização semestral. Didatismo e Conhecimento 64 D Desconto realizado sobre o título N Valor nominal de um título A Valor atual de um título I Taxa de desconto n Número de períodos para o desconto MATEMÁTICA Assim: Como já falado anteriormente, o desconto é a diferença entre o valor nominal de um título (futuro) “N” e o valor atual “A” do título em questão. D=N-A Fórmula do desconto: Dc = N . i . t 100 Tipos de desconto Há basicamente dois tipos de descontos: – Desconto comercial (por fora) – Desconto racional (por dentro) Desconto comercial: Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal “N”. Assim, de acordo com a fórmula dada: Dc = N . i . t 100 Onde: Dc = desconto comercial N = valor nominal do título dado i = taxa de desconto t = período de tempo na operação 100 = tempo considerado em anos Observações: a) Quando o período de tempo (t) for expresso no problema em dias, o tempo considerado na operação devera ser em dias e utilizado o valor de 36000. b) Quando o período de tempo (t) for expresso em meses, o tempo considerado deverá ser em meses e utilizando o valor 1200. Exemplos para fixação de conteúdo: 1) Uma fatura foi paga com 30 dias antes do vencimento do prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa de 45% a.a., sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$ 25.000,00. Resolvendo: Dc = N . i . t 36000 Dc = 25000 x 45 x 30 = 33750000 = 937,50 36000 36000 O valor de desconto é de R$ 937,50. Observe o valor 36000 na divisão, pois o tempo é expresso em dias. 2) A que taxa foi calculada o desconto simples de R$ 5.000,00 sobre um título de R$ 35.000,00, pago antecipadamente em 8 meses ? Resolvendo: Dados do problema N = 35000 i=? t = 8 meses Dc = 5.000,00 Dc = N . i . t 1200 i = 1200 . Dc N. t I = 1200 x 5000 = 6000000 = 21,43% 35000 x 8 280000 O valor da taxa é de 21,43% Observe o valor 1200 na divisão, pois o tempo é expresso em meses. O desconto comercial pode ser expresso na fórmula abaixo: Dc = A . i . t 100 + it Desconto Racional (por dentro): É chamado de desconto racional o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo sobre o valor atual do título, temos então: Dr = A . i .t 100 O qual: Dr = valor do desconto racional na operação A = valor atual do título i = taxa de desconto t = período de tempo na operação 100 = tempo considerado em ano Dados do problema N = 25000 i = 45% a.a. t = 30 Didatismo e Conhecimento 65 MATEMÁTICA Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva. Como informado no desconto por fora, não se pode esquecer do tempo em que a taxa é considerada : Ano = 100 Mês = 1200 Dias = 36000 Relembrando que: A = N – Dr Substituindo → Dr = N . i . t 100 + it Exemplo para fixação de conteúdo: Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 24% a.a. Resolvendo: Dados do problema N = 16000 i = 24% a.a. t = 3 meses Dr = N . i . t 100 + it Dr = 16000 x 24 x 3 = 1152000 = 905,66 1200 + 24 x 3 1272 O valor do desconto é de R$ 905,66. Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a taxa efetiva? Vamos acompanhar através do exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equivalente mensal: Respostas e soluções: 1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capitalizado com a taxa anual. 2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas convenções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal. a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12): 12%/12 = 1% a.m. b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$ 1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse mesmo capital). Cálculo da taxa equivalente mensal: q iq = (1 + it ) t − 1 onde: iq : taxa equivalente para o prazo que eu quero it : taxa para o prazo que eu tenho q : prazo que eu quero t : prazo que eu tenho TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE. 1 iq = (1 + 0,12 )12 − 1 = (1,12)0,083333 – 1 Taxa Nominal iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m. 3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensal a) pela convenção da taxa proporcional: M = c (1 + i)n M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147 M = 1.196,15 b) pela convenção da taxa equivalente: M = c (1 + i)n M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296 M = 1.185,29 NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equivalente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim: A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão: Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00 Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50% Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, consórcios e etc. Hoje vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são apresentados de um maneira clara. Didatismo e Conhecimento 66 MATEMÁTICA Taxa Efetiva: A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal. b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. M = c (1 + i)n M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297 M = 1.185,29 Conclusões: - A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano! - A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal (0,949 % a.m.). - Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tratando de concursos públicos a grande maioria das bancas examinadores utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente. Resolva as questões abaixo para você verificar se entendeu os conceitos acima. 1) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva? a) 27,75 % b) 29,50% c) 30 % d) 32,25 % e) 35 % 2) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equivalente composta ao mês de: a) 12% b) 20% c) 22% d) 24% Respostas: 1) d 2) b Taxa Real: A taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período. Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 1+ief=(1+ir)(1+iinf) Onde, ief→é a taxa efetiva ir→é a taxa real iinf→é a taxa de inflação no período Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fórmula. Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação. Solução: A solução do problema consiste em determinar o ganho real da aplicação corrigido pelo índice inflacionário do período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicação financeira. Temos que: Taxa Real e Taxa Efetiva As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos de taxas: taxa nominal, taxa efetiva e taxa real. No mercado financeiro, muitos negócios não são fechados em virtude da confusão gerada pelo desconhecimento do significado de cada um dos tipos de taxa. Vamos compreender o conceito de cada uma delas. Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos: Taxa Nominal: A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal. b) 5% ao trimestre com capitalização semestral. c) 15% ao semestre com capitalização bimestral. Didatismo e Conhecimento 67 MATEMÁTICA Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao ano. Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo. Teremos que a taxa nominal será igual a: in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% Portanto in = 25% Exemplo 2. Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado. Solução: Temos que Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem: (1 + in) = (1+r). (1 + j) (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 1,25 = (1 + r).1,10 1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% Aplicando a fórmula, teremos: Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30) 1,25 = (1 + r).1,30 1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa. Agora resolva este: $100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo? Resposta: 25% Como a taxa real foi negativa, podemos afirmar que essa categoria profissional teve perdas salariais do período, uma vez que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período. A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas. Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in . O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in). Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j). A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escrever: S1 = S2 (1 + r) Taxas Equivalentes e Capitais Equivalentes A equivalência de capitais é uma das ferramentas mais poderosas da matemática financeira e tem sido constantemente pedida nas provas de concursos públicos. Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, de um capital que se encontrava na data presente. Relativo a descontos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data Presente, de um valor nominal que se encontrava em uma data futura. Gostaríamos que você notasse que, ao calcular o montante, estávamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos ou capitalizando-o, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, estávamos movendo o valor nominal (que também é um capital) contra o eixo dos tempos ou descapitalizando-o, conforme se encontra ilustrado nos esquemas a seguir. Substituindo S1 e S2 , vem: P(1 + in) = (1+r). P (1 + j) Conceito de Equivalência Daí então, vem que: (1 + in) = (1+r). (1 + j), onde: in = taxa de juros nominal j = taxa de inflação no período r = taxa real de juros Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data. Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor um problema. Vamos fazer de conta que você ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em um banco, à taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece três opções para retirar o dinheiro: Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes. Veja o exemplo a seguir: Didatismo e Conhecimento 68 MATEMÁTICA 1a) você retira R$ 100,00 hoje; 2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro de 4 meses; 3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9 meses. No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão valendo, respectivamente, R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles não serão mais equivalentes. No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em apenas uma única data, para uma determinada taxa e modalidade de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já que, no regime de capitalização Composta, isto não acontece: na capitalização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes para uma determinada data o são para qualquer outra data. Podemos então concluir que: Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais capitais somente se verifica para uma determinada taxa, para uma determinada data focal e para uma determinada modalidade de desconto. Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma: Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a partir da mesma origem, são ditos equivalentes com relação a uma data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de desconto nessa data focal F, forem iguais. A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegociação de dívidas, quando há necessidade de substituir um conjunto de títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto porque o conceito de equivalência é aplicado não só para dois capitais, mas também para grupos de capitais). Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e se compromete e quitá-lo segundo um determinado plano de pagamento. Todavia, devido a contigências nos seus negócios, ele percebe que não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas do financiamento nas datas convencionadas. Então, propõe ao gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as datas de pagamento e os respectivos valores nominais de forma que consiga honrá-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja EQUIVALENTE ao plano original. No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização do problema fica bastante facilitada com a construção de um diagrama de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, conforme se vê nos problemas a seguir. Qual delas é a mais vantajosa para você? Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor dos três capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus valores. Escolheremos a data de hoje. A Data Comum, também chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser hoje (= data zero). O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data de hoje; portanto, já se encontra atualizado. Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais futuros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero). Esquematizando, a situação seria esta: Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial simples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, escolher a fórmula do valor atual racional simples: Vars = N/1 + in Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00 Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00 Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa de juros for de 10% ao mês e o desconto racional simples. Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00: Vacs = N (1 – in) Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84 Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19 Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três capitais deixam de ser equivalentes. E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o mês 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional simples? Exercícios Resolvidos Acontecerá o seguinte: 1. No refinamento de uma dívida, dois títulos, um para 6 meses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e de R$ 3.000,00, respectivamente, foram substituídos por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor do título de 18 meses, em R$, é igual a: O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67 O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76 Resolução: Inicialmente, vamos construir um diagrama de fluxo de caixa utilizando os dados do problema: A taxa de juros é anual. Entretanto, como os prazos de pagamento estão expressos em meses, vamos tranformá-la em mensal: i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se-ão dois meses de juros, conforme segue: Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120 Didatismo e Conhecimento 69 MATEMÁTICA A modalidade de desconto é o comercial simples, mas o problema não mencionou qual a data focal a ser considerada. Em casos como este, presumimos que a data focal seja a data zero. Vamos, então, calcular o total da dívida na data zero para cada um dos planos de pagamento, e igualar os resultados, pois os dois esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um pelo outro. Além disso, para transportarmos os capitais para a data zero, utilizaremos a fórmula do valor atual do desconto comercial simples: Vacs = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação: 2.000 (1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 .12) = 1.000 (1 – 0,015 . 9) + x (1 – 0,015 . 18) (total da dívida conforme o plano (total da dívida conforme o plano Alternativo Original de pagamento, proposto, atualizado para a data zero). Total da dívida conforme o plano alternativo proposto, atualizado racionalmente para a data zero 500/1,08 + 500/1,16 + 500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24 1.297,22 = 3,49 . x x = 1.297,22/3,49 x = 371,68 3. A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações é, em R$: Resolução: Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que: N = C (1 + in) N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420 Calculando o conteúdo dos parênteses, temos: 2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73) 1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x 0,73x = 1.820 + 2.460 – 865 x = 3.415/0,73 = 4.678,08 Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados à data doze, o título de 2.420 terá que ser capitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que: 2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x 2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x 2.528,9 + 6.422,02 = x x = 8.950,92 Equação de Valor Observe que a data focal era anterior à data de vencimento de todos os capitais. Assim, calculamos o valor descontado (valor atual) de cada um deles, para trazê-los à data local. Efetuamos um desconto (comercial, no caso) ou uma descapitalização (desincorporação dos juros), porque estávamos transportando os valores para uma data passada. Mas se a data focal tivesse sido outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e não a data zero, o capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 6, teria que sofrer uma capitalização (incorporação de juros) para ser transportado para a data 9 (data futura em relação à data 6). A atualização do valor desse capital para a data 9, então, far-se-ia com a utilização da fórmula do montante M = C (1 + in), e não com a fórmula do valor descontado (valor atual). Conclusão: para transportarmos um capital para uma data posterior à original, devemos capitalizá-lo; para transportarmos um capital para uma data anterior à original, devemos descapitalizá-lo. Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores nominais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, n2, n3 …, seja equivalente a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis nas datas na , nb , nc …, basta impormos que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac … dos títulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data, isto é: 2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais de R$ 500,00. O segurador, para facilitar ao seu cliente, propõe-lhe o pagamento em 4 parcelas trimestrais iguais. Utilizando-se a data focal zero, a taxa de juros de 24% a.a. e o critério de desconto racional simples, o valor das parcelas trimestrais será, em R$: Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + … A equação acima é chamada de Equação de Valor. Resolução: Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos: Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m. Ao começar a resolução de problemas que envolvem equivalência de capitais utilize o seguinte roteiro: 1. leia o problema todo; 2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a equação de valor para resolução do problema; Uma vez que o critério é de desconto racional simples, ao transportarmos os valores para a data zero, teremos que utilizar a fórmula do valor atual racional simples Vars = N/1 + in . Podemos escrever, então, que: Total da divida conforme o plano original de pagamento, atualizado racionalmente para a data zero 500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 + 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 + 0,02 . 9 + x/1 + 0,02 . 12 Didatismo e Conhecimento 70 MATEMÁTICA 3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compromissos estão na mesma unidade de medida de tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação que torne os cálculos mais simples); 4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação (data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis antes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada; 5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa; 6. resolva a equação de valor; 7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto). b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento. Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte: A = P . a[n-1,i] + P, onde: A = valor atual da renda certa; P = valor de cada pagamento da renda certa; n = número de prestações; i = taxa empregada. c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou financiamento. Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte: A = P . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde: A = valor atual da renda certa; P = valor de cada pagamento da renda certa; n = número de prestações; x = número de prestações acrescentadas; i = taxa empregada. 2º Caso: Cálculo do Montante a) Quando o montante é calculado no momento da data do último pagamento: Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte: M = P . s[n,i], onde: M = valor do montante; P = valor de cada pagamento da renda certa; n = número de prestações; i = taxa empregada. Desconto e Equivalência Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber quando um problema é de desconto e quando é de equivalência. Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender papéis (duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto que nos problemas de Equivalência, alguém quer financiar ou refinanciar uma dívida. Rendas Uniformes O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas. Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, mas com títulos apresentando os mesmos valores e com vencimentos consecutivos - tornando assim sua solução mais rápida, através de um método alternativo. Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos. b) Quando o montante é calculado em um momento que não coincide com a data do último pagamento: Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte: M = P . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde: M = valor do montante; P = valor de cada pagamento da renda certa; n = número de prestações; x = número de prestações acrescentadas; i = taxa empregada. 1º Caso: Cálculo do Valor Atual a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primeiro pagamento acontecerá em UM período após contrair o empréstimo ou financiamento. Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte: A = P . a[n,i], onde: A = valor atual da renda certa; P = valor de cada pagamento da renda certa; n = número de prestações; i = taxa empregada. Rendas Variáveis Ativos de renda variável são aqueles cuja remuneração ou retorno de capital não pode ser dimensionado no momento da aplicação, podendo variar positivamente ou negativamente, de acordo com as expectativas do mercado. Os mais comuns são: ações, fundos de renda variável (fundo de ação, multimercado e outros), quotas ou quinhões de capital, Commodities (ouro, moeda e outros) e os derivativos (contratos negociados nas Bolsas de Valores, de mercadorias, de futuros e assemelhadas). O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas. Didatismo e Conhecimento 71 MATEMÁTICA Taxas Proporcionais Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o capital à taxa de 12% e corrigir monetariamente o mesmo capital usando o índice inflacionário do período. Feitos esses cálculos basta realizar a comparação entre os valores obtendo a taxa real de rendimento. Supondo um capital de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condições demonstradas. Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: - o prazo a que se refere à taxa de juros; e - o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF NETO, 2001). Montante da aplicação referente à taxa de juros de 12% 150 . 1,12 = 168 Taxas Proporcionais: duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção. (PARENTE, 1996). Exemplos 1) Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre. Solução: Montante da correção do índice inflacionário correspondente a 5% 150 . 1,05 = 157,5 Observe que o ganho real foi de R$ 10,50 em relação ao valor corrigido de acordo com o índice inflacionário. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte divisão: 10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6% A taxa real foi de 6,6%. a) Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação de uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemática: 1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I ) b) Onde: ia = taxa aparente ir = taxa real I = inflação 2) Encontrar as taxas de juro simples mensal, trimestral e anual, proporcionais a 2% ao dia. Exemplo 1 Solução Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual. Taxa aparente = 32% = 0,32 Inflação = 21% = 0,21 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21) 1,32 = (1 + ir) * 1,21 1,32/1,21 = 1 + ir 1,09 = 1 + ir ir = 1,0909 – 1 ir = 0,0909 ir = 9,09% A taxa real anual foi equivalente a 9,09%. Taxa Aparente Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. As taxas de juros são corrigidas pelo governo de acordo com os índices inflacionários referentes a um período. Isso ocorre, no intuito de corrigir a desvalorização dos capitais aplicados durante uma crescente alta da inflação. Entendemos por taxa aparente o índice responsável pelas operações correntes. Dizemos que a taxa real e a aparente são as mesmas quando não há a incidência de índices inflacionários no período. Mas quando existe inflação, a taxa aparente será formada por dois componentes: um ligado à inflação e outro, ao juro real. Para entendermos melhor o funcionamento da taxa aparente e da taxa real de juros vamos simular uma situação, observe: Um banco oferece uma aplicação na qual a taxa de juros efetiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo período fora registrada uma inflação de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preços nesse período foram reajustados. Didatismo e Conhecimento Exemplo 2 Uma instituição financeira cobra uma taxa real aparente de 20% ano, com a intenção de ter um retorno real de 8% ao ano. Qual deve ser a taxa de inflação? Taxa aparente = 20% = 0,2 Taxa real = 8% = 0,08 1 + 0,2 = (1 + 0,08) * (1 + I) 1,2 = 1,08 * (1 + I) 1,2 / 1,08 = 1 + I 1,11 = 1 + I 1,11 – 1 = I I = 0,11 I = 11% A taxa de inflação deve ser igual a 11%. 72 MATEMÁTICA Exemplo 3 Nº Prestação Qual deve ser a taxa aparente que equivale a uma taxa real de 1,2% ao mês e uma inflação de 15% no período? Taxa real = 1,2% = 0,012 Inflação = 15% = 0,15 1 + ia = (1 + 0,012) * (1 + 0,15) 1 + ia = 1,012 * 1,15 1 + ia = 1,1638 ia = 1,1638 – 1 ia = 0,1638 ia = 16,38% Juros Amortização Saldo Devedor 0 PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS. 120000 1 11200 1200 10000 110000 2 11100 1100 10000 100000 3 11000 1000 10000 90000 4 10900 900 10000 80000 5 10800 800 10000 70000 6 10700 700 10000 60000 7 10600 600 10000 50000 8 10500 500 10000 40000 9 10400 400 10000 30000 10 10300 300 10000 20000 11 10200 200 10000 10000 12 10100 100 10000 0 Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês anterior,a prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo assim,o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00. Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressao aritmética(PA) de r=100. Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. (HAZZAN, 2007). Sistema de Amortização Constante – SAC Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente decrescente e outra de amortização que permanece constante. Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem os juros, amortizando assim partes iguais do valor total do empréstimo. Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas. O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização. Exemplo: Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês (em juros simples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização iremos obter uma valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 meses = R$ 10.000,00. Logo, a tabela SAC fica: Didatismo e Conhecimento Prestação Sistema de Amortização Crescente – SACRE O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindose, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Por isso, ele começa com prestações mensais mais altas, se comparado à Tabela Price. Pelo sistema SACRE, as prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade e no decorrer do financiamento, seus valores tendem a decrescer. A prestação inicial pode comprometer até 30% da renda familiar e o prazo máximo de financiamento é de 25 anos. Este sistema de amortização é utilizado SOMENTE pela Caixa Econômica Federal. A diferença básica entre este sistema e os outros é o de apresentar o valor da parcela de amortização superior, proporcionando uma redução mais rápida do saldo devedor. Também neste plano a prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto nos outros o comprometimento máximo é 25%. O valor das prestações é decrescente. Sistema Francês de Amortização - Tabela Price Pela Tabela Price, o comprador começa a pagar seu imóvel com parcelas mensais mais baixas que às do Sacre. Ao longo do contrato, no entanto, as parcelas sobem progressivamente, superando, e muito, às do Sacre. 73 MATEMÁTICA Pelo sistema Price, as prestações e o saldo devedor são corrigidos mensalmente pela TR, pelos bancos privados e anualmente pela Caixa. A amortização inicial dos juros nesse sistema é menor, fazendo com que apenas a partir da metade do número de anos estabelecido em contrato comece a ser reduzido o saldo devedor do comprador. Apenas 25% da renda familiar pode ser comprometida com a aquisição do imóvel e o prazo máximo de financiamento é de 20 anos. Consiste em um plano de amortização em que as prestações são iguais. As amortizações crescem ao longo do período da operação: como a prestação é igual, com a redução do saldo devedor o juro diminui e a parcela de amortização aumenta. Comparativo SAC SACRE TABELA PRICE - TP Prestações Amortização Juros = + Decrescentes Decrescentes Constantes Amortizações Constantes Decrescentes Crescentes Juros Decrescentes Decrescentes Decrescentes Vantagem Saldo devedor Saldo devedor diminui mais Prestação inicial menor diminui mais rapidamente em em relação a calculada rapidamente em relação a TP ou pelo SAC oi SACRE relação ao TP SAC Desvantagem Prestação inicial Prestação maior maior Saldo devedor diminui inicial mais lentamente em relação ao SAC ou SACRE Sistema Alemão de Amortização O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte. Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão: Co = C - C i = C (1-i), mas o cliente deverá pagar C no final do período. No início do 2º período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento: C1 = C - A1 Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser: P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C - A1) O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período. No início do 3º período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo: C2 = C1 - A2 Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2), ou seja P2 = A2 + i (C - A1 - A2) O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período. No início do 4º período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de: C3 = C2 - A3 Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 - A3) = A3 + i (C1 - A2 - A3), ou seja P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3) O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período. Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever: Ck = Ck-1 - Ak e Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak) Resumindo até o momento, temos: Didatismo e Conhecimento 74 MATEMÁTICA n Cn Pn 1 C1 = C - A1 P1 = A1 + i (C - A1) 2 C2 = C - A1 - A2 P2 = A2 + i (C - A1- A2) 3 C3 = C - A1 - A2 - A3 P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3) 4 C4 = C - A1 - A2 - A3 - A4 P4 = A4 + i (C - A1 - A2 - A3 - A4) ... ... ... k Ck = C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak) Para obter os cálculos com as fórmulas básicas A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que P1 = P2 = P3 = ... = Pn = P Como P1=P2, então A1 + i (C - A1) = A2 + i (C - A1 - A2), Logo A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) - i A2 Assim A1 = A2 - i A2 e dessa forma A1 = A2 (1-i) e podemos escrever que A2 = A1 / (1-i) De forma análoga, podemos mostrar que A3 = A2 / (1-i), para concluir que A3 = A1 / (1-i)2 Temos em geral que, para todo k=2,3,4,...,n: Ak = A1 / (1-i)k-1 Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que: C = A1 + A2 + A3 + ... + An Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos: com os seguintes elementos: Objeto Descrição C Capital financiado i Taxa de juros ao período n Número de períodos P Valor de cada prestação A1 Primeira amortização Ak Amortização para k=1,2,...,n. Problema Típico Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização. Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação Evidenciando o último termo, poderemos escrever: Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então: Sistema Americano de Amortização e desse modo O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida,deixando o valor da dívida constante,que pode ser paga em apenas um único pagamento. Esse sistema de amortização tem a vantagem em relação ao sistema de pagamento único,pois nele não há incidência de juros sobre juros.Os juros sempre incidem sobre o valor original da dívida.Com isso o devedor pode quitar sua dívida quando quiser. Tem como desvantagem que o pagamento de juros pode,em tese,ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente a dívida em si.Para isso,basta que o número de prestações exceda 100% quando soma em juros simples.Vamos a um exemplo. Vamos supor que foi-se contraido uma dívida no valor de R$13.000,00 que será paga em 1 ano com juros de 9% a.m. através do Sistema de Amortização Americano.Teríamos algo como: Já observamos antes que e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos: Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n. Didatismo e Conhecimento 75 MATEMÁTICA Nº Prestação Amortização Juros (9% de 13.000,00) Dívida 0 0 0 13000 1 0 1170 13000 2 0 1170 13000 3 0 1170 13000 4 0 1170 13000 5 0 1170 13000 6 0 1170 13000 7 0 1170 13000 8 0 1170 13000 9 0 1170 13000 10 0 1170 13000 11 0 1170 13000 12 13000 1170 0 Exemplo: Admita que você esteja interessado na compra de um veículo no valor de R$35.000,00. Um vendedor lhe propõe uma entrada de R$8.000,00 mais 12 prestações mensais a uma taxa pré-fixada de 42,00% ao ano. Atenção! Utilize quatro casas decimais para taxas na forma unitária. Monte a tabela para esse financiamento. Veja o resultado na figura abaixo. O total pago em juros foi R$ 14.040,00 e ainda sim a dívida só foi quitada quando se pagou os R$ 13.000,00,dando um total de R$27.040,00.No entanto,esse sistema de amortização tolera o pagamento parcial da dívida,o que reduziria proporcionalmente o valor dos juros. Veja que se tirarmos a média das prestações, a primeira ficaria assim. 2879,76 = (3051,9 + 2707,62) / 2 Sistema de Amortização Americano Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC). Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação. Cálculo: PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2 O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5º período. Sistema Americano n Amortização do Saldo devedor Juros Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 12.000,00 300.000,00 2 12.000,00 12.000,00 300.000,00 3 12.000,00 12.000,00 300.000,00 4 12.000,00 12.000,00 300.000,00 5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 PSAC PPrice PSAM 1 72.000,00 67.388,13 69.694,06 2 69.600,00 67.388,13 68.494,07 3 67.200,00 67.388,13 67.294,07 4 64.800,00 67.388,13 66.094,07 5 62.400,00 67.388,13 64.894,07 Sistema de Amortização Misto (SAM) n Sistema de Amortização Misto - SAM No sistema de amortização misto as prestações são as médias aritméticas das prestações do sistema de amortização constante com o sistema francês. Os juros é a multiplicação do saldo devedor com a taxa de desconto e a amortização é a subtração das prestações com os juros. Didatismo e Conhecimento n 76 Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94 2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11 3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20 4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14 5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0 Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94 MATEMÁTICA CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO. O rendimento dos agentes econômicos pode ser aplicado de duas formas diferentes: em consumo ou em poupança. As chamadas “operações financeiras” estão intimamente ligadas à aplicação do rendimento em poupança, sendo a base do chamado “investimento financeiro” da poupança. A gênese do investimento financeiro reside no valor temporal do dinheiro – o juro. Assim para analisar um investimento financeiro (quer seja na perspectiva de cedência de moeda ou na óptica de financiamento) é necessário compreender a ligação que existe entre capital, tempo e juro. Estando o tempo presente em qualquer operação financeira e, variando valor de um capital com este fator, existe a necessidade de efetuar a equivalência entre capitais reportados a instantes de tempo diferentes. A equivalência entre capitais pode ser efetuada recorrendo a uma equação matemática, denominada equação de equivalência (ou de valor), que pode ser escrita através do conhecimento de dois processos (inversos um do outro): o processo de capitalização e de atualização. Rendimento - Aplicações Possíveis Podemos definir rendimento como sendo o resultado da produção de bens e serviços num determinado período de tempo. No caso mais geral, o rendimento apresenta-se sobre a forma de moeda. O rendimento dos agentes econômicos possui variadas origens e, de uma forma genérica, pode ser classificado em dois tipos: o rendimento do setor privado e o rendimento do setor público. No setor privado, o rendimento tem normalmente origem em quatro fontes: os salários (rendimento do trabalho), as rendas (rendimento da terra), o juro (rendimento do capital) e o lucro (rendimento resultante da atividade econômica das empresas). O rendimento no setor público, denominado rendimento nacional, pode ser encarado como uma medida do fluxo de bens e serviços na economia do país. Segundo a Teoria Econômica, o rendimento pode ser aplicado de duas formas: em consumo ou em poupança. O consumo é o total de despesa em bens e serviços que tenham um tempo de vida definido e sejam utilizados de um modo específico. Do consumo não resulta qualquer retorno do capital investido. Com base na definição anterior, constata-se que o consumo pode ser feito em bens e serviços de caráter duradouro e não duradouro. A título indicativo considerem-se um automóvel e um sabonete, classificáveis, respectivamente, como bem de consumo duradouro e bem de consumo não duradouro. O rendimento excedente do consumo denomina-se por poupança. Também à luz da Teoria Econômica, existem duas formas de aplicar a poupança: o entesouramento e o investimento. O entesouramento consiste em guardar a poupança (excedente do rendimento após consumo) sob a forma de moeda. O entesouramento não permite assim nenhum tipo de ganho ao longo do tempo. O investimento consiste em aplicar um determinado montante de poupança com o objetivo de o incrementar. O investimento pode ser concretizado essencialmente de duas formas distintas: em investimentos reais diretos nos chamados bens de investimento (e.g. uma fábrica), ou através de investimentos financeiros (quer em depósitos bancários ou de outras instituições financeiras ou ainda através da aquisição de títulos (e.g. ações) nos mercados financeiros). Ao montante de moeda poupada e aplicada em investimento dá-se o nome de capital financeiro. A figura seguinte resume as possíveis aplicações do rendimento. Figura 1: Aplicações do rendimento Didatismo e Conhecimento 77 MATEMÁTICA Capital, Tempo e Juro Em Cálculo Financeiro surgem dois tipos de problemas: A essência do Cálculo Financeiro reside num único conceito – o valor temporal do dinheiro. É intuitivo que qualquer quantia não tem o mesmo valor consoante fique disponível imediatamente ou apenas daqui a algum tempo. Este fato é justificado pela chamada “preferência pela liquidez”, descrita pelo economista John Maynard Keynes. Segundo este economista temos preferência pela liquidez porque, estando na posse de ativos líquidos, podemos escolher a forma de os aplicar (seja em consumo e/ou em poupança). 1. Problemas de capital único: onde pretende estabelecer-se uma equivalência entre dois ou mais capitais, capital a capital (e.g. “Quanto receberei, daqui a um ano, se efetuar hoje um depósito de R$1.000,00 à taxa de juro anual 5%”). 2. Problemas de conjunto de capitais: onde pretende estabelecer-se uma equivalência entre um capital e um conjunto de capitais ou entre dois conjuntos de capitais (“Quanto receberei daqui a um ano se todos os meses depositar R$100,00 e a taxa de juro for de 2,5% ao ano?”). Verifica-se assim que o tempo tem extrema importância em qualquer análise que envolva capitais e, portanto, é necessário atribuir-lhe um valor. Esse valor denomina-se juro. Pode então definir-se juro como sendo a remuneração de um capital financeiro, durante um certo prazo. A existência do juro tem sido largamente discutida ao longo dos tempos. Na Idade Média já existiam estudos sobre o conceito de juro, sendo este considerado usura e até condenado pela Igreja Católica. Operações Financeiras Denomina-se por operação financeira qualquer operação de envolva a aplicação de poupança destinada a investimento onde estejam envolvidos simultaneamente os fatores capital, tempo e taxa de juro. As operações financeiras são assim resultantes da aplicação da poupança em investimento financeiro. Atualmente existem várias teorias que tentam explicar e justificar a existência do juro, destacando-se a da autoria de J.M. Keynes, referida anteriormente, e a teoria da “preferência pelo tempo”, da autoria da Escola Austríaca de Economistas, que afirma que a existência de juro deve-se à necessidade de indução de atividades econômicas que consomem mais tempo e são mais produtivas. De uma forma sintética podemos afirmar que o juro existe por três razões, todas elas intimamente ligadas ao fator tempo: - Privação da liquidez: ao “cedermos” capital a outrem estamos a oportunidade de escolher o que fazer com o capital (consumo e/ou poupança). - Perda do poder de compra: a inflação faz com que o valor do dinheiro se altere ao longo do tempo. - Risco: ao “cedermos” capital não existe a garantia que o recuperemos. Figura 2 – Fatores presentes numa operação financeira. As operações financeiras podem dividir-se em operações de curto, médio ou longo prazo, consoante o seu horizonte temporal seja até um ano, de um a cinco anos ou a mais de cinco anos, respectivamente. Numa operação financeira intervêm, pelo menos, duas partes: o mutuário (o que pede emprestado - devedor) e o mutuante (aquele que empresta - credor). As instituições financeiras intervêm com frequência nas operações financeiras importando distinguir a situação em que estas têm subjacente o recebimento de juros – operações ativas, e a situação em que estas têm subjacente o pagamento de juros – operações passivas. A importância do fator tempo faz com que, na resolução de qualquer problema que envolva capitais reportados a diferentes momentos, exista a necessidade de homogeneizar os capitais numa mesma unidade, i.e., reportá-los ao mesmo momento. Em Cálculo Financeiro, podemos reportar os capitais ao mesmo instante de tempo através de uma equação matemática que traduz a equivalência entre os capitais envolvidos nesse momento – a equação de equivalência ou de valor. Para a construção correta dessa equação é necessário ter em conta três fatores, dos quais depende o juro: - Capital - Tempo - (Taxa de) juro Custos: são medidas monetárias dos sacrifícios financeiros com os quais uma organização, uma pessoa ou um governo, têm de arcar a fim de atingir seus objetivos, sendo considerados esses ditos objetivos, a utilização de um produto ou serviço qualquer, utilizados na obtenção de outros bens ou serviços. A Contabilidade gerencial incorpora esses e outros conceitos econômicos para fins de elaborar Relatórios de Custos de uso da Gestão Empresarial. No Brasil, o Decreto-Lei 1.598/77, em seu artigo 14 determina que: o contribuinte que mantiver sistema de contabilidade de custo integrado e coordenado com o restante da escrituração poderá utilizar os custos apurados para avaliação dos estoques de produtos, principalmente para fins fiscais. O juro varia diretamente com qualquer dos fatores anteriores, i.e., aumenta quando qualquer um deles aumenta e os outros dois se mantêm constantes e diminui quando qualquer um deles diminui, mantendo-se os restantes constantes. Do exposto neste tópico resulta a regra de ouro do cálculo financeiro: “Para comparar ou operar com capitais é necessário que estes estejam reportados ao mesmo período de tempo”. Didatismo e Conhecimento 78 MATEMÁTICA forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores). A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva. Quando a TIR calculada é superior á taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, ás vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento. TAXAS DE RETORNO Taxa Interna de Retorno A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto. Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo. A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo. A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser: - Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo. - Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença. - Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno. Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto. Exemplo Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros: Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20% Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado. Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor. Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração frequente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER). Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesquisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins. Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada. Método Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação: A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte Didatismo e Conhecimento 79 MATEMÁTICA QUESTÕES Saldo Devedor (Período 3) = 200.000 x (1 + i)3 – 150 x (1 + i) – 150 x (1 + i) – 150 Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n – 150 x (1 + i) n-1 – 150 x (1 + i)n-2 – …. – 150 x (1 + i) – 150 Quando “n” tender ao prazo estabelecido (por exemplo: 15 anos x 12 meses) o termo que vai prevalecer é o de maior potência, tendo em vista que a prestação de R$ 150,00, com certeza, é menor que o valor da prestação que reduz o saldo devedor a zero,ou seja: Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n 2 01- Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao valor global de R$ 200.000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% a. a., num prazo determinado. A parcela mensal prevista é de R$ 150,00. Caso haja saldo residual, efetuará o devido pagamento ao final deste período. Desprezando a figura da correção monetária, podemos afirmar que neste caso: a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses, não haverá saldo devedor. b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este é crescente. c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$ 50.000,00 (valor arredondado na unidade de milhar – critério de arredondamento universal). d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento. e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento. 02- Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a opção correta para as seguintes sentenças: I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa seqüência histórica (de datas). II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo). III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de caixa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero). a) V, F, V b) F, V, F c) V, V, V d) F, F, F e) V, V, F Resolução: Dados que a questão nos fornece: Imóvel = R$ 200.000,00 Taxa de Juros = 10% ao ano Parcela Mensal Devida = R$ 150,00 Saldo Residual = caso haja, será pago ao final do período I – Regime de Capitalização Mensal: Resolução: I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa seqüência histórica (de datas). Fluxo de Caixa → Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos)e saídas (pagamentos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as entradas por uma seta para cima. Exemplo: n = número total de meses de pagamento da parcela mensal Saldo Devedor Inicial = 200.000 Saldo Devedor (Período 1) = 200.000 x (1 + i) – 150 Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i) – 150] x (1 + i) – 150 Saldo Devedor (Período 2) = 200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150 Saldo Devedor (Período 3) = [200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150] x (1 + i) – 150 Didatismo e Conhecimento A alternativa é VERDADEIRA. II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo). 80 MATEMÁTICA Fluxos de Caixa Equivalentes → dois ou mais fluxos de caixa, com datas diferentes, são ditos equivalentesquando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais. A alternativa é VERDADEIRA. III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de caixa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero). Métodos de avaliação de fluxo de caixa:Os métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são: ! (VPL) - Método do valor presente líquido - Método da taxa interna de retorno (TIR) Resolução: Uma taxa nominal de i% ao semestre é igual a uma taxa efetiva de i/3 ao bimestre. Em um ano, teremos 6 capitalizações da taxa bimestral. Valor Presente Líquido → é o valor dos fluxos financeiros trazidos à data zero, considerando-se a taxa dada. ! Taxa Interna de Retorno → é a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. Ou seja, é a taxa onde o valor atual das entradas torna-se igual ao valor atual das saídas (fluxo é nulo). A alternativa é VERDADEIRA. 03- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será (A) 1200,00 (B) 1224,00 (C) 1241,21 (D) 1368,03 (E) 2128,81 ! = 21%! (1+i/3)6=1,5 ! ! = ! 15 10 Usa-se log para resolver essa raiz. Sendo 21=3.7 , podemos concluir que o mesmo possui 2.2=4 divisores inteiros positivos. 05- A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Período (anos) 0 1 2 Valor (milhares de reais) – 410 P P Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser (A) 216,5 (B) 217,5 (C) 218,5 (D) 219,5 (E) 220,5 Resolução: FV = PMT*[(1+i)^n - 1] / i FV = montante PMT = depósitos n = quantidade de depósitos Resolução: A taxa interna de retorno é a taxa real que um investimento render ao longo do tempo para “zerar” o valor aplicado inicialmente. Isso tudo levando ao valor presente. Tomando o valor presente como o ano zero. No 1º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero, temos p/1,05 No 2º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero, temos p/(1,05)² FV = PMT.[(1+i)n - 1] / i FV = 100.[(1+0,02)12 - 1] / 0,02 FV = 100.[1,2682417 - 1] / 0,02 FV = 100.[0,2682417] / 0,02 FV = 100 . 13,412085 FV = 1.341,21 Montando a equação de fluxo de caixa: p/1,05+p/(1,05)²410=0 Resolvendo a equação, obtemos p=220,5 Como o resgate desse montante ocorre um mês depois, então: FV = 1.341,21 . 1,02 FV = 1.368,03 06- Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será (A) 50,00 (B) 52,00 (C) 54,00 (D) 56,00 (E) 58,00 04- A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Didatismo e Conhecimento ! 1+ 3 81 MATEMÁTICA Resolução: Um empréstimo de 300,00 será pago em 6 prestações mensais sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo com juros de 4%a.m. sobre o saldo devedor pelo sistema de amortização constante. O valor em reais da quarta prestação será? Resolução: Saldo devedor = 600 - 150 = 450. i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 450*1,02 - 159 = 300,00 300*1,02 - 206 = 100 100*1,02 = 102,00 Sistema de Amortização Constante (SAC) Os juros incidem somente sobre o saldo devedor. 09- Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será (A) 50,00 (B) 55,00 (C) 60,00 (D) 65,00 (E) 70,00 P(n) = Prestação (n é o número de ordem da prestação= no caso é a quarta = 4)) M= montante do empréstimo = 300 J= juro= 0,04 => 4% N= número de prestações = 6 F= fração ( M/N) = 300/6= 50 P(n) = F + JM - JF(n-1) P(4) = 50 + 0,04x300 - 0,04x50x(4-1) P(4) = 50 +12 -6 = 56 Resolução: Resposta = 56,00 Em SAC, os juros sobre o saldo são pagos junto com a parcela. 07- Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: (A) 150/216 (B) 91/216 (C) 75/216 (D) 55/216 (E) 25/216 Portanto, o valor da i-ésima parcela de um empréstimo (V) em (n) parcelas com uma taxa de juros (j) é calculada como: P i = j×(V - (i-1)V/n) + V/n P i = ( j (n - i + 1) + 1 ) V /n V - (i-1) V/n corresponde ao saldo anterior S i₋₁ (o valor inicial menos as parcelas anteriores, pagas); isto multiplicado por j corresponde aos juros sobre o saldo; V/n corresponde à parcela fixa de amortização. A segunda linha é a mesma fórmula, simplificada. Resolução: A = ocorre a face 6 daí, para n < 4 teremos: Portanto: A ocorre na primeira jogada ou A ocorre na segunda jogada ou A ocorre na terceira jogada. P ₃ = ( 10% ( 4 - 3 + 1 ) + 1 ) 200 / 4 = ( 0.1 × 2 + 1 ) 50 = 1.2 × 5 0 = 60 Resp.: C) 60,00 // probabilidade de ocorrer na primeira jogada = 1/6 probabilidade de ocorrer na segunda jogada = ( 5/6 ) * (1/6 ) = 5/36 probabilidade de ocorrer na terceira jogada = (5/6)*(5/6)*(1/6) = 25/216 então a probabilidade pedida será: 10- Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? (A) 75,0% (B) 72,8% (C) 67,5% (D) 64,4% (E) 60,0% ( 1/6 ) + ( 5/36 ) + ( 25/216 ) = ( 36 + 30 + 25 )/216 = 91/216. 08- Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? (A) 110,00 (B) 108,00 (C) 106,00 (D) 104,00 (E) 102,00 Didatismo e Conhecimento Resolução: ie = taxa efetiva in = taxa nominal n = período Sabendo que 1 quadrimestre tem 2 bimestres, então com aplicação direta da fórmula, vc faz: ie = 40%/2 -> ie = 20% ao bimestre 82 MATEMÁTICA Como enunciado pede a taxa efetiva semestral, em juros compostos, equivalente a tx nominal, qnd falar equivalente e juros compostos, basta vc usar a fórmula: Resolução: PV = 10.500/(1+0,05) + 11.025/(1+0,05)2 PV = 10.500/1,05 + 11.025/1,052 PV = 10.000 + 10.000 PV = 20.000,00 1 + I = (1 + i )^ n (elevado a n) I = Tx de maior período, ou seja, taxa mais longa i = Tx mais curta Nesse caso; semestre é mais longo que bimestre. Portanto, I = tx ao semestre (as) e i = tx o bimestre (ab) ANOTAÇÕES Aplicando na fórmula: 1 + Ias = (1 + iab)^n Sabendo que 1 semestre tem 3 bimestres, então n = 3 1 + I = (1 + 20%)^3 1 + I = (1+0,02)^3 > 1 + I = 1,02^3 I = 1,728 – 1 I = 0,728 as ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— Colocando em porcentagem: I = 72,8% ————————————————————————— 11- Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5.a prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta. (A) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês. (B) Todas as prestações foram de mesmo valor. (C) Após a 5.a amortização, o valor da dívida era de R$ 4.000,00. (D) O valor dos juros pagos na 3.a prestação foi de R$ 200,00. (E) A soma das 3.a e 6.a prestações foi igual a R$ 4.000,00. ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— Resolução: P = 12.000 n=6 ————————————————————————— ————————————————————————— A = P/n----> A = 12.000/6---->A = 2.000 ————————————————————————— J = i.A(n-t+1) J5 = i.2000.(6-5+1) 80 = i.2000.(6-5+1) 80 = i.2000.2 80 = 4000i i = 80/4000 i = 0,02 am. i = 2% a.m. ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— 12- Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$ 10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 11.025,00, dois meses após o depósito, então o valor investido foi igual a (A) R$ 18.000,00. (B) R$ 18.500,00. (C) R$ 19.000,00. (D) R$ 19.500,00. (E) R$ 20.000,00. Didatismo e Conhecimento ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— ————————————————————————— 83 MATEMÁTICA ANOTAÇÕES ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— 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