Matemática
e suas Tecnologias
Matemática
Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque,
Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico
04
Universidade Aberta do Nordeste e Ensino a Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução deste fascículo. Cópia não autorizada é Crime.
das
ações-problema vivencia
idade voltada para situ
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como objetivo geral o est
melhor compreensão de
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Par
O presente fascículo tem
m.
Ene
no
se tem contemplado
no cotidiano, conforme
em três tópicos:
• Razões e Proporções;
Geometria e
• Proporcionalidade na
de).
• Função Afim (Linearida
Bom Estudo!
Caro Estudante
Objeto do Conhecimento
Razões e Proporções
Na ficção ou na realidade, as razões e proporções acompanham os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala.
Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fictício,
nos quais os conceitos de razão e proporção são fundamentais para a compreensão e elaboração das respectivas respostas.
1. O que aconteceria se alguém crescesse e se
tornasse grande como um gigante?
Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar
o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta em uma direção, a área em duas e o volume, em
três. Se a altura de uma mulher ficasse 10 vezes maior, a
secção transversal (área) do conjunto de ossos e músculos
que a sustenta contra a gravidade ficaria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume (e, portanto, a sua massa) ficaria
10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. O resultado disso tudo é
que os ossos destinados a mantê-la erguida não suportariam o seu peso, sendo estilhaçados. É por essa e outras
que cada ser deve ter o tamanho certo, pois mudanças
quantitativas podem fazer imensas diferenças qualitativas.
“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C. Cole – Adaptado.
2. Qual é o automóvel mais econômico: o de
Carlos que consome 24 litros de gasolina para
percorrer 240 km ou o de Fabíola que percorre
180 km com 20 litros de gasolina? Quantos por
cento mais econômico?
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela
respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:
I. Para o automóvel de Carlos:
(dez quilômetros por litro)
Isso significa que, em média, o automóvel de Carlos
percorre 10 km para cada litro de combustível consumido.
II. Para o automóvel de Fabíola:
(nove quilômetros por litro)
50
Isso significa que, em média, o automóvel de Fabíola
percorre 9 km para cada litro de combustível consumido.
O automóvel mais econômico é o que gasta menos
combustível para percorrer uma mesma distância. Observando que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância
de 90 km. Como o automóvel de Carlos gasta, em média, 1
litro para percorrer 10 km, então para percorrer 90 km ele
gastaria apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automóvel
de Fabíola gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automóvel do
Carlos é o mais econômico, economizando 10 – 9 = 1 litro
de gasolina para cada 10 litros consumidos pelo carro da
Fabíola. Matematicamente, temos:
(“1 para 10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).
Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina
consumidos pelo carro da Fabíola, o automóvel
do Carlos gastaria 10 litros a menos, para fazer o
mesmo percurso.
Se o amigo leitor teve dificuldade para compreender
alguma passagem nesses questionamentos, não se preocupe. Leia com atenção os tópicos a seguir e, depois,
volte e reveja-as.
CONCEITO DE RAZÃO
• A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas. Assim, por exemplo, se
numa festa comparecerem 20 homens e
30 mulheres, dizemos que:
I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na
festa é:
(lê-se:2 para 3)
Isso significa que para cada 2 homens existem 3
mulheres.
II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na festa é:
(lê-se:3 para 5)
Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são
são mulheres.
• As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de
espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as
mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens
consumiram 100, dizemos que:
I. A razão entre o número de salgados consumidos pelos
homens e o número de homens foi de:
Escalas numéricas (E)
É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu
correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos numa mesma unidade.
Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse
caso, usamos um segmento de reta graduado, em que
cada graduação corresponde a 1 cm de comprimento no
desenho.
salgados/homens
(lê-se: 5 salgados por homem)
Isto significa que, em média, cada homem consumiu
5 salgados.
II. A razão entre o número de salgados consumidos e o
número de pessoas foi de:
salgados/pessoas
(lê-se: 4,4 salgados por pessoa)
Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto
maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor
é seu valor.
Exemplo:
Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2.
Nessas condições, a fotografia está na escala ou
, ou seja,
Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.
Em geral, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0,
usamos
ou a : b para indicar a razão entre a e b, respec-
tivamente.
Na razão
(lê-se: a para b), o número a é chamado de
antecedente e o número b, de consequente.
E = 1: 250 000. Essa escala nos diz que 1 cm na fotografia corresponde a 250 000 cm (2,5 km), na realidade. Assim, 9 cm2 (área queimada na fotografia) corresponde a
9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km)2 = 56,25 km2.
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam,
nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte igualdade:
Porcentagem (ou percentagem)
É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer.
P%
p
Exemplo:
a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês fluentemente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do grupo fala
inglês. Note:
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d
ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos
da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são
os meios da proporção).
Propriedades da proporção
Se
, com a, b, c, d, reais não nulos, temos:
Universidade Aberta do Nordeste
51
(constante de proporcionalidade).
pondente desse elemento na outra sequência também
triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes
nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:
Sendo assim, temos as seguintes propriedades:
ad bc (propriedade fundamental)
I.
“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.”
Em geral, dizemos que os números da sucessão numérica (a1, a2, a3, ..., an ) são diretamente proporcionais (ou
simplesmente proporcionais) aos números da sucessão
(b1, b2, b3, ..., bn ) quando as razões entre seus respectivos
correspondentes forem iguais, ou seja:
II.
III.
Exemplo:
Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água nas
proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando
o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito
forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas
jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na
proporção ideal de poupa de fruta e água. Considerando
J o volume de uma jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as propriedades das proporções. Veja:
I.
Na primeira jarra:
Note: poupa + água = J (volume da jarra)
II. Na segunda jarra:
Esta razão constante k é chamada de fator de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é
maior que o respectivo consequente.
Exemplo:
Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus tem 16 anos,
14 anos e 10 anos, 10 anos, respectivamente. Se o pai deles
distribuir R$ 240,00 reais entre eles, em partes diretamente
proporcionais às idades, quanto receberá cada um?
Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de
cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes
serão 16k (João Victor), 14k (Ganriela) e 10k (Matheus)
Daí:
III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:
Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de
fruta para 53 partes de água.
Números Diretamente Proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1ª sequência:
2ª sequência:
Nessas sequências, observe que elas crescem ou decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado
elemento de uma delas triplica, por exemplo, o corres-
52
Sendo assim, temos que:
João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.
Grandezas diretamente proporcionais
Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) de picolés
comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valores pagos:
Valor (V)
3
6
15
24
18
36
Quantidade (Q)
1
2
5
8
6
12
Note que as razões obtidas entre os respectivos elementos das sequências de valores (V) e de quantidades
(Q) são iguais.
Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra
também aumenta na mesma proporção, isto é, quando
as razões obtidas entre os valores assumidos por uma das
grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra
forem iguais.
Em símbolos:
Aqui, a constante k também é chamada de fator ou
coeficiente de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos elementos das sequências inversamente
proporcionais.
Exemplo:
Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias, no
mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias,
respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica dividir R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes
inversamente proporcionais às faltas, podemos calcular a
parte de cada um. Veja:
As partes devem ser diretamente proporcionais aos inversos dos números de faltas
, respectivamente.
Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes
serão, então:
. Daí:
Números inversamente proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
• 1ªsequência:
formada pelos
Grandezas inversamente proporcionais
Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre os
amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os
possíveis números de amigos e as respectivas quantidades
(B) de bombons recebidos por cada amigo:
respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).
• 2ª sequência:
Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma
delas triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequência reduz-se à sua terça parte.
Note que os inversos dos números da 1ª sequência são
diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.
Inversos da 1ª sequência
Em geral, dizemos que os números da sequência (a1,
a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos números
da sequência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os números de uma
delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais
aos inversos da outra, ou seja:
1
1
ou de outra forma:
Sendo assim, temos que:
Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00 R$ 96,00 e R$
240,00, respectivamente
2
3
n
2
3
n
Numero de
amigos (A)
2
3
4
5
6
10
30
Bombons
recebidos (B)
30
20
15
12
10
6
2
Note que os produtos obtidos entre os respectivos elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número
de bombons recebidos“ (B) são iguais:
Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos
obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma
das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra
forem iguais.
Universidade Aberta do Nordeste
53
A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão em partes proporcionais.
Em símbolos:
onde k é a constante de proporcionalidade
Exemplo:
Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos
inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço
idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários”
(H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note:
“quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”). Daí, H · D = k, onde k é constante.
Daí, para os dois serviços, devemos ter:
H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias
para a realização do outro serviço.
Assim,
20 · 15
24
.
Grandezas proporcionais a duas ou mais outras
grandezas
Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é:
onde k é constante
Essa propriedade se estende para mais de duas outras
grandezas. Por exemplo:
a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:
b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B e inversamente proporcional à grandeza C.
Então:
c) A grandeza X é inversamente proporcional às
grandezas P, Q, R e diretamente proporcional à
grandeza S. Então:
Regra de sociedade
Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados pelos respectivos sócios e
ao tempo durante o qual esses capitais estiveram empregados na constituição da sociedade. É justo quem aplicou
mais ganhar mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por
mais tempo ganhar mais.
54
Regra de três simples e regra de três composta
Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois
valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente, de outra ou outras grandezas proporcionais à
grandeza A.
Essa regra pode ser resumida assim:
– 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada
coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.
– 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência, de preferência a que se quer saber o valor.
– 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma
seta com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser para cima).
– 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência
cada uma das outras, isoladamente, identificando se
há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido)
ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas
invertidas).
– 5º passo: Colocamos a razão da grandeza de referência
isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a
outra razão ou o produto das outras, caso tenha mais de
uma outra lembrando que se há proporcionalidade em
relação à grandeza de referência, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razão inversa no
membro da igualdade formada.
Se o problema envolve apenas duas grandezas proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema
envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á
de uma regra de três composta.
Exemplo:
Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser
obtida pelo seguinte processo: colaca-se a folha da planta
sobre uma cartolina e traça-se o seu contorno.
Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com
10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:
Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em
uma balança de alta precisão, que indica uma massa de
1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando
grandezas proporcionais, os botânicos podem determinar
a área das folhas. Supondo que o botânico obteve a massa
da figura da folha igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte
regra de três:
Para Fixar
|C6-H24|
01. O tempo geológico representa a história da Terra desde a sua
formação até o presente momento. A figura mostra uma relação de escalas em que se faz uma correspondência entre a
duração de um dia e a idade da Terra.
Tempo geológico
período de domínio
dos dinossauros
aparecimento do
homo sapiens
arcaico
(23 h 59 min 30 s)
aparecimento de
plantas de terra firme
início de formação de fósseis mais
antigos de organismos multicelulares
os
o
hã
an
4,5
-4
-0
an bilh
õ
os
atr es
ás
im
ás
atr
s
ano
de
ões
bilh
2,0
3,0-2,0 bilh
ões de ano
s atrás
15
13
forte acúmulo de gás
oxigênio na atmosfera
|C4-H16|
01. A massa inicial de uma melancia é 1 kg (1000 g) e apenas
1 por cento de sua massa é sólida, os outros 99 por cento
são água. A melancia é posta ao sol e desidrata-se. Passa
a ter apenas 98 por cento de água. Quanto pesa agora a
melancia?
a) 989,90 g aproximadamente.
b) 990 g.
c) 660 g.
d) 500 g.
e) menos de 500 g.
6
7
início de formação de
fósseis mais antigos
primeiros organismos
fotossintetizantes
8
9
14
Questão Comentada
5
-1.0
16
4
anos atrás
17
início de formação de fósseis
mais antigos de seres eucarióticos
3
de
últ
18
Logo, a área da folha é 225 cm2.
bil
de
4,0-3,0 bilhões de
o
19
formação das rochas
mais antigas conhecidas
2
20
Daí,
formação da Terra
24
23 meia-noite 1
22
21
meio-dia 11
12
10
Internet: <www.moderna.com.br>.
Supondo que a escala para o registro do tempo geológico,
em vez da escala de um dia apresentada acima, correspondesse aos cem anos compreendidos entre 1900 e 1999, o período de domínio dos dinossauros na Terra seria entre:
a) 1973 e 1978
b) 1979 e 1984
c) 1985 e 1990
d) 1991 e 1996
e) 1997 e 1999
|C3-H11|
02. Uma escala numérica E é um número, sem unidade, escrito
na forma:
Solução Comentada:
Observe que a massa sólida é 1% de 1 000 g, isto é,
. Após a desidratação, a parte sólida continua
Observe o desenho seguinte, que representa o campo de futebol
do Estádio jornalista Mário Filho, mais conhecido como Maracanã, localizado na cidade do Rio de Janeiro.
10 g, mas agora corresponde a 2% da massa final da melancia
Cotado em metros
110
(após a desidratação), uma vez que outros 98% são de água.
Usando regra de três, temos:
16,5
A
9,15
x
75
5,5
18
11
B
Daí,
.
Resolver foi fácil, o difícil é acreditar no resultado. Sim, o peso
da melancia diminuiu para metade. Esse curioso problema é o
famoso paradoxo da melancia.
Resposta correta: d
Note que no desenho está escrito “Cotado em metros”. Isso
significa que as medidas nele indicadas referem-se aos comprimentos reais, em metros. Sabe-se que a medida do segmento AB é 4 cm. Assim, o valor de x, em metros, é:
a) 4
b) 40
c) 5
d) 50
e) 35
Universidade Aberta do Nordeste
55
Fique de Olho
O QUE É UM QUILATE DE OURO?
A palavra quilate vem do grego keratio, significando uma
O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro) e é
semente que era usada como unidade de peso na antiga
denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca tem
Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se
uma pureza total, e a classificação mais alta cai para 999
de sua
massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou
igual a 24.
Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e
6 de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18
quilates tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adicionadas para garantir maior durabilidade e brilho à joia.
Note que 18 quilates = 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750).
pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.
Quilatagem
Conteúdo
de Ouro
Pureza
24 K
100%
999
18 K
75%
750
14 K
58,3%
583
10 K
41,6%
416
Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Quilate>. Adaptado.
Objeto do Conhecimento
Proporcionalidade na Geometria
A Geometria surge a partir da necessidade de calcular distâncias, medir superfícies, construir habitações, templos e
outras coisas. Através dos tempos, os seus registros estão
presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios,
egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes utilizaram as formas geométricas em sua rotina diária. Atualmente, o projeto de construção de um edifício ou de uma
aeronave, por exemplo, com frequência requer a produção de modelos e maquetes em miniatura, com a mesma
forma que o objeto original, permitindo obter um amplo
entendimento de sua complexa estrutura. A ampliação ou
redução fotográfica é outro recurso utilizado para revelar
com detalhes aspectos de difícil visualização de certas situações, como a confecção da planta de uma cidade, por
exemplo. Trata-se de um procedimento muito útil, pois
preserva a forma dos objetos fotografados.
do estudo da geometria é possível observar, analisar e refletir sobre as propriedades do plano e do espaço. Neste
sentido, é importante que os estudantes adquiram a capacidade de observar, reconhecer as formas geométricas
e através de suas propriedades, interpretar e solucionar
situações-problema da vida cotidiana.
Teorema de Tales (proporcionalidade)
O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas determina em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.
Propriedade
É incontestável que o desconhecimento das formas
geométricas e suas propriedades, indubitavelmente comprometerá a percepção, a compreensão e a capacidade
de raciocínio visual que a vida diária exige de nós. Através
56
Semelhança
Um conceito muito utilizado em geometria é a ideia de figuras semelhantes, que vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma congruência são
exemplos claros de semelhança.
Entre as figuras geométricas planas que são sempre semelhantes, temos todos os círculos e quadrados, enquanto
na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos.
As figuras abaixo são semelhantes.
Casos de semelhança
• Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois
triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos
ordenadamente iguais.
• Segundo caso de semelhança de triângulos: dois
triângulos são semelhantes quando têm um ângulo
igual, compreendido entre dois lados proporcionais.
• Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois
triângulos são semelhantes quando têm os três lados
ordenadamente proporcionais.
Exemplo:
O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 88 m de altura duplica quando esse observador se
aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o prédio pode ser inferida, usando-se semelhança
de triângulos.
• Duas figuras são semelhantes quando os ângulos
correspondentes são congruentes e a medida do
comprimento dos segmentos que unem quaisquer dois
pontos de uma é proporcional à medida do comprimento
dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas
figuras são seme-lhantes se uma é ampliação ou
redução da outra ou se são congruentes.
• Numa ampliação todos os comprimentos são
multiplicados por um número maior do que 1 e numa
redução todos os comprimentos são multiplicados por
um número positivo menor do que 1.
• Para relacionar as dimensões de figuras semelhantes
define-se a razão de semelhança, r, que é o quociente
entre as medidas dos comprimentos de qualquer
segmento da figura transformada e as medidas dos
comprimentos do segmento correspondente da figura
inicial.
Se r > 1, a figura semelhante é uma ampliação.
Se r < 1, a figura semelhante é uma redução.
Se r = 1, as figuras são congruentes ou geometricamente
iguais.
• O fator de escala entre duas figuras semelhantes é igual
ao valor da razão de semelhança.
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus
pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais e os ângulos correspondentes iguais.
Para isso, veja no modelo matemático seguinte que os triângulos AEC e EBC são semelhantes.
Daí,
2
Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE,
obtemos:
(CE)² = x² + 88²
8 000 = x² + 7744
x = 16 m
Se os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes, então:
Semelhança de Polígonos
Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer
uma correspondência entre vértices e lados de modo que
ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e
lados correspondentes sejam proporcionais.
Universidade Aberta do Nordeste
57
B’
Questão Comentada
b’
B
a’
b
a
C’
C
c
A
c’
A’
D
e
D’
e’
d
d’
E
E’
Importantíssimo:
• k é chamado razão de semelhança.
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade
se mantém constante para quaisquer dois segmentos
correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas,
perímetros, inraios, circunraios etc.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com
razão de semelhança k; a razão entre as áreas é k².
• Uma extensão razoável dos resultados acima vmos
na geometria espacial quando se tem dois sólidos
semelhantes; diremos que a razão entre os volumes
de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão
de semelhança, isto é, k³.
Exemplo:
Um bolo em forma de pirâmide tem altura 30 cm e área
da base igual a 150 cm2. Usando semelhança de sólidos
geométricos, podemos determinar a área da secção superior do tronco da pirâmide obtida quando se corta o bolo
paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:
|C2–H8|
Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a
população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram
o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu
volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica
com aresta medindo 1 m, então o valor em que a mesma deveria
ser aumentada era:
a)
b)
c)
d)
e)
Solução Comentada:
volume: 2V
volume: V
1+x
1
1
1
1+x
1+x
x representa a medida do acréscimo na aresta do cubo original.
Estando diante de sólidos semelhantes, podemos montar a seguinte proporção:
3
3
3
3
h
30
17
Para Fixar
AB=150 cm2
Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção
transversal), podemos concluir que:
 h = 30 – 17 = 13 e a razão de semelhança da pirâmide
menor (acima do corte) e a maior (bolo completo)9 é
13
k=
;

30
Área da secção (pirâmide menor)
= k2;
Área da base (pirâmide maior)
 Assim,
2
Área da secção (pirâmide menor)
⎛ 13 ⎞
=⎜ ⎟ .
⎝ 30 ⎠
150
Logo, a área da secção é aproximadamente igual a
28,2 cm2.
58
|C2-H8|
03. O gato do garoto Leon subiu no poste. Leon pode ver o
seu gato refletido em uma poça d’água, conforme mostra
a figura.
Tomando as medidas descritas no desenho e sabendo que a
medida da altura dos olhos de Leon é 144 cm, a que altura
se encontra o gato de Leon?
a) 2,4 m
b) 3,0 m
c) 3,6 m
d) 4,2 m
e) 4,8 m
|C5–H19|
04. A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado
4; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado .
A área W do pentágono da figura 1 e a soma S das áreas dos
pentágonos da figura 2 são tais que:
a) W =
S
b) W =
S
c) W =
S
d) W =
S
e) W = S
Fique de Olho
RETÂNGULO ÁUREO
Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando
apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao
retângulo original.
Observe, no modelo matemático seguinte, que os triângulos 1 e 2 são semelhantes.
b
Como os retângulos ABCD e CDEF são semelhantes, temos:
a–b
a
T2
a
a
Daí, fazendo
Portanto,
,obtemos k² = k + 1
(número de ouro)
b
T1
a
b
q
a
Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito
ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou
seja, a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:
q
Assim, temos
b
, o que nos dá
(número de ouro)
Universidade Aberta do Nordeste
59
Objeto do Conhecimento
Função Afim
A ideia de proporcionalidade está naturalmente embutida no raciocínio humano. Sua importância se dá pela
sua ampla perspectiva de aplicação no estabelecimento
de relações em todas as áreas do conhecimento. Diversas
leis naturais, diversos fenômenos físicos, biológicos ou
sociais podem ser explicados e quantificados através do
conceito de proporcionalidade. Talvez nenhuma outra
função matemática expresse tão bem essa ideia quanto
a função afim.
Subtraindo membro a membro essas igualdades, obtemos:
a( x2 – x1) = y2 – y1
Observação
Para a > 0, o gráfico de f é um reta crescente e para a < 0,
uma reta decrescente.
1
2
1
Sendo assim, o coeficiente angular de f, a, pode ser interpretado como sendo a taxa de variação de f(x) = y, em
relação a x, no intervalo fechado [x1, x2 ], isto é:
2
Definição
Toda função f de R em R dada por uma lei da forma
f(x) = ax + b, em que a 0 e b são constantes reais, é dita função afim ou função do 1º grau, cuja representação gráfica é
uma reta. Nessa função, o coeficiente de x (a) é chamado de
coeficiente angular e o termo independente de x (b), de coeficiente linear.
2
1
2
(constante)
1
Já calculando o valor numérico de f( ), obtemos:
f(0) = a · 0 + b
f(0) = b
Isso nos mostra que o coeficiente linear b representa o
valor da função quando a variável assume o valor zero. Frequentemente, b está associado ao valor inicial da função
(ou valor fixo), enquanto que a está relacionado ao valor
variável (ou unitário).
Questão Comentada
|C4–H15, H16|
Uma empresa de telefonia oferece dois tipos de planos para seus
clientes.
Plano A: taxa de R$ 35,00 e custo de R$ 0,50 por minuto utilizado.
Plano B: taxa de R$ 50,00 por uma franquia de 100 minutos
e adicional de R$ 0,80 por minuto que exceder à franquia.
O intervalo de tempo, em minutos utilizados, em que o Plano
B é mais econômico que o plano A, é:
a) (10, 40)
b) (25, 75)
c) (50, 130)
d) (60, 100) e) (75, 125)
Solução Comentada: De acordo com o enunciado, a função
que representa o custo do plano A é:
CA(t) = 35 + 0,30 t
A função que representa o custo do plano B é:
Taxa de variação
Sendo x1 e x2 dois elementos distintos do domínio de f, tais
que f( x1 ) = y1 e f( x2 ) = y2, temos:
Devemos ter CB < CA. Há dois casos a considerar:
1º caso: t 100
50 < 35 + 0,30 t t > 50
2º caso: t >100
0,80 (t – 100) + 50 < 35 + 0,30 t
60
0,50 t < 65
t < 130
Levando-se em consideração a produção de 1999 e a de
2003, assinale a alternativa que apresenta uma função que
determina as projeções para a produção de solvente dos próximos anos.
a) y = 299,2 · (t – 1999) + 481
b) y = 74,8 · (t – 1999) + 481
c) y = 74,8 · (t – 1999) – 35978,8
d) y = 0,013 · (t – 1999) + 481
e) y = 0,013 · (t – 1999) – 35978,8
Graficamente, temos:
custo (R$)
B
A
50
35
50
Logo, CB < CA
tempo (min)
130
|C4–H16|
06. O gráfico a seguir mostra o resultado do reflorestamento de
uma área. No eixo horizontal está a variável t em anos, sendo
t = 0 em 1996, t = 1 em 1997, t = 2 em 1998, e assim por
diante. No eixo vertical, a variável y apresenta o número de
milhares de árvores plantadas.
50 < t < 130.
Resposta correta: c
Para Fixar
|C5–H19|
05. Analise o gráfico a seguir.
O BOOM DOS SOLVENTES: O CRESCIMENTO DA PRODUÇÃO
PRODUÇÃO (em mil m3)
y
780,2
800
700
600
481,0
500
400
t
1999
2000
2001
2002
2003
Se a taxa de reflorestamento anual se mantiver constante,
pode-se afirmar que o número de árvores plantadas atingirá
46 500 no ano de:
a) 2021
b) 2023
c) 2025
d) 2028
e) 2030
O Estado de São Paulo, São Paulo, 27 jun. 2004. p. B 4.
Fique de Olho
LEI DOLBEAR
Essa observação foi quantificada e publicada pela primeira
vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um
artigo chamado “O grilo como termômetro”, que forneceu
a fórmula empírica:
T = 10 +
Certamente todos nós já passamos, em algum momento, pelo incômodo de ouvir o estridente “criquilar” de um
grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que num fim
de tarde muito quente, os grilos “cantam” com uma frequência maior do que à noite, com temperatura mais fresca.
Essa fórmula, por vezes, é chamada de Lei de Dolbear, e foi formulada originalmente em graus Fahrenheit
(mas acima, os valores estão em Celsius) e, é claro, varia
de espécie para espécie. De acordo com a fórmula acima,
se os grilos cantarem a uma taxa de 110 vezes por minuto, a temperatura é de 20 ºC. Se cantarem 145 vezes por
minuto, a temperatura é de 25 ºC. Cada estrilado é feito
quando o grilo fricciona sua asa dianteira direita contra sua
asa dianteira esquerda, que é coberta de serras.
Nesse processo, a criação do som ocorre de maneira
similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um
pente. Em insetos, a esse comportamento dá-se o nome de
estridulação, já às pessoas que fazem barulho com as unhas
e os dentes de um pente, dá-se apenas o nome de “chatos”.
Universidade Aberta do Nordeste
61
Exercitando para o Enem
|C3–H11|
01. Quando um carpinteiro diz que o “caimento do telhado é de
36%”, ele está afirmando que, para cada metro na horizontal,
o telhado deverá subir 36 cm na vertical, ou seja, 36% de um
metro. Após serem levantadas as paredes de uma casa, um
carpinteiro executou a cobertura, optando por um telhado
de duas águas, DA e DB, ambas com o mesmo “caimento” e
de mesmo comprimento.
Se para imprimir a letra i foram usados 1 200 pontos, para
a impressão da letra T, com a mesma qualidade, serão necessários:
a) 1 300 pontos.
b) 1 400 pontos.
c) 1 500 pontos.
d) 1 600 pontos.
e) 1 800 pontos.
|C3–H12|
04. Um garoto que se encontra no ponto A, em frente à faixa
de pedestres e junto ao meio fio de uma avenida, vê a sua
namorada num ponto P, no lado oposto de uma ciclovia, de
largura 1,80 m e paralela à avenida, conforme a ilustração
abaixo. É do conhecimento do garoto que o caminho mais
curto que o conduz até a sua namorada é inseguro: assim,
ele primeiro atravessa a avenida e a ciclovia, com segurança,
e em seguida caminha em direção à sua namorada. Sendo
A, D e P pontos alinhados, a distância, em metros, percorrida
pelo garoto ao atravessar a avenida e a ciclovia é:
Se a largura AB da casa é de 8,50 m e a altura CD do telhado
é de 170 cm, então o caimento escolhido foi de:
a) 50%
b) 40%
c) 20%
d) 5%
e) 4%
|C1–H3|
02. Consideremos a renda per capita de um país como a razão entre o Produto Interno Bruto (PIB) e sua população.
Em 2004, a razão entre o PIB da China e o do Brasil, nesta
ordem, era 2,8; e a razão entre suas populações, também
nesta ordem, era 7. Com base nessas informações, pode-se
afirmar corretamente que em 2004, a renda per capita do
Brasil superou a da China em:
a) menos de 50%
b) exatamente 50%
c) exatamente 100%
d) exatamente 150%
e) mais de 150%
|C4–H16|
03. Algumas impressoras utilizam o processo de preencher a
região a ser impressa com pontos, sendo, evidentemente, a
qualidade da impressão diretamente proporcional ao número de pontos empregado.
Observe o diagrama abaixo, que representa as letras i e T.
a)
b)
c)
d)
e)
7,2
5,4
9,0
4,0
3,6
|C4–H16|
05. Na figura têm-se dois lotes de
terrenos planos, com frentes para
duas ruas e cujas divisas são perpendiculares à Rua Bahia. Se as
medidas indicadas são dadas em
metros, qual a área da superfície
dos dois lotes juntos?
a) 350 m2
b) 380 m2
c) 420 m2
d) 480 m2
e) 570 m2
S
OA 15
AG
A
RU
10
10
AL
lote B
lote A
8
x+4
RUA BAHIA
|C4–H18|
06. Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua
de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas
barras metálicas, como mostra a figura abaixo.
62
|C5–H-20|
07. O gráfico que melhor descreve o volume de água no recipiente cúbico seguinte, em função da altura (h) do nível de
água, é:
|C5–H21|
08. A figura a seguir representa um fio AB de comprimento igual
a 100 cm, formado de duas partes homogêneas sucessivas:
uma de alumínio e outra, mais densa, de cobre. Uma argola P
que envolve o fio é deslocada de A para B.
Durante esse deslocamento, a massa de cada pedaço de
comprimento é medida.
Os resultados estão representados no gráfico abaixo.
massa (g)
Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam?
a) 1,50 m
b) 1,75 m
c) 2,00 m
d) 2,25 m
e) 2,50 m
96
16
0
100
40
AP (cm)
a)
b)
A razão entre a densidade do alumínio e a densidade do cobre é, aproximadamente, igual a:
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,3
d) 0,4
e) 0,5
|C4–H15, H16|
09. Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom
condicionamento aeróbico, o coração do atleta dilata, pois
precisa trabalhar com grande volume de sangue. Em um esforço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa
normal pode ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos
por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm,
como mostra o gráfico abaixo.
c)
d)
Adaptado de Folha de S. Paulo, 06/06/2004.
e)
Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa normal ocorre de forma linear, os números de batimentos cardíacos do atleta e de uma pessoa normal serão iguais após
quantos segundos do momento do saque?
a) 0,8
b) 0,78
c) 0,75
d) 0,64
e) 0,6
Universidade Aberta do Nordeste
63
|C6–H24|
10. Através de experimentos, biólogos observaram que a taxa de
canto de grilos de determinada espécie estava relacionada
com a temperatura ambiente de uma maneira que poderia
ser considerada linear. Experiências mostraram que, a uma
temperatura de 21 ºC, os grilos cantavam, em média, 120 vezes por minuto; e, a uma temperatura de 26 ºC, os grilos cantavam, em média, 180 vezes por minuto. Considerando T a
temperatura em graus Celsius e n o número de vezes que os
grilos cantavam por minuto, podemos representar a relação
entre T e n pelo gráfico a seguir.
Supondo-se que a região descrita pelo escritor seja um triângulo equilátero de área 75 km² e, no mapa publicado na
revista, essa mesma região tenha área igual a 3 cm², qual é a
escala desse mapa?
a) 1 : 25
b) 1 : 200
c) 1 : 10.000
d) 1: 500.000
e) 1 : 250.000
|C6–H25|
12. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã
90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e
até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por
minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o
fluxo constante de pessoas aumentou.
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do
estádio em função do horário de entrada estão contidos no
gráfico a seguir:
nº de pessoas
Supondo que os grilos estivessem cantando, em média, 156
vezes por minuto, de acordo com o modelo sugerido nesta
questão, estima-se que a temperatura deveria ser igual a:
a) 21,5 ºC
b) 22 ºC
c) 23 ºC
d) 24 ºC
e) 25,5 ºC
90.000
|C3–H11|
11. Há 25 anos, o escritor americano Charles Berlitz lançou o polêmico livro O Triângulo das Bermudas (The Bermuda Triangle).
A obra logo virou best seller e aumentou a fama de sinistro
que o local já tinha, desde o início do século 20. Mais recentemente, pesquisadores ingleses concluíram que na área do
Triângulo há um depósito natural de gás metano no fundo
do mar, que faz a água ferver e as suas borbulhas empurrarem para a superfície grandes massas de água, cuja força
cria redemoinhos tão intensos que seriam capazes de sugar
navios e aviões.
30.000
45.000
12
15
17
horário
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio
estava marcando 15 horas e:
a) 20 min
b) 30 min
c) 40 min
d) 50 min
e) 60 min
Para Fixar
01
02
03
04
05
06
d
b
c
e
b
c
Exercitando para o Enem
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
b
d
c
a
a
a
a
c
a
d
d
c
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Expediente
Presidente: Luciana Dummar
Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Sérgio Falcão
Coordenação do Curso: Marcelo Pena e Fernanda Denardin
Coordenação Editorial: Sara Rebeca Aguiar
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Apoio
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Projeto Gráfico e Capas: Dhara Sena e Suzana Paz
Editoração Eletrônica: Antônio Nailton
Ilustrações: Aldenir Barbosa, Caio Menescal e João Lima
Revisão: Tony Sales, Rosemeire Melo, Maria Sárvia e Rosana Nunes
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