PROFORM–Programa de Formação Diferenciada
Curso Introdutório de Matemática para Engenharia
CIME 2012.2
Parte II
Kerolaynh Santos e Tássio Magassy – Engenharia Civil
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Definição:
Equações
envolvendo
funções/relações
trigonométricas verdadeiras para todas as variáveis
envolvidas.
 São úteis para simplificar expressões que contenham
funções trigonométricas;
 Aplicação: integração de funções não trigonométricas.
Cálculo II e IV
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Relações fundamentais
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑐
𝑎
𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎
cos 𝛽 =
𝑏
𝑎
𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎
Teorema de Pitágoras
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
2 = 𝑏2 + 𝑐 2
𝑎
dividindo os membros por 𝑎2 :
𝑎2
𝑏
𝑎
2
𝑐
+
𝑎
2
=1
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏
TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
𝑐
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑏
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑐
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎. cos(𝛽)
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎. 𝑐𝑜𝑠(𝛽)
𝑎. sen(𝛽)
Relações fundamentais
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑐
𝑎
𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎
cos 𝛽 =
𝑏
𝑎
𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑡𝑔 𝛽 =
cos(𝛽)
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
cos(𝛽) ≠ 0
𝑐𝑜𝑠𝛽)
1
=
sen(𝛽) 𝑡𝑔(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≠ 0
𝑎
1
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
cos(𝛽) ≠ 0
𝑎. cos(𝛽)
cos(𝛽)
𝑎
1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≠ 0
𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
sen(𝛽)
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Relações derivadas
tg ²(  )  1  sec ²(  )
Demonstração da identidade Trigonométrica:
1
sen²(  ) cos ²(  )
sec ²(  ) 


cos ²(  ) cos ²(  ) cos ²(  )
sec(𝛽)2 = 𝑡𝑔(𝛽)2 + 1
(𝑐. 𝑞. 𝑑)
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Relações derivadas
1+ cotg² ( β ) = cossec²(β )
Demonstração da identidade Trigonométrica:
1
sen²(  ) cos ²(  )
cos sec ²(  ) 


sen²(  ) sen²(  ) sen²(  )
cossec²(𝛽) = 𝑐𝑜𝑡𝑔²(𝛽) + 1
(𝑐. 𝑞. 𝑑)
Trigonometria
EXERCÍCIO 4:
Simplifique a expressão:
.
1
 cot g  x 
cot g ( x)
y=
1  cotg 2  x 
Sendo
cos( x) = 3  m
m=2
e
y = tg(x)
sen( x) = 2  m , determine o valor de m.
Trigonometria
PROBLEMA!!
Uma empresa de fornecimento
de energia, ao instalar a rede
elétrica numa fazenda, precisou
colocar dois postes em lados
opostos de um lago. Contudo, um
problema surgiu: para fazer o
projeto da rede, seria necessário
saber a distância entre os postes,
mas a presença do lago impedia a
medição direta.
Realidade
Trigonometria
PROBLEMA!!
Um dos engenheiros posicionou-se em
um local onde era possível visualizar
os dois postes. Com aparelhos
apropriados, mediu-se o ângulo entre
a linha de visão dele e os postes
(120º); a distâncias entre o poste mais
afastado e o engenheiro (100m) e o
ângulo entre a linha do poste mais
próximo do engenheiro e a linha entre
os postes (45º) . Com essas
informações o engenheiro pode
calcular a distância desejada.
Modelo Matemático
COMO?
Trigonometria
PROBLEMA!!
O Triângulo AOB é obtusângulo e a
resolução deste problema consiste em
determinar a medida do lado AB.
Para resolvê-lo vamos usar:
LEI DOS SENOS
Modelo Matemático
Trigonometria
Lei dos Senos
Relação matemática de proporção sobre a medida de
triângulos arbitrários em um plano.
Demonstração!
Trigonometria
Lei dos Senos
PROBLEMA!! (Resolução)
Pela lei dos senos, temos:
Modelo Matemático
100
d
100
d



 2d  100 3
sen45º sen120º
2
3
2
2
100 3
d
2
Racionalizando:
d  50 6m
Trigonometria
Lei dos Cossenos
Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.
Demonstração!
Trigonometria
Lei dos Cossenos
Exercício: O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 5cm.
Quais são as medidas das diagonais maior e menor do losango?
20º
5
5
Diagonal menor (x)=1,7cm
Diagonal maior (y)=9,8cm
x
y
Trigonometria
CONCEITOS BÁSICOS
Arcos e ângulos
Arco: parte da circunferência
delimitada por dois pontos.
B
Arco AB
AB
O
Ângulo central: todo arco
possui um ângulo que o
subtende.
A
Comprimento de
circunferência:
Ângulo central
AÔB
C  2r
Trigonometria
Arcos e ângulos
Graus
B
A’
Quando dividimos uma circunferência em
360 partes congruentes, cada uma dessas
partes é um arco de um grau (1º).
A
B’
1 ângulo reto = 90°
2 ângulos retos = 180°
3 ângulos retos = 270°
4 ângulos retos = 360°
1°= 60’ e 1’ = 60’’
Trigonometria
Arcos e ângulos
Exemplo: Se α e β são arcos que medem, respectivamente,
83°30’39’’ e 12°43’45’’, determine a medida de α + β:
Resposta:
α + β = 96°14’24’’
Trigonometria
Arcos e ângulos
Grados
1 grado equivale a 1/400
da circunferência. Desta
forma:
B
A’
A
B’
1 ângulo reto = 100gr
2 ângulos retos = 200gr
3 ângulos retos = 300gr
4 ângulos retos = 400gr
Trigonometria
Arcos e ângulos
Radianos
B
O
B
A
R
Equivalência:  rad = 180o
Trigonometria
Arcos e ângulos
Exercício: Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se, com os
lados do ângulo central α, um arco de comprimento 10,8 cm. Calcule, em
radianos, a medida de α:
Resposta:
α = 1,2rad
Trigonometria
Arcos e ângulos
Exercício: Na figura abaixo, conhecidos o raio de 4 cm do arco de
circunferência e ângulo central de 30°, calcular o comprimento, em
cm, do arco por ele determinado sobre a curva:
30°
4 cm
x
Trigonometria
Arcos e ângulos
Trigonometria
Ciclo Trigonométrico
y
B
P
+
1
A’
A
O
1
x
-
B’
Trigonometria
Arcos côngruos (ou congruentes)
B
α
O
- São arcos que possuem a
mesma origem e extremidade.
A
- A diferença entre dois arcos
côngruos é sempre um
múltiplo de 2.
x = α + k2
Trigonometria
Arcos côngruos (ou congruentes)
Reposta:
2º quadrante,
Expressão: 160° + k . 360°
Introdução
Seno e Cosseno
seno
Teorema de Pitágoras:
B
P
N

A’
O
sen2α + cos 2α = 1
A
M
x
cosseno
B’
Trigonometria
Seno
Seno
Cosseno
y
y
1
O
x
-1
-1
O
1 x
Trigonometria
Tangente
t é paralela ao
eixo y e tangente
à circunferência
unitária
y
t
P
T
tg 

O
A
x
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
2o quadrante:
y
t
/2
a = ( - x)
a
sen ( - x) = sen x

x
O
cos ( - x) = - cos x
tg ( - x) = - tg x
3/2
0
2 x
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
3o quadrante:
a = ( + x)
sen ( + x) = - sen x
cos ( + x) = - cos x
tg ( + x) = tg x
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
4o quadrante:
y
/2
a = (2 - x)
sen (2 - x) = - sen x
cos (2 - x) = cos x
t

x
a
O
tg (2 - x) = - tg x
3/2
0
2 x
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
Trigonometria
Fórmula de adição e subtração de arcos
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃) ?
cos(𝒂 + 𝒃) = cos(𝒂). cos(𝒃) – 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)
cos(𝒂 − 𝒃) = cos(𝒂). cos(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos(𝒂)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos(𝒂)
Trigonometria
Lei dos Cossenos
Exercício: Usando as fórmulas de adição, determine:
a) 𝑠𝑒𝑛(105º)
e) 𝑠𝑒𝑛(225º)
b) cos(135º)
f) cos(225º)
c) cos(195º)
g) cos(300º)
d) 𝑠𝑒𝑛(165º)
h) 𝑠𝑒𝑛(345º)
Trigonometria
Fórmula de adição e subtração de arcos
‘’
Trigonometria
Arco Duplo
cos 𝟐𝒂 = cos𝟐𝒂 – 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒂) = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒂. cos 𝒂
Trigonometria
Arco metade
cos
a
= ±
2
sen
a
2
= ±
2
tg
a
2
1 + cos a
= ±
1 - cos a
2
1 - cos a
1 + cos a
Trigonometria
Transformação em produto
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen
. 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen
. 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠
. 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = − 2. 𝑠𝑒𝑛
. 𝑠𝑒𝑛
2
2
Trigonometria
Exercícios:
Transforme em produto a expressão 𝑠𝑒𝑛(60º) + 𝑠𝑒𝑛(30º).
Transforme em produto a expressão cos(5𝑥) + cos(3𝑥).
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