Tópico 2. Funções elementares
2.6 Funções trigonométricas
A trigonometria (do grego trigonon “triângulo” + metron “medida”) é um ramo da
matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos
do triângulo mede 90º (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os
lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas e os cálculos baseados nelas.
2.6.1 Trigonometria no Triângulo Retângulo
Considere o triangulo retângulo abaixo:
Definimos seno (sen) de um ângulo  , cosseno (cos) de um ângulo  , tangente (tg) de um ângulo
 , cotangente (cotg) de um ângulo  , secante(sec) de um ângulo  e cossecante (cossec) de um
ângulo  , como :
sen( ) 
CatetoOposto CO

Hipotenusa
H
cos( ) 
CatetoAdjacente CA

Hipotenusa
H
tg ( ) 
CatetoOposto
CO

CatetoAdjacente CA
cot g ( ) 
sec( ) 
CatetoAdjacente CA

CatetoOposto
CO
Hipotenusa
H

CatetoAdjacente CA
cos sec( ) 
Hipotenusa
H

CatetoOposto CO
Exemplos:
Sabemos que
figura:
sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72 , Calcular o valor de x em cada
Resolução:
a) sen( 36) 
x
10
 0,58 
b) cos(36) 
x
5
x
20
c) tg (36) 
x
10
 x  5,8cm
 0,80 
x
5
 x  4m
 0,72 
x
20
 x  14,4km
 Teorema de Pitágoras:
Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da
medida da hipotenusa. Isto é:
b 2 c 2  a 2
Exemplo: Sabendo que  é um ângulo agudo e que cos( ) 
5
, calcular tg ( ) e cot g ( ) .
13
Resolução:
Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo  tal que o cateto adjacente a  mede 5 e a
hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo.
Pelo teorema de Pitágoras temos :
x 2  52  132
2
x 2  169  25
x 2  144
x  12
Logo, tg ( ) 
cot g ( ) 
CatetoOposto
12
e

CatetoAdjacente 5
CA 5

CO 12
Exercício: Sabendo que  é um ângulo agudo e que sen( ) 
3
, calcular tg ( ) e cot g ( ) .
5
 Tabela dos Ângulos Notáveis
30º
45º
60º
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
 Por convenção:
sen n ( )  (sen( )) n
cos n ( )  (cos( )) n
sen k  sen( k )
Exercícios:
Calcular o valor das expressões:
cos(60º )  cos 2 (30º )
1) E 
sen 3 (30º )  tg 5 ( 45º )
Resolução:
3
2
1  3
1
1 3 5

2
 
 (cos 30º )


2
2

  2 4  4  10
2
E

3
1
9
(sen 30º )3  (tg 45º )5
9
1
5
1
  1
8
8
 2
2) E 
sen 2 x  cos 4 x
cos 2 2 x
para x=15º
Resolução:
1 1

sen( 2.15º )  cos( 4.15º ) sen( 30º )  cos(60º )
2
2  1 4
E


2
2
2
3 3
(cos 2.15º )
(cos 30º )
 3


4
 2 


2.6.2 Estudo da circunferência
Unidades de Medidas de Arcos:

Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é
1
dessa
360º
circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um
grau (1º); logo, uma circunferência mede 360º
 Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem o comprimento
do raio dessa circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB
como sendo um radiano (1 rad); logo, uma circunferência mede 2 rad, pois o
comprimento de uma circunferência de raio r é 2 r .
Observação: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam
sobre a circunferência um arco de comprimento igual ao raio.
 Transformação de Unidades de Medidas de Arcos
Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas de um
mesmo arco. Por exemplo, 2 rad é equivalente a 360º, pois ambas são medidas de um arco de
uma volta completa.
Consequentemente, temos que:
 rad é equivalente a 180°
4
Disso segue que: 1° é equivalente a ~
1
 rad
180
e
1 rad é equivalente a
180

Exemplo: a) Ache a medida equivalente em radianos de 162°
b) Ache a medida equivalente em graus de
5
rad
12
Resolução:
a) 162° ~162.
162° ~
b)

180
rad
9
rad
10
5
5 180
rad ~ .
12
12 
5
rad ~ 75
12
 A Circunferência Trigonométrica
A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio
unitário (1) e centro na origem.
Sobre a circunferência serão fixados arcos, com origem no ponto A(1,0). Esses arcos serão
percorridos no sentido anti-horário. Lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é igual a
medida angular do arco AP   .
5
Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 360º ou de 0
rad a 2  rad
Definimos:
Seno de  é a ordenada (correspondente ao eixo y) do ponto P (indicação: sen  );
6
Cosseno de  é a abcissa (correspondente ao eixo x) do ponto P (indicação: cos  ).
Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos agudos,
num triangulo retângulo. Veja:
QP QP

 QP
raio
1
OQ OQ
cos 

 OQ
raio
1
sen  
 Simetrias
Exemplos:
7
Assim:
8
1° Quadrante: 0° a 90° ou ( 0 rad a
2° Quadrante: 90° a 180° ou (

rad)
2

rad a  )
2
3° Quadrante: 180° a 270° ou (  rad a
4° Quadrante: 270° a 360° ou (
3
rad)
2
3
rad a 2 )
2
 Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico
9
Exemplo: Sabendo que sen 30º 
1
 0,5 e
2
cos 30º 
3
 0,87 , achar um valor
2
aproximado de:
a) sen 150º e cos 150º
b) sen 210º
e cos 210º
Solução:
a) AP  150 º  
Então:
10
sen 150º  sen 30º  0,5

cos150º   cos 30º  0,87
b) AP  210 º  
Então:
sen 210º   sen 30º  0,5

cos 210º   cos 30º  0,87
O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno.
Sendo  a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que:




P no primeiro quadrante: sen   0 e cos  0 ;
P no 2º quadrante: sen   0 e cos  0 ;
P no 3º quadrante: sen   0 e cos  0
P no 4º quadrante: sen   0 e cos  0
Sendo  a medida de um arco com extremidade no 1º quadrante:



sen (180º  )  sen 
sen(180º  )   sen 
sen( 360º  )   sen 
e
e
e
cos(180º  )   cos
cos(180º  )   cos
cos(360º  )  cos
11
2.6.3 Funções trigonométricas
Definição1: Suponha que t seja um número real. Coloque na posição padrão um ângulo com t rad de
medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do círculo unitário com
centro na origem. Se P for o ponto (x,y), então a função seno será definida por:
sen t  y
então a função cosseno será definida por:
cos t  x
Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio das funções
seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais. O maior valor da função é 1 e o menor é –
1. As funções seno e cosseno assumem todos os valores entre –1 e 1; segue, portanto, que imagem
da função é [ –1, 1].
Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura.
12
Vemos que :





sen(0) = 0 e cos(0) =1
2
2
  1
  1
sen    . 2 
cos   . 2 
2
2
4 2
4 2
 
 
sen    1
cos   0
2
2
sen    0
cos   1
 3
sen
 2
 3
cos
 2

  1


0

Propriedades:
1) sen( t )   sen( t )
e
cos( t )  cos(t )
Ou seja , a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par.
2) sen( t  2 )  sen t
e
cos(t  2 )  cos t
Esta propriedade é chamada de Periodicidade.
Definição2: Uma função f será periódica se existir um número real p  0 tal que quando x estiver
no domínio de f, então x+p estará também no domínio de f e f(x+p)=f(x).
O numero p é chamado de período de f .
Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da função
13
 17 

 4 
a) sen 
 7 

 3 
b) cos
 2 

 3 
c) cos 
Resolução:
 17 
=
 4 
a) sen 
2
   16 
  16 




 
sen 
  sen  
  sen   4   sen   2.2   sen   
4 
4 
2

4
4

4

4
 7
 3
b) cos

   6 


  1
 = cos
  cos  2   cos  

 3 
3

3 2
1
 2 
 4  6 
 4

 4 
 2   cos
 = cos
  cos

3
2


 3

 3 
 3 
c) cos 
 Relação Fundamental da Trigonometria
 sen 2   cos 2   1
 Definição:




sen 
cos 
1
sec  
cos
cos 
cot g 
sen 
1
cos sec  
sen 
tg 
 Propriedades:
1) tg (t   )  tg (t )
e
cot g (t   )  cot g (t )
As funções tangente e cotangente são periódicas de período  .
2) sec(t  2 )  sec t
e
cos sec(t  2 )  cos sec t
14
As funções secante e cossecante são periódicas de período 2 .
 Identidades Notáveis





sec 2   1  tg 2
cos sec 2   1  cot g 2
(sen  ).(cos sec  )  1
(cos  ).(sec  )  1
(tg ).(cot g )  1
15
Formulário trigonometria
16
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS
1) Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e cos x =
3/5.
2) Uma circunferência tem 20 cm de raio. Qual o comprimento de um arco de 72º?
3) Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos.
a)
3
4
b)
7
6
c) 

6
d)
16
3
e) 1 rad
4) Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus.
a) 30º
b) 300º c) 1080º
d) 135º e) 330º
f) 20º
f)
2
3
g)
7
4
g) 150º
5) Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes.
6) Calcule o valor de x na figura abaixo:
17
7) Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos
seguintes arcos
a)
5
6
b)
6
5
c) 

d) 
4
3
2
8) Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = 1 + 4 sen x. O conjunto imagem dessa função é o
intervalo:
a)[-3, 5]
b) [3,5]
c) [-3, 4]
d) [3, 4]
e) [-1, 1]

9) O período da função dada por y = sen (2𝑥 − 4) é:


a) 
b) 2
c)
4
d)
2
e)

8
10) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:
a) 2 cos x
b) 2 sen (x/2)
c) 2 sen x
d) 2 sen 2x
e) 2 cos 2x
11) Observe o gráfico a seguir.
A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é
a) y = cos x
18
b) y = sen x
c) y = cos 2x
d) y = sen 2x
e) y = 2 sen x
12) A função trigonométrica equivalente a
sec 𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥+cos 𝑥
é:
a) sen x
b) cotg x
c) sec x
d) cossec x
e) tg x
𝑠𝑒𝑛 𝑥
13) A expressão 1+cos 𝑥 +
1+cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
é igual a:
a) 1
b) 2
c) 2 sen x
d) 2 sec x
e) 2 cossesc x
14) A figura ao lado é parte do gráfico da função:
𝑥
a) f(x) = 2 sen
2
b) f(x) = 2 sen 2x
c) f(x) = 1 + sen 2x
𝑥
d) f(x) = 2 cos
2
e) f(x) = 2 cos 2x
15) Dos gráficos abaixo,
que melhor representa o gráfico da função
a)

assinale
aquele
y = 1 + 2 sen (𝑥 − ):
4
b)
19
c)
d)
20