Cálculo I
Notas de aulas
André Arbex Hallack
Julho/2007
Índice
0 Preliminares
1
0.1
Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
0.2
Relação de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.3
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.4
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.5
Funções exponenciais e logarı́tmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
0.6
Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1 A Derivada
21
1.1
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2
Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3
Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.4
Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.5
A definição da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.6
Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.7
Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.8
Derivação implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2 Aplicações da Derivada
65
2.1
Acréscimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.2
A Derivada como razão de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.3
Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.4
Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
i
2.5
Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.6
Aplicações em problemas de máximos e/ou mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . .
89
2.7
Aplicações nos esboços de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.8
Apêndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.9
Apêndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.10 Apêndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.11 Apêndice D: Aproximações via
Polinômios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 A Integral Definida
123
3.1
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2
Somas de Riemann e a definição da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3
Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4
O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5
Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6
Mudança de variável na integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4 Técnicas de integração
145
4.1
Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2
Algumas integrais trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3
Substituições trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4
Integrais de funções racionais (Frações Parciais) . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5
Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 Aplicações geométricas
da Integral Definida
169
5.1
Áreas de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2
Volumes de (alguns) sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Referências
185
Capı́tulo 0
Preliminares
0.1
Números reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (números naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (números inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (números racionais) ⊂ IR
Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pitágoras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
√
√
Portanto a = 2 (e 2 não é racional).
1
2
CAPÍTULO 0
(B) Outro número irracional famoso:
FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante.
Essa razão é um número chamado π .
Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
=π
2r
π é um número irracional ( π ≈ 3, 141592 )
Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais !
Operações básicas em IR
Existem em IR duas operações básicas:
ADIÇÃO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a + b ∈ IR
MULTIPLICAÇÃO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→
a · b ∈ IR
(soma)
(produto)
Essas operações possuem as seguintes propriedades:
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
COMUTATIVIDADE:
a+b = b+a
a·b = b·a
ASSOCIATIVIDADE:
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS:
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
a+0 = a
a·1 = a
para todo a ∈ IR.
EXISTÊNCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .
Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
Preliminares
3
Conseqüências: (das propriedades)
1) Duas novas operações:
Subtração: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ;
a
= a · b−1 .
Divisão: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos:
b
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , então a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um único inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a =
6 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a−1 =
1
para todo a 6= 0 em IR.
a
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 então a = ±b .
0.2
Relação de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
IR+ é o conjunto dos números reais POSITIVOS;
IR− é o conjunto dos números reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois números positivos é um número positivo.
O produto de dois números positivos é um número positivo.
4
CAPÍTULO 0
Dados números reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a é menor do que
b (ou b é maior do que a ) quando b − a ∈ IR+ , ou seja, b − a é um número positivo:
Propriedades da relação de ordem:
1) Se a < b e b < c então a < c .
2) Se a, b ∈ IR então a = b ou a < b ou a > b .
3) Se a < b então a + c < b + c para todo c ∈ IR.
4) Se a < b , temos:
c>0 ⇒ a·c < b·c
c<0 ⇒ a·c > b·c
5) Se a < b e a0 < b0 então a + a0 < b + b0 .
6) Se 0 < a < b e 0 < a0 < b0 então 0 < a · a0 < b · b0 .
7) Se a > 0 então
1
>0.
a
8) Se 0 < a < b então 0 <
1
1
<
.
b
a
Intervalos: Dados números reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
Preliminares
5
(a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞, +∞) = IR
• Atenção: +∞ e −∞ não são números reais ! São apenas sı́mbolos !
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b .
Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
(Exemplos)
Observações:
(A) Todo conjunto finito é limitado.
(B) CUIDADO ! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos números naturais NÃO É limitado.
Conseqüências importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b , com a > 0 , é possı́vel obter
um número natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b , é
possı́vel obter um número RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distância entre a e b ).
6
CAPÍTULO 0
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer número real x
(mesmo irracional), é possı́vel obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) π = 3, 141592 . . .
3
3, 1 =
31
10
3, 14 =
314
100
3, 141 =
3141
1000
3, 1415 =
31415
10000
...
−→ π
2) Tome um número racional r1 > 0 e considere:
1
3
r2 =
r1 +
∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 )
2
r1
↓
1
3
r3 =
r2 +
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r32 > 3 )
2
r2
↓
1
3
r4 =
r3 +
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r42 > 3 )
2
r3
↓
..
.
↓
rn+1
1
=
2
3
rn +
rn
2
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , rn+1
> 3)
↓
..
.
Esta seqüência de racionais (r1 , r2 , r3 , . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
número real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
0.3
Valor absoluto
Dado qualquer número real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MÓDULO
DE x ) da seguinte forma:
(
x
se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até
o 0 (zero). (Exemplos)
Preliminares
7
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
0.4
Funções
• Definição: Uma função f : X → Y é constituı́da de:
(a) Um conjunto X chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida)
(b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f “toma os valores”)
(c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um ÚNICO elemento f (x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma função f : X → Y , sua IMAGEM é o conjunto
f (X) = { f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domı́nio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE.
• Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X → Y é o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X .
• Funções limitadas: Uma função f : X → Y é dita LIMITADA quando sua imagem
f (X) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) é um
conjunto limitado.
8
CAPÍTULO 0
• Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X → Y é dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) .
(Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domı́nio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domı́nio).
Exemplos:
(A) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4 .
(C) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = |x| .
(D) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5 (x) =
√
1 − x2 .
(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x 7→ y tais que x2 + y 2 = 1 NÃO É UMA FUNÇÃO
BEM DETERMINADA.
(G) f7 : IR → IR dada por f7 (x) =

1



 x
se
x>
1
4



 −3
se
x≤
1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8 (x) = x .
(I) f9 : IR → IR dada por f9 (x) = −2x + 1 .
√
(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = − x .
Preliminares
9
• Máximos e mı́nimos: Dizemos que uma função f : X → Y assume VALOR
MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (x) ≤ f (c) para todo
x ∈ X . Neste caso f (c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f .
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (x) ≤ f (c) para todo
x ∈ (a, b) ∩ X , então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c)
é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f .
De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustração)
Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .
Observações:
(i) Todo máximo (mı́nimo) absoluto é máximo (mı́nimo) local.
(ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mı́nimos.
Exercı́cio: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), determine seus pontos e valores máximos e mı́nimos, se existirem.
• Construção de funções através de operações: Sejam f, g : X → IR funções
definidas num mesmo domı́nio X ⊂ IR .
A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g) : X → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x)
(f · g) : X → IR dada por (f · g)(x) = f (x) · g(x)
10
CAPÍTULO 0
Para ilustrar, consideremos a função indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e
funções constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc (x) = c (cada c é um número real
qualquer, fixado).
Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações
de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR → IR chamada FUNÇÃO
POLINOMIAL:
p(x) = an xn + an− xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
para todo x ∈ IR
an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ IR , an 6= 0
(essa é dita uma função polinomial de grau n)
(Exemplos)
Se quisermos utilizar a operação de divisão, temos que tomar o cuidado para evitar “divisões
por 0 (zero)”.
Assim, dadas f, g : X → IR e sendo Z = { x ∈ X ; g(x) = 0 } , podemos definir:
(f /g) : X − Z → IR pondo (f /g)(x) =
f (x)
g(x)
Para ilustrar, temos as chamadas FUNÇÕES RACIONAIS, dadas pelo quociente de funções
polinomiais:
p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) =
p(x)
q(x)
(Exemplos)
• Composição de funções:
Sejam f : X → IR e g : Y → Z funções tais que f (X) ⊂ Y
contida no domı́nio de g).
(a imagem de f está
Preliminares
11
A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função
f e depois a função g.
Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um único elemento g(f (x)) ∈ Z :
(g ◦ f ) : X −→ Z
x 7−→ g(f (x))
(Exemplos)
• Inversão de funções:
Seja f : X → Y uma função. A cada x ∈ X está associado um único f (x) ∈ Y .
Nos interessa a situação em que a associação inversa f (x) 7→ x é uma função de Y em X.
Para isso, f deverá possuir duas caracterı́sticas:
• f (X) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y );
• x1 6= x2 em X ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) em Y .
Uma função f : X → Y é chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a
imagem de f é todo o contradomı́nio Y . (Exemplos)
Uma função f : X → Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domı́nio
têm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) em Y . (Exemplos)
Uma função f : X → Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y → X que associa y 7→ g(y) e
tal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g é dita A INVERSA DA FUNÇÃO f e escrevemos g = f −1 .
(Exemplo)
12
CAPÍTULO 0
Exercı́cio: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede:
a) Faça um esboço do GRÁFICO da função.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não.
c) Em que partes de seu domı́nio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem).
e) A função é INJETORA ? Justifique.
f) A função é SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a função dada for INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do
GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA.
1) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 .
2) g1 : IR → IR+ ∪ {0} dada por g1 (x) = |3x − 1| .
3) h1 : IR → IR dada por h1 (x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1 (x) = 2x .
(
5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1 (x) =
x2
−x + 2
se x < 1
.
se x ≥ 1
6) r1 : [0, +∞) → IR+ ∪ {0} dada por r1 (x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR → IR dada por s1 (x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1 (x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1 (x) = x2 .
10) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = − |x| .
11) g2 : IR → IR dada por g2 (x) = −
x
+1.
3
Preliminares
13
12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2 (x) = −
x
+1.
3
√
13) p2 : IR+ ∪ {0} → IR− ∪ {0} dada por p2 (x) = − 2x .
(
14) q2 : IR → IR dada por q2 (x) =
1
0
se 1 ≤ x ≤ 3
.
se x < 1 ou x > 3
15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2 .s1 .
(
se x 6= 0
.
se x = 0
 √

−x
se x < 0

17) u2 : IR → [−1, +∞) dada por u2 (x) =
−1/2
se x = 0 .

 √
x − 1 se x > 0
(
−π se x < −1
18) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2 (x) =
.
x2 se x ≥ 0
16) s2 : IR → IR dada por s2 (x) =
1/x
0
19) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3 (x) = 1 −
0.5
√
1 − x2 .
Funções exponenciais e logarı́tmicas
Revisão:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n =
n PAR e a ≥ 0 : b =
√
n
1
(n = 1, 2, 3, . . .) .
an
a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
n ÍMPAR e a ∈ IR : b =
√
n
a ⇔ bn = a .
Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo:
√
a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1 +r2 e ar > 0 .
14
CAPÍTULO 0
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x é racional, já temos ap/q =
√
q
ap .
Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possı́vel obter uma seqüência de racionais r1 , r2 , r3 , . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1 , r2 , r3 , . . . −→ x
FATO: A seqüência ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um número real, o qual DEFINIMOS como ax .
Temos então a nossa função exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a função fa : IR → IR+ dada por fa (x) = ax para todo x ∈ IR
é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
ax · ay = ax+y ,
(ax )y = ax·y ,
(a · b)x = ax · bx ,
a0 = 1
Gráfico:
(
Crescimento ou decrescimento: fa (x) = ax é
Inversa: Se a 6= 1 então
fa : IR → IR+
x 7→ ax
mitindo portanto uma função inversa
CRECENTE
DECRESCENTE
se
se
a>1
a<1
é SOBREJETORA e INJETORA, ad-
.
fa−1 : IR+ → IR
−1
y 7→ fa (y)
Preliminares
15
fa−1 é chamada FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos fa−1 (y) = loga y .
Temos então: y = ax ⇔ x = loga y .
fa
fa−1
x 7−→ ax = y 7−→ x = loga y = loga ax
fa−1
fa
y 7−→ x = loga y 7−→ y = ax = aloga y
• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a função fa−1 : IR+ → IR dada por fa−1 (y) = loga y .
Propriedades:
loga (x · y) = loga x + loga y , loga (xy ) = y · loga x , loga 1 = 0
Gráfico:
Um número especial
(A) Séries numéricas:
Uma SÉRIE NUMÉRICA é uma soma x1 + x2 + x3 + . . . com uma quantidade INFINITA
de parcelas.
ATENÇÃO: Uma série pode representar ou não um número real bem definido !!!
Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais:
s1 = x 1
s2 = x 1 + x 2
s3 = x 1 + x 2 + x 3
..
.
16
CAPÍTULO 0
Quando a seqüência s1 , s2 , s3 , . . . se aproxima tanto quanto desejarmos de um número
a ∈ IR à medida que n cresce, dizemos que a série CONVERGE PARA a e escrevemos
x1 + x2 + x3 + . . . = a
Caso contrário a série é chamada DIVERGENTE (a soma não é um número real bem
definido).
Exemplos:
1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . é uma série DIVERGENTE.
s1 = 1
s2 = 1 + 1 = 2
s3 = 1 + 1 + 1 = 3
..
.
sn = n
..
.
A seqüência s1 , s2 , s3 , . . . não se aproxima de nenhum número real em particular. Portanto a série é divergente.
2) Se r ∈ IR e |r| < 1 , sabemos que 1 + r + r2 + r3 + . . . =
Em particular: 1 +
3) 1 +
1
1
1
1
1
+ + +
+ ... =
2
4
8
16
1−
1
2
=
1
1
2
1
(CONVERGENTE!)
1−r
=2
1
1
1
1
+ + + + . . . (série harmônica) é uma série DIVERGENTE.
2
3
4
5
π
1 π 3 1 π 5
1 π 7
+
−
+ . . . = 1 (CONVERGENTE)
4)
−
2 3! 2
5! 2
7! 2
5) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . é uma série DIVERGENTE.
(B) Séries de termos não-negativos:
Vamos considerar séries x1 + x2 + x3 + . . . tais que xn ≥ 0 para todo n ∈ IN .
FATO: Uma série x1 + x2 + x3 + . . . de termos não-negativos converge se, e somente se,
existe b ∈ IR tal que x1 + x2 + x3 + ... + xn ≤ b para todo n ∈ IN (“a soma é limitada”).
Preliminares
17
(C) O número e :
Consideremos a série 1 + 1 +
1
1
1
1
+ + + + ...
2! 3! 4! 5!
É fácil ver que
2 < 1+1+
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + ... < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ... = 3
2! 3! 4! 5!
2
2
2
2
1
1
1
+ + + . . . CONVERGE para um
2! 3! 4!
número real (entre 2 e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
Segue do FATO anterior que a série 1 + 1 +
O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarı́tmica, na base e :
Exponencial: ex e sua inversa, a função logarı́tmica loge x (escrevemos log x ou ln x ).
Obs.: Outro modo de obter o número e :
1
2
3
1
1
1
,
1+
, 1+
,
1+
1
2
3
0.6
1
1+
4
4
. . . −→ e
Funções trigonométricas
• Medidas de ângulos em radianos:
Um ângulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada
no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada:
Assim, um ângulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunferência considerada:
l
θ
=
1
r
⇒ l =θ·r
Desta forma, é fácil ver que a medida de “uma volta” em radianos é 2π rad :
2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad
18
CAPÍTULO 0
• Relações trigonométricas nos triângulos retângulos:
π
Consideremos 0 < θ <
e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo:
2
sen θ =
b
a
cos θ =
c
a
tg θ =
sen θ
b
=
cos θ
c
cos2 θ + sen 2 θ = 1
• O cı́rculo trigonométrico:
Relações:
cos2 θ + sen 2 θ = 1 ,
sec2 θ = 1 + tg 2 θ ,
csc2 θ = 1 + ctg 2 θ ,
ctg θ =
• Ângulos notáveis:
θ (rad)
sen θ
cos θ
tg θ
0
0
1
0
π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
√
√
2
3
1
1
0
−1
0
2
2
2
√
√
3
2
1
0 −1
0
1
2
2
√2
√
3
1
3
@
0
@
0
3
1
( sen θ 6= 0)
tg θ
Preliminares
19
• Fórmulas de transformação:

 cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b
cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b
 sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a

1 − cos 2a


sen 2 a =


2



 cos2 a = 1 + cos 2a
2

1


· cos(a + b) +
 cos a · cos b =

2






1
sen a · sen b =
· cos(a − b) −

2







1

 sen a · cos b =
· sen (a + b) +
2
1
· cos(a − b)
2
1
· cos(a + b)
2
1
· sen (a − b)
2
• Funções trigonométricas:
Função SENO:
sen : IR −→ IR
x 7−→
sen x
Gráfico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (é uma função ÍMPAR)
sen (x + 2π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de perı́odo T = 2π)
20
CAPÍTULO 0
A função SENO é ...
... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ÍMPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)
1
. Assim, não é difı́cil ver que a função
sen x
csc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gráfico:
Se sen x 6= 0 , então temos csc x =
A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas
f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1]
é BIJETORA
x 7−→
sen x
e tem portanto inversa
f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]
y 7−→ f −1 (y) = arc sen y
Exercı́cio: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções
COSSENO e TANGENTE.
Capı́tulo 1
A Derivada
1.1
Motivação
Seja dada uma função f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma
função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f (x)) ,
se houver esta tangente.
Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
21
22
CAPÍTULO 1
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
f assumindo máximo ou mı́nimo local
(C)
no interior de um intervalo
)
)
(D)
Concavidade do gráfico de f
voltada para cima, em um intervalo
)
(E)
Concavidade do gráfico de f
voltada para baixo, em um intervalo
⇒ mt = 0 no ponto de máximo ou mı́nimo.
⇒ mt crescente neste intervalo.
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt ” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) :
A Derivada
23
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gráfico de f , passando pelos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) :
Temos então uma função
msa : I − {a} → IR
x 7→ msa (x) =
f (x) − f (a)
x−a
Nos interessa investigar o comportamento de msa (x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).
O esperado é que, quando x → a , msa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
número real e teremos
msa (x) → mta ∈ IR , quando x → a
Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico
de f no ponto (a, f (a)) e seu coeficiente angular mta é chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f 0 (a) ).
Obs.: É fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma
seqüência de pontos do domı́nio X de f , diferentes de a.
Exemplo:
24
CAPÍTULO 1
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma função g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando
x→a.
1.2
Limites
Dada uma função f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f (x) quando
x se aproxima de a , x =
6 a.
Para isso, a não precisa pertencer ao domı́nio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do domı́nio:
Definição 1.1. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇÃO
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X 0 o conjunto dos pontos de acumulação de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
O conjunto dos pontos de acumulação de A é A0 = [−1, 3] .
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
Temos B 0 = [0, 3] .
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Neste caso C 0 = [1, 2] ∪ [3, 5] .
A Derivada
25
Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR − {1} → IR dada por
f (x) =
3x2 − 2x − 1
x−1
1 não pertence ao domı́nio de f , mas é ponto de acumulação de IR − {1} . Podemos
então observar o comportamento de f (x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)
Temos:
x
0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f (x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x
2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f (x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f (x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x → 1 .
Dizemos então que 4 é o limite de f (x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:
lim
x→1
3x2 − 2x − 1
= 4.
x−1
A definição de limite
Definição 1.2. Sejam f : X → IR uma função e a ∈ X 0 (a é ponto de acumulação do
domı́nio - não precisa pertencer a X).
Dizemos que um número real L é o LIMITE de f (x) quando x tende a a , e escrevemos
lim f (x) = L
x→a
quando ...
... podemos obter f (x) tão próximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por valores (no domı́nio de f ) diferentes de a .
m
TRADUZINDO
... para cada > 0 dado, é possı́vel obter um
δ > 0 (em geral dependendo do ) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x − a| < δ então |f (x) − L| < .
26
CAPÍTULO 1
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = c ∀ x ∈ IR (função constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim f1 (x) = lim c = c
x→a
x→a
• Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = x ∀ x ∈ IR (função identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim f2 (x) = lim x = a
x→a
x→a
• Seja f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim sen x = 0
x→0
• Seja f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim cos x = 1
x→0
• Seja f5 : IR − { 0} → IR dada por f5 (x) =
Temos:
lim
x→0
sen x
=1
x
• Seja f6 : IR − { 0} → IR dada por f6 (x) =
Temos:
lim
x→0
cos x − 1
∀ x 6= 0 .
x
cos x − 1
=0
x
• Seja f7 : IR − { 0} → IR dada por f7 (x) =
Temos:
lim
sen x
∀ x 6= 0 .
x
x→0
ex − 1
∀ x 6= 0 .
x
ex − 1
=1
x
A Derivada
1.3
27
Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites
Teorema 1.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 . Temos:
lim f (x) = L ⇔ lim (f (x) − L) = 0 ⇔ lim |f (x) − L| = 0
x→a
x→a
x→a
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0 .
x→a
x→a
Exemplo: Sabemos que lim x = 0 . Então segue que lim |x| = 0 .
x→0
x→0
Teorema 1.2. (Sanduı́che) Sejam f , g , h funções tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x 6= a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim f (x) = L = lim h(x) , então lim g(x) = L .
x→a
x→a
x→a
Exemplo: Vamos mostrar que lim sen x = 0 .
x→0
28
CAPÍTULO 1
Teorema 1.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X 0 e lim f (x) = L , lim g(x) = M . Então:
x→a
x→a
lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;
x→a
lim f (x) · g(x) = L · M ;
x→a
f (x)
L
=
se M 6= 0 ;
x→a g(x)
M
(
p
√
se n é ÍMPAR e L é qualquer real
n
lim n f (x) = L
x→a
se n é PAR e L > 0
lim
Exemplos:
(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c1 x + c0 ,
com cn , cn−1 , . . . , c1 , c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p é uma função polinomial de grau n).
A Derivada
(B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais)
(C) lim cos x = 1
x→0
29
30
CAPÍTULO 1
(D) lim
sen x
=1
x
(E) lim
cos x − 1
=0
x
x→0
x→0
A Derivada
31
Teorema 1.4. Se lim f (x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
x→a
(sem precisar estar definida em a), então lim f (x) · g(x) = 0 .
x→a
(Exemplo)
Teorema 1.5. (Troca de variáveis) Se lim f (u) = L , lim u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
x→a
u→b
x 6= a ⇒ u 6= b , então
lim f (u(x)) = lim f (u) = L
x→a
u→b
Exemplos:
(A) lim
sen 4x
4x
(B) lim
sen 3x
x
x→0
x→0
(C) Seja f uma função definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que
f (x) − f (a)
quando fazemos a mudança de variáveis h = x − a :
ocorre com o limite lim
x→a
x−a
(D) lim
x→0
5x − 1
x
32
CAPÍTULO 1
Exercı́cios:
f (x)
.
x→a g(x)
1) Prove que se lim f (x) = L 6= 0 e lim g(x) = 0 então @ (não existe) lim
x→a
x→a
f (x)
f (x)
Sugestão: Suponha que exista lim
= M e considere lim f (x) = lim
· g(x) .
x→a
x→a g(x)
x→a g(x)
2) Calcule os limites abaixo, justificando:
√
√
3 + 2x
x+2− 2
x2 − 9
b) lim
c) lim
a) lim
x→0
x→3 x − 3
x→1/2 5 − x
x
x−2
x4 − 16
d) lim
x→2
e) lim
x→−3
Sugestão: use que (an − bn ) = (a − b).(an−1 + an−2 b + . . . + abn−2 + bn−1 )
x+3
(1/x) + (1/3)
3
i) lim x sen
x→0
1
√
3
x
f) lim √
x→0
j) lim
4−
h→0
|x|
x4 + 7
16 + h
h
1 − cos t
x2 − x − 2
n) lim
t→0
x→2
sen t
(x − 2)2
√
3
1 + tg x
h+1−1
r) lim
q) lim
x→0
h→0
h
sen x
x→0
1 − cos x
x2
w) lim
x→0
3x − 1
x
x2 + 5x + 6
1
√
h)
lim
x→−3 x2 − x − 12
u→1
5−u
s
3
y3 + 8
3 2 + 5x − 3x
k) lim
l)
lim
x→3
y→−2 y + 2
x2 − 1
g) lim
√
m) lim
v) lim
Sugestão: racionalize o numerador
o) lim
x→4
3x2 − 17x + 20
4x2 − 25x + 36
sen 2 2t
s) lim
t→0
t2
x) lim
x→0
t) lim
x→π
p) lim
w→0
sen x
x−π
sen 3w
sen 5w
u) lim
x→0
x
cos x
3x2
1 − cos2 (x/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 1.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 .
O lim f (x) , quando existe, é único.
x→a
Teorema 1.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 . Se existe L = lim f (x) então a função f é
x→a
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
1
∀ x 6= 0 .
x
0 é ponto de acumulação do domı́nio IR − {0} .
1
Podemos afirmar que NÃO EXISTE o lim
, pois f
x→0 x
intervalo aberto contendo 0 .
não é limitada em nenhum
A Derivada
33
Teorema 1.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X 0 e L = lim f (x) .
x→a
Se L > M então f (x) > M para todo x 6= a do domı́nio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim f (x) > 0 então f (x) > 0 para todo x 6= a do domı́nio em um
x→a
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim f (x) = L < M .
x→a
Teorema 1.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim f (x)
x→a+
(limite de f (x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x ∈ X, com x > a)
lim f (x)
x→a−
(limite de f (x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim f (x) se, e somente se, existem e são iguais a L
x→a
ambos os limites laterais, ou seja:
lim f (x) = lim− f (x) .
x→a+
x→a
Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
|x|
.
x
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES !
34
CAPÍTULO 1
Exercı́cios:
1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:
(
f (x) =
x3 + 3
x+1
Faça um estudo sobre os limites:
2) Mostre que
lim
x→a
(
se x ≤ 1
se x > 1
lim f (x)
x→1
g(x) =
lim g(x)
x→1
x2
2
se x ≤ 1
se x > 1
lim (f.g)(x)
x→1
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
(se existirem)
h→0
x−a
h
3) Para cada função f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩ X 0 (a é ponto do domı́nio e
ponto de acumulação do domı́nio), também fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)).
(a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x e a = π/6 .
(d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x e a = π/6 .
(e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = ex e a = 2 .
(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6 (x) = 1/x e a =
√
2.
Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço.
Sugestões:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa (x) das secantes por (a, f (a)) e (x, f (x)),
fazendo x → a.
Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercı́cio anterior.
Pode tentar também fazer antes o Exercı́cio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este exercı́cio se torna um caso particular.
4) Para cada função f : X → IR do exercı́cio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !
A Derivada
1.4
35
Continuidade
Definição 1.3. Consideremos uma função f : X → IR tal que X ⊂ X 0 (todo ponto do
domı́nio é ponto de acumulação).
Dado um ponto a , dizemos que f É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes
condições são satisfeitas:
1) Existe f (a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim f (x) ;
x→a
3) lim f (x) = f (a) .
x→a
Se f não é contı́nua em um ponto a, dizemos que f É DESCONTÍNUA EM a, ou que f
TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
Dizemos que f : X → IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contı́nua em
todos os pontos de seu domı́nio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda função polinomial é contı́nua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVÍVEL:
36
CAPÍTULO 1
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
Continuidade e operações entre funções
Teorema 1.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X 0 e a ∈ X .
Se f e g são contı́nuas no ponto a ∈ X , então:
(f ± g) são contı́nuas em a ;
(f · g) é uma função contı́nua em a ;
(f /g) é contı́nua em a se g(a) 6= 0 .
Teorema 1.11. (Composição) Sejam f : X → IR (X ⊂ X 0 ) e g : Y → IR (Y ⊂ Y 0 ) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR está bem definida
Se f é contı́nua em a ∈ X e g é contı́nua em
g ◦ f : X → IR é contı́nua no ponto a ∈ X .
b = f (a) ∈ Y
então a composta
Exercı́cios:
1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f (x) =
(i) Mostre que lim
x→0
√
√
x .
x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim+
x→0
√
x - pois 0
A Derivada
37
só pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare
√
x com
√
3
x para 0 < x < 1 )
(ii) Conclua que f é contı́nua (em todos os pontos de seu domı́nio).
√
x
(iii) Mostre que @ lim
(racionalize).
x→0 x
√
(iv) Generalize para g : [0, ∞) → IR dada por g(x) = n x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contı́nua ou não),
justificando:
(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f (x) =
√
16 − x .
1
(b) f : [0, +∞) → IR dada por f (0) = 0 e f (x) = 2 se x 6= 0 .
x

x
+
1


 x3 + 1 se x 6= −1
.
(c) f : IR → IR dada por f (x) =



3
se x = −1
Funções contı́nuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre máximos e mı́nimos, podemos ter funções que não
assumem valores máximos e/ou mı́nimos.
Por exemplo:
f : IR → IR dada por f (x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO !
g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO !
38
CAPÍTULO 1
Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem:
Teorema 1.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR é uma função contı́nua (em todos os pontos do
intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mı́nimo neste intervalo
[a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f (cM ) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]
f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das funções contı́nuas é a “PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIÁRIO”:
Teorema 1.13. (Teorema do valor intermediário) Se f : X → IR é contı́nua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f (a) 6= f (b) , então f assume todos os valores entre f (a) e f (b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f (a) e f (b) , existe x entre a e b tal que f (x) = d .
(Ilustração)
(Exemplo)
1.5
A definição da Derivada
Definição 1.4. Consideremos uma função f : X → IR , com X ⊂ X 0 (todo ponto do
domı́nio é ponto de acumulação do domı́nio).
Dizemos que f é DERIVÁVEL em a ∈ X quando existe o limite
f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
h→0
x−a
h
O número f 0 (a) ∈ IR é chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
A Derivada
39
Observações:
• Em nossas aplicações, o domı́nio X será sempre um intervalo (e já teremos X ⊂ X 0 );
• Outras notações para f 0 (a) :
df
df
dy
f 0 (a) = Dx f (a) =
(a) =
ou ainda f 0 (a) = y 0 (a) =
(a) , se y = f (x)
dx
dx x=a
dx
• Podemos considerar a função f 0 : x 7→ f 0 (x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f 0 (x) . f 0 é chamada a FUNÇÃO DERIVADA DE f .
Interpretação geométrica
Já vimos, como motivação para o estudo de limites, que se f : X → IR é derivável em
a ∈ X , então f 0 (a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gráfico
de f no ponto (a, f (a)) :
Vimos também que o conhecimento de f 0 (a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma série de informações sobre o comportamento da função f .
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f (x) = c ∀ x ∈ IR .
40
CAPÍTULO 1
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g 0 (2) , por exemplo:
Exercı́cio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 então g 0 (x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f (x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) então f 0 (x) = nxn−1 .
(C) Seja f : IR → IR dada por f (x) = sen x .
Exercı́cio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = et (função exponencial na base e).
A Derivada
41
(E) Seja f : IR → IR dada por f (x) = |x| .
(F) Seja g : IR − {0} → IR dada por g(x) =
1
= x−4 .
4
x
Exercı́cio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
então g 0 (x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = at (função exponencial na base a).
42
CAPÍTULO 1
1.6
Derivadas e continuidade
Teorema 1.14. Se f : X → IR é DERIVÁVEL em a ∈ X , então f é CONTÍNUA em a.
De fato:
Se f é derivável em a ∈ X , então existe o limite lim
x→a
f (x) − f (a)
= f 0 (a) .
x−a
Existe f (a) (pois a ∈ X).
f (x) − f (a)
Se x 6= a , temos: f (x) − f (a) =
· (x − a) .
x−a
Como lim
x→a
f (x) − f (a)
= f 0 (a) e lim (x − a) = 0 , segue que
x→a
x−a
lim f (x) − f (a) = lim
x→a
x→a
f (x) − f (a)
· lim (x − a) = f 0 (a) · 0 = 0
x→a
x−a
Logo lim f (x) = f (a) e portanto f é contı́nua no ponto a .
x→a
Algumas conseqüências:
• São contı́nuas em todos os pontos de seus domı́nios as funções:
1
f : IR − {0} → IR dada por f (x) = n (n = 1, 2, 3. . . .) ,
x
g1 : IR → IR dada por g1 (x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2 (x) = cos x ,
u : IR → IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois são todas deriváveis em todos os pontos de
seus domı́nios.
• Se uma determinada função é descontı́nua
em algum ponto de seu domı́nio, então ela não é
derivável neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Não podemos garantir a recı́proca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma função que é contı́nua mas não é derivável em determinados pontos.
Exemplo: f (x) = |x| é contı́nua no ponto 0 ( lim |x| = 0 = f (0) ), mas já vimos que @ f 0 (0) .
x→0
A Derivada
1.7
43
Regras de derivação
Teorema 1.15. Se f , g : X → IR são deriváveis em a ∈ X , então:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf ) : X → IR é derivável em a e (cf )0 (a) = c · f 0 (a) ;
(b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a) ;
(c) (f · g) é derivável em a e (f · g)0 (a) = f 0 (a).g(a) + f (a).g 0 (a) ;
(d) (f /g) é derivável em a se g(a) 6= 0 e (f /g)0 (a) =
f 0 (a).g(a) − f (a).g 0 (a)
.
[g(a)]2
Exemplos:
(A) Para cada função f dada abaixo, obtenha f 0 (onde existir a derivada)
1) f : IR → IR dada por f (x) = 6x3 − 3x2 − x + 7 .
2) f : IR → IR dada por f (t) =
6t − 10
.
t2 + 5
3) f : IR − Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f (x) = tg x .
Exercı́cio: Obtenha
d
d
d
ctg x ,
sec x ,
csc x
dx
dx
dx
4) f : IR → IR dada por f (u) = eu (u3 + 3 cos u) .
44
CAPÍTULO 1
5) f : IR → IR dada por f (t) = sen 2t .
6) f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
1
= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
xn
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4 − x2 .
1) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de g e que é paralela à reta y = 2x .
A Derivada
45
3) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gráfico é “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente é positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente é negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de funções compostas
Teorema 1.16. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e
a composta (g ◦ u) : X → IR está bem definida:
Dado a ∈ X , se u é derivável em a (existe u0 (a)) e g é derivável em b = u(a) (existe
g 0 (b) = g 0 (u(a)) ), então a composta (g ◦ u) : X → IR é derivável em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u)0 (a) = g 0 (b) · u0 (a) = g 0 (u(a)) · u0 (a)
Quanto à função derivada (g◦u)0 : x 7→ (g◦u)0 (x) , escrevemos (g◦u)0 (x) = g 0 (u(x))·u0 (x)
para todo x onde existirem as derivadas.
46
CAPÍTULO 1
Exemplos:
Para cada função f : IR → IR dada abaixo, obtenha f 0 (onde existir a derivada):
(A) f dada por f (x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f (t) = (4t3 − t2 + 3t − 2)2 .
(C) f dada por f (x) = (5x2 − 2x + 1)−3 .
(D) f dada por f (w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f (t) = ekt , k 6= 0 (constante).
A Derivada
47
(F) f dada por f (t) = sen 2t .
(G) f dada por f (t) = cos5 t .
2
(H) f dada por f (x) = e(x ) .
(I) f dada por f (w) = (ew − sen w)2 .
3
(J) f dada por f (t) = eπ cos(2t ) .
48
CAPÍTULO 1
Derivadas de funções inversas
Teorema 1.17. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma função INVERTÍVEL (bijetora
= injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu domı́nio I).
Sua inversa g : J → I é contı́nua em todos os pontos de J.
Mais ainda:
Se f é derivável em a ∈ I e f 0 (a) 6= 0 , então g é derivável em b = f (a) e podemos
obter g 0 (b) através da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da função logarı́tmica na base e:
Exercı́cio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g 0 (x) se g : (0, +∞) → IR é dada por
g(x) = loga x
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g 0 (x) =
1
∀x>0.
x ln a
A Derivada
(B) Raı́zes:
(C) Funções trigonométricas e suas inversas:
Exercı́cio:
(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] é dada por g(x) = arc cos x , mostre que
1
g 0 (x) = − √
∀ x ∈ (−1, 1)
1 − x2
49
50
CAPÍTULO 1
(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) é dada por h(x) = arc tg x , mostre que
h0 (x) =
1.8
1
∀ x ∈ IR
1 + x2
Derivação implı́cita
Seja f : [−1, 1] → IR a função dada por f (x) =
√
1 − x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f (x) , temos:
√
y = 1 − x2
⇓
y 2 = 1 − x2 , y ≥ 0
⇓
(∗)
x2 + y 2 = 1 (y ≥ 0)
A equação (*) acima estabelece uma relação entre x e y = f (x) . Juntamente com a
restrição y ≥ 0 ela define bem a função f . Por isso dizemos que f ESTÁ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f (x) , ou seja, y é função de x , é fácil ver que a equação (*)
estabelece a igualdade entre x2 + f (x)2 e a função constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f (x) é derivável e tomando o cuidado de lembrar
que y = f (x) , ou seja, y 2 é uma composição de funções e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x2 + y 2 = 1
⇓
2x + 2yy 0 = 0
⇓
(∗∗)
Lembrando que y = f (x) =
√
y0 = −
x
y
(y 6= 0)
1 − x2 , temos:
f 0 (x) = y 0 = − √
x
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
A Derivada
51
Possı́veis vantagens da derivação implı́cita:
• Derivar a equação (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
obter a derivada através da expressão explı́cita de f .
• Uma equação em x e y pode definir implicitamente várias funções e, caso isto ocorra,
a derivação implı́cita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = ln x é derivável, obtenha f 0 (x) por
derivação implı́cita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = xα seja
derivável, use logarı́tmos para obter f 0 (x) por derivação implı́cita.
(C) Obtenha a equação da reta tangente à curva
√
x2
+ y 2 = 1 no ponto (1, − 3 /2) .
4
(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g é
derivável, obtenha g 0 (x) via derivação implı́cita.
52
CAPÍTULO 1
r
(E) Se y =
3
x3
x
, obtenha y 0 (x) por derivação implı́cita.
+1
Exercı́cios:
1) O objetivo deste exercı́cio é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos,
no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
invés de graus como unidades de medida.
Quando lidamos com as funções trigonométricas, por exemplo, quase todos os resultados
decorrem do seguinte limite:
sen x
= 1 (Limite Trigonométrico Fundamental)
lim
x→0
x
Ajuste a demonstração que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
medida dos ângulos em GRAUS.
d sen x
quando x é medido em graus.
Calcule também
dx
2) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço, estamos cometendo
um abuso ao omitir os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada (onde existir):
a) f (x) = 10x2 + 9x − 4
b) h(x) = (2x2 − 4x + 1)(6x − 5)
1
d) f (x) =
1 + x + x2 + x3
2x + 3
h) H(x) = √
4x2 + 9
−5
e) g(x) = (8x−7)
i) f (x) =
p
5
1/x
c) f (w) =
f) s(t) =
j) f (x) = 6x2 −
3t + 4
6t − 7
2w
−7
w3
3
5
2
+√
3
x
x2
g) h(z) =
k) f (w) =
9z 3 + 2z
6z + 1
√
3
3w2
A Derivada
53
6
l) f (t) = (t6 − t−6 )
p) g(x) =
x2
ln x
u) f (x) = ecos 2x
y) f (x) =
m) f (x) = xm/n m, n 6= 0 ∈ Z
q) f (u) = ue−u
r) h(s) = s2 e−2s
v) g(x) = x sen x
arc tg x
x2 + 1
z) f (x) =
n) h(s) = ln(5s2 +1)3
s) f (x) = ex ln x
w) h(x) = ln tg x
o) f (x) = x ln x
w
e +1
t) g(w) = ln w
e −1
x) f (w) = ln cos2 3w
e2x
arc sen 5x
3) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto
P (−1, 4).
4) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3x2 + 4x − 6 e tal que:
(a) Essa tangente seja paralela à reta 5x − 2y − 1 = 0 ;
(b) Seja tangente ao gráfico no ponto P (1, 1) .
5) Obtenha a equação da reta que passa por P (3, 1) e é tangente ao gráfico de
y=
4
x
6) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de f (x) = (x − 1)4 no ponto P (2, 1) .
7) Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico de y = 8 sen 3 x no ponto
P (π/6, 1) .
54
CAPÍTULO 1
Coletânea de provas anteriores (1):
Questão 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFICANDO:
s
√ 5
5
x − (1/ 2)
(x − 1)(x + 2)
x2 − 9
√
(c)
lim
(a) lim√
(b) lim
x→3
x→−2
x2 + 4x + 4
x−3
x→1/ 2
x − (1/ 2)
e7y − 1
(d) lim
y→0
sen y
(e) lim
x→0
(1 − sec x). ctg x. cos x
x
(
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
x5 + x3 + 2x2 + 3
−x + 2
se x < 0
se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equação f (x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
(c) Responda se f é derivável em x = 0. Se for, obtenha a derivada f 0 (0). Se não for,
justifique.
Questão 3: (10 pts) Faça UM dos ı́tens abaixo:
(a) Se f (x) = cos x ∀x ∈ IR , mostre (via definição) que f 0 (x) = − sen x ∀x ∈ IR .
(b) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definição) que g 0 (x) = 5x . ln 5 ∀x ∈ IR .
Questão 4: (40 pts) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço,
estamos cometendo um abuso ao omitir os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada
(onde existir a derivada), indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, a derivada
nos pontos solicitados:
(a) f (x) = (3x − 1).(2x + 1)5 .
(b) g(w) =
√
3
3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g 0 (3).
(c) h(s) = π. sec s =
2 −t)
(d) f (t) = e(3t
π
. Obtenha ainda, em particular, h0 (0).
cos s
. Obtenha ainda, em particular, f 0 (1/3).
(e) f (x) = ln( sen 4 2x) .
Questão 5: (10 pts) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f : IR → (−2π, 2π)
dada por f (x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .
A Derivada
55
Coletânea de provas anteriores (2):
Questão 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFICANDO:
√
x − π/2
x2 − 6x + 9
π 3 − πx
√
(b) lim
(c) lim
(a) lim
√
3
x→3 (x + 1)(x − 3)
x→π/2
cos x
x→ 3 x − 3 3
s
3
sen x
1 − e2y
(d) lim
(e) lim 3
x→0 5x(1 − cos x)
y→0
y
(
x3 − x − 3 se x < 2
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
5−x
se x ≥ 2
(a) Onde f é contı́nua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f (x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
(c) Responda se f é derivável em a = 2. Se for, obtenha a derivada f 0 (2). Se não for,
justifique.
Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ı́tens abaixo:
(a) Seja f (x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via definição) f 0 (2π/3) .
(b) Se g(x) = arc tg x ∀x ∈ IR , prove que g 0 (x) =
1
∀x ∈ IR .
1 + x2
Questão 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f (x) = e−2x .
(a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
(b) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça
ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados:
(a) f (x) =
2x2
. Obtenha ainda, em particular, f 0 (2).
(x − 4)2
ctg s
cos s
(b) h(s) = √ = √
. Obtenha ainda, em particular, h0 (π/4).
2
2 · sen s
2 +2t)
(c) g(t) = (2t − 1)3 · e(t
. Obtenha ainda, em particular, g 0 (0).
(d) f (w) = ln (5w2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f 0 (0).
√
(e) g(y) = arc tg ( y − 1 ) .
56
CAPÍTULO 1
Coletânea de provas anteriores (3):
Questão 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
√
r
sen πy
3x − 3 2
x2 − 1
(a) lim
(b)
lim
(c)
lim
√
y→0
x→1 (1 − x)3
x6 − 8
y
x→ 2
(d) lim
x→−π
1 + cos x
x+π
(e) lim
x→0
ex + sen 2 x − 1
x
(
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
2x + 1
−x2 + 8x − 8
se x ≤ 3
se x > 3
(a) Responda se f é contı́nua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) f é derivável em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f 0 (2). Se não for, justifique.
(c) Sabendo que f é crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f (xM ) ≥ f (x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ı́tens abaixo:
1
(a) Seja f (x) = 3 ∀x 6= 0 . Obtenha, via definição, f 0 (1) .
x
(b) Se g(x) = arc cos x ∀x ∈ [−1, 1] , prove que g 0 (x) = − √
1
1 − x2
Questão 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f (x) =
∀x ∈ (−1, 1) .
arc tg x
.
π
(a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
√
(b) Qual a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto B( 3 , 1/3) ?
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça
ainda, quando solicitado, o que se pede:
(a) f (x) =
x3
. Responda: Para quais valores de x temos f 0 (x) = 0 ?
e2x
(b) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s
2 +3s)
. Obtenha ainda, em particular, h0 (0).
(c) g(w) = tg w · ln(3 − w2 ) . Obtenha ainda, em particular, g 0 (0).
s(t)2
(existe s0 (t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s0 (1) = 2, obtenha v 0 (1) .
3t
p
(e) u(y) = 4 2y 2 + 5 + 4 cos y = (2y 2 + 5 + 4 cos y)1/4 .
(d) v(t) =
A Derivada
57
Coletânea de provas anteriores (4):
Questão 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
r
x−3
e sen x − 1
x3 + 2x2 + x
(a) lim 3
(c)
lim
(b)
lim
x→3
x→0
x→−1
27 − x3
x+1
2x
1 − cos x
5 · x · sen x
(
x+1
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
1 + sen (x + 1)
(d) lim
y→0
sen 7y + cos πy − 1
y
(e) lim √
x→0
se x < −1
se x ≥ −1
(a) Responda se f é contı́nua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(b) f é derivável em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f 0 (−1). Se não, justifique.
(c) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , é possı́vel afirmar que dado d entre f (a) e f (b), existe c entre
a e b com f (c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
Questão 3: (8 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
√
5
x
∀ x ∈ IR .
Mostre, via definição, que @ (não existe) f 0 (0) .
1
Prove (podendo usar que existe f 0 (x) para todo x 6= 0 ) que f 0 (x) = √
5
5 x4
∀ x 6= 0 .
Questão 4: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se
existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça
ainda, quando solicitado, o que se pede:
r
s2
3
(a) h(s) =
. Obtenha ainda, em particular, h0 (1).
1 + s2
(b) v(t) = ln 2 · log 1 (3t2 + 1) . v 0 (1) é positivo, negativo ou zero ? Obtenha v 0 (1) para
2
justificar.
(c) f (x) = x2 · ln x −
x2
. Responda: Para quais valores de x temos f 0 (x) = x ?
2
1
. Obtenha ainda, em particular, g 0 (π/4).
2
sen w
√
1
(e) u(y) = tg arc tg
. Obtenha ainda, em particular, u0 ( 3 ) .
y
(d) g(w) = csc2 w =
58
CAPÍTULO 1
Coletânea de provas anteriores (5):
Questão 1: (24 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
√
x3 − 3 3
e2y − 1
x3 + x2 − x − 1
1 − sen x
√
(a) lim
(b)
lim
(c)
lim
(d) lim
√
3
y→0 sen (3y)
x→−1
x→π/2 x − (π/2)
x −x
x→ 3 4x − 4 3
Questão 2: (12 pts)
sen [π(x − 1)]
∀ x 6= 1 . f pode ser
x−1
contı́nua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f (1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
não, JUSTIFIQUE.
(a) Seja f : IR → IR uma função tal que f (x) =
|x − 1|
∀ x 6= 1 . g pode ser contı́nua
x−1
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não,
JUSTIFIQUE.
(b) Seja g : IR → IR uma função tal que g(x) =
Questão 3: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 3 ·
√
3
x ∀ x ∈ IR
1
Mostre, VIA DEFINIÇÃO, que @ (não existe) f 0 (0) e que f 0 (a) = √
∀ a 6= 0 .
3
a2
Questão 4: (12 pts) (a) A reta 3y+8x+1 = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa função
f : IR → IR no ponto A(1, −3) (pertencente ao gráfico de f ). Obtenha (JUSTIFICANDO)
f 0 (1) .
(b) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gráfico de
2
g(x) = e(x +6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gráfico de g) ? (JUSTIFIQUE)
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir
os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda
o que se pede:
(a) f (x) = x · (ln 5 − 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f 0 (2) .
(b) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h0 (π/3).
2
3(3w −w
(c) g(w) = ln(w − w) +
ln 3
2
3)
. Obtenha ainda, em particular, g 0 (2).
sen [s(t)]
(existe s0 (t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s0 (2) = e, obtenha v 0 (2) .
t
√
(e) u(y) = 3 · 3 arc tg y . Obtenha ainda u0 (1) e responda se u0 (1) é maior ou menor
que 1 (mostre as contas).
(d) v(t) =
A Derivada
59
Respostas de exercı́cios
• Página 32:
Exercı́cio 2)
a) 6
k) −2
s) 4
√
8
b)
9
c)
l) 12
t) −1
2
4
d)
m) 0
u) 0
1
32
e) −9
n) @ (não existe)
v)
1
2
w) ln 3
f) 0
o) 1
g)
1
7
p)
h)
3
5
1
2
q)
i) 0
1
3
j) −
1
8
r) @
x) 12
• Página 34:
Exercı́cio 1) @ lim f (x) , @ lim g(x) , lim (f.g)(x) = 4
x→1
x→1
x→1
Exercı́cio 2) Faça a mudança de variáveis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites
de funções compostas !
Exercı́cio 3)
(a) f10 (−5) = mt−5 = 3
(b) f20 (3) = mt3 = −6
√
3
2
1
=−
2
(c) f30 (π/6) = mtπ/6 =
(d) f40 (π/6) = mtπ/6
(e) f50 (2) = mt2 = e2
√
1
(f) f60 ( 2) = mt√2 = −
2
Exercı́cio 4)
(a) f10 (a) = 3
(b) f20 (a) = −2a
(c) f30 (a) = cos a
(d) f40 (a) = − sen a
(e) f50 (a) = ea
(f) f60 (a) = −
1
a2
60
CAPÍTULO 1
• Páginas 36-37:
Exercı́cio 2) Contı́nua em...
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos:
lim−
√
16 − x = 0 = f (16)
x→16
b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: @ lim+ f (x)
x→0
c) ... IR − {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim f (x) = 1/3 6= f (−1)
x→−1
• Páginas 52-53:
Exercı́cio 1) lim
x→0
Exercı́cio 2)
c) f 0 (w) =
sen x
π
=
x
180
a) f 0 (x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR
√
−4w3 − 14
3
7
∀
w
=
6
(w3 − 7)2
e) g 0 (x) = −40(8x − 7)−6 ∀ x 6=
g) h0 (z) =
d sen x
π cos x
=
(se x é dado em GRAUS).
dx
180
e
d) f 0 (x) = −
7
8
1
√
5
5x x
k) f 0 (w) = √
3
2
9w
∀ w 6= 0
m
−1
m
0
m) f (x) =
·xn
n
(
∀ x > 0 se n é par
∀ x 6= 0 se n é ı́mpar
p) g 0 (x) =
q) f 0 (u) = (1 − u) · e−u ∀ u ∈ IR
s) f 0 (x) = xx (ln x + 1) ∀ x > 0
y) f 0 (x) =
n) h0 (s) =
30s
∀ s ∈ IR
5s2 + 1
2x ln x − x
∀x>0
(ln x)2
r) h0 (s) = (s − s2 ) · 2e−2s ∀ s ∈ IR
−2ew
∀ w 6= 0
e2w − 1
sen x v) g 0 (x) = x sen x cos x ln x +
x
t) g 0 (w) =
u) f 0 (x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR
1
sen x cos x
4
5
− √
∀ x 6= 0
3
2
x
3x x2
l) f 0 (t) = 6(t6 − t−6 )5 .(6t5 + 6t−7 ) ∀ t 6= 0
o) f 0 (x) = ln x + 1 ∀ x > 0
w) h0 (x) =
135(3t + 4)2
7
∀ t 6=
4
(6t − 7)
6
18 − 12x
h) H 0 (x) = p
∀ x ∈ IR
(4x2 + 9)3
j) f 0 (x) = 12x +
∀ x 6= 0
(3x2 + 2x + 1)
∀ x 6= −1
(1 + x + x2 + x3 )2
f) s0 (t) = −
108z 3 + 27z 2 + 2
1
∀ z 6= −
2
(6z + 1)
6
i) f 0 (x) = −
b) h0 (x) = 36x2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR
se tg x > 0
1 − 2x arc tg x
∀ x ∈ IR
(x2 + 1)2
x) f 0 (w) = −6 tg 3w
se cos 3w 6= 0
∀x>0
A Derivada
61
√
2e2x · arc sen 5x · 1 − 25x2 − 5e2x
1 1
√
z) f (x) =
∀x∈ − ,
5 5
1 − 25x2 · ( arc sen 5x)2
0
Exercı́cio 3) y = −7x − 3
Exercı́cio 4) a) y =
99
5
x−
2
16
b) y = 10x − 9
Exercı́cio 5) y = −x + 4 ou y =
Exercı́cio 6) y = −
−1
4
x+
9
3
x
3
+
4
2
3
x+
9
√ !
π 3
1−
2
√ !
π 3
1+
54
(b) @
(c)
√
Exercı́cio 7) tangente: y = 3 3 x +
√
normal: y = −
• Página 54: Coletânea 1
√
6
(d) 7
(e) −1/2
Questão 1)
(a) 5/4
Questão 2)
(a) f é contı́nua em todo a 6= 0 e não é contı́nua em a = 0 .
(b) Como a função f é contı́nua no intervalo [−2, −1] e f (−2) < 0 < f (−1) , temos
então pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO que existe x entre −2 e −1 tal que
f (x) = 0 .
(c) f não pode ser derivável em x = 0 pois f não é contı́nua neste ponto.
(a) f 0 (x) = (2x + 1)4 (36x − 7) ∀ x ∈ IR
Questão 4)
1
(b) g 0 (w) = p
3
(3w − 1)2
(c) h0 (s) = π. tg s. sec s
2 −t
(d) f 0 (t) = e3t
∀ w 6= 1/3
se cos s 6= 0
· (6t − 1) ∀ t ∈ IR
(e) f 0 (x) = 8 ctg 2x
se sen 2x 6= 0
Questão 5) y = 2x + (π − 2)
e g 0 (3) = 1/4
e h0 (0) = 0
e f 0 (1/3) = 1
62
CAPÍTULO 1
• Página 55: Coletânea 2
(b) −
π
9
(c) −1
Questão 1)
(a) 0
Questão 2)
(a) f é contı́nua em todo a ∈ IR .
(d)
√
(e) − 3 2
2
5
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a função é contı́nua e “muda de sinal”.
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO nos garante que sob estas condições a função
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
(c) f não é derivável em a = 2 (apesar de ser contı́nua neste ponto).
1 + ln 4
1
Questão 4) (a) y = −2x + 1
(b) y = − x +
2
4
Questão 5)
(a) f 0 (x) =
csc2 s
(b) h0 (s) = − √
2
sen s 6= 0
se
2 +2t
(c) g 0 (t) = (2t − 1)2 · et
(d) f 0 (w) =
(e) g 0 (y) =
√
e f 0 (2) = 4
√
e h0 (π/4) = − 2
· [6 + (2t − 1)(2t + 2)]
10w − sen w
∀ w ∈ IR
5w2 + 2 + cos w
1
2y y − 1
∀ t ∈ IR
e g 0 (0) = 4
e f 0 (0) = 0
se y > 1
• Página 56: Coletânea 3
√
2
Questão 1) (a)
16
Questão 2)
−16x
∀ x 6= 4
(x − 4)3
(b)
√
π
(c) @
(d) 0
(e) 1
(a) f é contı́nua em a = 3 (verificados também os limites laterais).
f (x) − f (3)
= 2 ( f é derivável em a = 3 ).
x−3
(c) SIM! f é contı́nua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume aı́
máximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se então (com as outras hipóteses)
que f (xM ) ≥ f (x) ∀ x ∈ IR .
!
√
1
12π 3 + 1
x
(b) y = −4π x +
Questão 4) (a) y =
π
3
(b) ∃ f 0 (3) = lim
x→3
Questão 5)
(a) f 0 (x) =
x2 (3 − 2x)
∀ x ∈ IR . f 0 (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .
e2x
A Derivada
63
(b) h0 (s) = cos(3s2 − s).(6s − 1) + 2(s
2 +3s)
. ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h0 (0) = 3 ln 2 − 1 .
(c) g 0 (w) =
ln(3 − w2 ) 2w tg w
−
cos2 w
3 − w2
(d) v 0 (t) =
2t · s(t) · s0 (t) − s(t)2
∀ t 6= 0 . v 0 (1) = 1 .
3t2
∀ cos w 6= 0 e −
y − sen y
(e) u0 (y) = p
4
(2y 2 + 5 + 4 cos y)3
• Página 57: Coletânea 4
1
Questão 1) (a) −
3
√
3<w<
√
3 . g 0 (0) = ln 3 .
∀ y ∈ IR .
(b) 0
(c)
1
2
(d) 7
(e)
1
√
2 5
(a) f não é contı́nua em a = −1 (@ lim f (x) ).
Questão 2)
x→−1
(b) f não é derivável em a = −1 (pois não é contı́nua neste ponto).
(c) NÃO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2, −1] . Temos:
−1 = f (−2) < 1/2 < f (−1) = 1 mas não existe nenhum c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 1/2 .
Questão 4)
y = 2e2 x − 2e2 .
Questão 5)
p
3
2
(1 + s2 )2
√
(a) h0 (s) =
3(1 + s2 )2 . 3 s
(b) v 0 (t) =
√
3
∀ s 6= 0 . h0 (1) =
4
.
6
3
−6t
∀ t ∈ IR . v 0 (1) = − < 0 .
2
3t + 1
2
(c) f 0 (x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f 0 (x) quando x =
(d) g 0 (w) =
e .
−2 cos w
∀ sen w 6= 0 . g 0 (π/4) = −4 .
sen 3 w
(e) u0 (y) = −
√
1
1
0
∀
y
=
6
0
.
u
(
3
)
=
−
.
y2
3
• Página 58: Coletânea 5
9
Questão 1) (a)
4
Questão 2)
√
(b)
2
3
(c) 0
(d) 0
(a) SIM! f (1) = π para que f seja contı́nua em x = 1 .
(b) NÃO ! g não pode ser contı́nua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .
64
CAPÍTULO 1
3
8
Questão 4)
(a) f 0 (1) =
Questão 5)
(a) f 0 (x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f 0 (2) = ln 10 .
(b) b = 3e .
√
(b) h0 (θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ 6= 0 . h0 (π/3) = 8( 3 + 1) .
(c) g 0 (w) =
2w − 1
3
2
3
+ (6w − 3w2 ) · 3(3w −w ) ∀ w < 0 ou w > 1 . g 0 (2) =
.
2
w −w
2
cos[s(t)] · s0 (t) · t − sen [s(t)]
1
(d) v (t) =
∀ t 6= 0 . v 0 (2) = − .
2
t
4
r
1
1
2
(e) u0 (y) = p
·
∀ y 6= 0 . u0 (1) = 3 2 < 1 .
2
3
2
π
( arc tg y) 1 + y
0
Capı́tulo 2
Aplicações da Derivada
2.1
Acréscimos e diferenciais
Consideremos uma função f : X → IR derivável em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(para cada x onde f for derivável)
∆x é chamado ACRÉSCIMO DE x e representa a variação na variável independente x.
Pondo y = f (x) como variável dependente, temos que ∆y = f (x + ∆x) − f (x) representa
a VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f (devida ao acréscimo ∆x ) e
f 0 (x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f 0 (x) .
Então podemos dizer que ∆y/∆x é uma boa aproximação para f 0 (x) quando ∆x é
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
∆y
≈ f 0 (x)
∆x
quando ∆x é pequeno
ou então, de modo equivalente,
(∗) f (x + ∆x) − f (x) = ∆y ≈ f 0 (x) · ∆x
quando ∆x é pequeno
A relação (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximações para a variação da
função, ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , através de f 0 (x) · ∆x , com ∆x pequeno !!!
65
66
CAPÍTULO 2
Por exemplo, vamos obter uma aproximação para (0, 98)4
Portanto, f 0 (x) · ∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproximação para a variação da função f quando ∆x é
pequeno.
f 0 (x) · ∆x será denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
com x e ∆x).
Escrevemos também dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
dy = f 0 (x) · ∆x
dx = ∆x
Geometricamente, temos:
Aplicações da Derivada
67
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproximações para:
√
(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3
(b) 4 82
(B) A medida de um lado de um cubo é encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro máximo no cálculo do volume do
cubo.
68
CAPÍTULO 2
(C) A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partı́culas de
g · m1 · m2
massas m1 e m2 é dada por F =
onde g é uma constante e s é a distância entre
s2
as partı́culas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variação de
s que aumente F em 10% .
(D) À medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cônica cuja
altura é sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio é de 10 cm, use diferenciais para
aproximar a variação do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
Aplicações da Derivada
69
Exercı́cios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4 − 3(2, 01)3 + 4(2, 01)2 − 5 ,
√
√
√
√
1
3
65 , 37 , 3 0, 00098 , 0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , √
.
4
15
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproximação para ctg 46◦ .
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da área de uma esfera, quando o raio
varia de 2 a 2, 02 pés.
5) Os lados oposto e adjacente a um ângulo θ de um triângulo retângulo acusam medidas
de 10 pés e 8 pés, respectivamente, com erro possı́vel de 1,5 polegada na medida de 10 pés.
Use a diferencial de uma função trigonométrica inversa para obter uma aproximação do erro
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pé = 12 polegadas)
6) A altura de um cone circular reto é duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
altura é de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
no cálculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) é o comprimento de um fio de ferro quando está a t graus de temperatura, então l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (pés) da base de um mastro, o ângulo de elevação do topo
do mastro é de 60◦ , com erro possı́vel de 0, 25◦ . Obtenha, com auxı́lio de diferenciais, uma
aproximação do erro no cálculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3 . Os seis
lados da caixa vão ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preço do metal que vai
ser usado na fabricação da caixa é de R$ 0,80 por cm3 , use diferenciais para encontrar o preço
aproximado de todo o metal necessário.
10) A resistência elétrica R de um fio é proporcional ao seu comprimento l e inversamente
proporcional ao quadrado de seu diâmetro d. Suponha que a resistência de um fio, de comprimento dado (fixo), seja calculada
a partir
do diâmetro com uma possibilidade de erro de 2%
∆d
· 100 = 2 . Encontre a possı́vel porcentagem de erro no cálculo
na medida do diâmetro
d
do valor da resistência.
70
CAPÍTULO 2
2.2
A Derivada como razão de variação
Variação média:
Sejam f : X → IR e y = f (x) .
A variável y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distância, volume, área,
etc.) que depende da variável independente x, a qual por sua vez representa também uma
quantidade de alguma grandeza.
Já vimos que ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) é a variação da função, correspondente a uma
variação de x1 a x1 + ∆x (∆x é o chamado acréscimo em x).
f (x1 + ∆x) − f (x1 )
∆y
=
é a chamada VARIAÇÃO MÉDIA de y por unidade
∆x
∆x
de variação de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.
Então
Exemplo: Seja S (em centı́metros quadrados) a área de um cubo de aresta x (centı́metros).
Encontre a razão de variação média da área por unidade de variação no comprimento da aresta
quando x varia de ...
(a) ... 3 a 3, 2 cm
(b) ... 3 a 3, 1 cm
Variação instantânea:
Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x
∆y
lim
∆x→0 ∆x
, o limite (quando existir)
será a RAZÃO (TAXA) DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de y por unidade de variação de x
em (no INSTANTE em que) x = x1 .
Mas lim
∆x→0
∆y
f (x1 + ∆x) − f (x1 )
= lim
= f 0 (x1 ) (se existir o limite).
∆x ∆x→0
∆x
Portanto a derivada f 0 (x1 ) representa a razão (taxa) de variação instantânea de y = f (x)
por unidade de variação de x no instante em que x = x1 .
Aplicações da Derivada
71
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razão de variação da área do cubo por
variação de centı́metro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
Definimos ainda a taxa (razão) de VARIAÇÃO RELATIVA de y por unidade de variação
f 0 (x1 )
(proporção da variação instantânea em relação à quantidade
de x em x1 como sendo
f (x1 )
f (x1 ) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAÇÃO PERCENTUAL,
dada por
f 0 (x1 )
· 100 .
f (x1 )
Exemplos:
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 é o
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A razão de variação média do volume por unidade de variação do raio, quando r varia
de 5 a 5, 1 cm.
(b) A razão de variação instantânea do volume , por unidade de variação do raio, quando
r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de variação relativas do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5
e quando r = 5, 1.
72
CAPÍTULO 2
(B) O lucro de um depósito de retalhos é de 100y reais quando x reais são gastos diariamente
em propaganda e y = 2500 + 36x − 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso
que o orçamento diário de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
(a) O orçamento atual é de 60 reais diários;
(b) O orçamento atual é de 100 reais diários.
(C) Em um circuito elétrico, se E é a força eletromotriz, R ohms é a resistência e I amperes
é a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razão que é proporcional
ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de variação de I por unidade de variação de R quando
R = 20 ohms ?
(D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma solução no instante t (minutos) é dada por
3
T (t) = 10 + 4t −
, com 1 ≤ t ≤ 10 .
t+1
Qual a taxa de variação de T por unidade de variação de t quando t = 2 , t = 5 , ou t = 9 ?
Aplicações da Derivada
73
(E) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p é a pressão, V é o volume e
c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressão seja dada por 20 + 2t
u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume é de 60 cm3 , determine a taxa de variação do
volume por unidade de variação do tempo quando t = 5.
Um caso particular: interpretação cinemática da Derivada
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posição de um objeto ao longo de uma linha
reta, como função do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1 ) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a variação total da
posição do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t é dada por
∆s = s(t1 + ∆t) − s(t1 )
A taxa de variação média de s por unidade de variação de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t é
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
∆t
Essa é a VELOCIDADE MÉDIA com que o objeto se movimentou de s(t1 ) até s(t1 + ∆t)
entre os instantes t1 e t1 + ∆t.
A razão de variação instantânea da posição s do objeto por unidade de variação do tempo,
no instante t1 é dada por
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
s0 (t1 ) = lim
∆t→0
∆t
Essa é a VELOCIDADE INSTANTÂNEA do objeto no instante t = t1 .
74
CAPÍTULO 2
Se s0 (t1 ) > 0 então a taxa de variação em t1 é positiva, ou seja, s está aumentando em t1 ,
ou melhor, o objeto está se movimentando no sentido adotado como positivo.
Se s0 (t1 ) < 0 , o movimento em t1 é contrário ao sentido positivo.
Se s0 (t1 ) = 0 então o objeto está parado no instante t1 .
Exemplos:
(A) Um foguete é lançado verticalmente para cima e está a s m do solo t s após ter sido lançado
(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t − 5t2 (o sentido positivo é para cima). Determine:
(a) A velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
(b) A velocidade instantânea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.
(c) Em t = 20 s, o foguete está subindo ou caindo ?
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcançar a sua altura máxima ?
(e) Qual a altura máxima atingida pelo foguete ?
(B) Uma pedra é solta de um edifı́cio de 80 m de altura e a equação do movimento é dada por
s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orientação positiva para cima).
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo após ser lançada ?
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcançar o solo ?
(c) Qual a velocidade (instantânea) da pedra ao atingir o solo ?
(d) Qual a velocidade média entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?
Aplicações da Derivada
75
Obs.: Assim como definimos a velocidade como variação da posição por unidade de variação
do tempo, definimos a ACELERAÇÃO como sendo a variação da velocidade (olhando v = v(t))
por unidade de variação do tempo.
(C) A posição s de um objeto em movimento retilı́neo é dada por s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t − 10 ,
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleração quando a velocidade é
de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleração é de 10 m/s2 .
(D) Um bombardeiro está voando paralelo ao chão a uma altitude de 2 km e a uma velocidade constante de 4, 5 km/min. A que razão varia a distância entre o bombardeiro e o alvo
exatamente 20 segundos após o bombardeiro passar sobre o alvo ?
76
CAPÍTULO 2
Exercı́cios:
1) O volume de um balão esférico (em pés cúbicos) t horas após 13:00 é dado pela equação
4
V (t) = π(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variação média do volume por unidade de variação
3
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variação do volume por unidade de variação de
tempo às 16:00 ?
2) Suponha que, t segundos após ter começado a correr, o pulso de um indivı́duo tenha
sua taxa dada por P (t) = 56 + 2t2 − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a
variação média de P por unidade de variação de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha
a taxa de variação de P por unidade de variação de t em t = 2, t = 3, t = 4.
3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz é
diretamente proporcional à intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado
da distância d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distância de 2 pés,
determine a taxa de variação de I por unidade de variação de d, quando d = 20 pés.
4) A relação entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala
Celsius, é dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de variação de F em relação a C ?
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de
largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto
e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em função de s e determine a taxa
de variação de V em relação a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possı́vel,
responda se é conveniente ou não aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
Obs.: Lembremos que a ACELERAÇÃO de um objeto em movimento retilı́neo é a taxa
de variação da velocidade v por unidade de variação do tempo t.
6) Para cada uma das situações abaixo, define-se a posição s de um objeto em movimento
retilı́neo como função do tempo t. Determine a velocidade e aceleração em cada instante
t e tente descrever o movimento (posição inicial, velocidade inicial, direções do movimento,
quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:
(a) s(t) = 3t2 −12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3]
1 − e−3t
(d) s(t) =
, t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2 −4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]
3
7) Lança-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pés após t segs
dada por s(t) = 144t − 16t2 . Obtenha a velocidade e a aceleração iniciais e no instante t = 3
s (descreva o que ocorre). Qual a altura máxima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?
Aplicações da Derivada
2.3
77
Taxas relacionadas
Em alguns problemas, podemos ter várias grandezas relacionadas através de equações.
Exemplos:
(A) Uma escada com 5 m de comprimento está inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua
base, apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade de 0,5
m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a
base está a 4 m da parede ?
(B) Infla-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 5 dm3 /min. A
que razão o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é de 12 dm ?
78
CAPÍTULO 2
(C) Um tanque de água com a forma de cone invertido e altura igual ao diâmetro está sendo
enchido à razão de 3 m3 /s. Qual a velocidade com que o nı́vel de água sobe, quando a parte
cheia com água tem 2 m de altura ?
(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma
velocidade de 3 rpm (rotações por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na região
costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de π/4 rad ?
Aplicações da Derivada
79
Exercı́cios:
1) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. Um garoto está empinando
o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razão de 3m/seg. Se a linha
está esticada, com que razão deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta é
50m ?
2) Um carro que viaja à razão de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o
carro está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.
O carro e o caminhão estão em estradas que formam ângulos retos uma com a outra. Com
que rapidez separam-se o carro e o caminhão 2 segundos depois que o caminhão passou pelo
cruzamento ?
3) De um orifı́cio em um recipiente vaza areia, que forma um monte cônico cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta à razão de 6 pol/min, determine a taxa de
vazamento da areia quando a altura da pilha é 10 pols.
4) Uma lâmpada colocada em um poste está a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura
caminha afastando-se da lâmpada à razão de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade
de sua sombra no instante em que ele está a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua
sombra neste instante ? Qual velocidade é a maior, a da extremidade da sombra ou a de
alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?
5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p é a pressão, v é o volume e c
uma constante. Em certo instante, o volume é de 75 pols3 , a pressão 30 lbs/pol2 e a pressão
decresce à razão de 2 lbs/pol2 por minuto. Qual a taxa de variação do volume neste instante ?
6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gráfico da equação y = ln(x3 ) (x > 0) e sua abscissa
x varia à razão de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y também varia a uma razão fixa ?
Qual a taxa de variação da ordenada no ponto (e, 3) ?
7) Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a resistência total
R é dada por 1/R = (1/R1 ) + (1/R2 ). Se R1 e R2 aumentam à razão de 0,01 ohms/s e 0,02
ohms/s, respect., qual a taxa de variação de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90
ohms ?
8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu
comprimento aumenta à taxa de 0,005 cm/min e seu diâmetro cresce à razão de 0,002 cm/min.
Qual a taxa de variação do volume quando o comprimento é 40 cm e o diâmetro é 3 cm ?
9) Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em um dique inclinado a 60◦ em
relação à horizontal. Se a base da escada está sendo movida horizontalmente na direção do
80
CAPÍTULO 2
dique à razão de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no
dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?
10) Um avião voa a uma altura constante de 5000 pés ao longo de uma reta que o levará
diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador
nota que o ângulo de elevação do avião é de 60◦ e aumenta à razão de 1◦ por segundo, determine
a velocidade do avião neste instante.
11) Um triângulo isósceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ângulo entre
os lados iguais varia à razão de 2◦ por min, com que velocidade varia a área do triângulo
quando θ = 30◦ ?
12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais próximo P de uma estrada
retilı́nea está sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,
se afastando de P. Determine a taxa de rotação do farol no instante em que o carro está a 1/4
de milha do farol.
13) Uma escada de 5 m de altura está apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior
da escada é puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada
escorrega à razão de 3 m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo entre a
escada e o solo quando a parte inferior da escada está a 3 m da parede ?
14) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 2 m/s por meio de uma corda
(esta é a velocidade com que puxa a corda). As mãos do homem estão a 30 cm do nı́vel do
ponto onde a corda está presa no bote. com que velocidade varia a medida do ângulo de
deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda é
de 50 cm ?
15) Um quadro de 40 cm de altura está colocado numa parede, com sua base a 30 cm
acima do nı́vel dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede à razão
de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ângulo subtendido pelo quadro a seus olhos,
quando o observador estiver a 1 m da parede ?
16) Despeja-se água num recipiente de forma cônica à razão de 8 cm3 /min. O cone tem
20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve
aumentar a profundidade da água no recipiente quando a água estiver a 16 cm do fundo ?
Suponhamos agora que se tenha a informação adicional de que existe um furo no fundo, pelo
qual a água escoa, e que a água está subindo à razão de 1/8π cm/min neste instante (quando
a água está a 16 cm do fundo). Com que velocidade a água está escoando ?
Aplicações da Derivada
2.4
81
Alguns resultados importantes
Pontos crı́ticos, máximos e mı́nimos:
Definição 2.1. Um ponto c ∈ X é um PONTO CRÍTICO de f : X → IR quando f 0 (c) = 0
ou não existe f 0 (c) .
Exemplos:
(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = ex .
(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x .
√
(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = (x + 5)2 3 x − 4 .
82
CAPÍTULO 2
Teorema 2.1. Seja f : X → IR uma função. Se c é um ponto de máximo ou mı́nimo local
de f e c ∈ I (intervalo aberto) ⊂ X então c é um ponto crı́tico de f , ou seja, f 0 (c) = 0 ou
@ f 0 (c) .
Conseqüência importante do Teorema 2.1: Se f : [a, b] → IR é uma função contı́nua,
sabemos (ver Teorema 12 do Capı́tulo 1) que f assume máximo e mı́nimo absolutos neste
intervalo, ou seja, existem cM e cm em [a, b] tais que f (cM ) ≥ f (x) e f (cm ) ≤ f (x) para
todo x ∈ [a, b] .
O Teorema 2.1 nos diz que os candidatos a cM e cm são os pontos crı́ticos de f em (a, b)
juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .
Exemplos:
(A) f : [−3, 5] → IR dada por f (x) = x3 − 12x .
Aplicações da Derivada
83
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .
Obs.: Este exemplo mostra que não vale a recı́proca do Teorema 2.1
(C) (Aplicação) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços
quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo
volume seja máximo.
84
CAPÍTULO 2
O Teorema do Valor Médio para Derivadas:
Teorema 2.2. (Rolle) Se f é contı́nua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , derivável
no intervalo aberto correspondente (a, b) e f (a) = f (b) , então existe (pelo menos um)
c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0 .
⇓
Teorema 2.3. (Teorema do Valor Médio, de Lagrange) Se f é contı́nua em um intervalo
limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) então existe
f (b) − f (a)
.
(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f (b)−f (a) = f 0 (c)·(b−a) , ou seja, f 0 (c) =
b−a
Principais conseqüências do Teorema do Valor Médio:
Teorema 2.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contı́nua em um intervalo limitado
e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) .
(i) Se f 0 (x) > 0 para todo x em (a, b), então f é CRESCENTE em [a, b] .
(ii) Se f 0 (x) < 0 para todo x em (a, b), então f é DECRESCENTE em [a, b] .
Aplicações da Derivada
85
Teorema 2.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contı́nua em [a, b] e derivável
em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crı́tico c ∈ (a, b) .
(i) Se f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , então c é ponto de máximo local de f .
(ii) Se f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , então c é ponto de mı́nimo local de f .
(iii) Se f 0 (x) > 0 ∀ x 6= c em (a, b) ou se f 0 (x) < 0 ∀ x 6= c em (a, b) então c não é nem
máximo nem mı́nimo local de f .
Exemplos:
(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha máximos ou mı́nimos
locais de g e onde g é crescente ou decrescente.
86
CAPÍTULO 2
(B) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x1/3 (8 − x) ∀ x ∈ IR .
√
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5)2 3 x − 4 ∀ x ∈ IR .
2.5
Concavidade e pontos de inflexão
Derivadas de ordem superior:
Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 .
Para todo x ∈ IR existe f 0 (x) = 6x2 − 10x + 1 .
Podemos considerar portanto a função f 0 : IR → IR dada por f 0 (x) = 6x2 − 10x + 1
f 0 (x) − f 0 (a)
= f 00 (a) para cada
x→a
x−a
a ∈ IR (existindo, f 00 (a) é chamada a derivada segunda de f em a).
e indagar se ela é derivável ou não, ou seja, se existe lim
Como f 0 (neste exemplo) é polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f 00 (x) = 12x − 10
e temos portanto uma nova função f 00 : IR → IR dada por f 00 (x) = 12x − 10 ∀ x ∈ IR (f 00 é
a função derivada segunda de f .
Podemos pensar (novamente) em derivar f 00 e assim por diante...
(Exemplos)
Obs.: (A) Já interpretamos f 0 como taxa de variação instantânea de y = f (x) por unidade
de variação de x.
Como f 00 é a derivada de f 0 , então f 00 é a taxa de variação instantânea de y = f 0 (x) por
unidade de variação de x.
Em resumo: f 0 mede a variação de f ;
f 00 mede a variação de f 0 ;
f 000 mede a variação de f 00 e assim por diante ...
(B) Vimos também que se s = s(t) representa a posição s de um objeto ao longo de uma
linha reta, como função do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTÂNEA) a taxa
de variação instantânea de s por unidade de variação de t, ou seja, v(t) = s0 (t) .
Derivando novamente, temos a variação da velocidade v 0 (t) = s00 (t) (derivada segunda de
s), a qual chamamos de ACELERAÇÃO no instante t.
Aplicações da Derivada
87
Testes de concavidade:
Teorema 2.6. (Sobre concavidade) Seja f derivável em um intervalo aberto contendo c .
(i) Se existe f 00 (c) > 0 então no ponto ponto (c, f (c)) o gráfico de f tem a concavidade
voltada para cima.
(ii) Se existe f 00 (c) < 0 então no ponto ponto (c, f (c)) o gráfico de f tem a concavidade
voltada para baixo.
Exemplos:
(A) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x3 ∀ x ∈ IR .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .
88
CAPÍTULO 2
(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .
(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .
Definição 2.2. (Ponto de inflexão) Um ponto (c, f (c)) do gráfico de uma função f , f contı́nua
em c, é chamado um PONTO DE INFLEXÃO quando neste ponto a concavidade “muda
de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes
situações ocorre:
(i) f 00 (x) > 0 se x ∈ (a, c) e f 00 (x) < 0 se x ∈ (c, b) ;
(ii) f 00 (x) < 0 se x ∈ (a, c) e f 00 (x) > 0 se x ∈ (c, b) .
Aplicações da Derivada
89
Teorema 2.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f é derivável em um intervalo aberto contendo
c e f 0 (c) = 0, temos:
(i) Se f 00 (c) < 0 então f tem máximo local em c ;
(ii) Se f 00 (c) > 0 então f tem mı́nimo local em c .
Obs.: Se f 00 (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).
Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .
Resumindo:
• f 0 mede a variação de f ; Sinal de f 0 : crescimento e decrescimento de f ;
Teste da Derivada Primeira: máximos e/ou mı́nimos.
• f 00 mede a variação de f 0 ; Sinal de f 00 : concavidade do gráfico de f ;
Teste da Derivada Segunda: máximos e/ou mı́nimos.
2.6
Aplicações em problemas de máximos e/ou mı́nimos
(A) Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito num triângulo
equilátero de lado a, com dois dos vértices sobre um dos lados do triângulo.
90
CAPÍTULO 2
(B) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de
largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais
caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?
(C) Um cartaz de 20 pés de altura está localizado no topo de um edifı́cio de tal modo que
seu bordo inferior está a 60 pés acima do nı́vel do olho de um observador. Use funções
trigonométricas inversas para determinar a que distância de um ponto diretamente abaixo
do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ângulo entre as linhas de visão do
topo e da base do cartaz.
Aplicações da Derivada
91
Exercı́cios:
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pés cúbicos,
determine as dimensões que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e
aperda de material). Refaça o problema considerando o caso de uma caixa coberta.
2) Determine as dimensões do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito
numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para
formar uma calha, dobrando-se em ângulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas
polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja máxima ? Refaça o
problema considerando que os lados da calha devam fazer um ângulo de 2π/3 rad com a base.
4) Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem 200 cm de perı́metro.
5) Determine o ponto do gráfico de y = x3 mais próximo do ponto (4, 0).
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos
de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (até 600), o preço unitário
tem um desconto igual a US$0,02 vezes o número de encomendas. Qual volume de encomendas
proporciona maior receita para o fabricante ?
7) Às 13:00 horas um navio A está a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte
a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B está navegando rumo oeste a 10 mph, determine o
instante em que a distância entre os dois navios é mı́nima.
8) Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo numa praia reta. Um
armazém está num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4
km/h e caminhar à razão de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém
no menor tempo possı́vel ?
9) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito
num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) José comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir à Copa do Mundo. A TV tem
uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distância dos olhos de José, quando ele estiver
sentado confortavelmente em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando vezes
o que deveriam para ganhar a Copa ( → 0). Sabendo que os olhos de José, ao sentar-se, estão
a 1,5 m de altura do solo e num nı́vel entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura
do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão de José seja máximo ?
92
CAPÍTULO 2
11) Corta-se um pedaço de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte
será dobrada em forma de cı́rculo e a outra em forma de quadrado. Como deverá ser cortado
o arame para que: (a) a soma das áreas das duas figuras seja tão pequena quanto possı́vel; (b)
a soma das áreas das duas figuras seja a maior possı́vel.
12) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens
opostas e um rio retilı́neo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto será construı́da sob a
água, de A até um ponto C na margem oposta, e o restante à superfı́cie, de C até B. Se o
custo de construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfı́cie e
sabendo que a região onde está sendo construı́do o oleoduto não pertence à Bolı́via, determine
a localização de C que minimize o custo de construção.
13) O proprietário de um pomar estima que, plantando 24 árvores por are, cada árvore
produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore adicional plantada por are, haverá uma redução
de 12 maçãs por pé por ano. Quantas árvores deve plantar por are para maximizar o número
de maçãs (por are por ano) ?
14) Um piloto de testes da Fórmula 1 percorre um circuito elı́ptico plano, de forma que
sua posição, após t vezes 10-segundos, é dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (faça um
esboço da trajetória percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t
é dado por v(t) = s0 (t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esboço). A velocidade (tangencial)
escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o piloto não é o Rubinho
Barrichello e portanto deve completar pelo menos uma volta no circuito, calcule os pontos
onde o piloto alcança as velocidades máximas e mı́nimas. (Sugestão: maximizar e minimizar
|v(t)|2 )
2.7
Aplicações nos esboços de gráficos
Dada uma função f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para
fazer um esboço do gráfico de f .
Algumas dicas:
1) Obter a derivada primeira f 0 e os pontos crı́ticos (onde f 0 se anula ou não existe);
2) Estudando o sinal de f 0 , obter informações sobre o crescimento/decrescimento de f ;
3) Obter a derivada segunda f 00 e estudar o seu sinal para obter informações sobre a
concavidade do gráfico de f ;
4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir
Aplicações da Derivada
93
máximos ou mı́nimos locais;
5) Obter alguns pontos do gráfico para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mı́nimo,
pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.);
6) Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) busca de assı́ntotas horizontais (*);
7) Observar o comportamento de f próxima às descontinuidades - busca de assı́ntotas
verticais (*).
(*) Veremos estes dois últimos ı́tens com mais detalhes nas próximas aulas.
Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f (x) = 5x3 − x5 .
2
Exercı́cio: Faça um esboço do gráfico de g : [−2, 2] → IR dada por g(x) = e−x .
94
CAPÍTULO 2
2.8
Apêndice A : Limites no infinito
Noção básica:
Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se possı́vel) o comportamento de f (x) quando
x → ±∞ .
Dizemos que um número real L é o limite de f (x) quando x → +∞ e escrevemos
lim f (x) = L
x→+∞
quando f (x) se aproxima tanto quanto quisermos de L à medida que x cresce indefinidamente,
ou seja, quando x → +∞ .
Neste caso, a reta y = L é chamada uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de f .
Analogamente, escrevemos
lim f (x) = M ∈ IR quando f (x) se aproxima tanto
x→−∞
quanto quisermos de M à medida que x → −∞ .
Neste caso também y = M é assı́ntota horizontal do gráfico de f .
Exemplos:
(A) f : [2, +∞) → IR dada por f (x) =
1
.
x
Aplicações da Derivada
95

 4+ 1
(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) =
x
 6
se
x ≤ −1
se −1 < x < 3
(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .
Teoremas sobre limites no infinito:
Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptações.
Por exemplo: Se
lim f (x) = L e
x→+∞
lim g(x) = M , então podemos comcluir que
x→+∞
lim f (x) ± g(x) = L ± M , lim f (x) · g(x) = L · M , lim f (x)/g(x) = L/M se M 6= 0
x→+∞
x→+∞
x→+∞
(analogamente para x → −∞ )
Alguns limites básicos no infinito:
1)
lim c = c
x→±∞
2) Se k ∈ Q, k > 0 e c 6= 0 então
3)
5)
lim
x→+∞
1
1+
x
lim ex = 0
x→−∞
lim
c
= 0 (se fizerem sentido)
xk
lim
ln x
=0
x
lim
1
=0
ex
x→±∞
x
=e
4)
6)
x→+∞
x→+∞
7)
lim
x→+∞
1
=0
ln x
96
CAPÍTULO 2
Exemplos:
−5x3 + 2x
(A) lim 3
x→+∞ x − 4x2 + 3
(B)
lim
x→−∞
3x − 4
5x2
√
(C)
(D)
lim
x→+∞
lim
x→−∞
5x2 − 6
4x + 3
sen x
x
(E) (Exercı́cio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempre
que x ≥ 1 (Sugestão: Mostre que f (x) = ex − x é crescente em [1, +∞) e f (1) > 0 ) e
1
conclua que lim x = 0 .
x→+∞ e
(F) (Exercı́cio) Mostre que
2
2
lim e−x = 0 (Sugestão: Mostre que 0 < e−x =
x→+∞
quando x → +∞ e aplique o Sanduı́che).
1
1
2 <
x
ex
e
Aplicações da Derivada
2.9
97
Apêndice B : Limites infinitos
Dada f : X → IR e a ∈ X 0 , vamos estudar agora, para auxı́lio no esboço do gráfico de f ,
a situação na qual NÃO EXISTE o lim f (x) (portanto f é descontı́nua em a) e, AINDA
x→a
ASSIM, f (x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x 6= a).
Escrevemos lim f (x) = +∞ quando f (x) → +∞ à medida que x → a (x 6= a) .
x→a
Neste caso, a reta x = a é chamada uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de f :
Analogamente, lim f (x) = −∞ quando f (x) → −∞ à medida que x → a (x 6= a) .
x→a
Neste caso também dizemos que x = a é uma assı́ntota vertical do gráfico de f :
Observações:
1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim+ f (x) ou lim− f (x) .
x→a
x→a
2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim f (x) NÃO EXISTE (não é um número
x→a
real). Apenas escrevemos lim f (x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de
x→a
f (x) quando x se aproxima de a.
98
CAPÍTULO 2
Exemplos:
1
(A) lim
= +∞
x→−3 (x + 3)2
(B) lim+
1
= +∞
(x − 2)3
lim−
1
= −∞
(x − 2)3
x→2
x→2
(C) Em geral:
1
= +∞
(x − a)n
1
Se n é ÍMPAR: lim+
= +∞
x→a (x − a)n
Se n é PAR: lim
x→a
e
lim−
x→a
1
= −∞
(x − a)n
(D) lim+ ln x = −∞
x→0
(E)
lim
θ→π/2−
tg θ = +∞
Proposição 2.1. (Para ajudar no cálculo de alguns limites infinitos)
Sejam lim f (x) = +∞ , lim g(x) = c ∈ IR , lim h(x) = −∞ . Temos:
x→a
x→a
x→a
1) lim [f (x) + g(x)] = +∞ , lim [h(x) + g(x)] = −∞ .
x→a
2) lim
x→a
x→a
g(x)
g(x)
= 0 , lim
=0.
x→a h(x)
f (x)
⇒
3)
c > 0
lim
h(x)
= −∞ .
g(x)
x→a
lim f (x) · g(x) = +∞ ,
x→a
lim h(x) · g(x) = −∞ ,
x→a
c < 0 ⇒ lim f (x) · g(x) = −∞ , lim h(x) · g(x) = +∞ , lim
x→a
x→a
Obs.: Valem resultados análogos para limites laterais.
x→a
lim
x→a
f (x)
= +∞ ,
g(x)
f (x)
h(x)
= −∞ , lim
= +∞
x→a g(x)
g(x)
Aplicações da Derivada
Exemplos:
(A) f (x) =
(B)
lim
x→−π/2+
2x2
x2 − 9
sen x tg x
√
x4 + 2
(C) lim+
x→0
ln x
99
100
CAPÍTULO 2
Observação: De modo inteiramente análogo ao que fizemos para lim f (x) = ±∞ ,
x→a
podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposição anterior
continuam válidos! (apenas não temos mais as assı́ntotas verticais nestes casos)
(D)
lim x = +∞ ,
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
lim ex = +∞
(E)
(F)
x→+∞
(G)
lim ln x = +∞
x→+∞
lim −5x4 + 3x + 2
x→+∞
Observação: As conclusões que não podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos
com limites infinitos:
Devemos sempre tomar cuidado com operações entre funções que têm LIMITES INFINITOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINAÇÕES, que são as formas cujos comportamentos NÃO PODEMOS PREVER A PRIORI.
Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES:
0
,
0
∞
, 0 · ∞ , 00 ,
∞
∞0 ,
1∞ , ∞ − ∞
Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funções dadas de modo que
possamos ELIMINAR AS INDETERMINAÇÕES. (EXEMPLOS)
Aplicações da Derivada
2.10
101
Apêndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital
0
∞
,
,
0
∞
INDETERMINAÇÕES.
As formas
0 · ∞ , 00 ,
∞0 ,
1∞ ,
∞ − ∞ são todas consideradas
Além de tentarmos trabalhar com as expressões que geram as indeterminações visando
ELIMINÁ-LAS, veremos a seguir alguns métodos para atacar estes problemas.
C.1) Indeterminações do tipo
0
∞
ou
:
0
∞
Uma ferramenta muito útil é a ...
Regra de L’Hopital:
Suponhamos que
x → ±∞ . Se
f (x)
tome a forma indeterminada
g(x)
Exemplos:
x→0
(B)
lim
3 − 2x − 3 cos x
5x
x→+∞
ln x
x
ou
∞
∞
quando x → c ou
f 0 (x)
tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), então
g 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
lim
= lim 0
g(x)
g (x)
(A) lim
0
0
102
(C)
CAPÍTULO 2
lim
x→+∞
e2x
x2
Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente
se tem uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞ .
C.2) Indeterminações do tipo 0 · ∞ :
Escrevendo-se f (x) · g(x) =
0/0 ou ∞/∞ .
Exemplos:
(A) lim+ x · ln x
x→0
(B)
lim
x→+∞
arc tg x −
π
·x
2
f (x)
g(x)
ou f (x) · g(x) =
recai-se numa forma do tipo
1/g(x)
1/f (x)
Aplicações da Derivada
C.3) Indeterminações do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ :
O roteiro abaixo pode ser útil nestes casos:
0) Seja f (x)g(x) a expressão que gera a indeterminação;
1) Tome y = f (x)g(x) ;
2) Tome logarı́tmos: ln y = ln f (x)g(x) = g(x) · ln f (x) (e recaia em casos já vistos);
3) Determine lim ln y (se existir);
4) Se lim ln y = L então lim y = eL . (Atenção: Não pare em 3)
Exemplos:
(A)
lim x1/x
x→+∞
(B)
(C)
lim
x→+∞
1
1+
x
lim x1/ ln x
x→+∞
x
103
104
CAPÍTULO 2
C.4) Indeterminações do tipo ∞ − ∞ :
Trabalhe com a expressão para cair em casos conhecidos !
Exemplos:
(A)
lim (sec x − tg x)
x→π/2−
(B) lim+
x→0
1
1
−
x
e −1
x
Exercı́cio:
1) APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faça um esboço do gráfico de cada
função f dada abaixo:
SUGESTÃO:
1. Obtenha a derivada primeira f 0 e os pontos crı́ticos de f .
2. Estudando o sinal de f 0 , obtenha informações sobre o crescimento/decrescimento de f .
3. Obtenha a derivada segunda f 00 e estude seu sinal para obter informações sobre a concavidade do gráfico de f .
4. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir máximos
ou mı́nimos locais.
5. Obtenha alguns pontos do gráfico de f para ajudar no esboço (pontos de máximo ou
mı́nimo, pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.).
6. Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca
de assı́ntotas horizontais.
7. Observar o comportamento de f próxima às descontinuidades - busca de assı́ntotas verticais.
Aplicações da Derivada
a) f (x) = 4 − x2
e) f (x) = 1 −
√
3
x
105
b) f (x) = x3
f) f (x) =
√
i) f (x) = (x + 5)2 3 x − 4
l) f (x) =
c) f (x) = x3 − 9x
x2
1 + x2
d) f (x) = x4 − 6x2
g) f (x) = 10x3 (x − 1)2
j) f (x) = x2/3 (x2 − 8)
k) f (x) = x3 +
3
x
√
3
x (8 − x)
(x 6= 0)
1
2x2
3x2
(x
=
6
0,
3)
m)
f
(x)
=
(x
=
6
±1)
n)
f
(x)
=
(x 6= 9)
x(x − 3)2
1 − x2
(x − 9)2
o) f (x) = ex p) f (x) = e−x q) f (x) = ex − x r) f (x) = e−x
t) f (x) = e1/x (x 6= 0)
w) cosh x =
ex + e−x
2
u) f (x) =
senh x =
x
ex
ex − e−x
2
y) f (x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4π] )
2.11
h) f (x) =
v) f (x) =
tgh x =
2
s) f (x) = ln x (x > 0)
ln x
(x > 0)
x
ex − e−x
ex + e−x
x) f (x) = arc tg x
z) f (x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] )
Apêndice D: Aproximações via
Polinômios de Taylor
Recordando...
Quando estudamos acréscimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR é derivável em
f (x + ∆x) − f (x)
, então a variação da função y = f (x),
∆x→0
∆x
dada por ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , pode ser aproximada por f 0 (x) · ∆x quando ∆x está
próximo de 0:
x ∈ X, ou seja, se existe f 0 (x) = lim
∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f 0 (x) · ∆x = dy
quando ∆x → 0
Isto é o mesmo que
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x .
106
CAPÍTULO 2
Geometricamente:
A idéia é aproximar o gráfico de f por uma reta numa vizinhança em torno de x. A reta que
melhor cumpre esse papel é a reta tangente ao gráfico de f em (x, f (x)), cujo coeficiente
angular é f 0 (x) . Quando fazemos essa aproximação, cometemos um erro r = r(∆x) .
Quanto menor é |∆x| , ou seja, quanto mais próximos estão ∆x e 0, melhor a aproximação
obtida e menor é o erro cometido.
Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximações cada vez melhores ?
Resposta: SIM ! (sob certas condições)
Um passo adiante:
Se f : I (intervalo aberto) → IR é duas vezes derivável em um ponto x ∈ I então, se
x + ∆x ∈ I , temos
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x +
f 00 (x)
· (∆x)2
2!
(∆x pequeno)
Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor é a aproximação.
Porém, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinômio do 2o grau, ou
seja, geometricamente, o gráfico de f é aproximado por um arco de parábola e a expectativa
é que isto funcione melhor como aproximação do que uma reta:
Aplicações da Derivada
107
Generalizando:
Se f : I (intervalo aberto) → IR é n−vezes derivável em um ponto x ∈ I então, se
x + ∆x ∈ I , temos:
f 000 (x)
f (n) (x)
f 00 (x)
· (∆x)2 +
· (∆x)3 + . . . +
· (∆x)n
2!
3!
n!
e quanto menor |∆x|, melhor é a aproximação.
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x +
Obs.:
1) Como o ponto x ∈ I, onde a função é n−vezes derivável, está fixo e ∆x varia (∆x → 0),
vamos adotar uma NOVA NOTAÇÃO:
f : I → IR n−vezes derivável em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos:
f (a + h) ≈ f (a) + f 0 (a) · h +
f 00 (a) 2 f 000 (a) 3
f (n) (a) n
·h +
· h + ... +
·h
2!
3!
n!
e quanto menor |h| , melhor é a aproximação.
2) Se f : I → IR é n−vezes derivável em um ponto a ∈ I , definimos o POLINÔMIO DE
TAYLOR DE GRAU n DA FUNÇÃO f NO PONTO a:
Pn,f (a) (h) = a0 + a1 · h + a2 · h2 + . . . + an · hn
f 00 (a)
f (n) (a)
sendo a0 = f (a) , a1 = f (a) , a2 =
, . . . , an =
, ou seja,
2!
n!
0
ai =
f (i) (a)
i!
i = 1, 2, . . . , n
Neste caso temos:
f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h)
Exemplos:
(A) f (x) = ex , a = 0 , n = 5 .
108
CAPÍTULO 2
(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .
(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exercı́cio)
Buscando estimativas: A Fórmula de Taylor:
Teorema 2.8. (Fórmula de Taylor)
Se uma função f é n + 1 vezes derivável em um intervalo aberto I contendo x = a então,
se a + h ∈ I, temos:
f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h +
f 00 (a) 2
f (n) (a) n f (n+1) (z) n+1
· h + ... +
·h +
·h
2!
n!
(n + 1)!
com z = z(n, h) entre a e a + h.
• Continuamos tendo f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h) quando h está próximo de 0.
• Rn (h) =
f (n+1) (z) n+1
·h
é o erro cometido na aproximação f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h)
(n + 1)!
(quanto menor |h|, menor o erro).
• A Fórmula de Taylor nos permite, além de aproximar f (a + h) por Pn,f (a) (h) , tentar
obter estimativas para o erro cometido.
(Exemplo)
Aplicações da Derivada
109
Indo um pouco mais além: A Série de Taylor:
Uma função f : I (intervalo aberto) → IR é chamada ANALÍTICA quando para cada a ∈ I
admite o desenvolvimento em Série de Taylor numa vizinhança em torno de a:
f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h +
f 00 (a) 2 f 000 (a) 3
·h +
· h + ...
2!
3!
Quando a + h está próximo de a (o quanto, depende de f e sua Série) a soma à direita,
chamada a SÉRIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)
f (a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f (a + h).
Obs.:
1) Uma função analı́tica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.
2) As funções clássicas p(x) = a0 +a1 x+. . .+an xn , ex , sen x, cos x, ln x são todas analı́ticas.
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f (x) = ex em torno de a = 0 .
(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .
Exercı́cio: Obtenha a Série de Taylor de f (x) = ln x em torno do ponto a = 1 .
110
CAPÍTULO 2
Coletânea de provas anteriores (1)
Questão 1: (20 pts) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessı́vel)
em relação ao seu nı́vel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicial√
mente um sofisticado aparelho baseado num feixe de laser e obteve 17 km como medida da
distância de B ao ponto A . Porém, para medir o ângulo θ da linha BA com o horizonte foi
utilizado um outro aparelho, não tão preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a ∆θ = ±0, 01 rad.
(a) Obtenha a equação que expressa o desnı́vel h(θ) entre A e B, como função do ângulo θ.
(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnı́vel h(θ) calculado pelo explorador ?
(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).
(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximação para o erro h(θ + ∆θ) − h(θ) no cálculo
do desnı́vel.
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) = [ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posição ao
longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os
instantes t = 0 e t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e
t = 2. (c) Em que instante o objeto pára ? Em que posição isto ocorre ? Qual a aceleração
neste instante ?
Questão 3: (20 pts) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede
vertical. Sua base, que está apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a
uma velocidade constante de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se
desloca não é constante. (b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando
a base está a 3 m da parede ? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca
quando o ângulo da escada com o chão é de π/4 rad ?
√
Questão 4: (20 pts) Uma ilha está num ponto A, a 3 3 km do ponto B (localizado no
continente), o mais próximo numa praia reta. Um armazém está num ponto C a 7 km de B
na praia. Se um homem pode remar à razão de 2 km/h e caminhar à razão de 4 km/h, onde
ele deveria desembarcar, para ir da ilha ao armazém no menor tempo possı́vel ?
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos crı́ticos, cresc./decresc., máximos ou mı́nimos, concavidade, assı́ntotas
horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida.
(a) f : IR − {4} → IR dada por f (x) =
2x2
(x − 4)2
(b) g : IR → IR dada por g(x) =
3x
ex
Aplicações da Derivada
111
Coletânea de provas anteriores (2)
Questão 1: (20 pts) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximação para a VARIAÇÃO
5
5
da área de uma esfera quando seu raio aumenta de
cm para
+ 0, 005 cm.
π
π
b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado à esfera de
raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?
4 3
πr cm3
Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua área é 4πr2 cm2 e seu volume é
3
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) =
10 ln(2t + 1)
(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo
(2t + 1)
de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade
nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto está parado ?
(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 até t → +∞ .
Questão 3: (20 pts) A luz de um farol que gira à taxa de 1,5 rpm (rotações por minuto)
está iluminando (acompanhando) um carro que passa numa estrada retilı́nea. (Obs.: O farol
está distante da estrada)
No momento em que o ângulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol à estrada
é de π/3 rad, a distância do farol ao carro é de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do
carro neste instante, em km/h.
A velocidade de rotação do farol é constante. Responda se a velocidade do carro também
é constante e justifique.
Questão 4: (20 pts) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm,
sua área total é S = (2πr2 + 2πrh) cm2 e seu volume é V = πr2 h cm3 . DENTRE TODOS
OS CILINDROS DE ÁREA TOTAL S = 12π cm2 , obtenha as dimensões (r e h) daquele que
tem o maior volume possı́vel e forneça o maior volume que pode ser obtido.
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos crı́ticos, cresc./decresc., máximos ou mı́nimos, concavidade, assı́ntotas
horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida.
(a) f : IR → IR dada por f (x) =
x2
ex
(b) g : IR − {±2} → IR dada por g(x) =
x2
4 − x2
112
CAPÍTULO 2
Coletânea de provas anteriores (3)
Questão 1: (20 pts) a) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diâmetro, você
recebe a oferta de pagar 10% a mais por um acréscimo de 3 cm no diâmetro. Sem calcular
áreas, USE DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou não a oferta.
(Sugestão: Calcule aproximadamente o aumento percentual na área devido ao acréscimo
∆d = 3 cm)
Para qual diâmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diâmetro com um
aumento de 10% no preço seria justa para ambas as partes (você e o vendedor) ?
b) Use diferenciais para aproximar
√
3
0, 065 .
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
2t2
pela equação s(t) = t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um
e
eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0
e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas).
(b) O que ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distância da posição inicial
que é atingida pelo objeto ?
Questão 3: (20 pts) Uma escada de 4 m está apoiada numa parede vertical. Se a base da
escada (apoiada no chão) é empurrada na direção da parede à razão (constante) de 2 m/s, com
que velocidade está variando a medida do ângulo (agudo) entre a escada e a parede vertical
quando a base da escada está a 2 m da parede ? A velocidade de variação deste ângulo é
constante ? (Justifique)
Questão 4: (20 pts) Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a
1
1
1
resistência total R é dada por
=
+
.
R
R1 R2
Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 + R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R
seja máxima. (Sugestão: Exprima R como função de uma única variável para então resolver o
problema)
E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja mı́nima ? Justifique a resposta.
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos crı́ticos, cresc./decresc., máximos ou mı́nimos, concavidade, assı́ntotas
horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida.
(a) f : IR − {1} → IR , f (x) =
−3x
.
(1 − x)2
(b) g : IR − {0} → IR , g(x) = x · ln(x2 ) .
Aplicações da Derivada
113
Coletânea de provas anteriores (4)
Questão 1: (20 pts) a) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde
será constuı́da a ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens são desniveladas. Mede-se
então o ângulo de inclinação que a ponte terá e obtem-se a medida de 30o , com possibilidade
de erro de 1o . Use diferenciais para obter uma aproximação do erro no cálculo do comprimento
da ponte.
b) Se ln 4 ≈ 1, 3863 , use diferenciais para aproximar ln(3, 99) .
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo
de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t =
e3 − 1
. (b) Obtenha a veloci2
e3 − 1
dade nos instantes t = 0 e t =
. (c) Obtenha a aceleração no instante t = 0 .
2
(d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleração quando t → +∞ ?
Questão 3: (20 pts) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto às 8 horas da manhã, um
viajando para leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
(a) Como estará variando a distância entre eles quando for meio-dia ?
(b) Como estará variando a área do triângulo formado pelo ponto de partida e as posições
dos ciclistas ao meio-dia ?
Questão 4: (20 pts) Um fazendeiro dispõe de 1km de cerca. Uma parte da cerca será utilizada para cercar uma área circular e o restante para cercar uma área quadrada. Ele também
pode utilizar toda a cerca para cercar uma única área (circular ou quadrada). Como ele deve
proceder para que: (a) A área total cercada seja a menor possı́vel; (b) A área total cercada
seja a maior possı́vel.
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos crı́ticos, cresc./decresc., máximos ou mı́nimos, concavidade, assı́ntotas
horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida.
(a) f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
ex
x3
(b) g : IR → IR dada por g(x) =
√
3
1 − x2
114
CAPÍTULO 2
Coletânea de provas anteriores (5)
Questão 1: (20 pts) a) Um empresário fabrica tanques com a forma de cones “invertidos”
nos quais a altura é sempre igual ao diâmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter (JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade
(volume) dos tanques se o raio da base é aumentado em 3, 333 . . . % .
b) Se ln 8 ≈ 2, 0794 , use diferenciais para aproximar ln(8, 1) .
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
2
pela equação s(t) = 3 − e−t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um
eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0
e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas).
(b) O que ocorre com a velocidade instantânea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre
com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo
objeto (se existir)?
Questão 3: (20 pts) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 1 m/s por
meio de uma corda (esta é a velocidade do bote). As mãos do homem estão a 1 m acima do
nı́vel do ponto onde a corda está presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ângulo
√
de deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o bote está a 3 m de
distância (“medidos na horizontal”) do homem ?
Questão 4: (20 pts) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR
3
RETO de VOLUME MÁXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio
m.
2
Questão 5: (25 pts) Faça um estudo completo da função dada abaixo: pontos crı́ticos,
cresc./decresc., máximos ou mı́nimos, concavidade, assı́ntotas horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função.
f : IR → IR dada por f (x) =
2x2
∀ x ∈ IR .
1 + x2
Aplicações da Derivada
115
Respostas de exercı́cios
• Página 69:
1) a) Expressão ≈ 3, 12
d)
√
3
0, 00098 ≈
b)
1
2
−
10 3 · 103
e)
√
3
65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48
√
0, 042 ≈ 0, 205
c)
√
37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12
f) Expressão ≈ 9−
3
1122
=
= 8, 976
125
125
1
65
g) √
≈
4
128
15
2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981
5) ∆θ ≈ ±
1
rad
164
9) ≈ R$19,20
3) ctg 46◦ ≈ 1 −
6) ∆V ≈ ±
π
90
9π
cm3
50
4) S(2, 02) − S(2) ≈
7) ∆l ≈ 0, 6 cm
8π
pés2
25
8) ∆h ≈ ±
4π
pols
3
10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no cálculo de R ≈ ∓4%
• Página 76:
1)
728π
∆V
=−
pés3 /hora ;
∆t
3
2)
∆P
= 11 bpm/s ;
∆t
V 0 (3) = −72π pés3 /hora.
P 0 (2) = 7 bpm/s ;
3) I 0 (20) = −0, 12 u.i./pé
4) F 0 (C) =
P 0 (3) = 11 bpm/s ;
P 0 (4) = 15 bpm/s.
9 ◦ ◦
F/ C
5
5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V 0 (s) = 12s2 − 400s + 2400 ;
V 0 (5) = 700 cm3 /cm ⇒ é conveniente aumentar s quando s = 5;
V 0 (10) = −400 cm3 /cm ⇒ não é conveniente aumentar s quando s = 10.
6)
(a) s(0) = 1 ; v(t) = s0 (t) = 6t − 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v 0 (t) = 6 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .
(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 − 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .
(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 − 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;
√
√
√
v(t) = 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ s(− 2) ≈ 18, 3 , s( 2) ≈ 29, 7 .
(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t .
116
CAPÍTULO 2
(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π 2 cos(πt) ;
v(1) = 0 ; s(1) = −3 .
(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t −
a(t) = 2 +
4
; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;
t+1
4
; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1 − 4 ln 2 .
(t + 1)2
7) v(0) = 144 pés/s ; a(0) = −32 (pés/s)/s ; v(3) = 48 pés/s ; a(3) = −32 (pés/s)/s ;
Em t = 3s, o objeto está a 288 pés de altura, subindo e perdendo velocidade ;
Altura máxima: 324 pés (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.
• Páginas 79-80:
9
m/s
2) 14 m/s
1)
5
3) 600π pol3 /min
5
2
m/s ; Alonga:
m/s (menor). Outros inst.: mantêm velocidades
3
3
√
3
11
21π
2+ 6
3
3
5) 5 pol /min
6)
u/s
7)
Ω/s
8)
cm /min
9)
m/s
2e
1600
160
4
√
1000π
π 3
5
10) −
pés/s
11)
pol2 /min
12) 100 rad/hora =
rpm
27
10
6π
4) Extremidade:
13) -1 rad/s
14) 3 rad/s
15) ≈ 0, 778 rad/s
16)
1
cm/min , 6cm3 /min (escoando)
2π
• Páginas 91-92:
1) Aberta: b = 2 pés, a = 1 pé; Coberta: b = a =
√
3
4 pés
3) Ângulo reto: d = 3 pols ; Ângulo 2π/3 : d = 4 pols
5) P (1, 1)
6) 500 unidades
8) a 8 km de B, entre B e C
11) (a) Menor:
√
2a 2
4a
2) h =
, r=
3
3
4) a = b = 50 cm
7) t = 18/13 horas após 13:00
9) h = r = 4 cm
10) a 1,25m do solo
2π
8
m para o cı́rc. e
m para o quad.; (b) Maior: 2m para o cı́rc.
4+π
4+π
1
12) a √ milhas de B, entre B e C
15
13) 37 árvores por are
14) Máxima em: s(π/2) e s(3π/2) ; Mı́nima em: s(0) e s(π)
Aplicações da Derivada
117
• Página 110: Coletânea 1
√
Questão 1) (a) h(θ) = 17 · sen θ km
(b) h(π/3) ≈
25
= 3, 571... km
7
√
17
1
km (com θ = π/3 , ∆θ = ±
)
200
100
1
1
3
1
Questão 2) (a) vm [0, 2] =
ln 3 −
m/s
(b) v(0) =
m/s ; v(2) =
m/s
2
2
4
12
(c) h(θ + ∆θ) − h(θ) ≈ ±
1
3
m e a(3) = − (m/s)/s
4
16
(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4 −
Questão 3) x(t) = dist. da base da escada à parede ; y(t) = dist. do topo até o chão
(a) y 0 =
x
y
(b) quando x = 3 m : y 0 =
3
m/s
4
(c) quando θ = π/4 rad : y 0 = 1 m/s
Questão 4) x = distância de onde vai desembarcar até B ( x ∈ [0, 7] )
√
27 + x2 7 − x
T = T (x) = tempo gasto para ir de A até C ⇒ T (x) =
+
2
4
Após testar os candidatos (x = 3 , x = 0 , x = 7), temos que x = 3 km minimiza T .
Questão 5) (a) f (x) =
2x2
(x − 4)2
Pontos crı́ticos: x = 0 (f 0 (0) = 0) , x = 4 (não existe f 0 (4) - descontinuidade);
Decresc. em (−∞, 0] e (4, +∞) . Cresc. em [0, 4).
Mı́nimo em x = 0 .
Concav. para cima em (−2, +∞) . Para baixo em (−∞, −2) . Inflexão em P (−2, f (−2)) .
Assı́ntota horizontal: y = 2 , pois
lim f (x) = 2 .
x→±∞
Assı́ntota vertical: x = 4 , pois lim f (x) = +∞ .
x→4
3x
. Ponto crı́tico: x = 1 (g 0 (1) = 0) ;
ex
Crescente em (−∞, 1] . Decresc. em [1, +∞). Máximo em x = 1 .
(b) g(x) =
Concav. para baixo em (−∞, 2) . Para cima em (2, +∞) . Inflexão em P (2, g(2)) .
Assı́ntota horizontal: y = 0 , pois
Não possui assı́ntotas verticais.
lim g(x) = 0 .
x→+∞
lim g(x) = −∞
x→−∞
118
CAPÍTULO 2
• Página 111: Coletânea 2
Questão 1)
(a) S(r + ∆r) − S(r) ≈ S 0 (r) · ∆r = 1/5 cm2
Questão 2)
(a) vm [0, 3] =
10 ln 7
m/s
21
(b) ∆r = 0, 5 cm.
(b) v(0) = 20 m/s ; v(3) =
20 − 20 ln 7
m/s
49
e−1
(c) v = 0 em t =
s
(d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;
2
e−1
10
s
=
m (objeto parado) ; lim s(t) = 0 (se aproxima da posição 0 qdo t → +∞).
t→+∞
2
e
Questão 3) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = ângulo feixe-perpendicular
0
0
Quando θ = π/3 rad : x = 90π km/h ; x não é constante
45π sec2 θ
x =
2
0
6 − r2
(relação entre h e r nos cilindros de área total 12π cm2 )
r
√
√
⇒ V = V (r) = π(6r − r3 ) , 0 < r < 6 ⇒ Ponto crı́tico: r = 2 .
Questão 4) h =
Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume é máximo quando
√
√
√
√
r = 2 e h = 2 2 e temos V ( 2 ) = 4π 2 cm2 .
Questão 5) (a) f (x) =
x2
ex
Pontos crı́ticos: x = 0 (f 0 (0) = 0) , x = 2 (f 0 (2) = 0) ;
Decresc. em (−∞, 0] e [2, +∞) . Cresc. em [0, 2] ; Mı́nimo local em x = 0 e máximo
local em x = 2 .
√
√
√
√
Concav. para cima em (−∞, 2 − 2) e (2 + 2, +∞) . Para baixo em (2 − 2, 2 + 2) .
√
√
√
√
Inflexão em P (2 − 2, f (2 − 2)) e Q(2 + 2, f (2 + 2)) .
Assı́ntota horizontal: y = 0 , pois
lim f (x) = 0 .
x→+∞
lim f (x) = +∞ .
x→−∞
Não possui assı́ntotas verticais.
x2
. Ponto crı́tico: x = 0 (g 0 (0) = 0) ;
4 − x2
Decrescente em (−∞, −2) e (−2, 0] . Cresc. em [0, 2) e (2, +∞) . Mı́nimo em x = 0 .
(b) g(x) =
Concav. para baixo em (−∞, −2) e (2, +∞) . Para cima em (−2, 2) .
Assı́ntota horizontal: y = −1 , pois
lim g(x) = −1 .
x→±∞
Assı́ntotas verticais em x = ±2 , pois
lim g(x) = −∞ ,
x→−2−
lim g(x) = +∞ , etc.
x→−2+
Aplicações da Derivada
119
• Página 112: Coletânea 3
Questão 1) (a) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diâmetro gera um aumento aproximado de 12% na área da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.
√
193
(b) 3 0, 065 ≈
.
480
4
2
m/s e v(1) > vm [0, 2] . (b) lim s(t) = 0 .
m/s, v(1) =
2
t→+∞
e
e
8
(c) A maior distância é atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 2 m.
e
Questão 2) (a) vm [0, 2] =
Questão
3) A velocidade de variação do ângulo não é constante (depende de θ ) e temos
√
3
rad/s quando x = 2 m.
θ0 = −
3
Questão 4) R é MÁXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.
R NÃO ASSUME MÍNIMO.
Questão 5) (a) f (x) =
−3x
(1 − x)2
Ponto crı́tico: x = −1 (f 0 (−1) = 0) ;
Cresc. em (−∞, −1] e (1, +∞) . Decresc. em [−1, 1) ; Máximo local em x = −1 .
Concav. para cima em (−∞, −2) . Para baixo em (−2, 1) e (1, +∞) . Inflexão em
P (−2, f (−2)) .
Assı́ntota horizontal: y = 0 , pois
lim f (x) = 0 .
x→±∞
Assı́ntota vertical: x = 1 , pois lim f (x) = −∞ .
x→1
(b) g(x) = x · ln(x2 )
Pontos crı́ticos: x = −1/e ou x = 1/e (onde g 0 = 0 );
Crescente em (−∞, −1/e] e [1/e, +∞) . Decrescente em [−1/e, 0) e (0, 1/e] . Máximo
local em x = −1/e e mı́nimo em x = 1/e .
Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em (0, +∞) .
Assı́ntotas horizontais: não possui ( lim g(x) = +∞ e
x→+∞
Assı́ntotas verticais: não possui ( lim g(x) = 0 ).
x→0
lim g(x) = −∞ ).
x→−∞
120
CAPÍTULO 2
• Página 113: Coletânea 4
Questão 1) (a) ∆l ≈ ± π/90 m.
Questão 2) (a) vm [0,
(c) a(0) = 4 (m/s)/s.
(b) ln(3, 99) ≈ 1, 3838 .
e3 − 1
] = 3 m/s
2
(d)
(b) v(0) = 0 m/s ; v(
lim v(t) = +∞ e
t→+∞
Questão 3) (a) d0 = 25 km/h ao meio-dia.
e3 − 1
4e3 − 1
)=
m/s
2
e3
lim a(t) = 0 .
t→+∞
(b) S 0 = 1200 km2 /h ao meio-dia.
4
Questão 4) (a) A área total cercada é a menor possı́vel quando y =
é o perı́metro
4+π
π
é o perı́metro da área circular.
da área quadrada e x =
4+π
(b) A área total cercada é a maior possı́vel quando toda a cerca é utilizada para cercar
uma única área circular.
Questão 5) (a) f (x) =
ex
x3
Ponto crı́tico: x = 3 (f 0 (3) = 0) ;
Decresc. em (−∞, 0) e (0, 3] . Crescente em [3, +∞) ; Mı́nimo local em x = 3 .
Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em ; (0, +∞) .
Assı́ntota horizontal: y = 0 , pois
lim f (x) = 0 .
x→−∞
lim f (x) = +∞ .
x→+∞
Assı́ntota vertical: x = 0 , pois lim+ f (x) = +∞ e lim− f (x) = −∞ .
x→0
(b) g(x) =
√
3
x→0
1 − x2
Pontos crı́ticos: x = 0 (g 0 (0) = 0) , x = −1 (@ g 0 (−1) ) ou x = 1 (@ g 0 (1) ) .
Decrescente em [0, +∞) e crescente em (−∞, 0] . Máximo em x = 0 .
Concavidade para baixo em (−1, 1) e para cima em (−∞, −1) e (1, +∞) .
Inflexões em P (−1, 0) e Q(1, 0) .
Assı́ntotas horizontais: não possui ( lim g(x) = −∞ ).
x→±∞
Assı́ntotas verticais: não possui (g é contı́nua em toda a reta).
Aplicações da Derivada
121
• Página 114: Coletânea 5
Questão 1) (a) 10% (aumento percentual aproximado no volume) (b) ln(8, 1) ≈ 2, 0919 .
e4 − 1
2
m/s. vm [0, 2] < v(1) .
m/s e v(1) =
4
2e
e
lim s(t) = 3 . A maior distância do objeto à posição inicial
Questão 2) (a) vm [0, 2] =
(b)
lim v(t) = 0 . (c)
t→+∞
t→+∞
NÃO É ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e
lim s(t) = 3 .
t→+∞
√
1
rad/s quando x = 3 m.
4
√
√
3
6
Questão 4) h =
m e r=
m para que o volume do cilindro seja máximo.
2
2
Questão 3) θ0 =
Questão 5) (a) f (x) =
2x2
1 + x2
Ponto crı́tico: x = 0 (f 0 (0) = 0) ;
Decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0, +∞) . Mı́nimo local (absoluto) em x = 0 .
√
√
Concavidade para baixo em (−∞, − 3/3) e ( 3/3, +∞) .
√
√
Concavidade para cima em (− 3/3, 3/3) .
√
√
√
√
Inflexões em P (− 3/3, f (− 3/3)) e Q( 3/3, f ( 3/3)) .
Assı́ntota horizontal: y = 2 pois
lim f (x) = 2 .
x→±∞
Assı́ntotas verticais: não possui (f é contı́nua em toda a reta).
122
CAPÍTULO 2
Capı́tulo 3
A Integral Definida
3.1
Motivação
Consideremos o problema geométrico de obter área de figuras não tão regulares como os
polı́gonos da geometria clássica, por exemplo. Vamos considerar inicialmente o seguinte caso:
Seja f : [a, b] → IR uma função contı́nua, com f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] .
Vamos tentar obter a área S da região delimitada pelas retas x = a e x = b , pelo eixo
das abscissas e pelo gráfico de f :
Uma primeira estimativa (e bem “grosseira”) :
Se m é o valor mı́nimo absoluto de f em [a, b] e M é o valor máximo absoluto de f em
[a, b], temos:
123
124
CAPÍTULO 3
Refinando nossas estimativas:
Fixemos n ∈ IN . Vamos agora subdividir nosso intervalo [a, b] em n sub-intervalos de
(b − a)
comprimento ∆x =
cada um.
n
Para cada i = 1, 2, . . . , n , sejam mi e Mi o mı́nimo e o máximo absoluto de f no
i-ésimo intervalo. Temos então:
É claro que
m(b − a) ≤ m1 ∆x + . . . + mn ∆x ≤ S ≤ M1 ∆x + . . . + Mn ∆x ≤ M (b − a)
{z
}
|
{z
}
|
n
X
n
X
mi ∆x
i=1
Mi ∆x
i=1
(Soma inferior)
(Soma superior)
Quanto maior o nosso número n de divisões, melhores são as aproximações de S “POR
n
n
X
X
FALTA” , dadas por
mi ∆x , ou “POR EXCESSO” , dadas por
Mi ∆x .
i=1
i=1
⇓
IDÉIA: fazer n → ∞ (ou seja, ∆x =
b−a
→0)
n
⇓
A expectativa é que
lim
∆x→0
n
X
i=1
mi ∆x = S = lim
∆x→0
n
X
i=1
Mi ∆x
A Integral Definida
Exemplo: Vamos calcular a área sob a curva f (x) = x2 + 1 entre x = 0 e x = 3 :
125
126
3.2
CAPÍTULO 3
Somas de Riemann e a definição da Integral Definida
Iniciamos com a definição de partição de um intervalo:
Definição 3.1. Uma PARTIÇÃO P de um intervalo fechado [a, b] é qualquer decomposição
de [a, b] em intervalos [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−1 , xn ] com n ∈ IN e
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
∆xi = xi − xi−1 é o comprimento do i-ésimo intervalo [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, . . . , n) .
A NORMA da partição P é o maior dos números ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn , indicado por kP k .
Vamos agora generalizar FORTEMENTE as idéias anteriores (repare que não pedimos
mais que a função seja contı́nua, ou que ela seja positiva e vamos tomar uma
espécie de média entre as soma inferior e a soma superior) :
Definição 3.2. (Somas de Riemann)
Sejam f : [a, b] → IR uma função e P uma partição de [a, b] .
Uma SOMA DE RIEMANN de f em relação a P é qualquer soma R(f ; P ) da forma:
R(f ; P ) =
n
X
f (wi ) · ∆xi = f (w1 )∆x1 + f (w2 )∆x2 + . . . + f (wn )∆xn
i=1
com wi ∈ [xi−1 , xi ] para todo i = 1, 2, . . . , n .
A Integral Definida
127
Definição 3.3. (Integral Definida)
Uma função f : [a, b] → IR é dita INTEGRÁVEL NO INTERVALO [a, b] quando existe
o limite
X
lim
f (wi ) · ∆xi
kP k→0
i
Isto significa que quando fazemos as normas das partições tenderem a 0, as Somas de
Riemann correspondentes se aproximam tanto quanto quisermos de um número real bem determinado (o limite acima).
Este limite, quando existe, é denotado por
Z b
f (x) dx
a
e chamado a INTEGRAL DEFINIDA DE f , DE a ATÉ b.
Observações:
Z
c
f (x) dx = −
(A) Se c < d então definimos:
d
Z
(B)
d
Z
f (x) dx
(quando existir).
c
a
f (x) dx = 0 .
a
(C) Mais à frente em nossos estudos, será de FUNDAMENTAL IMPORTÂNCIA desenvolvermos um sistema qua nos permita CALCULAR as integrais de uma maneira mais simples,
direta e precisa, evitando assim aproximações tão trabalhosas como a do exemplo anterior.
Teorema 3.1. Se f : [a, b] → IR é contı́nua, então f é integrável em [a, b] .
Obs.: Funções descontı́nuas podem ser integráveis (veremos mais tarde). Apesar disso, estudaremos prioritariamente o cálculo de integrais definidas de funções contı́nuas nos intervalos
[a, b] de integração.
3.3
Propriedades da Integral Definida
• Se f é integrável em [a, b] e k ∈ IR (constante), então k · f é integrável em [a, b] e temos:
Z b
Z b
k · f (x) dx = k ·
f (x) dx
a
a
• Se f e g são integráveis em [a, b] então f + g é integrável em [a, b] e temos:
Z b
Z b
Z b
[f (x) + g(x)] dx =
f (x) dx +
g(x) dx
a
a
a
128
CAPÍTULO 3
• Se f é integrável em um intervalo fechado contendo a, b e c, então:
Z c
Z b
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
• Se f é integrável em [a, b] e f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] então
Z
b
f (x) dx ≥ 0
a
Conseqüencia: Se f e g são integráveis em [a, b] e f (x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] então
Z
b
b
Z
f (x) dx ≥
a
g(x) dx
a
• Se f (limitada) é integrável em [a, b] então |f | é integrável em [a, b] e temos:
Z b
Z b
|f (x)| dx
f (x) dx ≤
a
a
• Destacamos uma última propriedade sob a forma de um importante Teorema:
Teorema 3.2. (Teorema do Valor Médio para Integrais)
Se f é contı́nua em um intervalo [a, b], então existe um número z no intervalo aberto (a, b)
tal que
Z b
f (x) dx = f (z) · (b − a)
a
A Integral Definida
3.4
129
O Teorema Fundamental do Cálculo
Primitivas (Antiderivadas):
Definição 3.4. Dada uma função f , uma função F é chamada uma PRIMITIVA (ou ANTIDERIVADA) DE f EM X quando F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ X .
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f (x) = x .
Obs.: Se F1 e F2 são duas primitivas para f EM UM INTERVALO, então F1 − F2 é
constante NESTE INTERVALO.
(B) g : IR → IR dada por g(x) = x2 .
130
CAPÍTULO 3
(C) h : IR → IR dada por h(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) .
(D) f : IR → IR dada por f (x) = ex .
(E) g : (0, +∞) → IR dada por g(x) =
1
.
x
Exercı́cio: Mostre que G(x) = ln |x| é primitiva de g(x) = 1/x em IR − {0} .
(F) h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x .
(G) f : IR → IR dada por f (x) = sen x .
(H) g : IR → IR dada por g(x) = cos x .
(I) h : IR → IR dada por h(x) =
1
.
1 + x2
(J) f : IR → IR dada por f (x) = 2 cos 5x .
(K) g : IR − {0} → IR dada por g(x) = x2 − 3x +
(L) h : IR → IR dada por h(x) = e5x − 3 cos 3x .
1
− sen 2x .
x
A Integral Definida
131
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) :
Teorema 3.3. (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC) Seja f contı́nua no intervalo [a, b] .
PARTE I: Se a função G : [a, b] → IR é definida por
Z s
G(s) =
f (x) dx
a
então G é uma primitiva de f em [a, b].
PARTE II: Se F é uma primitiva de f em [a, b], então
b
Z
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Observações:
• De agora em diante, vamos adotar a seguinte notação:
F (x)
ib
= F (b) − F (a)
a
• O TFC é o principal resultado do nosso curso, pois constitui-se em uma “ponte” que
liga fortemente os dois assuntos estudados: derivadas e integrais.
Sua segunda parte é a FERRAMENTA que nos ajudará a calcular as integrais definidas
de uma maneira mais objetiva.
Z 3
x2 + 1 dx
Por exemplo:
0
Demonstração do TFC:
132
CAPÍTULO 3
A Integral Definida
Exemplos:
2
Z
4x3 − 5 dx
(A)
0
3
Z
|2x − 1| dx
(B)
0
3
1
dx
x2
e
1
dt
t
3
2x3 − 4x2 + 5
dx
x2
Z
(C)
1
Z
(D)
1
Z
(E)
1
π
Z
sen x dx
(F)
0
1
Z
4
dx
1 + x2
(G)
0
π
Z
(H)
sen 2x dx
0
π/3
Z
(I)
π/4
1 + sen x
dx
cos2 x
−1
Z
−
(J)
−5
2
dx
x
1
Z
5x dx
(K)
0
Z
2
(L)
−1
e3x dx
133
134
CAPÍTULO 3
3.5
Integrais Indefinidas
O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo de integrais definidas com a busca
de primitivas (antiderivadas) de uma função dada.
Vamos aproveitar essa relação para definir, de modo natural, uma nova NOTAÇÃO para
primitivas:
Z
f (x) dx = F (x) + C quando F 0 (x) = f (x)
Z
f (x) dx é chamada INTEGRAL INDEFINIDA DE f (x) e representa a primitiva
(antiderivada) mais geral de f .
Exemplos:
Z
(A)
3x dx =
Z
(B)
3x2
+C
2
1
1
dx = − + C
2
x
x
Z
sen x dx = − cos x + C
(C)
Z
(D)
1
dx = ln |x| + C , x 6= 0
x
Observações:
• NÃO CONFUNDA:
Z
0
A integral INDEFINIDA de f (x) = F (x) é uma função:
f (x) dx = F (x) + C .
Z
0
A integral DEFINIDA de f (x) = F (x) de a até b é um número:
f (x) dx = F (b)−F (a) .
a
Se F 0 (x) = f (x) em [a, b] temos:
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a) =
a
Z
• Dx
f (x) dx
a
f (x) dx
b
Z
Z
= f (x)
e
b
Dx [F (x)] dx = F (x) + C .
A Integral Definida
3.6
135
Mudança de variável na integração
Teorema 3.4. (Mudança de variável)
Se f é contı́nua em I ( intervalo) ⊃ g ( [a, b] ) e g 0 é contı́nua em [a, b] , temos:
Z
b
0
Z
g(b)
f (g(x)) · g (x) dx =
a
f (u) du onde u = g(x)
g(a)
Observações:
• Este resultado é aplicável quando queremos integrar uma função que é a composta de
uma função f com uma g, multiplicada (a menos de uma constante) pela derivada de g. Sua
utilização está ligada à nossa habilidade em reconhecer essa situação !
Z
• A notação dx que aparece nas integrais
f (x) dx é justificada quando utilizamos
este Teorema no seu formato mais “prático”.
• Este resultado tem um análogo para cálculo de integrais indefinidas.
136
CAPÍTULO 3
Exemplos:
Z
1
(x4 − 1)3 x3 dx
(A)
0
0
Z
(B)
−2
Z
x2
dx
(x3 − 2)2
4
√
(C)
1
1
√ dx
x·e x
A Integral Definida
2ex
dx
1 + ex
Z
(D)
√
Z
2/2
√
(E)
0
x
dx
1 − x4
Z
(F)
tg x dx
Z
ex (1 + cos ex ) dx
(G)
1
Z
2
x · 4x dx
(H)
0
Z
(I)
e1/x
dx
x2
137
138
CAPÍTULO 3
Exercı́cios:
A) Interpretando a integral definida como área sob o gráfico de uma função, determine diretamente quais devem ser os valores das integrais definidas abaixo, sem utilizar o Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC) ou a própria definição de integral (dada por limite de somas
de Riemann):
Z 2
Z 3√
9 − x2 dx
(2x + 6) dx
−3
0
Faça também um esboço gráfico de cada caso.
Obs.: Pode (e deve) “considerar” que a área de um cı́rculo de raio r é πr2 .
B) Pense na área sob o gráfico da curva y = x2 , entre x = 1 e x = 4 (faça um esboço),
Z 4
ou seja,
x2 dx . Não temos mais “figuras” tão regulares como no exercı́cio anterior !
1
Calcule essa área de duas maneiras distintas: (i) “No braço”: dividindo o intervalo em n partes
iguais e usando retângulos inscritos ou circunscritos para aproximar a área e depois fazendo
n → ∞ ; (ii) Via TFC ; Que tal ?
C) Mostre que a área sob a curva y =
1
entre x = 1 e x = e2 (faça um esboço) é igual a 2 (u.a.).
x
D) Calcule a área sob o gráfico de f (x) =
(x2
x
entre x = 1 e x = 2.
+ 1)2
E) Usando uma propriedade da integral definida e SEM CALCULAR as integrais, mostre que
Z 1
Z 1
Z 2
Z 2
3
2
3
x dx ≤
x dx e
x dx ≥
x2 dx
0
0
1
1
Ilustre com um esboço e por último confirme as desigualdades acima calculando as integrais.
Z
F) OBTENHA (SEM DERIVAR a integral indefinida)
sec x + tg x
Sugestão:
sec x dx = sec x ·
dx e aplique uma mudança de variáveis.
sec x + tg x
Z
1
G) Mostre (de alguma forma) que temos
sen x cos x dx = sen 2 x + C e que, por outro
2
Z
1
lado, também temos
sen x cos x dx = − cos2 x + D .
2
Z
Z
sec x dx = ln | sec x + tg x| + C
Explique como isto não representa incoerência alguma.
A Integral Definida
139
H) Uma função f : [−a, a] → IR é dita...
... PAR quando f (−x) = f (x) ∀x ∈ [−a, a] .
1
2
, e−x , etc.
2
1+x
Exemplos: cos nx (n = 0, 1, 2, . . .), −3x6 + x2 − 5 ,
... ÍMPAR quando f (−x) = −f (x) ∀x ∈ [−a, a] .
x
2
, e−x sen x , etc.
Exemplos: sen nx (n = 1, 2, . . .), x3 + 2x ,
2
1+x
Alguma observações e propriedades interessantes:
(1) O produto/quociente de duas funções pares (ou duas ı́mpares) é uma função PAR;
(2) O produto/quociente de uma função par por uma função ı́mpar (ou vice-versa) é uma
função ÍMPAR;
(3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
(4) O gráfico de uma função ı́mpar é simétrico em relação à origem O(0, 0) (ilustre);
(5) É óbvio que existem funções que não são pares nem são ı́mpares: ex , x2 + x, etc.
(6) Toda função f : [−a, a] → IR pode ser escrita como a soma de uma função par com uma
função ı́mpar (tente provar).
Consideremos agora f : [−a, a] → IR , contı́nua (portanto integrável).
Z
a
f (x) dx = 0 .
Mostre que se f é ÍMPAR, então
−a
Z
a
Mostre que se f é PAR, então
Z
f (x) dx = 2
−a
a
f (x) dx .
0
Sugestão: Em cada caso, separe em duas integrais, faça a mudança de variáveis y = −x
Z 0
em
f (x) dx e aplique propriedades da integral definida.
−a
Ilustre geometricamente os resultados obtidos, relacionando-os com as propriedades (3) e
(4) acima.
Calcule:
Z
π/2
Z
1
sen x cos x dx ;
−π/2
−1
3
x dx ;
Z
1
|x|
e
−1
Z
3
5
Z
π/4
x − 4x dx ;
dx ;
−3
−π/4
sen x
dx ;
cos4 x
140
CAPÍTULO 3
I) Calcule:
Z
3
(5 + x − 6x ) dx
1)
2)
−2
Z
√
Z
2r + 7 dr
3)
1
1/2
5)
−1/2
Z
1
√
dx
1 − x2
Z
9)
9
Z
2
4
(3x + 1) dx
6)
0
1
ex
dx
1 + e2x
Z
7)
4
Z
5
3
t + 2t dt
10)
Z
(e2x + e3x )2
dx
e5x
2
11)
(2x + 1)2
dx
2x
3
Z
Z
8)
13)
1
dx
4 + 9x2
Z
14)
4
√
dx
15)
5
√
3
12)
Z
2x − 1 dx
e−4x dx
Z
3
x ctg x csc x dx
Z
16x5
3
1
−4
Z
sec2 5x dx
4)
16)
ln x
dx
x
(4t+1)(4t2 +2t−7)2 dt
1
1
Z π/4
1
dx 19)
sen (3 − 5x) dx 20)
tg x sec2 x dx
17)
xe dx 18)
x log10 x
0
√
Z
Z
Z
Z
1
sec2 x
1 − sen x
2
2
√
√
21)
dx 22)
dx 23)
dx
x csc (3x +4) dx 24)
x + cos x
x
ex 1 − e−2x
Z
Z 6
Z
Z
ex
e2x
cos x
√
√
25)
dx 26)
|x − 4| dx 27)
dx
dx 28)
x
2
2x
(e + 1)
1−e
9 − sen 2 x
−3
Z
Z
Z
Z
1
x
x−2
(2 + ln x)3
29)
dx 30)
dx
31)
dx
32)
dx
cos 2x
x4 + 2x2 + 1
x2 − 4x + 9
x
Z z
Z
Z 5
Z 2 2
x2 + x
s +2
2
10
3
33) Dz
(x +1) dx 34)
dx 35)
x |x| dx 36)
ds
2
3
4
(4 − 3x − 2x )
s2
0
−5
1
Z
Z
Z
Z 4
sen 2 x
1
x
√
√
37)
dx 38)
dx 39)
ctg 6x sen 6x dx 40)
dx
2
sec x
x(1 + x)
x +9
0
Z 5
Z x
Z
Z π
e − e−x
sec(1/x)
|2x − 3| dx 42)
sen x cos x dx
41)
dx 43)
dx 44)
ex + e−x
x2
−1
π/6
Z
Z π/2
Z −1 3
Z
cos x
x +8
ex
5x
45) (x + e ) dx 46)
dx
47)
dx
48)
dx
1 + sen 2 x
x+2
cos ex
0
0
Z
Z 2
Z
Z
2x2 − 5x − 7
−5
−4
cos x+1
dx
49)
sen 2x tg 2x dx 50)
4u +6u du 51)
sen xe
dx 52)
x−3
1
Z
Z
Z
Z 3 3
sen 4x
2x − 4x2 + 5
2
ctg x
−3x
53) (csc x)2
dx 54)
dx 55) (1 + e ) dx 56)
dx
tg 4x
x2
1
Z 4
Z
Z
Z
1
sec x tg x
1
2 x3
√ √
57)
dx 58)
x 2 dx 59)
dx 60)
dx
2
3
1 + sec x
x ln x
x( x + 1)
1
Z
Z 2 2
Z 1
Z
x −1
2 3
2
3
61)
x(1 − 2x ) dx 62)
dx 63)
(t − 1) t dt 64)
ex tg ex dx
3 x−1
−1
Z
x2
Z
Z
A Integral Definida
Z
1
dx
x(ln x)2
141
Z
Z
1
Z
2 sen x
dx
1 + 3 cos x
−1
Z 4√ √
Z √x
Z
Z
√
e
x
tg 2 2x
√
√ dx 72)
dx 70)
3t( t + 3) dt 71)
69)
dx
sec 2x
x
36 − x2
0
Z
Z π/3
Z
Z
1
x
1
√
√
√
ctg x dx
73)
dx 76)
dx 74)
dx 75)
9 − 4x2
9 − 4x2
e2x − 25
−π/3
Z
Z
Z
Z 1
2x
e
2x+3
77)
x dx 78)
e
dx 80)
sec2 x(1 + tg x)2 dx
dx 79)
x
2 +1
0
Z
Z 1
Z 8√
Z π/2
(ex + 1)2
cos2 x
3
(2x − 3)(5x + 1) dx 82)
81)
dx 84)
s2 + 2 ds
dx 83)
x
e
sen
x
0
π/6
−8
Z 1
Z
Z
Z
1
x2 + 1
sen x
ex
85)
dx
87)
dx
88)
dx
dv
86)
2
ex + 1
x+1
cos2 x + 1
0 (3 − 2v)
Z
Z
Z 2 √
Z
tg e−3x
10x + 10−x
1
√
dx 90)
dx 91)
dx 92)
x2 x3 + 1 dx
89)
3x
x − 10−x
4
e
10
x x −1
0
Z
Z
Z 1
Z
1
sen x + 1
4
2
3
−1 2
dx 94) (t −t )(10t −5t) dt 95) (y+y ) dy 96)
dx
93)
cos x
−2 2x + 7
Z
Z
Z
Z
sec2 x
x−1
5
4
x x
97)
Dx (3x −7x +2x−8) dx 98)
5 e dx 99)
dx 100)
dx
2
2 tg x + 1
3x − 6x + 2
Z
Z
Z
Z 4
√
1
3
2
dx
101) (1+cos x) sen x dx 102) (x+csc 8x) dx 103)
5t + 1 dt 104)
2
0 x + 16
65)
Z
105)
1
Z
109)
2
x2 + 1
dx
x3 + 3x
x ctg x2 dx
3x
66)
10
Z
106)
Z
110)
dx
67)
3x
√
dx
3x + 4
1
dx
2
x + 2x + 1
2
x tg x dx
68)
π/4
Z
Z
2
107)
(1+sec x) dx
108)
ecos x
dx
csc x
Z
0
Z
111)
2
√
2/ 3
112)
1
dx
x x2 − 1
√
1
dx
x x6 − 4
√
142
CAPÍTULO 3
Respostas de exercı́cios
• Página 137:
G) ex + sen ex + C
3
2 ln 4
H)
I) −e1/x + C
• Páginas 138-141:
Z 2
(2x+6) dx = 25 (área de um triângulo)
A)
−3
B)
3
Z
√
9 − x2 dx =
0
n X
(i)
i=1
3i
1+
n
2
4
Z
3 n→∞
·
−→ 21
n
x3
x dx =
3
2
(ii)
1
4
=
1
9π
(1/4 de cı́rculo)
4
64 − 1
= 21
3
e2
Z 2
ie2
1
x
3
2
C)
dx = ln |x|
= ln e − ln 1 = 2
D)
dx =
2
2
x
20
1
1
1 (x + 1)
Z 1
Z 1
3
3
2
E) Se x ∈ [0, 1] então x ≤ x ⇒
x dx ≤
x2 dx
Z
0
3
Se x ∈ [1, 2] então x ≥ x
2
0
2
Z
Z
3
Z
F)
sec x dx =
x2 dx
x dx ≤
⇒
1
1
Z
2
sec x + tg x
sec x ·
sec x + tg x
Z
dx =
sec2 x + sec x tg x
dx =
sec x + tg x
Z
1
du = . . .
u
(Mudança de variável: u = sec x + tg x )
d
G)
dx
d
dx
1
sen 2 x + C
2
1
− cos2 x + D
2
=
1
· 2 · sen x · cos x = sen x · cos x
2
=−
1
· 2 · cos x · (− sen x) = sen x · cos x
2
Não há incoerência alguma, pois funções deste tipo diferem por uma constante:
1
1
1
1
2
2
sen x + C − − cos x + D =
sen 2 x + cos2 x + C − D =
+C −D
2
2
2
2
Z
π/2
H)
Z
1
|x|
e
−1
3
x dx = 2
sen x cos x dx = 0
−π/2
Z
1
−1
Z
1
x
0
1
3
x dx = 2
0
Z
3
e dx = 2(e − 1)
dx = 2
Z
5
1
x3 dx =
0
Z
π/4
x − 4x dx = 0
−3
Z
−π/4
sen x
dx = 0
cos4 x
1
2
A Integral Definida
1) −
I)
85
2
143
98
3
2)
3)
2x − 2−x + 2x ln 2
+C
ln 2
cos(3 − 5x)
+C
5
27) −
30) −
20)
1
2
1
ctg (3x2 + 4) + C
6
√
1 − e2x + C
24) ln |x + cos x| + D
28) arc sen
1
+C
2
2(x + 1)
31)
sen x 3
35) 0 (zero)
39)
sen 6x
+C
6
37
2
49)
1
8
45)
41)
x2 e5x
+
+C
2
5
π
4
1
sen 2x
ln |sec 2x + tg 2x|−
+C
2
2
2 ctg x
53) −
+C
ln 2
+D
sen 4x
54)
+D
4
50)
43
16
62) −
7
2
67) 0 (zero)
63) 0 (zero)
68) −
2
ln |1 + 3 cos x| + C
3
37)
16
3
sen 3 x
+D
3
33) (z 2 + 1)10
38) 2 arc tg
x
x+E
48) ln |sec ex + tg ex | + D
65) −
√
56)
52) x2 +x−4 ln |x − 3|+E
10
3
57)
5
36
(1 − 2x2 )4
61) −
+F
16
1
+D
ln x
36 − x2 + D
66)
103x
+E
3 ln 10
70) 8(2 +
√
3)
1
sen 2x
1
2x
71) 2e + C
72) ln |sec 2x + tg 2x| −
+D
73) arc sen
+E
2
2
2
3
x
1√
1
e
xe+1
2
74) −
9 − 4x + C
75) arc sec
+D
76) 0 (zero)
77)
+E
4
5
5
e+1
√
√
43) − ln |sec(1/x) + tg (1/x)| + E
60) ln |ln x| + E
69) −
53
2
(2 + ln x)4
+E
4
51) −ecos x+1 +D
64) − ln |cos ex | + C
26)
32)
e−3x
55) x −
+E
3
59) arc tg (sec x) + D
1
+E
+1
1
ln |sec 2x + tg 2x| + E
2
3
2x
58)
+C
3 ln 2
ex
x+E
29)
36) 2
47) −
√
22) 2 tg
42) ln ex + e−x + D
46)
18) ln 10 · ln |log10 x| + E
25) −
1 2
ln x − 4x + 9 + D
2
1
+C
18(4 − 3x2 − 2x3 )3
40) 2
2
ex
17)
+D
2
21) arc cos e−x + D
34)
44) −
π
3
8)
1
(ln x)2
csc x3 + C
12)
+D
3
2
√
3
3 939 −1
(4t2 + 2t − 7)
15)
16)
+C
8
6
11) −
23) −
5)
e8 − 1
(3x + 1)5
+D
10) 0 (zero)
9)
4e12
15
1
3x
1016
13) arc tg
+E
14)
6
2
7
7) ex + 2x − e−x + C
6) arc tg e − arc tg 1
19)
tg 5x
+D
5
4)
144
78)
CAPÍTULO 3
1
ln |2x + 1|+C
ln 2
√
√
83) −ln(2− 3 )− 23
84)
52
9
96)
ln 3
2
e5 − e3
2
352
5
80)
85)
(1 + tg x)3
+D
3
1
3
37
6
82) ex +2x−e−x +E
87)
x2
−x+2 ln |x + 1|+D
2
81) −
86) ln(ex +1)+C
1
ln |cos e−3x |
ln |10x − 10−x |
arc sec(x2 )+D 90)
+E 91)
+F
2
3
ln 10
4
2 2
3
sec x + tg x + C 94) 5(t − t ) + D 95) y + 2y − 1 + E
93) ln cos x
4
3
y
88) − arc tg (cos x)+C
92)
79)
89)
97) 3x5 − 7x4 + 2x − 8 + C
98)
100)
1 2
ln 3x − 6x + 2+C
6
101) −cos x−
103)
3
(5t + 1)4/3 + C
20
π
16
107)
√
π
+ 1 + ln(3 + 2 2)
4
cos x
111) − e
+C
104)
108)
1
112) arc sec
6
105)
π
6
cos3 x
+D
3
ln 7 − ln 2
3
109)
x3
2
5x ex
+D
1 + ln 5
+D
99)
102)
106)
1
ln |2 tg x + 1| + E
2
x2 1
+ ln |csc 8x − ctg 8x|+E
2 8
2 √ x
3 +4+D
ln 3
1 ln sen x2 + C
2
110) −
1
+D
x+1
Capı́tulo 4
Técnicas de integração
4.1
Integração por partes
Aplicável quando temos produtos de funções “bem conhecidas” :
Teorema 4.1. Sejam f e g funções com derivadas contı́nuas em [a, b]. Temos:
Z b
Z b
ib
0
f (x).g (x) dx = f (x).g(x)
−
f 0 (x).g(x) dx
a
a
a
Demonstração:
Para todo x ∈ [a, b] , temos (da Regra do Produto para derivadas):
(f.g)0 (x) = f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x)
Isto significa que f.g é uma primitiva para f 0 .g + f.g 0 em [a, b] .
Segue portanto do TFC (Parte II) que
Z b
ib
[f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x)] dx = f (x).g(x)
a
a
Das propriedades da integral, temos:
Z b
Z b
Z b
0
0
0
[f (x).g(x) + f (x).g (x)] dx =
f (x).g(x) dx +
f (x).g 0 (x) dx
a
a
Portanto:
Z
b
0
f (x).g (x) dx = f (x).g(x)
a
145
a
ib
a
Z
−
a
b
f 0 (x).g(x) dx
146
CAPÍTULO 4
Observações:
0
1) De um modo “prático”, fazemos u = f (x) e dv = g (x) dx
e usamos:
Z
Z
u dv = u.v −
v du
dv
= g 0 (x) ⇒ v = g(x)
dx
2) O mesmo processo também funciona para integrais indefinidas.
Exemplos:
Z
(A)
1
x.e2x dx
0
Z
(B)
ln x dx
Z
(C)
x2 .ex dx
Técnicas de integração
147
π
Z
ex . sen x dx
(D)
0
Z
sec3 x dx
(E)
π/4
Z
x. sec2 x dx
(F)
π/6
1
Z
x3 .e−x dx
(G)
0
Z
e4x . sen 5x dx
(H)
π/2
Z
(I)
x. sen 2x dx
0
Z
x.2x dx
(J)
π2
Z
(K)
sen
√
x dx
(Sugestão: faça antes a mudança de variável z =
0
Z
(L)
(x + 1)10 .(x + 2) dx
√
x )
148
CAPÍTULO 4
4.2
Algumas integrais trigonométricas
Integrais imediatas:
Z
Z
sen u du = − cos u + C
Z
Z
cos u du = sen u + C
Z
2
csc u du = − ctg u+C
sec2 u du = tg u + C
Z
sec u. tg u du = sec u+C
Z
csc u. ctg u du = − csc u+C
Z
tg u du = − ln |cos u| + C
Z
ctg u du = ln | sen u| + C
Z
sec u du = ln |sec u + tg u| + C
csc u du = ln |csc u − ctg u| + C
(A) Potências ı́mpares de sen ou cos :
- Isolamos um fator, que fica então multiplicado por uma potência PAR;
- Usando a relação sen 2 + cos2 = 1 , desenvolvemos a potência par em função do outro
tipo de função trigonométrica;
- Aplicamos uma mudança de variável (imediata).
Exemplos:
Z
Z
cos3 x dx
5
sen x dx
Z
5
cos 3x dx
Z
sen 3 2x dx
Técnicas de integração
149
(B) Potências pares de sen ou cos :
- Utilizamos as fórmulas sen 2 x =
1 − cos 2x
1 + cos 2x
ou cos2 x =
para simplificar.
2
2
Exemplos:
Z
Z
sen 4 x dx
Z
2
cos 2x dx
cos6 x dx
Z
(C) Integrais da forma
sen m x. cosn x dx :
- Utilizamos as (duas) técnicas anteriores para resolver o problema.
Exemplos:
Z
Z
sen 3 x. cos4 x dx
2
2
sen x. cos x dx
Z
cos4 x. sen 2 x dx
150
CAPÍTULO 4
(D) Integrais das formas:
Z
Z
Z
sen mx. cos nx dx ,
cos mx. cos nx dx ,
sen mx. sen nx dx
- Utilizamos as conhecidas (?) fórmulas de transformação de produtos em somas:
sen (a + b) + sen (a − b)
2
cos a. cos b = ? (Exercı́cio)
sen a. cos b =
sen a. sen b = ? (Exercı́cio)
Exemplos:
Z
sen 3x. cos 2x dx
Z
Z
sen 5x. sen 3x dx
cos 2x. cos 3x dx
Z
(E) Integrais da forma
tg m x. secn x dx :
- n par: tg m x. secn x = tg m x. secn−2 x. sec2 x , sec2 = 1 + tg 2 em secn−2 x e a mudança
de variável u = tg x ;
- m ı́mpar: tg m x. secn x = tg m−1 x. secn−1 x. sec x. tg x , sec2 = 1 + tg 2 em tg m−1 x e a
mudança de variável u = sec x ;
- m par e n ı́mpar: Tentar outras coisas, como integração por partes, etc.
Z
- Obs.: Tratamento análogo para integrais da forma
ctg m x. cscn x dx .
Exemplos:
Z
Z
tg 3 x. sec3 x dx
4
sec x dx
Z
3
4
tg x. sec x dx
Z
3
3
ctg x. csc x dx
Z
tg 4 x dx
Técnicas de integração
151
Algumas integrais trigonométricas para exercitar:
Z
√
Z
3
Z
5
sen x cos x dx
1
tg 2
tg x. sec x dx
0
Z
Z
2
Z
( tg x + ctg x) dx
Z
sen 5x. sen 3x dx
π/4
sec2 x
dx
(1 + tg x)2
Z
3
sen x dx
0
Z
4
Z
2
sen x. cos x dx
4.3
Z
Z
6
πx 4
dx
tg 2 x − 1
dx
sec2 x
sec x
dx
ctg 5 x
sen 5 x. cos2 x dx
tg x dx
Substituições trigonométricas
Aplicáveis sobretudo a integrais envolvendo expressões como
√
a2 − x 2
a2 + x 2
,
√
x 2 − a2
(a > 0)
Variação de θ (∗ )
Lembrete
x = a. sen θ
−π/2 ≤ θ ≤ π/2
cos2 = 1 − sen 2
a2 + x2
x = a. tg θ
−π/2 < θ < π/2
sec2 = 1 + tg 2
x 2 − a2
x = a. sec θ
θ ∈ [0, π/2) ∪ [π, 3π/2)
tg 2 = sec2 −1
a2 − x 2
√
√
√
Substituição
trigonométrica
Expressão envolvida
√
,
(∗ ) Se a expressão envolvida está no denominador de um quociente, devemos evitar “divisão por 0” .
152
CAPÍTULO 4
Exemplos:
Z
1
√
dx
(A)
x 4 − x2
Z
(B)
√
1
dx
9 + x2
Técnicas de integração
Z √
(C)
153
x2 − 1
dx
x
Observações:
√
√
√
1) Podem surgir situações com a2 − x2 , a2 + x2 , x2 − a2 nas quais outras técnicas
sejam mais diretas.
Z
x
√
Exemplo: Calcule
dx (Sugestão: Faça a mudança u = 1 + x2 )
2
1+x
2) Esta técnica de substituição trigonométrica também é usada em situações nas quais
aparecem a2 − x2 , a2 + x2 ou x2 − a2 .
Z
1
dx (Sugestão: x = tg θ )
Exemplo: Calcule
2
(x + 1)2
Exercı́cio: Calcule
Z
x2
√
dx
4 − x2
Z √
x2 + 1
dx
x
Z
√
x 9 + x2 dx
Z
x4
√
1
dx
x2 − 4
154
CAPÍTULO 4
4.4
Integrais de funções racionais (Frações Parciais)
Z
Caso (A): Integrais da forma
A
dx (m = 1, 2, 3, . . .)
(px + q)m
- Basta fazer a mudança de variável u = px+q e resolver a integral mais simples resultante.
Exemplos:
Z
3
dx
(2x + 5)2
Z
1
dx
x−4
Obs.: Nestas integrais, estamos sempre considerando valores de x tais que as funções
estejam bem definidas (denominadores não-nulos, logarı́tmos de números positivos, etc.)
Z
Caso (B): Integrais da forma
Ax + B
dx
(ax2 + bx + c)n
(n ∈ IN), com
ax2 + bx + c irredutı́vel, ou seja, sem raı́zes reais (∆ = b2 − 4ac < 0)
- “Completar quadrados” no denominador e obter
Z
1
Ax + B
dx , γ > 0
K
((αx + β)2 + γ)n
- Fazer a mudança de variável u = αx + β e “cair” numa integral da forma
Z
A0 u + B 0
du , γ > 0 ,
(u2 + γ)n
a qual pode ser resolvida com técnicas anteriores.
Técnicas de integração
155
Exemplo:
Z
x+5
dx
x2 + 6x + 13
Obs.: Se n ≥ 2 pode ser necessária uma substituição trigonométrica para resolver
Z
A0 u + B 0
du
(u2 + γ)n
Z
Ex.:
(4x2
1
dx
− 4x + 2)2
Z
Caso (C): (Frações parciais) Integrais da forma
f (x)
dx , sendo
g(x)
f e g polinômios tais que grau (f ) < grau (g)
- Fatorando o denominador g(x) , obtemos sua decomposição como produto de fatores dos
tipos px + q e/ou ax2 + bx + c (irredutı́veis). Qualquer polinômio pode ser decomposto desta
forma.
- Agrupam-se os fatores repetidos, obtendo-se assim uma decomposição em fatores dos
tipos (px + q)m e/ou (ax2 + bx + c)n .
- A cada fator do tipo (px + q)m , m ≥ 1 , corresponderá uma soma de m FRAÇÕES
PARCIAIS da forma:
A1
A2
Am
+
+ ... +
2
px + q (px + q)
(px + q)m
156
CAPÍTULO 4
- A cada fator do tipo (ax2 + bx + c)n , n ≥ 1 , ∆ = b2 − 4ac < 0 , corresponderá uma
soma de n FRAÇÕES PARCIAIS da forma:
A1 x + B1
A2 x + B2
An x + Bn
+
+
.
.
.
+
ax2 + bx + c (ax2 + b + c)2
(ax2 + bx + c)n
- Desta forma, podemos decompor o quociente f (x)/g(x) numa soma de frações parciais
tı́picas dos casos (A) e (B) vistos anteriormente e podemos então resolver as integrais resultantes.
Exemplos:
Z
6x − 9
dx
(A)
x2 − 1
Z
x2 + x + 2
dx
(x + 3)(x + 1)2
Z
5x3 − 3x2 + 7x − 3
dx
(x2 + 1)2
(B)
(C)
Técnicas de integração
157
Z
Caso (D): Integrais da forma
f (x)
dx , sendo f e g polinômios
g(x)
tais que grau (f ) ≥ grau (g)
- Decompor f da seguinte forma: f (x) = h(x).g(x) + r(x) , com grau (r) < grau (g) .
(esta decomposição é obtida dividindo f por g: r é o resto)
- Temos então
f (x)
h(x).g(x) + r(x)
r(x)
=
= h(x) +
g(x)
g(x)
g(x)
Z
r(x)
h(x) é polinômio (fácil de integrar) e
dx é o caso (C), pois grau (r) < grau (g) .
g(x)
Exemplos:
Z
x3 + 3x − 2
dx
x2 − x
Z
x5
dx
(x2 + 4)2
Z
x6 − x3 + 1
dx
x4 + x2
(A)
(B)
(C)
158
CAPÍTULO 4
Exercı́cio: Calcule
Z
5x − 12
dx
x(x − 4)
Z
4.5
Z
2x2 − 12x + 4
dx
x3 − 4x2
x4 + 2x2 + 4x + 1
dx
(x2 + 1)3
Z
Z
2x3 + 10x
dx
(x2 + 1)2
9x4 + 17x3 + 3x2 − 8x + 3
dx
x5 + 3x4
Z
x3 − 6x2 + 5x − 3
dx
x2 − 1
Integrais impróprias
Até agora temos calculado integrais definidas de funções contı́nuas em intervalos limitados.
Veremos a seguir duas situações extraordinárias, as quais caracterizam as chamadas INTEGRAIS IMPRÓPRIAS.
1a Situação: Integrais com limites de integração INFINITOS:
• Seja f uma função contı́nua em [a, +∞) . Definimos
Z +∞
Z t
f (x) dx = lim
f (x) dx (desde que exista o limite)
a
t→+∞
a
• Se f é contı́nua em (−∞, a] . Definimos
Z a
Z a
f (x) dx = lim
f (x) dx
−∞
t→−∞
(desde que exista o limite)
t
Em cada um dos casos acima, as expressões à esquerda são chamadas INTEGRAIS IMPRÓPRIAS.
Quando os limites existem, dizemos que as integrais CONVERGEM. Caso contrário, dizemos que elas DIVERGEM.
Exemplos:
Z
(A)
1
+∞
1
dx
x2
Técnicas de integração
+∞
Z
(B)
1
159
1
dx
x
0
Z
ex dx
(C)
−∞
• Se f é contı́nua em toda a reta, definimos:
Z +∞
Z a
Z
f (x) dx =
f (x) dx +
−∞
−∞
+∞
f (x) dx
(a ∈ IR)
a
dizemos que esta integral imprópria CONVERGE quando ambas as integrais
Z +∞ à direita
f (x) dx
convergem. Caso contrário (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que
−∞
DIVERGE.
Z
+∞
Obs.: A verificação da convergência ou não de
f (x) dx não depende do número a
−∞
escolhido.
Z
+∞
f (x) dx não é o mesmo que
CUIDADO:
−∞
Exemplos:
Z
+∞
(A)
−∞
Z
1
dx
1 + x2
t
lim
t→+∞
f (x) dx !!!
−t
160
CAPÍTULO 4
+∞
Z
ex dx
(B)
−∞
Exercı́cio: Verifique a convergência das seguintes integrais impróprias:
Z
+∞
1
x4/3
1
Z
+∞
−∞
Z
a
2 Situação:
Z
0
dx
−∞
Z
x
dx
4
x +9
0
+∞
x.e
+∞
Z
1
dx
(x − 1)3
Z
−x
+∞
dx
1
0
x
dx
1 + x2
ln x
dx
x
b
f (x) dx , f com descontinuidade infinita em [a, b] :
a
• Se f é contı́nua em [a, b) e se torna infinita em b, definimos
Z
b
f (x) dx = lim−
t→b
a
t
Z
f (x) dx
a
• Se f é contı́nua em (a, b] e se torna infinita em a, definimos
Z
a
b
Z
f (x) dx = lim+
t→a
b
f (x) dx
t
Em cada um destes casos, as expressões à esquerda também são INTEGRAIS IMPRÓPRIAS.
Dizemos que elas CONVERGEM quando os limites existem. Caso contrário elas DIVERGEM.
Exemplos:
Z
(A)
0
1
1
dx
x
Técnicas de integração
1
Z
(B)
0
1
dx
x2
2
Z
√
3
(C)
0
Z
161
1
dx
2−x
1
(D)
ln x dx (Exercı́cio)
0
• Se f é contı́nua em [a, b] − {c} , c ∈ (a, b) , definimos
Z
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx
c
Esta integral, também IMPRÓPRIA, CONVERGE quando ambas as integrais
Z b à direita
f (x) dx
convergem. Caso contrário (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que
DIVERGE.
a
Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando diretamente o TFC se houver descontinuidade no
(interior do) intervalo de integração!
Exemplos:
Z
2
(A)
−2
1
dx
(x + 1)3
162
CAPÍTULO 4
Z
1
x−2/3 dx (Exercı́cio)
(B)
−1
Exercı́cio: Verifique a convergência (e calcule o valor, quando convergir) das seguintes
integrais impróprias:
Z 1
Z 8
Z 1
Z 1
Z π/2
1
1
2
√
x−4/3 dx
x. ln x dx
dx
sec x dx
dx
3
2
x
x
−1
0
−3
0
0
Z
0
1
√
e x
√ dx
x
Z
1
2
Z
x
dx
2
x −1
Exercı́cio: Calcule:
Z
Z
1)
x sen x dx 2)
sec6 x dx
0
π
cos x
√
dx
1 − sen x
Z
2
4
x2
x−2
dx
− 5x + 4
Z
1
2x4 − 2x3 + 6x2 − 5x + 1
√
3)
dx 4)
dx
x3 − x2 + x − 1
x 9 + x2
Z
Z +∞
Z 2
Z
1
1
x
5)
dx 6)
dx 7)
dx 8)
x2 e3x dx
3
3/4
2
2
x+x
x
1
0 (x − 1)
Z
Z 9
Z
Z
√
x
5x2 − 10x − 8
5
x
x
√
dx
9)
tg x sec x dx 10)
dx
11)
e
1
−
e
dx
12)
3
x3 − 4x
x−1
0
Z
Z
Z
Z +∞
1
2
√
cos x dx 16)
x(ln x)2 dx
13)
x sec x tg x dx 14)
dx 15)
x3 x2 − 25
−∞
Z
Z
Z
Z π/2
x3
7
1+ln 5x
√
17)
cos x dx 18)
e
dx 19)
dx 20)
tg x dx
16 − x2
0
Z
Z
Z
Z
√
5x2 + 11x + 17
e3x
x
21)
x ln x dx 22)
dx
23)
dx
24)
dx
x3 + 5x2 + 4x + 20
1 + ex
(16 − x2 )2
Z +∞
Z
Z 1
Z
1
ln x
3
2
25)
dx 26)
cos 2x sen 2x dx 27)
dx 28)
e−x sen x dx
2−1
x
x
3
0
Z
Z
Z
Z 9
1
e tg x
4x3 − 3x2 + 6x − 27
4
4
√ dx
29)
dx 30)
dx 31)
csc x ctg x dx 32)
2
4
2
cos x
x + 9x
x
0
Z
Z
Z
Z
x
1
√
33)
dx 34)
tg 2 x sec x dx 35) (ln x)2 dx 36)
dx
2
25 − 9x
x2 x2 + 9
Z +∞
Z
Z 2
Z +∞
x + 3x + 1
1
−2x
x
2 x
√ dx
37)
e
dx 38)
e sec (e ) dx 39)
dx 40)
4
2
x + 5x + 4
x x
0
4
Z
Z
Z
Z e
1
41)
sen 2 x cos5 x dx 42)
arc tg x dx 43) (x2 + 1) cos x dx 44)
dx
2
1/e x(ln x)
Z
Técnicas de integração
163
Z
√
1
√
45)
sen x cos x dx 46)
x arc sen x dx 47)
dx 48)
x5 x3 + 1 dx
x 25x2 − 16
Z
Z
Z
Z 0
√
3x3 − 12x2 − 37x − 34
1
2 −4x
49)
cos x dx 50)
dx
51)
x
e
dx
52)
dx
2
(x − 6)(x − 2)
−∞ x − 3x + 2
Z +∞
Z 2
Z
Z
1
1
53)
dx 54)
dx 55)
sen 2x cos x dx 56)
e3x cos 2x dx
x
−x
3
−∞ e + e
−2 (x + 1)
Z
Z
Z
Z
cos3 x
1
1
4x
√
√
dx 59)
dx
dx 58)
dx 60)
57)
2
3
(x + 1)
x ln x(ln x − 1)
sen x
4x2 − 25
Z
Z
Z
Z +∞
x3
3
61)
cos x dx 64)
dx 62)
sen (ln x) dx 63)
dx
3
2
2
x − 3x + 9x − 27
x − 6x + 18
0
Z π
Z 2
Z 3
Z 1
1
x + 3x2 + 3x + 63
x3
√
√
x sen 2 x dx
dx 68)
65)
dx 66)
dx 67)
2 − 9)2
2
2
(x
x +1
−π
1 x x −1
0
Z
Z
Z π/2
Z 2
1
1
1−x
2x + 3
69)
dx
70)
dx
71)
dx
72)
dx
2
(x2 − 1)3/2
x2 + 4
1 − cos x
0
0 x + 3x + 2
Z
Z
Z
Z √
√
4 − x2
2
3
2
73) (1+ cos x ) sen x dx 74)
dx
tg x sec x dx 75)
x arc tg x dx 76)
x2
Z π
Z +∞
Z
Z
3 x
37 − 11x
2
77)
cos x dx 78)
dx 79)
ctg (3x) dx 80)
dx
2
1+x
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
0
1
Z 4
Z π/4
Z
Z
1
(x2 − 1)2
99
dx 83)
dx 84)
sec x tg x dx
81)
x(2x+3) dx 82)
2
x
0 x −x−2
−π/4
Z 4
Z
Z
Z
x + 2x2 + 3
12x3 + 7x
2
3 1/3
85)
dx 86)
x (8−x ) dx 87)
dx 88)
arc sen x dx
x3 − 4x
x4
Z √
Z +∞
Z 1
Z
x
x
2
ln(1 + x) dx 90)
dx 91)
9 − 4x dx 92)
dx
89)
2
csc(3x )
(1 + x2 )2
1
0
Z
Z
Z
Z 1
x3 + 1
1
93)
dx 94)
dx 95)
sen x ln(cos x) dx 96)
e3|x| dx
x(x − 1)3
(x − 7)5
−1
Z −1
Z 1 √
Z 5
Z
1
x − x3 + 1
x
97)
dx
98)
e
dx 100)
x2 ln x dx
dx
99)
5/4
3 + 2x2
(x
+
2)
x
−2
0
Z π/4
Z
Z 0
Z
(4 + x2 )2
e2x
x
101)
cos x cos 5x dx 102)
dx
103)
xe
dx
104)
dx
x3
1 + e4x
0
−∞
Z +∞
Z 1
Z 1
Z
−x2
2
3 −x2
105)
xe
dx 106)
x sen x dx 107)
xe
dx 108)
sen x10cos x dx
Z
3
2
−∞
Z
−1
Z
109)
Z
0
Z
tg 4x cos 4x dx
110)
0
4
1
dx
(4 − x)3/2
Z
111)
4x3 + 2x2 − 5x − 18
dx
(x − 4)(x + 1)3
164
CAPÍTULO 4
Respostas de exercı́cios
• Página 147:
√
π
π 3
1
F)
−
+ (ln 2 − ln 3)
4
18
2
sec x tg x + ln |sec x + tg x|
E)
+C
2
H)
4 sen 5xe4x − 5 cos 5xe4x
+C
41
I)
π
4
J)
(x ln 2 − 1)2x
+D
(ln 2)2
G)
6e − 16
e
K) 2π
(11x + 23)(x + 1)11
+C
L)
132
• Página 148:
Z
2 cos3 x cos5 x
sen 5 x dx = − cos x +
−
+C
3
5
Z
sen 5 3x
sen 3x 2 sen 3 3x
−
+
+C
cos5 3x dx =
3
9
15
Z
cos 2x cos3 2x
sen 3 2x dx = −
+
+C
2
6
• Página 149:
Z
sen 4x
x
+
+C
cos2 2x dx =
2
8
Z
5x
sen 2x 3 sen 4x
sen 3 2x
cos6 x dx =
+
+
−
+C
16
4
64
48
Z
Z
x
sen 4x
x
sen 4x
sen 3 2x
2
2
sen x cos x dx =
−
+C
cos4 x sen 2x dx =
−
+
+D
8
32
16
64
48
• Página 150:
Z
Z
sen 2x
sen 8x
sen 5x
sen x
sen 3x sen 5x dx =
−
+C
cos 2x cos 3x dx =
+
+D
4
16
10
2
Z
Z
tg 3 x
tg 4 x
tg 6 x
4
sec x dx = tg x +
+C
tg 3 x sec4 x dx =
+
+D
3
4
6
Z
csc3 x csc5 x
3
3
ctg x csc x dx =
−
+C
3
5
Z
tg 3 x
tg 4 x dx = x − tg x +
+C
3
Técnicas de integração
165
• Página 151:
Z
√
√
√
2 sen 3 x 2 sen 7 x
sen x cos x dx =
−
+C
3
7
3
Z 1
4−π
sec5 x 2 sec3 x
2 πx
tg
−
+ sec x + C
dx =
tg x sec x dx =
5
3
4
π
0
Z
Z
sen 2x
sen 8x
2
( tg x + ctg x) dx = tg x − ctg x + C
sen 5x sen 3x dx =
−
+D
4
16
√
Z
Z π/4
tg 2 x − 1
sen 2x
8−5 2
3
dx = −
+C
sen x dx =
sec2 x
2
12
0
Z
Z
sec x
sec2 x
sec5 x 2 sec3 x
1
+
D
dx
=
−
+ sec x + C
dx
=
−
(1 + tg x)2
1 + tg x
ctg 5 x
5
3
Z
x
sen 4x
sen 2 2x
sen 4 x cos2 x dx =
−
−
+C
16
64
48
Z
cos3 x 2 cos5 x cos7 x
+
−
+D
sen 5 x cos2 x dx = −
3
5
7
Z
tg 3 x
tg 5 x
tg 6 x dx = −x + tg x −
+
+C
3
5
Z
5
• Página 153:
x x√4 − x2
x2
√
−
+C
dx = 2 arc sen
2
2
4 − x2
Z √ 2
√
x +1
x
+ x2 + 1 + C
dx = ln √
x
x2 + 1 + 1 √
Z
1
(x2 + 2) x2 − 4
√
+D
dx =
24x3
x4 x2 − 4
Z
Z
√
x 9 + x2 dx =
p
(9 + x2 )3
+D
3
• Página 158:
Z
5x − 12
dx = 3 ln |x| + 2 ln |x − 4| + C
x(x − 4)
Z
2x2 − 12x + 4
3 ln |x − 4| 11 ln |x|
1
dx
=
−
+
+
+C
x3 − 4x2
4
4
x
Z
9x4 + 17x3 + 3x2 − 8x + 3
2
3
1
dx = 4 ln |x + 3| + 5 ln |x| − + 2 − 3 + C
5
4
x + 3x
x
2x
3x
166
CAPÍTULO 4
Z
x4 + 2x2 + 4x + 1
1
dx = arc tg x − 2
+C
2
3
(x + 1)
(x + 1)2
Z
2x3 + 10x
4
+C
dx = ln(x2 + 1) − 2
2
2
(x + 1)
x +1
Z
x3 − 6x2 + 5x − 3
x2
15 ln |x + 1| 3 ln |x − 1|
dx
=
− 6x +
−
+C
2
x −1
2
2
2
• Página 160:
Z +∞
Z 0
1
1
1
(converge)
dx
=
3
(converge)
dx
=
−
3
x4/3
2
1
−∞ (x − 1)
Z +∞
Z +∞
x
x
dx = 0 (converge)
dx diverge
2
4
1+x
0
−∞ x + 9
Z +∞
Z +∞
ln x
−x
dx diverge
xe dx = 1 (converge)
x
0
1
• Páginas 161-162:
Z 1
161-D)
ln x dx = −1 (converge)
0
Z
1
162-B)
x−2/3 dx = 6 (converge)
−1
• Página 162:
Z 8
1
√
dx = 6 (converge)
3
x
0
Z
Z
−3
π/2
sec x dx
0
1
x
−4/3
2
1
Z
2
x
dx
2
x −1
4
x2
π
0
diverge
√
Z
diverge
x−2
dx
− 5x + 4
(converge)
0
diverge
−1
Z
1
1
4
e x
√ dx = 2(e − 1) (converge)
x
Z
dx
diverge
x. ln x dx = −
diverge
0
Z
1
dx
x2
1
Z
2
1
√
cos x
dx = 0 (converge)
1 − sen x
Técnicas de integração
167
• Páginas 162-163:
1) sen x − x cos x + C
4) x2 +
8)
2 tg 3 x
tg 5 x
2) tg x +
+
+D
3
5
3 ln(x2 + 1)
+ ln |x − 1| + C
2
x2 e3x 2xe3x 2e3x
−
+
+C
3
9
27
9)
5) −
√
1 9 + x2 − 3 3) ln +E
3 x
ln(x2 + 1)
+ ln |x| + D
2
sec5 x
+D
5
10)
6) diverge
243
(converge)
10
11) −
7) diverge
2(1 − ex )3/2
+E
3
12) 2 ln |x| + 4 ln |x + 2| − ln |x − 2| + C
13) x sec x − ln |sec x + tg x| + D
x 5√x2 − 25 1
2(x ln x)2 − 2x2 ln x + x2
14)
arc sec
+
+C
15)
diverge
16)
+D
250
5
x2
4
√
3 sen 5 x
sen 7 x
5ex2
(x2 + 32) 16 − x2
3
−
+C
18)
+D
19) −
+E
17) sen x − sen x +
5
7
2
3
x
(6 ln x − 4)x3/2
1
20) diverge
21)
+C
22) ln(x2 + 4) + arc tg
+ 3 ln |x + 5| + D
9
2
2
23)
(1 + ex )2
− 2(1 + ex ) + ln(1 + ex ) + C
2
26)
sen 3 2x
sen 5 2x
−
+C
6
10
30)
2 ln |x|
3
5 ln(x2 + 9)
+ +
+C
3
x
3
ln |25 − 9x2 |
+C
18
27) diverge
24)
28)
31) −
1
+D
2(16 − x2 )
25)
ln 2
(converge)
2
−e−x ( sen x + cos x)
+D
2
ctg 5 x
ctg 7 x
−
+D
5
7
29) e tg x + E
32) 6 (converge)
sec x tg x ln |sec x + tg x|
1
−
+ D 37)
(converge)
2
2
2
√
x2 + 9
2
35) x(ln x) − 2x ln x + 2x + C 36) −
+ D 38) tg (ex ) + E 40) 1 (converge)
9x
2
x 1
x +1
sen 3 x 2 sen 5 x
sen 7 x
39)
ln
+
arc
tg
+
C
41)
−
+
+D
2
x2 + 4
2
3
5
7
33) −
42) x arc tg x −
ln(1 + x2 )
+C
2
cos5 x cos3 x
−
+C
45)
5
3
1
5x
47) arc sec
+C
4
4
51)
34)
43) (x2 − 1) sen x + 2x cos x + D
46)
48)
(−8x2 − 4x − 1) −4x
e
+C
32
2x2 − 1
4
√
x 1 − x2
arc sen x +
+D
4
2(x3 + 1)5/2 2(x3 + 1)3/2
−
+D
15
9
52)
44) diverge
50) ln 2 (converge)
√
√
√
49) 2( x sen x+cos x)+E
3x2
+ 12x − 10 ln |x − 6| + 33 ln |x − 2| + D
2
168
53)
CAPÍTULO 4
π
(converge)
2
cos 3x cos x
e3x (3 cos 2x + 2 sen 2x)
−
+ C 56)
+D
6
2
13
√
√
ln 2x + 4x2 − 25
2( sen x)5/2
+D
59) 2 sen x −
+E
58)
2
5
54) diverge
1
+C
(x2 + 1)2
1
+C
60) ln 1 −
ln x 57) −
55) −
x 3 ln |x − 3|
3 ln(x2 + 9)
3
61) x +
− arc tg
+
+D
4
2
3
2
x( sen (ln x) − cos(ln x))
x−3
π
62)
+ C 64) arc tg
+ D 65) (converge)
2
3
3
66)
5 ln |x + 3|
3
ln |x − 3|
7
−
+
−
+C
6
2(x + 3)
6
2(x − 3)
70) ln(x2 + 4) +
73) − cos x −
x
3
arc tg
+C
2
2
72) 2 ln 3 − 3 ln 2
71) diverge
4(cos x)3/2 cos2 x
−
+C
3
2
75)
68) 0 (zero)
63) diverge
√
2− 2
67)
3
69) − √
74)
1
(x2 + 1) arc tg x − x + D
2
x
+D
−1
x2
tg 4 x
+D
4
77)
4
3
√
x
4 − x2
ctg 3x
76) −
− arc sen
+ C 78) diverge 79) − x −
+ D 83) diverge
x
2
3
100
2
(x + 1)4 (x − 3) + C 81) (200x − 3)(2x + 3) + D 82) x − x2 + ln |x| + E
80) ln (x − 2)5
40400
4
√
(8 − x3 ) 3 8 − x3
x2 3 ln |x| 27 ln |x2 − 4|
−
+
+ C 86) −
+D
84) 0 (zero) 85)
2
4
8
4
√
7
4
cos(3x2 )
2
87) 12 ln |x| − 2 + C 88) x arc sen x + 1 − x + D 89) ln
90) −
+E
2x
e
6
√
(x − 1)2 9
2x
x 9 − 4x2
1
x
−
+
+ C 92)
(converge) 93) ln +D
91) arc sen
4
3
2
2
x
(x − 1)2
94) −
1
+C
4(x − 7)4
95) cos x − cos x ln(cos x) + D
1
23 ln |x + 2|
ln |x|
−
−
+C
4
2x
4
98) 2
99) −
102) −
8
x2
+
8
ln
|x|
+
+C
x2
2
106) 0 (zero)
107)
e−2
2e
111) ln [(x − 4)2 (x + 1)2 ] −
100)
103) − 1 (converge)
108) −
10cos x
+C
ln 10
3
+C
2(x + 1)2
96)
2(e3 − 1)
3
x3 (3 ln x − 1)
+D
9
104)
109) −
97) diverge
101) −
arc tg (e2x )
+D
2
cos 4x
+D
4
1
12
105) 0 (zero)
110) diverge
Capı́tulo 5
Aplicações geométricas
da Integral Definida
5.1
Áreas de regiões planas
É a aplicação mais direta (imediata), pois está diretamente relacionada com a própria
definição da integral definida:
Problema: Seja f : [a, b] → IR contı́nua, com f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] .
Como calcular a área sob o gráfico de f , entre x = a e x = b ?
Solução: (Recordando...)
Iniciamos fazendo uma aproximação através das Somas de Riemann.
Fazemos uma partição P do intervalo [a, b], dividindo-o em vários intervalos
[x0 , x1 ] , [x1 , x2 ] , . . . , [xn−1 , xn ]
169
170
CAPÍTULO 5
∆xi é o comprimento de cada intervalo [xi−1 , xi ] e kP k = max ∆xi .
i
Tomamos então um ponto wi em cada intervalo [xi−1 , xi ] e consideramos (em cada
intervalo) o retângulo de base ∆xi e altura f (wi ) , de área f (wi ).∆xi .
A soma das áreas desses retângulos é uma Soma de Riemann de f com relação a P .
n
X
R(f ; P ) =
f (wi ).∆xi representa uma aproximação da área A que desejamos calcular.
i=1
A área A é o limite das Somas de Riemann quando refinamos a partição P , ou seja, tomamos
mais divisões ainda, de modo que kP k → 0 .
A = lim
kP k→0
n
X
Z
f (wi ).∆xi =
i=1
Exemplos:
(A) Vamos obter a área de um cı́rculo de raio r :
b
f (x) dx
a
Aplicações geométricas
da Integral Definida
171
Obs.: Se f, g : [a, b] → IR são contı́nuas e f (x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b], a integral nos
permite calcular a ÁREA ENTRE OS DOIS GRÁFICOS, de x = a até x = b :
Z
b
[f (x) − g(x)] dx
A=
a
(mesmo que f ou g sejam negativas, o que importa é que f (x) ≥ g(x) em [a, b])
(B) Calcule a área delimitada pelos gráficos das funções f (x) = x e g(x) = x2 entre x = 0
e x=1:
Obs.: Raciocı́nio semelhante pode ser feito para se obter áreas delimitadas por gráficos de
equações onde x é dado como função de y ( x = f (y) ).
172
CAPÍTULO 5
(C) Calcule a área delimitada pela curva x = −y 2 + 3y e o eixo Oy das ordenadas.
(D) Refaça o exemplo (B) anterior usando o raciocı́nio da última observação. (Exercı́cio)
Exercı́cios:
1) Se f (x) =
2x2
∀ x 6= 4 , calcule a área sob o gráfico de f entre x = 0 e x = 2.
(x − 4)2
2) Se g(x) =
3x
∀ x ∈ IR , calcule a área sob o gráfico de g entre x = 0 e x = 2.
ex
3) Qual o valor de a (a > 1) para que a região sob o gráfico de y = 1/x entre x = 1 e x = a
tenha área igual a 5 u.a. ?
4) Mostre que, para qualquer a > 1, a área sob a curva y = 1/x2 entre x = 1 e x = a é sempre
menor do que 1 u.a.
5) Faça um esboço e calcule as áreas das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes
equações:
(a) y = 1/x2 , y = −x2 , x = 1 , x = 2 ;
(b) y = x2 + 1 ; y = 5 ;
(c) x = y 2 ; x = 2y 2 − 4 ;
(d) y = cos x ; y = sen x ; x = −π/2 ; x = π/6 ;
x
(e) y = e2x ; y = 2
; x=0; x=1;
x +1
x
(f) y =
; x=1; y=0;
1 + x4
6) Prove que as curvas de equações y = x2 e x = y 2 dividem o quadrado de vértices
(0, 0) , (1, 0) , (0, 1) e (1, 1) em 3 regiões de mesma área. Faça também um esboço.
Aplicações geométricas
da Integral Definida
5.2
173
Volumes de (alguns) sólidos de revolução
Problema: Seja f : [a, b] → IR contı́nua ( f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ).
Como calcular o volume do sólido de revolução gerado quando rodamos a região sob o
gráfico de y = f (x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Ox ?
Solução: Iniciamos (novamente) com uma partição P do intervalo [a, b]
Em cada intervalo [xi−1 , xi ] da partição, escolhemos um ponto wi e consideramos o
retângulo de base ∆xi e altura f (wi ) .
Girando este retângulo (de base ∆xi e altura f (wi ) ) em torno do eixo Ox, obtemos um
cilindro de volume π.f (wi )2 . ∆xi :
Somando os volumes desses cilindros, temos uma aproximação para o volume que desejamos
calcular.
174
CAPÍTULO 5
n
X
π.f (wi )2 . ∆xi = R(πf 2 ; P )
i=1
O volume V procurado é o limite desta soma quando kP k → 0 , ou seja, quando refinamos
a partição P :
V = lim
kP k→0
n
X
2
Z
πf (wi ) ∆xi =
1=1
b
πf (x)2 dx
a
Obs.: Raciocı́nio análogo para girar x = f (y) em torno do eixo Oy !
Exemplos:
(A) Vamos obter o volume da “bola” de raio r :
Obs.: Se f, g : [a, b] → IR são contı́nuas e f (x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], a integral nos
permite calcular o volume do sólido obtido quando giramos a região entre os gráficos de f e g
em torno do eixo Ox :
Z
V =
a
b
π[f (x)2 − g(x)2 ] dx
Aplicações geométricas
da Integral Definida
175
(B) Calcule o volume do sólido de revolução obtido quando giramos a região entre os gráficos
√
de f (x) = x e g(x) = x (entre x = 0 e x = 1) em torno do exo Ox .
Obs.: E se quisermos girar y = f (x) em torno do eixo Oy ?
Neste caso temos um novo problema...
Problema: Seja f : [a, b] → IR contı́nua ( f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ).
Como calcular o volume do sólido de revolução gerado quando rodamos a região sob o
gráfico de y = f (x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Oy ?
Solução: (Método das cascas cilı́ndricas)
Consideremos, como sempre, uma partição P do intervalo [a, b].
Em cada intervalo [xi−1 , xi ] da partição, fixemos seu ponto médio di e consideramos o
retângulo de base ∆xi e altura f (di ) .
176
CAPÍTULO 5
Girando este retângulo (de base ∆xi e altura f (di ) ) em torno do eixo Oy, obtemos uma
CASCA CILÍNDRICA
de volume
πx2i · f (di ) − πx2i−1 · f (di ) = π(xi − xi−1 ) · (xi + xi−1 ) · f (di ) = π∆xi · 2
xi + xi−1
· f (di ) =
2
= 2π di f (di ) · ∆xi
Somando os volumes dessas cascas cilı́ndricas, temos uma Soma de Riemann da função
g(x) = 2πx.f (x) , a qual representa uma aproximação para o volume que desejamos calcular.
n
X
2π di f (di ) · ∆xi = R(2πxf (x); P )
i=1
O volume V procurado é o limite desta soma quando refinamos a partição P , de modo que
kP k → 0 :
Z b
n
X
V = lim
2πxf (x) dx
2π di f (di ) · ∆xi =
kP k→0
1=1
a
Exemplo: Calculemos o volume do sólido obtido quando giramos a região delimitada pelo
2
gráfico de y = f (x) =
, x = 1 , x = 2 e o eixo Ox , em torno do eixo Oy :
x
Aplicações geométricas
da Integral Definida
177
Exercı́cios:
1) Utilize a integral definida para deduzir (faça um esboço) a fórmula do volume de um cone
circular reto com raio da base r e altura h.
2) Giramos em torno do eixo Ox a região delimitada por y = sec x ; x = −π/3 ; x = π/3 ;
y = 0 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
1
3) Giramos em torno do eixo Ox a região delimitada por y = √ ; x = 1 ; x = 4 ; y = 0 .
x
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
4) Seja R a região delimitada por y =
1
; x=2; x=3; y=0.
(x − 1)(4 − x)
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido quando...
...giramos R em torno do eixo Ox;
...giramos R em torno do eixo Oy;
5) Giramos em torno do eixo Oy a região do plano delimitada por y = ln x ; y = 0 ; x = e .
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
6) Fazemos girar em torno do eixo Ox a região do plano delimitada por y = tg x ; y = 0 ;
x = π/6 ; x = π/4 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
7) Seja S a região delimitada por y = sen x ; x = 0 ; x = π ; y = 0 .
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido quando...
...giramos S em torno do eixo Ox;
...giramos S em torno do eixo Oy;
1
; y=0;
1 + x2
x = 0 ; x = 2 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
8) Fazemos girar em torno do eixo Ox a região do plano delimitada por y =
2
9) Giramos em torno do eixo Oy a região do plano delimitada por y = e−x ; y = 0 ; x = 0 ;
x = 1 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
178
CAPÍTULO 5
Coletânea de provas anteriores (1)
Questão 1: (45 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
1
Z
(3x2 + 1)ex dx
(a)
0
Z
e
(b)
1/e
Z
1
(d)
0
Z
ln x cos(ln x)
dx
x
π/3
(c)
π/6
tg θ
dθ
cos2 θ
2x4 − 4x3 − x2 + 3x − 7
dx
x3 − 2x2 + x − 2
Questão 2: (25 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
x3
√
dx
9 − x2
Z
(a)
Z
(b)
2 sen 3θ sen 2 θ dθ
Questão 3: (15 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
+∞
Z
(a)
1
Z
(b)
0
ln x
dx
x2
1
x(x2
1
dx
+ 1)2
Questão 4: (15 pts) Considere a região R delimitada por y = 2x2 , x = 1 e y = 0 .
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda: Qual dos dois sólidos de revolução (Sx ou Sy ) tem o maior volume ?
Aplicações geométricas
da Integral Definida
179
Coletânea de provas anteriores (2)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
Z
π/2
(a)
0
4 · e2+ln(2x+π sen x+1)
dx
π
(5+π)2
Z
(c)
(5−π)2
1
Z
(d)
0
Z
π/4
(b)
π/6
tg θ
dθ
sen 2 θ
√
√
( x − 5) sen ( x − 5)
√
dx
2 x
2x5 + 3x4 + 2x3 + 2x2 + 2x − 1
dx
x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1
(Obs.: x4 +2x3 +2x2 +2x+1 = (x+1)2 (x2 +1) )
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Z
1
dx
(4 − x2 )3/2
(a)
Z
(2 cos2 θ − 1) cos 5θ dθ
(b)
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
Z
3
Z
ln(3 − x) dx
(a)
2
(b)
+∞
2
e−r r dr
0
√
Questão 4: (16 pts) Considere a região R delimitada por y = 2 x , x = 1 , x = 2 e
y=0.
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (Sx ou Sy ) tem o maior
volume ?
180
CAPÍTULO 5
Coletânea de provas anteriores (3)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
1
Z
cos(πx) − 3x2 + 5 + e(2x−1) dx
(a)
0
Z
4
√
( x +1)
e
(b)
Z
dx
1
(1 + tg θ)2 dθ
π/4
1
Z
π/3
(c)
(d)
0
x4 − 2x3 + 3x2 + 3
dx
−x3 + 2x2 − x + 2
(Obs.: −x3 + 2x2 − x + 2 = x2 (−x + 2) + (−x + 2) = . . . )
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Z
9
dx
(x2 − 9)3/2
(a)
Z
(b)
sen 2θ · sen 2 θ · cos θ
dθ
2
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
1
Z
(a)
0
Z
(b)
e
ln x
dx
x3
+∞
1
dx
x(ln x)3/2
π
Questão 4: (16 pts) Considere a região R delimitada por y = cos x , x = 0 , x =
e
2
y=0.
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (Sx ou Sy ) tem o maior
volume ?
Aplicações geométricas
da Integral Definida
181
Coletânea de provas anteriores (4)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
−1/e2
Z
(a)
−1
2
Z
(d)
1
1
1
3− + 2
x
x
Z
dx
π/3
(b)
π/6
1 − sen θ
dθ
cos2 θ
3x5 + 12x4 + 8x3 − 3x2 + 2x + 3
dx
x3 + 4x2 + 3x
Z
(c)
0
√
3
4
3 3
(x − 2)6 x2 dx
8
(Obs.: x3 + 4x2 + 3x = x(x2 + 4x + 3) = . . . )
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Z
(1 − 2 sen 2 θ) cos 4θ dθ
(a)
Z
(b)
√
x2 + 1
dx
(x2 + 1)3
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
+∞
Z
( sen t) · e−st dt
(a)
(s > 0, constante)
0
Z
(b)
π
tg
0
θ
2
dθ
Questão 4: (16 pts) Considere a região R delimitada por y = ln x , x = 1 , x = e e
y=0.
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (Sx ou Sy ) tem o maior
volume ?
182
CAPÍTULO 5
Coletânea de provas anteriores (5)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
−1
Z
(x+2)
2
(a)
−2
√
Z
3
1
−
x
Z
dx
π/6
(b)
π/4
2x5 + x4 + 14x3 + 15x − 3
dx
x4 + 3x2
(c)
1
cos2 θ + tg 2 θ
dθ
tg θ
Z
(d)
e
x3 · ln x dx
1
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Z
3
Z
2 · cos 2θ · sen 3θ dθ
(a)
(b)
1
dx
(1 − x2 )5/2
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
+∞
Z
t2 · e−st dt
(a)
(s > 0, constante)
0
√
Z
(b)
1
2
x
dx
2 x2 − 1
√
3
Questão 4: (16 pts) Considere o retângulo R delimitado pelas retas x = 0 , x = 2 ,
y = 0 , y = e2 .
(a) A curva y = ex divide R em duas regiões R1 e R2 , sendo R1 adjacente ao eixo Ox e
R2 adjacente ao eixo Oy . Faça um esboço com essas três regiões.
(b) Qual das regiões ( R1 ou R2 ) tem a maior área ? (mostre as contas)
(c) Obtenha o volume do sólido S1 obtido quando giramos a região R1 em torno do eixo
Ox . Faça um esboço.
(d) Obtenha o volume do sólido S2 obtido quando giramos a região R2 em torno do eixo
Oy . Faça um esboço.
(e) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (S1 ou S2 ) tem o maior
volume ?
Aplicações geométricas
da Integral Definida
183
Respostas de exercı́cios
• Página 172:
3e2 − 9
2)
e2
1) 12 − 16 ln 2
17
6
5) a)
b)
32
3
c)
3) a = e
4)
1
√
32
3
6) A área de cada região é de
a
Z
5
d)
3+ 3
2
e)
1
1
<1
dx = 1 −
2
x
a
e1 − 1 − ln 2
2
f)
1
>0
a
π
8
1
u.a.
3
• Página 177:
1) V =
4) V0x
6) V0x
8) V0x
πr2 h
u.v.
3
√
2) V = 2π 3
3) V = 2π ln 2
2
(3 + 4 ln 2)π
10 ln 2π
e +1
=
, V0y =
5) V0y =
π
27
3
2
√
(12 − 4 3 − π)π
π2
=
7) V0x =
, V0y = 2π 2
12
2
π
2
(e − 1)π
=
arc tg 2 +
9)
2
5
e
• Página 178: Coletânea 1
Questão 1) a) 4e − 7
b) 0 (zero)
c)
4
3
(9 − x2 )3/2
Questão 2) a)
− 9(9 − x2 )1/2 + C
3
Questão 3) a) 1 (converge)
Questão 4) a) AR =
d) 1 +
b)
3π
4
cos 5θ cos 3θ cos 2θ
−
+
+D
10
3
2
b) diverge
2
u.a.
3
b) VSx =
4π
u.v.
5
ln 3
2
c) 2π
c) VSy = π u.v.
• Página 179: Coletânea 2
Questão 1) a) e2 (π + 6)
Questão 2) a)
b)
x
√
+C
4 4 − x2
b)
d)
π−2
4
sen 7θ
sen 3θ
+
+D
14
6
d) Adivinhe !
184
CAPÍTULO 5
Questão 3) a) −1 (converge)
b)
1
(converge)
2
√
4(2 2 − 1)
u.a. b) VSx = 6π u.v.
Questão 4) a) AR =
3
√
8π(4 2 − 1)
c) VSy =
u.v. d) VSy > VSx
5
• Página 180: Coletânea 3
√
e2 + 8e − 1
b) 2e3
c) 3 + ln 2 − 1
2e
cos5 θ cos3 θ
x
−
+D
+C
b)
Questão 2) a) − √
5
3
x2 − 9
Questão 3) a) diverge
b) 2 (converge)
Questão 1) a)
Questão 4) a) AR = 1 u.a.
b) VSx =
π2
u.v.
4
d)
7 ln 2 − 1
2
c) VSy = π 2 − 2π u.v.
d) VSy > VSx
• Página 181: Coletânea 4
e4 + 4e2 − 3
Questão 1) a)
e2
√
4 3 −6
b)
3
c)
32
7
d)
12 + 3 ln 2 + ln 3 − ln 5
2
sen 6θ
sen 2θ
2x3 + 3x
+
+D
b)
+C
12
4
(x2 + 1)3/2
1
Questão 3) a)
(converge)
b) diverge
1 + s2
Questão 2) a)
Questão 4) a) AR = 1 u.a. b) VSx = π(e − 2) u.v. c) VSy = π
e2 + 1
2
u.v.
d) VSy > VSx
• Página 182: Coletânea 5
1
ln 3 1
Questão 1) a)
+ ln 2 b) −
+
ln 2
2
8
√
√
4 3
3
π 3
3e4 + 1
c)
+ 4 ln 3 − ln 2 +
d)
3
2
18
16
sen 2θ
sen 8θ
sen 4θ
3x − 2x3
−
−
+D
b)
+C
2
16
8
3(1 − x2 )3/2
2
3
Questão 3) a) 3 (converge)
b)
(converge)
s
8
π(e4 − 1)
Questão 4) b) AR1 < AR2
c) VS1 =
u.v.
d) VS2 = π(2e2 − 2) u.v.
2
e) VS1 > VS2
Questão 2) a)
Referências
[1] Swokowski, Earl W., Cálculo com geometria analı́tica, vol. 1. Makron Books.
[2] Leithold, Louis, Cálculo com geometria analı́tica. Makron Books.
[3] Simmons, George F., Cálculo com geometria analı́tica. Makron Books.
[4] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Cálculo. Editora Guanabara Dois.
[5] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de cálculo, vol. 1. Editora LTC.
185
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Cálculo I

2 + sen x é

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Prova Escrita de Matemática A

Números Complexos-01-05

Números Complexos

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

Exame - Porto Editora

Arquitetura e Urbanismo

Geometria Plana

Circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométriaco
