Cap.5 - Vetores
2
Grandezasvetoriais
Vamosiniciaresteitem dandoalgumanoçãode direçãoe sentido.
Por que algumasgrandezas são consideradasesca/arese outns vetoriais?O aluno deve entender que algumasgrandezassimp/esrnentese
adicionam aritmeticamente,por exemplo: 3 kC + 4 kg : 7 k8, mas a
adiçãode duas velocidadesde 3 m/s e 4 m/s nem sempreê 7 m/s; o resul'
tado vai dependerda direção dos movimentosque possuemessas velocio resultadoé 5 m/s, ob'
dades.5e os movimentosforem perpendiculares,
tido por meio da aplicação do teoremade Pitâgoras.Assimcomo os nÚ'
meros sevem paraopew com as grandezas escalares,os vetoies seÍvem
para operct com as grandezasvetoilais.
Devido à importância dessàsgrandezasno desenüolvimentoe compreensãodos capttulosque se seguem,o aluno deve conheceras opera'
ções com os vetoÍes, calcular o môdulo da resultantenos casosmais
simplesem que os vetoÍes têm a rnesrnadireção ou são ortogonaise,
também, determinar os componentes de um vetot sobrc eixos ottogl
nais. Os conceitosde velocidadevetorial, aceleraçãotangenciale acel*
ração cenülpeta estãodesenvolvidosnum ntvel adequadopara o desen'
volvimento dos capitulos seguintes.
Grandezasescalares
Q uand o d i z e mo s q u e o re s u l ta d od a medi da da área de uma superf icie ê 7 m2,será que ainda falta algo para caíacterizar essagrandeza? Por exemplo, temos que pensar "em que direção" ou "para
que f ado" a m e d i d a ê 7 m 2 ?
A resposta é não, pois só o númeÍo (7) e a unidade de medida
(ml) caracterizam perfeitamente a grandeza áÍea.
por um númeroe uma
perfeitamente
caracterizadas
Crandezas
grandezas
escamedida
denominam-se
de
conveniente
unidade
lares.
E x em plos :m a s s a , á re a , v o l u me . d e n s i d ade,temperatura, energi a e
out r as que va mo s c o n h e c e r d u ra n te o c urso.
Retasparalelasa uma reta verticalr (vejaa figura l) também
da reta r.
são verticais,isto é, essasretastêm a mesmacaracteristica
pelasretasdo feixee a reta r
comum apresentada
Essacaracterística
denomina-sedireção.
ill
retasde
direção
vertìcal
Íetas de di;eção
horizontal
Íetas de direção
Íormando ângulo
a com a teta I
R etas par alelasa um a r et a hor izont al s t am bém t êm a m esm a
di reção horizont al ( obser vea f igur a ll) .
R etas par alelase inclinadas'dem esm o ângulo a em r elação a
uma Íeta t têm a dir eção dada pelo ângulo a ( veja a f igur a lll) .
Direçãoé a característica
comum a um feixede retasparalelas.
Em uma mesmadireçãoexistemdois sentidos.
Exemplos
19) Na direçãoverticalexisteo sentidopara cima e parabaixo.
29) Uma gavetapode ser movimentadana direção horizontale em
dois sentidos:puxare empurrar.
39) Na direçãoleste-oeste, o sentidopode ser para lesteou oeste.
C randezasque, além do núm er o e unidade de m edida, exigem
para a sua per f eit a car act er izaçãoo conhecim ent o da dir eção
e sentido denominam-se grandezas vetoriais.
NOçÕES
TUNDAMENTAIS
DI FISICA
62
Exemplos:velocidade, aceleração, forças e outras que vamos conhece r dur ant e o c ur so .
S e um c or po s e mo v i me n ta v e rti c a l me n te para ci ma com vel oci d a de de 5 m / s , es s a v e l o c i d a d e é c a ra c te ri z a dapor:
núm er o ( ou m o d u l o ): 5
unidade de m e d i d a : m /s
dir eç ão: v er t i c a l
s ent ido: par a c i ma
63
C ap.S -V etores
P ara a notação de vet or es,usam - s?let r as m inúsculasou m aiúscul as. sobre as quais se coloca um a set a.
Í, V,F";E
Exemptos:
t
,/
frÌ
v =5 m / s
de um corpoem quedalivre,nas proxi mi dadesda
A aceleração
Terra,tem as seguintescaracterísticas:
Os módulosdos vetoressão indicadospor:
tit,g,tFt"tÃãt
m ódulo: c er c a d e 9 .8
unidade de me d i d a : m /s 2
dir eç ão: v er t i c a l
sentido: para baixo
3
ü
g = 9,8 m/sl
\
0
ou simplesmente:
X
v,FeAB
A direção de um vetor é determinadapela reta-suporte(reta
que o contém),portantovetorescontidosna mesmaretaou em retas
paralelas
têm a mesmadireção.
O sentidode um vetor é determinadopela seta.
Vetor
por módulo (ou núiletor é um ente matemático'caracterizado
mero),direção e sentido.
Atenção: Vetor é um ente puramente matemático. portanto não possu i u nidade de m e d i d a .
De acordo com o conceito de vetor, podemos dizer que as grand e zas v et or iais s ã o c a ra c te ri z a d a sp o r v e to r e uni dade de medi da.
Po r ex em plo,quan d o d i z e m o s q u e a a c e l e ra ç ãoda gravi dadede um
co rp o em queda va l e 9 ,8 m /s 2 ,s i g n i fi c a q u e a grandezavetori al aceleração é caracterizada por unidade de medida m/s2e vetor de mód u l o 9, 8, dir eç ão v e rti c a l e s e n ti d o p a ra b a i x o .
A s s im c om o o s e n te s m a te m á ti c o s d e n o m i nados números são
re p r es ent adosgr a fi c a me n te p o r s i mb o l o s d e nomi nados numerai s
(p o r ex em plo,o nú m e ro d o i s p o d e s e r re p re s e ntadopor numerai s2,
ll e : ), os entes matemáticos denominados vetores são representados graficamente por segmentosorientados.
4
Vetoresiguaise vetoresopostos
Vetoresiguaissão aquelesque possuemmesmadireção,mesl
mo sentidoe mesmomódulo.
Os vetores ã, b e ã da figuraabaixosão vetoresiguais:
DErisrcA
NoçÕEsFUNDAMTNïAIS
Vetores opostos são os que possuemmesma direção, mesmo
módulo e sentidoscontrários.
Cap 5 - Vetorcs
5
Adição de vetores
O vetor sonì a ou r esult ant ede vet or es pode ser obt ido por dois
métodos: o método do poligono e o método do paralelofiÍamo.
Indicamoso opostode um vetorÏ por -i
ìÌ
Método do polígono
ü _l;
Adição de dois vetoÌes
Atenção:Na f igura seguinte,ã = -Ë, masã+ Ë, potqr" os sentidos
deãeËsão contrários.
O vetor somaïde dois vetoresãe6e obtido da seguintemaneira:
19) Deslocamos,sem alterara direção,õ sentldoe o módulo,
os dois vetores(ou qualquerum deles)até que a origemdo
segundovetor coincida com a extremidadedo primeiro
i vetof.
i
r*
' ,' + n
l'
'
,l ' i ,
29) O vetor que vaida origemdo primeiroà extremidadedo segundoé'ovetorsomJï *l''"' ."',,,'
;'.,,",..'," ..
Exercícios
Observeas figuras:
1 . A s s i n a l eV p a r a a s se n te n ça sve r d a d e ir a se F p a r a as fal sas, conforme o esquema.
b )Ë = a *
at ?= b' '
d)?= Ë
c )Ë= i
e)?= d
b
--ì\
iz--ï
/1
il
-+-----+----.-+--
i
2 . C o m r e l a ç ã o a o e sq u e m a a n te r io r , a ssin a leV p a r a as sentençasverdadei rase F pa
ra as falsas.
a)ã=-b
V.
;+
b ) c= - d
S i mbol i c am ent e,escr evem os:ï :
ã + b
i --.r
DETiSrcA
NOçÕESFUNDAMENÏAIS
67
Cap5-Vetores
Adição de maisde dois vetoÌes
Exemplos
Dadosos vetoresã, Ï õ o vetor somaï é determinadoda se"
guintemaneira:
19) Obtemoso vetor soúa { = ã + Ë
29) Obtemoso vetorÀsomaï: it + d
{'
onde:
ïéovetorsomadeã6ed.
De Íato, substituindoï = á* 6emï= ïr + Ç temos:
ïì
t\
a\
ï=ã+6+ã
Exercícios
+.
+
iï-i:1,
,:l::--i---i-
i
3. Em qual das figuraso vetor soma s de a e b esta representadocorretamente?
b
\-7
/,
"\
V
\,.L1
l+
t
(c )
E m si ntese,o vet or som a é obt ido deslocando- se( sem alt er ar a
di reção, o sent ido e o m ódulo) os vet or es consecut ivam ent e,de m odo que a ori gem de um coincida com a ext r em idadedo out r o. O vetor soma vai da or igem do pr im eir o à ext r em idadedo últ im o vet or .
E xempl os
pelo mêtododo poligonoos seguintesveto4. Dadosos vetoresï Ë ãe cl]represente
res soma:
.++.+
c r s s = a+ c
a)i=ï+Ë
..+
|
b)52=DtC
,
at5l=?+ Í
+
b
Dt FislcA
NOçÕfstuNDAMENÌA|S
69
Cap 5 - Vetores
Exercicio
ercícios
5. RepÍesenteo vetoÍ soma de cada um dos esquemas
c
6. Traceo vetor soma aeã Ë d e Í
da adiçãode vetores
Casosparticulares
trl
Adição de vetoresde mesmadireçãoe mesmosentido
o vetor somatem móduloigualà somados módulosdosvetoresdados e possuio mesmosentidodessesvetores'
Método do Paralelogramo
5
O v et or s om a ïd e d o i s v e to re sã e É p e l o método do paral el og ra mo, é obt ido da s e g u i n te m a n e i ra :
tr
= ã + i
Simbolicamente:ï
Emmódulo,
1ï1= 1ï1+ 1Ë;
+
iguala 8'
selãl= 3 e lbl = s, lslserá
Porexemplo,
Adiçãode vetoresde mesmadireçãoe sentidoscontrários
O vetor soma tem módulo igual à diferençados módulosdos
vetoresdadose possuio mesmosentidodo vetor de maior módulo.
tr*l
,a_i
lr+l
I
l*ll
lsll
#
lll
I
ï=ã+Ë
.-.
; E ;= l a l - l b l
S e lã l= g
"
l Ë l= 3 r l í = o
NOçÕESFUNDÁMENIAIS
DETISrcA
71
Cap 5 - Vetorcs
e r ctcr o s
Adição de vetoresde direçõesperpendiculares
O vetor soma é obtido pelo método do polígono ou do paralelogramo. O módulo do vetor soma é calculado através do teorema
de Pitágoras.
a
---------------{>
++++
representeos seguintesvetores soma:
8. Dados os vetores A, B, C e D,+++
+++
+++
c) Sr =C * D
b ) Sr :6 .'ç
a) 5t=4.t- g
iigz: ;ip + 161r
b
+
t+
lsl=Vlal2+ lbl2
'ï
A
t-:i-j--s-'i---,
j
i
i
ifr
ii:ïl
--ïI i |
--r-l. I i -i j- i
ilrllrriit
rrlltt,
|
-*-i
Aplicação
Se um âvião que se deslocade oeste para leste com velocidade
v1 = 800km/hfor atingidopor um ventode velocidadevz : 70 km/h,
a velocidaderesultantev do aviãoseráobtida efetuando'sea adição
dos vetoresü Vr, conforme o sentido do vento.
\
"
a) Se o vento soprade oestepara leite:
lil =lül + l ü l
lV:l s oo+ z o
lVl= s7okm/h
-----------
r
r ,v2
+
l
t
r+l
,Ê
,
i
+i
Bi
|
r
|
|
1
t
|
|
,'----L---r---i---t---J
Nasfigurasanteriores,se:
li; = 3,ldl = a, tdt : z lôl : 3,calculeosmódutos
dosvetoressomaobtidosno exercício
anterior. "
6
'-'=:-=
-::
I
r Dl
Subtraçãode vetores
Dadosos vetoresãeË, ogetor diferençai = ã-6C obtidofazendo-sea adiçãode ãcom -b. De fato:
ã': a- Ëé o m es m oqr "=ã e + t- Ët
-Ë = vetor oposto de Ë
b) Se o vento sopra de leste para oeste:
lvl= lül- l%l
l ü: s00 - 70
lül : 730km/h
o e s te -Ìj -;---reste
|
i
i;i-
+l
t
vzi
c) Seo vento soprade norte para sul:
lVlt: lürl,+ lü1,
+ 7o2
lü2: Sooz
M: y'Ìmmoo-l149oo
lil s ao: tm/tr
vento
llr
*,*-\r-
Observação:
O vetor ã"daf igurafoi obtido pelo métododo polígono.
Tente,também,obtê-lopelo métododo paralelogramo.
DE FISICA
NOçÕESFUNDAMENTAIS
I
e rcl cl o
10. Dados os vetoresïr, Vr, Vt
+++
V4, obtenha
"
-vl
l---------#
+
+
+
+
Projeçãode um vetoÍ
Dado um vetor V com a
ori gem coi nci dent e com a or igem do sistema de ei4os ortogonai s x e y,.proj e t ando'aext r em idade de V perpendicular m ent e
aos eixos, obtemos V, e Vu, que
são denomi nados com ponent es
ortogonais ou projeções ortogonais de V sobre os eixos x e y.
++
c ) dr = Vr - V.
a) dt = Vr-Vr
++
b) d2 = Vr-Vr
Cap. 5 - Vetores
d) dr = Vr + V r - V !
+
#
7
Multiplicaçãode um númeropoÍ um vetoÍ
Multiplicandoum númeroreal n por um vetorü, obtemoso
vetor Ë = n 'V, com as seguintescaÍacterísticas:
Módulo:lËl= lnl 'lVl
Direção: a mesma de í
S ent ido: igua l a ü s e n )0 ; c o n trá ri o a ï, se n < 0
x
I
I
I
I
I
I
I
L
I
I
I
tI
I
I
I
F
I
I
I
L
I
I
I
I
L
+-
llr l
-t
I
I
I
I
I
T'
I
I
-LI
I
I
_ t_
I
-t
I
I
_l
I
I
I
J
I
I
I
I
_r
I
I
I
.J
:
projeção ortogonal de V sobre o eixo y
.
_Sga é*o ânguloformadoentreo vetor Ve o eixo x, os módulosde V, e V, sãoobtidosda seguintemaneira:
cosrÌ:+*
*- *
V, ='V ' sen4
onde:
V é o módul o do vet or V
d
-3i e +i'
-i
r----ì---- -i ----i
rl i r
l Ìi r
I
I
I
projeção ortogonal de V sobre o eixo x
, "no-
Exercício
Í1. Dadoo vetorï obtenhaos vetoÍes:zl, '|i,
V, :
--
-F -trtl
trtl
rl
+--ir r l
-F --
--
--l--
- j-----]-
-i
---r
trlr
r tll
J- ----l-----r-----1
!irr
cateto adiacenteao
tl
lili
-Lll----!----f------i
||||
|
- l-
- ---L
| ''
|
-----l--
I
--
--l
cat et o adiacent e
cos c : --Fipo6;rusa
calet qopost o
send _
nlpot enusa
DE FISrcA
NOçõESFUNDAMTNTAIS
Exercícios
12. (Exemplo)O vetoÍ V da figura tem módulo 20. Calcule o módulo de suasproieções sobreos eixosortogonaisx e y.
Resolução
PiojetandoV perpendicularmente
sobre cada um dos eixos dados,
obtemosV" e Vu.
V,:V'co s6 0o= 20' 0, 5
l v,=to I
V" = V'se n60o = 2O ' O , 87
Cap 5 - Vetores
Velocidadevetorial
9
N o i ni ci o dest e capit ulo vim os que velocidade é um a gr andeza
vetori al , portan t o ser á r epr esent adaat r avésde um vet or '
O vetor V que r epr esent aa velocidade vet or ial de um cor po
possuias segu int escar act er ist icas:
Direção: tangente à traietoria
em cada posição P do m óvel.
S enti do:o mesm o do m ovim ento do corpo.
Módul o: o m esm o da velocidade esca lar inst ant ânea
*nu")Y
(lVl: 1v",."6,1).
N ota: V el oci dade inst ant ânea,já vist a no capí t ulo 1 , ê, a r igor , denomi nada vel oci dade escalar inst ant ânea.
Quando o m ovim ent o é r et ilineo e unif or m e ( M RU) , a dir eção,
o senti do e o m ódulo da velocidade vet or ial são const ant es.
+++
++
movimento retilíneo e unìíorme
13. O v e t o r V d a fig u r a te m m ó d u lo 1 0 . Ca lcu le o módul o de suas proi eções ortogo
n a i s s o b r e o s e ixo s o r to g o n a is x e y.
Quando o movimento e retilíneo uniformementevariado
(MRUV),a direçãoe o sentidoda velocidadevetorialsãoconstantes,
com o tempo.
masseu módulovariauniformernente
+++
ut
----
a---
u'
a---
u'
t
movimento retillneo u niÍormementevariado
1 4 . O v e t o Í d a f ig u r a te m n r ó d u lo P = 1 0 . Ca lcu le o módul o de suas proi eções ortc
g o n a i s s o b r e o s e ixo s o r to g o n a is x e y.
Quandoo movimentoé uniformee a traietóriaé uma curva,o
módulo da velocidadevetorial é constante,porque o movimentoé
uniforme,mas sua direçãoe seu sentidovariamconformeas posiçÕesocupadaspelo móvel.