Tópico Avançado: A teoria Geral da Relatividade.
Base matemática da forma covariante para as leis da mecânica
e do eletromagnetismo.
Num sistema de eixos ortogonal necessitamos apenas das quantidades
ax e ay para descrever o vetor .
V
Imagine um vetor descrito num sistema de eixos ortogonal.
Imagine o mesmo vetor descrito num sistema de eixos não ortogonal.
Num sistema de eixos não ortogonal generalizado as quantidades
ax, e ay, para descrever o vetor não são as únicas possiveis.
V
As projeções paralelas
e
do vetor nos novos eixos também são possiveis. Elas são
x,
y, do vetor.
chamdas de componentes contravariantes
a
a
V
Estas componentes são
chamadas de covariantes.
a
x,
V  a eˆ
x,
x,
 V  eˆ
x,
Para o caso de um produto escalar num sistema de eixos ortogonal:
V  V  a x a x (eˆ x  eˆ x )  a ya y (eˆ y  eˆ y )  a x a y (eˆ x  eˆ y )  a y ya x (eˆ y  eˆ x )
Os fatores:
(eˆ x  eˆ y )  0
(eˆ x  eˆ y )  0
(eˆ x  eˆ x )  1 (eˆ y  eˆ y )  1
Então escrevemos o produto escalar:
V  V  a x a x (eˆ x  eˆ x )  a ya y (eˆ y  eˆ y )
Podemos generalizar o produto escalar para qualquer sistema na forma:
V  V  a  (eˆ   eˆ )a
Definimos:
g x,y  eˆ x  eˆ y  g  ,  eˆ   eˆ
Obs: índices repetidos são somados.


V  V  a (eˆ   eˆ )a  ds  dx  g , dx  dx
2
2
Para se escrever uma derivada na forma covariante:
 x 
da  , da  a d  ,
 x
x


x 
,
,
 x  ,
,

da

a

,

x

 2 x 
 , ,
 x x
 ,
 dx

Obs: índices repetidos são somados.
A relatividade formulada por Einstein em 1905 era limitada pois
é claro que devemos formular uma teoria que seja válida para
qualquer referencial.
Assim as leis da mecânica e do eletromagnetismo passam a ser
matemáticamente expressas na forma covariante, isto é, elas tem
a mesma forma para qualquer referencial escolhido.

m x

  
 
x x
Onde a mecânica esta no termo:

q 
 g F x
c


m x   
x  x

Chama-se símbolo de Christoffel.


1   g  g  g 
 g 
  

 
2
x
x 
 x
O eletromagnetismo de Maxwell é descrito na forma:
Sendo que:
F
g

 0
 E
 1
 E 2

 E3
E1
0
B3
B2
q 
g F x
c
E2
E3 
B3 B2 
0
B1 

B1
0 
é chamado de tensor métrico.
Não introduzimos nada de novo com a formulação aqui apresentada
apenas extendemos os limites de aplicação da relatividade restrita
para referenciais não inerciais fazendo-se uso de um formalismo
matemático adequado para este propósito.
Para expor a idéia de formalismo covariante vamos tomar
como exemplo o paradoxo dos gêmeos – Besso & Besso´.
Observe que ainda não introduzimos campo gravitacional!!
Imagine que Besso esta parado no ponto x e que seu irmão Besso´
desloca-se em círculo com velocidade 0,6c.
O envelhecimento para de Besso´ em relação a Besso será no tempo
para Besso.
d  dt   x  y  / c  dt 1  0, 6   0, 8dt
2
2
2
2
O referencial de Besso´ é um círculo de raio r.
x   x cos  t  y sin  t
y   x sin  t  y cos  t
r  x 2  y2  x´2  y´2
t  t
Então o tensor métrico de Besso´ será escrito na forma:
g 
  r 2 2
   1 2
c
 




 y

c


  x
c




 
  y  x 
c
c 


1
0 


0
1 


O tempo no referencial de Besso´ será dado pela forma:
 d   
2
 d Besso´ 
2
 r 2 2
  1 2

c



g
dx´
dx´

c2
2
2 2

2  x0 
2  2 x 0
2
2
2
2
2
(dt)
sin

t

cos
t
  dt   2  cos  t  sin  t  dt   
2


c
c

Conclusão!
Para Besso´ o tempo de seu
irmão Besso é: dBesso´ = dt
Isto é: Besso envelhece mais
rápido que o irmão vajante
mesmo se consideramos o
tempo no referencial do irmão
viajante, Besso´.
1




Einstein observou que não podemos jamais eliminar a gravidade só com a escolha de um
referencial conveniente e este fato o conduziu a reformular a relatividade restrita nos
seguintes termos:
Conservando o seu primeiro
postulado da relatividade restrita
mas abandonando o postulado
da constância da velocidade
da luz!
Vamos entender o porque Einstein abandonou o princípio da
constância da velocidade da luz para qualquer referêncial.
Imagine este lugar longe de uma massa
gravitante!O espaco-tempo é quase plano.
Então aqui a velocidade da luz é c! em
relação a uma posição mais próxima de uma
massa gravitante
Também não podemos mais sincronizar relógios entre estes dois lugares.
Imagine este lugar mais perto de uma massa gravitante! Aqui
o espaço-tempo é curvo! Então aqui a velocidade da luz é > c!
em relação a uma posição mais distante de uma massa
gravitante.
Einstein se perguntou: Porque sob um campo gravitacional corpos
com massas diferentes caem com a mesma aceleração?
A resposta que ele encontrou é que a gravitação é uma força inercial!
Einstein percebeu que a única região do espaço em que poderia
ser observado o fenômeno de equivalência de inércia e gravitação
seria numa região infinitesimal do espaço mas o espaço visto de
maneira global deveria ser curvo devido a presença de matéria.
Esta é a origem da gravitação!!
Vamos ver isto com outro ponto de vista.
O comprimento de um círculo num ref. inercial respeita a relação
Cinercial = 2pr mas a mesma régua no ref. girante(não inercial) sera encurtadada na razão
(1 - v2/c2)1/2 portanto agora Cnão-inercial ≠ 2pr.
Não podemos comparar réguas entre estes dois referenciais.
Também não podemos comparar relógios entre os dois referenciais.
No ref. Inercial
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 e então:
g = (1,1,1,-1)diagonal em:
ds2  g dx  dx
No ref. não inercial girante com velo. angular :
g 
  r 2 2
   1 2
c
 




 y

c


  x
c




 
  y  x 
c
c 


1
0 


0
1 


O tempo no ref. não inercial girante com veloc. angular  não é
escrito na mesma forma que no ref. inercial:
 d 
2
 r 2 2
  1 2

c

2 2

 2 x0 
2
2  2 x 0
2
2
2
2
2
(dt)
sin

t

cos
t
  dt   2  cos  t  sin  t  dt   
2


c
c





Não podemos comparar o tempo no ref. não
inercial girante e nem entre outro ref. girante.
Os relógios não são mais
sincronizaveis.
A relatividade geral, formulada em 1916 tinha a seguinte estrutura:
1)Os fenômenos físicos observados
devem ser os mesmos independente
do referencial inercial que escolhermos.
2)Vale o Princípio da equivalência
da inércia e da gravitação num
elemento infinitesimal do espaço-tempo.
3)Vale o princípio de Mach que afirma
que a inércia dos corpos é devida a ação
de todos os outros corpos no universo.*
*Esta afirmação posteriormente foi eliminada devido a existência de curvatura do espaço-tempo para o espaço vazio.
A geometria de Minkowski que é escrita na forma:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2
ds2  g dx  dx
e é chamada de pseudo-euclidiana pois o termo c2t2 tem sinal negativo, passa a ter
termos cruzados sendo impossível de ser reduzida novamente na forma de
Minkowski.
A geometria da teoria geral
da relatividade será agora
descrita pela geometria do
espaço curvo de Riemman.
Na relatividade geral não existe gravidade o que existe é a curvatura
do espaço-tempo devido a presença de matéria!
Numa região exterior a massa as
equações de campo de Einstein
serão regidas apenas pelo tensor
de curvatura de Ricci no vácuo.
O Paradoxo de Olbers.
Porque o céu noturno é escuro?
O céu deveria estar plenamente
iluminado pelas infinitas estrelas!!!!!
Fim.
Dr. S. Simionatto - 2009