Conceitos Básicos de Probabilidade
(Revisão)
ANO 2015
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto - 2015
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Frequência Relativa x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
1
1
2
0
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
0
1
1
Valor sorteado = 1
# sorteios = 1
Total
3
Frequência Relativa x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
1
0,5
1
2
0
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
1
0,5
0
2
1
1
Valor sorteado = 6
# sorteios = 2
Total
4
Frequência Relativa x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
15
0,15
2
19
0,19
3
16
0,16
4
14
0,14
5
19
0,19
6
17
0,17
100
1
Valor sorteado = 6
# sorteios = 100
Total
Após 100 sorteios...
5
Frequência Relativa x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
158
0,158
2
168
0,168
3
166
0,166
4
146
0,146
5
178
0,178
6
184
0,184
1000
1
Valor sorteado = 1
# sorteios = 1000
Total
Após 1000 sorteios...
6
Frequência Relativa x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
Total
(ver pasta exemplo1 em revisao_probabilidade.xls)

E se o experimento
fosse repetido
infinitamente?
1
7
Frequência Relativa x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Total
1 2
3 4
5 6
Probabilidade
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
1
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P
# eventos favoráveis
# eventos possíveis
0  P(evento qualquer)  1
8
Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
1 2
3 4
5 6
P
# eventos favoráveis
# eventos possíveis
• Qual a probabilidade de obter um valor igual a 1?
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(valor igual a 1) =
1
6
• Qual a probabilidade de obter um valor múltiplo 3?
P(valor múltiplo 3) =
2
6
=
1
3
9
Probabilidade
A
?
B
S
Qual a probabilidade
do objeto selecionado
ser quadrado ou ser
vermelho?
A = objeto quadrado
B = objeto vermelho
10
Probabilidade
Diagrama de Venn
ocorre A ou B
ocorre somente A
A B
A B
ocorrem A e B
simultaneamente
A B
não ocorre nem A
nem B
A B  A  B
não ocorre A
não ocorrem A e B
simultaneamente
A B  A  B
A
B
S
A
11
Probabilidade
P( A  B )  ?
P( A  B )  ?
P( A)  ?
12
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
do objeto selecionado
ser quadrado ou ser
vermelho?
A B
P(Quadrado Vermelho) 
8
9
P(Quadrado Vermelho)  P(Quadrado)  P(Vermelho)

5 5 10
 
 1?
9 9 9
13
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
do objeto selecionado
ser quadrado ou ser
vermelho?
P(Quadrado Vermelho) 
8
9
P(Quadrado Vermelho)  P(Quadrado)  P(Vermelho)  P(Quadrado Vermelho)

5 5 2 8
  
9 9 9 9
14
Probabilidade
A B
 ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)
P( A  B)  P( A  B)  P( A  B)  P( A  B)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( A  B)  0  P( A  B)  P( A)  P( B)
(eventos mutuamente exclusivos)
15
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
A B
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
11
?
?
10
.
.
.
?
16
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
A B
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
6
?
110
5
.
.
.
?
17
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
A B
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
30
110
6 5
6.5

1110 11.10
P(?) 1 )
P(Vermelho
18
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
30
110
6 5
6.5

1110 11.10
P(?) que Vermelho1 )
P(Vermelho2 sabendo
P(Vermelho2 / Vermelho1 )
19
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
30
110
P(Vermelho1  Vermelho2 )  P(Vermelho1 ).P (Vermelho2 / Vermelho1 )

6 5
30
. 
11 10 110
20
Probabilidade
A B
P( A  B)  P( A).P( B / A)
 P( B).P( A / B)
21
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
P(Vermelho1  Vermelho2 ) 
6 6
.
11 11
?
?
(eventos independentes)
 P(Vermelho1 ).P(Vermelho2 )
22
Probabilidade
A B
P( A  B)  P( A).P( B / A)
 P( B).P( A / B)
P( A / B)  P( A) e P( B / A)  P( B)  P( A  B)  P( A).P( B)
(eventos independentes)
23
Probabilidade
Qual a probabilidade
de escolher pelo
menos 1 objeto
vermelho?
A
P( pelo menos 1 Vermelho)  P(1 Vermelho)  P(2 Vermelhos)  P(3 Vermelhos) 
 P(4 Vermelhos)  P(5 Vermelhos)
 1  P(5 Azuis)
5 4 3 2 1
. . . .
11 10 9 8 7
 0,9978
 1
24
Probabilidade
A
P( A)  1  P( A)
25
Probabilidade
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
A B
P( A  B)  P( A)  P( B)
A B
P( A  B)  P( A).P( B / A)  P( B).P( A / B)
P( A  B)  P( A).P( B)
A
eventos
mutuamente
exclusivos
eventos
independentes
P( A)  1  P( A)
26
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
a) seja da classe A;
b) corresponda a uma queimada, sabendo que o ponto é da classe A;
c) corresponda a uma queimada; e
d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.
27
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
a) seja da classe A;
P( A) 
b)
100 1

600 6
corresponda a uma queimada, sabendo que o ponto é da classe A;
P(Q / A) 
10
100
28
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
c) corresponda a uma queimada;
P(Q) 
10  10  3 23

600
600
Probabilidade Total
29
Probabilidade Total
A1
A2
A3
A4
A5
A1  A2  A3  A4  A5  S
Ai  Aj   i, j
i j
P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A4 )  P( A5 )  1
conjuntos disjuntos
eventos mutuamente exclusivos

i 1
Ai  S

 P( A )  1
i 1
i
30
Probabilidade Total
A1
A2
A3
5
5
i 1
i 1
 ( A5  B)
P( B)   P( Ai  B)   P( Ai ).P( B / Ai )
B
A4
B  ( A1  B)  ( A2  B) 
A5
31
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
c) corresponda a uma queimada;
Q  ( A  Q)  ( B  Q)  (C  Q)
P(Q)  P( A  Q)  P( B  Q)  P(C  Q)
P(Q)  P( A).P(Q / A)  P( B).P(Q / B)  P(C ).P(Q / C )
1 10 2 5
3 1
10  10  3 23
P(Q) 




6 100 6 100 6 100
600
600
32
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.
P( A / Q) 
10
23
Teorema de Bayes
33
Teorema de Bayes
A1
A2
A3
B
A4
P( Ai  B)  P( Ai ).P( B / Ai )  P( B).P( Ai / B)
P( Ai / B) 
A5
P( Ai ).P( B / Ai )

P( B )
P ( Ai ). P( B / Ai )
5
 P( A ).P( B / A )
j 1
j
j
34
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.
P ( A / Q) 
P( A).P(Q / A)
P( A).P(Q / A)  P( B).P(Q / B)  P(C ).P(Q / C )
1 1
1
10 600 10
6 10
P( A / Q) 
 60 

1 10 2 5 3 1
23 600 23 23


6 100 6 100 6 100 600
35
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
?
P(V1  V2  V3  A4  A5 ) 
36
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
?
P(V1  V2  V3  A4  A5 ) 
11 10 9 8 7
37
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
?
P(V1  V2  V3  A4  A5 ) 
6 5 454
1110 9 8 7
P( A1  A2  V3  V4  V5 ) 
5 4 654
1110 9 8 7
Técnicas de contagem
38
Técnicas de Contagem
A A
I
I
U
O
E
O
De quantas formas posso rearranjar estas 9 letras?
O
• sem reposição
Permutação com repetição
n!
# grupos 
n1 ! n2 !...nk !
# grupos 
k
n   ni
i 1
9!
98765432

 15120
2!1!2!3!1!
2232
AE I OU
39
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
 5  5 
5!
  
3!2!
 3  2 
P(3Vermelhos ) 
5! 6 5 4 5 4
3!2!11 10 9 8 7
40
Probabilidade
Exercícios
4)
A
B
Qual a probabilidade que ambas
sejam da mesma cor?
M  ( R1  R2 )  (G1  G2 )  ( B1  B2 )
P( M )  P( R1  R2 )  P(G1  G2 )  P( B1  B2 )
P( M )  P( R1 ) P( R2 / R1 )  P(G1) P(G2 / G1)  P( B1) P( B2 / B1)
???
41
Probabilidade
Exercícios
4)
A
B
Qual a probabilidade que ambas
sejam da mesma cor?
M  ( M B  RA )  ( M B  GA )  ( M B  BA )
P( M )  P( M B  RA )  P( M B  GA )  P( M B  BA )
P( M )  P( RA )P( M B / RA )  P(GA )P( M B / GA )  P( BA )P( M B / BA )
M B  ( RB1  RB2 )  (GB1  GB2 )  ( BB1  BB2 )
42
Probabilidade
Exercícios
4)
A
B
Qual a probabilidade que ambas
sejam da mesma cor?
P( M )  P( RA )P( M B / RA )  P(GA )P( M B / GA )  P( BA )P( M B / BA )
M B  ( RB1  RB2 )  (GB1  GB2 )  ( BB1  BB2 )
3 2 1 2 1
32
2 1 2 1
 1
 2


0

0


0

0








65 4 5 4
54
5 4 5 4
 6
 6
3 4 1 6 2 4
26 13
P( M ) 




6 20 6 20 6 20 120 60
P( M ) 
(ver pasta exemplo2 em revisao_probabilidade.xls)
43