Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
ANO 2010
Camilo Daleles Rennó
camilo@dpi.inpe.br
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Freqüência x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
1
1
2
0
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
0
1
1
Total
Freqüência x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
1
0,5
?1
2
0
0
?
3
0
0
?
4
0
0
?
5
0
0
?
6
0
1
0,5
0
?
2
1

1
Total
(ver pasta exemplo1 em 02probabilidade.xlsx)
Freqüência x Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Total
1 2
3 4
5 6
Probabilidade
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
1
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P
# eventos favoráveis
# eventos possíveis
0  P(evento qualquer)  1
Probabilidade
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
1 2
3 4
5 6
P
# eventos favoráveis
# eventos possíveis
• Qual a probabilidade de obter um valor igual a 1?
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(valor igual a 1) =
1
6
• Qual a probabilidade de obter um valor múltiplo 3?
P(valor múltiplo 3) =
2
6
=
1
3
Probabilidade
Diagrama de Venn
A
 BB ?
ocorre AAou
A B A ?
ocorre somente
ocorremAAeBB
simultaneamente?
não ocorre
A  nem
B  AAeB
nem B ?
A A?
não ocorre
não ocorrem
AeB
A B  A  B
simultaneamente?
B
S
Probabilidade
P( A  B )  ?
P( A  B )  ?
P( A)  ?
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
do objeto selecionado
ser quadrado ou ser
vermelho?
A B
P(Quadrado Vermelho) 
P(Quadrado Vermelho)  P(Quadrado)  P(Vermelho)

5 5 10
 
 1?
9 9 9
8
9
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
do objeto selecionado
ser quadrado ou ser
vermelho?
P(Quadrado Vermelho) 
8
9
P(Quadrado Vermelho)  P(Quadrado)  P(Vermelho)  P(Quadrado Vermelho)

5 5 2 8
  
9 9 9 9
Probabilidade
A B
 ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)
P( A  B)  P( A  B)  P( A  B)  P( A  B)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( A  B)  0  P( A  B)  P( A)  P( B)
(eventos mutuamente exclusivos)
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
A B
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
11
10
.
.
.
?
?
?
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
A B
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
6
5
.
.
.
?
?
110
Probabilidade
Exemplo:
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
A B
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
6 5
6.5

1110 11.10
P(?) 1 )
P(Vermelho
30
110
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
6 5
6.5

1110 11.10
P(?) que Vermelho1 )
P(Vermelho2 sabendo
P(Vermelho2 / Vermelho1 )
30
110
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
P(Vermelho1  Vermelho2 )  P(Vermelho1 ).P (Vermelho2 / Vermelho1 )

6 5
30
. 
11 10 110
30
110
Probabilidade
A B
P( A  B)  P( A).P( B / A)
 P( B).P( A / B)
Probabilidade
Exemplo:
A B
Qual a probabilidade
de escolher dois
objetos vermelhos?
P(Vermelho1 Vermelho2 ) 
P(Vermelho1  Vermelho2 ) 
6 6
.
11 11
(eventos independentes)
 P(Vermelho1 ).P(Vermelho2 )
?
?
Probabilidade
A B
P( A  B)  P( A).P( B / A)
 P( B).P( A / B)
P( A / B)  P( A) e P( B / A)  P( B)  P( A  B)  P( A).P( B)
(eventos independentes)
Probabilidade
Qual a probabilidade
de escolher pelo
menos 1 objeto
vermelho?
A
P( pelo menos 1 Vermelho)  P(1 Vermelho)  P(2 Vermelhos)  P(3 Vermelhos) 
 P(4 Vermelhos)  P(5 Vermelhos)
 1  P(5 Azuis)
5 4 3 2 1
. . . .
11 10 9 8 7
 0,9978
 1
Probabilidade
A
P( A)  1  P( A)
Probabilidade
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
A B
P( A  B)  P( A)  P( B)
A B
P( A  B)  P( A).P( B / A)  P( B).P( A / B)
P( A  B)  P( A).P( B)
A
eventos
mutuamente
exclusivos
P( A)  1  P( A)
eventos
independentes
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
a) seja da classe A;
b) corresponda a uma queimada, sabendo que o ponto é da classe A;
c) corresponda a uma queimada; e
d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
a) seja da classe A;
P( A) 
b)
100 1

600 6
corresponda a uma queimada, sabendo que o ponto é da classe A;
P(Q / A) 
10
100
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
c) corresponda a uma queimada;
P(Q) 
10  10  3 23

600
600
Probabilidade Total
Probabilidade Total
A1
A2
A3
A4
A5
A1  A2  A3  A4  A5  S
Ai  Aj   i, j
P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A4 )  P( A5 )  1
conjuntos disjuntos
eventos mutuamente exclusivos

i 1
Ai  S

 P( A )  1
i 1
i
i j
Probabilidade Total
A1
A2
A3
5
5
i 1
i 1
 ( A5  B)
P( B)   P( Ai  B)   P( Ai ).P( B / Ai )
B
A4
B  ( A1  B)  ( A2  B) 
A5
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
c) corresponda a uma queimada;
Q  ( A  Q)  ( B  Q)  (C  Q)
P(Q)  P( A  Q)  P( B  Q)  P(C  Q)
P(Q)  P( A).P(Q / A)  P( B).P(Q / B)  P(C ).P(Q / C )
1 10 2 5
3 1
10  10  3 23
P(Q) 




6 100 6 100 6 100
600
600
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.
P( A / Q) 
10
23
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
A1
A2
A3
B
A4
P( Ai  B)  P( Ai ).P( B / Ai )  P( B).P( Ai / B)
P( Ai / B) 
A5
P( Ai ).P( B / Ai )

P( B )
P ( Ai ). P( B / Ai )
5
 P( A ).P( B / A )
j 1
j
j
Probabilidade
Exercícios
1)
Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram
escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo
com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de B e 300 de C.
Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das
classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um
ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto:
d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.
P ( A / Q) 
P( A).P(Q / A)
P( A).P(Q / A)  P( B).P(Q / B)  P(C ).P(Q / C )
1 1
1
10 600 10
6 10
P( A / Q) 
 60 

1 10 2 5 3 1
23 600 23 23


6 100 6 100 6 100 600
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
?
P(V1  V2  V3  A4  A5 ) 
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
?
P(V1  V2  V3  A4  A5 ) 
11 10 9 8 7
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
?
P(V1  V2  V3  A4  A5 ) 
6 5 454
1110 9 8 7
P( A1  A2  V3  V4  V5 ) 
5 4 654
1110 9 8 7
Técnicas de contagem
Técnicas de Contagem
A A
I
I
U
O
E
O
De quantas formas posso rearranjar estas 9 letras?
O
• sem reposição
Permutação com repetição
n!
# grupos 
n1 ! n2 !...nk !
# grupos 
k
n   ni
i 1
9!
98765432

 15120
2!1!2!3!1!
2232
AE I OU
Probabilidade
Exercícios
Qual a probabilidade
de escolher
exatamente 3
objetos vermelhos?
2)
3Vermelhos  3Vermelhos  2 Azuis
P(3Vermelhos)  P(V1 V2 V3  A4  A5 ) 
 P( A1  A2 V3 V4 V5 )
 5  5 
5!
  
3!2!
 3  2 
P(3Vermelhos ) 
5! 6 5 4 5 4
3!2!11 10 9 8 7
Probabilidade
Exercícios
3)
Duas imagens de duas épocas distintas foram classificadas em 3
classes: floresta (F), capoeira (C) e área agrícola (A). A fim de
comparar as mudanças entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada
entre as imagens classificadas, obtendo-se a seguinte matriz de
confusão (em ha):
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
Capoeira
0
150
50
Área Agrícola
20
30
100
Selecionando-se um ponto aleatoriamente, calcule a probabilidade deste ponto:
a) ser floresta na época 1;
b) ser floresta em ambas as épocas;
c) ser capoeira em qualquer época;
d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas;
e) ser capoeira na época 2, tendo sido área agrícola na época 1; e
f) ser capoeira na época 2, não tendo sido área agrícola na época 1.
Probabilidade
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
a)
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
100
Capoeira
0
150
50
200
Área Agrícola
20
30
100
150
120
180
150
450
ser floresta na época 1
P( F1 ) 
120
450
Probabilidade
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
b)
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
100
Capoeira
0
150
50
200
Área Agrícola
20
30
100
150
120
180
150
450
ser floresta em ambas as épocas
P( F1  F2 ) 
100
450
Probabilidade
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
c)
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
100
Capoeira
0
150
50
200
Área Agrícola
20
30
100
150
120
180
150
450
ser capoeira em qualquer época
P(C1  C2 ) 
180  200  150 230

450
450
Probabilidade
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
d)
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
100
Capoeira
0
150
50
200
Área Agrícola
20
30
100
150
120
180
150
450
não ter mudado de classe entre as épocas analisadas
P ( F1  F2 )  (C1  C2 )  ( A1  A2 )  
100  150  100 350

450
450
Probabilidade
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
e)
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
100
Capoeira
0
150
50
200
Área Agrícola
20
30
100
150
120
180
150
450
ser capoeira na época 2, tendo sido área agrícola na época 1
P C2 / A1  
50
150
Probabilidade
É p o c a 1
É
p
o
c
a
2
f)
Floresta
Capoeira
Área
Agrícola
Floresta
100
0
0
100
Capoeira
0
150
50
200
Área Agrícola
20
30
100
150
120
180
150
450
ser capoeira na época 2, não tendo sido área agrícola na época 1
P  C2 / A1  
0  150
150

120  180 300
 1  P(C2 / A1 )
Probabilidade
Exercícios
4)
A
B
Qual a probabilidade que ambas
sejam da mesma cor?
M  ( R1  R2 )  (G1  G2 )  ( B1  B2 )
P( M )  P( R1  R2 )  P(G1  G2 )  P( B1  B2 )
P( M )  P( R1 ) P( R2 / R1 )  P(G1) P(G2 / G1)  P( B1) P( B2 / B1)
???
Probabilidade
Exercícios
4)
A
B
Qual a probabilidade que ambas
sejam da mesma cor?
M  ( M B  RA )  ( M B  GA )  ( M B  BA )
P( M )  P( M B  RA )  P( M B  GA )  P( M B  BA )
P( M )  P( RA )P( M B / RA )  P(GA )P( M B / GA )  P( BA )P( M B / BA )
M B  ( RB1  RB2 )  (GB1  GB2 )  ( BB1  BB2 )
Probabilidade
Exercícios
4)
A
B
Qual a probabilidade que ambas
sejam da mesma cor?
P( M )  P( RA )P( M B / RA )  P(GA )P( M B / GA )  P( BA )P( M B / BA )
M B  ( RB1  RB2 )  (GB1  GB2 )  ( BB1  BB2 )
3 2 1 2 1
32
2 1 2 1
 1
 2


0

0


0

0








65 4 5 4
54
5 4 5 4
 6
 6
3 4 1 6 2 4
26 13
P( M ) 




6 20 6 20 6 20 120 60
P( M ) 
(ver pasta exemplo2 em 02probabilidade.xlsx)
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Probabilidade