Análise de Resposta Transitória e de
Regime Estacionário
5.6. Um Exemplo de Problema Resolvido com MATLAB
5.7. Critério de Estabilidade de Routh
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição –
Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
1
Sistema Mecânico Vibratório (1)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (2)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (3)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (4)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (5)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (6)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (7)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (8)
Aula 15
Sistema Mecânico Vibratório (9)
Aula 15
Critério de Estabilidade de Routh

O problema mais importante relacionado aos sistemas de
controle é o da estabilidade

Sob quais condições o sistema se tornará instável?

Se for instável, como fazer para estabilizá-lo?

A maioria dos sistemas de controle tem funções de
transferência da forma:

O critério de Estabilidade de Routh possibilita determinar o
número de polos de malha fechada que se situam no semiplano direito de s, sem ter que fatorar o polinômio do
denominador.
Aula 15
Critério de Estabilidade de Routh –
Passo 1
Aula 15
Critério de Estabilidade de Routh –
Passo 2
Aula 15

Se algum dos coeficientes for zero ou negativo
na presença de pelo menos um coeficiente
positivo, então existirá uma ou mais raízes
imaginárias que tenham partes reais positivas.

Nesse caso, o sistema não será estável.

Não há necessidade de continuar o
procedimento.
Critério de Estabilidade de Routh –
Passo 2

Todos os argumentos são positivos.

Poderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticos

O fator (s2+bs+c) resulta em raízes com partes
reais negativas somente se b e c forem ambos
positivos.

Para que todas as raízes tenham partes reais
negativas, as contantes a,b e c, em todos os
fatores devem ser positivas.

A condição necessária mas não suficiente para a
estabilidade, é que os coeficientes do polinômio
estejam todos presentes e tenham sinais positivos.
Aula 15
Critério de Estabilidade de Routh –
Passo 3

Aula 15
Organize os coeficientes do polinômio em linhas e
colunas, de acordo com o seguinte padrão:
Critério de Estabilidade de Routh –
Passo 4

O número de raízes com partes reais positivas é
igual ao número de mudanças no sinal dos
coeficientes da primeira coluna da matriz.

Condição necessária e suficiente para que todas as
raízes se situem no semi-plano esquerdo do plano
s é que todos os coeficientes sejam positivos e que
todos os elementos da primeira coluna da matriz
tenham sinais positivos.
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Exemplo 5.12.
Aula 15
Exemplo 5.13.
Aula 15
Casos Especiais (1)

Aula 15
Se um termo na primeira coluna for nulo, mas
os termos restantes não forem nulos ou não
existirem, então o termo nulo será substituído
por um número positivo muito pequeno e o
resto da matriz será calculada.
Casos Especiais (2)
Aula 15
Casos Especiais (3)


Aula 15
Se todos os coeficientes em uma dada linha
forem nulos, isso indica que há raízes de
mesmo valor, radialmente opostas, situadas no
plano s:

Duas raízes reais de igual valor e sinais opostos e/ou

Duas raízes imaginárias/conjugadas
Nesse caso, pode-se continuar o cálculo do
resto da matriz, formando-se um polinômio
auxiliar com os coeficientes da última linha e
utilizando os coeficientes da derivada desse
polinômio na próxima linha.
Casos Especiais (4)
Aula 15
Casos Especiais (5)
Aula 15
Análise da Estabilidade Relativa
Aula 15

O Critério de Estabilidade de Routh fornece a
resposta para a questão da estabilidade
absoluta.

Um método eficiente para determinar a
estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano
s e aplicar o critério da estabilidade de Routh.

Isto é, substitui-se:

Assim, o teste revela o número de raízes que
se situam à direita da linha vertical
Aplicação do Critério de Estabilidade de
Routh à Análise de Sistemas de Controle
Aula 15

Tem aplicabilidade limitada pois não sugere
como melhorar a estabilidade relativa ou como
estabilizar um sistema instável.

É possível determinar os efeitos da mudança de
um ou dois parâmetros do sistema examinando
os valores que causam a instabilidade.
Aplicação do Critério de Estabilidade de
Routh à Análise de Sistemas de Controle
Aula 15
Aplicação do Critério de Estabilidade de
Routh à Análise de Sistemas de Controle
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