MECÂNICA CLÁSSICA
CAPITULO 6. LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
6.1
MOVIMENTO NO VÁCUO
6.1.1
LANÇAMENTO HORIZONTAL
Um corpo é lançado horizontalmente
quando a velocidade inicial v0 é horizontal.
Nesse lançamento, valem as equações do
lançamento
oblíquo,
com
as
seguintes
particularidades:
Movimento horizontal
(MU)
ax = 0
v0x = vx = constante
Movimento vertical
(Queda livre)
ay = g = constante
x = v0x.t
Vy = g.t
y
v y2
6.1.2
1 2
g .t
2
COMPONENTES DA VELOCIDADE
Como ponto de partida, faremos
a decomposição da velocidade inicial
da partícula v0, em função do ângulo
de lançamento θ, descobrindo a
intensidade de suas componentes
horizontal (v0x) e vertical (v0y):
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
Para se estudar o lançamento oblíquo,
deve-se utilizar as funções horárias do MU e
MUV, já vista anteriormente. Cada componente
do
movimento
deve
ser
estudada
separadamente, e de forma independente uma
da outra.
Consideraremos, por conveniência, a
troca de algumas letras nas funções horárias,
como se pode observar no quadro abaixo:
Movimento horizontal
ax = 0
v0x = vx = constante
x = v0x.t
2 g. y
y = v0y.t –
vy2
LANÇAMENTO OBLÍQUO
Um corpo é lançado obliquamente quando
arremessado com uma velocidade inicial v0, numa
certa direção, que forma um ângulo θ com a
direção horizontal, sendo 0 < θ < 90º.
Desprezando-se a resistência do ar, o movimento
resultante tem uma trajetória parabólica e é uma
composição de movimentos em dois eixos:
no eixo horizontal (Ox): MU, pois não há
nenhuma aceleração neste eixo;
no eixo vertical (Oy): MUV, pois existe a
ação da aceleração gravitacional constante.
Movimento vertical
ay = - g = constante
vy = v0y – g.t
1 2
g.t
2
v02y 2g. y
CÁLCULOS USUAIS
a) Altura máxima:
No ponto mais alto, há mudança de
sentido no eixo vertical: vy = 0; então, sendo
y = hmáx, aplicando-se a equação de Torricelli,
temos:
hmáx
v02 .sen 2
2g
b) Alcance horizontal:
O instante final (quando volta a h = 0) do
movimento é igual ao dobro do instante no
ponto mais alto (hmáx), pois o tempo de subida é
igual ao de descida, logo, das equações do
movimento, obtemos:
Observe que:
xo = 0 e y0 = 0 escolhidos por conveniência.
xmáx
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v02 .sen 2
g
1
Geometria Espacial - Exercícios
Observações:
1) Pela expressão do alcance, nota-se que dentre
todos os ângulos de disparo (θ) aquele que
propicia o maior alcance horizontal é 45°, pois sen
2θ será máximo e igual a 1 quando 2θ for 90°, ou
seja, quando θ= 45°. Devido a isso, o alcance
horizontal máximo (θ = 45°) para uma dada
velocidade inicial (v0) é obtido por:
2) Para ângulos de lançamentos complementares,
90 , os respectivos alcances serão
isto é, 1
2
iguais (D1 = D2).
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Figura 1 – Família de trajetórias parabólicas descritas por
projéteis que foram disparados da origem do sistema de
coordenadas com velocidade de disparo Vo constante
o
sob cada um dos seguintes ângulos de disparo a: 15 ,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
30 , 45 , 60 , 75 , 85 , 95 , 105 , 120 , 135 , 150 e
o
165 .
Para cada ângulo α, a trajetória seguida
pelo projétil é uma parábola que parte da
origem, atinge uma altura máxima e retorna ao
solo horizontal como mostrado na figura 1.
O movimento parabólico de um projétil
pode ser interpretado como a superposição de
dois movimentos ortogonais simples: (1) um
MRU na horizontal; (2) e MRUV na vertical sob
a ação exclusiva do peso. Teremos as
seguintes equações:
(eq 1)
→ (eq 2)
A equação da trajetória parabólica é
dada por:
→ (eq 3)
6.1.3
APROFUNDAMENTO: PARÁBOLA DE
SEGURANÇA (PS)
A parábola de segurança (ps) é uma
ferramenta poderosa que resolve, de forma
simples e elegante, problemas de máximos e
mínimos, envolvendo lançamento de projéteis que,
de outra forma, seriam solucionados com um
enorme trabalho algébrico, regado a cálculo
diferencial.
6.1.3.1 DEFINIÇÃO
Considere um lançador de projéteis,
localizado na origem de um sistema de
coordenadas cartesianas XY, disparando projéteis
com velocidade inicial V0 constante, mas sob
diferentes ângulos de disparo α com a horizontal,
variando gradativamente no intervalo 0º < α < 180º.
Efetuando-se
uma
sequência
de
disparos sob ângulos α, obtemos uma família
de trajetórias parabólicas que têm, em comum,
a velocidade de disparo V0, sendo cada uma
delas descrita pela eq 3.
Figura 2 - Todas as trajetórias parabólicas de projéteis
disparados com mesma velocidade inicial VO , mas sob ângulos
de disparos variados, tangenciam internamente uma parábola
envolvente, denominada parábola de segurança.
A expressão “parábola de segurança”
advém do fato de que ela define o lugar
geométrico dos pontos do plano XY que jamais
serão atingidos pelo lançador, ao efetuar
disparos
com
aquela
velocidade
V0
característica daquela PS. O conjunto de todos
os pontos externos a essa PS constituem a
chamada “ zona de segurança”.
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2
Geometria Espacial - Exercícios
Figura 3 - pontos localizados na zona externa à
parábola de segurança (PS) não são alcançados por esse
lançador, quando dispara projéteis com a velocidade VO
característica dessa PS
6.1.3.2 EQUAÇÃO DA PS
Seja um lançador, localizado na origem
(0,0) dom plano cartesiano, disparando projéteis
com velocidade de módulo V0 constante, porém,
sob ângulo α variável, desejamos responder à
seguinte pergunta:
Dado um ponto P qualquer, do plano cartesiano,
localizado nas coordenadas (XP, YP), com qual
ângulo α o lançador deverá efetuar o disparo a fim
de atingir aquele ponto?
Portanto, demonstra-se que:
Essa equação do 2º grau na variável α
fornecerá os valores do ângulo de disparo α para
os quais o projétil, efetivamente, passa pelo ponto
P. Entretanto, dependendo das coordenadas
(XP, YP) desse ponto, porém, três situações podem
ocorrer:
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Caso 3: Δ < 0 ⤇ a equação não possui solução.
Em outras palavras, não existe ângulo α que
faça a trajetória do projétil passar pelo ponto
(XP, YP). O motivo é que a velocidade do
lançador está pequena demais para atingir esse
ponto. Para atingi-lo, será necessário aumentar
a velocidade de disparo, isto é, trocar a PS
original por uma nova PS mais abrangente que
obtenha esse ponto P. Graficamente, significa
que o ponto P é externo à PS.
Portanto, para obtermos a equação da
PS, deveremos impor a condição Δ = 0 e
resolver a equação:
A equação acima é conhecida
equação da parábola de segurança.
como
6.1.3.3 EXEMPLOS
Caso 1: Δ > 0 ⤇ nesse caso, a equação fornecerá
dois ângulos α distintos para os quais (XP, YP) será
atingidos pelo projétil. Graficamente, o ponto P é
interno à PS.
Caso 2: Δ = 0 ⤇ nesse caso, a equação fornecerá
um único ângulo α de disparo sob o qual o ponto
(XP, YP) será atingido pelo projétil. Graficamente, o
ponto P está sobre a PS.
01 - Um prédio de 25 andares está em
chamas e, dadas as grandes proporções do
incêndio, o caminhão do corpo de
bombeiros só consegue chegar a uma
proximidade d = 20 m da base do prédio.
Se a água desse esguicho é lançada com
uma velocidade inicial v0 = 20 m/s.
Determine a altura h da janela mais alta,
que poderá ser atingida pelo jato d‟água.
Despreze a altura inicial do jato d‟água,
admitindo que ele parta do solo e adote
g = 10 m/s2
02 - Pedrinho quer chutar uma bola de
futebol por cima de um muro de altura h = 5
m, distante d = 20 m do local onde se
encontra a bola. Sendo g = 10 m/s2,
determine a menor velocidade V0 com que
se deve chutar a bola para atingir o seu
objetivo.
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3
Geometria Espacial - Exercícios
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01 – (AFA) No instante t = 0, uma partícula A é
lançada obliquamente, a partir do solo, com
velocidade de 80 m/s sob um ângulo de 30° com a
horizontal. No instante t = 2 s, outra partícula B é
lançada verticalmente para cima, também a partir
do solo, com velocidade de 70 m/s, de um ponto
situado a 3 200 m da posição de lançamento da
primeira. Sabendo-se que essas duas partículas
colidem no ar, pode-se afirmar que no momento do
encontro:
a) ambas estão subindo.
b) A está subindo e B descendo.
c) B está subindo e A descendo.
d) ambas estão descendo.
02 – (AFA) uma bola de basquete descreve a
trajetória mostrada na figura após ser arremessada
por um jovem atleta que tenta bater um recorde de
arremesso:
A bola é lançada com uma velocidade de 10 m/s e,
ao cair na cesta, sua componente horizontal vale
6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere
g = 10 m/s2. Pode-se afirmar que a distância
horizontal (x) percorrida pela bola desde o
lançamento até cair na cesta, em metros, vale
a) 3,0
c) 4,8
b) 3,6
d) 6,0
03 – (EEAR) Durante a invasão da Normandia, os
canhões dos navios aliados deveriam atingir as
posições alemãs na praia de Omaha às 6 horas:
30 minutos: 00 segundo. Desprezando os efeitos
da resistência do ar, determine o instante em que
os disparos deveriam ocorrer para acertar os alvos
no instante previsto.
Dado:
-módulo da componente vertical da velocidade
(V0y) de lançamento igual a 10 m/s.
-aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s2.
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-considere que as posições alemãs na praia e
os navios estão na mesma altitude, ou seja, no
mesmo plano horizontal.
a) 6 horas: 30 minutos: 02 segundos
b) 6 horas: 29 minutos: 58 segundos
c) 5 horas: 30 minutos: 02 segundos
d) 5 horas: 29 minutos: 58 segundos
04 – (UFMG) Clarissa chuta, em seqüência, três
bolas - P, Q e R -, cujas trajetórias estão
representadas nesta figura:
Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos,
respectivamente, pelas bolas P, Q e R, desde o
momento do chute até o instante em que
atingem o solo.
Considerando-se
essas
informações,
é
CORRETO afirmar que:
a) t(Q) > t(P) = t(R)
b) t(R) > t(Q) = t(P)
c) t(Q) > t(R) > t(P)
d) t(R) > t(Q) > t(P)
05 – (ITA) Durante as Olimpíadas de 1968, na
cidade do México, Bob Beamow bateu o
recorde de salto em distância, cobrindo 8,9 m
de extensão. Suponha que, durante o salto, o
centro de gravidade do atleta teve sua altura
variando de 1,0m no início, chegando ao
máximo de 2,0m e terminando a 0,20m no fim
do salto. Desprezando o atrito com o ar, podese afirmar que a componente horizontal da
velocidade inicial do salto foi de:
a) 8,5 m/s.
b) 7,5 m/s.
c) 6,5 m/s.
d) 5,2 m/s.
e) 4,5 m/s.
06 – (ITA) Uma bola é lançada horizontalmente
do alto de um edifício, tocando o solo decorridos
aproximadamente 2s. Sendo de 2,5m a altura
de cada andar, o número de andares do edifício
é:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
e) indeterminado pois a velocidade horizontal de
arremesso da bola não foi fornecida.
07 - (Fuvest) Um motociclista de MotoCross
move-se com velocidade v=10m/s, sobre uma
superfície plana, até atingir uma rampa (em A),
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Geometria Espacial - Exercícios
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inclinada de 45° com a horizontal, como indicado
na figura.
10 – (Mackenzie) Uma bola é lançada com
uma velocidade inicial de módulo 2,0 m/s,
formando um ângulo de 60° com a horizontal.
Despreze a resistência do ar. Sua velocidade no
ponto mais alto de sua trajetória, supondo g =
10 m/s2, tem módulo igual a:
a) 5,0 m/s
b) 1,0 m/s
c) 4,0 m/s
d) 50 m/s
e) 8,0 m/s
A trajetória do motociclista deverá atingir
novamente a rampa a uma distância horizontal
D (D=H), do ponto A, aproximadamente igual a:
a) 20 m
b) 15 m
c) 10 m
d) 7,5 m
e) 5 m
11 – (UFPE) Um jogador de futebol faz um
lançamento para um companheiro que está a 15
metros de distância e este, para cabecear a
bola ao pular, fica com a cabeça a 3,75 m do
chão. O tempo de vôo, determinado
eletronicamente, foi de 1,5 segundos. Adote
g = 10 m/s2,
e despreze o efeito do ar.
A velocidade inicial da bola tem módulo igual a:
a) 7,0 m/s
b) 10 m/s
c) 14 m/s
d) 28 m/s
e) 30 m/s
08 – (ITA) No instante t = 0s, um elétron é
projetado em um ângulo de 30° em relação ao eixo
x, com velocidade v0 de 4×105 m/s, conforme o
esquema a seguir. Considerando que o elétron se
move num campo elétrico constante E=100N/C, o
tempo que o elétron levará para cruzar novamente
o eixo x é de:
a) 10 ns. b) 15 ns. c) 23 ns. d) 12 ns. e) 18 ns.
09 – (UECE) Uma bola é lançada verticalmente
para cima, com velocidade de 18 m/s, por um
rapaz situado em carrinho que avança segundo
uma reta horizontal, a 5,0 m/s. Depois de
atravessar um pequeno túnel, o rapaz volta a
recolher a bola, a qual acaba de descrever uma
parábola, conforme a figura. Despreza-se a
resistência do ar e g=10m/s2.
A altura máxima h alcançada pela bola e o
deslocamento horizontal x do carrinho, valem,
respectivamente:
a) h = 16,2 m; x = 18,0 m
b) h = 16,2 m; x = 9,0 m
c) h = 8,1 m; x = 9,0 m
d) h = 10,0 m; x = 18,0 m
12 – (Unifest) Uma pequena esfera maciça é
lançada de uma altura de 0,6 m na direção
horizontal, com velocidade inicial de 2,0 m/s. Ao
chegar ao chão, somente pela ação da
gravidade, colide elasticamente com o piso e é
lançada novamente para o alto. Considerando
g = 10,0 m/s2, o módulo da velocidade e o
ângulo de lançamento do solo, em relação à
direção horizontal, imediatamente após a
colisão, são respectivamente dados por
a) 4,0 m/s e 30°.
b) 3,0 m/s e 30°.
c) 4,0 m/s e 60°.
d) 6,0 m/s e 45°.
e) 6,0 m/s e 60°.
13 – (IME) Uma partícula parte do repouso no
ponto A e percorre toda a extensão da rampa
ABC, mostrada na figura abaixo; A equação que
descreve a rampa entre os pontos A, de
coordenadas (0,h) e B, de coordenada (h,0), é
enquanto entre os ponto B e
C, de coordenadas (h,2r), a rampa é
descrita por uma circunferência de raio r com
centro no ponto de coordenadas (h,r). Sabe-se
que a altura h é a mínima necessária para que a
partícula abandone a rampa no ponto C e venha
colidir com ela em um ponto entre A e B.
Determine o ponto de colisão da partícula com
a rampa no sistema de coordenadas da
figura como função apenas do comprimento r.
Dado: aceleração da gravidade = g.
OBS: despreze as forças de atrito e a
resistência do ar.
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Geometria Espacial - Exercícios
14 – Um projétil é lançado obliquamente de um
terreno plano e horizontal, com velocidade inicial
de módulo igual a 30 m/s, atingindo uma altura
máxima de 25 m. Despreze influencias do ar e
adote g = 10 m/s².
a) Calcule o módulo da mínima velocidade atingida
pelo projétil durante seu movimento livre.
b) Uma circunferência tem o mesmo raio de
curvatura em qualquer um de seus pontos. Uma
parábola, entretanto, tem raio de curvatura
variável. Calcule o raio de curvatura da trajetória
do projétil, no ponto de altura máxima.
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Para esse vôo, desprezando os efeitos do ar,
calcule
a) a velocidade no ponto mais alto da trajetória;
b) a altura máxima atingida;
c) o alcance horizontal da bola.
18 – (FUVEST) Em decorrência de fortes
chuvas, uma cidade do interior paulista ficou
isolada. Um avião sobrevoou a cidade, com
velocidade horizontal constante, largando 4
pacotes de alimentos, em intervalos de
tempos iguais. No caso ideal, em que a
resistência do ar pode ser desprezada, a figura
que melhor poderia representar as posições
aproximadas do avião e dos pacotes, em um
mesmo instante, é:
15 – (Saraeva) Sob qual ângulo com a horizontal é
necessário lançar uma pedra da extremidade de
um penhasco vertical de 20m de altura, a fim de
que ela caia a uma distância maior possível do
paredão? A velocidade inicial da pedra é 14 m/s.
(g = 10 m/s²)
16 – (Unicamp) De um ponto PM, a uma altura de
1,8 m, lançou-se horizontalmente uma bomba de
gás lacrimogêneo que atingiu os pés de um
professor universitário a 20 m de distância, como
indica a figura. Adote g = 10 m/s².
a) Quanto tempo levou a bomba para atingir o
professor?
b) Com que velocidade v0 (em km/h) foi lançada a
bomba?
17 – Uma bola é chutada obliquamente, a partir do
solo, num local onde a aceleração da gravidade
vale 10 m/s². O valor da componente vertical da
velocidade inicial v0, no instante do lançamento, é
5,0 m/s, e o valor da componente horizontal é
7,0 m/s.
19 – (PUC)
Suponha que Cebolinha, para vencer a
distância que o separa da outra margem e
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Geometria Espacial - Exercícios
livrar-se da ira da Mônica, tenha conseguido que
sua velocidade de lançamento, de valor 10 m/s,
fizesse, com a horizontal, um ângulo α, cujo sen α
= 0,6 e cos α = 0,8. Desprezando-se a resistência
do ar, o intervalo de tempo decorrido entre o
instante em que Cebolinha salta e o instante em
que atinge o outro lado é:
a) 2,0 s
b) 1,8 s
c) 1,6 s
d) 1,2 s
e) 0,8 s
20 – (Renato Brito) Um projétil é lançado
obliquamente, formando um ângulo α com a
horizontal, passando por uma altura máxima de 20
m e atingindo um alcance A. Duplicando-se o
ângulo de disparo, sem mudar a velocidade inicial
de lançamento, o projétil atinge o mesmo alcance
A. Determine a altura máxima atingida pelo projétil,
nesse ultimo disparo.
21 – (Renato Brito) Um projétil é lançado
obliquamente, formando um ângulo α com a
horizontal, passando por uma altura máxima H e
atingindo um alcance A. Duplicando-se o ângulo
de disparo, sem mudar a velocidade inicial de
lançamento, o projétil tem o mesmo alcance A de
antes, mas, agora, atinge uma altura máxima 20 m
maior do que antes. Determine a altura atingida
pelo projétil nesse ultimo disparo.
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GABARITO
01) 02) D 03) B 04) A 05) A 06) C 07) A
08) C
09) A
10) B
11) C
12) C
14) a) 20 m/s
b) 40 m 15) 30º 16) a) 0,6 s b) 120 km/h
17) a) 7 m/s b) 1,25 m c) 7,0 m 18) B
19) D 20) 60 m 21) 30 m
22)
13)
23)
22 – Quando lançado em um ângulo α com a
horizontal, um projétil cai a uma distância a antes
do alvo, enquanto, quando lançado em um ângulo
β, ele cai a uma distância b após o alvo. Qual o
ângulo θ com o qual ele deve ser lançado para que
atinja o alvo?
23 – (IME) Um motociclista de massa m1 deseja
alcançar o topo de uma plataforma. Para isso, ele
faz uso de uma moto de massa m2, uma corda
inextensível de massa desprezível e uma rampa
de inclinação θ. Ao saltar da rampa, o motociclista
atinge a corda na situação em que esta permanece
esticada e o esforço despendido por ele é o menor
possível. Para evitar ruptura por excesso de peso,
o motociclista libera a moto no momento do
contato com a corda, que o conduz para o topo da
plataforma. Nestas condições e considerando os
parâmetros H e T indicados na figura, determine o
vetor velocidade do motociclista na saída da
rampa.
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