Crescer com a… Matemática
Encontro de Educadores e Professores do 1º Ciclo
Paulo Afonso
Contextualização
Padrões geométricos
Padrões Numéricos
Francisco Costa
José Filipe
Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico
de Castelo Branco
Triângulo Mágico
Multiplicação Egípcia
Multiplicação Russa
Tomar, 12 de Setembro de 2006
Um exercício de adição: adicionar todos os números de 1 a 1000
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 997 + 998 + 999 + 1000
A resposta foi breve: 500500.
1 + 1000 = 1001
2 + 999 = 1001
Trata-se portanto de
3 + 998 = 1001
parcelas de 1001.
4 + 997 = 1001
Então:
5 + 996 = 1001
500 x 1001 = 500500
…
500 + 501 = 1001
Nascido(a): 30 de
Abril de
1777 , Braunschweig
Falecido(a): 23 de
Fevereiro de
1855 , Göttingen
Carl Friedrich Gauss
Era conhecido como o
príncipe dos
matemáticos. Muitos
consideram-no o maior
génio da história da
Matemática. Seu QI foi
estimado em cerca de
240.
6
3
Se a sequência for…
8, 9, 10, 11, 12, 13
10+11= 21
9 + 12 = 21
8 + 13 = 21
Para saber a soma de todos os seus termos:
Adiciona-se o 1º termo com o último: 8 + 13 = 21
E multiplica-se por metade das parcelas: 21 x 6 = 21 x 3 = 63
2
6
3
E se o padrão numérico for…
6, 8, 10, 12, 14, 16
10 + 12 = 22
8 + 14 = 22
6 + 16 = 22
Será que se verifica o mesmo fenómeno?
A soma de todos os seus termos é
22 x 3 = 66
Tratando-se de um padrão numérico idêntico mas com um número ímpar
de termos …
10, 13, 16
A soma dos seus termos será, da mesma forma: (10 + 16) x 1,5 = 39
6
3
O próprio conceito de média também poderá aqui ser explorado:
Neste verão, o Gustavo começou a dedicar-se ao ciclismo. Em
sete dias percorreu 91km. O Gustavo em cada dia andou mais 1
quilómetro do que no dia anterior.
Quantos quilómetros fez por dia?
Em média, por dia é percorrido 91:7 =13, isto é:
-1
-1
-1
+1
+1
+1
10
16
12
13 + __
13 + __
13 + __
13 = 91
14
11 + __
13
__
13 + __
15
13 + __
O valor central, mantém-se
0
F
Num encontro de 6 amigos, quantos
apertos de mão poderemos contar,
sabendo que todos se cumprimentam
desta forma?
1
E
5
A
2
D
B
4
+
+
+
C
3
 Pela noção de média: 3 x 5 = 15
 Pela soma da progressão: (1 + 5) x 2,5 = 15
+
Para o mesmo problema, poder-se-ia recorrer a outro esquema:
Nº de
amigos
A
B
C
Nº de
apertos
de mão
D E F
A
B
C
6
D
E
F
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
15
E se em vez de 6, fossem 5 amigos. Quantos apertos de mão
seriam dados?
Nº de
Nº de
apertos
amigos
de mão
A
B
C
D E
A
B
5
10
C
6
15
D
E
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Caso fossem 4 amigos. Quantos apertos de mão seriam?
Nº de
amigos
Nº de
apertos
de mão
2
1
3
3
B
4
6
5
10
C
6
15
D
7
21
A
B
C
D
A
1 + 2 + 3 = 6
Números triangulares
p
1 + 2+3 +4 +5=
+ 25
4 + 3+ 2+ 1
5
5
5
5
1 + 2 + 3+ 2 + 1
1+2+3+4+3+2+1
1+2+3+4+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+ 6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+ 6+7+6 +5+4+3+2+1
=9 =3x3
= 16 = 4 x 4
= 25 = 5 x 5
= 36 = 6 x 6
= 49 = 7 x 7
Números quadrados
C
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+ 4+ 3+ 2+ 1
1,
3,
5,
7,
9,
11,
…
Adicionando n termos desta sequência, o que se obtém?
Qualquer número quadrado, resulta da soma de números ímpares.
1 + 2
4 + 5 + 6
9 + 10 + 11 + 12
16 + 17 + 18 + 19 + 20
= 3
= 7 + 8
= 13 + 14 + 15
= 21 + 22 + 23 + 24
1 + 3 =
5 + 7 + 9 =
12 + 14 + 16 + 18 =
22 + 24 + 26 + 28 + 30 =
4
10 + 11
19 + 20 + 21
31 + 32 + 33 + 34
Considerando que temos:
8 notas de 5 euros.
É fácil reconhecer que a mesma quantia se pode obter com metade das
notas mas, com o dobro do seu valor.
Isto é,
4 notas de 10 euros.
Ou ainda,
2 notas de 20 euros.
Portanto:
:2
8x 5
4 x 10
:2
2 x 20
x2
x2
Então, se quisermos multiplicar 32 por 13, poderemos pensar:
Em 32 grupos de 13 elementos cada um.
32 Grupos de 13 elementos
x
elementos
Grupos
32
x
13
ou
16
26
ou
8
52
ou
4
104
ou
2
208
…ou, finalmente: 1
416
…então, 32 x 13 = 416
Neste caso foi fácil, porque 32, é uma potência de base 2 e, portanto, é sempre
possível as sucessivas divisões por 2.
Vejamos então um caso em que isso não acontece:
:2
:2
:2
:2
:2
42 x 13
x2
21
26
x2
? 2152
não se deixa dividir exactamente por 2.
10
x2
5
104 Então, uma vez que se trata de
x2grupos de 26 elementos,
21
não se deixa dividir exactamente por 2.
? 5208
2
consideramos
apenas 20
x2
vez que se1trata
de
grupos,uma
e guardamos
grupo
1
416 Então,
5degrupos
de 104 elementos,
26 elementos.
consideramos apenas 4 grupos,
e guardamos 1 grupo de 104
elementos.
42 x 13
21
10
26
52
5
104
2
208
1
416
…então, 42 x 13 = 416 + 104 + 26 = 546
Sistematizando, podemos recorrer ao algoritmo da multiplicação russa (105 x 12),
aplicando as seguintes regras:
105 x 12
52
26
24
48
13
96
6
192
3
384
1
768+
105 x 12 = 1260
 A coluna da esquerda é preenchida com metade do valor
da linha superior até encontrar o valor 1. Caso não seja um
número inteiro, considera-se apenas a parte inteira.
 A coluna da direita é preenchida com o dobro do valor da
linha superior, até ter correspondência com os valores da
coluna da esquerda.
 A soma dos valores da coluna da direita que têm
correspondentes ímpares é o produto procurado.
É do conhecimento de todos que qualquer número inteiro ou é potência de base
dois ou então, é possível decompô-lo numa soma de potências de base dois.
Senão, vejamos:
1 = 20
2 = 2
1
0
1
3 = 1 + 2 = 2 + 2
4 = 2
2
0
2
5 = 1 + 4 = 2 + 2
1
2
6 = 2 + 4 = 2 + 2
0
1
2
7 = 1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 2
3
8 = 2
0
3
9 = 1 + 8 = 2 + 2
1
3
10 = 2 + 8 = 2 + 2
0
3
11 = 1 + 2 + 8 = 2 + 21 + 2
2
3
12 = 4 + 8 = 2 + 2
…
…
Então, se quisermos multiplicar 24 por 17, poderemos pensar:
Em 24 grupos de 17 elementos cada um.
24 Grupos de 17 elementos
x
elementos
Grupos
24
x
17
1
17
(1 grupo tem 17 elementos)
2
34
(2 grupos têm 34 elementos)
4
68
(4 grupos têm 68 elementos)
8
136
(8 grupos têm 136 elementos)
16
272
(16 grupos têm 272 elementos)
elementos
Grupos
24
+
x
17
1
17
2
34
4
68
8
136
16
+ 272
24
408
Então os valores
correspondentes a
24 grupos são:
Já não interessa
duplicar mais,
porque
Então
24 grupos de 17 elementos são: 408
as potências de base 2
já são suficientes para
24 x 17 = 408
formar 24 grupos.
De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo
disponível apenas uma cor?
1 - Podemos pintar todos os triângulos.
2 - Podemos pintar três triângulos.
3 - Podemos pintar dois triângulos.
4 - Podemos pintar apenas um triângulo.
5 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.
1 – Pintando quatro triângulos, temos 1 solução.
2 – Pintando três triângulos, temos 4 soluções.
3 – Pintando dois triângulos, temos 6 soluções.
4 – Pintando um triângulo, temos 4 soluções.
5 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.
O total de soluções é:
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Observemos o triângulo numérico seguinte:
1
1
1
…
5
…
1
1
4
6
10
15
…
1
3
4
6
1
2
3
1
1
1
10
20
…
1
1
6
15
…
1
5
…
…
…
De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo
disponível apenas uma cor?
1 - Podemos pintar todos os triângulos.
2 - Podemos pintar dois triângulos.
3 - Podemos pintar um triângulo.
4 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.
1 - Pintando todos os triângulos, temos uma solução.
2 – Pintando dois triângulos, temos 3 soluções.
3 – Pintando um triângulo, temos 3 soluções.
4 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.
O total de soluções é:
1 + 3 + 3 + 1 = 8
No mesmo triângulo numérico:
1 = 20
1
1
1
…
5
…
10
1
4
10
20
…
1
1
6
…
…
21
22
23
24
32 = 25
64 = 26
1
5
15
…
2=
4=
8=
16 =
1
6
15
…
1
3
4
6
1
2
3
1
1
1
…
Utilizando os números naturais até 9, inclusivé, completar o triângulo seguinte de
forma a obter-se uma soma mágica de 10 em cada um dos seus lados (identificar
todos os casos possíveis).
(a) 1 + 2 + 7 = 10
(b) 1 + 3 + 6 = 10
(a) + (b) + (c)
(c) 1 + 4 + 5 = 10
(a) + (b) + (d)
7
2
(b) + (c) + (d)
1
7
6
5
(d) 2 + 3 + 5 = 10
(a) + (c) + (d)
1
3
2
1
6
4
3
C
5
3
4
2
5
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
ACD
ADE
AEF
AFG
ABD
ACE
ADF
AEG
AFH
ABE
ACF
ADG
AEH
ABF
ACG
ABG
ACH
ADH
AGH
BCD
BDE
BEF
BFG
BCE
BDF
BEG
BFH
BCF
BDG
BEH
BCG
BDH
15
21
(h) 4 + 6 + 5 = 15
BGH
CDE
CEF
CFG
CDF
CEG
CFH
CDG
CEH
CDH
BCH
ABH
(d) 2 + 8 + 5 = 15
Iniciando com a adição C
Iniciando com a adição B
Iniciando com a adição A
ABC
(g) 3 + 7 + 5 = 15
C
10
CGH
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
Iniciando com a adição D
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
Iniciando com a adição E
EFG
DEF
DFG
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
Iniciando com a adição F
FGH
EFH
DEG
DFH
3
DEH
6
C
(d) 2 + 8 + 5 = 15
EGH
DGH
P
1
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
a+b+c
a+b+d
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
a+b+e
(g) 3 + 7 + 5 = 15
a+b+f
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
a+b+g
a+b+h
1
1
5
9
6
9
2
a+c+d
8
a+c+e
5
a+c+f
a+c+g
4
9
9
8
1
4
a+c+h
2
1
2
5
4
6
8
5
6
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
a+d+e
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
a+d+f
a+e+f
(g) 3 + 7 + 5 = 15
a+d+g
a+e+g
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
a+d+h
a+e+h
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
a+f+g
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
a+f+h
a+g+h
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
b+c+d
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
b+c+e
b+d+e
(g) 3 + 7 + 5 = 15
b+c+f
b+d+f
(h) 4 + 6 + 5 = 15
b+c+g
b+d+g
b+c+h
b+d+h
5
2
5
8
4
7
1
(d) 2 + 8 + 5 = 15
6
6
2
1
8
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
b+e+f
b+e+g
b+e+h
b+f+g
b+f+h
b+g+h
2
5
8
7
1
6
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
c+d+e
(f) 3 + 8 + 4 = 15
c+d+f
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
c+d+g
c+d+h
2
4
9
3
8
c+e+f
5
8
9
4
2
c+e+g
6
c+e+h
2
9
4
7
5
6
5
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
c+f+g
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
c+f+h
c+g+h
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
d+e+f
d+e+h
2
2
5
6
d+f+h
3
4
2
8
5
2
5
4
d+g+h
3
6
4
7
8
7
3
d+f+g
7
(h) 4 + 6 + 5 = 15
d+e+g
8
5
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(d) 2 + 8 + 5 = 15
8
6
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
e+f+g
(d) 2 + 8 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
e+f+h
e+g+h
f+g+h
5
3
3
4
6
2
7
8
7
4
6
5
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma
soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(b) 1 + 8 + 6 = 15
(c) 2 + 9 + 4 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
a+b+h
a+b+d
5
5
4
8
6
4
9
(h) 4 + 6 + 5 = 15
b+d+e
b+d+h
2
5
9
8
5
1
1
2
4
5
5
6
8
4
7
6
1
6
2
8
1
b+g+h
c+d+f
c+d+h
c+e+h
d+e+g
d+e+h
2
4
2
2
2
2
5
8
8
2
a+c+h
2
9
6
(g) 3 + 7 + 5 = 15
a+c+d
1
1
9
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(d) 2 + 8 + 5 = 15
7
1
9
3
6
8
4
2
5
9
8
9
6
4
5
6
5
6
8
7
5
7
3
d+f+g
d+f+h
e+g+h
f+g+h
3
4
5
3
7
5
2
3
6
4
8
5
2
8
6
2
7
8
3
4
7
4
6
7
8
5
5
4
6
Transforme o triângulo seguinte num triângulo mágico de soma 21:
9
4
8
(a) 9 + 8 + 4 = 21
5
6
(b) 9 + 7 + 5 = 21
7
(c) 8 + 7 + 6 = 21
4
C3 
4!
4 x 3!

4
(4  3)! 3!
3!
v
8!
8 x 7 x 6 x 5!
C3 

 56
(8  3)! 3!
5! x 6
8
v
No famoso triângulo de Pascal também os números triangulares
não estão esquecidos.
1
1
1
…
1
…
10
15
21
…
1
4
…
1
1
5
10
20
35
…
1
6
5
7
1
3
4
6
1
2
3
1
1
1
15
35
21
…
1
6
7
…
1
…
…
v
Números
triangulares
1
1
1
…
1
…
10
15
21
…
1
4
…
1
1
5
10
20
35
…
1
6
5
7
1
3
4
6
1
2
3
1
1
1
15
35
21
…
1
6
7
…
1
…
…
v
“parece não ser polémica a ideia de que muita da matemática que
se ensina nas nossas escolas não é compreendida. Muitos são os
alunos que não compreendem o que fazem, limitam-se a escolher
fórmulas e/ou outros algoritmos para darem respostas a questões
rotineiras cujo enunciado é que vai variando e, como tal,
desmotivadoras...” (Fernandes, 1989, p. 4).
Que
Ensino?
Que
Avaliação?
- Perspectivas Actuais de Ensino-Aprendizagem da Matemática -
PENSAR
CONHECER
CONCEITOS
COMPETÊNCIAS
ATITUDES
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
CONTEÚDO
SOBRE
METODOLOGIA
ATRAVÉS
OBJECTIVO
PARA
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
Situação A:
“Num torneio de ténis de mesa que
se vai realizar na escola do
Maurício,
estão
inscritos
92
participantes. Cada participante
necessita 3 bolas. Quantas bolas
serão distribuídas?”
92 x 3 = 276
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
46 D
92 P
23 D
46 J
46 V
23 J
23 V
11 D
6D
11 J
6J
12 V
11 V
campeão
6V
3D
22 V
vice-campeão
1J
1D
3J
3V
2V
1J
1V
2V
Situação B:
“Num torneio de ténis de mesa que
se vai realizar na escola do
Maurício,
estão
inscritos
92
participantes. Uma das regras
deste torneio é que joguem dois
participantes de cada vez, sendo
eliminado imediatamente do torneio
o jogador que perder. Quantos
jogos será necessário organizar
para se conhecer o vencedor dos
vencedores?”
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
Situação B:
46 J
6J
3J
23 J
46 J
23 J
11 J
6J
3J
1J
+ 1J
11 J
1J
91 J
1J
j=p-1
“Num torneio de ténis de mesa que
se vai realizar na escola do
Maurício,
estão
inscritos
92
participantes. Uma das regras
deste torneio é que joguem dois
participantes de cada vez, sendo
eliminado imediatamente do torneio
o jogador que perder. Quantos
jogos será necessário organizar
para se conhecer o vencedor dos
vencedores?”
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
SITUAÇÃO A:
SITUAÇÃO B:
Rotina
Novidade
Mecanização
Desafio
Desmotivação
Motivação
Ausência de Dificuldade
Existência de Alguma Dificuldade
Resolução Imediata
Resolução Não Imediata
Conhecimento do Processo de
Resolução
Necessidade de se Procurar a
Resolução
EXERCÍCIO
PROBLEMA
PROBLEMA:
“Um indivíduo está perante um problema quando
encontra uma questão à qual não consegue responder
ou uma situação que não é capaz de resolver usando o
conhecimento imediatamente disponível. Tem que
pensar num caminho de combinação da informação de
que dispõe, no sentido de poder chegar à solução do
problema” (Kantowski, 1974, p. 1).
SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
Diferença entre Problema e
Exercício
PROBLEMAS DE:
Modelos de Resolução de Problemas
1 Passo
Tipos de Problemas
2 ou mais Passos
Processo
Tipo Puzzle
Aplicação
Conteúdo
SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
Diferença entre Problema e Exercício
Modelos de Resolução de Problemas
Tipos de Problemas
Estratégias de Resolução
ESTRATÉGIAS:
Fim para o início
Dedução Lógica
Descoberta de um Padrão
Recorrer a Problemas mais Simples
Esquema ou Figura
Tentativa e Erro
...
Qual dos círculos deves seleccionar para envolver as peças azuis? Porquê? E qual deves
seleccionar para envolveres as peças vermelhas? Porquê? (Classificação simples).
Em que lugar vais colocar o círculo amarelo? Porquê? E onde vais colocar o triângulo vermelho?
Porquê? (Classificação simples).
Quanto à cor, faz corresponder cada elemento da coluna da esquerda a um e um só elemento da
coluna da direita. Porque é que fizeste assim? (Correspondência termo a termo).
Em qual das filas existem mais triângulos? (Conservação da quantidade).
É fácil de ver que o rectângulo verde é mais pequeno que o rectângulo vermelho. Por sua vez,
também é fácil ver que o rectângulo vermelho é mais pequeno que o rectângulo azul. Qual será o
rectângulo mais pequeno, o verde ou o azul? (Transitividade).
Dá seguimento à seguinte sequência de figuras geométricas. Explica como fizeste. (Seriação).
Ordena, de forma crescente, os seguintes círculos, atendendo ao tamanho. (Ordenação).
Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa tijolo e
meio?
1kg
1kg
1kg
Quantos são os triângulos desta figura?
9
1 2 3
10
4
8
6 5
7
10 individuais
10 de dois:
[1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10]; [10,1]
5 de três: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9]; [9,10,1]
5 de quatro, envolvendo o pentágono:
[1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8]; [4,8,9,10]
5 de dois, envolvendo o pentágono:
[2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10]; [6,10]
Uma criança vai passar o fim-de-semana com os pais a uma aldeia,
a casa de uns familiares e propõe-se contar as cabeças e as patas de
todas as galinhas e coelhos que os tios têm. O resultado é 30 cabeças
e 100 patas.
Quantas galinhas e quantos coelhos têm os tios da criança?
C
G
Pc
Pg
Tcb
Tpt
15
15
60
30
30
90
16
14
64
28
30
92
18
12
72
24
30
96
20
10
80
20
30
100
Que Ensino?
Cinco amigos: Pedro, André, Cláudio, Dinis e Bernardo – estão
preparando uma peça de teatro, em que os personagens são: um rei, um
soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro.
- Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis;
- nos intervalos, o soldado joga cartas com o Dinis;
- Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda;
- o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o Bernardo, mas
detesta ver o soldado.
Qual é o papel desempenhado por cada um?
Pedro
Rei
Soldado
Bobo
Guarda
Prisioneiro
André
Cláudio
Dinis
Bernardo
Dois amigos pretendem jogar o jogo do 30, para verem qual
deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes:
ganha quem conseguir dizer o número 30. Os jogadores vão
intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre
mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O
jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério
que garante vencer este jogo?
A
2
5
7
11
13
B
3
6
9
12
15
A
17
20
23
26
28
B
18
21
24
27
30
Critério vencedor:
3n
Dois amigos pretendem jogar o jogo do 20, para verem qual
deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes:
ganha quem conseguir dizer o número 20. Os jogadores vão
intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre
mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O
jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério
que garante vencer este jogo?
A
1
4
7
10
13
B
2
5
8
11
14
A
15
19
B
17
20
Critério vencedor:
3n - 1
Números Triangulares e Números Quadrados
1
3
4
22 = 2 x 2
6
9
32 = 3 x 3
10
16
42 = 4 x 4
15
25
52 = 5 x 5
V