“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Papiro de Rhind
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
Na representação geométrica:
12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
Na representação geométrica:
1
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
 12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
 12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
 12
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
2
3
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
 12
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
2
x
3
f1  x  
2
3
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
 12
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
2
x
3
f1  x  
2
3
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
1
 12
2
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
2
x
3
f1  x  
2
3
x
 12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
1
 12
2
3
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
2
x
3
f1  x  
2
3
x
 12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
1
 12
3
2
2
1
 12
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
x
3
f1  x  
2
2
3
x
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
1
 12
3
2
2
1
 12
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
Na representação das funções:
x
f0(x)=x
x
3
f1  x  
x
2
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
1
 12
3
2
2
1
 12
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
x
Na representação das funções: f0(x)=x
x
3
f1  x  
x
2
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12
2
1
 12
3
2
2
1
 12
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
x
Na representação das funções: f0(x)=x
x
3
f1  x  
x
2
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12 +
2
3
 12
+
1
2
 12
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12 +
2
3
 12
+
1
 12
2
 12  8  6  26
=
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12 +
2
3
 12
+
1
 12
2
=
 12  8  6  26
Valor Falso = 12
Resultado Falso = 26
Valor Verdadeiro = x Resultado Verdadeiro = 13
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
12 +
2
 12
+
3
1
 12
2
=
 12  8  6  26
Valor Falso = 12
Resultado Falso = 26
Valor Verdadeiro = x Resultado Verdadeiro = 13
Cálculo:
12

x
26
13
12  13  26  x
x6
Montão = 6
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
Método
desenvolvido pelos
egípcios há
aproximadamente
3600 anos.
12 +
2
 12
3
1
+
 12
2
=
 12  8  6  26
Valor Falso = 12
Resultado Falso = 26
Valor Verdadeiro = x Resultado Verdadeiro = 13
Regra da Falsa
Posição
Cálculo:
12

x
26
13
12  13  26  x
x6
Montão = 6
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
6
+
2
6
3
1
+
6
2
= 13
Na representação geométrica:
Na representação algébrica:
x
2
1
x
2
3
Na representação das funções: f0(x)=x
f1  x  
x
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
Inicialmente temos 4 partes
de área em destaque, com
medidas diferentes!
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
A intenção é transformá-las
(via subdivisão) em 13
partes de áreas
congruentes!
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
13
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação geométrica:
Divisão de segmentos proporcionais
13
13
Montão = 6
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
+
6
2
6
+
3
1
6
= 13
2
Na representação geométrica:
6
Na representação algébrica:
x
2
1
x
2
3
Na representação das funções: f0(x)=x f 1  x  
x
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação algébrica:
x +
2
3
x +
1
2
x
= 13
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação algébrica:
x +
2
3
x +
12 x  8 x  6 x
12
26 x  156
x6
1
x
2

156
12
= 13
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação algébrica:
x +
2
3
x +
12 x  8 x  6 x
12
1
x
2

156
12
26 x  156
x6
Montão = 6
= 13
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação aritmética:
+
6
2
6
1
+
6
= 13
2
3
Na representação geométrica:
6
Na representação algébrica:
x
2
1
x
x6
2
3
Na representação das funções: f0(x)=x f 1  x  
x
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
f1  x  
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
6
13
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
6
13
Montão = 6
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f  x   f 0  x   f1  x   f 2  x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
f1  x  
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Na representação das funções: f0(x)=x
y  f x   f 0 x   f1 x   f 2 x 
y  f x   x 
2x
3

x
2
y  f x  
6x  4x  3x
y  f x  
13 x
6
6
f1  x  
2
3
x
f2 x  
1
2
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Representação gráfica:
y  f x  
13 x
f(x)
6
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Representação gráfica:
y  f x  
13 x
f(x)
6
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
6,5
3
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Representação gráfica:
y  f x  
13 x
f(x)
6
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
6,5
(0,0)
3
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Representação gráfica:
y  f x  
13 x
6
f(x)
26
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
6,5
(0,0)
3
12
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Representação gráfica:
y  f x  
13 x
6
RESOLUÇÃO
x
f(x)
3
6,5
0
0
12
26
f(x)
26
13
6,5
(0,0)
3
6
12
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Representação gráfica:
y  f x  
13 x
6
f(x)
26
RESOLUÇÃO
Montão
Juntos fazem 13
x
3
0
12
6
f(x)
6,5
0
26
13
13
6,5
(0,0)
3
6
12
x
“Um montão, seus dois terços, sua metade, todos
ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
Lei Analítica
13 x
y  f x  
6
Lei Geométrica
f(x)
26
Representação Tabular
RESOLUÇÃO
Montão
Juntos fazem 13
13
x
3
0
12
6
f(x)
6,5
0
26
13
6,5
(0,0)
3
6
12
Montão = 6
x