Tópicos de
cinemática
vetorial:
vetor posição,
deslocamento e aceleração
50m. Para que a ideia fique completa, há necessidade
de se especificar além do módulo (50) e da unidade
de comprimento (m) também a direção e o sentido
em que o deslocamento se realizou.
Quando um corpo sofre um deslocamento de
uma posição A para uma posição B, essa mudança
de posição é definida pelo segmento orientado AB,
que une a posição inicial A à posição final B, como
mostra a figura a seguir:
Algumas grandezas físicas, para que fiquem
completamente definidas, necessitam, além de um
número e de uma unidade de medida, informações
referentes a direção e sentido. Essas grandezas são
chamadas de vetoriais e são representadas por entes
matemáticos conhecidos por vetores. Teremos neste
tópico uma rápida introdução ao estudo dos vetores.
—
Módulo: AB = 50m
Direção: 20° com a horizontal
Sentido: de A para B
Grandezas escalares
As grandezas que, para ficarem completamente caracterizadas, necessitam que especifiquemos
módulo, direção e sentido são chamadas grandezas
vetoriais (velocidade, aceleração, força etc.). Para
representá-las usamos um ente matemático chamado vetor.
EM_V_FIS_004
Certas grandezas físicas como comprimento,
massa, tempo, temperatura, área, volume e outras,
ficam perfeitamente definidas por um número (intensidade ou módulo) e uma unidade de medida. Essas
grandezas são denominadas grandezas escalares.
Quando, por exemplo, dizemos que o comprimento de nossa rua é de 35m, conseguimos transmitir
uma ideia completa a quem nos ouve; nada mais há
o que indagar, pois foram fornecidos um número, que
é o módulo ou intensidade da grandeza comprimento
(35) e uma unidade de medida (metro).
Vetor: conceito e notação
Dois segmentos orientados que têm módulos,
direções e sentidos iguais são chamados equipolentes. Ao conjunto dos infinitos segmentos equipolentes a um dado segmento orientado AB chamamos
vetor AB e representamos por AB, como ilustrado
na figura:
Grandezas vetoriais
Quando alguém se desloca de uma posição para
outra, não basta dizer que percorreu, por exemplo,
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1
1.º passo: Considerar dois outros representantes
dos vetores dados que tenham origem comum. Pela
extremidade de cada um traçar uma paralela ao outro,
de modo a formar um paralelogramo. O vetor soma
está na diagonal que passa na origem comum, que
é também a origem do vetor soma, como ilustrado
na figura abaixo:
→
Chamando de v este conjunto infinito, pode-se
escrever que o vetor v é o conjunto de todos os segmentos XY, tais que XY seja equipolente ao segmento
AB; ou seja:
→ →
v = AB = {XY/XY e qAB}
→
Dessa forma, um mesmo v determina infinitos
segmentos orientados, chamados representantes de
→
v e todos equipolentes entre si. Na prática, no entanto, embora lidando em realidade com representantes
de vetores, usa-se indiscriminadamente o nome vetor
para cada um desses representantes.
→
O v é caracterizado pelos mesmos módulo, direção e sentido dos infinitos segmentos orientados
equipolentes entre si e por ele representados.
2.º passo: Para calcular o módulo S do vetor
soma, basta aplicar a lei dos cossenos ao triângulo
da direita na figura acima, observando que, nesse
triângulo, o lado tracejado tem medida igual ao mó→
dulo de a, que vale a = 3, pois o quadrilátero é um
paralelogramo e, como tal, são iguais os lados opostos; ainda, por serem os ângulos e suplementares,
tem-se –cos = cos . Daí:
S2= a2+b2 – 2ab. cos
S2= a2+b2 + 2ab. cos
Substituindo os valores dos módulos dos vetores
da figura acima, e admitindo ainda ser = 120°, vem:
S2=32 + 42 + 2 (3)(4) cos 120°
S2=9 + 16 + 2 (3)(4)(-1/2) = 25 – 12 = 13
S = 13 3,61
Operações com vetores
Multiplicação
por um número ou escalar
→
Ao se multiplicar um vetor a por um escalar
→
(número) n, obtém-se um vetor na de módulo igual
→
ao produto dos módulos, de direção igual à de a e
de sentido ou igual (se n>0), ou contrário (se n<0)
→
ao de a ; ou seja:
A vantagem dessa regra sobre a do paralelogramo é a potencialidade de somar simultaneamente
vários vetores (Para mais de dois vetores, a regra
do paralelogramo impõe que sejam somados dois
primeiramente; o vetor soma obtido deve ser somado
com um dos demais, e assim sucessivamente).
A regra consiste em desenhar um representante
do 1.º vetor e, pela extremidade deste, desenhar um
representante do próximo vetor a somar, e assim por
diante. O vetor soma (ou vetor resultante) é obtido
ligando-se a origem do primeiro dos representantes
com a extremidade do último. O vetor resultante, assim, completará uma poligonal fechada, “fechando” o
polígono, o que deu nome à regra (regra do polígono).
Retornando ainda à figura, vê-se que, no caso de dois
vetores, as duas regras se equivalem (observando
o triângulo da esquerda, o lado tracejado pode ser
→
visto como representante de b.
Veja agora como aplicar a regra a vários vetores:
Soma de vetores
Há dois processos gráficos para somarmos
vetores: a Regra do Paralelogramo e a Regra do
Polígono.
Regra do Paralelogramo
Seja a soma dos vetores abaixo:
b
2
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EM_V_FIS_004
Regra do Polígono
a ser somado. O representante do vetor resultante
é aquele obtido ligando a primeira origem à última
extremidade. Se a extremidade do último coincidir
com a origem do primeiro, o módulo do vetor resul→
tante valerá zero. Nesse caso, o vetor resultante R é
o vetor nulo (módulo zero e direção indeterminada)
→ →
e podemos escrever R = O.
Na situação considerada de ser nulo o vetor resultante e se forem somente três os vetores a somar,
a regra do polígono nos conduzirá a um triângulo,
como mostrado na figura.
Pela extremidade de cada vetor, trace o seguinte. Para obter a resultante, ligue a primeira origem
com a última extremidade.
Não há fórmula para calcular o módulo do vetor
resultante.
Diferença de vetores
Para subtrair dois vetores, soma-se o vetor
minuendo ao vetor subtraendo multiplicado por –1.
Note o exemplo, em que se deseja encontrar o vetor
→ → →
D= a– b:
Pela lei dos senos, os lados de um triângulo são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Daí
vem o teorema de Lammy:
→ → → → →
R =a +b +c =O
→
→
Somando os vetores a e – b pela regra do paralelogramo, obtém-se o representante em preto do
→
vetor D. Ocorre, entretanto, que em vermelho tem-se
outro representante do mesmo vetor, em consequência da congruência dos triângulos retângulos da
figura. Isso nos permite enunciar a seguinte regra
prática para subtrair dois vetores:
•• Considerar dois outros representantes dos
vetores dados que tenham origem comum.
a
sen
=
b = c
sen
sen
Trajetória
Trajetória é o caminho descrito por um corpo
móvel. É importante sabermos determinar a qualquer
instante a posição do corpo em sua trajetória, para o
quê se impõe nela estipularmos um ponto fixo para
origem de contagem das distâncias, adotarmos uma
unidade de comprimento e convencionarmos um
sentido como sendo positivo. O ponto fixo é chamado
origem da trajetória e o sentido positivo é indicado
por uma seta; o sentido oposto ao indicado pela seta
é negativo. Ainda, as trajetórias podem ser retilíneas
ou curvilíneas.
•• O vetor diferença é obtido ligando as extremidades desses representantes, e aponta para
o representante do vetor minuendo.
O cálculo do módulo D do vetor diferença é
aplicação direta da lei dos cossenos. Na figura, considerando o triângulo retângulo de hipotenusa na cor
vermelha, essa lei nos permite escrever:
D2=a2+b2 – 2ab cos
Na fórmula acima, se = 90°, vem cos = 0 e a
fórmula da diferença recai no teorema de Pitágoras.
Na figura, sendo =90°, vem:
D2=32+42 – 2(3)(4)(0) = 25 e D = 5
A posição do corpo, em certo instante, fica determinada por sua distância s, à origem da trajetória
e medida sobre esta.
Como visto no estudo da cinemática escalar, a
forma da trajetória depende do referencial. Por exemplo, se você está viajando num trem e olha uma lâmpada no teto do mesmo, para você ela está em repouso
EM_V_FIS_004
Teorema de Lammy
Relembrando: quando somamos vetores pela
regra do polígono, desenhamos o representante de
um deles e, por sua extremidade, o representante
de outro, e assim sucessivamente até o último vetor
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mas para um observador que a avista da plataforma
ela se move com a mesma velocidade do trem.
A origem do sistema de referência mudou de O1
para O2 e o vetor r não se alterou.
•• Sendo | s| o módulo da variação de posição
escalar, aquela medida sobre a trajetória, e
| r | o módulo do vetor deslocamento, temse que | r | | s|, prevalecendo o sinal de
igualdade quando a trajetória é retilínea,
como esclarece a figura a seguir:
Vetor posição
do corpo móvel
Um vetor iniciando na origem de um sistema
de referência e com extremidade no corpo móvel
determina univocamente a trajetória e as sucessivas posições do corpo. A esse vetor dá-se o nome
de posição.
Velocidade vetorial média
A velocidade vetorial média, que representaremos por Vm , é conceituada como
: Vetor posição
Vm =
Vetor deslocamento
Também chamado vetor variação de posição,
o vetor deslocamento referente a um intervalo de
tempo t= t2 – t1 é obtido ligando a posição inicial s1
à posição final s2, como ilustrado na figura:
r
t
Considerando que t é positivo, resulta que
a velocidade vetorial média é colinear com o vetor
variação de posição, tendo o mesmo sentido, como
mostrado na figura a seguir:
∆s
vm
vr
É importante não confundir velocidade escalar
média com velocidade vetorial média. Na figura ao
lado, a velocidade escalar média é o quociente entre
a variação de posição escalar s e o intervalo de
tempo necessário para que o corpo móvel a realize
sobre o arco da curva.
r : Vetor deslocamento
r = r2 – r1
•• O vetor r independe da origem do sistema
de referência, como mostrado na figura.
A velocidade vetorial instantânea v , ou simplesmente velocidade vetorial, é o limite da velocidade
4
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EM_V_FIS_004
Velocidade
vetorial instantânea
vetorial média quando o intervalo de tempo t tende
a zero, conforme ilustrado na figura a seguir:
at
t
v
aN
a
N
vm
∆r
a = at+ aN
at = |a|escalar
2
aN = v (*)
R
Note que o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória e é voltado para o sentido em que se
desloca o corpo móvel na trajetória.
Vetor aceleração média (am)
O vetor aceleração média é a variação do vetor
velocidade na unidade de tempo; ou seja,
am =
v
t
=
conforme mostra a figura a seguir:
v1
1. (Unifesp-adap.) Sendo u a unidade de medida do
módulo desses vetores, calcule o módulo do vetor
a –w + v.
v2
V2
–
V1
v2
am
∆v
- v1
``
Quando operamos vetores, um método para determinarmos o vetor resultante R consiste em calcularmos
as componentes deste segundo, os eixos coordenados.
Determinadas tais componentes (Rx , Ry ) basta fazer
R = Rx + Ry . O teorema de Pitágoras nos permite então
2
2
2
calcular o módulo do vetor resultante: R = Rx + Ry .
O vetor aceleração média tem a direção e o sentido do vetor variação de velocidade e seu módulo
vale o módulo deste dividido por t.
Vetor
aceleração instantânea ( a )
EM_V_FIS_004
Solução:
Este método das componentes é uma aplicação do conhecido teorema de Carnot: “A projeção da resultante
sobre um eixo é a soma algébrica das projeções das
componentes sobre o mesmo eixo”.
O vetor aceleração instantânea é o limite para o
qual tende o vetor aceleração média quando o intervav
lo de tempo tende a zero: a =lim
. Esse vetor não
t 0
t
tem direção fixa; sua direção depende do particular
movimento do corpo móvel. Normalmente, costumamos decompô-lo em duas componentes ortogonais:
uma tangente à trajetória e outra normal a esta e
voltada para o centro de curvatura da trajetória.
A componente tangencial descreve as variações da velocidade em módulo. Tem o sentido do
movimento se este é acelerado e sentido oposto se
é retardado. Seu módulo é igual ao módulo da aceleração escalar.
A componente normal, também chamada aceleração centrípeta, descreve as variações da velocidade
em direção.
Na figura, note que a + b + c = R . As projeções
sobre o eixo x estão nas mesmas cores e se tem
ax + bx + cx = Rx
Indo agora à resolução de nosso exercício, por observação da figura do enunciado, tem-se:
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5
cos
–2
=V
v
e v1=
v
cos
3. (UNESP - adap.) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário
indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2 ilustrados
na figura.
Rx= ax+ (– wx) + vx = +2 – 2 + 0 = 0
Ry = ay + (– wy) + vy = + 2 – 2 – 2 = –2
O vetor resultante é vertical para baixo e tem módulo 2.
2. (UERJ-adap.) No Código de Trânsito Brasileiro são
considerados os seguintes tipos de vias urbanas: trânsito rápido, arteriais, coletoras e locais. Nessas vias, as
velocidades máximas permitidas são, respectivamente,
80km/h, 60km/h, 40km/h e 30km/h.
Para a primeira entrega, ele se deslocou 10km e para
a segunda entrega, percorreu uma distância de 6km:
Calcule a distância a que o caminhoneiro se encontra
do ponto de partida ao final da segunda entrega.
Para coibir transgressões ao dispositivo legal,
são utilizados equipamentos ópticos-eletrônicos,
popularmente conhecidos como pardais, para fotografar
veículos que superam um determinado limite estabelecido
V de velocidade.
Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é
colocado formando um ângulo com a direção da
velocidade do carro, como indica a figura a seguir.
``
Solução:
A distância requerida é o módulo do vetor deslocamento,
aquele ligando a posição inicial à posição final. Esse vetor,
pela regra do polígono, é a soma vetorial R dos vetores
da figura.
Usaremos o método da decomposição, aplicando o
teorema de Carnot e chamando o primeiro vetor de A
e o segundo de B .
•• AX = 0 ; AY = –10
•• BX = 6 cos 30° = 3
•• RX = AX + BX = 0 + 3
Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar
velocidades superiores a V, quando o ângulo = 0°.
A velocidade v do veículo que acarretará o registro da
infração pelo pardal, com relação à velocidade padrão
V, será de:
a) V sen
3 ; BY = 6 sen 30° = 3
3 =3
3
•• RY = AY + BY = –10 + 3 = –7
b) V cos
c) V/ sen
R2 = Rx2+ Ry2
d) V/ cos
R2 = (3
Solução: D
R2 = 27 + 49 =76
Sendo V1 a nova velocidade máxima, acima da qual haverá registro de infração, deverá ter intensidade suficiente
para projetar no eixo do equipamento o valor limite V que
corresponde a = 0, como mostrado na figura.
6
3 )2 + (– 7)2
R = 2 19
Após a segunda entrega, a distância ao ponto inicial é
de 2 19 km
No triângulo retângulo da figura, tem-se que:
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EM_V_FIS_004
``
OBS: Cabe aqui a observação de que as conclusões
apressadas devem ser sempre descartadas e, mesmo
quando há necessidade de rapidez, alguma análise deve
ser feita. O aluno mais afoito logo veria um triângulo
retângulo pitagórico quando traçasse o vetor resultante
R e erraria a questão, atribuindo a R o valor 8. Em
realidade, não se trata de um triângulo retângulo, como
abaixo se vê:
a)
b)
Se os vetores R e B fossem perpendiculares, viria que o
ângulo entre os vetores A e R seria 30°, o que implicaria
B = A . sen 30° = 10/2 = 5km; isso é absurdo, pois
contraria a hipótese do enunciado de ser B = 6km. Daí,
o triângulo não é retângulo.
c)
4. (UFAL) Num estacionamento, um coelho se desloca, em
sequência, 12m para o oeste, 8m para o norte e 6m para
o leste. O deslocamento resultante tem módulo:
d)
a) 26m
b) 14m
c) 12m
e)
d) 10m
e) 2m
``
Solução: D
Considerando o Norte ao alto desta página, o Sul na parte
de baixo, o Leste à direita e o Oeste à esquerda, temos
a seguinte trajetória para o coelho:
``
Solução: B
R2 = M 2 + M 2 – 2 . M . M . cos θ
R2 = 2M 2 (1 + cos θ) = 4M2 cos2 (θ12)
R = 2M |cos (θ12)|. Vejamos a correspondência entre
os valores de R e θθ:
•• θ = 0 rad
•• θ = ( /2) rad →
Na figura ao lado, determinando o vetor deslocamento
pela regra do polígono, o triângulo retângulo mostrado é
pitagórico e tem catetos 6m e 8m; daí, sua hipotenusa vale
10m, que é o módulo do vetor deslocamento r .
EM_V_FIS_004
→ R = 2M
•• θ = rad→
R = M √2
R=0
•• θ = (3 /2)rad→
R = M √2
•• θ = 2 rad→ R = 2M
6. (Unicamp-adap.) Satélites de comunicações são retransmissores de ondas eletromagnéticas. Eles são operados
normalmente em órbitas cuja velocidade angular é
igual à da Terra, de modo a permanecerem imóveis em
relação às antenas transmissoras e receptoras.
5. (UFC) M e N são vetores de módulos iguais (|M| = |N|
= M). O vetor M é fixo e o vetor N pode girar em torno
do ponto O (veja figura) no plano formado por M e N.
Sendo R = M + N , indique, entre os gráficos a seguir,
aquele que pode representar a variação de |R| como
função do ângulo entre M e N.
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Essas órbitas são chamadas de órbitas geoestacionárias.
Dada a distância R entre o centro da Terra e o satélite,
determine o módulo de seu vetor deslocamento entre
9h e 15h.
``
c) 4,0 e 36
d) 2,0 e 29
e) 4,0 e 58
``
Solução:
Solução: D
1. Como visto, o módulo da aceleração escalar iguala
o módulo da aceleração tangencial. Como o vetor
velocidade é tangente à trajetória, para encontrar o
módulo da aceleração tangencial, basta projetar o
vetor aceleração sobre o vetor velocidade. Daí:
t = 15 – 9 = 6,0h
Em 24h a Terra dá uma volta completa ao redor do próprio eixo, o que corresponde a um ângulo central de 2
radianos. Em 6,0h, portanto, é subentendido um ângulo
central
= /2 rad = 90°
at = 4 cos 60° = 4 .1/2 = 2,0m/s2.
Sendo r o raio da Terra (6400 km), a situação pode ser
vista como na figura abaixo, para um observador situado
em certa posição do espaço).
2. O módulo da aceleração centrípeta vale v2/R e,
portanto, R = v2/acp. Para encontrar o módulo da aceleração normal ou centrípeta, basta projetar o vetor
aceleração na direção perpendicular à do vetor v:
1 500h
3 =2 3
2
2
v2
3
Daí: R =
= 10 = 50
29m
3
3
2
acp
8. (FEI) Uma automóvel realiza uma curva de raio 20m
com velocidade constante de 72km/h. Qual é a sua
aceleração, em m/s2, durante a curva?
acp = a sen 60° = 4 .
a) 0
Na figura, tem-se AC = r, AE = R.
b) 5
BC é o lado do quadrado inscrito na circunferência de
círculo de raio r; assim, tem-se: BC = r 2 .
c) 10
d) 20
DE é o lado do quadrado inscrito na circunferência de
círculo de raio R; assim, tem-se: DE = R 2 .
e) 3,6
A medida de DE é o módulo solicitado do vetor deslocamento.
Solução: D
Sendo v = 72km/h = 20m/s constante, então é nula
a componente tangencial da aceleração, que indica a
variação em módulo da velocidade. Assim, só existe
aceleração centrípeta, que caracteriza as alterações da
velocidade em direção. Daí, tem-se:
(Fatec) Num certo instante, estão representadas a
aceleração e a velocidade vetoriais de uma partícula.
Os módulos dessas grandezas estão também indicados
na figura.
Dados: sen 60° = 0,87
cos 60° = 0,50
a = acp= v2/R = 202/20 = 20m/s2.
9. (Ufscar) Nos esquemas estão representados os vetores da velocidade e da aceleração do ponto material P.
Assinale a alternativa em que o módulo da velocidade
desse ponto material permanece constante.
10m/s
60o
a)
P
4,0m/s2
v
b) a
No instante considerado, o módulo da aceleração
escalar, em m/s2, e o raio de curvatura, em metros, são,
respectivamente:
a) 3,5 e 25
8
a
P
a
c)
b) 2,0 e 2,8
P
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v
v
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7.
``
d)
a
e) P
``
m
v
P
v
a
v
Solução: C
Se o módulo da velocidade permanece constante, então
é nula a aceleração tangencial e, para que isso ocorra, o
vetor aceleração tem de ser perpendicular à tangente e à
trajetória no ponto considerado e, portanto, perpendicular
também ao vetor velocidade.
M
Considerando a Terra como referencial na situação
descrita, assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
(01) O satélite sofre a ação da força gravitacional
exercida pela Terra, de módulo igual a Fg = G Mm/
R2, onde G é a constante de gravitação universal, M
é a massa da Terra e R o raio da órbita do satélite.
10. Aproveitando a oportunidade, classifique os movimentos correspondentes às alternativas apresentadas no
exercício anterior.
``
Solução:
(02) Para um observador na Terra, o satélite não
possui aceleração.
Para resolver esse exercício, você deve proceder da
seguinte forma:
(04) A força centrípeta sobre o satélite é igual à
força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.
• Imagine dois eixos perpendiculares entre si no ponto
considerado: um tangente à trajetória no ponto considerado, o outro perpendicular a este.
(08) A força exercida pelo satélite sobre a Terra tem
intensidade menor do que aquela que a Terra exerce sobre o satélite; tanto que é o satélite que orbita
em torno da Terra e não o contrário.
• Sobre esses eixos, projete o vetor aceleração, obtendo as componentes tangencial e normal desta,
respectivamente.
(16) A aceleração resultante sobre o satélite independe da sua massa e é igual a G M/R2, onde G é a constante de gravitação universal e M é a massa da Terra.
• O vetor aceleração aponta sempre para a parte côncava da trajetória, pois a direção dele passa pelo
centro de curvatura.
(32) A aceleração resultante sobre o satélite tem a
mesma direção e sentido da força gravitacional que
atua sobre ele.
• Se o vetor aceleração está voltado para o sentido do
movimento, a componente tangencial tem o mesmo
sentido da velocidade e o movimento é acelerado.
``
• Se o vetor aceleração está voltado para o sentido
contrário ao do movimento, a componente tangencial tem sentido oposto ao da velocidade e o movimento é retardado.
Solução: Soma: 53
(01) De acordo com a Lei da Atração Gravitacional, de Newton, da qual trataremos em aula futura,
a matéria atrai a matéria na razão direta das massas
e na razão inversa do quadrado das distâncias. Assim, dois corpos de massas M e m, separados por
uma distância R, sofrem a ação de uma força de
atração mútua de módulo Fg=GMm/R2, onde G é
a constante de gravitação universal. A proposição,
portanto, está correta.
• Se o vetor aceleração é colinear com o vetor velocidade, trata-se de movimento retilíneo.
a) Movimento curvilíneo acelerado, concavidade para
cima.
b)Movimento curvilíneo retardado, concavidade para
cima.
(02) O satélite executa movimento circular uniforme; assim, possui aceleração centrípeta acp=v2/R. A
proposição, portanto, está errada.
c) Movimento circular uniforme, concavidade para cima.
d)Movimento retilíneo retardado.
(04) A proposição está correta. O único agente capaz
de exercer uma força sobre o satélite é a Terra e essa
força é a de atração gravitacional, de acordo com o que
se viu no item (01). Essa força, sempre voltada para o
centro de curvatura da trajetória, impede que o satélite
saia pela tangente, devido à inércia de sua massa; essa
é, pois, a força centrípeta, que é igual ao produto da
massa do satélite pela aceleração centrípeta.
e) Movimento retilíneo acelerado.
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R
11. (UFSC-adap.) Um satélite artificial, de massa m, descreve uma órbita circular de raio R em torno da Terra, com
velocidade orbital v de módulo constante, conforme representado esquematicamente na figura. (Desprezam-se
interações da Terra e do satélite com outros corpos)
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9
3. (Cesgranrio) Na figura OP = 18, as coordenadas (x,y)
do ponto P, indicado, são:
Obs.: Por oportunas, cabem aqui algumas considerações:
•• Pelo exposto, tem-se Fg = Fcp ou GMm/R2 = macp,
donde se vê que a aceleração centrípeta tem a
expressão GM/R2.
•• E mais: a força de atração gravitacional é também
a força com que o satélite é atraído para o centro
da Terra; representa, portanto, também o peso
do satélite em órbita. Daí, vem que Fg = Peso =
m . g’, onde g’ é a aceleração da gravidade na
altura da órbita. Em consequência disso, vem que
g’=GM/R2=acp .
4. (Cesgranrio) Decompomos um vetor de módulo 13 em
dois outros ortogonais, sendo que um deles tem módulo
12. O módulo do outro será:
a) 5
b) 1
(08) Pela 3.ª Lei de Newton (Princípio da Ação e
da Reação), que será visto em aula futura, quando
um corpo exerce sobre outro uma força, este reage, exercendo sobre o primeiro uma força igual e
em sentido contrário. Daí, a força com que a Terra
atrai o satélite tem módulo igual ao daquela com
que o satélite atrai a Terra. A proposição, portanto,
está errada.
c) 25
d) 4
e) 8
5. Desejamos decompor um vetor de módulo 50 em dois
outros ortogonais de módulos iguais. Determine o módulo desses vetores.
(16) Já se viu no item (04) que acp= g’= GM/R2.
Assim, independe da massa do satélite. A proposição, portanto, está correta.
6. (Mackenzie) A resultante de dois vetores perpendiculares entre si tem módulo igual 20 . Sabendo que o
módulo de um dos vetores é o dobro do outro, calcule
os módulos dos dois vetores.
(32) Correto. Já se viu no item (04) que Fg=macp.
7.
As proposições corretas, portanto, são as de numerações 01, 04, 16 e 32, que totalizam 53.


(UFPI) A resultante dos vetore v 1 e v 2 é mais bem representada por:
1. Uma grandeza física vetorial fica perfeitamente definida
quando dela se conhece:
a) valor numérico, direção e unidade.
8. (Feso) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela
em que todas as grandezas físicas relacionadas são de
natureza vetorial:
b) valor numérico, unidade e direção.
c) direção, unidade e sentido.
a) velocidade, aceleração e energia potencial.
d) valor numérico, unidade, direção e sentido.
b) posição, impulso e potência.
2. (Cesgranrio) Das grandezas físicas apresentadas nas
opções abaixo, assinale aquela de natureza vetorial.
c) aceleração, força e trabalho.
d) velocidade, quantidade de movimento e energia
cinética.
a) Pressão.
b) Força eletromotriz.
9. Uma bola é arremessada com velocidade de 20m/s,
segundo um ângulo de 37O com a horizontal. Determinar
as componentes da velocidade na horizontal (vx) e na
vertical (vy).
d) Campo elétrico.
e) Trabalho.
Dados: cos 37° = 0,8
10
81
sen 37° = 0,6
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EM_V_FIS_004
e) força, quantidade de movimento e impulso.
c) Corrente elétrica.
10. Dados os vetores, determinar a expressão cartesiana de:
14. (PUC-Rio) Um carro se desloca 200m para o nordeste e
200m para noroeste. Determine a distância final em que
se encontra o carro em relação ao ponto de partida.
a) 400m
b) 200m
c) 200 2 m


d) 100 2 m

a) 2 a + b - c


e) 400 2 m

b) a - 3 b + 2 c
15. Quando um atleta percorre metade de uma pista de
corrida circular de raio igual a 400m, sofre um deslocamento vetorial de:
11. Uma partícula descreve a trajetória da figura abaixo.
a) 800πm
b) 400πm
c) 200πm
d) 400m
O vetor que pode representar o deslocamento entre os
pontos A e B:
e) 800m
16. O comprimento do ponteiro dos segundos de um
relógio é igual a 10cm. Considere um ponto M em sua
extremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-se
do número 12 ao 6 do relógio, determine:
a)
b)
a) O deslocamento escalar
c)
b) O módulo do deslocamento vetorial.
17. (Osec) Um móvel percorre uma trajetória circular de
1,00m de raio com velocidade escalar constante. Após
1/4 de volta, o vetor deslocamento do móvel tem módulo
aproximadamente igual a:
d)
e)
12. Um veículo se desloca 190km para o Norte, depois 50km
para o leste e finalmente 70km para o Sul.
a) 1,00m
Determinar o módulo do deslocamento vetorial.
13. Dado o gráfico cartesiano abaixo, represente:
c) 6,28m
b) 1,41m
d) 3,14m
e) 0,252m
18. Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 20m/s. Desprezando-se a resistência
do ar e sendo g = 10m/s2, determinar:
a) O deslocamento escalar entre os instantes em que
ele é lançado e que ele volta a passar pelo mesmo
ponto.
b) O deslocamento vetorial.
19. (PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material
é constante e não-nula, sua trajetória:

EM_V_FIS_004
a) o vetor posição rA → (2,5);
a) é uma parábola.

b) o vetor posição rB → (5,8);

c) o vetor deslocamento ∆ rAB.
b) pode ser retilínea, mas não necessariamente.
c) deve ser retilínea.
82
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11
d) é uma circunferência.
e)
e) pode ser uma curva qualquer.
v
a
20. (FEI-SP) Sabendo-se que a aceleração total (resultante)
de um móvel é nula, pode-se afirmar que:
23. (FEI-SP) Uma partícula descreve uma circunferência
com movimento uniforme. Pode-se concluir que:
a) sua velocidade é nula.
b) seu movimento é circular e uniforme.
a) sua velocidade vetorial é constante.
c) seu movimento é uniforme, qualquer que seja sua
trajetória.
b) sua aceleração tangencial é não-nula.
d) seu movimento só pode ser retilíneo e uniforme.
d) sua aceleração vetorial resultante é nula.
e) nenhuma das anteriores é correta.
e) suas acelerações tangencial e resultante são iguais
em módulo.
c) sua aceleração centrípeta tem módulo constante.
21. (PUC-RS) As informações a seguir referem-se a um
movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer:
24. (UFMG) Um ventilador (veja figura) acaba de ser desligado e está parando vagarosamente no sentido horário.
A direção e o sentido da aceleração da pá do ventilador
no ponto P é:
I. A velocidade vetorial pode mudar de sentido.
II. A velocidade vetorial tem sempre módulo constante.
III. A velocidade vetorial tem direção constante.
A alternativa que representa corretamente o movimento
retilíneo é:
a) I, II e III
b) somente III
c) somente II
d) II e III
e) somente I e III
22. (USS) Um corpo está com movimento uniforme, com
sentido de (1) para (2). Quando ele passa pelo ponto A,
o par de vetores, velocidade e aceleração representativo
do movimento será:
25. (USS) Uma pista de corridas de kart é vista de cima, e
no ponto P há um carro em movimento uniforme.
a)
v
a
Qual das opções abaixo melhor representa a velocidade
e a aceleração do carro no ponto P?
Velocidade
Aceleração
a) I
II
v
a
c)
d)
12
v
b) V
II
a=0
c) I
III
v
d) V
III
e) III
IV
a
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EM_V_FIS_004
b)
(Uerj) Dado o esquema responda as questões 26 e 27.





I. a = 2 i + 3 j
II. b = 2 j



III. b + c = i
Podemos afirmar que:
a) I e II estão corretas.
b) II e III estão corretas.
c) I e III estão corretas.
d) estão todas corretas.
e) há apenas uma correta.
2. (Mackenzie) Na figura abaixo estão representados cinco
vetores de mesma origem e cujas extremidades estão
sobre os vértices de um hexágono regular cujos lados
medem k unidades. Calcule o módulo da resultante
desses vetores.
26. Suponha constante a desaceleração de um dos carros
no trecho retilíneo entre as curvas Laranja e Laranjinha,
nas quais ele atinge, respectivamente, as velocidades de
180km/h e 150km/h. O tempo decorrido entre as duas
medidas de velocidade foi de 3 segundos.
O módulo da desaceleração, em m/s 2, equivale,
aproximadamente, a:
a) 0
b) 1,4
c) 2,8
d) 10,0
a) 2k
27. A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1,
em uma volta completa do circuito, corresponde a:
b) 3k
a) 0
c) 4k
b) 24
d) 5k
c) 191
e) 6k
3. (PUC-SP) A soma de dois vetores, de módulos
respec
tivamente iguais a 12u e 16u, é igual a s .
d) 240
28. O comprimento do ponteiro dos segundos de um
relógio é igual a 10cm. Considere um ponto M em sua
extremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-se
do número 12 ao 6 do relógio, determinar:
Podemos afirmar que:
a)  s = 20u
b)  s > 20u
a) a velocidade escalar média, em cm/s;
c)  s = 28u
b) o módulo da velocidade vetorial média, em cm/s.
d) 4u ≤  s ≤ 28u
e)  s < 20u
4. Que ângulo devem fazer dois vetores, de mesmo módulo,
para que a intensidade do vetor soma seja igual a de
cada componente?
1. (Cesgranrio)
No gráfico anexo
estão
representados três


  
vetores a, b e c. Os vetores i e j são unitários. Analise
as expressões:
Dado: cos
θ
=
2
1 + cosθ
2
EM_V_FIS_004
5. (Cesgranrio)
Na figura abaixo estão

representados os
 

vetores a , b e c e os versores i e j.
Assinale a sentença errada:
84
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nula. Se trocarmos os sentidos de dois deles, consecutivos, a resultante terá módulo de:
a) 3
b) 6
c) 12


d) 6 2
a) b = 2 j


b) a = 3 i 


c) c = 2 ( i + j )



d) c = a + b

e) c = 2 2
e) 12 2
9. No diagrama abaixo temos  b = 20u. Determine o
módulo do vetor a .
6. (FOA) Para o sistema de vetores representado abaixo,
a única igualdade correta é:
10. (Olimpíada Brasileira de Física) A figura mostra seis
vetores a, b, c, d, e e f, que formam um hexágono.
De acordo com a figura, podemos afirmar que:
a)
b) a + b + c = d
c) a + b + c = -d
d) a + b + c + d = 0
7.
a) a + b + c + d + e + f = 6a
e) a - b + c - d = 0
  
(UFLA) Os vetores a, b e c , representados abaixo, têm
resultante nula. Sabendo que:
b) a + b + c = - d – e – f c) a + b + c + d + e + f = 3a
d) a + b + c = – d + e - f
e) a + b + c = 0
11. (UFCE) M e N são vetores de módulos iguais (M =
N  = M). O vetor M é fixo e o vetor N pode girar em
torno do ponto O (veja figura) no plano formado por M
e N . Sendo R = M + N , indique, entre os gráficos a
seguir, aquele que pode representar a variação de |R|
como função do ângulo θ entre M e N.

 
b = 6 , podemos afirmar que os módulos de a e c valem
respectivamente:
a) 3 e 3 2 + 6
2
b) 6 e 2
2
3
c) 3 2 e 3
d) 6 e 3
a)
e) 3 e 3 2
14
EM_V_FIS_004
8. Consideremos quatro vetores de módulos iguais a 6,
tais que, ao se determinar a sua resultante pelo método
do polígono, obteve-se um quadrado, dando resultante
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b)
d)
e)
14. Uma partícula executa um movimento circular, no sentido
indicado na figura. Sendo o raio da trajetória 7m, determinar o módulo de deslocamento vetorial entre:
c)
d)
e)
a) A e C.
b) A e B.
15. (UFRS) Um automóvel percorre uma estrada contida no
plano XY, conforme a figura. Às 10 horas, esse automóvel
encontra-se nas coordenadas (x1 , y1) = (2,2) e, às 10
horas e 30 minutos, nas coordenadas (x2 , y2) = (6,5).
12. (UFRN) A figura abaixo representa os deslocamentos de
um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual
a 20m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo do
vetor deslocamento são, respectivamente:
O módulo do vetor deslocamento, nesse intervalo de
tempo, é:
a) (2 + 3 )km
a) 20 5 m e 20 5 m
b) 20 5 m e 40m
b) 15,0km
c) 100m e 20 5 m
c) 7,0km
d) 40m e 40 5 m
d) 5,0km
e) 100m e 40 5 m
e) 2,5km
13. Na figura abaixo estão representados os vetores correspondentes à posição de uma partícula nos instantes
t1 = 2,0s e t2 = 5,0s.
16. O
inicial de uma partícula

 posição
 é igual a
 vetor

r0 = 6 i – 8 j e o vetor posição final r = 10 i + 2 j .
Determinar o vetor deslocamento.
17. (Fatec) Um ponto material movimenta-se a partir do ponto
A sobre o diagrama anexo, da seguinte forma: 6 unidades
(u) para o Sul; 4 u para o Leste e 3 u para o Norte.
Qual dos vetores abaixo pode representar o vetor
deslocamento, entre os instantes considerados.
a)
EM_V_FIS_004
b)
c)
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15
O módulo do deslocamento vetorial desse móvel foi de:
a) 13u
d) 40cm
e) 50cm
b) 5u
21. Uma partícula em movimento tem uma trajetória que
descreve um hexágono regular (ABCDEF) de lado
igual a 12m. Partindo do ponto A, determinar quando
ela passa no ponto D:
c) 7u
d) 3u
e) 1u
a) A distância percorrida.
18. Um carro percorre um arco de 60º de uma circunferência
de raio igual a 1 000m. Calcular o módulo do deslocamento vetorial.
b) O deslocamento vetorial.
22. Duas partículas A e B descrevem uma trajetória sobre
os lados de um pentágono regular de lado igual a
50cm, partindo do mesmo vértice. A partícula A percorre 3 lados com aceleração de módulo constante,
em sentido horário, e a partícula B percorre 2 lados
no sentido anti-horário com velocidade constante, no
mesmo intervalo de tempo. Sendo o deslocamento vetorial da partícula A ∆rA e o da partícula B ∆rB, comparar
∆rA com ∆rB; isto é, se ∆rA > ∆rB, ∆rA = ∆rB ou ∆rA < ∆rB.
Justifique sua resposta.
19. Em uma cidade os quarteirões são retângulos de
800m × 600m.
Uma pessoa caminhando vai da esquina A até a esquina
B, conforme a figura acima, com velocidade de 2m/s.
Determinar:
a) O tempo que levou no percurso.
23. (EN) O inglês Robin Johnston ganhou a primeira regata
volta ao mundo, retornando ao porto de partida, percorrendo 3,00 . 104 milhas em 313 dias.
Sabendo que 1 milha tem aproximadamente 1,85km, a
velocidade escalar média e a velocidade vetorial média
são, respectivamente, em km/h:
a) zero e 7,39
b) O deslocamento vetorial.
20. (FCMSC) Uma partícula se move em um plano, em
relação a um sistema de eixos cartesianos fixos, sendo x
e y as coordenadas de sua posição; os gráficos a seguir
nos dão x e y em função do tempo t.
b) 7,39 e zero
c) 7,39 e 427
d) 427 e 7,39
24. (UFRRJ) Um motorista percorre, num movimento
retilíneo, 32km em 30min. Para 1 hora para almoçar e
retorna, fazendo 70km em 30min. Nessas duas horas, a
velocidade vetorial média do motorista é de:
a) 20km/h
b) 19km/h
c) 44km/h
d) 56km/h
e) 60km/h
25. (FOA-RJ) Um móvel parte do repouso com uma aceleração escalar constante de 2,0m/s2 e percorre uma trajetória circular de raio igual a 100m. Após 10 segundos,
as componentes tangencial e centrípeta da aceleração
valem, respectivamente, em m/s2:
Dentre os valores a seguir o que mais se aproxima
do módulo do vetor deslocamento do móvel entre os
instantes t = 2,0s e t = 9,0s é:
a) 10cm
b) 2,0 e 4,0
b) 20cm
c) 4,0 e 2,0
c) 30cm
16
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EM_V_FIS_004
a) 2,0 e 2,0
d) 4,0 e 4,0
A aceleração vetorial média nesse intervalo de tempo
é, em m/s2:
e) 10 e 10
a)
26. (UFRRJ) Um corpo é abandonado a uma altura H (em
relação ao solo) em queda livre. Ao passar por um ponto
A da trajetória retilínea, possui uma velocidade escalar
de 10m/s. Um observador fixo na terra poderá afirmar,
quanto ao módulo do vetor velocidade, em um ponto B
situado a 2,2m de A, que o módulo do vetor:
2
b) 2
c) 4
d) 0
e) 0,5
a) depende da massa do corpo.
29. Um carro faz uma curva de raio igual a 100m, com velocidade constante em módulo igual a 20m/s, descrevendo
um ângulo reto em 10s. Determinar:
b) é de 12m/s.
c) é proporcional ao quadrado do tempo.
a) O módulo da variação da velocidade.
d) é um vetor cujo módulo é constante.
b) O módulo do vetor aceleração.
e) vale 15m/s.

30. (FEI-SP) A velocidade v de um móvel em função do
tempo acha-se representada pelo diagrama vetorial
da figura.
27. (Uerj) Pardal é a denominação popular do dispositivo
óptico-eletrônico utilizado para fotografar veículos
que superam um determinado limite estabelecido de
velocidade v.
Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é
colocado formando um ângulo θ com a direção da
velocidade do carro, como indica a figura a seguir.
A intensidade da velocidade inicial é v0 = 20m/s.
Determine o módulo da aceleração vetorial média entre
os instantes t = 0 e t = 8s.
31. (FEI-SP) Uma partícula descreve uma circunferência
de raio de 20cm, percorrendo 1/6 da mesma em 8s.
Qual é, em cm/s o módulo do vetor velocidade média
da partícula no referido intervalo de tempo?
Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar
velocidades superiores a v, quando o ângulo θ = 0o.
A velocidade v do veículo, que acarretará o registro da
infração pelo pardal, com relação à velocidade padrão
v, será:
a) v sen θ
32. (UFF) A figura representa a fotografia estroboscópica do
movimento de um disco que desliza sem atrito sobre uma
mesa. O disco descreve uma trajetória circular, percorrendo ângulos iguais em intervalos de tempo iguais.
b) v cos θ
Sabendo-se que o flash da máquina fotográfica é
disparado a cada 0,50s:
c) v/ sen θ
d) v/ cos θ
28. (PUC-Rio) Um objeto em movimento circular uniforme passa pelo ponto A e, 1 segundo após, passa
pelo ponto B.
EM_V_FIS_004
a) Determine o módulo do vetor velocidade média do
disco entre as posições 4 e 12.
b) Represente graficamente, na figura, os vetores ve

locidade v e a aceleração a do disco no instante
em que este passa pela posição 8.
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33. (Unicamp) A figura abaixo representa um mapa da
cidade de Vitória a qual indica a direção das mãos do
tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos trafegam com a velocidade média de 18km/h. Cada quadra
desta cidade mede 200m por 200m (do centro de uma
rua ao centro da outra rua). Uma ambulância localizada
em A precisa pegar um doente localizado bem no meio
da quadra em B, sem andar na contramão.
a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?
b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em
km/h) entre os pontos A e B?
34. (EN) Um móvel desloca-se em uma trajetória retilínea na
direção do eixo Ox, de tal maneira que sua velocidade v
varia com o tempo t de acordo com a equação:
v =(4t – 8) i onde t é dado em segundos, v em metros
por segundo e i é o versor mostrado na figura.
Sabendo que para t = 1s o vetor posição da partícula
(cuja origem está em O) é dado por r = 2i (com  r 
em metros) determine:
a) O vetor posição da partícula no instante t = 0.
b) O vetor posição da partícula no instante t = 6s.
c) O módulo do vetor deslocamento entre os instantes
t = 0 e t = 6s.
18
EM_V_FIS_004
d) A distância total percorrida entre os instantes t = 0 e
t = 6s.
89
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1. D
2. D
3. (9 3 ; 9)
14. C
4. A
15. E
5. x = 25 2
16.
6. x = 2 e 2x = 4
7.
a) 31,4cm
A
b) 20cm
8. E
9.
17. B
Vy = 12m/s
V = 16m/s
X
18. Nos dois casos é nulo
19. C
EM_V_FIS_004
10.
a) 9i + 7j
20. D
b) – 4 i – 5 j
21. E
11. D
22. E
12. 130km
23. C
90
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19
24. D
22.
25. C
=
=
26. C
27. A
23. B
28.
24. B
a) 1,05cm/s
25. B
b) 0,66cm/s
26. B
27. D
28. B
29.
1. D
= 20 2 m/s
2. E
a)
3. D
b) IamI =
20 2
=2
10
2 m/s2
4. 120o
30. 5m/s2
5. D
31. O arco descrito corresponde a 600, logo temos um
triângulo eqüilátero cujos lados são dois raios e o des-
6. D
7.
locamento vetorial.
A

a) 2,5cm/s
9. IaI =20 2
10. B
b) v
11. B
a
33.
12. C
13. B
a) 3min.
14.
b) 10km/h
34.
a)
a)
= 2 x 7 = 14m
b)
15. D
16. 4
= 2,5cm/s
32.
8. E
b)
= 20cm e I I
c) I∆ I = 24m +10
d) 40m
17. B
18. 1 000m
19.
a) 2 100s
b) 3 000m
20. C
21.
EM_V_FIS_004
a) 36m
b) 24m
20
91
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