Movimento em duas ou mais dimensões
Prof. Ettore Baldini-Neto
•
A partir de agora, generalizamos a discussão que fizemos
para o movimento retilíneo para mais dimensões.
•
A grande diferença é que o cálculo vetorial volta à cena e as
grandezas físicas relevantes tais como a posição, o
deslocamento, a velocidade e a aceleração devem ser
expressas e operadas como um vetor.
•
Vejamos como fazer isto.
Vetor posição
A localização de uma partícula tanto no plano (2D) ou no espaço
(3D) é descrita, de maneira geral, pelo vetor posição que, também
em geral, depende do tempo.
•
y
Particle
d to
ept
s.
r=
x
î +
y ĵ
yĵ
Generalizando para o 3D, temos:
x
xî
ate
oint
~ = x(t)ı̂ + y(t)ˆ
r(t)
|
(x, y)
The x and y components of
S
the position vector r for a particle are the x
and y (Cartesian) coordinates of the particle.
FIGURE 3-1
~ = x(t)ı̂ + y(t)ˆ
r(t)
| + z(t)k̂
y
P1 at t1
ates
arP2 ,
∆r
r1
P2 at t2
Vetor Deslocamento
•
Como vimos em uma dimensão, o deslocamento entre dois instantes
quaisquer é definido com sendo a diferença entre as posições da
partícula, nestes instantes.
~r = ~r2 (t)
~r1 (t)
Como
~r1 = x1 ı̂ + y1 |ˆ + z1 k̂
~r2 = x2 ı̂ + y2 |ˆ + z2 k̂
~r
= ~r2
=
=
(x2
~r1
x1 )ı̂ + (y2
xı̂ +
yˆ
|+
y1 )ˆ
| + (z2
z1 )k̂
z k̂
Exemplo 1: O vetor posição de uma partícula é, inicialmente,
r1=-3,0i+2,0j+5k. Mais tarde, esta partícula está em r2= 9,0i+2.0j+8k.
Calcule seu deslocamento.
Velocidades média e instantânea
Analogamente ao caso unidimensional, definimos as velocidades
média e instantânea como
vm =
d~r
v=
dt
~r
t
⇣m⌘
s
⇣m⌘
s
A interpretação geométrica é a mesma, ou seja, a direção da
velocidade instantânea de uma partícula em determinado ponto
(instante) é tangente à trajetória da partícula neste ponto.
A direção da velocidade instantânea de uma partícula em
determinado ponto (instante) é tangente à trajetória da partícula
neste ponto.
~v
=
=
=
d~r
dt
dx
dy
dz
ı̂ +
|ˆ + k̂
dt
dt
dt
vx ı̂ + vy |ˆ + vz k̂
Cuidado: Está implícito nesta equação que as componentes do vetor posição variam
com o tempo, ou seja, x=x(t), y=y(t) e z=z(t). A regra de derivação é a mesma.
Acelerações média e instantânea
Analogamente ao caso unidimensional, definimos as acelerações
média e instantânea como
~am =
d~v
~a =
dt
~v
t
⇣m⌘
s2
⇣m⌘
s2
A interpretação geométrica, assim como as regras de derivação continuam
as mesmas. No caso geral, devemos lembrar que a aceleração pode
depender do tempo.
Reescrevendo, ficamos com
~a = ax (t)ı̂ + ay (t)ˆ
| + az (t)k̂
No caso de um movimento retilíneo uniforme em qualquer uma das
direções, a aceleração nesta direção será constante, ou seja, não vai
variar com o tempo.
Exemplo 2: Uma partícula movimentando-se no plano tem o seguinte
vetor posição
~r(t) = (2t
4)ı̂ + (t2
2t + 1)ˆ
|
Calcule sua velocidade e aceleração em função do tempo. Existe
algum instante onde a velocidade se anula? Descreva o movimento
para t>0.
Casos especiais
•
Vamos estudar agora dois casos particulares do
movimento em duas dimensões.
•
Movimento circular uniforme
•
Movimento de Projéteis
Movimento Circular Uniforme (MCU)
•
Uma partícula descreve o MCU se estiver se movimento em uma
circunferência ou arco de circunferência com velocidade escalar
constante.
•
Muito embora o módulo desta velocidade seja constante, a direção do
vetor velocidade varia ao longo da trajetória, é sempre tangente à
trajetória em cada instante do tempo. Portanto, o movimento possui
uma aceleração, a qual chamamos de aceleração centrípeta que é
dirigida para o centro da curva.
Cálculo da aceleração
~v =
vsen✓ı̂ + vcos✓ˆ
|
yp
Da figura
sen✓ =
r
xp
cos✓ =
r
yp
xp
~v =
vı̂ + vˆ
|
r
r
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade. Note que nem o
raio nem a velocidade variam com o tempo.
d~v
~a =
=
dt
⇣
⌘
⇣
⌘
dyp v
dxp v
ı̂ +
|ˆ
dt r
dt r
Note que
dyp
= vy = vcos✓
dt
dxp
= vx =
dt
Finalmente:
vsen✓
⇣
⌘
⇣
⌘
dyp v
dxp v
ı̂ +
|ˆ
dt r
dt r
d~v
~a =
=
dt
~a =
~a =
vcos✓
✓
2
v
r
◆
⇣v ⌘
r
ı̂
cos✓ı̂
vsen✓
✓
2
v
r
◆
⇣v ⌘
r
|ˆ
sen✓ˆ
|
Calculando o módulo deste vetor
|~a| =
q
a2x + a2y
v2
|~a| =
r
Durante o movimento circular uniforme, o período de uma volta em um
circunferência é simplesmente a razão entre o comprimento da mesma e
sua velocidade escalar, ou seja:
2⇡R
T =
v
(s)
Podemos com o auxílio desta equação expressar a intensidade da
aceleração centrípeta como função do período do movimento.
2
acp
v
=
R
acp
4⇡ 2 R
=
T2
⇣m⌘
s2
Definimos a frequência do movimento como sendo inversa ao período,
ou seja:
1
f=
T
(Hz)
Exemplo 3: Um objeto se move com velocidade constante ao longo de um
caminho circular no plano xy. O centro é a origem do plano. Quando o
objeto está em x=-2m, sua velocidade vale v=-4j (m/s). Calcule a
velocidade deste objeto e sua aceleração quando ele está em y=2m.
Exemplo 4: Pilotos de caças militares sempre se preocuparam com curvas
muito acirradas. Como o corpo de um piloto sofre aceleração centrípeta,
com sua cabeça direcionada para o centra da curva, a pressão sanguínea
no cérebro diminui, podendo causar perda de consciência em uma
manobra. Existem vários avisos para o piloto para “maneirar”. Quando a
aceleração centrípeta chega a 2g ou 3g, o piloto sente-se pesado. Em 4g,
a visão começa a se turvar e se esta aceleração mantiver-se por algum
tempo ou aumentar, a visão cessará e o piloto desmaiará. Qual a
aceleração centrípeta, em unidades de g, de um piloto de um F22 com
velocidade v=2500km/h fazendo um arco de circunferência de raio
5,80km?
Lançamento de Projéteis
•
O lançamento de projéteis é um caso particular do movimento
em duas dimensões.
•
Podemos tratar matematicamente o problema de maneira
simples pois podemos decompor este tipo de movimento em dois
movimentos independentes:
•
Em um movimento horizontal no qual a velocidade é
constante, ou seja, um movimento retilíneo uniforme.
•
Em um movimento vertical no qual a aceleração é constante
e igual à aceleração da gravidade, ou seja, um movimento
retilíneo uniformemente variado.
O movimento vertical das duas bolas é o
mesmo, ou seja, o movimento horizontal da
bola amarela não afeta seu movimento vertical,
ou em outra palavras, eles são independentes.
•
O ponto importante é que durante um lançamento oblíquo, o vetor
velocidade inicial tem duas componentes, uma componente ao longo do
eixo x, e outra componente ao longo do eixo y, ou seja, ambas
dependem do ângulo de lançamento.
~v0 = v0 cos✓ı̂ + v0 sen✓ˆ
|
•
O movimento horizontal do projétil então tem a seguinte
equação.
x = x0 + v0x .t ! x = x0 + v0 cos✓.t
•
O movimento vertical do projétil então tem as seguintes equações,
lembrando que a aceleração é a aceleração da gravidade, g.
y = y0 + v0y .t
vy = v0y
vy2
=
2
v0y
1 2
gt
2
g.t
2g y
y = y0 + v0 sen✓.t
vy = v0 sen✓
2
vy
=
2
2
v0 sen ✓
1 2
gt
2
g.t
2g y
Equação da Trajetória do Projétil
x x0
t=
v0 cos✓
x = x0 + v0 cos✓.t
1 2
y = y0 + v0 sen✓.t
gt
2
✓
◆
x x0
y y0 = v0 sen✓
v0 cos✓
y
sen✓
y0 =
(x
cos✓
✓
1 x x0
g
2 v0 cos✓
2
x0 )
1 (x x0 )
g 2 2
2 v0 cos ✓
◆2
y
y
sen✓
y0 =
(x
cos✓
y0 = tg✓(x
x0 )
x0 )
1 (x x0 )2
g 2 2
2 v0 cos ✓
1 (x x0 )2
g 2 2
2 v0 cos ✓
(x0 , y0 ) = (0, 0)
y = tg✓.x
g
2
x
2
2v0 cos2 ✓
y = bx + ax
2
Alcance Horizontal
•
O alcance horizontal é a distância horizontal que o projétil
percorre desde o lançamento até o ponto em que sua altura
é a mesma do que a altura inicial de lançamento.
x = x0 + v0 cos✓.t
y = y0 + v0 sen✓.t
•
1 2
gt
2
Quando a altura final é igual à altura inicial temos que:
1 2
v0 sen✓.t = gt
2
2v0 sen✓
t=
g
2v0 sen✓
t=
g
x
x = x0 + v0 cos✓.t
x
x0 =
✓
2v0 sen✓
x0 = v0 cos✓
g
2
v0 2sen✓ cos ✓
R=
g
2
v0
g
sen2✓
O alcance máximo ocorre quando sen2✓ = 1
o
✓ = 45
◆
Exemplo 5: Na figura abaixo, um avião de salvamento voa a 55m/s a uma
altura de 500m rumo a um ponto diretamente acima de uma vítima de
naufrágio para deixar cair uma balsa.
!
a) Qual dever ser o ângulo ø da linha de visão do piloto para a vítima no
instante em que o piloto deixa a balsa cair?
b) Qual a velocidade vetorial da balsa ao cair na água
Exemplo 6: A figura mostra um navio pirata a 560m de um forte que
protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa situado no nível do
mar, dispara balas com uma velocidade inicial de 82m/s.
!
a) Qual o ângulo em relação à horizontal com que as balas devem ser
disparadas para alcançar o navio?
b) Qual o alcance máximo das balas de canhão?