Movimento Circular
INTRODUÇÃO
Para um movimento ser curvo, é necessária a existência de pelo menos uma componente da
aceleração perpendicular à trajetória , ou seja, a aceleração não deve estar na mesma direção da
trajetória. No movimento circular, vamos estudar algumas situações, bastante cobradas em provas,
como o Movimento Circular Uniforme e o Movimento Circular Acelerado.
1 MCU
O Movimento Circular Uniforme é o movimento de rotação em que não há uma aceleração
tangencial,ou seja, não há nada que acelere o movimento, mantendo o corpo uma velocidade angular e
o módulo do vetor velocidade constante. A aceleração resultante é puramente uma aceleração
centrípeta (aponta para o centro) que é sempre perpendicular a trajetória do movimento,já a
velocidade é sempre tangente à trajetória e perpendicular à aceleração como mostrado na figura abaixo.
Figura 3.3.0
Na figura nós podemos ver que não há aceleração tangencial, somente a aceleração em azul que aponta para o centro da curva.
Para encontrar a relação entre velocidade angular e velocidade, podemos utilizar a relação da
trigonometria:
Figura 3.3.1
S=
Sendo L o comprimento percorrido , teta o ângulo do início até o ponto que queremos e R o raio da circunferência.
Derivando dos dois lados, teremos:
Como
Sendo
(variação do ângulo)
a velocidade angular, que é uma volta completa
dividido pelo tempo que a partícula leva para dar uma volta, também
conhecido por período. Já f significa a frequência, ou seja, quantas voltas a partícula dá em 1 segundo, sendo
As unidades de medida relacionada à frequências são hertz = 1rotação por segundo ou rpm= 1 rotação por minuto, lembrando que a
dimensão de frequência é a mesma da velocidade angular, que geralmente é representada por radianos por segundo, mas os autores de
questões podem nos cobrar velocidade angular com medida de frequência e vice-versa.
Já o módulo da aceleração centrípeta pode ser calculado por
(a demonstração é meio
chata, usa alguns artifícios geométricos e preferimos que você acredite na gente!
).
Vetorialmente falando, sabemos que a aceleração centrípeta sempre aponta para o centro,
passando para os vetores unitários
em função de , a gente vai ter:
Figura 3.3.2
Como
, temos:
Assim , consideramos o vetor na direção radial , mas apontando no sentido de dentro pra fora,
já o vetor é o vetor perpendicular ao e sempre aponta na direção tangente à trajetória.
Sendo assim, temos que a aceleração centrípeta é dada por:
O sinal de é (-), pois o vetor aponta pra fora.
Já a velocidade, aponta sempre na direção tangente à trajetória, é representada por:
2 ACELERAÇÃO TANGENCIAL
Mas nem sempre o movimento circular é uniforme. Quando a aceleração resultante não aponta
para o centro, como nos itens 1 e 3 da figura 3.1.6, há a presença além da aceleração centrípeta uma
aceleração tangencial, que está sempre apontando na direção tangente à trajetória do corpo, sendo
assim, fazendo o módulo e a direção da velocidade mudar com o tempo, sendo a aceleração resultante
dada por:
Podemos relacionar a aceleração tangencial com a aceleração angular , a partir da relação que
demonstramos a velocidade em função da velocidade angular:
Derivando duas vezes em relação ao tempo, teremos:
Como
(variação da variação do ângulo, ou variação da velocidade angular,ou
unicamente aceleração angular).
Ah, e em relação a esse a aceleração angular , podemos utilizar as mesmas regrinhas da cinemática
que utilizamos para aceleração, só que ao invés de deslocamento, usamos ângulos, ao invés de
velocidade, utilizamos velocidade angular e de aceleração, utilizamos aceleração angular, como abaixo:
(Torricelli para ângulos)
E para achar a aceleração resultante...
Figura 3.3.3
Vemos nas figuras que a aceleração resultante (em azul) é a soma vetorial entre a centrípeta e a tangencial
E o módulo da aceleração resultante é dado, pelo Teorema de Pitágoras por:
Essa relação é válida para qualquer movimento, pois se for um MCU
, já se for um
Movimento Retilíneo
. Ah, e se perguntarem na prova : Um MCU tem velocidade constante pois
a aceleração resultante é nula, você já sabe que é falso! Ela tem aceleração e sim e centrípeta, isso
costuma confundir as vezes!
Transmissão de MCU
Uma das aplicações do MCU é a transmissão por meio de correias, engrenagens, ou eixo comum.
Vamos estudar cada caso e averiguar as relações em cada um.
 Correias: Liga duas circunferências por corda ou correia, transmitindo, pelo fio a velocidade
linear de uma circunferência para a outra, podendo, ou não, girarem com velocidades angulares
diferentes. Muito usado em bicicletas pondo os pedais na circunferência de raio maior, que para
cada pedalada completa , fará a menor rodar bem mais que uma volta.
Figura 3.3.4
Nesse caso, a gente terá:
Figura 3.3.5
Essa relação pode ser usada sempre que o sistema for ligado por correias ou fios, vale a pena ressaltar
que ambas as circunferências rodarão no mesmo sentido, ou ambos no horário ou ambos no antihorário.
 Engrenagens: São peças iguaizinhas a essa do símbolo do Engenharia Fácil, e elas também
transferem, em módulo a velocidade linear, todavia no sentido contrário. Na imagem da direita
abaixo, se a engrenagem A rodar no sentido horário, a engrenagem B rodará no sentido antihorário e a C no sentido horário de novo, sempre alternando o sentido de rotação, todavia com
o mesmo módulo de velocidade linear, todavia com o sinal trocado.
Figura 3.3.6
Figura 3.3.7
E a relação entre as engrenagens serão:
Coloquei o módulo, pois na real
em si já terão o sinal contrário do
.
 Fixas por eixo comum: São polias ou circunferências que são fixadas por alguma haste que liga
os eixos de rotação. Ela conserva a velocidade angular do movimento, e não a velocidade linear.
Figura 3.3.8
Para esse caso, a gente vai ter:
Figura 3.3.9
E então...
Bora exercitar?
E
: [UFRJ-2013.1]A figura mostra um trilho no plano horizontal no qual uma partícula desloca-se
da posição A para a posição B. Dentre os vetores
indicados na figura não podem representar
uma aceleração da partícula, nas respectivas posições 1,2 e 3.
Figura 3.3.10
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta:
O vetor aceleração resultante deve apontar para dentro da curva, nunca para fora como o vetor ,
pois a aceleração resultante é a soma vetorial da aceleração centrípeta (que aponta para o centro
da curva) e a aceleração tangencial que é sempre tangente, e a soma de um vetor tangente e outro
que aponta pro centro da curva, dá outro vetor que aponta pra dentro da curva, nunca pra fora.
Logo os vetores
podem representar a situação mostrada, mas nunca o vetor . Alternativa
Correta Letra B.
E :[UFRJ-2012.1] Uma partícula descreve um movimento circular com velocidade de
módulo constante e igual a V. Num intervalo de tempo em que percorre ¼ da circunferência,
o módulo do vetor velocidade média é igual a
a)
b)
Resposta:
Temos o seguinte caso:
c) 2V
d)
e)
Figura 3.3.11
A velocidade do MCU é V, logo:
Já o vetor velocidade é dado por:
Dividindo uma equação por outra, teremos:
: [Moysés Nussenzveig] Na figura, a roda maior, de 30cm de raio, transmite seu movimento à
menor,de 20 cm de raio, através da correia sem fim C, que permanece sempre bem esticada e sem
deslizamento. A roda maior, partindo do repouso com aceleração angular uniforme, leva 1 min para
atingir a sua velocidade de regime permanente, e efetua um total de 540 rotações nesse intervalo
de tempo. Calcule a velocidade angular da roda menor uma vez atingido o regime permanente.
Figura 3.3.12
Resposta:
Como as polias estão interligadas por uma correia, podemos utilizar a relação:
Já para achar
, temos:
Temos que a polia maior acelera de
relacionar as variáveis pelas equações:
até
com aceleração
constante, logo podemos
Dividindo (II) por (III), temos:
Substituindo na equação (I), a gente finaliza!
Assim como na apostila de cinemática 2D, o exercício desse conteúdo está na apostila de movimento
relativo, a próxima apostila, por causa da mistura constante dos assuntos nas provas, achamos melhor
colocar todos juntos! Show?
Bons estudos!!