X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA NO TIMOR-LESTE:
REFLETINDO DIFICULDADES ACERCA DA APRENDIZAGEM DE FRAÇÕES
Gaspar Varela
Escola secundária 28 de novembro (Dili/Timor Leste)
Programa de mestrado em educação em ciências e matemática – UFG
gasparzitov@gmail.com
Rogério Ferreira
Universidade Federal de Goiás - IME
rogerio.ferreira@mat.ufg.br
Resumo: Em meio a uma busca de compreensão das dificuldades em aprender os
conteúdos relacionados às frações dos alunos do 11° ano da escola secundária1 28 de
novembro (Dili/Timor-Leste), este artigo visa fomentar novas perspectivas para o sistema
de formação de professores de matemática no contexto timorense. Inicialmente, são
apresentados a finalidade orientadora da pesquisa e aspectos de ordem metodológica. Uma
aproximação teórica ao campo da formação de professores é então realizada na intenção de
alcançar de modo mais substanciado as discussões em torno do ensino e da aprendizagem
das frações. Finalmente, são apresentados dados coletados, bem como algumas conclusões
preliminares acerca destes.
Palavras-chave: Formação de Professores; Frações; Dificuldades de Aprendizagem.
1. Introdução
Apesar da evolução recente no modo de trabalhar a matemática nas salas de aula,
muitos professores ainda não se mostram satisfeitos com o resultado de seus trabalhos. As
ideias renovadoras referentes ao ensino de matemática na escola ainda não modificaram as
práticas da maioria dos professores de matemática por todo o mundo. Esse problema tem
sido identificado em nível de planeta. Por isso, nos programas de estudo e pesquisa
voltados à Educação Matemática torna-se necessário rever os conhecimentos da didática
da matemática e o seu desenvolvimento passado, no sentido de serem experiências
adequadas para melhorar o ensino e a aprendizagem no presente e no futuro. É preciso
ressaltar que está em uma formação de professores contextualizada, crítica e reflexiva a
oportunidade de deixar para trás uma perspectiva predominantemente técnica, como existe
no contexto timorense. Defenderemos esta posição no decorrer deste artigo. Em meio à
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O termo “primário” é utilizado no Timor-Leste para designar o nível básico de ensino que vai do 1° ao 6°
ano. O “secundário” agrega do 10° ao 12° ano.
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realidade vivida no Timor-Leste, estaremos preocupados com o estudo das frações,
conteúdo que tem causado problemas ao nível do ensino e da aprendizagem.
2. A finalidade orientadora da pesquisa
Existem várias inadequações nos conteúdos lecionados em séries iniciais. Muitas
delas foram registradas por Bertoni, tais como:
Falta de uma linha mestra de construção e desenvolvimento do
conhecimento matemático adequado ao presente; inexistência de uma
maior elaboração na construção dos números fracionários; ênfase nas
frações com prejuízo do estudo dos decimais, não aproveitamento das
linguagens geométricas e numéricas; a grande ausência de processos
rotineiros de estimativa (...) (BERTONI, 1993).
Agregamos às ideias acima a importância de a matemática preparar o aluno para
enfrentar as situações dinâmicas da vida. Porém, para a efetivação desta possibilidade,
muitas dificuldades existem. São necessárias atividades de pesquisa para identificá-las, e
também suas causas. Por meio da pesquisa torna-se possível proporcionar algumas
soluções para recuperar as inadequações do ensino de matemática. Em particular, do
ensino dos conhecimentos fracionários.
Sob este entendimento, este trabalho, cuja pesquisa está em andamento junto ao
Programa de Mestrado em Educação em Ciências e Matemática da Universidade Federal
de Goiás – em um convênio com o governo do Timor-Leste – tem como finalidade refletir
e analisar as causas dos erros cometidos pelos alunos nos conceitos e operações acerca das
frações, apontando para possíveis intervenções de ordem educacional-matemática ao nível
da formação de professores de matemática no contexto timorense.
3. Uma breve visita pelos procedimentos metodológicos
Nesta pesquisa, não se deseja saber puramente a quantidade de alunos que
acertaram ou erraram determinada questão. A pesquisa se interessa em conhecer as causas
dos erros cometidos, sempre os relacionando com os procedimentos metodológicos
utilizados pelos professores. Deste modo, a pesquisa tem características em um só tempo
qualitativas e quantitativas. Isso porque, eventualmente, se usa algum cálculo relativo a
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fórmulas da estatística quantitativa, mas que servem como base para análise de
comportamentos qualitativos.
Contamos com dois instrumentos de pesquisa para realizar a coleta de dados: a
observação e a aplicação de questionários. Os sujeitos observados foram 33 alunos que
cursavam o 11° ano na escola secundária 28 de novembro (Dili/Timor-Leste). A Aplicação
de questionários nos serviu como apoio para obter dados tendo por objetivo identificar as
dificuldades dos alunos na compreensão dos conceitos e das operações fracionárias. É
importante ressaltar que os questionários aplicados foram formados por questões de cunho
tradicional. Isto é, foram construídos em harmonia com os procedimentos docentes que
observamos na escola que nos serviu de campo. Deste modo, é preciso deixar claro que as
questões elaboradas não condizem com a qualidade que imaginamos para a construção de
um questionário. Nossa intenção foi flagrar quais eram as dificuldades apresentadas pelos
alunos diante de questões a que eram cotidianamente submetidos em suas realidades
escolares. Portanto, nesta pesquisa, a finalidade não é apenas identificar as dificuldades dos
alunos no processo de aprendizagem das frações, mas também analisar as causas, ao nível
da qualidade do ensino, que estão por trás destas dificuldades.
4. A formação de professores como uma necessidade no contexto timorense
A educação na sua perspectiva filosófica, segundo Luckesi (1994, p.31), é
considerada como “um típico que-fazer humano, ou seja, um tipo de atividade que se
caracteriza fundamentalmente por uma preocupação, por uma finalidade a ser atingida”.
Para ele, “a educação dentro de uma sociedade não se manifesta como um fim em si
mesmo, mas sim como um instrumento de manutenção ou transformação social” (p.31-2).
No ponto de vista do professor Libâneo,
a educação corresponde a toda modalidade de (...) inter-relações que
convergem para a formação de traços de personalidade social e do
caráter, implicando uma concepção de mundo, ideais, valores, (...), que se
traduzem em convicções ideológicas, morais, políticas, princípios de ação
frente a (...) desafios da vida prática (LIBÂNEO, 1994, p.22-3).
As ideias desses autores nos levam a compreender que a educação no Timor-Leste,
um país em construção, ainda não alcançou seu propósito. Mas, os passos do seu povo se
comprometem às possibilidades para chegar à determinada meta da educação que poderá
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ter a relevância esperada pela nação como um todo. Há esperança de que será levado a
cabo um desenvolvimento de qualidade dos recursos humanos da sociedade timorense.
O desenvolvimento adequado e a qualidade a que nos referimos acima seriam para
desenvolver a capacidade intelectual qualificada do ser humano do Timor-Leste. Para isso,
pode ser necessário que os timorenses esforcem-se nos seus propósitos e, deste modo,
possam tornar-se mais críticos e conscientes. Os propósitos aqui se referem à real
possibilidade de erguer as suas potencialidades com mais rigor e qualidade. Em nosso
entendimento, isso poderá ser efetivado por meio de programas de formação de professores
que posicionem o professor como mediador da aprendizagem, oportunizando-o
compreender os mecanismos pelos quais o estudante atribui significados e estabelece
relações com o saber, vislumbrar como uma necessidade o senso crítico sobre as técnicas
de ensino, diagnosticar o grupo de alunos com o qual trabalha e exercer o seu ofício
posicionando o aluno como protagonista em meio às ações educacionais.
5. A importância do estudo de frações para a realidade do Timor-Leste
Em geral, as dificuldades encontradas pelos alunos no processo de ensino e
aprendizagem de matemática, principalmente nos conceitos e nas operações envolvendo
frações, são muitas e conhecidas. É comum, diante de práticas pedagógicas tradicionais
aplicadas por professores de matemática, os alunos não revelarem suas habilidades acerca
das frações e, desta forma, muitas vezes serem reprovados por não dominar essa área de
conhecimento, ou então, mesmo que aprovados, continuarem sentindo grandes dificuldades
em utilizar os conhecimentos adquiridos. Na realidade do Timor-Leste, este cenário se
repete. Pudemos observar isso claramente no ambiente da Escola Secundária 28 de
novembro em que trabalhamos (Dili/Timor Leste).
Soares, Ferreira e Moreira (1999) abordam o tema relativo ao ensino e à
aprendizagem de frações dizendo que os professores geralmente reconhecem as
dificuldades dos alunos acerca deste conteúdo, mas que muitas vezes reduzem estas
dificuldades à falta de preparo anterior dos alunos. Rego (1986, p. 30-32) aborda o mesmo
tema de maneira semelhante:
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Não são poucas as professoras (...) que se queixam das dificuldades
presentes na sala de aula quando o tema é fração. Essas dificuldades
aparecem na compreensão do conceito (...), no uso da simbologia
(notação), na compreensão e utilização das operações, na resolução de
problemas “práticos”.
O conceito de número racional na sua representação fracionária é parte importante
da disciplina de matemática, nos níveis de ensino Primário e Pré-Secundário. Na maioria
dos currículos de matemática, espera-se que os alunos conheçam e compreendam este
conceito, interpretem as informações e seus resultados e apliquem na vida pessoal e na
vida em sociedade. O conjunto dos números racionais possui elementos de importante e
imediata utilização, por exemplo, números expressos na forma fracionária, como frações
ordinárias, as frações mistas, as frações decimais e as porcentagens. No ponto de vista de
Behr (et al.), 1983 (Apud DAVID e FONSECA, 1997, p. 56),
os números racionais estão relacionados a algumas ideias mais
importantes e complexas dentre aquelas com as quais os alunos lidam,
principalmente as crianças no ensino fundamental. Essa importância se
atribui, principalmente, à variedade de aspectos, ou perspectivas,
envolvidas na abordagem desses números.
Classificando esses aspectos em três grupos, temos que, no aspecto prático, essas
ideias, de acordo com CARAÇA, 1984 (Apud DAVID e FONSECA, 1997, p.56), surgem
em suas diferentes representações, com frequência nas diversas situações relacionadas à
expressão de medidas e índices comparativos. No aspecto psicológico, o trabalho com os
números racionais surge como uma oportunidade privilegiada para se promover o
desenvolvimento e a expressão de estruturas mentais necessárias ao desenvolvimento
intelectual. Na perspectiva da própria matemática, serão justamente esses primeiros
estudos com os números racionais, particularmente em sua forma fracionária, que
fundamentarão o trabalho com as operações algébricas a serem desenvolvidas ao longo dos
próximos níveis de ensino.
Pudemos perceber que, no âmbito profissional de identificar as dificuldades
existentes nos alunos relativamente aos conceitos e, especificamente às frações, é
importante que o professor assuma o papel de sempre buscar potencializar a qualidade dos
seus modos de ensinar. Para isso, é necessário que continuamente repense a sua ação. É
necessário também que o professor tenha uma boa interpretação dos métodos que utiliza,
da validade e consistência do ensino que pratica e, sobretudo, efetivamente domine os
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conceitos e as operações acerca das frações para que, assim, não gere mais dificuldades nas
percepções dos alunos. Para ensinar frações, surge também como uma alternativa que o
professor trabalhe com materiais manipuláveis e jogos, buscando envolver conceitos e
operações de modo significativo. Desta forma, os alunos poderão se sentir mais seguros,
alcançando a aprendizagem de maneira menos árdua. O uso destes recursos pedagógicos se
mostrou efetivo em meio a nossas experiências docentes.
Como se vê, são muitas as variáveis que cercam o ensino e a aprendizagem das
frações, o que nos levou a refletir criticamente sobre o seu ensino e a sua aprendizagem no
contexto timorense, visando modestamente contribuir para o desenvolvimento de políticas
públicas em torno da formação de professores naquele país.
6. Aprendizagem de frações - escola secundária 28 de novembro - Díli/Timor-Leste
Apresentaremos nesta seção parte dos resultados relativos ao primeiro questionário
que aplicamos junto a uma das turmas de 11° ano da escola secundária 28 de novembro na
cidade de Dili/Timor-Leste.
As duas primeiras questões envolveram a adição fracionária. Na primeira questão,
vinte e três alunos (69,69%) cometeram erros nas operações e dez (30,30%) conseguiram
realizar os cálculos de forma correta. Na segunda, dezenove alunos (57,57%) erraram na
operação de adição de frações e quatorze (42,42%) conseguiram acertar a operação. Na
subtração fracionária (questões 3 e 4), as dúvidas dos alunos foram bem parecidas com as
dúvidas apresentadas na adição de frações.
As duas questões seguintes envolveram multiplicação de frações. Na quinta
questão, dez alunos (30,30%) erraram ao efetuar o cálculo das operações fracionárias e
vinte e três alunos (69,69%) acertaram os cálculos. Na sexta, vinte e quatro (72,7%) – do
total de trinta e três alunos – erraram no cálculo da operação multiplicativa de frações de
mesmo denominador e apenas nove alunos (27,27%) acertaram os cálculos.
Na primeira questão voltada à divisão fracionária, trinta e um alunos (93,93%)
encontraram dificuldades na operação de divisão de frações de diferentes denominadores.
Um aluno (3,03%) deixou em branco a questão e somente uma pessoa (3,03%) a fez
corretamente. Isto demonstra-nos um percentual próximo de 100% de falha no cálculo da
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divisão fracionária. Na questão oito, vinte e dois alunos (66,67%) cometeram equívocos
em seus cálculos com a operação de divisão de frações de mesmo denominador, três não
tiveram ideias sobre como resolvê-las e somente oito acertaram os cálculos.
Na questão seguinte, a relação existente entre uma fração e um quociente de dois
números foi explorada. Vinte e oito alunos (84,84%) calcularam os resultados, mas não
representaram sua fração, três alunos (9,1%) conseguiram representar na forma de fração e
calcular o resultado e dois alunos (6,06%) erraram os cálculos e também a representação
da fração. Na décima questão, dezesseis (48,48%) calcularam o resultado da divisão, mas
não representaram sua fração, três acertaram parcialmente os cálculos e não representaram
a fração e nove alunos (27,27%) erraram totalmente o cálculo e a representação da fração.
Esses dados, obtidos em uma perspectiva quantitativa, nos servem de suporte para
uma análise qualitativa das dificuldades que cercam a aprendizagem e o ensino de frações.
A efetivação desta análise será importante para que possamos alcançar os objetivos da
pesquisa. Na próxima seção, apresentaremos algumas reflexões e conclusões preliminares
que já nos são possíveis evidenciar a partir dos dados até o momento coletados.
7. Considerações finais e conclusões preliminares
As respostas produzidas pelos alunos revelaram muitas dificuldades por eles
enfrentadas. Observamos que muitas destas dificuldades foram geradas devido a várias
pré-concepções construídas pelos alunos em relação à operação de adição, subtração,
multiplicação, divisão e ao conceito de fração. No nosso entendimento, essas préconcepções surgiram na relação de ensino e aprendizagem estabelecida em meio a métodos
tradicionais de ensino, descontextualizados, mecânicos e repetitivos.
O que podemos dizer em relação aos erros observados por meio dos questionários é
que, do ponto de vista prático, os alunos não vivenciaram de modo que fossem a eles
significativos os conteúdos conceituais de frações. Sob a ótica contemporânea de ensino
defendida em diferentes espaços acadêmicos pelo mundo, podemos afirmar que a falta de
significado surgiu de uma flagrante falta de contextualização. Ou seja, no ponto de vista
didático-epistemológico, fica claro que inexistiram oportunidades para os alunos
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experimentarem e trabalharem com frações como ato/efeito de aquisição e de construção
dos conhecimentos matemáticos pautadas em necessidades vivenciadas em suas realidades.
Em termos mais gerais, ao nível de uma nova concepção relativa à Educação
Matemática, entendemos que os alunos não devem se acomodar diante da dúvida com
relação aos conteúdos da matemática, principalmente dos conteúdos relacionados ao
estudo das frações, objeto de pesquisa deste trabalho, procurando sempre questionar o
professor em relação aos conceitos fundamentais, fazendo dele um parceiro para a
construção do conhecimento. No que tange aos professores, visualizamos como sendo
importante que eles compreendam de forma profunda os conceitos que envolvam frações,
principalmente os conceitos elementares de partes de um todo, refletindo e
contextualizando sua ação docente de acordo com as experiências advindas da vida
cotidiana do aluno, bem como fazendo uso de materiais manuseáveis e jogos que possam
facilitar a aprendizagem do aluno na busca de saberes mais abstratos. Logo, não se trata
apenas de um domínio ao nível de conteúdos específicos da matemática, mas
principalmente ao nível da qualidade da ação pedagógica. Isso aponta necessariamente
para a efetivação de movimentos transformadores de formação de professores, tanto em
nível inicial quanto continuado, no âmbito da realidade timorense.
É importante dizer que os autores que nos auxiliaram na construção da
fundamentação teórica para este artigo contribuíram decisivamente para alcançarmos as
conclusões preliminares apresentadas nesta seção. Esperamos que o estudo apresentado
neste artigo possa motivar novos pesquisadores, compromissados com a realidade do
Timor-Leste, a potencializar esta pesquisa, aumentando a quantidade e a qualidade de
elementos estudados para que ela se torne mais representativa da comunidade envolvida.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BERTONI, Nilza Eigenher. O Ensino de Matemática nos 1º, 2º e 3º graus. Boletim
Gepem, 1993.
DAVID, M.M.S.; FONSECA, M.C.F.R. Sobre o conceito de número racional e a
representação fracionária. Belo Horizonte, Presença Pedagógica, v.3, n.14, mar/abr.
1997.
LIBÂNEO, José Carlos. Didática, Cortez, São Paulo, 1994.
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LUCKESI, Cipriano Carlos. Filosofia da Educação, São Paulo: Cortez, 1994 –(coleção
Magistério, série Formação do Professor).
REGO, Carlos Afonso. As quatro operações com frações são fáceis? Educação em
Revista, Belo Horizonte, 1986.
SOARES, Eliana Farias, MOREIRA, Plinio Cavalcanti e FERREIRA, Maria Cristina
Costa. O que os erros dos alunos podem ensinar aos professores. Revista Presença
Pedagógica, Ano V, n. 29, 1999.
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