VESTIBULAR UFPE – UFRPE / 2001
2a ETAPA
NOME DO ALUNO: _______________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE: ____________________ TURMA: ____________________
MATEMÁTICA 2
01. Num cubo ABCDEFGH de aresta 12 o ponto X está na aresta EF e XF mede 3 e o ponto Y está na aresta CD e YD mede 4
(veja a ilustração a seguir) . Assinale o inteiro mais próximo da medida de XY.
02. A CPMF é o imposto sobre movimentação financeira. Se a alíquota da CPMF aumentar de 0,30% para 0,38% o governo
prevê um aumento de 940 milhões de reais na sua arrecadação trimestral. Seja x a arrecadação trimestral atual obtida com
a CPMF. Assinale a soma dos dígitos de x.
03. Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8, AC e BD são perpendiculares a AB e
AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule OA.
04. Sejam Gn (x) = 1 + x + x 2 + Λ + xn e G(x) = 1 + x + x 2 + Λ + xn + Λ para x verificando −1 < x < 1 . Calcule o menor inteiro n
satisfazendo
1
 1
 1
G  − Gn   < 6
5
 5  10
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05. Quantos são os paralelogramos com lados sobre os segmentos da figura seguinte, onde os segmentos que não se
interceptam são paralelos.
06. Na figura a seguir ABCDEFGH é um paralelepípedo reto retângulo. Supondo que a medida de AB é maior que a de BC,
analise as afirmações seguintes:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
A medida do ângulo AHB é maior que a do ângulo ACB
A medida do ângulo HAB é menor que a do ângulo CAB
A diagonal AG tem medida maior que a da diagonal BH
A medida do ângulo ACB é igual à soma das medidas dos ângulos AHB e HAC
Os ângulos AHB e CAB são congruentes se e somente se a medida de AB é a média geométrica das medidas de BH e
BC.
07. Seja α a medida do ângulo entre as faces de um tetraedro regular. Assinale 30cos α.
08. Em um exame a média aritmética de todos os alunos foi 4,5, enquanto a média dos alunos aprovados foi 5,3 e a dos
reprovados foi 3,9. Indique o inteiro mais próximo do percentual dos alunos reprovados.
09. Seja
Q
+ o conjunto dos números racionais positivos e * o conjunto dos inteiros positivos. Defina f : Q + → * por
N
N
f(a/b) = 2a − 1(2b − 1) para uma fração irredutível a
b
,a
> 0 . Analise as afirmações seguintes acerca de f:
0-0) f é sobrejetora
1-1) f é injetora
2-2) f é crescente
3-3) Se a ∈ N* então f (a ) = 2a − 1
4-4) Se b ∈ N* então f ( 1 ) = 2b − 1
b
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10. As bases ABC e A1B1C1 do sólido ABC A1B1C1 ilustrado a seguir são triângulos congruentes e estão em planos paralelos.
A projeção ortogonal de A1B1C1 sobre o plano contendo ABC coincide com a rotação de 30o do triângulo ABC no sentido
A-B-C que não move o centro de ABC. Todas as faces do sólido são triangulares. Analise as seguintes afirmações
referentes a este sólido:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
O sólido possui 12 arestas
O sólido possui 8 faces
O sólido não é convexo
Os segmentos AC1, BA1 e CB1 não contêm pontos do interior do sólido
O sólido não é união de tetraedros com vértices nos vértices do sólido.
11. Na ilustração abaixo, o quadrado ABCD de lado 13 é dividido em dois triângulos retângulos (BFA e EAF) e dois trapézios
(CHGF e EGHD) de forma que AE, BF, GE e HC medem 5. A seguir, recortamos estes polígonos e juntamos BFA com
CHGF fazendo coincidir B com C e F com H obtendo o polígono com vértices entre os pontos A, F, G e H (denotado por AF-G-H). Analogamente, juntamos EAF e EGHD fazendo coincidir E com E e A com G obtendo um polígono contendo os
pontos D, F, G e H (denotado por D-F-G-H). Analise as afirmações seguintes referentes a estes polígonos:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
A-F-G-H é um triângulo retângulo
A, H e G estão no mesmo lado de A-F-G-H
Os polígonos A-F-G-H e D-F-G-H são congruentes
Fazendo coincidir no plano dos polígonos os vértices A e G de A-F-G-H com os vértices (respectivos) H e F de D-F-G-H
obtemos um retângulo cuja área é a soma das áreas de A-F-G-H e D-F-G-H
4-4) A área de A-F-G-H é 84.
12. Imagine os gráficos das parábolas com equações y = a x2 − 2x + 1, a ≠ 0 esboçados em um mesmo sistema de coordenadas
cartesianas. Os vértices destas parábolas estão sobre uma reta de equação y = mx + n . Assinale m2 + n2 .
13. Seja ABCDEF um hexágono que tem seus pares de lados opostos AB e DE, BC e EF, CD e FA paralelos. Na ilustração
abaixo também são paralelos os segmentos AB e GC, BC e AI e CD e EH. Consideradas estas informações, analise as
afirmações seguintes:
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0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
AIEF é um paralelogramo
A área de EHC é igual à área de EDC
A medida de GH é igual à diferença das medidas dos lados AB e ED
Subtraindo-se a área de GHI do dobro da área de ACE obtém-se a área de ABCDEF
ACE e BDF têm mesma área
2
2
y
14. Calcule as inclinações das retas que passam por (5,0) e interceptam a elipse x + = 1 em um único ponto. Assinale a
9
4
soma dos valores absolutos das inclinações.
15. Uma galeria de arte tem planta ilustrada a seguir. O interior da galeria deve ser monitorado por um sistema de vigilância
utilizando câmeras de vídeo. Cada câmera possui um dispositivo que permite monitorar toda a região que lhe circunda. Qual
o número mínimo de câmeras necessárias para monitorar a galeria?
16. Cinco candidatos a prefeito participam de um debate. De uma urna contendo os nomes dos cinco candidatos o organizador
do debate sorteia um candidato que fará uma pergunta e a seguir sorteia (de uma segunda urna também contendo os
nomes dos candidatos) um candidato para responder a pergunta. Determine a probabilidade (percentual) de um mesmo
candidato ser escolhido nos dois sorteios.
17. As cidades A,B e C estão situadas numa região plana e a distância entre A e B é 4 km, a distância entre A e C é 10 km e o
ângulo BAC mede 60o . Pretende-se construir uma escola num ponto da região plana situado à mesma distância d km de A,
2
B e C. Indique 3d .
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2
2
18. Calcule as soluções de 2(6x + x − 1) = 3(6x − 5x + 1) e assinale o triplo da menor raiz.
19. O triângulo isósceles ABC da figura a seguir é retângulo em A. Se AB = 12, D e F são os pontos médios respectivos dos
lados AB e AC, assinale a área do quadrilátero ADEF.
20. O tetraedro ABCD abaixo tem os ângulos ADB, ADC e CDB retos. Se os triângulos ADC, CDB e BDA têm áreas 7, 4, 14
respectivamente, calcule o quadrado da área do triângulo ABC e marque a soma dos seus dígitos.
21. A máquina X executa certo serviço em 5h. Trabalhando em conjunto com a máquina Y o mesmo serviço é executado em
3h. Quantos minutos além de 7 horas são necessários para a máquina Y, trabalhando sozinha, executar este serviço?
22. Um satélite encontra-se em órbita estacionária da terra a uma altura de 260 km. Este emite sinais utilizando raios laser
(que navegam em linha reta). Sendo d km a distância máxima entre duas estações terrestres que podem receber sinais do
satélite, determine a soma dos dígitos de 10d. Suponha que a superfície terrestre é perfeitamente esférica e utilize as
seguintes aproximações:
Dados: raio da terra ≅ 6240 km, cos (0,27) ≅ 0,96
23. Um sanduíche é constituído de 50% de pão, 30% de salada e 20% de atum. Se o pão aumentar 20%, a salada diminuir 20%
e o atum aumentar 15%, qual será o aumento percentual do preço de custo do sanduíche ?
24. Um paralelepípedo reto retângulo tem área total da superfície 22 e diagonal
14 . Qual a soma das arestas do
paralelepípedo?
25. Seja f: R à R uma função tal que f(tx) = t2 f(x) para todos os números reais t e x. Analise as afirmações abaixo:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
f é uma função par
f ( x ) ≥ 0 para todo número real x.
ou f é a função nula, ou f não é limitada
f(0) = 0
se f é impar, então f é a função nula
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26. Um modelo para o crescimento da AIDS a partir da década de 80 nos EUA foi o seguinte: o número de infectados com o
vírus na data x, R(x) , é dado por R(x) = 187 (x − 1981)3 − 274 para x ≥ 1983
Analise as afirmações seguintes, referentes a este modelo:
0-0) R( x ) é uma função crescente de x
1-1) O gráfico de R( x ) em termos da data x está ilustrado na figura abaixo:
2-2) Se o modelo for válido em 2001, o número de infectados nesta data nos EUA será superior a
3-3) O número de infectados nos EUA em 1996 era inferior a 500.000 pessoas
4-4) Entre 1990 e 1994, mais de 100.000 pessoas foram contaminadas pelo vírus nos EUA.
106 pessoas
27. Qual o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido pela rotação de um triângulo equilátero de lado 5 em torno de um
eixo contendo um dos lados do triângulo (veja a ilustração a seguir).
28. Um fio de 20m de comprimento será dividido em duas partes que serão usadas como perímetros de um quadrado e de uma
círculo. Se a soma das áreas do quadrado e do círculo assim construídos deve ser a menor possível, assinale o inteiro mais
próximo da área (em metros quadrados) do quadrado.
29. O triângulo ABC
tem coordenadas nos pontos A = (1,0), B = (-1,0) e C = (6,9) de um sistema de coordenadas
cartesianas no plano. Determine as coordenadas do ponto P = (x,y) do plano tal que a soma dos quadrados das distâncias
de P a A, B e C seja a menor possível. Assinale x+y.
30. Estão esboçados abaixo os triângulos equiláteros ABC, CDE e EFG que têm os lados AC, CE e EG na mesma reta. Os
0
lados de ABC e CDE medem 5 e 3, respectivamente, e o ângulo BDF mede 120 . Indique o dobro do perímetro de EFG.
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31. Na figura a seguir, a semicircunferência tem raio 2 e centro no ponto (2,0), A = (0,1) e o segmento AB é tangente à
2
semicircunferência em B. Assinale 10 AB , onde AB é a medida de AB.
32. A figura seguinte ilustra um hexágono regular ABCDEF com centro no ponto O e lado medindo 4 e um triângulo equilátero
OGH tendo lado medindo 8 que intercepta o hexágono nos pontos I e J. Assinale o inteiro mais próximo da área de OJCI.
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