QUESTÕES DISCURSIVAS
Resposta
Questão 1
Um carteiro leva três cartas para três destinatários diferentes. Cada destinatário tem
sua caixa de correspondência, e o carteiro coloca, ao acaso, uma carta em cada uma das
três caixas de correspondência.
a) Qual é a probabilidade de o carteiro não
acertar nenhuma caixa de correspondência?
b) Qual é a probabilidade de o carteiro acertar exatamente uma caixa de correspondência?
Resposta
Sejam A, B e C os destinatários diferentes e a, b
e c, respectivamente, as suas cartas.
As possíveis maneiras que o carteiro pode
distribuir as cartas são: (Aa, Bb, Cc), (Aa, Bc, Cb),
(Ab, Ba, Cc), (Ab, Bc, Ca), (Ac, Ba, Cb) e
(Ac, Bb, Ca).
Dentre elas, em 1 maneira encontramos 3 acertos, em 3 maneiras, 1 acerto, e em 2 maneiras,
nenhum acerto.
a) A probabilidade de o carteiro não acertar ne2
1
nhuma caixa de correspondência é
.
=
6
3
b) A probabilidade de o carteiro acertar exatamen3
1
te uma caixa de correspondência é
.
=
6
2
Questão 2
No triângulo ABC da figura abaixo, AM é a
mediana relativa ao lado BC, DP é paralelo a
AM e Q é o ponto de intersecção de AB com
DP.
A
Q
D
Questão 3
Cláudio, gerente capacitado de uma empresa
que produz e vende instrumentos musicais,
contratou uma consultoria para analisar o
sistema de produção. Os consultores, após
um detalhado estudo, concluíram que o custo
total de produção de x flautas de determinado
tipo pode ser expresso pela função C( x ) =
= 2 400 + 36 x, sendo R$2 400,00 o custo fixo.
Atualmente a empresa vende 60 flautas daquele tipo por mês, ao preço de R$120,00 por
unidade.
O trabalho da empresa de consultoria demonstrou, também, que um gasto extra de
R$1 200,00 em publicidade provocaria um
aumento de 15% no volume atual de vendas
das flautas.
Na sua opinião, Cláudio deveria autorizar o
gasto extra em publicidade? Justifique matematicamente a sua resposta.
Resposta
P
B
Como DP é paralelo a AM, podemos afirmar, pelo
DQ BD
caso AA, que ΔBQD ~ ΔBAM . Logo
=
. (1)
MA BM
DP
Analogamente, ΔAMC ~ ΔPDC e, então,
=
MA
CD
=
. (2)
MC
Já que BM = MC , de (1) + (2):
DQ
DP
BD
CD
+
=
+
⇔
AM
AM
BM
MC
DQ + DP
BD + CD
⇔
=
⇔
AM
MC
DQ + DP
2 ⋅ MC
⇔
=
⇔ DQ + DP = 2 ⋅ AM
AM
MC
M
Demonstre que DQ + DP = 2 AM
C
Sem os gastos extras com publicidade, o custo da
venda de 60 flautas é 2 400 + 36 ⋅ 60 =
= R$ 4.560,00 e a receita é de 60 ⋅ 120 =
= R$ 7.200,00. Assim, o lucro obtido é de
7 200 − 4 560 = R$ 2.640,00.
Considerando os gastos com publicidade, o número de flautas vendidas será de 1,15 ⋅ 60 = 69
flautas; o custo total,1 200 + 2 400 + 36 ⋅ 69 =
matemática 2
= R$ 6.084,00; e a nova receita, 69 ⋅ 120 =
= R$ 8.280,00. Portanto o lucro obtido será de
8 280 − 6 084 = R$ 2196
. ,00.
Como o lucro obtido no primeiro caso é maior,
Cláudio não deve autorizar o gasto extra com publicidade.
Questão 4
O rendimento de um carro flex (número de
quilômetros que percorre com um litro de
combustível), que pode ser movido por uma
mistura de álcool com gasolina em qualquer
proporção, é dado pela função R( x ) = K ⋅ a x
quilômetros por litro, na qual K e a são números reais positivos e x(0 ≤ x ≤ 1) é a porcentagem de álcool misturado com gasolina.
Sabe-se que, abastecido com 100% de gasolina, o rendimento é de 18 quilômetros por litro e que, com 100% de álcool, cai para 9 quilômetros por litro.
Se, ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche
o tanque do carro com 50 litros de uma mistura de álcool com gasolina e chega ao seu
destino, depois de rodar 600 km, com o tanque praticamente vazio, qual a porcentagem
de álcool na mistura?
Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo:
n
2
3
7
10
log n
0,30
0,48
0,85
1
Resposta
Com uma porcentagem de 0% de álcool, o carro
tem rendimento de 18 km/l e, com uma porcentagem de 100% de álcool, o rendimento cai para
9 km/l. Assim:
K = 18
18 = K ⋅ a0
⇔
1
a=
9 = K ⋅ a1
2
x
⎛1 ⎞
Logo R(x) = 18 ⋅ ⎜ ⎟ e , portanto, sendo x a por⎝2 ⎠
centagem de álcool na mistura, para um rendix
600
⎛1 ⎞
mento de
= 12 km/l,12 = 18 ⋅ ⎜ ⎟ ⇔
⎝2 ⎠
50
2
2
−x
−x
⇔
=2
⇔ log
= log 2
⇔
3
3
log 3 − log 2
.
⇔ log 2 − log 3 = −x log 2 ⇔ x =
log 2
Usando as aproximações da tabela:
0,48 − 0,30
x ≅
= 0,6 = 60%
0,30
Questão 5
A figura abaixo mostra castelos de cartas, de
1, 2 e 3 andares. De quantos baralhos de 52
cartas precisamos, no mínimo, para formar
um castelo de 10 andares?
Resposta
A figura indica que cada andar, com exceção do
andar de baixo, é composto de cartas formando
triângulos, e cada andar tem um triângulo a menos que o andar imediatamente abaixo. Dessa
forma, o primeiro andar de um castelo de n andares é formado por n triângulos sem a sua base.
Logo, ao se montar um castelo de 10 andares,
10 ⋅ 11
formam-se 10 + 9 + 8 + 7 + ... + 1 =
= 55
2
triângulos, de modo que são necessárias
55 ⋅ 3 − 10 = 155 cartas. Como155 = 2 ⋅ 52 + 51,
precisa-se de no mínimo três baralhos de 52 cartas.
Questão 6
Um teatro aumenta o preço do ingresso em
8%. Em conseqüência, o número de ingressos vendidos diminui em 5%.
a) Qual é a variação, em porcentagem, da receita obtida pelo teatro?
b) Determine a variação, em porcentagem, no
número de ingressos vendidos, de modo que o
valor da receita não se altere em conseqüência do aumento de 8% no preço.
Resposta
a) Sejam p e n, respectivamente, o preço e o número de ingressos vendidos antes do aumento. A
variação, em porcentagem, da receita é:
matemática 3
p(1 + 0,08) ⋅ n(1 − 0,05) − p ⋅ n
=
pn
= 1,08 ⋅ 0,95 − 1 = 2,6%
b) Seja x tal variação percentual no número de ingressos. Então:
p(1 + 0,08) ⋅ n(1 + x) = pn ⇔
1
⇔ (1 + 0,08)(1 + x) = 1 ⇔ x =
− 1 ≅ −7,4%
1,08
Quanto mede aproximadamente, em centímetros, o lado maior da folha A4?
Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo:
n
2
3
7142,9
100
n
1,4
1,7
85
10
Questão 7
Resposta
Um televisor com DVD embutido desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo,
de modo que o valor, daqui a t anos, será:
y = a ⋅ bt , com a > 0 e b > 0.
Se um televisor novo custa R$4 000,00 e valerá 25% a menos daqui a 1 ano, qual será o
seu valor daqui a 2 anos?
Resposta
Como o valor do televisor daqui a t anos é dado
por y = a ⋅ bt e hoje ele vale R$ 4.000,00, temos
para t = 0: 4 000 = a ⋅ b0 ⇔ a = 4 000.
Já que daqui a um ano o televisor valerá 25% a
3
menos, 4 000 − 0,25 ⋅ 4 000 = a ⋅ b1 ⇔ b =
.
4
Logo o valor do televisor daqui a 2 anos será
2
⎛3 ⎞
4 000 ⋅ ⎜ ⎟ = R$ 2.250,00.
⎝4⎠
Questão 8
Uma das folhas mais utilizadas nas impressoras é a de tamanho A4. Você sabe como são
estabelecidas as suas dimensões?
Em primeiro lugar, recordemos que, quando
se dobra uma folha ao meio, obtém-se outra
folha retangular, semelhante à anterior.
A área de uma folha A0 é 1 m2 . Quando se
dobra ao meio uma folha A0, obtém-se uma
folha A1, que, dobrada ao meio, dá origem a
uma folha A2, e assim, sucessivamente.
A4
Para obter uma folha A4, podemos dobrar uma folha A0 quatro vezes. Cada dobra diminui a área
do papel pela metade, de modo que a área da fo4
1
⎛1 ⎞
lha A4 é ⎜ ⎟ ⋅ 1 m 2 =
⋅ 104 cm 2 = 625 cm 2 .
⎝2 ⎠
16
Sejam x < y as dimensões da folha A4.
Então a folha A3 tem dimensões y e 2x, com
y < 2x . Como as folhas A3 e A4 são retângulos
y
y 2
x
.
semelhantes,
=
⇔x =
y
2x
2
y 2
Assim, y ⋅
= 625 ⇔ y 2 = 625 2 . Adotan2
do
as
aproximações
dadas,
obtemos
y 2 ≅ 625 ⋅ 1,4 = 875 ⇔ y = 875 ≅ 29,6 cm.
Observação: as dimensões da folha A4, considerando as normas vigentes, são 29,7 cm e 21,0 cm.
Questão 9
Em um baile havia 35 pessoas. Ana dançou
com 6 homens, Clara dançou com 7 homens
e, assim, sucessivamente, até a última mulher, Júlia, que dançou com todos os homens
presentes no baile. Quantas mulheres participaram da festa?
Resposta
Observando que a n-ésima mulher dançou com
5 + n homens e sendo x o número de mulheres
da festa, Júlia, a última mulher, dançou com 5 + x
homens.
Logo há 5 + x homens no baile e x + (5 + x) =
= 35 ⇔ x = 15.
A2
A3
A0
A1
Questão 10
No mês de abril o mercado financeiro viveu
uma certa instabilidade, e o preço de determinada ação oscilou de tal forma que ele poderia ser descrito pela função periódica:
matemática 4
f ( x ) = 4,50 + sen(2 π x ), em que f ( x ) é o preço
da ação, x = 0 representa o 1º dia útil de
1
1
abril, x = , o 2º dia útil, x = , o 3º dia
4
2
útil, e assim por diante.
a) Esboce o gráfico da função f ( x ) correspondente aos primeiros 5 dias úteis de abril.
b) Considerando que o dia 1º de abril foi segunda-feira, determine em que dias da 1ª semana útil de abril o preço dessa ação atingiu
o maior e o menor valor.
c) Quais foram o maior e o menor valor dessa
ação na 1ª semana útil de abril?
Resposta
a) Vamos admitir que os valores de x formam
1
uma PA de razão . Observe a tabela a seguir:
4
Assim o gráfico é:
f(x)
5,5
4,5
3,5
1
_
4
1
_
2
3
_
4
1
x
b) Pelo gráfico, a ação atingiu o maior e o menor
valor, respectivamente, na terça-feira e na quinta-feira.
c) O maior e o menor valor foram, respectivamente, R$ 5,50 e R$ 3,50.
Dia da semana
Dia útil
x
f(x)
Segunda-feira
1º
0
4,5 + sen(2 π ⋅ 0) = 4,5
Terça-feira
2º
1
4
1⎞
⎛
4,5 + sen ⎜ 2 π ⋅ ⎟ = 5,5
⎝
4⎠
Quarta-feira
3º
1
2
1⎞
⎛
4,5 + sen ⎜ 2 π ⋅ ⎟ = 4,5
⎝
2⎠
Quinta-feira
4º
3
4
3⎞
⎛
4,5 + sen ⎜ 2 π ⋅ ⎟ = 3,5
⎝
4⎠
Sexta-feira
5º
1
4,5 + sen(2 π ⋅ 1) = 4,5