CRITÉRIOS COMPOSTOS PARA DELINEAMENTOS ÓTIMOS
ROBUSTOS
Marcelo Andrade da Silva
Dissertação apresentada à Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
para a obtenção do tı́tulo de Mestre em Biometria.
BOTUCATU
São Paulo - Brasil
Fevereiro – 2014
CRITÉRIOS COMPOSTOS PARA DELINEAMENTOS ÓTIMOS
ROBUSTOS
Marcelo Andrade da Silva
Orientadora: Prof.a Dr.a Luzia Aparecida Trinca
Dissertação apresentada à Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
para a obtenção do tı́tulo de Mestre em Biometria.
BOTUCATU
São Paulo - Brasil
Fevereiro – 2014
Ficha Catalográfica
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA SEÇÃO TÉC. AQUIS. TRATAMENTO DA INFORM.
DIVISÃO DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO - CAMPUS DE BOTUCATU - UNESP
BIBLIOTECÁRIA RESPONSÁVEL: ROSEMEIRE APARECIDA VICENTE - CRB 8/5651
Silva, Marcelo Andrade.
Critério composto para delineamentos ótimos robustos / Marcelo Andrade
da Silva. - Botucatu, 2014
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de
Biociências de Botucatu
Orientador: Luzia Aparecida Trinca
Capes: 10202072
1. Biometria. 2. Planejamento experimental. 3. Programação heurı́stica.
4. Estatı́stica matemática. 5. Programação (Matemática).
Palabras-chave: Critérios compostos; Delineamento; Delineamentos ótimos;
Perda de observações; Planejamento de experimentos.
Dedicatória
Dedico aos meus pais
Ronaldo e Sonia
e também a minha
noiva Raquel.
Agradecimentos
A Deus, por sua bondade, misericórdia e pelo seu inﬁnito amor.
A minha famı́lia, que deu suporte e insentivo para a realização deste
mestrado e a minha amada noiva, Raquel, pelo apoio, compreensão e carinho.
A minha orientadora, professora Luzia Aparecida Trinca, pelo exemplo
de proﬁssionalismo, pela paciência, pelo tempo dedicado neste trabalho, pelos conselhos, entre muitas outras coisas, que foram fundamentais para o desenvolvimento
desta pesquisa.
A Universidade Estadual Paulista, Unesp, e ao Departamento de Bioestatı́stica do Instituto de Biociências de Botucatu pela estrutura, suporte técnico e
secretaria.
Ao Programa de Pós-Graduação em Biometria pela oportunidade dada
e conﬁança depositada em mim para a realização do mestrado.
A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior, CAPES, pelo apoio ﬁnanceiro durante o mestrado.
A todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuı́ram para o
desenvolvimento deste trabalho.
Sumário
Página
LISTA DE FIGURAS
vii
LISTA DE TABELAS
viii
RESUMO
ix
SUMMARY
xi
1 INTRODUÇÃO
1
2 CONCEITOS BÁSICOS E REVISÃO DE
LITERATURA
2.1
5
Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Três princı́pios da experimentação
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Experimentos fatoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.3
Propriedades de delineamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Modelo linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3
Delineamentos ótimos de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.1
Critérios de otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.2
Critérios compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3.3
Algoritmo de troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 METODOLOGIA
32
3.1
32
Robustez a perda de observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
3.2
Implementação do algoritmo de troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2.1
Atualização do determinante e da matriz inversa . . . . . . . . . . . .
36
3.2.2
Algoritmo de troca por ponto e troca por coordenada . . . . . . . . . .
37
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
38
4.1
Exemplo 1 (n = 16; k = 3; p = 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.2
Exemplo 2 (n = 24; k = 4; p = 11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3
Exemplo 3 (n = 24; k = 4; p = 15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.4
Exemplo 4 (n = 36; k = 4; p = 15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5 CONCLUSÃO
54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
55
Lista de Figuras
Página
1
Representação esquemática de um experimento. . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Representação geométrica de um experimento fatorial 23 completo. . . .
12
3
Representação geométrica de um experimento fatorial completo, DCC e
DBB para k = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Comportamento da eﬁciência de delineamentos ótimos com a variação no
peso da propriedade DP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
15
39
Representação geométrica dos 5 delineamentos construı́dos no Exemplo 1. 43
Lista de Tabelas
Página
1
Formas de codiﬁcação dos nı́veis dos fatores e tratamentos em um delineamento fatorial 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
Subconjuntos para 3 fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3
Delineamentos com modelo com efeitos principais, quadráticos e interações 2 a 2 (n = 16; k = 3; p = 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4
Eﬁciência do DCC e DBB comparado com um delineamento ótimo . . .
44
5
Delineamentos com modelo com efeitos lineares e interações 2 a 2 (n =
24; k = 4; p = 11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
46
Delineamentos utilizando critérios unidimensionais na busca com modelo
com efeitos principais, quadráticos e interações 2 a 2 (n = 24; k = 4; p = 15) 48
7
Delineamentos utilizando critérios compostos na busca com modelo com
efeitos principais, quadráticos e interações 2 a 2 (n = 24; k = 4; p = 15) .
49
8
Eﬁciência dos delineamentos apresentados em Ahmad & Gilmour (2010)
51
9
Delineamentos com modelo com efeitos principais, quadráticos e interações 2 a 2 (n = 36; k = 4; p = 15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
CRITÉRIOS COMPOSTOS PARA DELINEAMENTOS ÓTIMOS
ROBUSTOS
Autor: MARCELO ANDRADE DA SILVA
Orientadora: Prof.a Dr.a LUZIA APARECIDA TRINCA
RESUMO
Neste trabalho propomos a incorporação de uma propriedade relacionada a robustez de delineamentos frente a perda de observações em experimentos
fatoriais, a qual denominamos critério H, na expressão de um critério composto.
Para a otimização, implementamos duas versões modiﬁcadas do algoritmo de troca
de Fedorov (1972), que é um método heurı́stico para encontrar delineamentos ótimos
ou quase ótimos exatos. Apresentamos quatro exemplos para examinar a performance de delineamentos construı́dos com o novo critério composto, os exemplos 1,
3 e 4 visam o modelo de segunda ordem completo e o exemplo 2 visa o modelo
de segunda ordem sem os efeitos quadráticos. Nos exemplos 1 e 3, para preservar
bom desempenho em outras propriedades, a eﬁciência H não foi alta. Os resultados
obtidos no exemplo 2 mostraram grande contribuição do uso da propriedade H no
critério composto, produzindo delineamentos com alta eﬁciência nos demais quesitos.
x
Em geral, o novo critério composto produziu delineamentos mais atrativos que os DP -ótimos de Gilmour & Trinca (2012), com valores de leverages mais
homogêneos, e portanto mais robustos à perda de observações. Produziu também
delineamentos com melhores propriedades do que os delineamentos construı́dos por
subconjuntos em Ahmad & Gilmour (2010).
COMPOUND CRITERIA FOR ROBUST OPTIMUM DESIGNS
Author: MARCELO ANDRADE DA SILVA
Adviser: Prof.a Dr.a LUZIA APARECIDA TRINCA
SUMMARY
In this work we propose the use of a robustness measure to missing
data to construct designs for factorial experiments. The robustness property is denoted the H criterion and it is added to a compound design criterion expression.
Two versions of the modiﬁed exchange algorithm of Fedorov (1972) were implemented computationally for the search of exact optimum designs. Four examples are
presented, examples 1, 3 and 4 consider the full second-order model and example 2
considers second-order model excluding the quadratic eﬀects. The examples 1 and
3, in order to preserve good eﬃciency with respect to other properties, their H eﬃciency is not high. The results for example 2 showed good performance of the new
compound criterion since it produced designs high by eﬃcient for all other properties.
In general, the new compound criterion produced more attractive designs than the DP criterion of Gilmour & Trinca (2012) since their leverages were
more homogeneous and thus, the designs were more robust to missing data. The
xii
designs were also more attractive than those constructed by subsets as in Ahmad &
Gilmour (2010).
1
INTRODUÇÃO
Nas áreas biotecnológicas, industriais, farmacêuticas, agrı́colas, entre
outras, muitas vezes é necessário obter informações sobre produtos e processos empiricamente. Pessoas envolvidas com o problema em questão precisam planejar e
executar experimentos, coletar os resultados e analisá-los. Experimentos são estudos
controlados com alterações deliberadas que são realizados para resolver problemas
de fabricação ou produção de material inerte ou biológico, decidir entre diferentes
produtos ou metodologias, entender a inﬂuência de determinados fatores, entre outros. Esta tarefa torna-se cada vez mais complexa e deve ser executada com muito
cuidado e atenção na medida que se intensiﬁca a base tecnológica dos produtos.
A teoria de delineamento de experimentos (em inglês, Design of Experiments) inclui um conjunto de conceitos, princı́pios e metodologias para se planejar
pesquisas experimentais, buscando atender basicamente dois grandes objetivos: a
maior precisão estatı́stica possı́vel na resposta e o menor custo possı́vel na execução
do experimento. Os primeiros registros de experimentos planejados datam da segunda metade do século XIX no contexto de fertilização do solo e seleção de variedades de importância agrı́cola na Inglaterra. A formalização e justiﬁcativas dos
princı́pios que validam os resultados experimentais surgiram com os valiosos trabalhos de Sir Ronald A. Fisher, matemático, estatı́stico e geneticista, na primeira
metade do século XX, tanto para as pesquisas experimentais quanto para a área de
métodos estatı́sticos em geral.
A área de delineamentos ótimos de experimentos teve grande impulso
com o trabalho de Kiefer (1959), que estruturou uma teoria de construção de delineamentos objetivando a otimização de certas propriedades dos estimadores dos
2
parâmetros do modelo, recebendo o nome de Teoria de Delineamentos Ótimos. Kiefer generalizou e formalizou matematicamente um problema que já havia permeado
a bibliograﬁa com casos particulares (Student, 1917; Smith, 1918; Student, 1918
apud Atkinson & Bailey, 2001). A falta de recursos computacionais fez com que a
aplicação desta teoria acontecesse apenas a partir de 1970.
A teoria de delineamentos ótimos presume que a função matemática
(modelo) que relaciona a variável resposta e os fatores é conhecida e apenas seus
parâmetros são desconhecidos. Os tratamentos e suas repetições a serem utilizados
no experimento são escolhidos de forma a fornecerem o máximo de informação sobre
os parâmetros desconhecidos. A formulação pode ser em dois contextos: assintótico
e exato. No assintótico, faz-se buscas em espaços contı́nuos, cuja otimalidade é
garantida para n, o tamanho do experimento, tendendo a ∞, em que o número das
repetições de tratamentos são traduzidos para pesos assumindo valores entre 0 e 1 que
integram a unidade. Os delineamentos obtidos são chamados de teóricos, contı́nuos
ou aproximados. No contexto exato, faz-se buscas em espaços discretos, para n
ﬁnito e inteiro, no qual o número de repetições também é restrito ao conjunto dos
inteiros, cuja soma totaliza n. Os delineamentos obtidos são chamados de exatos ou
discretos. Este trabalho se restringe ao contexto exato. Para o modelo linear clássico
(Y = Xβ+ε), um delineamento ótimo especiﬁca a matriz de delineamento, X, de tal
forma que alguma função de interesse de X′ X seja otimizada. Essas funções reﬂetem
os objetivos do experimento e são chamadas “funções critério”. Critérios compostos
de otimalidade incorporam múltiplos objetivos, de acordo com as necessidades do
pesquisador nas fases posteriores ao planejamento de experimento.
É consenso que a pesquisa experimental envolve várias etapas importantes sintetizadas a seguir.
Conhecimento da problemática: o planejamento para um experimento bem sucedido requer a avaliação e utilização de toda a informação prévia sobre o
assunto, mesmo que informalmente.
3
Escolha de um modelo: delineamentos ótimos experimentais dependem do modelo que relaciona a variável resposta aos fatores. É preciso considerar o
princı́pio da parsimônia na escolha de um modelo: simplicidade e utilidade
do modelo.
Delineamento do experimento: a escolha do delineamento é fundamental para
que os aspectos de interesse do pesquisador sejam otimizados e, nas fases posteriores ao planejamento de experimentos, venha atender os objetivos da pesquisa.
Condução do experimento: o pesquisador deve acompanhar e conduzir o experimento cuidadosamente para assegurar o cumprimento ao plano estabelecido
previamente. Deve ser dado particular atenção à precisão e à acurácia dos
processos de mensuração.
Análise dos dados: quase sempre é necessário uma investigação preliminar gráﬁca
e uma análise estatı́stica mais formal produzindo estimativas dos parâmetros
e intervalos de conﬁança associados.
A experimentação é iterativa. As etapas apresentadas sugerem um caminho direto
a partir da formulação do problema até a solução. No entanto, em cada etapa, o
pesquisador pode ter que reconsiderar as decisões tomadas em fases anteriores da
investigação. Problemas que surgem em estágios intermediários podem adicionar à
eventual compreensão do problema.
Na prática, durante a execução do experimento pode ocorrer perda de
observações devido a situações inesperadas. Observações perdidas podem produzir
estimativas tendenciosas, ou seja, resultados distorcidos, ou até mesmo não permitir
a estimabilidade de alguns parâmetros do modelo pré-deﬁnido. Observações que
desempenham papel muito inﬂuente no ajuste do modelo também não são desejadas
na modelagem estatı́stica em geral. Delineamentos robustos à perda de observações
são atraentes, já que são mais conﬁáveis para o pesquisador. A teoria de modelos
lineares propõe medidas de inﬂuência para as observações. O experimento ideal
4
neste quesito deve apresentar homogeneidade nos valores de tais medidas. Dessa
forma, propomos um critério de otimalidade com o objetivo de buscar delineamentos
formados por tratamentos que não se destacam em termos de inﬂuência.
Na literatura, o método de busca mais conhecido e usado para construir delineamentos ótimos exatos é o algoritmo de troca (exchange). Proposto por
Fedorov (1972), este método é uma heurı́stica de otimização que consiste em, a partir
de um delineamento inicial, realizar trocas, substituindo seus pontos por pontos candidatos até a melhora no valor do critério cessar. Usualmente, a implementação do
algoritmo de troca é realizada em software estatı́sticos, como, por exemplo, R Core
Team (2013) ou SAS/IML de SAS Institute Inc. (2007), porém, para experimentos com número de fatores e nı́veis elevados, exige-se uma eﬁciência computacional
alta. Por este motivo a implementação deste método foi feita em linguagem C. Existem também procedimentos automáticos para construção de delineamentos ótimos
utilizando critérios usuais como o PROC OPTEX/SAS e o pacote algdesign no R.
Este trabalho está dividido da seguinte forma: no Capı́tulo 2 são
abordados alguns fundamentos básicos de experimentos, experimentos fatoriais, estimação de parâmetros para modelos lineares, a teoria de delineamentos ótimos de
experimentos e uma revisão de algumas versões do algoritmo de troca que há na
literatura; no Capı́tulo 3 é apresentada a proposta de um novo critério de otimalidade, a utilização de critérios compostos para a busca de delineamentos ótimos e
detalhes dos algoritmos implementados neste trabalho; os resultados são apresentados no Capı́tulo 4 através de quatro exemplos e as conclusões deste trabalho estão
resumidas no Capı́tulo 5.
2
CONCEITOS BÁSICOS E REVISÃO DE
LITERATURA
2.1
Experimentos
Experimentos são realizados por pesquisadores em praticamente todas
as áreas do conhecimento com o objetivo de investigar as relações de causa e efeito
de uma determinada situação de interesse. Literalmente, um experimento é um teste
que envolve uma alteração deliberada e uma leitura das consequências. Mais formalmente, podemos deﬁnir um experimento como um teste ou uma sucessão de testes
em que as alterações propositais são feitas nas chamadas variáveis independentes ou
fatores em condições experimentais adequadas, para que possamos observar e identiﬁcar quais variáveis independentes ou fatores causam as mudanças nas variáveis
respostas, as consequências.
A Figura 1 é uma representação em esquema de um experimento. O
processo consiste em medir os valores das h respostas, denotadas por y1 , . . . , yh .
Estas variáveis são dependentes dos k fatores u1 , . . . , uk , cujos valores são previamente prescritos pelo delineamento experimental. Os valores das respostas podem
também depender de r variáveis concomitantes z1 , . . . , zr que podem, ou não, ser
conhecidos pelo pesquisador. A relação entre os fatores u’s e as respostas medidas
y’s é modiﬁcada pela presença de outros fatores desconhecidos e/ou de importância
pouco relevante considerados erros aleatórios, representados por ε’s. Tal modiﬁcação
é suposta ser aditiva e, então, matematicamente, podemos escrever
Yij = µi + εij
(1)
6
Figura 1 - Representação esquemática de um experimento.
em que µi é a esperança de Yij , ou seja, da resposta aleatória quando o tratamento
ui = (u1 , . . . , uk )′ é aplicado na j-ésima unidade para i = 1, 2, . . . , t e j = 1, 2, . . . , ni ,
∑
com ti=1 ni = n.
Em todo experimento, a unidade experimental deve estar identiﬁcada.
A unidade experimental é a porção do material experimental para a qual o tratamento
é atribuı́do e aplicado. Para ilustrar este conceito, vamos imaginar, por exemplo,
que se alguns tipos de drogas são testados em um grupo de pessoas e cada pessoa
é alocada aleatoriamente à determinada droga, então cada pessoa é uma unidade
experimental. Se, por outro lado, alguns tipos de pomadas forem testados em cada
braço, sendo que cada braço é alocado aleatoriamente ao tipo de pomada, então cada
braço será uma unidade experimental.
Para o êxito de um experimento, é essencial planejá-lo. Escolher corretamente quais fatores e seus respectivos nı́veis, a unidade experimental, o número
de observações e repetições de cada tratamento, a forma de controle de variabilidade exógena e a forma de aleatorização para distribuir os tratamentos são itens que
deﬁnem o delineamento experimental. Dessa forma, delineamento experimental é o
7
plano dado ao experimento, o desenho do experimento, o esquema montado para que
seja entendido tecnicamente a realização do experimento.
2.1.1
Três princı́pios da experimentação
Os princı́pios básicos da experimentação foram introduzidos ou pelo
menos formalizados nos trabalhos pioneiros de Fisher (1925), Fisher (1926) e Fisher
(1935) e são apresentados e explicados nos vários livros clássicos escritos por autores
consagrados na área, como Kempthorne (1952), Cochran & Cox (1957), Cox (1958),
Montgomery (2001), Box et al. (2005), Hinkelmann & Kempthorne (2005), Atkinson
et al. (2007), Bailey (2008), Hinkelmann & Kempthorne (2008), Wu & Hamada
(2009), entre outros.
Para assegurar a legitimidade da análise estatı́stica dos resultados experimentais e aumentar sua precisão, temos que planejar o experimento atentando
para três princı́pios básicos que são cruciais para qualquer experimento.
O primeiro princı́pio é da repetição. Todo tratamento (ou pelo menos
alguns deles) devem ser aplicados a várias unidades experimentais, criando repetições
dos tratamentos. Estas repetições nos permitem estimar o erro aleatório experimental.
Para garantir a validade da análise dos resultados, temos o segundo
princı́pio, que é a aleatorização. Este princı́pio elimina qualquer subjetividade que
possa existir na distribuição dos tratamentos às unidades experimentais, levando
a estimativas não viciadas dos efeitos dos tratamentos e da variabilidade do erro
experimental. Além do mais, o processo de aleatorização gera uma população de
experimentos que poderiam ser realizados, embora na prática apenas um é realizado,
garantindo a validade dos testes realizados na análise dos resultados. Essa validade
não depende de suposições fortes ou complicadas sobre o processo de geração dos
dados, depende apenas do processo de aleatorização (Mead et al., 2012).
A redução do erro experimental é um dos principais objetivos na escolha de um delineamento e é obtido, muitas vezes, pelo terceiro princı́pio, o controle
8
local. A aplicação deste princı́pio pode ser via padronização das condições externas
do experimento, tornando-as homogêneas ou via blocagem. A blocagem consiste em
dividir o conjunto total de unidades experimentais em subconjuntos chamados blocos, de tal forma que cada bloco contenha unidades experimentais tão homogêneas
quanto possı́vel. Desta forma, a comparação de tratamentos ﬁca mais equilibrada,
eliminando o efeito causado pelas diferenças entre as unidades experimentais. A
blocagem é determinada pelas condições experimentais e pelos requisitos para a sensibilidade desejada do experimento, porém uma quantidade grande de blocos num
experimento irá torná-lo mais complexo para executá-lo e para analisar seus resultados.
2.1.2
Experimentos fatoriais
A investigação dos efeitos de dois ou mais fatores é alvo de estudo em
muitos experimentos nas áreas biotecnológicas, industriais, agrı́colas, entre outras.
Em um experimento fatorial, cada unidade experimental recebe uma combinação de
nı́veis dos k fatores, chamada tratamento. Estes experimentos foram introduzidos
na década de 1930 com trabalhos de Fisher (1935) e Yates (1937) no contexto de
experimentos agronômicos.
O termo experimento fatorial aplica-se à estrutura de tratamento utilizada e não ao delineamento. Dessa forma, podemos ter um experimento fatorial
em delineamentos inteiramente aleatorizados, em delineamentos aleatorizados em
blocos, em delineamentos em linhas, colunas e outras estruturas. Porém, nesta pesquisa será utilizado experimentos nos quais o pesquisador pode controlar as condições
experimentais, mantendo-as homogêneas, ou seja, delineamentos inteiramente aleatorizados.
Em um experimento fatorial completo há pelo menos uma unidade experimental para cada possı́vel combinação de nı́veis dos fatores. Por exemplo, na
agricultura é possı́vel estudar a inﬂuência das combinações dos diferentes nı́veis dos
fatores irrigação (baixa, média, alta), luminosidade (baixa, média, alta) e concen-
9
tração de nitrato de potássio (10 ml, 20 ml e 30 ml) na germinação de sementes
de melancia. Os nı́veis dos fatores irrigação e luminosidade podem ser classiﬁcados
como qualitativos, enquanto os nı́veis do fator nitrato de potássio são quantitativos. Um tratamento consiste em uma combinação dos nı́veis de cada fator. Como
temos três nı́veis de irrigação, três nı́veis de luminosidade e três nı́veis de nitrato
de potássio, há, então, 3 × 3 × 3 = 33 = 27 diferentes tratamentos que devem ser
testados para que este experimento seja completo. Nesta representação, a base se
refere ao número de nı́veis e o expoente ao número de fatores. Fisher reconheceu e
explicou as vantagens de se variar mais de um fator num mesmo experimento. Além
de mais econômico do que executar experimentos separados, um para cada fator, o
fatorial permite estimação, além dos efeitos principais, das interações entre os fatores. Dizemos que dois fatores interagem quando o efeito de um deles é modiﬁcado
pela alteração nos nı́veis do outro fator.
Para efeito de exempliﬁcação, vamos considerar k fatores, cada um
com 2 nı́veis, ou seja, o fatorial 2k . Sob a suposição de que as observações são não
correlacionados e têm variâncias iguais, estes tratamentos fornecem estimativas dos
efeitos com variância mı́nima independentes da média e dos 2k − 1 efeitos:
k
k(k−1)
2
k(k−1)(k−2)
2·3
efeitos principais,
efeitos de interações de dois fatores,
efeitos de interações de três fatores,
..
.
k(k−1)(k−1)·...·(k−h−1)
h!
efeitos de interações de h fatores,
..
.
1
efeito de interações de k fatores,
Por exemplo, em um delineamento fatorial 24 completo, 16 efeitos podem ser estimados: a média, 4 efeitos principais, 6 interações de dois fatores, 4
interações de três fatores e a única interação de quatro fatores.
10
Fatores quantitativos assumem valores (nı́veis) em intervalos denotados
por ui,min ≤ ui ≤ ui,max , (i = 1, . . . , k), usualmente em escalas e/ou unidades de
medidas distintas. A ﬁm de auxiliar a apreciação do plano experimental e os cálculos
de análise e interpretação dos resultados experimentais, é conveniente padronizar ou
codiﬁcar os nı́veis de todos os fatores numa mesma escala, em geral, no intervalo
[−1; 1]. Para a codiﬁcação, o cálculo é deﬁnido por
xi =
ui − ui0
∆i
(i = 1, . . . , k)
(2)
em que
ui0 =
ui,min + ui,max
e ∆i = ui,max − ui0 = ui0 − ui,min
2
Muitas vezes é desejável retornar aos valores originais dos fatores, especialmente para uso posterior dos resultados. O cálculo para reverter a transformação
(2) é dado por
ui = ui0 + xi ∆i
(i = 1, . . . , k)
(3)
Além desta forma de codiﬁcação, existem outras formas utilizadas para
exibir os nı́veis dos fatores de um delineamento fatorial 2k . A Tabela 1 apresenta um
exemplo de quatro formas de codiﬁcação para um experimento fatorial 23 .
A Codiﬁcação 1 apresentada na Tabela 1 é gerada pela Equação (2),
porém, como este exemplo refere-se a um fatorial com 3 fatores e cada um com 2
nı́veis, é óbvio que estes nı́veis seriam −1 e 1. Uma outra forma de apresentar é
apenas citar que estamos nos referindo ao nı́vel “baixo” ou ao nı́vel “alto” do fator
(Codiﬁcação 2). A Codiﬁcação 3 apresenta os sinais “+” e “−” respectivamente no
lugar de “1” e “−1” visto na Codiﬁcação 1. A Codiﬁcação 4 mostra que um fator
está no nı́vel alto através da letra minúscula deste fator e, caso este fator estiver no
nı́vel baixo, esta situação é mostrada pela ausência da letra que representa o fator.
Quando todos os fatores estiverem no nı́vel baixo, o tratamento é representado pelo
sı́mbolo “(1)”.
Quando os fatores são quantitativos, o delineamento experimental pode
ser representado geometricamente no espaço. Um tratamento é representado por um
11
Tabela 1. Formas de codiﬁcação dos nı́veis dos fatores e tratamentos em um delineamento fatorial 23 .
Codiﬁcação 1
X1 X2 X3
Codiﬁcação 2
Codiﬁcação 3
X1
X2
X3
Codiﬁcação 4
X1 X2 X3
1
1
1
Alto
Alto
Alto
+
+
+
x1 x2 x3
1
1 −1
Alto
Alto
Baixo
+
+
−
x1 x2
1
Alto
Baixo
Alto
+
−
+
x1 x3
1 −1 −1
Alto
Baixo Baixo
+
−
−
x1
1 −1
−1
1
1
Baixo
Alto
Alto
−
+
+
x2 x3
−1
1 −1
Baixo
Alto
Baixo
−
+
−
x2
Alto
−
−
+
x3
−
−
−
(1)
−1 −1
1
−1 −1 −1
Baixo Baixo
Baixo Baixo Baixo
ponto cujas coordenadas são os nı́veis de cada fator. No exemplo de um experimento
fatorial 23 completo, temos 8 vértices e a representação geométrica segue na Figura
2. O cubo formado constitui a região experimental. Para k > 3, a região é formada
por um hiper-cubo.
É fácil perceber que aumentando o número de fatores e nı́veis, o número
de tratamentos cresce drasticamente. Se incluı́ssemos mais 2 fatores no exemplo da
melancia, cada um com 3 nı́veis, então passarı́amos a ter 35 = 243 tratamentos
distintos. Muitas vezes é inviável testar e avaliar um grande número de tratamentos
por motivos ﬁnanceiros, de tempo ou porque o material experimental é limitado,
sendo necessário manter um equilı́brio entre o volume de informação obtido e o
custo envolvido para o experimento. Dessa forma, são necessários métodos para
planejar experimentos utilizando apenas frações dos possı́veis tratamentos de fatorial
completo, o que permite reduzir o número de observações e, consequentemente, o
custo de realização do experimento.
Alternativas de planejamentos eﬁcientes com frações de tratamentos
12
Figura 2 - Representação geométrica de um experimento fatorial 23 completo.
apareceram após a disseminação dos fatoriais. Finney (1945), motivado pelos argumentos de que, na prática, interações entre vários fatores não são considerados
relevantes, propôs métodos para a seleção de frações do fatorial completo. Tais
frações receberam o nome de regulares. Elas são obtidas escolhendo-se contrastes ou
efeitos que são deliberadamente confundidos ou inseparáveis de outros. Em geral,
escolhem-se interações de alta ordem para a determinação da fração a ser utilizada.
Uma vez escolhida a fração, ﬁca determinado um padrão de confundimentos entre
os demais efeitos levando ao conceito de Resolução. Box & Hunter (1961a) e Box &
Hunter (1961b) classiﬁcaram as frações úteis dos fatoriais 2k em Resolução III, IV ,
V e V I. Por exemplo, numa fração com Resolução III, efeitos principais estão, no
máximo, confundidos com interações de dois fatores, ou seja, não há confundimento
entre os efeitos principais. Já a fração com Resolução IV , efeitos principais não
são confundidos com interações de dois fatores, mas interações de dois fatores estão
confundidos entre si. Na Resolução V , efeitos principais só podem estar confundidos
com interações de ordens superiores a 3 e as interações duplas não são confundidas entre si. Estes conceitos e métodos para seleção de frações estão didaticamente
descritos em Box & Hunter (1961a), Box & Hunter (1961b) e Montgomery (2001).
Embora de grande valor, o uso de frações regulares é bastante restrito
13
na prática, pois exige que o número de unidades experimentais para fatoriais 2k seja
potência de base 2. Seu uso é mais comum nas fases iniciais da pesquisa na qual se faz
uma triagem dos fatores importantes no processo de interesse. Uma vez selecionados
os fatores potenciais, outro experimento é realizado, em geral, utilizando-se mais
que dois nı́veis de cada fator, possibilitando o ajuste de modelos mais completos
e a estimação de combinação dos nı́veis que otimiza alguma resposta de interesse.
Esta área de investigação recebe o nome de Métodos de Superfı́cie de Resposta,
na qual faz-se extenso uso de ajuste de polinômios para aproximar a relação entre
variáveis respostas e os fatores. Desta forma, o desenvolvimento de métodos para
seleção do conjunto de combinações do fatorial, que agora é, no mı́nimo, do tipo
3k é considerado importante. Com esta estrutura de tratamento mais complexa, a
metodologia para seleção de frações é bem mais complicada e restritiva. Grandes
avanços se deram com o trabalho de Box & Wilson (1951), que introduziram o
Delineamento Central Composto (DCC) e Box & Behnken (1960), com o popular
Delineamento Box-Behnken (DBB), ambos possibilitando grande redução no número
de tratamentos utilizados. Outras ideias surgiram com Draper (1985) que propôs o
DCC de tamanho menor que o DCC padrão. Tais alternativas foram estendidas para
outros delineamentos mais ﬂexı́veis e/ou eﬁcientes com os delineamentos formados
por subconjuntos de 3k de Hoke (1974) e Gilmour (2006).
Para fornecer uma ideia sobre como são formados o DCC, o DBB e
subsets em geral, vamos usar a notação de subconjuntos de pontos do fatorial 3k
de Gilmour (2006). Seja Sr o subconjunto de tratamentos tais que cada um dos r
(r ≤ k) fatores aparecem nos nı́veis extremos e k − r são ﬁxados em 0. Assim, o
subconjunto formado pelos 2k tratamentos é denotado por Sk , o tratamento que se
refere ao ponto central da região experimental é S0 (todos os fatores ﬁxados em zero)
e assim por diante. Por exemplo, para k = 3, S2 são os pontos médios das arestas
do cubo e S1 são os pontos centrais das faces. Tais pontos podem estar deslocados
para pertencer à superfı́cie da esfera no caso da região experimental ser esférica. A
Tabela 2 apresenta os subconjuntos para esta situação.
14
Tabela 2: Subconjuntos para 3 fatores
S3
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
S2
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−α2
α2
−α2
α2
−α2
α2
−α2
α2
0
0
0
0
−α2
−α2
α2
α2
0
0
0
0
−α2
α2
−α2
α2
0
0
0
0
−α2
−α2
α2
α2
−α2
−α2
α2
α2
S1
S0
−α1
0
0
α1
0
0
0 −α1
0
0
α1
0
0
0 −α1
0
0
α1
0 0 0
Assim, o DCC é formado pelo subconjunto Sk (parte fatorial) acrescido
de S1 (pontos axiais) e algumas repetições de S0 (ponto central). O DCC mais
econômico (small DCC) de Draper (1985) utiliza uma fração regular ao invés do
Sk completo. O DBB combina o 2k com um delineamento em blocos incompletos
para tratamentos não estruturados. Em cada bloco os tratamentos presentes são
substituı́dos por nı́veis −αi ou +αi , com i = 1, 2 e os tratamentos ausentes são ﬁxados
em 0. Por exemplo, para k = 3, o DBB é formado pelo subconjunto S2 acrescido
de algumas repetições de S0 . A Figura 3 mostra a representação geométrica de um
experimento fatorial completo, DCC e DBB para 3 fatores.
Os métodos de construção de delineamentos ótimos cuja origem data
da década de 1940 (Wald, 1943; Chernoﬀ, 1953; Kiefer, 1959) são alternativas muito
mais ﬂexı́veis e capazes de lidar com qualquer estrutura imposta pela prática. No
contexto de experimentos fatoriais, a construção de um delineamento ótimo consiste
na seleção do subconjunto de tratamentos que otimiza alguma propriedade de interesse relacionada à análise estatı́stica dos resultados experimentais. Essa metodologia
será melhor explorada na Seção 2.3.
15
Figura 3 - Representação geométrica de um experimento fatorial completo, DCC e
DBB para k = 3.
2.1.3
Propriedades de delineamento
Segundo Box & Draper (1975) e Box & Draper (1987), o delineamento
de um experimento deve:
1. Produzir dados informativos em toda a região de interesse, sendo que essa
região não necessariamente coincida com a região do delineamento (cuboidal,
esférico, entre outros).
2. Assegurar que a resposta estimada ŷ(x) seja tão próxima quanto possı́vel do
seu valor esperado E(Y (x)) em x.
3. Permitir, se necessário, detectar possı́vel falta de ajuste.
4. Permitir estimação de transformações da resposta e dos fatores experimentais
quantitativos.
5. Permitir que experimentos sejam realizados em blocos.
6. Permitir que experimentos de grande porte sejam construı́dos iterativamente.
16
Por exemplo, um delineamento de segunda ordem é construı́do após análise de
um experimento inicial de primeira ordem.
7. Fornecer uma estimativa não viciada de erro aleatório.
8. Ser robusto a presença de observações estranhas e ser robustos a violações das
suposições do modelo normal usual.
9. Requerer um número mı́nimo de ensaios experimentais.
10. Fornecer padrões de dados simples que permitem visualização imediata.
11. Resultar em cálculos simples.
12. Ser robusto a erros de medidas nas variáveis experimentais.
13. Não requerer um número impraticável de nı́veis dos fatores.
14. Permitir um controle para manter a suposição de “variância constante”.
Obviamente, a relevância dos 14 pontos acima é relativa às circunstâncias de cada caso. Por exemplo, a propriedade 11, que requer simplicidade
nos cálculos, não é muito importante se houver software disponı́vel, desde que seja
possı́vel veriﬁcar que todos os dados de entrada foram inseridos corretamente no
computador.
Várias destas propriedades estão relacionadas com ortogonalidade entre os efeitos e/ou balanceamento, que foram consideradas importantes e ainda hoje,
se possı́vel, são desejadas, conforme destacado em Atkinson et al. (2007), que também
cita a propriedade de rotacionalidade para experimentos de superfı́cie de resposta.
Um delineamento rotacional é aquele cujas variâncias das respostas preditas depende
apenas da distância do ponto ao centro da região experimental, ou seja, independe
da direção do ponto.
A ortogonalidade é uma propriedade útil e desejável para um delineamento, porém só vai ocorrer em situações especiais. Com esta propriedade presente,
17
é possı́vel analisar de forma simples as médias de tratamentos para efeito de comparação e também realizar uma única análise de variância, com a soma de quadrados
sendo calculada facilmente. Muitos dos delineamentos clássicos existentes e mais usados são ortogonais, mas se a ortogonalidade não pode ser alcançada, a procura por
um experimento balanceado (mesmo número de repetições para cada tratamento) é
frequente.
2.2
Modelo linear
O objetivo de um experimento é esclarecer o comportamento de um
sistema e estimar efeitos dos fatores experimentais, o que geralmente envolve o ajuste
de um modelo. A forma da verdadeira relação entre resposta e fatores nem sempre
é conhecida e, assim, a alternativa é utilizar uma aproximação. Muitos problemas
podem ser adequadamente resolvidos ajustando-se um polinômio de baixa ordem.
O modelo de médias apresentado em (1) é um modelo geral para um
experimento em delineamento inteiramente casualizado com t tratamentos, cada um
com ni repetições (i = 1, 2, . . . , t). A única suposição inicial deste modelo é a de aditividade entre a consequência dos tratamentos e o componente aleatório. Associado
ao ajuste do modelo temos a análise de variância que, de forma sucinta, pode ser
descrita como segue.
Observado os n resultados da variável resposta y, a variabilidade total
presente (SQtotal ) pode ser decomposta em duas partes: uma devido a efeitos de
tratamentos (SQtrat ), com t − 1 graus de liberdade, e a outra devido a variabilidade
aleatória (SQres ), com n − t graus de liberdade. Sob as suposições E(εij ) = 0,
∑
V (εij ) = σ 2 para i = 1, . . . , t e j = 1, . . . , ni , com ti=1 ni = n e E(εij · εij ′ ) =
SQres
0 (para j ̸= j ′ ) é sabido que s2 =
é uma estimativa não viciada de σ 2 .
n−t
Na literatura essa estimativa é chamada de estimativa do erro puro. Quando os
tratamentos são estruturados (fatorial) é mais apropriado reescrever a expressão em
(1) em componentes que representam efeitos principais e interações entre os fatores.
Por exemplo, para o fatorial completo com os fatores x1 com I nı́veis
18
e x2 com J nı́veis, temos
yij = µij + εij = µ + αi + θj + γij + εij
(4)
em que µ é a média geral, αi é o efeito do i-ésimo nı́vel do fator x1 (i = 1, . . . , I),
θj é o efeito do j-ésimo nı́vel do fator x2 (j = 1, . . . , J) e γij é o efeito da interação
entre o nı́vel i de x1 e j de x2 . Note que, neste caso, t = I × J.
Similarmente ao modelo anterior, a análise de variância associada resulta da decomposição da SQtotal em variabilidade devido aos efeitos principais de x1
S(Qx1 ) com I −1 graus de liberdade, variabilidade devido aos efeitos principais de x2
(SQx2 ) com J − 1 graus de liberdade, variabilidade devido aos efeitos de interações
de x1 x2 (SQx1 x2 ) com (I − 1) × (J − 1) graus de liberdade e variabilidade devido
aos resı́duos (SQres ) com n − I × J graus de liberdade, desde que pelo menos um
tratamento seja repetido. A variabilidade devido ao modelo completo é a soma das
variabilidades dos efeitos descritos (SQmod = SQx1 + SQx2 + SQx1 x2 ), que, neste
caso, se iguala à variabilidade de tratamentos descrita acima.
A estimativa de σ 2 é idêntica à estimativa não viciada do modelo apreSQres
sentado em (1), então s2 =
. A estimação dos efeitos no modelo pode
n−I ×J
ser obtida pelo Método de Mı́nimos Quadrados dos erros cujas soluções únicas são
obtidas após deﬁnir restrições apropriadas sobre os parâmetros. Para mais de dois
fatores, o modelo é estendido acrescentando interações de ordens superiores, entre
três fatores, quatro fatores, ou mais.
Quando o experimento envolve repetições de pelo menos um tratamento é possı́vel obter estimativa de erro puro. Porém, uma desvantagem da estrutura fatorial é que o número de tratamentos cresce muito rápido quando aumentamos
o número de fatores e nem sempre é possı́vel usar o fatorial completo e/ou repetir
tratamentos. Nestes casos, costuma-se utilizar os graus de liberdade das interações
de alta ordem, consideradas não relevantes, para obter uma estimativa da variabilidade do erro, estimativa esta denotada por s2p . O ı́ndice p é utilizado para deixar
claro que esta é uma estimativa do tipo pooled, ou seja, que agrupa a variabilidade
dos efeitos considerados desprezı́veis. Conforme argumentado por Gilmour & Trinca
19
(2012), esta estimativa é viciada para σ 2 .
Para fatores quantitativos temos interesse em simpliﬁcar µi do modelo
em (1) por uma superfı́cie que, em geral, é aproximada por um polinômio de baixa
ordem. Assim,
µi = f ′ (xi )β
i = 1, . . . , t,
(5)
em que f é uma função que expande xi = (x1i , x2i , . . . , xki )′ num vetor de dimensão
p de acordo com os termos do polinômio que se deseja ajustar e β é o vetor de
parâmetros do modelo de dimensão p (p < t). Usualmente, os elementos de β são
o intercepto, os efeitos de algumas potências baixas dos x’s e interações. O modelo
de primeira ordem inclui intercepto e efeitos lineares. O modelo de segunda ordem
inclui intercepto, efeitos lineares, efeitos quadráticos e interações lineares dos fatores
dois-a-dois. Estes modelos são os utilizados nos estudos de superfı́cies de resposta,
sendo que o modelo de segunda ordem é inclusive chamado de modelo de superfı́cie
de resposta. Qualquer modelo polinomial pode ser escrito na forma matricial do
modelo de regressão dado por
Y = Xβ + ε
(6)
em que Y é o vetor de respostas de dimensão n, X, com dimensão n × p, é a matriz
de delineamento deﬁnida pelo modelo e pelo delineamento e ε é o vetor de erros
aleatórios de dimensão n. Note que cada linha de X é dada por f ′ (xi ).
Para ajustar um modelo de regressão aos dados observados, basta estimar o vetor de parâmetros β. O problema é encontrar β tal que Xβ seja próximo
de Y. Pelo Método de Mı́nimos Quadrados (MQ), encontramos β tal que a função
ε′ ε = (Y − Xβ)′ (Y − Xβ) é minimizada. Ao resolver este problema, obtemos a
solução explicita dada por
β̂ = (X′ X)−1 X′ Y.
(7)
Sob as condições de Gauss-Markov, isto é, E(ε) = 0 e V(ε) = σ 2 I,
o estimador de MQ de β, β̂, é BLUE (Best Linear Unbiased Estimator ), ou seja,
dentre todas as possı́veis combinações lineares de Y, β̂ é o estimador com variância
20
mı́nima e não viciado, pois E(β̂) = β. Temos também que V(β̂) = (X′ X)−1 σ 2 . Sob
o conhecimento da distribuição de probabilidade dos erros, o método de estimação
preferido em Estatı́stica é o de Máxima Verossimilhança (MV). No caso de normalidade dos erros (Draper & Smith, 1998; Faraway, 2004), ou seja, ε ∼ N (0; Iσ 2 ), este
método produz os mesmos estimadores de β que o método de Mı́nimos Quadrados
dos erros.
Realizar testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo é extremamente útil para as inferências sobre os efeitos dos fatores e para a escolha do modelo
adequado. Para isso, considerando a normalidade dos erros, temos as hipóteses
H0 : β1 = 0; β2 = 0; . . . ; βp = 0
H1 : βj ̸= 0 para pelo menos um j,
que podem ser testadas pelo teste F da Análise de Variância (ANOVA) cuja estatı́stica do teste sob H0 , é
F =
SQmod
p−1
SQres
n−p
∼ F(p−1;n−p) .
(8)
Se o valor obtido para a estatı́stica F for maior do que o valor do quantil de ordem
(1 − α) da distribuição F com p − 1 e n − p graus de liberdade no numerador e no
denominador, respectivamente, então rejeitamos H0 ao nı́vel de α% de signiﬁcância.
Este teste é dito ser global, ou seja, testa a nulidade dos coeﬁcientes de todas as
regressoras no modelo. Se H0 for rejeitada, temos evidência de que pelo menos um
dos fatores é útil para explicar Y linearmente.
Sob normalidade, temos também β̂ ∼ N (β; (X′ X)−1 σ 2 ). O erro
√
padrão de cada estimador β̂j é σ cjj , em que cjj é o j-ésimo elemento da diagonal de M−1 = (X′ X)−1 , em que M tem dimensões p × p e é chamada de matriz de
informação. Então, as hipóteses
H0 : β j = 0
H1 : βj ̸= 0
21
podem ser testadas pelo teste t dado por
T =
β̂j − βj
∼ tn−p .
√
s cjj
(9)
Se o valor absoluto obtido para a estatı́stica T for maior do que o valor do quantil de
ordem (1 − α/2) da distribuição t com n − p graus de liberdade, então rejeitamos H0
ao nı́vel de 100 · α% de signiﬁcância. Este teste t é dito ser individual ou parcial, ou
seja, testa a contribuição da j-ésima variável regressora em particular após considerar
a contribuição de todas as outras no modelo.
Construir intervalos de conﬁança (IC) e regiões de conﬁança para β é
uma maneira de expressar a incerteza em nossas estimativas.
Podemos considerar individualmente cada parâmetro, o que leva ao IC
para βj com 100 · (1 − α)% de conﬁança tendo a forma geral
√
β̂j ± |t(α/2;n−p) |s cjj .
(10)
Quanto mais amplo o intervalo, maior a imprecisão da estimativa. Note
√
que ﬁxados n e p, a imprecisão só é reduzida diminuindo-se o valor cjj , que depende
da matriz X′ X.
No entanto, se construı́rmos intervalos desse tipo para cada um dos p
parâmetros, o nı́vel de conﬁança não é (1 − α), mas sim próximo a (1 − α)p . Para
contornar esta questão, podemos obter uma região de conﬁança conjunta para os p
parâmetros, formada pelo elipsóide, satisfazendo
(β̂ − β)′ X′ X(β̂ − β)
< F(1−α;p;n−p) .
ps2
(11)
Para o caso bidimensional e tridimensional é possı́vel visualização gráﬁca do elipsóide.
Quanto maior o volume do elipsóide, maior a imprecisão das estimativas. Note que
o volume do elipsóide depende da matriz X′ X.
Uma vez ajustado um modelo que se adequa aos dados, é possı́vel
utilizá-lo para predizer valores da resposta em qualquer ponto da região de interesse.
Nos pontos utilizados no experimento, a resposta ajustada é Ŷ = Xβ̂ ou Ŷ = HY,
22
em que
H = X(X′ X)−1 X′
(12)
é chamada de matriz de projeção ou popularmente de matriz chapéu (hat) e é uma
matriz que projeta Y no espaço formado pelas colunas de X. A matriz H tem
dimensões n × n, é uma matriz simétrica (H = H′ ), idempotente (H2 = H), singular
(|H| = 0), seu posto é igual ao seu traço que é igual a p e a soma dos elementos de
uma linha ou de uma coluna é 1.
2.3
Delineamentos ótimos de experimentos
A teoria de delineamentos ótimos de experimentos foi formalizada por
Kiefer (1959) com o objetivo de buscar delineamentos que maximizem a informação
a partir da otimização de propriedades ligadas aos estimadores de interesse. Delineamentos ótimos são delineamentos experimentais baseados em um determinado
critério e são ótimos apenas para um modelo estatı́stico especı́ﬁco. O objetivo de
uma busca por um delineamento ótimo ou quase-ótimo é escolher n pontos de um
conjunto de N pontos possı́veis, chamados pontos candidatos (conjunto de todas as
possı́veis combinações dos nı́veis dos fatores), de forma que alguma função da matriz
de informação X′ X seja ótima, ou seja, buscar um delineamento ótimo signiﬁca buscar uma combinação dentro da região experimental χ que otimize a função critério.
Essa função é deﬁnida através de um critério de otimalidade que são descritos na
próxima seção.
2.3.1
Critérios de otimalidade
Os critérios de otimalidade, também originalmente chamados de
critérios alfabéticos de otimalidade (Kiefer, 1959; Atkinson et al., 2007) são, quase
sempre, estabelecidos por uma função da matriz de informação M = X′ X ou de sua
inversa M−1 = (X′ X)−1 , que é proporcional à matriz de covariâncias dos parâmetros
do modelo. No que segue, sem perda de generalidade, vamos considerar σ 2 = 1, para
23
simplicidade das expressões. Seja Ξ o conjunto de todos os possı́veis delineamentos
para um determinado experimento. Os critérios mais populares são:
A-otimalidade: Foi introduzido por Chernoﬀ (1953) e é deﬁnido como
max
X∈Ξ
1
tr{(X′ X)−1 }
(13)
Usando a função critério em (13), minimizamos o traço da inversa da matriz de
informação, o que é equivalente a minimizar a variância média das estimativas
dos parâmetros do modelo ajustado. Esse critério pode ser generalizado para
max
X∈Ξ
1
,
tr{W(X′ X)−1 }
(14)
em que W é uma matriz diagonal de pesos que podem ser atribuı́dos aos
parâmetros de acordo com prioridades. Servem também para equilibrar a busca
quando as escalas relativas aos parâmetros são diferentes.
D-otimalidade: Wald (1943) introduziu este critério que tem sido considerado o
mais importante e mais popular para construção de delineamentos ótimos. O
critério D, também conhecido como Critério do Determinante, é deﬁnido como
max {|X′ X|}
1/p
X∈Ξ
(15)
no qual maximizamos o determinante da matriz de informação ou minimizamos o determinante da inversa da matriz de informação. A interpretação
para este critério é que, ao minimizar o determinante da inversa da matriz de
informação, estamos minimizando a variância generalizada dos estimadores dos
parâmetros e, dessa forma, minimizamos o volume do elipsóide de conﬁança
dos p parâmetros, conforme Expressão (11).
DS -otimalidade: O critério Ds é assim chamado por enfatizar o interesse na estimação de um subconjunto de s parâmetros do vetor β (s < p).
Seja
β = (θ 1 |θ 2 )′ no qual θ 1 é um vetor com os s parâmetros de interesse e θ 2
24
o vetor de (p − s) parâmetros de perturbação sem interesse primário. A matriz
de informação de β pode ser escrita em blocos, como:


M11 M12

M=
′
M12 M22

e sua inversa como
V=
(16)

V11 V12
′
V12

(17)
V22
na qual V11 é a matriz de variância-covariância dos estimadores de θ 1 . Por
′ −1
Atkinson et al. (2007), temos que V11 = (M11 − M12 M−1
e, portanto,
22 M12 )
para obter θ̂ 1 tão preciso quanto possı́vel devemos obter X tal que
max {|M11 − CM22 C′ |}1/s
X∈Ξ
(18)
em que C é a solução da equação CM22 = M12 .
E-otimalidade: Foi introduzido por Ehrenfeld (1955) e é deﬁnido como
max λmin (X′ X).
X∈Ξ
(19)
O critério baseia-se em encontrar o delineamento que maximiza o menor
autovalor de (X′ X)−1 , λmin .
O objetivo da E-otimalidade é minimizar a
variância máxima entre todas as possı́veis combinações lineares normalizadas
das estimativas dos parâmetros, ou seja, minimizar a variância do contraste
ou efeito mais impreciso do experimento.
G-otimalidade: O critério G consiste em determinar o delineamento para o qual
a variância da previsão menos precisa, em toda a região experimental χ, será
mı́nima. A letra G do critério indica otimalidade global. Este critério é deﬁnido
como
{
}
min max f (x)′ (X′ X)−1 f (x) .
X∈Ξ
x∈χ
(20)
25
I-otimalidade: Este critério minimiza a variância média da resposta predita. Ele
também é chamado de Q-otimalidade, Iv -otimalidade ou V -otimalidade. O
critério I-otimalidade é deﬁnido como
∫
min
f (x)′ (X′ X)−1 f (x)dx
X∈Ξ
(21)
x∈χ
Uma forma de analisar os dados de um experimento é através de intervalos ou regiões de conﬁança e testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo. Assim, o experimento deve ser planejado para garantir que esses procedimentos
serão tão informativos quanto possı́vel. Reconsiderando as expressões originais dos
critérios, nota-se que, para que as interpretações relacionadas com a inferência estejam de acordo, são necessárias algumas adaptações nas expressões dos critérios. Estas
adaptações aos critérios, restringindo-se aos delineamentos inteiramente aleatorizados e aleatorizados em blocos em modelos lineares, foram propostas por Gilmour &
Trinca (2012). Esses critérios modiﬁcados maximizam o poder dos testes de hipóteses
e podem ser obtidos a partir de intervalos ou regiões de conﬁança.
Como visto, a justiﬁcativa da D-otimalidade é que este critério minimiza o volume do elipsóide de conﬁança dos p parâmetros. Draper & Smith (1998)
mostram que o volume é proporcional a |X′ X|−1/2 . De fato, o volume é proporcional
a
(F(1−α;p;d) )p/2 |X′ X|−1/2 ,
(22)
em que d é o número de graus de liberdade para erro puro permitido pelo delineamento e F(1−α;p;d) é o quantil de ordem 1 − α da distribuição F com p graus de
liberdade no numerador e d graus de liberdade no denominador. Então o critério D
minimizaria o volume se todos os delineamentos apresentassem o mesmo número de
graus de liberdade para estimação de erro. Assim, o critério DP ajustado para os
graus de liberdade (a letra “P” refere-se a erro puro) deve obter X tal que
max
X∈Ξ
{|X′ X|}1/p
.
F(1−α;p;d)
(23)
26
Do mesmo modo, o critério (DP )S para um subconjunto com s
parâmetros deve obter X tal que
max
X∈Ξ
{|M11 − CM22 C′ |}1/s
.
F(1−α;s;d)
(24)
Em relação ao critério A, a modiﬁcação considera a média dos quadrados dos comprimentos dos intervalos de conﬁança dos parâmetros, originando o
critério AP , que deve obter X tal que
max
X∈Ξ
1
.
F(1−α;1;d) tr{W(X′ X)−1 }
(25)
em que W está deﬁnido na Equação 13.
2.3.2
Critérios compostos
Na prática, os critérios de otimalidade apresentados na Seção 2.3.1
foram desenvolvidos para atender os objetivos do pesquisador nas fases posteriores
ao planejamento de experimento. Há casos em que o pesquisador necessitará de
mais de um critério para encontrar o delineamento adequado para seu experimento.
Assim, os critérios compostos oferecem ﬂexibilidade e eﬁcácia para a construção de
delineamentos multiobjetivos, podendo englobar mais de um critério de otimalidade,
cada um com peso reﬂetindo a importância relativa de cada objetivo do experimento
ou do pesquisador.
Gilmour & Trinca (2012) destacaram os seguintes procedimentos que,
em geral, são aplicados na análise dos resultados de um experimento de superfı́cie
de resposta:
1. Teste F global sobre os efeitos dos tratamentos, para o qual devemos usar
(DP )S -otimalidade;
2. Teste t para efeitos individuais, para o qual devemos usar AP -otimalidade,
possivelmente na versão ponderada;
3. Estimação por ponto dos efeitos individuais, para o qual devemos usar Aotimalidade ponderado;
27
4. Veriﬁcar a falta de ajuste do modelo simpliﬁcado e, se apropriado, inclusão
de alguns termos de alta ordem no polinômio. A eﬁciência com relação ao
uso dos recursos experimentais, referida como eﬁciência em termos de graus de
liberdade por Daniel (1976) foi utilizada neste quesito.
Desta forma, Gilmour & Trinca (2012) propuseram a função critério
composta pelas propriedades a seguir:
′
1
X Q0 X p−1
1
tr{W(X′ Q0 X)−1 }
(
)
n−d
′
1
X Q0 X p−1
F(1−α1 ;p−1;d)
1
F(1−α2 ;1;d) tr{W(X′ Q0 X)−1 }
critério D,
critério A,
graus de liberdade,
critério DP ,
critério AP .
em que Q0 = I − n1 11′ , de forma que o critério considera o intercepto
do modelo como parâmetro de perturbação e sem prioridade de estimação.
Ao reunir as cinco propriedades listadas, Gilmour & Trinca (2012)
obtiveram a função critério composta dada por
′
κ1 +κ4 (
)
X Q0 X p−1 n − d κ3
[
]κ [
]κ [
]κ +κ ,
F(1−α1 ;p−1;d) 4 F(1−α2 ;1;d) 5 tr{W(X′ Q0 X)−1 } 2 5
(26)
em que κ = (κ1 , κ2 , κ3 , κ4 , κ5 ) é vetor de pesos de prioridade de cada propriedade e
d é o número de graus de liberdade de erro puro.
2.3.3
Algoritmo de troca
Uma maneira possı́vel de construir delineamentos ótimos é através da
busca exaustiva, ou seja, após deﬁnido o número de fatores e seus nı́veis, o número
28
de observações, o modelo a ser utilizado e o critério de otimalidade com seus pesos,
devemos construir todos os possı́veis delineamentos distintos e calcular o valor do
critério para cada delineamento. Porém, a quantidade de delineamentos distintos
depende do número de tratamentos e do número de observações do experimento.
Uma situação hipotética em que temos 5 fatores com 3 nı́veis cada um e um experimento com 24 observações, geraria (35 )24 ≈ 1, 8 × 1057 delineamentos, incluindo-se
permutações entre linhas, ou seja, é inviável construir todos estes delineamentos para
veriﬁcar qual é o melhor (embora delineamentos distintos possam ter propriedades
equivalentes). Então, é preciso fazer uso de método inteligente e sistemático para
construção de delineamentos ótimos, como o algoritmo de troca, que é o método de
busca mais utilizado para construir delineamentos ótimos exatos.
A ideia original do algoritmo de troca é de Fedorov (1972). Este algoritmo é um método heurı́stico para buscar delineamentos D-ótimos, ou seja, um
procedimento para encontrar uma boa solução, não necessariamente a solução ótima
em relação ao critério D. Para iniciar a busca, é construı́do, aleatoriamente ou não,
um delineamento inicial X não singular (|X′ X| > 0). A matriz de informação X′ X
e o valor do critério são calculados a partir do delineamento inicial. Uma das linhas
do delineamento é trocada por uma linha do conjunto de todos os possı́veis pontos
candidatos para o delineamento, formando um novo delineamento X1 com as mesmas dimensões de X. Seja f (xi ) o ponto que é retirado da matriz de delineamento e
f (x) o ponto adicionado. Neste novo delineamento, a matriz de informação X′1 X1 e o
valor do critério são calculados novamente. Faz-se uma comparação entre os valores
do critério de ambos os delineamentos, escolhendo o melhor. Assim, começa uma
nova iteração até que ∆(xi , x), chamado de função de Fedorov, seja menor que ϵ, um
número pequeno e positivo. Esta função é dada por
(
)2
∆(xi , x) = f ′ (x)M−1 f (x) − f ′ (xi )M−1 f (xi ) + f ′ (x)M−1 f (xi )
(
)(
)
− f ′ (x)M−1 f (x) f ′ (xi )M−1 f (xi ) .
(27)
Esse procedimento é repetido para um número pré-determinado de delineamentos
iniciais distintos para que a solução encontrada tenha maior chance de ser um ótimo
29
global e não apenas um ótimo local.
Muitas versões modiﬁcadas do algoritmo de troca original de Fedorov
(1972) foram desenvolvidas e as mais conhecidas estão descritas em Miller & Nguyen
(1992). Entre elas estão as versões do algoritmo de troca de Mitchell (1974), Cook
& Nachtsheim (1980) e Atkinson & Donev (1989).
Mitchell (1974) generalizou o algoritmo de troca de Fedorov para permitir “excursões”. Em cada iteração, h pontos podem ser adicionados no delineamento com n pontos e h pontos são removidos dos (n + h) pontos do delineamento.
Ele chamou este algoritmo modiﬁcado de DETMAX. Quando h = 1, DETMAX se
torna o algoritmo de troca original. Quando h é grande, o tempo computacional
gasto é maior.
O algoritmo de Fedorov modiﬁcado por Cook & Nachtsheim (1980) foi
chamado de MFEA. Ele calcula a mesma quantidade de ∆’s em cada passo, mas
troca cada ponto f (xi ) no delineamento pelo ponto candidato f (x) que maximiza
∆(xi , x). Este procedimento é, geralmente, tão conﬁável quanto o algoritmo de
Fedorov original em encontrar o delineamento ótimo, mas pode ser até duas vezes
mais rápido.
No KL-EA (KL-exchange algorithm), proposto por Atkinson & Donev (1989), um ponto f (xk ), com k ≤ K ≤ n, do delineamento e um ponto f (xl ),
com l ≤ L ≤ N , dos candidatos são trocados se ∆(xk , xl ) for máximo. K corresponde a K pontos do delineamento com menor f ′ (xk )M−1 f (xk ), que é a variância
de predição do ponto k. L corresponde a L pontos dos N pontos candidatos com
maior f ′ (xl )M−1 f (xl ). Dessa forma, é escolhido retirar os pontos de maior variância
de predição e inserir os pontos de menor variância de predição. O processo de troca
para quando ∆(xk , xl ) é menor que um número escolhido pequeno e positivo. Quando
K = n e L = N , o KL-EA torna-se o algoritmo de troca original de Fedorov.
Para a busca de delineamentos utilizando os demais critérios de otimalidade, os algoritmos de troca de Cook & Nachtsheim (1989) e de Meyer & Nachtsheim
(1995) foram implementados e utilizados para encontrar delineamentos ótimos neste
30
trabalho. Estes algoritmos são versões modiﬁcadas do algoritmo de troca de Fedorov
(1972) e são chamados de algoritmo de troca por ponto (point-exchange) e algoritmo
de troca por coordenada (Coordinate-Exchange), respectivamente.
Seguem os passos do algoritmo de troca por ponto implementado.
Passo 1: Deﬁnir o modelo, o número k de fatores, o número n de observações do
experimento, os nı́veis de cada fator, os vetores de pesos W (critério A ponderado) e κ (critério composto) e o número v de tentativas do algoritmo.
Passo 2: Criar a matriz de candidatos com todos os pontos xi possı́veis.
Passo 3: Criar um delineamento inicial (não singular) aleatoriamente.
Passo 4: Calcular M, |M|, M−1 e o valor do critério composto para o delineamento
inicial.
Passo 5: Realizar uma troca por ponto (linha), ou seja, ﬁxa-se uma linha da matriz
X e troca-a por um ponto do conjunto candidato.
Passo 6: Atualizar |M| e M−1 pelas Equações (41), (43) e (44) e calcular o valor
do critério para este delineamento.
Passo 7: Se o valor do critério deste novo delineamento for maior do que o valor
do critério do delineamento anterior, faz a troca efetivamente, senão, volta
ao delineamento anterior. Retornar ao Passo 5 enquanto as trocas estiverem
produzindo melhores valores no critério do delineamento.
Passo 8: O delineamento encontrado é armazenado e uma nova busca é feita (retornar ao Passo 3) para que o valor do critério encontrado não seja um ótimo
local. O retorno ao Passo 3 é feito v vezes.
Para a versão do algoritmo de troca por coordenada, devemos desconsiderar o Passo 2, pois esta versão não necessita da matriz com os pontos candidatos
e as trocas realizadas no Passo 5 são realizadas por coordenadas e não por pontos.
3
METODOLOGIA
Este trabalho foi iniciado com o estudo dos novos critérios de otimali-
dade formulados por Gilmour & Trinca (2012) e com a análise do algoritmo de troca
de Fedorov (1972) e suas versões modiﬁcadas ao longo do tempo para a construção
de delineamentos ótimos. Posteriormente, duas versões do algoritmo de troca foram
implementadas em linguagem C juntamente com um novo critério para dar robustez
a perda de observações.
3.1
Robustez a perda de observações
Um problema comum na pesquisa estatı́stica experimental é o impacto
nos resultados da análise estatı́stica quando ocorre perda de observações durante a
experimentação. Se num experimento existir um grupo de observações mais inﬂuentes na análise que outros e se, por algum motivo alheio, algumas destas observações
forem perdidas, as consequências para a análise dos resultados do experimento podem ser drásticas, chegando até à impossibilidade de ajuste do modelo pré-deﬁnido
devido a não estimabilidade de alguns parâmetros. Mesmo não havendo perda de
observações, a presença de observações inﬂuentes no ajuste do modelo é indesejada,
já que estimativas comandadas por alguns poucos pontos levantam suspeitas sobre
o modelo ajustado.
Na literatura não há um critério de otimalidade que dê robustez a um
experimento em relação a perda de observações. A nossa proposta é buscar um delineamento ótimo, incluindo no critério de otimalidade uma propriedade para prevenir
que o delineamento inclua pontos inﬂuentes no ajuste do modelo. Uma medida razo-
32
avelmente simples de inﬂuência é dada pelos elementos da diagonal da matriz H, os
hii ’s (i = 1, . . . , n), conforme a Equação (12), pois estes elementos medem a inﬂuência
de cada observação no ajuste do modelo. De acordo com as propriedades da matriz H, o delineamento ideal, segundo este critério, apresentaria todos os elementos
iguais a p/n, já que são n elementos na diagonal e a soma deles é p. Assim, explo∑
ramos minimizar ni=1 (hii − p/n)2 , que signiﬁca minimizar a variabilidade dos hii ’s,
tornando-os próximos de p/n, e assim, minimizando a heterogeneidade da inﬂuência
de cada observação do experimento. Este critério será chamado de H-otimalidade
em referência à matriz H.
Combinando as quatro propriedades consideradas por Gilmour &
Trinca (2012) e reproduzidas na seção 2.3.2, o critério D pela sua importância e
o critério H proposto nesta pesquisa, cada um associado a um peso de prioridade
de análise dado pelo vetor κ = (κ1 , κ2 , κ3 , κ4 , κ5 , κ6 )′ , propomos o novo critério composto
′
κ1 +κ4 (
)
X Q0 X p−1 n − d κ3
] κ26 ,
[
]κ4 [
]κ5 [
]κ2 +κ5 [ ∑n
′
−1
2
F(1−α1 ;p−1;d)
F(1−α2 ;1;d)
tr{W(X Q0 X) }
i=1 (hii − p/n) + δ
(28)
em que Q0 = I− n1 11′ , de forma que o critério considera o intercepto do modelo como
parâmetro de perturbação e sem prioridade de estimação e δ foi ﬁxado em 10−6 para
evitar problemas numéricos no caso de encontrar o delineamento ideal em relação ao
critério H.
3.2
Implementação do algoritmo de troca
Como foi visto na Equação (28), é necessário calcular o determinante e
a inversa da matriz de informação para obter o valor do critério do delineamento que
estamos buscando. Sabe-se que a eﬁciência computacional destes cálculos depende
da dimensão da matriz. No caso, a matriz de informação, M = X′ X, tem dimensão
p × p. Se o modelo escolhido tiver muitos parâmetros, ou seja, se p for grande, o
tempo gasto para realizar o cálculo do determinante e da inversa de M será grande.
33
Então, há a necessidade de uma forma alternativa para realizar estes cálculos para
solucionar este problema. Pelas propriedades da matriz M, é possı́vel constatar
que ela é simétrica deﬁnida positiva e, por isso, é possı́vel calcular |M| e M−1 pelo
Método de Cholesky.
De acordo com Seber (2007) o Método de Cholesky, também conhecido
como Decomposição de Cholesky por decompor uma matriz na multiplicação de
outras duas, é aplicável em uma matriz M simétrica deﬁnida positiva de dimensão
p × p. A decomposição é dada por
M = G′ G = G1 G′1
(29)
na qual G tem dimensão p × p e é uma matriz triangular superior com elementos
da diagonal principal não negativos, assim como G1 . Os passos para a realização da
Decomposição de Cholesky são descritos a seguir, sendo gij elementos da matriz G
e mij elementos da matriz M, com i, j = 1, . . . , p.
Passo 1: Determine
g11 = (m11 )1/2
m1j
g1j =
(j = 2, 3, . . . , p)
g11
(30)
Passo 2: Para i = 2, 3, ..., p − 1 determine
gij = 0
(
gii =
(j = 1, 2, . . . , i − 1)
)1/2
i−1
∑
2
mii −
gki
mij −
gki gkj
(j = i + 1, . . . , p)
gii
Passo 3: Determine
(
gpp =
(32)
k=1
i−1
∑
k=1
gij =
(31)
mpp −
p−1
∑
k=1
(33)
)1/2
2
gki
.
(34)
34
Encontrada a matriz G, o cálculo do determinante de M é simples e dado por
|M| = g11 · g22 · . . . · gpp
(35)
Como podemos escrever M = G′ G, a matriz inversa de M é dada por
M−1 = G−1 (G′ )−1 = TT′ ,
(36)
onde T é triangular superior. A partir de GT = Ip , temos que T é dada por
tii = gii−1
(i = 1, . . . , p)
tij = 0
(i > j)
j
∑
gik tkj
tij =
k=i+1
gii
(37)
(38)
(j = i + 1, . . . , p)
(39)
Encontrada a matriz T, basta utilizar a Equação (36) para calcular a inversa da
matriz de informação.
O algoritmo de troca percorre a matriz X várias vezes trocando os
elementos dela por outros elementos e veriﬁca se o valor do critério dado pela Equação
28 melhorou. A cada troca que o algoritmo efetua na matriz X é necessário recalcular
|M| e M−1 para obter o valor do critério e decidir se o novo delineamento com a
troca efetuada é melhor do que o delineamento anterior. O número de trocas depende
do número N de tratamentos possı́veis e também do número n de observações do
experimento. Assim, caso o pesquisador tenha um experimento grande e com muitos
tratamentos, o desempenho computacional do algoritmo de troca não é bom, pois
haveria demora para recalcular muitas vezes o determinante e a inversa da matriz
de informação, já que seria necessário fazer pelo menos N n trocas. Para solucionar
este problema, é possı́vel fazer uma atualização do determinante e da inversa de
M após cada troca, sendo necessário o uso do Método de Cholesky apenas para
calcular o determinante e a inversa da matriz de informação do delineamento gerado
aleatoriamente no inı́cio do algoritmo.
35
3.2.1
Atualização do determinante e da matriz inversa
Alguns resultados de álgebra das matrizes que podem ser encontrados
em Searle (1982) são utilizados para realizar a atualização do determinante e da
inversa da matriz M. Podemos dizer que a matriz X é formada por n vetores f ′ (xi ),
i = 1, . . . , n. Estes n vetores constituem um conjunto de n pontos de Rp . São n
pontos que formam a matriz X, porém são N pontos candidatos existentes. Assim,
o vetor f ′ (x) pertencente ao conjunto de pontos candidatos é inserido na matriz X
e o vetor f ′ (xi ) é retirado, efetuando a troca de pontos no delineamento. Como é
necessário incluir o vetor f ′ (x) na matriz X, nós temos
|M + f (x)f ′ (x)| = |M|(1 + f ′ (x)M−1 f (x))
(40)
(M + f (x)f ′ (x))−1 = M−1 + wuu′
(41)
e
em que w = −1/(1 + f ′ (x)M−1 f (x)) e u = M−1 f (x). Seja Mx = M + f (x)f ′ (x). Se
f ′ (xi ) é um vetor a ser removido da matriz X, nós temos
|Mx − f (xi )f ′ (xi )| = |Mx |(1 − f ′ (xi )M−1
x f (xi ))
(42)
′
(Mx − f (xi )f ′ (xi ))−1 = M−1
x − wi ui ui
(43)
e
−1
na qual wi = −1/(1 − f ′ (xi )M−1
x f (xi )) e ui = Mx f (xi ).
De (40) e (42) temos
|M + f (x)f ′ (x) − f (xi )f ′ (xi )|
= |M|(1 + f ′ (x)M−1 f (x))(1 − f ′ (xi )M−1
x f (xi ))
= |M|{1 + ∆(xi , x)},
em que ∆(xi , x) é a função de Fedorov já deﬁnida na Equação (27).
(44)
36
3.2.2
Algoritmo de troca por ponto e troca por coordenada
Duas versões modiﬁcadas do algoritmo de troca de Fedorov (1972)
foram implementadas em linguagem C na plataforma Windows. Estas versões modiﬁcadas são chamadas de troca por ponto (point-exchange), vide em Cook & Nachtsheim (1989) e troca por coordenada (Coordinate-Exchange), vide em Meyer
& Nachtsheim (1995) e foram descritas na Seção 2.3.3. O algoritmo CoordinateExchange é dito ser mais eﬁciente em termos de tempo de execução, pois as trocas
são feitas por coordenadas e não por pontos, dispensando a lista de candidatos,
que pode ser muito grande dependendo do número de tratamentos do experimento.
As trocas de coordenadas podem ocorrer por linhas ou por colunas, porém, neste
trabalho elas ocorrem por colunas.
4
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Para investigar o potencial do novo critério de otimalidade, apresen-
tamos quatro exemplos, sendo que para um deles Gilmour & Trinca (2012) já produziram alguns delineamentos, considerando vários critérios unidimensionais e compostos. Para encontrar os delineamentos são especiﬁcados o modelo polinomial de
interesse, o número de fatores e seus nı́veis e o número de observações do experimento.
Foram explorados critérios compostos incluindo o critério H para que fosse possı́vel
avaliar a robustez dos delineamentos encontrados em relação à perda de observações
proporcionado por este novo critério. Como visto na Equação 28, é necessário deﬁnir
o vetor κ = (κ1 , κ2 , κ3 , κ4 , κ5 , κ6 )′ , em que cada elemento corresponde ao peso de importância de uma das propriedade que formam o critério composto. Embora os pesos
sejam escolhidos de forma a reﬂetir a importância relativa de suas respectivas propriedades, buscando delineamentos apropriados para objetivos especı́ﬁcos, essa escolha
é subjetiva e imprecisa, forçando o pesquisador testar conﬁgurações diferentes dos
pesos e avaliar os delineamentos resultantes para decidir qual utilizar.
Outra questão a ser considerada é a sensibilidade dos pesos. O algoritmo pode, com uma pequena mudança nos pesos, encontrar o mesmo delineamento
ou delineamentos com a mesma eﬁciência. Há intervalos de valores para os pesos que
fazem o algoritmo buscar delineamentos com mesma eﬁciência, ou seja, é possı́vel
estabelecer intervalos de valores para os pesos que impactam da mesma forma a
busca do delineamento. O gráﬁco apresentado na Figura 4 ilustra a sensibilidade da
eﬁciência de delineamentos encontrados com a variação dos pesos utilizando critérios
compostos (DP e H), 16 observações, três fatores cada um com três nı́veis e supondo
um modelo com os seguintes parâmetros: intercepto, três efeitos lineares, três efeitos
38
quadráticos e três interações de segunda ordem (n = 16; k = 3; p = 10). Conforme
o peso da propriedade DP aumenta, o peso da propriedade H diminui de tal forma
que a soma seja sempre 1.
Figura 4 - Comportamento da eﬁciência de delineamentos ótimos com a variação no
peso da propriedade DP .
Cada patamar no gráﬁco indica o intervalo de valores para os pesos
que produzem delineamentos com as mesmas propriedades em termos de DP e H.
Desta forma, observamos que o critério composto apresenta estabilidade em relação
às alterações nos pesos.
A versão do algoritmo de troca utilizada para encontrar os delineamentos em cada exemplo foi a de Meyer & Nachtsheim (1995), o Coordinate-Exchange
39
(Troca de Coordenada). Para efeito de comparação do tempo de busca do algoritmo de troca entre duas plataformas computacionais (R e linguagem C), ﬁzemos
uma simulação utilizando o critério DP com v = 100 (número de tentativas descrita
no Passo 1 da Seção 3.2.2) considerando o planejamento para um experimento com
n = 36, k = 4 e p = 15. Na implementação do algoritmo de troca no software R, o
tempo utilizado foi de 149, 43 segundos (aproximadamente 2, 5 minutos), enquanto
a execução da implementação do algoritmo em C levou 13, 15 segundos, ou seja, o
tempo de execução da implementação do algoritmo em C foi superior a 11 vezes o
tempo gasto pela execução da implementação em R.
Nas subseções 4.1 a 4.4 apresentamos os quatro exemplos em detalhes.
Para estabelecer diferenças e comparar os delineamentos em cada caso, as tabelas
apresentam o valor de hii de cada observação, os graus de liberdade para erro puro
(EP) e para falta de ajuste (FA) e eﬁciência (em porcentagem) do delineamento
em relação a cada propriedade, que é a razão entre o valor do critério do delineamento encontrado e o valor do critério do delineamento ótimo, ou seja, o melhor
delineamento encontrado sob o critério simples.
4.1
Exemplo 1
(n = 16; k = 3; p = 10)
Consideramos neste exemplo o planejamento para um experimento com
16 observações, três fatores cada um com três nı́veis e supondo o modelo com os
seguintes parâmetros: intercepto, três efeitos lineares, três efeitos quadráticos e três
interações de segunda ordem (n = 16; k = 3; p = 10). Na Tabela 3, os delineamentos I
e II são apresentados por Gilmour & Trinca (2012) e foram encontrados utilizando os
critérios D e DP , respectivamente. A representação geométrica dos delineamentos
encontrados neste exemplo pode ser visto a seguir na Figura 5. Como usual, os
delineamentos ótimos não apresentam simetria na distribuição dos pontos na região
experimental. Podemos veriﬁcar facilmente que o delineamento II não é robusto à
perda de observações, pois se qualquer um dos pontos de ordem 7, 10, 11 ou 16
for perdido, a matriz de informação ﬁcará singular, ou seja, o experimento torna-
40
se inutilizável para o modelo. Os tratamentos deste delineamento tem apenas dois
valores distintos de hii (0, 500 e 1, 00), sendo que os pontos citados tem valor de hii
p
10
igual a 1. O valor ideal seria
=
= 0, 625. Para o delineamento I, há maior
n
16
diversidade para o valor de hii dos pontos, porém são menos dispersos em relação ao
valor 0, 625.
Utilizamos o critério H para encontrar o delineamento III apresentado
na Tabela 3. Analisando este resultado, podemos observar quatro valores distintos
para os hii : 0, 571; 0, 614; 0, 625 e 0, 644. A variabilidade destes valores é pequena
se comparado com os valores dos hii no delineamento II, mas este delineamento
não contém repetição de nenhum tratamento, não permitindo estimar erro puro (o
número de graus de liberdade para erro puro é zero). Notamos também as baixas
eﬁciências em relação as outras propriedades.
O delineamento IV apresentado na Tabela 3 foi encontrado utilizando a composição dos critérios DP e H, cada um com peso 0, 5, ou seja,
κ = (0; 0; 0; 0, 5; 0; 0, 5). O fato de compor o critério DP com o critério H para
a busca de um delineamento ótimo tornou o delineamento um pouco mais robusto à
perda de observações, pois neste delineamento, com a perda de um ponto, qualquer
que seja ele, ainda será possı́vel utilizar o experimento para estimar os parâmetros
do modelo, apesar da eﬁciência do critério H ainda ser considerada baixa (17, 77%).
Este delineamento permite 4 graus de liberdade para erro puro e 2 graus de liberdade
para falta de ajuste. O delineamento IV é composto de duas repetições do ponto
central do cubo, dois pontos do vértice do cubo com duas repetições cada, um ponto
de aresta com duas repetições e não contém pontos da face do cubo. Os tratamentos
deste delineamento tem quatro valores distintos de hii : 0, 482; 0, 500; 0, 729 e 0, 789.
O delineamento V neste exemplo foi encontrado pela composição dos
critérios DP , AP e H com o vetor de pesos κ = (0; 0; 0; 0, 4; 0, 4; 0, 2). Ele permite
5 graus de liberdade para erro puro e 1 grau de liberdade para falta de ajuste. Este
delineamento tem três pontos com duas repetições cada na face do cubo, dois pontos
com duas repetições cada no vértice do cubo e, assim como o delineamento II, não
gl (EP; FA)
DS -ef
AS -ef
(DP )S -ef
(AP )S -ef
H-ef
(0; 6)
100,00
100,00
0,00
0,00
18,20
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
−1
0
1
−1
1
−1
0
1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
−1
−1
0
1
1
−1
0
1
−1
−1
−1
0
0
1
1
1
X1 X2 X3
0, 843
0, 836
0, 651
0, 836
0, 710
0, 579
0, 579
0, 563
0, 631
0, 462
0, 622
0, 462
0, 535
0, 622
0, 535
0, 534
hii
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
−1
−1
1
−1
−1
1
0
1
1
−1
−1
1
(6; 0)
83,09
66,52
100,00
85,10
11,14
−1
−1
0
0
1
1
1
−1
−1
0
1
−1
−1
0
0
1
X1 X2 X3
II
I
i
(DP )S
DS ; AS
0, 500
0, 500
0, 500
0, 500
0, 500
0, 500
1, 000
0, 500
0, 500
1, 000
1, 000
0, 500
0, 500
0, 500
0, 500
1, 000
hii
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
−1
1
−1
0
1
−1
1
−1
1
−1
0
1
−1
1
−1
1
(0; 6)
60,99
23,22
0,00
0,00
100,00
−1
−1
0
0
0
−1
−1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
X1 X2 X3
III
H
0, 644
0, 644
0, 614
0, 625
0, 614
0, 644
0, 644
0, 571
0, 571
0, 614
0, 625
0, 614
0, 644
0, 644
0, 644
0, 644
hii
0
0
IV
0
0, 5
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
−1
−1
0
1
−1
0
0
−1
−1
1
1
−1
1
1
(4; 2)
92,58
82,16
76,14
81,64
17,77
−1
−1
0
0
1
1
−1
0
0
1
−1
−1
−1
1
1
1
0, 5
0, 729
0, 789
0, 500
0, 500
0, 729
0, 789
0, 729
0, 500
0, 500
0, 729
0, 789
0, 482
0, 482
0, 789
0, 482
0, 482
hii
0


0
0
V
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
−1
−1
1
0
0
−1
1
1
1
0
0
−1
1
−1
1
1
(5; 1)
93,03
86,27
96,17
100,00
13,38
−1
−1
−1
0
0
1
1
0
0
1
1
−1
−1
1
1
1


0, 463
0, 463
0, 858
0, 500
0, 500
0, 858
0, 858
0, 500
0, 500
0, 500
0, 500
0, 858
0, 858
0, 858
0, 463
0, 463
hii
0, 4 0, 4 0, 2
D A GL DP AP H
X1 X2 X3
κ=

Critério Composto
D A GL DP AP H
X1 X2 X3
κ=

Tabela 3: Delineamentos com modelo com efeitos principais, quadráticos e interações 2 a 2 (n = 16; k = 3; p = 10)
41
42
Figura 5 - Representação geométrica dos 5 delineamentos construı́dos no Exemplo 1.
tem ponto central. Da mesma forma que o delineamento IV, este delineamento é
robusto a perda de observações, pois com a perda de um ponto, qualquer que seja
ele, a matriz de informação referente ao delineamento não é singular, permitindo
estimar os parâmetros do modelo. Os tratamentos deste delineamento tem três
valores distintos de hii : 0, 463; 0, 500 e 0, 858.
Com o propósito de comparar os delineamentos ótimos encontrados
neste exemplo e os delineamentos Central Composto e Box-Behnken para a região cuboidal, calculamos e apresentamos na Tabela 4 a eﬁciência destes dois delineamentos
em relação às propriedades que estamos utilizando. Em suma, estes delineamentos
43
Tabela 4: Eﬁciência do DCC e DBB comparado com um delineamento ótimo
DCC
DBB
Delineamento IV
(1; 5)
(3; 3)
(4; 2)
DS -ef
93,15
74,94
92,58
AS -ef
90,75
66,34
82,16
(DP )S -ef
1,90
42,08
76,14
(AP )S -ef
4,31
50,18
81,64
H-ef
12,38
11,14
17,77
gl
(EP; FA)
clássicos tem eﬁciência baixa para os critérios DP , AP e H. Notamos que o DCC é
eﬁciente em termos dos critérios DS e AS , porém, com eﬁciência similar obtemos o
delineamento IV, que apresenta mais graus de liberdade para erro puro.
4.2
Exemplo 2
(n = 24; k = 4; p = 11)
Consideramos neste segundo exemplo o planejamento para um experimento com 24 observações, 4 fatores cada um com dois nı́veis e supondo o modelo
com os seguintes parâmetros: intercepto, quatro efeitos lineares e seis interações de
segunda ordem (n = 24; k = 4; p = 11). Na Tabela 5, o delineamento I é D-ótimo,
A-ótimo e AP -ótimo. Este delineamento permite 8 graus de liberdade para erro
puro e 5 para falta de ajuste e a eﬁciência do critério H é de apenas 11, 11%. Neste
delineamento existem apenas dois valores distintos de hii : 0, 396 e 0, 583, sendo que
p
11
≃ 0, 4583.
o valor ideal seria =
n
24
O critério DP foi utilizado para a construção do delineamento II. Este
delineamento permite 11 graus de liberdade para erro puro e 2 para falta de ajuste.
A menor eﬁciência é de 63, 81% referente ao critério H. Os quatro valores distintos
de hii são: 0, 393; 0, 443; 0, 473 e 0, 557.
Para a construção do delineamento III, o critério H foi utilizado. Pode
ser observado neste delineamento que há duas repetições para cada ponto, permitindo
44
12 graus de liberdade para erro puro e apenas 1 para falta de ajuste. Existem apenas
dois valores distintos de hii : 0, 4375 e 0, 5000.
O delineamento IV foi encontrado a partir de um critério composto
pela eﬁciência em termos de graus de liberdade e DP -otimalidade com os pesos
0, 2 e 0, 8, respectivamente. Este delineamento não é ótimo para nenhum critério
unidimensional, porém tem uma eﬁciência alta para todos, exceto para o critério H
e ele permite 10 graus de liberdade para erro puro e 3 para falta de ajuste. Dos 5
delineamentos deste exemplo, este é o que tem mais tratamentos com valores distintos
de hii : 0, 388; 0, 435; 0, 441; 0, 458; 0, 554; 0, 592 e 0, 634.
O delineamento V foi encontrado a partir de um critério composto por
DP -otimalidade, AP -otimalidade e H-otimalidade com o peso 1/3 para cada um
deles. Este delineamento tem eﬁciência alta para todos os critérios separadamente e
para o critério H ele é ótimo. Assim como o delineamento III, existem apenas dois
valores distintos de hii no delineamento V: 0, 4375 e 0, 5000.
Os dois delineamentos que envolveram o critério H (III e V) são equivalentes em termos de uniformidade dos leverages, porém, através do uso do critério
composto, obtivemos um delineamento muito mais eﬁciente em termos das demais
propriedades, indicando que o critério H sozinho não discrimina bem possı́veis delineamentos diferentes.
4.3
Exemplo 3
(n = 24; k = 4; p = 15)
Para este exemplo, consideramos o planejamento para um experimento
com 24 observações, 4 fatores cada um com três nı́veis e supondo o modelo com os
seguintes parâmetros: intercepto, quatro efeitos lineares, quatro efeitos quadráticos e
seis interações de segunda ordem (n = 24; k = 4; p = 15). Os delineamentos de I até
V são apresentados na Tabela 6 e os delineamento VI, VII e VIII são apresentados
na Tabela 7, sendo que na primeira estão os delineamentos que foram construı́dos
com critérios unidimensionais e na segunda tabela com critérios compostos. A média
p
15
dos hii para este exemplo é
=
= 0, 625. Conforme esperado, a eﬁciência em
n
24
gl (EP; FA)
DS -ef
AS -ef
(DP )S -ef
(AP )S -ef
H-ef
0, 583
0, 583
1
−1
−1
1
−1
1
−1
−1
−1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
hii
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
1
1
−1
1
−1
(8; 5)
100,00
100,00
93,90
100,00
11,11
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
1
1
1
−1
−1
1
1
0, 396
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
0, 396
0, 396
0, 396
0, 583
0, 396
0, 396
0, 396
0, 396
0, 583
0, 583
0, 396
0, 396
0, 396
0, 396
0, 583
0, 396
0, 396
0, 583
0, 583
0, 396
0, 396
−1
−1
−1
−1
−1
X2
X1
X4
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X2
1
1
−1
−1
1
1
1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
X4
(11; 2)
90,79
79,49
100,00
87,25
63,81
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
X3
II
I
X3
(DP )S
DS ; AS ; (AP )S
hii
0, 443
0, 443
0, 473
0, 473
0, 443
0, 443
0, 443
0, 443
0, 557
0, 473
0, 473
0, 557
0, 393
0, 393
0, 443
0, 443
0, 473
0, 473
0, 443
0, 443
0, 473
0, 473
0, 443
0, 443
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X2
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
X4
(12; 1)
76,18
36,75
86,96
41,17
100,00
1
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
X3
III
H
hii
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
κ=

1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X2
0
0, 435
0, 435
−1
−1
0, 458
0, 592
0, 441
0, 441
0, 435
0, 435
0, 554
0, 388
0, 388
0, 435
0, 435
0, 441
0, 441
0, 592
0, 634
0, 435
0, 435
0, 388
0, 388
0, 458
0, 458
hii
0
0, 458
0


1
1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
1
1
1
1
−1
−1
X4
(10; 3)
93,66
73,50
98,84
91,37
20,62
1
1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
X3
IV
0 0, 2 0, 8
D A GL DP AP H
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
κ=

1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X2
0
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
X3
V
0
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
X4


0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 4375
0, 5000
0, 5000
0, 4375
0, 4375
hii
1/3 1/3 1/3
(12; 1)
87,51
85,30
99,89
82,34
100,00
0
D A GL DP AP H
Critério Composto
Tabela 5: Delineamentos com modelo com efeitos lineares e interações 2 a 2 (n = 24; k = 4; p = 11)
45
46
relação ao critério H é alta nos delineamentos que tem os valores de hii próximos de
0, 625.
O delineamento I foi construı́do utilizando o critério D em sua busca.
Ele não permite grau de liberdade para erro puro (não tem repetição de nenhum
tratamento) e permite 9 graus para falta de ajuste, então, a eﬁciência em termos dos
critério DP e AP é zero. A eﬁciência em relação ao critério H é 31, 69%. Assim
como este delineamento, o delineamento II, que foi construı́do a partir do critério A,
também não possui repetições de tratamentos. A eﬁciência em termos do critério H
também é baixa, com 25, 45%.
O critério DP foi utilizado na busca do delineamento III. Este delineamento permite 9 graus de liberdade para erro puro e 0 para falta de ajuste. A
eﬁciência em relação ao critério H é baixa, apenas 10, 17%, pois os valores de hii são
bastante dispersos do valor ideal para hii , que é 0, 625. Os valores da eﬁciência deste
delineamento são parecidos com os valores da eﬁciência do delineamento IV, que foi
construı́do a partir do critério AP . Os graus de liberdade para erro puro e falta de
ajuste permitidos pelo delineamento IV são, respectivamente, 7 e 2. Os valores de
hii também são muito dispersos em relação a 0, 625, resultando em baixa eﬁciência
em termos do critério H, somente 13, 46%.
O delineamento V, construı́do com o critério H não tem tratamentos
repetidos, não permitindo grau de liberdade para erro puro, permite 9 graus de
liberdade para falta de ajuste e tem eﬁciência de 0, 00% para os critério DP e AP .
Como este delineamento é H-ótimo, os valores dos hii são muito próximos de 0, 625.
Obtemos o delineamento VI através dos critérios DP e H compostos
com peso 0, 5 para cada um. Este delineamento permite 5 graus de liberdade para
erro puro e 4 graus de liberdade para falta de ajuste e, mesmo considerando o critério
H no critério composto, a eﬁciência em termos dele é baixa, com apenas 19, 22%.
Os critérios D e H foram utilizados para construir o delineamento
VII com os pesos 0, 2 e 0, 8, respectivamente. É possı́vel observar a eﬁciência do
delineamento encontrado para o critério D de 71, 39% e para o critério H de 79, 39%,
gl (EP; FA)
DS -ef
AS -ef
(DP )S -ef
(AP )S -ef
H-ef
1
0
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
0
0
1
1
1
1
1
−1
0
1
1
−1
−1
−1
−1
0
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
hii
(0; 9)
100,00
98,44
0,00
0,00
31,69
1
1
0, 572
−1
1
0, 572
1
−1
0, 674
0, 667
−1
−1
0, 685
0
0, 626
0, 711
0, 711
0
1
−1
1
0, 724
0, 541
−1
−1
0, 541
1
−1
0, 622
0, 685
0, 720
0, 720
0, 575
0, 575
0, 512
0, 541
0, 541
0, 674
0, 572
0, 572
0, 667
1
0
0
1
−1
0
−1
−1
1
1
−1
1
−1
X4
1
0
0
−1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
−1
X3
X2
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
X2
1
1
1
1
0
−1
−1
−1
−1
1
1
0
1
−1
−1
1
1
1
0
0
−1
−1
−1
−1
1
−1
1
−1
0
1
−1
1
−1
−1
(0; 9)
99,59
100,00
0,00
0,00
25,45
1
1
−1
−1
0
1
1
−1
−1
1
1
1
−1
0
0
1
−1
0
−1
1
1
−1
−1
1
1
0
X4
−1
1
−1
1
0
−1
1
−1
1
0
−1
−1
X3
II
I
X1
A
D
interações 2 a 2 (n = 24; k = 4; p = 15)
hii
0, 728
0, 568
0, 585
0, 728
0, 768
0, 611
0, 668
0, 694
0, 611
0, 517
0, 562
0, 552
0, 562
0, 518
0, 518
0, 676
0, 676
0, 695
0, 686
0, 686
0, 797
0, 558
0, 478
0, 558
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
1
1
1
0
0
−1
−1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
1
1
0
0
0
0
−1
−1
−1
−1
X2
1
1
−1
(9; 0)
83,90
65,90
100,00
88,07
10,17
1
1
−1
−1
1
−1
1
1
1
−1
−1
1
0
0
−1
1
0
0
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
X4
1
1
−1
−1
−1
0
0
1
0
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
X3
III
DP
hii
0, 5
0, 5
1, 0
1, 0
1, 0
0, 5
0, 5
1, 0
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
1, 0
1, 0
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
1
1
0
0
0
0
−1
−1
−1
0
−1
−1
1
1
1
1
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
X2
hii
0, 984
0, 988
−1
0, 487
0, 487
0, 488
0, 488
0, 900
0, 496
0, 496
0, 771
0, 724
0, 731
0, 488
0, 488
0, 750
0, 875
0, 484
0, 484
0, 809
0, 444
0, 444
0, 750
0, 472
0, 472
1
1
1
−1
−1
−1
1
1
0
1
−1
1
1
0
−1
−1
−1
1
0
0
1
−1
−1
X4
(7; 2)
89,71
81,75
91,67
100,00
13,46
1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
−1
1
0
1
1
0
−1
1
1
−1
1
1
0
−1
−1
X3
IV
AP
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
−1
−1
−1
X1
1
1
1
1
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
0
1
1
−1
−1
0
0
−1
−1
X2
−1
1
−1
0
1
0
1
1
−1
1
−1
0
0
−1
0
1
1
−1
−1
−1
0
−1
−1
−1
X4
(0; 9)
60,99
23,22
0,00
0,00
100,00
1
0
0
−1
1
1
−1
1
1
0
0
−1
1
1
0
−1
−1
−1
1
−1
−1
−1
0
−1
X3
V
H
0, 652
0, 623
0, 600
0, 699
0, 597
0, 620
0, 605
0, 674
0, 600
0, 623
0, 638
0, 618
0, 629
0, 594
0, 605
0, 636
0, 644
0, 619
0, 622
0, 619
0, 633
0, 616
0, 661
0, 603
hii
Tabela 6: Delineamentos utilizando critérios unidimensionais na busca com modelo com efeitos principais, quadráticos e
47
gl (EP; FA)
DS -ef
AS -ef
(DP )S -ef
(AP )S -ef
H-ef
2 a 2 (n = 24; k = 4; p = 15)
−1
−1
1
−1
1
−1
−1
−1
1
1
−1
−1
0
0
0
1
1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
−1
−1
0
0
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
(5; 4)
89,35
75,97
69,20
78,07
19,22
1
1
1
1
0, 728
1
−1
0
0, 748
0
−1
0, 491
0, 491
0, 699
0, 766
−1
1
0, 494
0, 494
0, 496
0, 496
0, 740
0, 766
0, 712
0, 496
0, 496
0, 651
0, 681
0, 486
0, 486
0, 733
0, 729
0, 684
0, 699
hii
0, 5
0, 738
1
1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
0


1
0
1
0
−1
1
1
−1
0
−1
0
−1
X4
−1
−1
X3
0, 5
−1
VI
0
X2
0
−1
0
D A GL DP AP H
X1
κ=

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
κ=

1
1
1
0
0
0
0
−1
−1
−1
1
1
1
−1
−1
1
1
0
0
0
−1
−1
−1
−1
X2
0, 2 0
1
1
0
0
−1
(0; 9)
71,39
46,41
0,00
0,00
79,39
1
0
−1
1
1
1
−1
−1
−1
0
−1
−1
1
−1
0
0
1
−1
−1
−1
1
−1
1
1
0
−1
X4
0
1
0
−1
1
1
−1
1
−1
1
0
1
0
−1
0
−1
−1
−1
X3
VII
0
0


0, 579
0, 576
0, 636
0, 648
0, 652
0, 645
0, 615
0, 676
0, 604
0, 604
0, 644
0, 596
0, 636
0, 601
0, 626
0, 615
0, 620
0, 647
0, 633
0, 604
0, 661
0, 638
0, 667
0, 577
hii
0, 8
D A GL DP AP H
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
X1
κ=

1
1
1
1
1
0
−1
−1
−1
−1
1
0
−1
−1
1
1
1
0
1
1
−1
−1
−1
−1
X2
0

0, 683
0, 643
1
0, 665
−1
0, 490
0, 490
0, 633
0, 725
0, 719
0, 496
0, 496
0, 694
0, 735
0, 747
0, 738
0, 653
0, 670
0, 664
0, 662
0, 480
0, 480
0, 490
0, 490
0, 762
0, 695
hii
0, 4 0, 4

−1
1
1
1
0
1
−1
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
0
X4
0
(4; 5)
94,33
88,14
57,66
77,64
21,71
1
1
0
−1
−1
1
1
0
−1
−1
0
−1
1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
0
−1
X3
VIII
0 0, 2
D A GL DP AP H
Tabela 7: Delineamentos utilizando critérios compostos na busca com modelo com efeitos principais, quadráticos e interações
48
49
porém os critérios DP e AP tem 0, 00% de eﬁciência pelo fato do delineamento não
ter repetições de tratamentos, não permitindo graus de liberdade para erro puro.
Compondo os critérios de eﬁciência em termos de graus de liberdade,
AP e H com pesos 0, 2; 0, 4 e 0, 4, respectivamente, obtemos o delineamento VIII
na tentativa de obter mais graus de liberdade para erro puro e alta eﬁciência para o
critério H, porém existe uma diﬁculdade em encontrar delineamentos com destaque
para o critério H e, ao mesmo tempo, graus de liberdade para erro puro neste caso.
4.4
Exemplo 4
(n = 36; k = 4; p = 15)
Assim como em Ahmad & Gilmour (2010), utilizamos neste exemplo
o planejamento para um experimento com 36 observações, 4 fatores cada um com
três nı́veis e supondo o modelo quadrático completo (n = 36; k = 4; p = 15). Nove
delineamentos construı́dos por subconjuntos (seção 2.1.2) apresentados na Tabela
5 em Ahmad & Gilmour (2010) foram considerados neste exemplo para análise da
eﬁciência dos critérios de otimalidade. A Tabela 8 contém estes delineamentos juntamente com suas respectivas eﬁciências dos critérios de otimalidade D, A, DP , AP
e H e também seus respectivos graus de liberdade para erro puro e para falta de
ajuste.
p
15
=
= 0, 417. Obviamente, a
n
36
eﬁciência do critério H é alta para os delineamentos que tem hii próximo de 0, 417.
O valor ideal de hii nesta situação é
O delineamento S4 + 2S1 + 4S0 tem eﬁciência alta para os critérios D, A, DP e
AP , porém a eﬁciência do critério H é de apenas 6, 27%, indicando alta variação dos
valores de hii em torno do valor 0, 417 neste delineamento. Mantendo os pontos do
subconjunto S4 , retirando as repetições dos pontos do subconjunto S1 e acrescentando
mais 8 repetições do ponto central, temos o delineamento S4 +S1 +12S0 , apresentado
na Tabela 8, que tem, para os cinco critérios avaliados, menor eﬁciência se comparado
ao primeiro delineamento. Ambos delineamentos permitem 11 graus de liberdade
para erro puro e 10 para falta de ajuste.
O delineamento S2 + S1 + 4S0 tem repetições apenas do ponto central,
50
Tabela 8: Eﬁciência dos delineamentos apresentados em Ahmad & Gilmour (2010)
Delineamento
gl
(EP; FA)
DS -ef
AS -ef
(DP )S -ef
(AP )S -ef
H-ef
S4 + 2S1 + 4S0
(11; 10)
80,27
75,03
70,99
75,46
6,27
S4 + S1 + 12S0
(11; 10)
68,31
59,15
60,41
59,50
4,91
S2 + S1 + 4S0
(3; 18)
43,08
30,21
11,97
14,53
7,86
S3 + 4S0
(3; 18)
90,82
87,01
25,24
41,86
21,84
S4 + 21 S3 + 4S0
(3; 18)
98,57
92,92
27,39
44,70
14,13
S4 + 21 S4III + S1 + 4S0
(11; 10)
86,52
70,97
76,51
71,39
10,27
S4 + 12 S4IV + S1 + 4S0
(11; 10)
85,74
70,37
75,82
70,78
9,15
1 III
S
2 4
+ S2 + 4S0
(3; 18)
73,21
60,37
20,35
29,04
8,26
1 IV
S
2 4
+ S2 + 4S0
(3; 18)
67,49
48,14
18,76
23,16
11,23
permitindo 3 graus de liberdade para erro puro e 18 para falta de ajuste. A eﬁciência
para os critérios D, A, DP e AP são baixas se comparado com os delineamentos
S4 + 2S1 + 4S0 e S4 + S1 + 12S0 , porém, apesar de ainda ser baixa, a eﬁciência para
o critério H é maior (7, 86%). Com os mesmos graus de liberdade para erro puro e
falta de ajuste, os delineamentos S3 + 4S0 e S4 + 12 S3 + 4S0 tem eﬁciência alta para
os critérios D e A, porém, para os critérios DP e AP a eﬁciência é baixa, o que
também ocorre para o critério H.
O delineamento S4 + 12 S4III + S1 + 4S0 foi construı́do com os pontos pertencentes ao subconjunto S4 , repetindo metade destes pontos respeitando
a Resolução III (ver Seção 2.1.2), para o qual utilizamos o contraste deﬁnidor
X4 = X1 X2 X3 juntamente com os pontos do subconjunto S1 e 4 repetições do ponto
central, permitindo 11 graus de liberdade para erro puro e 10 para falta de ajuste. Já
o delineamento S4 + 12 S4IV +S1 +4S0 difere do anterior apenas nas repetições dos pontos da fração do subconjunto S4 , que foram escolhidos segundo a Resolução IV, para
o qual Ahmad e Gilmour utilizaram o contraste deﬁnidor X1 X2 X3 X4 = I. Ambos
delineamentos são parecidos em relação aos valores das eﬁciências dos critérios.
51
As Resoluções III e IV são utilizadas para a escolha da fração dos
pontos do subconjunto S4 nos delineamentos 12 S4III + S2 + 4S0 e 12 S4IV + S2 + 4S0 ,
respectivamente. Para completar estes delineamentos, são selecionados os pontos do
subconjunto S2 juntamente com 4 repetições do ponto central. É possı́vel notar que
há uma diferença sutil entre os valores das eﬁciências de cada delineamento. Ambos
permitem 3 graus de liberdade para erro puro e 18 para falta de ajuste e, desta
forma, não são muito eﬁcientes em termos dos critério DP e AP .
A Tabela 9 apresenta 3 delineamentos encontrados utilizando o critério
DP e outros dois compostos. O delineamento I, construı́do utilizando o critério DP
possui 16 tratamentos distintos com duas repetições cada mais o ponto central com
três repetições, além de um ponto que não se repete. Dessa forma, permite 18
graus de liberdade para erro puro e 3 para falta de ajuste (o delineamento D-ótimo
encontrado para este exemplo permite apenas 4 graus de liberdade para erro puro,
apesar de n ser razoalmente grande). Os valores de hii estão entre 0,317 e 0,659,
o que deixa o delineamento com eﬁciência baixa para o critério H, apenas 21, 52%.
Para os outros critérios, a eﬁciência deste delineamento é alta.
O delineamento II foi encontrado compondo os critério DP e H, cada
um com peso igual a 0, 5. Este delineamento é também H-ótimo. Ele possui 12
pontos com duas repetições cada, fazendo com que permita ter 12 graus de liberdade para erro puro e 9 para falta de ajuste e eﬁciência alta para todos os critérios
separadamente (para o critério H ele é ótimo). Os valores de hii variam entre 0, 377
e 0, 447. Assim como este delineamento, o delineamento III, construı́do com a composição dos critérios DP e H, com pesos 0, 8 e 0, 2, respectivamente, tem eﬁciência
alta para todos os critérios separadamente. Este delineamento permite 14 graus
de liberdade para erro puro e 7 para falta de ajuste, já que possui 14 pontos com
duas repetições cada. Os valores de hii variam entre 0, 389 e 0, 457. Comparando
as eﬁciências destes dois delineamentos com as eﬁciências dos delineamentos construı́dos por subconjuntos, observamos a ﬂexibilidade dos critérios compostos, capazes
de produzirem delineamentos com propriedades bastante atrativas.
52
Tabela 9: Delineamentos com modelo com efeitos principais, quadráticos e interações
2 a 2 (n = 36; k = 4; p = 15)
Critério Composto

(DP )S
H;
κ=
D A GL DP AP H
0
I
gl (EP; FA)
DS -ef
AS -ef
(DP )S -ef
(AP )S -ef
H-ef
0
0
0, 5
0



κ=

D A GL DP AP H
0
0, 5
0
II
X1
X2
X3
X4
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
0, 8
0

0, 2
III
hii
X1
X2
X3
X4
hii
X1
X2
X3
X4
hii
0
0, 413
−1
−1
−1
−1
0, 423
−1
−1
−1
−1
0, 426
−1
0
0, 413
−1
−1
−1
−1
0, 423
−1
−1
−1
−1
0, 426
0
−1
0, 659
−1
−1
1
1
0, 411
−1
−1
−1
1
0, 410
−1
1
1
0, 449
−1
−1
1
1
0, 411
−1
−1
−1
1
0, 410
−1
−1
1
1
0, 449
−1
0
−1
−1
0, 403
−1
−1
1
0
0, 422
−1
0
1
−1
0, 398
−1
0
0
0
0, 441
−1
−1
1
0
0, 422
−1
0
1
−1
0, 398
−1
0
1
1
0, 432
−1
−1
1
1
0, 457
−1
1
−1
−1
0, 444
−1
1
−1
1
0, 426
−1
0
0
0
0, 436
−1
1
−1
−1
0, 444
−1
1
−1
1
0, 426
−1
0
1
−1
0, 410
−1
1
−1
1
0, 484
−1
1
0
1
0, 420
−1
0
1
−1
0, 410
−1
1
−1
1
0, 484
−1
1
1
−1
0, 414
−1
1
−1
−1
0, 389
−1
1
1
0
0, 403
−1
1
1
−1
0, 414
−1
1
−1
−1
0, 389
−1
1
1
0
0, 403
−1
1
1
0
0, 401
−1
1
−1
1
0, 420
0
−1
−1
1
0, 418
0
−1
−1
1
0, 421
−1
1
−1
1
0, 420
0
−1
−1
1
0, 418
0
−1
−1
1
0, 421
−1
1
0
−1
0, 427
0
−1
1
−1
0, 379
0
−1
1
−1
0, 419
−1
1
1
1
0, 411
0
−1
1
−1
0, 379
0
−1
1
−1
0, 419
−1
1
1
1
0, 411
0
0
0
0
0, 317
0
−1
1
0
0, 377
0
−1
0
1
0, 418
0
0
0
0
0, 317
0
0
−1
0
0, 398
0
0
0
0
0, 444
0
0
0
0
0, 317
0
1
−1
−1
0, 422
0
0
1
1
0, 397
0
1
1
1
0, 402
0
1
−1
−1
0, 422
0
0
1
1
0, 397
0
1
1
1
0, 402
0
1
1
1
0, 429
0
1
1
−1
0, 409
1
−1
−1
−1
0, 462
0
1
1
1
0, 429
0
1
1
−1
0, 409
1
−1
−1
−1
0, 462
1
−1
−1
−1
0, 399
1
−1
−1
−1
0, 440
1
−1
0
1
0, 409
1
−1
−1
−1
0, 399
1
−1
−1
1
0, 430
1
−1
0
1
0, 409
1
−1
−1
0
0, 416
1
−1
−1
1
0, 430
1
−1
1
0
0, 381
1
−1
0
1
0, 447
1
−1
0
−1
0, 401
1
−1
1
0
0, 381
1
−1
1
1
0, 411
1
−1
1
−1
0, 395
1
0
1
1
0, 400
1
−1
1
1
0, 411
1
−1
1
−1
0, 395
1
0
1
1
0, 400
1
0
−1
1
0, 416
1
0
−1
0
0, 420
1
1
−1
−1
0, 345
1
0
0
−1
0, 405
1
1
−1
−1
0, 419
1
1
−1
−1
0, 345
1
1
−1
1
0, 420
1
1
−1
−1
0, 419
1
1
−1
1
0, 444
1
1
−1
1
0, 420
1
1
0
1
0, 430
1
1
−1
1
0, 444
1
1
0
−1
0, 403
1
1
0
1
0, 430
1
1
1
−1
0, 462
1
1
1
−1
0, 424
1
1
1
0
0, 412
1
1
1
−1
0, 462
1
1
1
−1
0, 424
1
1
1
0
0, 412
(18; 3)
94,55
84,84
100,00
93,65
21,52
(12; 9)
94,38
85,79
86,67
88,05
100,00
(14; 7)
91,32
74,39
89,04
78,79
84,63
5
CONCLUSÃO
Neste trabalho propomos a inclusão de uma propriedade que controla
a sensibilidade do delineamento à perda de observações na expressão de um critério
composto. A propriedade proposta foi o critério H, uma medida de variabilidade
dos valores da diagonal da matriz de projeção. Sua inclusão ampliou as alternativas
de critérios compostos, acrescentando a propriedade relacionada a robustez frente a
perda ou inﬂuência de observações, já que o uso de outros critérios sem o critério H
produz delineamento eﬁciente para os critérios, mas pode não apresentar robustez
a perda ou inﬂuência. Em geral, o novo critério composto produziu delineamentos
mais atrativos, com valores de leverages mais homogêneos e, portanto, mais robusto
à perda de observações, porém ﬁcou evidente em alguns casos que o uso deste critério
individualmente compromete a eﬁciência de outros critérios. Dessa forma, consideramos importante o uso do critério H composto com outros critérios, de acordo com
o objetivo do pesquisador, pois na prática a probabilidade de se perder observações
é razoável.
Outra conclusão é que alterando-se os pesos do vetor κ na expressão do
critério composto conseguimos moldar o delineamento de acordo com as propriedades
priorizadas. A eﬁciência dos delineamentos varia irregularmente com a alteração dos
pesos, podendo haver intervalos de valores para os pesos em que a eﬁciência do
delineamento permanece a mesma.
O algoritmo de troca implentado em linguagem C mostrou ser aproximadamente 11 vezes mais rápido do que o algoritmo de troca implementado no
software R, pois este software possui funções matemáticas pré deﬁnidas para abranger situações mais amplas, consumindo mais tempo na execução dos cálculos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AHMAD, T.; GILMOUR, S. G. Robustness of subset response surface designs to
missing observations. Journal of Statistical Planning and Inference, v.140,
p.92–103, 2010.
ATKINSON, A. C.; BAILEY, R. A. One hundred years of the design of experiments
on and oﬀ the pages of Biometrika. Biometrika, v.88, n.1, p.53–97, 2001.
ATKINSON, A. C.; DONEV, A. N. The construction of exact D-optimal designs
with application to blocking response surface designs. Biometrika, v.76, p.515–526,
1989.
ATKINSON, A. C.; DONEV, A. N.; TOBIAS, R. D. Optimum experimental
designs, with SAS. Oxford: Oxford University Press, 2007. 511p.
BAILEY, R. A. Design comparative experiments. Cambridge University Press,
2008. 348p.
BOX, G. E. P.; BEHNKEN, D. W. Some new three level designs for the study of
quantitative variables. Technometrics, v.2, n.4, p.455–475, 1960.
BOX, G. E. P.; DRAPER, N. R. Robust designs. Biometrika, v.62, n.1, p.347–352,
1975.
BOX, G. E. P.; DRAPER, N. R. Empirical model building and response
surfaces. New York: J. Wiley, 1987. 688p.
BOX, G. E. P.; HUNTER, J. S. The 2k−p fractional factorial designs. Part I. Technometrics, v.3, p.311–351, 1961a.
55
BOX, G. E. P.; HUNTER, J. S. The 2k−p fractional factorial designs. Part II.
Technometrics, v.3, p.449–458, 1961b.
BOX, G. E. P.; HUNTER, J. S.; HUNTER, W. G. Statistics for experimenters:
design, innovation, and discovery. New York: Wiley-Interscience, 2005. 664p.
BOX, G. E. P.; WILSON, K. B. On the experimental attainment of optimum condition. Journal of the Royal Statistical Society, v.13, n.1, p.1–45, 1951.
CHERNOFF, H. Locally optimal designs for estimating parameters. Annals of
Mathematical Statistics, v.24, p.586–602, 1953.
COCHRAN, W. G.; COX, G. M. Experimental designs. New York: Wiley, 1957.
COOK, R. D.; NACHTSHEIM, C. J. A comparison of algorithms for constructing
exact D-optimal designs. Technometrics, v.22, n.3, p.315–324, 1980.
COOK, R. D.; NACHTSHEIM, C. J. Computer-aided blocking of factorial and
response-surface designs. Technometrics, v.31, p.339–346, 1989.
COX, D. R. Planning of experiments. New York: Wiley, 1958.
DANIEL, C. Applications of statistics to industrial experimentation. New
York: Wiley, 1976. 564p.
DRAPER, N. R. Small composite designs. Technometrics, v.27, n.2, p.173–180,
1985.
DRAPER, N. R.; SMITH, H. Applied regression analysis. New York: Wiley,
1998. 736p.
EHRENFELD, E. On the eﬃciency of experimental design. Annals of Mathematical Statistics, v.26, p.247–255, 1955.
FARAWAY, J. J. Linear models with R. New York: Taylor e Francis Group,
2004. 240p.
56
FEDOROV, V. V. Theory of optimal experiments. Academic Press, 1972.
FINNEY, D. J. The fractional replication of factorial arrangements. Annal of
Eugenics, v.12, 1945.
FISHER, R. A. Statistical methods for research workers. Edinburgh: Oliver
and Boyd, 1925.
FISHER, R. A. The arrangement of ﬁeld experiments. Journal of the Ministry
of Agriculture, v.33, p.503–513, 1926.
FISHER, R. A. The design of experiments. London: Oliver and Boyd, 1935.
GILMOUR, S. G. Response surface designs for experiments in bioprocessing. Biometrics, v.62, p.323–331, 2006.
GILMOUR, S. G.; TRINCA, L. A. Optimum design of experiments for statistical
inference. Journal of the Royal Statistical Society, v.61, n.3, p.345–401, 2012.
HINKELMANN, K.; KEMPTHORNE, O. Design and analysis of experiments.
New York: Wiley-Interscience, 2005. 2v. 780p.
HINKELMANN, K.; KEMPTHORNE, O. Design and analysis of Experiments.
New York: Wiley-Interscience, 2008. 1v. 631p.
HOKE, A. T. Economical second order designs based on irregular fractions of the
3n factorial. Technometrics, v.16, p.375–384, 1974.
KEMPTHORNE, O. The design and analysis of experiments. New York: Wiley, 1952. 631p.
KIEFER, J. Optimal experimental designs (with discussion). Journal of the Royal
Statistical Society, v.21, n.2, p.272–319, 1959.
MEAD, R.; GILMOUR, S. G.; MEAD, A. Statistical principles for the design
of experiments. Cambridge, 2012. 586p.
57
MEYER, R. K.; NACHTSHEIM, C. J. The coordinate-exchange algorithm for constructing exact optimal experimental designs. Technometrics, v.37, n.1, p.60–69,
1995.
MILLER, A. J.; NGUYEN, N. A review of some exchange algorithms for constructing
discrete D-optimal designs. Computational Statistics and Data Analysis, v.14,
p.489–498, 1992.
MITCHELL, T. J. An algorithm for the construction of D-optimal designs. Technometrics, v.20, p.203–210, 1974.
MONTGOMERY, D. C. Design and analysis of experiments. New York: J.
Wiley, 2001. 683p.
R CORE TEAM. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2013.
SAS INSTITUTE INC. SAS/IML User’s Guide, Version 9.2. SAS Institute
Inc., Cary, NC, 2007.
SEARLE, S. R.
Matrix algebra useful for statistics. New York: Wiley-
Interscience, 1982. 464p.
SEBER, G. A. F. A matrix handbook for statisticians. New Jersey: WileyInterscience, 2007. 559p.
WALD, A. On the eﬃcient design of statistical investigations. Annals of Mathematical Statistics, v.14, n.2, p.134–140, 1943.
WU, C. F. J.; HAMADA, M. S. Experiments: Planning, Analysis, and Optimization. New Jersey: Wiley, 2009. 716p.
YATES, F. The design and analysis of factorial experiments. Imperial Bureau of
Soil Science Technical Communication, v.35, 1937.