3 - Blocos Casualizados, Quadrado Latino
e Outros Delineamentos
3 -1 Delineamento em blocos completos casualizados
Um fator de perturbação (nuisance factor) é um fator que provavelmente tem um efeito sobre a
resposta, mas o pesquisador não está interessado neste efeito. Quando este efeito é conhecido e
controlável, então pode-se usar a técnica de blocagem para eliminar esse efeito da comparação
entre os tratamentos.
Blocos
72
Caso típico: julgador=bloco. Entre os blocos deve haver diferenças marcantes; dentro do bloco
deve haver homogeneidade. Geralmente, blocos é igual a repetições.
Exemplo. Suponha que uma pesquisadora deseja verificar se a potência e o tempo de
microondas produzem diferentes resultados para população de bactérias psicrotroficas
(ufc/cm2), obtidas de amostras (50 cm2) de carcaça de frangos resfriados. Os
tratamentos utilizados foram: 700 w e 2 minutos; 350 w e 1 minuto e o controle. A
pesquisadora decidiu usar seis repetições por tratamento e fazer as medições ao longo
de seis dias, desse modo, as repetições (blocos) são os dias. Como as unidades
experimentais provavelmente comportam-se de modo diferente nestes dias (mais calor,
menos calor, etc.), isto pode inflacionar o erro experimental. Assim, deseja-se remover
a variabilidade entre unidades do erro experimental. Para este fim, vamos usar cada
tratamento apenas uma vez em cada um dos 6 dias. Dentro do bloco (dias), a ordem de
aplicação dos tratamentos deve ser realizada de forma aleatória (por sorteio).
Este delineamento é mostrado na tabela a seguir.
73
Delineamento em blocos completos casualizados para dados de populações de
bactérias psicrotroficas (log de ufc/cm2)
Tratamentos
Blocos
Total Média
I
II
III
IV
V
VI
700 w / 2 min 14,60 15,01 14,15 15,07 15,07 15,46
89,37 14,89
350 w / 1 min 14,84 15,40 14,08 14,69 15,40 14,65
91,26 15,21
Controle
13,40 14,20 13,22 13,81 13,98 14,42
83,04 13,84
Total
42,85 44,61 41,45 43,57 44,45 44,54 261,47 14,53
74
Considerações sobre o gráfico:
 Apresenta variações entre blocos
 Em todos os blocos o controle foi o que apresentou a menor população de bactérias
 Há indicativo de interação entre blocos e tratamentos
3-1.1 Análise estatística
Bloco I
Bloco II
Bloco b
* a tratamentos;
y11
y21
.
.
.
ya1
y12
y22
.
.
.
ya2
. . .
y1b
y2b
.
.
.
yab
* b blocos;
* uma observação por bloco por
tratamento;
* é feita a casualização dentro de cada
bloco.
75
O modelo estatístico
y ij  μ  τ i  β j  ε ij
para i=1,2,...,a tratamentos
j=1,2,...,b blocos
 é a média geral
i é o efeito fixo do i-ésimo tratamento
j é o efeito fixo do j-ésimo bloco
ij é o erro aleatório. Assume-se que ij ~ NID(0,2)
Hipóteses:
H 0 : μ 1  μ 2  ...  μ a vs H a :μ i  μ j para i  j
Partição da soma de quadrados total corrigida é dada por:
 y
a
i 1
b
j1
 y ..   b y i.  y ..  a  y .j  y ..    y ij  y i.  y .j  y .. 
a
2
ij
b
2
i 1
a
b
i 1
j1
2
2
j1
S.Q.Total (corrigida) = S.Q Tratamentos + S.Q Blocos + S.Q.Erro
76
Fórmulas operacionais:
2
y
SQ T   y ij2  ..
N
i 1 j1
a
SQ Blocos
b
1 b 2 y ..2
  y .j 
a j1
N
1 a 2 y ..2
SQ Tratamento s   y i. 
b i1
N
SQ Erro  SQ T  SQ Blocos  SQ Tratamento s
Graus de liberdade:
Quadrados médios:
SQT
N-1
SQBlocos
b-1
SQTratamentos
a-1
SQErro
ab-1-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)
QMtratamentos 
SQtra ta m en to
s
a 1
77
Esperanças dos quadrados médios:
a
bτ
E(QMTratamento s )  σ 2 
2
i
i 1
a 1
b
E(QMBlocos )  σ 2 
a β 2j
j1
b 1
E(QMErro )  σ 2
Teste de igualdade de médias de tratamentos (Teste F)
QMTratamento s
F0 
QM Erro
Rejeita-se H0 se F0 > F,a-1,(a-1)(b-1)
Usar o valor p do teste (p-value).
78
Análise de variância para blocos completos casualizados
Causas de
Soma de
Graus de
Quadrado
F0
variação
quadrados liberdade
médio
Tratamentos SQTratamentos
a-1
SQTratamentos QMTratamentos / QMErro
a-1
Blocos
SQBlocos
b-1
SQBlocos
b-1
Erro
SQErro
(a-1)(b-1)
SQErro
(a-1)(b-1)
Total
SQT
N-1
Exemplo 3-1. Dados de população de bactérias psicrotroficas (log).
Arquivo: psicrotroficasblocoscasualizados.sas
Obtenção das somas de quadrados:
(266,47)2
SQ Total  (14,60  15,01  ...  14,42 ) 
 7,6147
18
1
(266,47)2
2
2
2
SQ Tratamento s  [(89,37)  (89,07)  (83,04) ] 
 4,2511
6
18
1
(266,67)2
2
2
SQ Blocos  [(42,85)  ...  (44,54) ] 
 2,6016
3
18
SQ Erro  7,6147 2,6016 4,2511 0,7620
2
2
2
79
Tabela da análise de variância
Causas de
Variação
Tratamentos
Blocos
Resíduo
Total
S.Q.
4,2511
2,6016
0,7620
7,6147
G.L.
2
5
10
17
Q.M.
F0
2,1256
0,5203
0,0762
27,90
Valor p
0,0001
Concluímos que devemos rejeitar a hipótese de igualdade entre as médias dos 3 tratamentos. O R 2 =
(SQModelo / SQT), para este modelo, vale 89,99%, isto indica que o modelo está muito bem ajustado
aos dados. O valor do coeficiente de variação foi igual a 1,90%, indicando ótima precisão.
Resíduos: eij
 yij  yˆ ij
yˆ ij  yi.  y.j  y..
Exemplo:
e11  14,60 14,89 14,28 14,53 0,04
eij  yij  yi.  y.j  y..
Comparações múltiplas: como o teste F da ANOVA foi significativo deve-se proceder as
comparações múltiplas. Se o fator for quantitativo usar regressão.
Todos os procedimentos discutidos para o delineamento IC podem aqui ser utilizados. Nas
fórmulas anteriores substitui-se o número de repetições, n, pelo número de blocos, b. Também
deve-se usar os graus de liberdade do erro para o BCC, (a-1)(b-1), ao invés de [a(n-1)], do
delineamento IC.
80
Teste de Tukey – a saída do statistica mostra os resultados.
Conclusão: a média do tratamento controle é diferente e menor do que as médias
dos tratamentos 350 w +1 min e 700 w + 2 min, ao nível de significância de 5%.
Não existe diferença significante entre os tratamentos 350 w +1 min e 700 w + 2
min, ao nível de significância de 5%, pelo teste de Tukey.
81
Diagnóstico do modelo:
1 - Normalidade.
2 - Heterogeneidade de variâncias (por tratamento e por bloco).
3 - Interação bloco e tratamento
4- Efeito do tempo
Gráfico normal de probabilidades (normal probability plot)
Não existe uma severa
indicação de falta de
normalidade.
Existe a indicação de um
valor discrepantte.
d26=-0,51167/0,2760
d26=-1,85
Não é valor discrepante.
82
Teste de Levene:
Blocos F=0,2745 p=0,9184
Trat/os F=0,0145 p=0,9856
DFFitS(i) - mede a alteração
provocada no valor ajustado
pela retirada da observação i
83
Se o padrão é curvilíneo indica
interação entre blocos e
tratamentos, nesse caso, pode-se
usar uma transformação (ln).
Teste de Tukey para verificar a
presença de interação.
Médias
Variâncias
1
14.2800
0.59520
2
14.8700
0.37470
3
13.8167
0.26823
4
14.5233
0.41773
5
14.8167
0.55223
6
14.8433
0.29843
Blocos
84
Análise de covariância para o delineamento em blocos ao acaso.


yij  μ  τi  β j  α xij  x  εij
85
3-1.3 Outros aspectos do delineamento em Blocos Completos Casualizados
1) Aditividade do modelo
No delineamento em blocos casualizados parte-se do pressuposto de que não existe interação
entre blocos e tratamento. Existe o Teste de Tukey para não-aditividade. Fazer o diagnóstico do
modelo. Comentar sobre Julgadores (Blocos).
Quando o pesquisador tem interesse em estudar os fatores e a interação entre eles, deve usar os
experimentos fatoriais.
2) Blocos aleatórios
Exemplos: seleção aleatória de escolas; ninhadas de ratos; julgadores; pacientes.
Interpretação: as comparações entre os tratamentos são válidas para toda a população de
blocos da qual aqueles utilizados no experimento foram aleatoriamente selecionados.
Dois modelos podem ser utilizados:
86
1 - Modelo Aditivo
yij  μ  τi  β j  εij
Esperanças dos quadrados médios:
E(QMBlocos )  σ 2  aσ β2
a
E(QMTratamento s )  σ 2 
bτ i
i1
a 1
E(QMErro )  σ 2
Teste F para tratamentos: QMTratamentos/QMErro
87
Exemplo. Oito provadores avaliaram o quanto gostavam ou desgostavam de três marcas
diferentes de salsichas usando a ficha 8 (estruturada mista – escala hedônica). Os resultados
foram:
Provador
Amostras
A
B
C
1
6
8
6
2
5
8
7
3
5
7
6
4
5
8
5
5
7
7
4
6
7
8
3
7
7
8
2
8
7
8
1
Total
49
62
34
Média
6,13
7,75
4,25
88
2 - Modelo com interação Blocos x Tratamentos
yij  μ  τi  β j  τβij  εij
Nas situações onde o efeito de blocos é aleatória e a interação blocos x tratamento
está presente, o teste para tratamentos não é afetado. A obtenção das somas de
quadrados e os graus de liberdade são calculados da forma usual. A diferença ocorre
nas esperanças dos quadrados médios.
Esperanças dos quadrados médios:
E(QMBlocos )  σ 2  aσ β2
E(QMTratamento s )  σ  σ
2
2
βτ
b a

τ

a  1 i1
2
i
E(QMBl.Tr )  σ 2  σ βτ2
Teste F para tratamentos: QMTratamentos/QMBl.Tr
89
3) Determinação do tamanho da amostra ou número de blocos
Utiliza-se as mesmas técnicas discutidas para o delineamento inteiramente casualizado.
Tratamentos de efeito fixo: as CCO podem ser usadas com,
a
 
2
b τ
i 1
aσ 2
2
i
bD2
ou  
2aσ 2
2
Com (a-1) graus de liberdade no numerador e (a-1)(b-1) gl no denominador.
Tratamentos de efeito aleatório: usamos as CCO com,
bσ τ2
λ  1 2
σ
Com (a-1) graus de liberdade no numerador e (a-1)(b-1) gl no denominador.
Exemplo: dados de população de bactérias psicrotroficas. Vamos considerar que a
pesquisadora deseja detectar uma diferença de 1 (no log) entre as médias com uma alta
probabilidade, por exemplo, 95%. De um experimento anterior sabe-se que a estimativa de 2
é igual a 0,10.
90
CCO para (a-1)=(3-1)=2 e (a-1)(b-1) g.l. e =0,05
b
(a-1)(b-1)
2


5
8,4
2,9
8
0,04
4
6,7
2,6
6
0,10
(1-)
0,96
0,90
A pesquisadora deve usar b=5 blocos.
Método do intervalo de confiança
Exemplo: dados de pop. de psicrotroficas. A pesquisadora deseja construir intervalos de
confiança para a diferença entre duas médias de populações de bactérias com precisão
(metade do intervalo de confiança)de 0,5 (no log), com confiança de 95%. Tem-se uma
estimativa de 2=0,10.
Para b=5, a precisão do intervalo é dada por:
 2,306 2
0,10
 0,4612
5
Para b=4, a precisão do intervalo é dada por:
 2,447 2
0,10
 0,5471
4
A pesquisadora deve usar b=5 blocos.
91
3-2 Delineamento Quadrado Latino
Este delineamento utiliza um duplo bloqueamento. Deseja-se controlar duas fontes de
variabilidade, portanto vamos ter duas restrições na casualização.
C
O
L
U
N
A
S
L
I
N
H
A
S
92
Exemplo: um pesquisador está estudando o efeito de 4 tratamentos (A, B, C e D), sobre o
aroma (escala hedônica de 7 pontos) de um legume. Foram utilizados 4 julgadores,
provavelmente existe diferenças (exemplo: experiência, capacidade) entre os mesmos. Além
disso, foram utilizadas 4 ordens de atribuição dos tratamentos aos julgadores geradas pela
casualização do delineamento. Dois fatores de perturbação (nuisance): julgadores e ordens.
Cada tratamento será testado uma única vez por cada julgador e para cada ordem. A tabela a
seguir mostra o esquema geral deste delineamento.
Delineamento em quadrado latino (4 x 4) para aparência
(médias de triplicatas com aredondamento)
Julgador
Ordem
1
2
3
4
1
D (7)
A (6)
C (5)
B (7)
2
A (6)
C (7)
B (7)
D (7)
3
C (7)
B (7)
D (6)
A (7)
4
B (7)
D (7)
A (6)
C (6)
93
Casualização de um quadrado latino:
Existem muitos quadrados latinos para um dado número de tratamentos ( a), veja tabela 4-12, página
140, Montgomery (2005). Vamos utilizar um quadrado latino padrão, os quais são quadrados latinos
cujos elementos da primeira linha e primeira coluna são ordenados alfabeticamente.
Procedimento: 1 - Para a = 3 tratamentos fazer um sorteio aleatório das linhas e das colunas
(independentemente).
2 – Para a = 4, fazer um sorteio aleatório de um dos 4 quadrados latinos padrões.
Então fazer um sorteio aleatório das linhas e das colunas (independentemente).
3 – Para a = 5 ou mais, fazer um sorteio aleatório de todas as linhas, de todas as
colunas e de todos os tratamentos de um quadrado latino padrão selecionado
aleatoriamente.
4 – Faça um sorteio aleatório dos tratamentos às letras.
Para a=3 tratamentos:
Quadrado latino padrão
 A B C
 B C A


C A B 
 A B C   B C A
C A B   A B C 

 

 B C A C A B 
Sorteio das linhas
Sorteio das colunas
94
Modelo estatístico:
y ijk  μ  α i  τ j  β k  ε ijk
i  1,..., p
j  1,..., p
k  1,..., p
yijk é a observação na i-ésima linha e k-ésima coluna do j-ésimo tratamento;
 é a média geral;
i é o efeito da i-ésima coluna;
j é o efeito do j-ésimo tratamento;
k é o efeito da k-ésima linha.
ijk é o erro aleatório e supõe-se que tenham distribuição normal, sejam
independentemente distribuídos com média 0 (zero) e variância 2. Alternativamente,
os testes de hipóteses e intervalos de confiança podem ser justificados
aproximadamente pela teoria da aleatorização.
95
Análise de variância:
A partição da variabilidade total é dada por:
SQT = SQLinhas + SQColunas + SQTratamentos +SQE
Onde:
y...2
SQT   y 
N
i1 j 1 k 1
p
p
p
2
ijk
SQLinhas
1 p 2 y...2
  y i .. 
p i1
N
SQTratamento s
y...2
1 p 2
  y. j . 
p j 1
N
N  p2
SQColunas
1 p 2 y...2
  y.. k 
p k 1
N
SQE  por diferença
96
O teste estatístico de igualdade entre as médias de tratamento é dado por:
F0 
QM Tratamento s
QM E
Rejeita-se a hipótese nula se F0>F;(p-1);(p-2)(p-1). (Usar o nível descritivo)
Tabela da análise de variância de um quadrado latino
Causas de
Soma de
Graus de Quadrados
F0
Variação
quadrados
liberdade
Médios
SQTratamentos/(p-1)
Tratamentos SQTratamentos
p-1
QMTratamentos
QME
Linhas
Colunas
Erro
Total
SQLinhas
SQColunas
Por diferença
SQTotal
p-1
p-1
(p-2)(p-1)
p2-1
SQLinhas/(p-1)
SQColunas/(p-1)
SQE/[(p-2)(p-1)]
97
Exemplo 3-4. Dados de aroma. Os resultados da análise de variância foram obtidas através do
software SAS (Statistical Analysis System) e estão representados na tabela a seguir.
Resultados da ANOVA para os dados de aroma
Causas de
Soma de
Graus de Quadrados
F0
Variação
Quadrados Liberdade
médios
Tratamentos
1,6875
3
0,5625
1,80
Julgadores
1,6875
3
0,5625
Ordem
0,6875
3
0,2292
Erro
1,8750
6
0,3125
Total
5,9375
15
Nível
descritivo
0,2473
Interpretações: conclui-se que não há diferenças significativas entre os 4 tratamentos. Neste
experimento não há forte evidência de diferenças entre julgadores e entre as ordens de
realização dos tratamentos.
Análise de resíduos:
eij  yijk  yi..  y. j .  y.. k  2y...
Repetições de quadrados latinos
A desvantagem de quadrados latinos pequenos é que eles fornecem poucos graus de
liberdade para o resíduo, como, por exemplo, na análise acima em que tem-se apenas 6
gl para o resíduo. Nestes casos é desejável repetir o quadrado latino.
98
Maneiras de repetir um quadrado latino:
1 - Usar os mesmos julgadores e as mesmas ordens;
2 - Usar os mesmos julgadores mas diferentes ordens em cada repetição, ou, de forma equivalente,
usar as mesmas ordens mas diferentes julgadores; Obs: Maneira mais adequada
3 - Usar diferentes ordens e diferentes julgadores.
Vamos considerar o caso 2, onde outros 4 novos julgadores nas mesmas ordens serão utilizados numa
nova repetição. Assim, temos 4 novas colunas dentro de cada repetição.O segundo quadrado latino
é selecionado independentemente do primeiro. Neste exemplo o fator (ordem) é de classificação,
ou seja não permite o sorteio.
Delineamento em quadrado
repetição.
Julgador
1
5
D (7)
6
A (6)
7
C (6)
8
B (5)
latino (4 x 4) para aroma, segunda
Ordem
2
A (6)
C (7)
B (7)
D (7)
3
C (6)
B (6)
D (6)
A (6)
4
B (7)
D (7)
A (5)
C (5)
99
Modelo matemático:
yijkl    i   j  l  k l   ijkl
A análise estatística, considerando as duas réplicas, foi realizada no SAS, cujos resultados
são apresentados a seguir.
Resultados da ANOVA para os dados de aroma, considerando duas
repetições
Causas de
Soma de
Graus de Quadrados
F0
Nível
Variação
Quadrados Liberdade
médios
descritivo
Tratamentos
3,25
3
1,08
3,25
0,046
Julgadores d.
3,38
6
0,56
repetições
Ordens
1,75
3
0,58
Repetições
1,13
1
1,13
Erro
6,00
18
0,33
Total
15,50
31
Interpretações: Existe diferenças entre os tratamentos ao nível de significância de 0,046.
Não existe indicativo nesse experimento de diferenças entre julgadores e ordens. Para
Julgadores dentro de repetições temos 2(4-1)=6 graus de liberdade, ou seja n(p-1) gl.
100
Delineamento cross-over quadrado latino
Em algumas situações, períodos de tempo (sessões), são um fator de estudo. Neste
delineamento os “subjects” (julgadores, animais, lojas, etc.) são aleatoriamente designados
para as diferentes ordens. Assume-se que todos os efeitos são aditivos e fixos, com exceção
do efeito de julgadores o qual é considerado aleatório. Cada julgador recebe todos os
tratamentos durante o tempo do experimento, por isso o nome de cross-over.
Na tabela a seguir apresenta-se o esquema geral do delineamento cross-over. Foram utilizados 8
julgadores.
Delineamento cross-over
Ordens
Sessões (j)
(i)
Julgadores
1
2
3
1
m=1
D=7
A=7
C=7
m=2
D=7
A=6
C=7
2
m=1
A=6
C=6
B=7
m=2
A=6
C=6
B=7
3
m=1
C=6
B=6
D=7
m=2
C=7
B=7
D=6
4
m=1
B=7
D=7
A=7
m=2
B=5
D=6
A=7
4
B=7
B=7
D=7
D=7
A=5
A=4
C=7
C=5
101
O modelo matemático:
y ijkm    i   j   k  mi    ijkm
ordem
sessão Tratamento Julgador
dentro de
ordem
Esquema da ANOVA para o delineamento cross-over, onde n é o número de julgadores por
ordem, e p = número de tratamentos = número de ordens = número de sessões.
Esquema da ANOVA para o delineamento cross-over
Variações no modelo
Graus de liberdade
Ordem
p-1
Sessão
p-1
Tratamentos
p-1
Julgadores d. ordem
p(n-1)
Erro
(p-1)(np-2)
Total
np2-1
102
Esperanças dos quadrados médios:
p
2

 i
E( QM Ordem )   2  p S2  np i 1
p 1
p
2

 i
E( QM Sessão )   2  np i 1
p 1
p
2

i
E( QM Tratamento s )   2  np i 1
p 1
E( QM Ju lg( ordem ) )   2  p S2
E( QM Erro )   2
103
Exemplo: dados de aroma (cross-over), os resultados da análise de variância foram
obtidas com o uso do SAS.
Causas de
Soma de Graus de Quadrados
variação
quadrados liberdade médios
Tratamentos
2,63
3
0,88
Ordem
3,13
3
1,04
Sessão
2,38
3
0,79
Julga d. ordem
3,25
4
0,81
Erro
8,50
18
0,47
Total
19,88
31
F0
1,85
Nível
descritivo
0,1738
Interpretação: concluímos que os 4 tratamentos são equivalentes quanto ao aroma. Os
testes para os demais efeitos também não apresentaram significância estatística.
104
3-3 Quadrados de Youden e Graeco-Latino
Quadrado Graeco-Latino
É uma extensão de um quadrado latino p x p, e é obtido através da superposição de um segundo
quadrado latino no qual os tratamentos são representados por letras gregas. Cada letra grega
deve aparecer uma e somente uma vez com cada letra latina (quadrados latinos ortogonais). A
tabela abaixo ilustra esse delineamento.
Ilustração do delineamento em Quadrado Graeco-Latino
Blocos nas
Blocos nas colunas
linhas
1
2
3
4
1
:A
:B
:C
:D
2
:C
:D
:A
:B
3
:B
:A
:D
:C
4
:D
:C
:B
:A
Permite o controle de três fatores de perturbação (nuisance), assim, pode-se usar 3 variáveis
de bloqueamento. Pode-se estudar 4 fatores, cada um com p níveis, num total de p2
realizações. Obs: não existe QGL para p=6. A primeira classe de cada uma das 3 variáveis
de bloqueamento recebe o tratamento A, e assim por diante. Um exemplo, pode ser: ordens,
sessões e julgadores.
105
Quadrado de Youden
Quando não for possível utilizar um quadrado latino porque o número de níveis de
colunas é menos do que o número de níveis de linhas, então pode-se fazer uso do
Quadrado de Youden.
Exemplo: Têm-se 4 tratamentos; 4 julgadores; para cada julgador pode-se utilizar
somente 3 tratamentos;
Esquema do delineamento Quadrado de Youden
Ordem dos tratamentos
Julgador
1
2
3
1
A
B
C
2
D
A
B
3
C
D
A
4
B
C
D
Este delineamento torna-se um quadrado latino com a adição da coluna D, C, B, A.
Todo par de tratamentos aparece o mesmo número de vezes dentro de julgador.
Para análise consultar livro: Cochran, W.G., and G.M.Cox. Experimental Designs.
106
3-4 Blocos Incompletos Balanceados
Em certos experimentos não é possível utilizar todos os tratamentos em cada bloco. Por
exemplo, num experimento para testar o efeito de 10 formulações de um produto, com
relação ao sabor, aroma ou textura, devido a questões de sensibilidade, etc. , cada
julgador pode testar apenas 5 formulações. Assim, cada julgador não pode testar todas
as formulações. Nesses casos, pode-se usar o delineamento em blocos incompletos
casualizados, onde, para cada julgador (bloco), é designado uma parte das formulações
(tratamentos).
Blocos Incompletos Balanceados: qualquer dois tratamentos aparecem juntos (no
mesmo bloco) o mesmo número de vezes ().
Exemplo: um pesquisador formula a hipótese que a aceitabilidade de um alimento depende
da sua forma de preparo. Quatro formulações de um produto estão sendo pesquisadas. As
amostras são preparadas e designadas aos julgadores, os quais irão atribuir notas, dentro de
uma escala. Serão utilizados 4 julgadores. Como existem diferenças entre os julgadores,
estes serão tomados como blocos. Entretanto, cada julgador pode testar apenas três
formulações. Então, deve-se usar um delineamento em Blocos Incompletos Balanceados.
Dentro de cada bloco deve-se fazer o sorteio dos tratamentos. O esquema desse
delineamento é mostrado na tabela a seguir.
107
Blocos incompletos balanceados para o experimento de
formulação de um produto
Tratamentos
Julgadores
(formulações)
1
2
3
4
yi.
1
7,3
7,4
7,1
21,8
2
7,5
6,7
7,2
21,4
3
7,3
7,5
6,8
21,6
4
7,5
7,2
7,5
22,2
y.j
22,1
22,4
20,7
21,8
87,0=y..
Este plano foi construído formando todas as possíveis combinações de a tratamentos em
blocos de tamanho k.
4
   4 blocos b
 3
a
   b blocos
k 
Referência bibliográfica: Cochran, W.G. and Cox, G.M. Experimental Designs.
3-4.1 Análise estatística: vamos assumir:
a tratamentos
k tratamentos por bloco
b blocos
r repetições por tratamento
n=ar=bk observações
b=ar/k blocos
108
Propriedade: o número de vezes que cada par de tratamento aparece junto no mesmo bloco é:
r(k  1)
λ
a 1
No exemplo,
  3(4311)  2
Características dos BIB:
» Todos os blocos tem o mesmo tamanho
» Todos os tratamentos tem o mesmo número de repetições
» Todos os pares de tratamentos ocorrem o mesmo número de vezes ()
Se ocorrer esta igualdade é BIB:
 (a  1)  r(k  1)
Usar estes
resultados
r(k  1)

λ 

a 1
n  b k  ar
109
O modelo estatístico
yij     j  i  ij
Onde yij é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco;  é a média geral; i é
o efeito do i-ésimo tratamento; j é o efeito do j-ésimo bloco e ij é o erro aleatório,
NID(0,2).
2
y
SQT   yij2  ..
N
i 1 j 1
a
Somas de quadrados:
SQBlocos
b
1 b 2 y..2
  y. j 
k j 1
N
a
SQTratamento s ( ajustado ) 
k  Qi2
i 1
a
110
Onde Qi é o total ajustado do i-ésimo tratamento e é calculado por:
1 b
Qi  yi.   nij y. j
k j 1
i  1,2,...,a
Com nij = 1 se o tratamento i aparece no bloco j e nij = 0 se o tratamento i não aparece no
bloco j.
A soma de quadrados do erro é calculada por diferença: SQE=SQT-SQTratamentos(ajustado)-SQBlocos
A tabela a seguir resume a análise de variância deste delineamento.
Variações
no modelo
Blocos
Tratamentos
(ajustado)
Erro
Total
Análise de variância de um BIB
Somas de
Graus de Quadrados
F0
quadrados
liberdade
médios
SQBlocos
b-1
SQBlocos
b-1
SQTratamentos
a-1
SQTratamentos QMTratamentos
a-1
QMErro
Por diferença N-a-b+1
SQErro
N-a-b+1
SQT
N-1
111
Teste de igualdade de médias de tratamentos:
F0 
QMTratamentos(ajustado)
QME
Exemplo 3-6: dados de aceitabilidade de um produto. É um BIB com a=4, b=4, k=3,
r=3,  =2, e N = (a x r) =(4 x 3)=12.
(87) 2
SQT  631,56 
 0,8100
12
1
(87) 2
2
2
SQBlocos  (22,1)  ...  (21,8) 
 0,5500
3
12
1
Q1  21,8  (22,1  22,4  21,8)  0.30
3
1
Q2  21,4  (22,4  20,7  21,8)  0,23
3
1
Q3  21,6  (22,1  22,4  20,7)  0,13
3
1
Q4  22,2  (22,1  20,7  21,8)  0,67
3


112
SQTratamento s ( ajustado )


3 (0,30) 2  (0,23) 2  (0,13) 2  (0,67) 2

 0,2275
(2)(4)
SQE  0,8100 0,5500 0,2275 0,0325
Análise de variância dos dados de aceitabilidade
Causas de
Soma de Graus de Quadrados
F0
Valor p
variação
quadrados liberdade médios
Blocos
0,5500
3
0,1833
Tratamentos
0,2275
3
0,0758
11,67
0,0107
(ajustado
para blocos)
Erro
0,0325
5
0,0065
Total
0,8100
11
Interpretação: como o nível descritivo é baixo (< 5%) concluímos que as formulações
utilizadas tem efeito significativo na aceitabilidade do produto.
113
Contrastes ortogonais:
Os contrastes ortogonais devem ser calculados com relação aos totais de tratamentos
ajustados (Qi). A soma dos quadrados do contraste é dado por:
 a

k   ci Qi 
SQc   i 1 a 
a ci2
2
i 1
Onde ci são os coeficientes dos contrastes.
114
Comparações múltiplas dos efeitos dos tratamentos:
Um efeito de tratamento ajustado é dado por:
O erro padrão deste efeito é:
S
ˆi  kQi /(a)
k (QM E )
a
Exemplo 3-6
ˆ 1  ( 3 )( 0 ,30 ) /( 2 )( 4 )  0 ,90 / 8  0 ,1125
ˆ 2  ( 3 )( 0 ,23 ) /( 2 )( 4 )  0 ,69 / 8  0 ,0875
ˆ 3  ( 3 )( 0 ,13 ) /( 2 )( 4 )  0 ,40 / 8  0 ,0500
ˆ 4  ( 3 )( 0 ,67 ) /( 2 )( 4 )  2 ,00 / 8  0 ,25
S
3.0 ,0065
 0 ,04937
2.4
Não bate com o Statistica e o SAS.
115
Teste de Tukey
q (a, f )  q0, 05 (4,5)  5,22
DMS  q (a, f ) S  q (a, f )
kQM E
3(0,0065)
 5,22
 0,2577
a
2(4)
4 vs 1 : 2 / 8 - ( 0,9 / 8 )  0,3625 0 ,2577*
4 vs 2 : 2 / 8 - ( 0,69 / 8 )  0,3338 0 ,2577*
Conclusão: a formulação 4 difere
significativamente das outras três,
todos os outros pares de efeitos de
tratamentos ajustados não diferem
entre si. Os mesmos resultados são
obtidos para as médias.
4 vs 3 : 2 / 8 - ( 0,4 / 8 )  0,3000 0,2577*
3 vs 1 : - 0,4 / 8 - ( 0,9 / 8 )  0,0625 0,2577
3 vs 2 : - 0,4 / 8 - ( 0,69 / 8 )  0,0338 0,2577
2 vs 1 : - 0,69 / 8 - ( 0,9 / 8 )  0 ,0288 0,2577
116
Médias de mínimos quadrados: são calculadas como,
yi .  y..  ˆi
y1.  7,25  0,1125 7,1375
y2.  7,25  0,08625 7,1625
y3.  7,25  0,05  7,2000
y4.  7,25  0,25  7,5000
Pode-se aplicar um teste de comparações múltiplas com estas médias ajustadas (dá o
mesmo resultado do que nos efeitos dos tratamentos).
General Linear Models Procedure
Least Squares Means
Adjustment for multiple comparisons: Tukey-Kramer
FORMULA
1
2
3
4
ACEITABI
LSMEAN
7.13750000
7.16250000
7.20000000
7.50000000
Pr > |T| H0: LSMEAN(i)=LSMEAN(j)
i/j
1
2
3
4
1
2
3
4
.
0.9825
0.8085
0.0130
0.9825
.
0.9462
0.0175
0.8085
0.9462
.
0.0281
0.0130
0.0175
0.0281
.
117
Blocos Incompletos Balanceados
(Teste Não Paramétrico)
Durbin (1951) apresentou um teste de postos que pode ser usado para testar a hipótese
nula de não haver diferenças entre os tratamentos num delineamento de blocos
incompletos balanceados.
O teste de Durbin deve ser preferido aos testes paramétricos quando:
• as pressuposições de normalidade não são atendidas;
• deseja-se aplicar um método mais fácil;
• as observações correspondem meramente de postos
118
Exemplo (Instituto de Tecnologia de Alimentos - ITAL, 1982): Foi realizado um
experimento sensorial de ordenação para se avaliar o efeito de cultivares de soja na
sabor de “paçoca” de soja. Os tratamentos testados foram:
A = “paçoca” de soja cultivar Bragg;
B = “paçoca” de soja cultivar Bossie;
C = “paçoca” de soja cultivar Davis;
D = “paçoca” de soja cultivar Doko;
E = “paçoca” de soja cultivar IAC-2;
F = “paçoca” de soja cultivar Paraná;
G = “paçoca” de soja cultivar Santa Rosa;
H = “paçoca” de soja cultivar Tropical;
I = “paçoca” de soja cultivar UFV-1;
J = “paçoca” de soja cultivar União;
O experimento é um BIB com 30 provadores (blocos), cada um avaliando 3 tratamentos
e ordenando em primeiro lugar a amostra de melhor sabor e em último a de pior sabor.
Os resultados estão na próxima tabela.
119
Provadores
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
A=3
H=2
B=2
C=3
F=2
J=3
I=3
E=3
G=2
D=3
C=3
H=1
J=3
G=3
B=2
F=2
D=3
E=1
A=2
I=2
J=2
I=1
B=2
C=3
G=3
D=2
H=2
E=3
F=1
A=2
Ordem de avaliação
2
B=2
A=1
C=3
D=2
H=3
F=1
E=1
G=1
J=1
I=2
D=1
B=3
E=1
A=1
H=1
I=3
F=2
G=2
C=3
J=1
D=3
C=2
G=3
E=2
H=2
J=1
F=3
A=1
B=3
I=1
3
D=1
J=3
F=1
H=1
I=1
G=2
B=2
A=2
C=3
E=1
G=2
J=2
F=2
I=2
E=3
D=1
A=1
H=3
B=1
C=3
B=1
H=3
I=1
F=1
D=1
E=3
A=1
C=2
G=2
J=3
120
Neste experimento temos:
a = 10 tratamentos
k = 3 unidades experimentais por bloco
b = 30 blocos
r = 9 repetições
 = 2 blocos nos quais os tratamentos i e i’ aparecem juntos
121
O teste de Durbin
Notação:
Xij os resultados do tratamento j no bloco i se o tratamento j aparece no bloco i
Ordene os Xij dentro de cada bloco assinalando o posto 1 à menor observação no bloco,
posto 2 à segunda menor, e assim por diante, até o posto k, que é assinalado a maior de todas
as observações no bloco i, já que existe apenas k observações dentro de cada bloco. Denotase por R(Xij) o posto de Xij onde Xij existe.
Compute-se a soma dos postos assinalados aos r valores observados para o j-ésimo
tratamento e chame esta soma de Rj.
Então, Rj pode ser escrito como:
b
R j   R( X ij )
i 1
Onde somente r valores de R(Xij) existem para cada tratamento j.
122
Observação:
1) Se as observações são não numéricas, por exemplo: ruim, médio, bom, muito bom,
mas são passíveis de serem ordenadas dentro dos blocos de acordo com algum critério
de interesse, o posto de cada observação é anotado e os valores de Rj são calculados
como antes.
2) Se houver empates, recomenda-se assinalar o posto médio às observações empatadas.
Pressuposições do teste de Durbin
1. Os blocos são mutuamente independentes um do outro;
2. Dentro de cada bloco as observações podem ser ordenadas em ordem crescente, de
acordo com algum critério de interesse.
Hipóteses:
H0: Os tratamentos tem efeitos idênticos;
H1: Pelo menos um tratamento tende a produzir valores maiores do que pelo menos um
dos outros tratamentos.
123
O teste estatístico de Durbin é definido como:
t
12( a  1 )
r( a  1 )( k  1 )
2
T
Rj  3

ra( k  1 )( k  1 ) j 1
k 1
Regra de decisão do teste:
2
Se T   0,
05 com a - 1 graus de liberdade
 rejeitar a H0
124
Exemplo:
a = 10 tratamentos
k = 3 unidades experimentais por bloco
b = 30 blocos
r = 9 repetições
 = 2 blocos nos quais os tratamentos i e i’ aparecem juntos
RA=14 RB=16
RI=16 RJ=19
RC=25
RD=17
RE=18
RF=15
RG=20
RH=18
12( 10  1 )
3.9( 10  1 )( 3  1 )
( 142  16 2  252  172  182  152  202  182  16 2  192 ) 
9.10( 3  1 )( 3  1 )
3 1
T  0 ,15( 3324,00 )  486,00
T
T  498,60  486,00
T  12,6
125
Com a utilização de um programa estatístico, obtemos o valor de qui-quadrado (2), com 101=9 graus de liberdade e nível de significância de 5%, igual a 16,918978. Como a estatística
de Durbin é menor do que o valor de qui-quadrado tabelado, devemos aceitar a hipótese nula
e, assim, não foi observado diferenças significativas entre os tratamentos quanto ao sabor.
P(2>12,6)=0,1816 (valor p)
Comparações múltiplas
O método que se segue pode ser usado para comparar pares de tratamentos se e somente se a
hipótese nula for rejeitada.
Considere dois tratamentos i e i’ diferentes se as suas somas de postos satisfazem a
desigualdade:
Ri'  Ri  t( 1 / 2 )
r( k  1)( k  1)[ bk( a  1)  aT ]
6( a  1)( bk  a  b  1)
Onde t(1-/2) é o quantil da distribuição t de Student com bk-a-b+1 graus de liberdade.
Chamamos o lado direito da desigualdade de Diferença Mínima Significativa.
126
Continuação do exemplo:
Neste exemplo, faremos os testes de comparação de pares de tratamentos, somente para fins
didáticos, pois o teste de Durbin não foi significativo. Vamos, inicialmente, encontrar o valor
da d.m.s.
Ri'  Ri  t( 1 / 2 )
r ( k  1)( k  1)[ bk( a  1)  aT ]
6( a  1)( bk  a  b  1)
t( 1 0,05 / 2; 51 )  2,007584
Ri'  Ri  2,0076
9( 3  1)( 3  1)[ 30.3( 10  1)  10.12,6 ]
6( 10  1)( 30.3  10  30  1)
Ri'  Ri  2,0076
49248
2754
Ri'  Ri  8,4896
127
Temos 10(9)/2=45 pares de tratamentos. Vamos ver somente as seguintes diferenças.
R  R  25  14  11
C
A
R  R  25  15  10
C
F
R  R  25  16  9
C
I
R  R  25  17  8
C
D
O tratamento C apresenta diferenças significativas com relação aos tratamentos A, F e I, ao
nível de significância de 5%. Ele não é diferente estatisticamente do tratamento D, ao nível de
significância de 5%.
128