UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE AS DIFICULDADES DOS
ALUNOS DAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO MÉDIO
ENVOLVENDO FRAÇÕES
Taciany da Silva Pereira¹,
Nora Olinda Cabrera Zúñiga²
¹Universidade Federal de Minas Gerais / Departamento de Matemática, [email protected]
²Universidade Federal de Minas Gerais/ Colégio Técnico da Escola de Educação Básica e
Profissional da UFMG, [email protected]
Resumo
Desenvolvemos um trabalho com intuito de analisar os principais erros e dificuldades que
os alunos apresentam ao resolver problemas que envolvam frações. Existem vários fatores
que contribuem para o déficit deste conteúdo. De acordo com várias pesquisas, para que a
criança tenha uma ampla compreensão das ideias que estão relacionadas com o conceito de
fração, é indispensável que ocorra vários planejamentos e sequências no ensino. Nosso
trabalho foi realizado, com alunos do 1º ano do Ensino Médio, de uma escola pública de
Belo Horizonte - Minas Gerais. Foi aplicada uma avaliação com questões referentes ao
conteúdo de frações, sendo essas apropriadas para o ano que os alunos estão cursando, que
nos deram base para refletir em quais pontos os conceitos não estão claros e para que
possamos avaliá-los e detectar as dificuldades dos alunos. Com essa pesquisa, foi possível
observar nem sempre os alunos compreendem a importância de utilizar o conhecimento de
um conteúdo em outras situações. Percebemos que, uma vez que ele entende o significado
de uma operação, não quer dizer que consiga utilizar essa “ferramenta” em outros
contextos. Através das dificuldades mostradas pelos alunos notamos que as escolas
parecem estar trabalhando com regras de caráter algébrico antes que os alunos tenham
desenvolvido a ideia central, que é a base do conteúdo. Mas, quando existe um bom
planejamento, as operações algébricas são transformadas em algo prazeroso a ser
trabalhado pelos alunos, não se tornando então um problema.
Palavras-chave: Análise de erros. Frações. Dificuldades
INTRODUÇÃO
Percebendo a dificuldade dos alunos no conteúdo de Números Racionais, optamos
por desenvolver um trabalho com intuito de analisar os principais erros e dificuldades que
eles apresentam ao resolver problemas que envolvam frações.
Existem vários fatores que contribuem para o déficit desse conteúdo, como por
exemplo o fato dele ser tratado até o sétimo ano do ensino básico, pois os anos seguintes
são reservados para álgebra e funções. É necessário que sejam bem trabalhados com
crianças de até 10 anos de idade os conceitos de frações aparentes, impróprias e também o
fato de que existem frações que representam números inteiros. Caso isso não seja feito, é
provável que seja gerado então dificuldades que os acompanharão até o Ensino Superior.
Vários resultados de pesquisas realizadas com referência ao processo de ensinoaprendizagem na área de frações são capazes de indicar que, para que uma criança consiga
uma ampla compreensão de todas ideias que se relacionam com o conceito fração, é
preciso que sejam sempre planejados sequências no ensino, de modo que seja
proporcionado à criança, com o passar do tempo uma experiência adequada com maioria
das interpretações.
OBJETIVO
Existem hoje várias pesquisas que investigam a fundo as soluções de questões
matemáticas associadas aos erros cometidos pelos alunos. Através delas é possível
encontrar dificuldades apresentadas em diversos conteúdos matemáticos. Devido a isso,
nosso trabalho tem como objetivo principal analisar os erros recorrentes e tentar entender o
ponto em que o conteúdo de Frações não se estruturou. A explicação para isso é que, em
uma mesma resolução feita por um aluno, podemos tirar várias conclusões a respeito de sua
aprendizagem. Segundo Cury,
“As investigações apoiadas nos erros não têm o propósito de avaliar o
aluno, mas de contribuir para compreender como ele se apropria de um
determinado conhecimento e quais as dificuldades que ainda precisa
superar até ser capaz de trabalhar com o conteúdo em questão.”.
(CURY, 2013, p. 01).
METODOLOGIA
O erro pode ocorrer de várias formas, seja ele por descuido, em que o aluno sabe
resolver a questão, e então, refazendo-a, ele é capaz de acertar na próxima tentativa. Se o
aluno ainda não conseguiu interpretar a ideia central do exercício, de modo que não
consiga organizar seu pensamento, a ajuda do professor é de extrema importância. Com
ela, o aluno tem a capacidade de desenvolver seu raciocínio, conseguindo então
compreender o conteúdo através desse tipo de erro; nesse caso, chamamos de erro
construtivo. Mas, além desses, existem os casos em que os aluno não compreendem de
forma alguma o que lhe foi pedido, e então não consegue apresentar nenhuma solução para
o problema. São esses os alunos que iremos trabalhar na pesquisa. Através de seus erros
iniciais, é acarretado diversos outros em situações-problemas distintas pelo fato do aluno
não compreender o que está estudando, como consequência não se sente motivado e
desafiado com a atividade.
Para essa pesquisa, trabalhamos com alunos do 1º ano do Ensino Médio, de uma
escola pública de Belo Horizonte - Minas Gerias amplamente conhecida na cidade e
elogiada pela maioria. Seu nome e dos alunos serão mantidos em sigilo, por isso seu nome
fictício será “Colégio Bháskara”. A autora Taciany acompanhava a turma com o Programa
Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID), enquanto a orientadora Nora era a
professora da turma.
A turma era composta por alunos do 1º ano do Ensino Médio que ainda mostravam
dificuldades em conteúdos do Ensino Fundamental e as aulas ocorriam todas as quintasfeiras, com duração de 1 hora e 40 minutos. Paralelo com o ensino regular, foi formada
uma turma para esses alunos com dificuldades. A medida que esses alunos se mostravam
capazes de fazer as avaliações referente ao conteúdo, ele avança para o próximo conteúdo.
O trabalho desenvolvido com estes alunos é separado em 4 etapas, que
denominamos por módulos. Em cada módulo, o aluno fará exercícios relacionados a um
determinado conteúdo, e quando finalizar todos os exercícios com a ajuda da professora e
dos monitores da sala, eles fazem uma prova com intuito de avaliá-los. Se conseguirem
uma nota satisfatória, iniciam outro módulo relacionado a outro conteúdo. As listas de
exercícios relacionados aos conteúdos são preparadas basicamente por problemas
contextualizados. Baseado nisso, suas avaliações também seguem os mesmos estilos.
Diante disso, conduziremos nosso trabalho com o estudo dos erros cometidos pelos
alunos na primeira avaliação do ano de 2015 com o conteúdo de Números Racionais, mais
especificamente as Frações, que é o conteúdo encontrado no primeiro módulo.
RESULTADOS
A turma observada era composta por 30 alunos. Mas, como dito anteriormente, a
avaliação poderia ser feita por quem conseguiu concluir as listas de problemas
relacionados ao conteúdo. De acordo com isso, no dia da aplicação não se encontravam
todos os alunos. No total recebemos 13 avaliações para serem analisadas. A avaliação era
composta por 6 questões abertas mas entre elas, escolhemos apenas 3 para fazer nossa
análise.
Os problemas propostos aos alunos tinham como objetivo levá-los a perceber o
quanto o número fracionário é importante para sua vida e seu aprendizado. Segundo
LLINARES et al., 1997, nem sempre o aluno tem a capacidade de transferir o
conhecimento do conteúdo em diferentes situações, pois, supondo que ele tenha
compreendido o significado da fração em uma situação, fazendo sua representação com
diagrama e com a forma numérica ou até mesmo reconhecendo o significado das operações
naquele contexto, mas isso necessariamente não implica que ele saiba utilizar essa mesma
“ferramenta” em outros contextos, ainda que carregue consigo, de forma implícita a ideia
de fração.
É comum que conheçamos algum aluno de matemática, seja da educação básica e
até mesmo do ensino superior que tenha passado por dificuldades no aprendizado e na
compreensão do número fracionário. Não podemos generalizar, mas, ainda segundo
LLINARES et al., 1997, alcançar totalmente o conceito de fração com suas relações requer
um processo de aprendizagem em longo prazo. Existe uma grande variedade de estruturas
cognitivas no qual as diferentes interpretações das frações se conectam e assim,
condicionam o processo de aprendizagem. Não chegamos ao conceito global de fração de
uma só vez.
Na avaliação feita pelos alunos, a primeira questão era a seguinte:
1. Que números devem ser colocados no lugar a, b, e c, de forma a tornar as
frações abaixo equivalentes?
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de 1998, “Ao
trabalhar com os números racionais, os alunos acabam tendo de enfrentar vários
obstáculos: cada número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas) escritas
fracionárias: por exemplo
são diferentes representações de um mesmo
número.”. Esse foi um dos obstáculos citados que define corretamente nosso problema.
Para essa questão, o aluno deve ser capaz de lembrar o conceito de Frações Equivalentes,
no qual são frações distintas e que representam a mesma quantidade.
Na avaliação feita pelos alunos, a resposta correta seria a = 20, b = 35 e c = 4, mas
69% dos alunos do Colégio Bháskara erraram. Aqui, o maior erro foi baseado no fato de
que era possível encontrar uma fração equivalente a
apenas achando um número
que, multiplicando por 2 resultasse em 8. Da mesma forma aconteceu para encontrar b, no
qual o aluno, multiplicando 2 por um número que resultava em 14, usou esse mesmo para
encontrar b. Mas, todos os erros giravam em torno de c, pois existia a dupla igualdade
entre
e
, mas não existia entre
, ou seja, não era fácil encontrar um
fração equivalente com essa igualdade. O aluno esquece que, por se tratar de várias
igualdades, as frações
também indicam o mesmo resultado e, a partir disso, ele
deixa de ver que também consegue operar de modo que encontre frações equivalentes. É
relativamente grande o número de alunos que tentaram de alguma forma encontrar o valor
de c, mas que não obteram sucesso. Na maioria dos casos, o aluno nem sequer explicou seu
raciocínio. Dentre as respostas estavam: c = 8, 7, 40 e 6. Diante disso, acreditamos que o
aluno não estava acostumado a fazer exercícios desse tipo ou então faltou atenção em
perceber que a igualdade vale para todas frações.
Ainda de acordo com os PCN, os alunos do sexto e sétimo ano do ensino
fundamental “têm boas condições para perceber que os números têm múltiplas
representações e compreender melhor as relações entre representações fracionárias e
decimais, frações equivalentes, escritas percentuais e até a notação científica.”. Mas, no
nosso trabalho acompanhamos alunos do 1º ano do Ensino Médio, que nos diz que as
dificuldades ultrapassam o ensino fundamental. As dúvidas que, teoricamente deveriam ser
sanadas quando ainda estavam no ensino fundamental passam a bloqueá-los no andamento
dos seus estudos do ensino médio.
Dando sequência à avaliação entregue aos alunos, a segunda questão analisada é a
seguinte:
3) Numa competição de caminhada, João, Pedro, Ana e Maria partiram no
mesmo instante, cada um no seu ritmo. Após uma hora, João tinha andado seis oitavos
do caminho; Pedro, nove doze avos; Ana, três oitavos; e Maria, quatro sextos. Com
base nessas informações, determine a ordem em que os quatro competidores se
encontram após esse intervalo do tempo.
Novamente se trata de frações equivalentes. Diferente da questão anterior, essa é
baseada em fatos, no qual o aluno deve perceber que existem diversas formas de se abordar
o mesmo conteúdo, seja com exercícios algébricos ou com situações-problemas. Nessa
questão obtivemos 54% de acerto. A única forma que pensamos para a resolução dessa
questão é baseado em, transformar as frações dadas pelo problema em outras equivalentes
às iniciais e posteriormente utilizar o conceito de parte-todo, no qual devemos tomar o
denominador como um todo e o numerador fará o papel de determinar a ordem em que os
competidores se encontraram depois do intervalo de tempo.
Os erros dos alunos nos mostraram que eles não sabiam que, utilizando parte-todo,
eles chegariam no resultado esperado. Então, as respostas foram as mais diversas: alunos
incluíram “x”, de modo que tentassem resolver com a ajuda da álgebra e outros somaram
as frações e, com o mínimo múltiplo comum (m.m.c) tentaram encontrar o mesmo
denominador, provavelmente na intenção de transformá-las em frações equivalentes.
A partir da análise da segunda questão pudemos perceber que a ideia central de
fração como parte-todo ainda é vaga na cabeça dos alunos. Isso nos dá mais clareza da
tamanha deficiência na aprendizagem de números racionais ainda no ensino fundamental.
E, a consequência dessa dificuldade vem acarretando vários erros no ensino médio, como
podemos perceber nessa avaliação.
Além disso, voltamos a ideia de frações equivalentes. Nos PCN podemos encontrar
a seguinte afirmação: “O conceito de equivalência, assim como a construção de
procedimentos para a obtenção de frações equivalentes são fundamentais para resolver
problemas que envolvem a comparação de números racionais expressos sob a forma
fracionária e efetuar cálculos com esses números.”. E, é exatamente o que a nossa questão
propõe, mas isso ainda é um desafio para os alunos que não sabem o porquê e para quê as
frações equivalentes existem.
Nós, no papel de professores, devemos levar em conta que, no conjunto dos
números racionais é possível que encontremos diversas interpretações a partir de um
mesmo assunto e ainda considerarmos o processo de aprendizagem a longo prazo das
frações. Devemos equilibrar o significado das frações em contextos concretos práticos, que
são as situações-problema e o significado das frações em contextos abstratos que são
feitos cálculos sem nenhum contexto, totalmente com caráter algébrico, segundo
LLINARES et al., 1997. Então, na segunda questão voltamos ao que já foi dito que, o
aluno tem dificuldade de interpretar e fazer uso da mesma “ferramenta” em contextos
diferentes.
Dando continuidade, analisamos então a terceira e última questão escolhida da
avaliação, que foi a seguinte:
4) Uma corda de
m deve ser cortada em 30 pedaços de igual comprimento.
Quanto deve medir cada pedaço?
Confessamos que essa foi nossa maior surpresa: Apenas 23% dos alunos acertaram
a questão, que é o equivalente à apenas 3 alunos.
O que foi possível observar é que os alunos apresentaram grande dificuldade em
transformar fração mista em fração imprópria. Mas, conforme acompanhamos a turma,
observamos que os alunos fizeram muitos exercícios relacionados à isso. Além disso,
encontramos muitos erros envolvendo as operações, como somar e subtrair frações, o que
consideramos erros graves. Acreditamos que um possível motivo para o resultado não
satisfatório dessa questão, seria que o aluno não consegue imaginar uma corda de
m,
portanto não conseguem pensar em como fariam a divisão de 30 pedaços iguais.
Como já foi citado, a turma trabalha, antes da realização das avaliações, com listas
de exercícios contextualizados, que tem como função fazer o aluno pensar, interpretar e
resolver a questão usando o raciocínio, ou seja, adequando seu aprendizado em situaçõesproblemas diferentes. E, essa é então uma questão que, antes que o aluno pegue seu lápis,
ele deve pensar no real significado de uma corda ser medida através de uma fração mista.
Está aí nosso maior inimigo: a deficiência na interpretação.
Durante as aulas era possível notar que os alunos aplicavam ‘macetes’ na
transformação das frações mista para imprópria. Para esse procedimento, os livros
didáticos indicam que, devemos fazer a soma de 7 + ½. Mas não é uma regra, já que a
professora da turma exige apenas que o aluno exponha seu raciocínio e que, com o uso de
macetes ou formalmente, consiga encontrar o mesmo resultado. Mas, dentre todos os erros,
foi notório o fato de que a maioria não soube fazer a transformação de frações. De acordo
com o PCN, “Quanto ao cálculo da adição e da subtração envolvendo frações com
denominadores diferentes, pode-se transformá-las em frações com o mesmo denominador
(não necessariamente o menor), aplicando as propriedades das frações equivalentes.”, mas
infelizmente não encontramos esse tipo de resolução na questão, o que nos mostra o quanto
as frações equivalentes são importantes, mas mal interpretadas.
Concordamos com LLINARES et al., 1997 quando dizem que precisamos então
aceitar que os alunos podem desenvolver a ideia de fração relacionado com parte-todo em
um certo momento do ensino e, quando ele amplia seu conhecimento do conceito de
frações para outras interpretações, a noção primitiva se readapte, e então se modifica a
cada contexto diferente. Digamos que esse é o real processo de aprendizagem no conteúdo
de frações. Mas, infelizmente escolhemos essa turma para mostrar que nem sempre isso
ocorre. É visível que os alunos resolvem o exercício sem sequer fazer qualquer tipo de
ligação entre um contexto e outro, tornando então as mais diversas questões em exercícios
individuais, resolvidas mecanicamente.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Concordamos que, inicialmente as interpretações de números racionais são
diversas, de modo que cada uma delas sejam tratadas individualmente. Mas, conforme é
apresentado outras maneiras, essas divisões de significados vão diminuindo, de modo que,
o trabalho algébrico, envolvendo números e equações, passa de uma interpretação à outra
sem nenhum impedimento conceitual. A generalização e a síntese do conteúdo matemático
pode ser a peça chave para que o aluno desenvolva seu raciocínio com facilidade. Então,
por isso acreditamos que fosse importante trabalhar com os erros dos alunos, de forma a
identificar suas falhas e posteriormente ajudá-los a diminuí-las.
Quando se trata de frações, sabemos que esse é um tema complexo. O professor
deve então trabalhar o conteúdo de formas diferentes, de maneira que o aluno seja capaz de
identificar as frações em variados contextos. Um exemplo disso é o uso das resoluções de
problemas, pois, com eles o aluno parte do conhecimento prévio da sua vivência e então
adapta a ele o que está estudando no momento. Com isso, o professor cria oportunidades
de trabalhar o mesmo conceito de várias formas.
Mas, concordamos com Ferreira et al. quando dizem que
“alguns erros cometidos pelos alunos da escola podem indicar falhas
estratégicas no processo de ensino. Muitas vezes as questões conceituais e
mais sutis ou não são trabalhadas em sala de aula ou, quando
trabalhadas, não se leva em conta, efetivamente, o caráter processual do
aprendizado”.
e isso foi bem representado no nosso trabalho, pois estávamos tratando de alunos do 1° ano
do ensino médio com dificuldades que não foram sanadas no ensino fundamental. O que
nos leva a concluir que seu aprendizado não foi suficiente e houve falhas no percurso.
Quando focamos na relação parte-todo e frações equivalentes pudemos, através delas
identificar claramente seus erros e dúvidas.
As dificuldades apresentadas pelos alunos podem estar diretamente relacionadas
com o fato de que as escolas começam trabalhando com as regras de caráter algébrico sem
que antes os alunos consigam ter a base do conteúdo desenvolvido suficientemente. Mas,
um bom trabalho com as frações contribui para que as operações algébricas não se tornem
um problema para os alunos, e sim uma solução.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CURY, H. N. O papel do erro na aprendizagem de matemática. Disponível em: <
www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Palestra/PA%20-%2013.doc > Acesso em: 20 jul.
2015
FERREIRA, M. C.C.; MOREIRA, P. C.; SOARES, E. F. Frações: o que os erros dos
alunos podem ensinar aos professores. Presença Pedagógica, Belo Horizonte, v. 5, n.29,
set./out.1999.
LLINARES, S.; SÁNCHEZ, M. V. As frações: diferentes interpretações. Fracciones: la
relación parte-todo. Madrid: Síntesis, 1997.
PARÂMETROS
CURRICULARES
NACIONAIS.
Disponível
em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf > Acesso em: 19 jul. 2015
<