Minissimpósio: Condições de Otimalidade em
Otimização e Controle Ótimo
Uma grande variedade de problemas de nosso dia-a-dia podem ser modelados
como programas de Otimização ou de Controle Ótimo. Este é um fato bem
conhecido e é desnecessário citar aqui uma série de referências sobre o assunto. Após a obtenção dos modelos, naturalmente, é necessário resolvê-los.
A determinação das soluções é quase sempre apoiada por métodos computacionais. A eficiência destes métodos depende fundamentalmente de bons
resultados teóricos sobre problemas de otimização, como por exemplo, as
condições de otimalidade.
Neste minissimpósio trataremos de condições de otimalidade tanto necessárias quanto suficientes. Abordaremos problemas de otimização em espaços
de intervalos, problemas em que os funcionais que os definem podem assumir
“valores” intervalares. Tais problemas são importantes em situações onde
há incertezas nos dados coletados para a modelagem do problema. A teoria
de espaços intervalares é relativamente nova, os primeiros trabalhos são da
década de 50. Ultimamente muitos pesquisadores têm se voltado para problemas de otimização intervalares, de modo que o assunto é bastante pertinente
para um minissimpósio no CMAC.
Além dos problemas intervalares citados acima, vamos também tratar de
problemas de controle ótimo, problemas com restrições cônicas, isto é, definidas por meio de cones, e problemas de otimização multi-objetivo. Estes são
problemas, digamos, mais clássicos, mas não menos importantes, tanto do
ponto de vista teórico quanto das aplicações. No que diz respeito aos problemas com restrições cônicas, o trabalho a ser apresentado considera problemas
não-regulares. Condições necessárias e suficientes são obtidas. Condições
de otimalidade para problemas não-regulares são importantes quando, por
exemplo, nenhuma das condições de qualificação das restrições (constraint
qualifications) de primeira ordem é verificada. As condições suficientes são
estabelecidas via convexidade generalizada. Esta mesma ferramenta é também utilizada na obtenção das condições suficientes de otimalidade para um
problema de controle ótimo multi-objetivo. Neste trabalho sobre controle
ótimo multi-objetivo, os autores também fazem um estudo estabelecendo relações entre o conjunto de soluções do problema com múltiplos objetivos e
um problema escalar associado, o chamado método da escalarização. Convexidade generalizada é usada ainda em um outro trabalho, que traz alguns
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resultados de dualidade para problemas de programação não-linear multiobjetivo e para problemas de programação não-linear com tempo contínuo.
Os resultados clássicos sobre dualidade são, normalmente, estabelecidos sob
hipóteses restritivas de convexidade. Resultados desta natureza com hipóteses mas fracas são sempre relevantes na teoria de otimização.
Programa
Dia 07/09/2015:
• 09:00-09:25
Robust and level-continuous functions: An approach via optimal points
Heriberto Román-Flores, Yurilev Chalco-Cano
The class of level-continuous fuctions has been extensively studied in
the last years, specially in the area of convergence of upper semicontinuous (usc) functions and characterization of local maximum points
of usc-functions. In this work, we extend some analogous topological
and geometric properties of usc-functions for a more general class of
robust functions. Some additional comments about the equivalence of
set-convergences on the class of robust functions are also presented.
Support: Grants 1151159 and 1151154, Fondecyt-Chile.
• 09:30-09:55
Single level derivative for interval-valued functions
Ulcilea A.S. Leal, Gino Maqui, Geraldo N. Silva, Weldon Lodwick
This work uses a recently proposed single level difference for intervals
to introduce and study single level differentiability in interval-valued
functions, and also show how this derivative relates to other derivatives
proposed in recent literature. Furthermore, to illustrate the calculation
of the single level derivative several examples are also shown.
Support: Grant 2012/00189-3 and 2013/07375-0, FAPESP, 309335/20124 and 479109/2013-3, CNPq, and BEX 11153/13-0, Capes.
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• 10:00-10:25
Interval optimization in generalized interval vector spaces
Geraldo N. Silva, Tiago M. Costa, Yurilev Chalco-Cano, Weldon A.
Lodwick
This paper presents a method for endowing the generalized interval
space with some different structures, such as vector spaces, order relations and an algebraic calculus. With these concepts we formulate interval optimization problems and relate them to classic multi-objective
optimization problems. We also present a version of the Von Neumann’s
Mini-max Theorem in the interval context.
Support: Grant 2013/07375-0, São Paulo Research Foundation (FAPESP); grants 479109/2013-3 and 309335/2012- 4, National Council
for Scientific and Technological Development (CNPq).
• 10:30-10:55
Multiobjective interval-valued programming problem
Yurilev Chalco-Cano, Rafaela Osuna-Gómez
In this work we devoted to necessary and sufficient optimality conditions for interval optimization problems with multiple objectives and
feasible set defined by interval constraints too. We introduced a new
concept of Fritz-John and Kuhn-Tucker points for an interval-valued
programming problem based on the gH-derivative. We show the novelty
and importance of these concepts from a practical and computational
point of view.
Support: Grant 1151154, Fondecyt-Chile.
Dia 08/09/2015:
• 09:00-09:25
WD-invexity for continuous-time and multiobjective nonlinear programming problems
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Lucelina B. Santos, Valeriano A. de Oliveira, Camila Isoton, Marko
Rojas-Medar
The concept of WD-invexity was recently introduced for nonlinear programming problems with inequality constraints. For such problems, a
dual problem was proposed and the following result was established:
the primal problem is WD-invex if and only if the pair of primal-dual
problems satisfies the weak duality property. In this work, we discuss
the notion of WD-invexity for two other types of non-linear programming problems: the multiobjective problem and the continuous-time
problem. We obtained similar results as in [V.I. Ivanov, Duality in
nonlinear programming, Optimization Letters (2012), 16 pages, DOI
10.1007/s11590-012-0512-6].
• 09:00-09:25
Generalized convexity for non-regular optimization problems
with conic constraints
Marko Rojas-Medar, Beatriz Hernández-Jiménez, Rafaela OsunaGómez, Lucelina B. Santos
In non-regular problems the classical optimality conditions are totally
inapplicable. It is well known that generalized convexity notions play a
very important role in optimization for establishing optimality conditions. In this paper we give the concept of Karush–Kuhn–Tucker point
to rewrite the necessary optimality condition known in the 2-regular
case and the appropriate generalized convexity notions to show that
the optimality condition is both necessary and sufficient to characterize
optimal solutions set for non-regular problems with conic constraints.
The results that exist in the literature up to now, even for the regular
case, are particular instances of the ones presented here.
Support: Grant 1120260, Fondecyt-Chile.
• 10:00-10:25
Sufficient optimality conditions for optimal control problems
with multiple objectives
Valeriano A. de Oliveira, Geraldo N. Silva
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This work is devoted to presenting optimality conditions for the sufficiency of the maximum principle for multiobjective optimal control
problems with nonsmooth data. Such conditions are the most general
as possible in the sense that problems in which the set of necessary conditions from the maximum principle are also sufficient, necessarily obey
them. A variation of such conditions is also presented, under which the
set of optimal solutions of the multiobjective problem can be determined by resolving a related scalar weighting problem. The notion of
MP-pseudoinvexity is generalized to include nonsmooth multiobjective
optimal control problems. It is showed that every extremal process is
optimal if, and only if, the problem is MP-pseudoinvex. The concept
of MP-invexity is introduced and some results on the so called scalarization method are established. This method consists in associating a
mono-objective problem to the multiobjective one, where the objective
function is a weighted sum of the coordinates of the vector-valued objective function. It was proved that when the multiobjective problem
is MP-invex, an optimal solution of the multiobjective problem is an
optimal solution of the weighted scalar problem, and conversely.
Support: Grant 2013/07375-0, São Paulo Research Foundation (FAPESP); grants 457785/2014-4, 479109/2013-3, and 309335/2012- 4, National Council for Scientific and Technological Development (CNPq).
• 10:30-11:00
Discussão
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