Um experimento para determinar aceleração da gravidade
usando um fluido em rotação uniforme
Carlos A. F. Pintão1, Moacir P. de Souza Filho2, Gustavo Iachel3, Momotaro Imaizumi4
1,2,3,4
Unesp/Departamento de Física/Faculdade de Ciências-Bauru, [email protected]
ABSTRACT
In this paper, we use a different experimental setup compared to traditional ones in order to determine the
acceleration of gravity g. A system of measurement comprised of a cylindrical receptacle with water, fixed
on a shaft from a rotational system, and an electric-electronic specific circuit to measure electric current or
frequency, are used in order to determine angular velocity of the fluid in uniform rotational movement. An
equation to determine g is inferred from fluid mechanics, taking into consideration the parabolic shape of
the fluid when the set is moving around a rotation axis. The results show that g is obtained with a minimum
deviation and precision value of 0% and 0,8%, respectively, in relation to the expected value: 9,79m/s2.
Keywords: acceleration of gravity, fluid mechanics, angular velocity.
1
Introdução
A medida da aceleração da gravidade (g) é um
assunto de interesse científico para metrologia,
geofísica, geodésia e áreas do conhecimento
que envolve o ensino da física. Para a
metrologia, porque a aceleração da gravidade
influencia a medida de uma grandeza física
que envolve uma força padrão; já para
geofísica e geodésia, que estudam as
variações da gravidade MARSON and
FALLER
(1986),
interessa
porque
possibilitam estudar as causas das mudanças
da gravidade. Neste sentido, há a necessidade
de desenvolver experimentos e equipamentos
que permitam medir g com muita precisão.
No ensino da física, em geral nos cursos de
graduação, um dos interesses dos educadores
é descrever alguns dos inúmeros fenômenos
físicos encontrados na natureza e, para este
propósito, o valor de g é determinado como
uma comprovação de sua descrição. Desta
forma, não há grande necessidade, como
naquelas áreas específicas citadas, de se obter
um g com um número de algarismo
significativo maior que três, que é
freqüentemente encontrado nos textos de
física. Por essa razão e questões de
simplicidade experimental, encontram-se três
experimentos tradicionalmente usados para se
determinar g, que são: Queda livre, Pêndulo
Simples e Físico.
Alguns experimentos mais recentes, que
diferem daqueles tradicionais, pelo fato de
usarem técnicas de medição modernas,
conseguem mostrar características do
movimento de um corpo que são importantes
para o aprendizado da Física na determinação
de g. A exemplo o artigo de PERUZZO
(2010), que por meio da visualização gráfica
dos intervalos de tempo entre impactos
sucessivos de corpos no solo, usando um
microfone próximo ao chão e um software
Audacity para captar e analisar graficamente o
som, ele mostra que a distância que o corpo
percorre em queda livre é proporcional ao
quadrado do tempo de queda determinando g.
Artigos que mostram técnicas de aquisição e
análise de dados por meio do uso de
computador como CAVALCANTE e
TAVOLARO (1997) ou MOREIRA, NEVES
PINHEIRO e PINHEIRO (1991) que se
baseiam na analise de incertezas para a
seleção de instrumentos adequados para a
experimentação, determinam g como
comprovação de suas descrições. Além dos
trabalhos anteriores existe àqueles baseados
em modelos teóricos como o de LOPES
(2008) mostrando uma expressão para
calcular g com a latitude e altitude.
2/2
Neste artigo, propõe-se um experimento
diferente desses tradicionais para determinar g.
Inicialmente, descreve-se o movimento de um
fluido em rotação uniforme e chega-se a uma
equação que contém a aceleração da
gravidade. A seguir, descreve-se um sistema
de medida que permite a medição de uma
corrente elétrica ou freqüência usando um
medidor de corrente analógico ou um
osciloscópio digital, respectivamente. Por
intermédio destes valores, corrente ou
freqüência, mostra-se como é possível
determinar a velocidade angular de um fluido
em rotação uniforme. Para cada uma das
velocidades angulares selecionadas, a forma
como a superfície do fluido ficará dentro do
cilindro pode ser quantificada, levando-se em
consideração a altura da coluna do líquido em
relação a sua base, conforme será descrito a
seguir.
r
dr
y
h
r
FN
.
-F
N
Fg
h
C
r
dy
dr
O
r0
R
(p
h0
H
p
dy )
y
1_ d
2
p
r
(p
dy
p
y
d
1
_
d
2
rd
r
O
z
x
.
p
dr )
r
(r+dr)d
.
dr
p
1d
_
2
Figura 1 – (a) – Rotação do fluido em torno de y com
uniforme; (b) Elemento de volume representando
uma partícula do fluido que atua com uma pressão (p)
sobre suas superfícies e a gravidade na direção
contrária de y crescente; (c) – Elemento de volume
infinitesimal usado no cálculo do volume quando o
fluido se movimenta com uniforme.
2
Definindo a equação para obter a
gravidade
Um fluido de peso específico , dentro de um
recipiente cilíndrico de raio R, gira
uniformemente com uma velocidade angular
(Fig. 1(a)). Depois de algum tempo, ele se
comporta como um sólido (STREETER
(1977), GILES (1972), HUGHES and
BRIGTON (1974), considerando-se que cada
partícula do fluído possua aceleração
constante e não tenha movimento relativo em
relação à sua vizinhança imediata. Deste fato,
subentende-se que as tensões tangenciais ou
cisalhantes resultantes são nulas para cada
ponto do fluido. As únicas forças que agem
sobre as partículas do fluido são decorrentes
da pressão (no caso de um ponto da superfície
do fluido, temos a ação de uma força normal
em decorrência da pressão atmosférica, FN,
que terá uma reação da partícula sobre a
atmosfera, -FN.), e da gravidade (força
gravitacional, Fg, em razão da atração da
massa da terra sobre a partícula).
Considere as coordenadas polares y, r e ,
expressas em relação a um referencial inercial
Oxyz, o mesmo referencial do laboratório,
como mostra a Fig. (1b). Uma partícula do
fluido, dentro desse recipiente, que gira a uma
velocidade angular uniforme, apresentará
sobre um plano paralelo a xz uma trajetória
que é uma circunferência, cujo centro (C) é
definido pela intersecção de com o eixo y.
Para que essa partícula descreva uma
circunferência, a direção de sua velocidade
variará com o tempo, embora sua intensidade
seja constante, pelo fato de a velocidade
angular ser uniforme e r fixo. Em outras
palavras, a resultante das forças na direção da
tangente dessa trajetória (circunferência de
centro C) é igual a zero, o que equivale a dizer
que
p
0
. Logo, deve existir uma
aceleração, especificamente em virtude da
variação da direção de sua velocidade. Essa
aceleração é conhecida como aceleração
centrípeta e apresenta uma direção e sentido
contrário ao de r crescente. A sua intensidade
é expressa por 2r e, as suas componentes em
x e y são - 2r cos e - 2r sen ,
respectivamente. Se essa partícula sofre o
efeito de uma aceleração radial, então, a
segunda lei de Newton garante que existirá
uma resultante de força nessa direção, com o
mesmo sentido da aceleração, e que ela é a
causa da variação na direção da sua
velocidade. Essa força, conhecida como força
centrípeta, tem origem na pressão sobre a
superfície do elemento infinitesimal, que
representa a partícula do fluido. A força
gravitacional tem a direção y e, portanto, não
interferirá nessa força radial. Aplicando a
segunda lei de Newton na direção r para essa
3/2
partícula, considerando o mesmo referencial
Oxyz, bem como a aproximação para ângulos
1
2
pequenos sen( d )
p dy r d
p
dr ) dy (r
r
(p
dr ) d
1
d , encontra-se que:
2
1
2 p dy dr ( d )
dy r d dr 2 r .
2
g
Se os termos de ordem superior a dois são
desprezados, resulta em:
p
r
2
g
r.
(1)
Por outro lado, a partícula se movimentará na
direção y, assim que o conjunto começar a
girar, até atingir um valor de
uniforme.
Dessa forma, deve existir uma variação na
pressão que equilibrará as forças na direção y
e manterá a partícula em equilíbrio
hidrostático. Expressando essas forças na
direção y para o elemento de volume
considerado,
Fig.
(1b),
segue
que
r dr d dy p r dr d
p
dy ) r dr d
y
(p
0,
de forma que a equação de equilíbrio nesta
direção resulta em:
p
y
.
(2)
2
Observa-se que p é uma função só de r e y,
p
uma vez que
0 , pode a diferencial total
de pressão expressa por dp
reescrita ao se substituir
p
r
p
dy
y
p
dr , ser
r
e
p
, pelas
y
equações (1) e (2), respectivamente, isto é:
dp
dy
2
g
r dr .
(3)
Integrando a equação (3), assumindo-se que
para r=r0 tem-se: y=h0 e p=p0, e que para r0 r
R, h e p são arbitrários, encontra-se que:
2
p
p0
(h h0 )
g
(r 2 r0 2 )
.
2
(4)
Para uma superfície a pressão constante, p=p0,
ou dp=0, obtém-se:
2
h
questão prática, o ponto O, origem dos eixos
cartesianos, é posicionado sobre o eixo y, na
altura da base do cilindro, e os eixos x, y e z
encontram-se em repouso em relação ao local
do experimento. O valor de h0 é constante
para cada uniforme e r0 e g são constantes.
Como a forma da superfície deve variar para
cada novo valor de , então h0 deve assumir
valores diferentes. Uma maneira de visualizar
isto é adicionar um volume de água dentro de
um recipiente cilíndrico e então girá-lo em
torno de seu eixo de simetria, até que ele atinja
uma velocidade angular uniforme.
Considere que o volume do fluido é o mesmo
para as situações em que o recipiente está em
movimento de rotação ou parado. É claro que
a situação em que o fluido pode transbordar
do recipiente não será considerada. Portanto, é
possível definir uma equação com o objetivo
de determinar a aceleração da gravidade,
como segue:
Quando =0, o volume de fluido inicial é:
(6)
V1
( R 2 r0 2 ) H .
Quando 0, o volume é expresso por:
h0
(r 2 r0 2 )
.
2g
(5)
Esta equação demonstra que, para cada
velocidade angular mantida uniforme, a forma
da superfície que o fluido assume no
recipiente é um parabolóide, porque h é uma
função de r2, uma vez que o observador se
encontra parado em Oxyz (Fig. (1b)). Por
V2
( R 2 r0 2 ) 2
4g
h0 ( R 2 r0 2 ) .
(7)
A equação (7) é obtida por meio da integração
do elemento de volume (ver Fig. 1(c)),
dV 2 rh dr , para r variando de r0 a R, e
substituindo-se h proveniente da equação (5).
Como o volume do fluido é o mesmo para
diferentes , obtém-se:
2
H
h0
( R 2 r0 2 )
.
4g
(8)
É possível verificar que a equação (8) é válida,
determinando g. Como os parâmetros H, R, r0
e g são constantes para diferentes
configurações da superfície do fluido no
recipiente e h0 muda para cada um dos valores
de , pode-se definir 2 como uma variável
independente, enquanto h0 como dependente,
ou vice-versa, h0 como variável independente
e 2como dependente. Esta última alternativa
é a que será adotada neste trabalho. Para que
este procedimento experimental seja realizado,
é necessário que se determine o valor da
velocidade, , e do parâmetro h0. Neste
trabalho, optou-se por construir um circuito
eletro-eletrônico que auxilia na realização da
medição direta da corrente elétrica ou
4/2
freqüência e, então, determina-se
indiretamente, conforme será exposto. Outros
procedimentos experimentais podem ser
utilizados com o mesmo objetivo,
dependendo tão somente dos equipamentos
que se tenham disponíveis no momento
PINTÃO e SOUZA FILHO (2007).
O problema discutido neste tópico, que define
uma equação para obter o valor de g, foi
também proposto como um dos problemas da
parte experimental em uma Olimpíada
Internacional de Física, na Turquia, em 2001,
International Physics Olympiad (2001). A
diferença experimental básica entre as
soluções apresentadas neste artigo e naquela
Olimpíada é a medida da velocidade angular e
o foco dado para quantificar a mudança na
forma da superfície do líquido dentro do
recipiente em rotação.
recipiente cilíndrico preso ao eixo de rotação,
a freqüência descrita pela equação (9) pode
ser relacionada à velocidade angular do eixo
ou recipiente, . Para esse propósito, um
disco compacto (CD) foi preso ao eixo de
rotação e dividido em 24 seções iguais, tendo
doze dessas seções sido cobertas com folhas
opacas, tal que, alternadamente, o CD, ao
girar, acoplava as superfícies espelhadas e
opacas.
Em seguida, com um dispositivo sensor opto
eletrônico (Emissor e receptor infravermelho),
que distingue a natureza da superfície por
reflexão, foi montado faceando a superfície do
CD (Fig. 3).
Usando um circuito integrado CI 4069, como
mostra a Fig. 2b, o nível lógico 0 está
associado à superfície opaca, e o nível 1,
àquela espelhada. Os níveis (pulsos
quadrados) comandam uma chave de
comutação analógica, CMOS (CI 4066), que
realiza o papel da chave S mostrada na Fig. 2a,
iniciando os processos de carga e descarga do
capacitor.
A freqüência de rotação do eixo é
Figura 2 – (a) Circuito para medida de freqüência;
(b) Diagrama do circuito do sensor opto eletrônico.
3
Medindo a velocidade angular, , e a
altura, h0
A velocidade angular pode ser medida
indiretamente usando-se o método de
FLEMING and CLINTON (1903). Conforme
mostra a Fig 2a, o capacitor é carregado
quando a chave S estiver em contato com o
terminal p. Uma vez que o capacitor esteja
carregado, quando S estiver em contato com q
por meio do medidor de corrente DC, M, ele
será descarregado.
A freqüência de comutação, f, pode ser
expressa como:
f
i
,
CV
(9)
em que i é a corrente registrada em M, V é a
tensão aplicada ao capacitor de capacitância
C.
Um elemento importante no circuito é a chave,
S, um dispositivo que periodicamente o
modifica, carregando e descarregando o
capacitor. Portanto, se S é acoplada ao
1
da
12
freqüência de comutação, f. Portanto, a
velocidade angular, , do cilindro, pode ser
expressa como
f
6
(10)
e, combinada com a equação (9), resulta em:
6CV
i.
(11)
Os erros associados às duas equações (10) e
(11), respectivamente, segundo a teoria dos
erros [8], são expressos por:
( )
6
[(
i
(12)
f
)
2
2
i
(
C
)
2
2
C
(
V
)
2
1
2 2
V]
(13)
As derivadas parciais que aparecem na
equação (13) são:
(
(
(
1
)2 ( )2 2 2
i
6 C V
(14)
i2
( )2 4 2
6 C V
(15)
i2
)2 ( )2 2 4
V
6 C V
(16)
C
)2
Como pode ser observado da equação (11), a
5/2
velocidade do cilindro é obtida indiretamente
da leitura da corrente elétrica.
Outra opção é utilizar um osciloscópio digital
e, ao invés da corrente elétrica, medir
diretamente a freqüência de chaveamento f.
Neste caso, a velocidade angular é expressa
pela equação (10). Optou-se por realizar as
medidas de forma simultânea, usando um
medidor de corrente e um osciloscópio digital.
O objetivo deste procedimento é aprender
qual o comportamento do sistema na
determinação da velocidade angular.
Para realizar a medição de h0, optou-se por
uma medida visual. Um fio cilíndrico foi
fixado à base do recipiente, coincidindo com o
eixo y (ver a Fig. 3). Neste fio, uma escala em
milímetros,
encapsulada
em
plástico
impermeável ao fluido, cujo raio é r0, foi
posicionada de tal forma que a leitura da
altura h0 pudesse ser realizada visualmente.
A
B
H
E
F
J
O
L
N
I
C
D
M
G
Figura 3 – Arranjo experimental. Legenda: A – Um
fio cilíndrico de raio r0 com uma escala em milímetros;
B – Cilindro de plástico contendo água; C – Base de
Teflon para fixar recipiente cilíndrico; D – CD com 24
divisões (12 opacas e 12 espelhadas); E – Polia com
correia acoplada para transmissão do movimento de
rotação; F - Motor elétrico DC; G – Base do sistema
rotacional; H – Osciloscópio digital; I – Capacitor com
capacitância C=(96,1±0,1) nF; J – Fonte de tensão DC,
cuja tensão aplicada está relacionada às Tabelas 1 a 4,
respectivamente.; L – Medidor de corrente analógico;
M - Dispositivo opto eletrônico para chavear o circuito
RC; N – Circuito RC; O - Fonte de tensão DC, cuja
tensão aplicada controla a rotação do Motor
4
Materiais e métodos
Para o propósito deste experimento, foram
usados os instrumentos: fonte de tensão DC
(KEPCO,
modelo-NºDPS40-2M),
um
medidor de corrente analógico (Minipa,
modelo ET3021), um osciloscópio digital
(Tektronics, modelo TDS 210, 60 MHz), um
motor com uma correia de transmissão
(PASCO, modelo ME-8955), uma fonte de
tensão DC (KEPCO, modelo-NºDPS40-2M)
para alimentar e controlar a rotação do motor
e para variar a do cilindro, uma base de Teflon
presa ao eixo do sistema rotacional para que
um recipiente de plástico cilíndrico com água
pudesse ser fixado e, finalmente, dispositivo
opto eletrônico para chavear um circuito RC,
conforme descrito no item 3. A montagem
final do experimento pode ser vista na Fig. 3.
Altera-se a velocidade angular do cilindro por
meio de uma fonte de tensão DC e, portanto, a
forma da superfície da água ou do parabolóide.
Inicia-se o movimento do repouso, =0, e um
valor de H escolhido adequadamente. Uma
corrente pode ser vista na escala do medidor
analógico, de forma que seja feita a sua leitura
e anotada. Depois de um pequeno intervalo de
tempo, a água passa a girar com o recipiente a
uma velocidade angular uniforme. Como o
cabo do osciloscópio está conectado ao
capacitor (Fig. 3), é possível realizar
simultaneamente a medida da freqüência de
chaveamento, f, e da corrente elétrica, i.
Foram repetidas cinco medições de freqüência
para cada fixo, de forma que se avaliasse o
erro envolvido no valor de f. Depois de
registradas: corrente e freqüência, realiza-se
uma medida de h0 de forma visual.
A seguir, altera-se a velocidade angular para
outro valor, por meio do mesmo procedimento
prévio. Novos valores de corrente (i),
freqüência (f) e altura (h0), diferentes dos
anteriores, são registrados. Repete-se este
procedimento para alguns valores de
diferentes entre si. Estas medidas são
realizadas para rotações crescentes e/ou
decrescentes. Usando a equação (10) e (11),
calcula-se . Uma vez tabelados 2 e H-h0,
constrói-se um gráfico de 2 em função de
H-h0 e determina-se sua inclinação, B.
Baseados no item 2, a equação (8) prediz um
comportamento linear entre estas grandezas,
cuja inclinação é B
4g
(R
2
r0 2 )
de g é calculado da equação:
. Então, o valor
6/2
B 2
(R
4
g
r0 2 ) .
(16)
O erro associado ao valor de g foi calculado
com base na teoria dos erros VUOLO (1996),
onde sua variância, g2 , é expressa como:
2
g
(
g 2
)
B
2
B
(
g 2
)
R
2
R
(
g 2
)
r0
2
r0
.
(17)
As derivadas parciais da equação (12) são:
g 2
)
B
g
( )2
R
g
( )2
r0
(
1 2 2 2
( R r0 ) ,
16
1 2 2
B R ,e
4
1 2 2
B r0 .
4
(18)
(19)
(20)
Desta forma, substituindo os valores
experimentais, é possível determinar o erro
associado a g como sendo g .
5
Resultados
Para obtenção dos resultados apresentados,
optou-se por um recipiente cilíndrico de raio
R=(103,4 0,1)mm com água até uma altura
de H=(70,0 0,5)mm (próxima à metade da
altura do recipiente), e uma escala em
milímetros de raio r0=(1,93 0,02)mm
concêntrica ao eixo y. Ver Fig. 3. Para a
medida da corrente elétrica, i, optou-se por um
medidor analógico com fundo de escala 50
A, menor divisão 1 A e uma resistência
interna da ordem de 103 , além de uma
capacitância C=(96,1 0,1)nF e uma diferença
de potencial de V=(10,0 0,1)V ou de
V=(14,0 0,1)V.
As Tabelas 1 e 2 mostram os valores
experimentais da corrente elétrica (i), altura
(h0), velocidade angular ( e 2) e H-h0, com
H e V previamente fixados. Os valores de
foram calculados por meio da equação (11), e
os erros, , pelas equações (13-16).
Com os valores das Tabelas 1 e 2, a Fig. 4 é
construída. Ajustam-se as duas melhores retas
aos pontos experimentais relativos a cada uma
delas. Por meio de suas inclinações (3660 42)
rad/m.s2
e
(3669 28)
rad/m.s2,
considerando-se o fato de que podem ser
expressas por
4g
(R
2
r0 2 )
,
determina-se a
aceleração da gravidade g. Os valores são
g=(9,8 0,1)m/s2
e
g=(9,79 0,08)m/s2,
respectivamente a cada uma dessas
inclinações. Um desvio máximo de 0,1% e um
mínimo de 0% são observados em relação à
gravidade local (g=(9,79 0,01)m/s2). A
precisão associada aos dois valores de g é de
1% e 0,8%.
As Tabelas 3 e 4 mostram os valores
experimentais da freqüência de comutação (f),
altura (h0), velocidade angular ( e 2) e H-h0,
com H=(70,0 0,5)mm. Os valores de foram
calculados por meio da equação (10), e os
erros
pela equação (12). Foram realizadas
cinco medições de freqüência, f. Em seguida,
calculou-se a média desses valores e o seu
erro, f, por meio do desvio padrão.
Com os valores das Tabelas 3 e 4 constrói-se a
Fig. 5 e, de forma semelhante à Fig. 4,
determina-se a inclinação das retas que
melhor representam os pontos experimentais,
o que resulta em (3685 32) rad/m.s2 e
(3706 36) rad/m.s2. De forma que os valores
experimentais para a aceleração da gravidade
são g=(9,84 0,09)m/s2 e g=(9,9 0,1)m/s2.
Neste caso, um desvio é observado de um
máximo de 1,1% e um mínimo de 0,5% em
relação à gravidade local. A precisão
associada aos dois valores experimentais é de
0,9% e 1%.
Observa-se que a precisão e o desvio
associados a g foram praticamente os mesmos,
quanto ao fato de se usar um osciloscópio ou
um medidor de corrente analógico. Isto só foi
possível porque o sistema de medida permite
ajustes no valor da tensão aplicada ao circuito
RC, que influencia nos valores registrados da
corrente elétrica, mas não naqueles da
freqüência. Como essas correntes são maiores,
quando se aumenta a tensão, e o erro
associado a elas é sempre a metade da menor
divisão da escala selecionada para as medidas,
serão menores,
i=0,5 A, então, os valores
porque as derivadas da equação (13)
dependem de V e i, segundo as equações
(14-16). Ao analisar a equação (14), que tem a
maior contribuição no erro de
e que
independe de i, nota-se que V está no
denominador e elevado ao quadrado. Assim
sendo, quanto maior V, menor será o resultado
de
i
. A equação (15), apesar de depender
7/2
de i e V, é a que menos contribui para o
resultado final de
, pois o resultado de
C
é
praticamente desprezível para as condições
experimentais escolhidas. A equação (16) é
diretamente proporcional a i2 e inversamente
proporcional a V4, e nota-se que, ao aumentar
V e conseqüentemente i, prevalecerá uma
diminuição no valor de
V
. Isto pode ser
observado pelos resultados de
das Tabelas
1 e 2, ao compará-los com aqueles das
Tabelas 3 e 4. Esses valores são praticamente
os mesmos. Se as tensões aplicadas pela fonte
DC fossem menores que os valores utilizados
e, as correntes menores que aquelas das
Tabelas 1 e 2, não se conseguiria, então, obter
um tão preciso quanto aquele das medidas
com osciloscópio, pois o valor de
i
que
prevalece no resultado final de , neste caso,
seria maior que o encontrado.
O fato de se escolher um recipiente cilíndrico,
com um raio de 103,4mm, também contribuiu
para que a precisão de g atingisse um valor
próximo a 0,5% nas medidas de corrente
elétrica e freqüência. Os valores de B e B
obtidos com esse recipiente são menores do
que aqueles com um raio menor que 103,4mm.
Como B e B estão implícitos no cálculo
final de g, por meio da equação (17),
conclui-se que quanto maior o diâmetro do
recipiente, maior será a possibilidade de se
conseguir um g mais preciso. Portanto, um
raio maior que 103,4mm, melhora a precisão
de g.
Ao compararmos o valor da precisão
associada a g neste experimento com aqueles
tradicionais: queda livre, pêndulo físico e
simples, nota-se que os valores de 0,8% e
0,9%, obtidos aqui, usando medidas de
corrente ou freqüência, respectivamente, são
muito próximos da melhor precisão que se
consegue, naqueles tradicionais, de 0,5%.
Uma vantagem do experimento apresentado
em relação aos tradicionais é que existe a
possibilidade de se escolher, por meio de
mudanças das condições experimentais, um
resultado final de g mais próximo de 0,5%.
Como exemplo, se aumentarmos o valor da
tensão aplicada e o tamanho do recipiente,
mantendo as mesmas divisões do CD, a
precisão de g será melhorada em relação aos
resultados apresentados.
Como se pode notar, o experimento proposto
é bastante instrutivo e levanta questões que
podem ser respondidas por meio de mudanças
nas condições experimentais. Ele abrange
vários aspectos do conhecimento e realiza a
sua integração tais como: a eletricidade, a
mecânica dos fluidos, o movimento de uma
partícula, a teoria dos erros, as leis de Newton,
os conceitos de referencial inercial e não
inercial, os conceitos de aceleração centrípeta
e força centrípeta, a força gravitacional, as
aplicações e medidas utilizando instrumentos
como osciloscópio e medidor de corrente
analógico, etc.
Tabela 1 – Valores experimentais para a construção da Fig. 4:
corrente elétrica (i), altura (h0), velocidade angular ( e 2) e H-h0. A
tensão na fonte é V=(10,0 0,1)V.
2
h0(mm)
H-h0(mm)
i( A)
(rad/s)
(rad/s)2
(9,5 0,5) (61,5 0,5)
(5,2 0,3)
(27 3)
(8,5 1)
(12,5 0,5) (57,5 0,5)
(6,8 0,3)
(46 4)
(12,5 1)
(15,5 0,5) (51,5 0,5)
(8,5 0,3)
(71 5)
(18,5 1)
(18,0 0,5) (44,5 0,5)
(9,8 0,3)
(96 6)
(25,5 1)
(20,5 0,5) (36,5 0,5) (11,2 0,3)
(125 7)
(33,5 1)
(23,0 0,5) (25,5 0,5) (12,5 0,3)
(157 8)
(44,5 1)
(26,0 0,5) (15,5 0,5) (14,2 0,3)
(201 9)
(54,5 1)
Tabela 2 - Valores experimentais para a construção da Fig. 4:
corrente elétrica (i), altura (h0), velocidade angular ( e 2) e H-h0. A
tensão na fonte é V=(14,0 0,1)V.
2
h0(mm)
H-h0(mm)
i( A)
(rad/s)
(rad/s)2
(14,0 0,5) (61,0 0,5) (5,5 0,2)
(30 2)
(9,0 1)
(17,5 0,5) (57,0 0,5) (6,8 0,2)
(46 3)
(13,0 1)
(21,5 0,5) (50,0 0,5) (8,4 0,2)
(70 3)
(20,0 1)
(25,0 0,5) (44,0 0,5) (9,7 0,2)
(95 4)
(26,0 1)
(29,5 0,5) (35,0 0,5) (11,5 0,2)
(132 5)
(35,0 1)
(33,0 0,5) (25,0 0,5) (12,8 0,2)
(165 5)
(45,0 1)
(36,5 0,5) (15,0 0,5) (14,2 0,2)
(202 6)
(55,0 1)
Tabela 3 – Valores experimentais para a construção da Fig. 5:
freqüência de chaveamento (f), altura (h 0), velocidade angular ( e
2
) e H-h0. A tensão na fonte é V=(10,0 0,1)V.
2
f(Hz)
h0(mm)
H-h0(mm)
(rad/s)
(rad/s)2
(9,8 0,2)
(61,5 0,5) (5,15 0,08) (27,0 0,8) (8,5 1)
(13,1 0,2)
(57,5 0,5) (6,84 0,06) (47,0 0,8) (12,5 1)
(15,6 0,2)
(51,5 0,5) (8,14 0,09) (66 1)
(18,5 1)
(18,3 0,2)
(44,5 0,5) (9,57 0,09) (92 2)
(25,5 1)
(21,40 0,07) (36,5 0,5) (11,20 0,04) (126,0 0,9) (33,5 1)
(24,3 0,4)
(25,5 0,5) (12,7 0,2)
(162 6)
(44,5 1)
(27,2 0,3)
(15,5 0,5) (14,3 0,2)
(203 5)
(54,5 1)
Tabela 4 – Valores experimentais para a construção da Fig. 5:
freqüência de chaveamento (f), altura (h 0), velocidade angular ( e
2
) e H-h0. A tensão na fonte é V=(14,0 0,1)V.
2
f(Hz)
h0(mm)
(rad/s)
(rad/s)2 H-h0(mm)
(10,3 0,1)
(61,0 0,5) (5,39 0,07)
(29,0 0,8) (9,0 1)
(13,00 0,08) (57,0 0,5) (6,81 0,04)
(46,0 0,6) (13,0 1)
(16,0 0,1)
(50,0 0,5) (8,36 0,05)
(70,0 0,9) (20,0 1)
(19,0 0,2)
(44,0 0,5) (9,95 0,09)
(99 2)
(26,0 1)
(22,0 0,4)
(35,0 0,5) (11,5 0,2)
(133 5)
(35,0 1)
(25,0 0,2)
(25,0 0,5) (12,92 0,08) (167 2)
(45,0 1)
(27,2 0,3)
(15,0 0,5) (14,3 0,2)
(203 5)
(55,0 1)
8/2
220
200
2
x (H-h0)
Medida de corrente elétrica
(Medidor analógico)
180
160
120
100
Resultado experimental p/ V=14,0 volts
Resultado experimental p/ V=10,0 volts
2
Curva ajustada, V=14,0 volts: =B*(H-h0),
80
2
(rad/s)
2
140
60
2
2
2
2
B=(3669±28)(rad) /m s
Curva ajustada, v=10,0 volts:
40
20
B=(3660±42)(rad) /m s
0
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
2
=B*(H-h0),
0,06
H-h0 (m)
Figura 4 – Curva
2
versus H-h0. Cálculo de
usando a equação (11). Sistema de medida com
medidor analógico para medir corrente elétrica.
Como alternativa para se determinar a
velocidade angular do recipiente, foi utilizado
um circuito eletro eletrônico simples para
medir corrente elétrica ou freqüência. Os
resultados encontrados para g estão em
concordância com o valor esperado:
g=(9,79 0,01)m/s2. Foram observados um
desvio e uma precisão mínima de 0% e 0,8%,
respectivamente, para a medida de corrente
elétrica, e 0,5% e 0,9% para medida de
freqüência. A melhor precisão para g nos
experimentos tradicionais permite que se
encontrem valores dentro de uma faixa de
0,5% a 1%, o que também é verificado neste
trabalho.
7
Referências bibliográficas
220
200
180
2
(rad/s)
2
160
2
x (H-h0)
Medida de freqüência
(Osciloscópio)
140
120
100
80
Resultado experimental p/ V=14,0 volts
Resultado experimental p/ V=10,0 volts
2
Curva ajustada, V=14,0 volts: =B*(H-h0),
60
40
0
0,00
2
2
2
2
B=(3706±36)(rad) /m s
Curva ajustada, v=10,0 volts:
20
B=(3685±32)(rad) /m s
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
2
=B*(H-h0),
0,06
H-h0 (m)
Figura 5 – Curva
2
versus H-h0. Cálculo de
usando a equação (10). Sistema de medida com
osciloscópio digital para medir freqüência.
6
Conclusão
Encontra-se, neste trabalho, uma alternativa
diferente em relação aos experimentos
tradicionais (Queda livre, Pêndulo Simples e
Físico) para se determinar a aceleração da
gravidade. Usando conhecimentos da
mecânica dos fluidos, mediante as diferentes
formas de parabolóides assumidas pela
superfície da água dentro de um recipiente
cilíndrico em diferentes rotações uniformes,
estabelece-se uma equação que contém a
aceleração da gravidade e também se propõe
um experimento para a sua determinação. O
que torna esse experimento interessante para
as práticas de laboratório é que ele apresenta
um arranjo relativamente simples, e que pode
ser reproduzido em qualquer Laboratório de
Física, integrando áreas do conhecimento que
aparentemente são vistas de forma isolada.
CAVALCANTE, M. A.; TAVOLARO, C.R.C. (1997)
Estudo do lançamento horizontal ulilizando o
computador para aquisição e análise de dados. Cad. Cat.
Ens. Fís., v.14, n.3: p.276-278.
FLEMING, J.A., CLINTON, W.C. (1903) On the
Measurement of Small Capacities and Inductances.
Phil. Mag. S. 6, v.5, n.29, p. 493-511.
GILES, R.V. (1972) Mecânica dos Fluidos e
Hidráulica. Coleção Schaum. Editora Mc Graw-Hill do
Brasil, Ltda.
HUGHES, W. F.; BRIGTON, J. A. (1974) Dinâmica
dos Fluidos. Coleção Schaum. Editora Mc Graw-Hill
do Brasil, ltda., p. 22-23.
International Physics Olympiad 2001 Turkey
http://www.jyu.fi/kastdk/olympiads.
LOPES, W. (2008) Variação da aceleração da
gravidade com a latitude e altitude. Cad. Bras. Ens. Fís.
V.25, n.3: p.561-568.
MARSON, I.; FALLER, J.E. (1986) g- the acceleration
of gravity: its measurement and its importance. J. Phys.
E: Sci. Instrum., Review article, v. 19, p. 22-32.
MOREIRA, S. M. C.; PINHEIRO, R. L. N.;PINHEIRO,
L. C. (1991) Determinação experimental da aceleração
de corpos em queda-seleção de instrumentos. Cad. Cat.
Ens. Fís. V.8, n.2: p.118-124.
PERUZZO, J. (2010) Determinação de g através da
captação do som de impacto de corpos com o solo. Cad.
Bras. Ens. Fís.,v.27, n.1:p.159-168.
PINTÃO, C. A. F.; SOUZA FILHO, M. P. de. (2007)
g- Acceleration of gravity: its measurement from the
shape of water by using a computerized rotational
system. European Journal of Physics, England, v. 28, p.
915-921.
STREETER, V. L. (1977) Mecânica dos Fluidos.
Editora Mc Graw-Hill do Brasil, ltda., p. 73-75.
VUOLO, J. H. (1996) Fundamentos da Teoria dos
Erros. 2ª ed., São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda.