Funções Quadráticas
Josefa Bastos
Ano Lectivo 2010/2011
1. No dia 15 de Julho, no escritório onde trabalha o António, foi ligado um
puricador de ar e desligado algum tempo depois.
Admita que o puricador foi ligado às zero horas e que a poluição do ar
diminui enquanto o puricador esteve ligado e que começou a aumentar
logo que aquele foi desligado.
O modelo matemático que descreve a poluição, P , do ar (em mg/L), às t
horas desse dia, é dado por:
P (t) = 0, 003t2 − 0, 06t + 0, 5, t ∈ [0, 24]
(a) Determine P (0) e P (24).
Interprete os resultados obtidos no contexto da situação descrita.
(b) Qual é o nível de poluição às 15h15min?
Apresente o resultado em mg/L com três casas decimais.
(c) Quando tempo esteve o puricador ligado?
(d) No escritório do Pedro, também é usado um puricador do ar que se
liga às zero horas e se desliga algum tempo depois.
O modelo matemático que descreve a poluição do ar no escritório do
Pedro (em mg/L), às t horas do dia, é dado por P1 , sendo:
P1 (t) = 0, 005t2 − 0, 08t + 0, 45,
0 ≤ t ≤ 24
Admita que a poluição do ar começa a aumentar logo que se desliga
o puricador.
1
Numa pequena composição matemática responda às seguintes
questões:
"Em qual dos escritórios é menor a poluição do ar durante o dia?"
"Os puricadores de ar foram desligados à mesma hora?"
Inclua na sua resposta os grácos das funções P e P1 bem como as
coordenadas dos pontos que considere relevantes para dar resposta
às questões apresentadas.
2. A gura representa dois terrenos anexos, com a forma de quadrados, vedados com 240m de rede e com área de 2900m2 .
Represente por x a medida, em metros, do lado do quadrado maior e por
y a medida, em metros, do lado do quadrado menor.
(a) Mostre que se verica a condição:
(120 − 2x)2 + x2 = 2900
(b) Determine os zeros da função:
f (x) = (120 − 2x)2 + x2 − 2900
(c) Numa pequena composição, responda à seguinte questão:
"Haverá apenas uma solução para x e para y de modo a serem satisfeitas as condições enunciadas?"
3. Na gura está representado um rectângulo [ABCD]
Este rectângulo é um esboço de uma placa decorativa de 20cm de comprimento por 16cm de largura e que será constituída por uma parte em metal
(representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a cor
laranja).
A parte em metal é formada por dois quadrados iguais e por um triângulo.
2
O triângulo tem um vértice no lado [BC] do rectângulo. Seja x o lado de
cada quadrado medido em centímetros.
Sem recorrer à calculadora, resolva os três itens seguintes.
(a) Mostre que a área, em cm2 , da parte em metal da placa decorativa é
dada, em função de x, por A(x) = 3x2 − 28x + 160.
(b) Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima
e calcule essa área.
(c) Sabendo que a área da parte em metal é igual a 100cm2 , determine
a área do triângulo.
4. Pretende-se construir uma cerca para animais vedando-se parte de um
terreno, junto a um muro, conforme a gura ilustra.
Três lados da cerca connam com um muro e os outros três cam denidos
por uma rede.
Pretende-se que os lados consecutivos da cerca sejam sempre perpendiculares.
As dimensões indicadas na gura são expressas em metros.
Tal como a gura mostra, x é a medida, em metros, de um dos lados da
cerca.
Vão ser utilizados, na sua totalidade, 110m de rede.
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(a) Mostre que a área (em m2 ), da cerca é dada, em função de x, por:
A(x) = −2x2 + 80x + 950
(b) Sem recorrer à calculadora, determine o valor de x para o qual é
máxima a área da cerca e determine essa área máxima.
(c) Quais devem ser as dimensões da cerca para que a sua área seja igual
a 1300m2 .
Se achar conveniente, faça acompanhar a sua resposta de um ou mais
desenhos que ajudem a claricá-la.
5. Dena uma função quadrática f tal que:
(a)
• o gráco de f é simétrico relativamente ao eixo Oy ;
• 1 é o zero de f ;
• 2 é o máximo absoluto de f .
(b) 1 + f (x − 1) = x2
(c) • a recta de equação x = 3 é um eixo de simetria do gráco de f ;
• a recta de equação y = 1 intersecta o gráco de f no ponto de
abcissa 2;
• a função f tem um único zero.
6. Um terreno triangular, apresentado em esquema na gura, tem as dimensões que se indicam:
(a) Mostre que, tomando para base do triângulo o lado que mede 39m,
a sua altura é igual a 40m.
(b) Pretende-se construir uma cerca rectangular inscrita no terreno tal
como é sugerido na gura.
i. Mostre que, designando por x a altura do rectângulo, o seu comprimento y é dado por:
y = 39 −
4
39
x
40
ii. Mostre que a área do rectângulo é dada, em metros quadrados,
por:
A(x) = 39x −
39 2
x
40
iii. Quais deve ser as dimensões do terreno rectângular para que a
sua área seja igual a 300m2 (apresente o resultado em metros
com aproximação às centésimas)?
iv. Determine as dimensões do rectângulo de área máxima.
7. Considere um quadrado [ABCD] com 10cm de lado.
O ponto P desloca-se ao longo do lado [AB] de tal modo que AP = x cm
O rectângulo [P QRS] tem os vértices sobre os lados do quadrado de tal
modo que [P S] é perpendicular à diagonal [AC].
(a) Determine a área do rectângulo [P QRS] se AP = 4 cm.
(b) Mostre que a área do rectângulo [P QRS] é dada, em centímetros
quadrados, por:
A(x) = 20x − 2x2
(c) Determine P S e P Q, sabendo que o rectângulo [P QRS] tem a área
máxima possível.
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