UNIVERSIDADE DE ÉVORA - Departamento de Matemática
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL
(MESTRADO EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO EM AGRICULTURA MEDITERRÂNICA)
1. Um determinado produtor garante que o seu vinho tem um teor médio de acidez
igual a 0.5g/l. Admita que o teor de acidez tem distribuição normal.
a) Caso numa amostra de 16 garrafas, analisadas pelas autoridades de fiscalização,
se tivesse obtido uma média de 0.55 g/l e um desvio padrão igual a 0.08, acha
que as autoridades deverão actuar sobre o produtor?
b) Teste, ao nível de 5%, se pode admitir para o desvio padrão o valor 0.1.
c) Admita, agora, que o desvio padrão do teor de acidez era conhecido e igual a
0.1g/l. Considere, ainda, que em 16 garrafas se obteve um teor médio de acidez
igual a 0.55 g/l
i) Obtenha um intervalo de confiança a 95% para o teor médio de acidez do
vinho.
ii) Caso pretendesse um intervalo de confiança com metade da amplitude do
anterior, quantas garrafas teria de ser analisadas?
iii) Teste, ao nível de 5%, a veracidade da afirmação do produtor, Calcule o
valor p do teste e interprete-o.
iv) Calcule o erro de 2ª espécie associado ao teste anterior, caso o verdadeiro
teor médio de acidez fosse igual a 0.6.
2. Numa linha de engarrafamento de azeite, a quantidade (em dl) vertida em cada
garrafa é uma variável aleatória com distribuição normal. Considera-se que a
máquina está afinada se não houver grandes desperdícios relativamente à quantidade
média por garrafa (10dl), procedendo-se a uma revisão sempre quando houver
evidência estatística, ao nível de 5%, que a variância é superior a 0.5. Caso numa
amostra de 10 garrafas a variância fosse igual a 0.65, que poderia concluir?
3. O grau de acidez do azeite de uma determinada marca é uma variável aleatória com
distribuição normal.
a) Numa amostra de 16 garrafas, obteve-se um média igual a 1.3 e uma variância
igual a 0.16. Sabendo que essa marca garante, nos rótulos das embalagens do
seu produto, um grau médio de acidez que não excede 1, diga, com base num
intervalo de confiança a 95% se poderá acusar a empresa de publicidade
enganosa.
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b) Supondo que o desvio padrão da população é igual a 0.4 graus, qual deverá ser a
dimensão da amostra a recolher de forma a garantir, com uma confiança de 99%,
um erro de estimativa que não exceda 0.3 graus.
4. Para confrontar dois tipos de máquinas de ceifar, um trigal foi dividido em secções
longitudinais, e cada duas secções adjacentes, tratadas por cada uma das máquinas.
As produtividades alcançadas foram as seguintes:
Máquina A
8.0
8.4
8.0
6.4
8.6
7.7
7.7
5.6
5.6
6.2
Máquina B
5.6
7.4
7.3
6.4
7.5
6.1
6.6
6.0
5.5
5.5
a) O agricultor tem ideia que a máquina A tem melhor rendimento. Admitindo que
as produtividades de ambas as máquinas possuem distribuição normal e que as
variâncias são conhecidas ( σ2A = 1.5 , σ2B = 1.0 ), poderá afirmar estatisticamente
ao nível de 5% que a máquina A tem um rendimento médio superior? E superior
em 1 unidade?
b) Calcule o valor p do teste anterior e interprete-o.
c) Resolva a alínea a) admitindo que as variâncias, embora desconhecidas, são
iguais.
d) Teste, ao nível de 5%, o pressuposto da igualdade de variâncias.
5. Para se compararem dois tipos de adubos delimitaram-se 24 talhões de modo a
formar pares tão homogéneos quanto possível relativamente aos vários factores
relevantes (solo, por exemplo) e em cada par foi escolhido à sorte o talhão adubado
com o adubo A, sendo o adubo B aplicado no outro talhão. As produções de trigo
obtidas foram:
Adubo A
12.0
12.4
13.0
11.8
14.0
12.8
14.0
13.5
12.6
12.6
12.7
13.0
Adubo B
12.8
13.1
13.1
12.7
13.2
12.5
14.1
13.7
11.8
13.5
13.2
12.9
a) Obtenha intervalos de confiança a 95% para a produção média obtida com cada
tipo de adubo.
b) Comente, ao nível de 5%, a proposição: “ Os dois tipos de adubos são
significativamente diferentes”
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6. Para testar, em condições tradicionais de cultura, dois novos tipos de milho, uma
exploração seleccionou aleatoriamente oito zonas de terreno mais ou menos
homogéneo, e em cada uma delas plantou sementes de ambos os tipos em talhões
separados. Os resultados da colheita (alqueires por hectare) foram: x1 = 81.63 e
s12 = 232.41 para o tipo I e x2 = 75.88 e s22 = 102.125 para o tipo II. Supondo que as
produções têm distribuição normal:
a) Poderá admitir o pressuposto da homocedasticidade?
b) Determine intervalos de confiança a 95% e a 99% para a diferença média das
produções. Interprete-os.
c) Com base nos intervalos anteriores poderá concluir que as produções médias são
diferentes?
7. Um investigador defende a introdução de uma nova cultivar A se um cereal por
considerar que gera produções superiores às da cultivar usual B. Para testar a sua
hipótese decidiu plantar 5 parcelas escolhidas ao acaso com a cultivar A e outras 5
parcelas escolhidas ao acaso com a cultivar B. Ao recolher a produção em grão em
áreas de 1m2, escolhidas ao acaso em cada parcela, obteve os pesos (gramas)
seguintes:
Cultivar A
183
180
174
157
164
Cultivar B
151
159
176
145
159
a) Obtenha intervalos de confiança a 95% para a produção média obtida com cada
cultivar.
b) Teste a hipótese do investigador ao nível de 5%.
c) Obtenha um intervalo de confiança a 99% para a diferença das produções
médias obtida com cada cultivar.
d) Suponha agora que o investigador afirmara que a nova cultivar A apresenta uma
produção média que excede em pelo menos 0.1 toneladas por hectare a produção
média da cultivar B. Que poderá afirmar ao nível de 5%. E ao nível de 1%?
e) Em que alíneas admitiu o pressuposto da homocedasticidade? Teste se considera
admissível um tal pressuposto.
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(MESTRADO EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO EM AGRICULTURA MEDITERRÂNICA)
8. Um determinado investigador pensa que, em plantas totalmente desenvolvidas de
certa cultivar de milho, o comprimento da folha do 2º nó excede, em termos médios,
em mais de 1 cm, o comprimento da folha do 1º nó. Para testar a sua hipótese,
seleccionou aleatoriamente 6 plantas plenamente desenvolvidas, e mediu o
comprimento das folhas do 1º e do 2º nó, tendo obtido os seguintes resultados (cm):
Planta
1
2
3
4
5
6
Comprimento das folhas do nó 1
55
57
52
56
60
62
Comprimento das folhas do nó 2
64
56
62
60
57
60
a) Que comentários lhe merece o esquema amostral utilizado pelo investigador?
b) Teste, aos níveis de 5% e de 1%, a hipótese do investigador.
c) Teste a hipótese anterior com base num intervalo de confiança a 95% para a
média das diferenças.
d) Qual deveria ser a dimensão comum das duas amostras para que, com uma
significância de 5%, fosse possível determinar a média das diferenças com um
erro de estimativa que não exceda 1cm?
9. Com o objectivo de prever a produção de trigo duma certa região, dividiu-se a
mesma em pequenos talhões, procedendo-se em seguida ao registo, ao acaso, da
produção de alguns desses talhões. Admita que a quantidade de trigo produzida por
talhão tem distribuição normal com desvio padrão igual a 60 Kg.
a) Determine o número mínimo de talhões que o experimentador deverá analisar se
desejar garantir, com uma confiança de pelo menos 95%, que a média da
amostra difira no máximo 30 Kg do verdadeiro valor da produção média por
talhão.
b) Qual o número mínimo de talhões que será necessário analisar se o nível de
confiança exigido for de 99%?
c) Acha que a hipótese de normalidade é essencial na resolução das alíneas a) e b)?
Justifique a resposta.