Módulo III
Módulo III: Difusão
Paulo R. Guimarães Jr
Marcus A. M. de Aguiar
Instituto de Física “Gleb Wataghin”
UNICAMP
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Conteúdo
1.
2.
3.
4.
Difusão como força criativa?
Modelos de duas espécies com difusão
Instabilidades de Turing
Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo I
Ao final desta aula, você deve ser capaz de:
1. Entender como difusão pode se tornar uma força criativa
2. Compreender os passos para a análise da instabilidade
espacial
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Conteúdo
1. Difusão como força criativa?
2. Modelos de duas espécies com difusão
3. Instabilidades de Turing
4. Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
1
2
dN1
 DN 2  N1 
dt
dN 2
 D N 1  N 2 
dt
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
1
2
dN1
 DN 2  N1 
dt
dN 2
 D N 1  N 2 
dt
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
1
2
C  N1  N 2
N1  C  N 2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
1
2
dN 2
 DN 1  N 2 
dt
dN 2
 DC  2N 2 
dt
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
1
2

C
2 Dt
N 2 t   1  e
2
F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III
1
2

C  2 Dt
N 2 t   e
2
F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III
Difusão por si só é um processo destrutivo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Como?
1. Difusão
2. Certas interações não-lineares
3. Alan Turing
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Conteúdo
1. Difusão como força criativa?
2. Modelos de duas espécies com difusão
3. Instabilidades de Turing
4. Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III

dN 1
N 1  N 2 
 r1 N 1 1 

dt
K1



dN 2
N 2  N1 
 r2 N 2 1 

dt
K2


F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
1
 f N 1 , N 2 
dt
dN 2
2
 f N 1 , N 2 
dt
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Fluxo
Um tubo com N elementos
38
40
Fluxo: número de elementos
que passam por um certo
ponto do tubo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Lei de Fick
38
40
N
J  -D
x
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
40
40
40
40
40
40
40
N1  N 2
N
0J
x
N
0
t
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
28
30
32
34
36
38
40
N ( x )  x  
N

x
J  x    D  cte
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
28
30
32
34
36
38
40
36 34

2
N x x


x
x
x 2
 2D
J
2
x 
N
0
t
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
N
0
t
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
N
0
t
N
 cte
x
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
30
33
38
45
54
65
78
78 65

N x x
13


x
x
x 2
13
J  D
x 2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
30
33
38
45
54
65
78
33 30

N x x
3


x
x
x 2
3
J  D
2
x 
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
30
33
38
45
54
65
78
N

  N 
  J  D

t
x
x  x 
  N 
2N
 D
D 2
x  x 
x
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Interesse
Quando modelos de campo médio estáveis se
tornam instáveis apenas como conseqüência
do espaço
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Conteúdo
1. Difusão como força criativa?
2. Modelos de duas espécies com difusão
3. Instabilidades de Turing
4. Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Interesse
Quando modelos de campo médio estáveis se
tornam instáveis
apenas como conseqüência do espaço
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Passos
•
•
•
•
Analisar as equações sem o espaço
Identificar os pontos de equilíbrio estáveis
Incorporar o espaço
Identificar quando o sistema fica instável
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Passos
•
•
•
•
Analisar as equações sem o espaço
Identificar os pontos de equilíbrio estáveis
Incorporar o espaço
Identificar quando o sistema fica instável
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
dN 1
 N1
1
 f N 1 , N 2   D1
2
dt
x
2
dN 2
 N2
2
 f N 1 , N 2   D 2
2
dt
x
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Solução
N 1  x, t   N 1 *
N 2  x, t   N 2 *
N1 , N 2   0
2
f N1 , N 2   0
f
1
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Estabilidade
N 1  N 1 * c1
N 2  N 2 * c2
ci  N i *
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1 f
f

c1 
c2  L11c1  L12 c2
t
c1
c2
1
1
c2 f
f

c1 
c2  L21c1  L22 c2
t
c1
c2
2
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1 f
f

c1 
c2  L11c1  L12 c2
t
c1
c2
1
1
c2 f
f

c1 
c2  L21c1  L22 c2
t
c1
c2
2
2
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1e
t
c2  A2 e
t
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1
 L11 c1  L12 c 2
t
c2
 L21c1  L22 c 2
t
quadro
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
 L11  

 L21

  0
L22   
L12
detL
2   L11  L22   L11 L22  L12 L21   0
1
1
  L11  L22  
2
2
L11  L22   4 det L
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Passos
• Analisar as equações sem o espaço
• Identificar os pontos de equilíbrio
estáveis
• Incorporar o espaço
• Identificar quando o sistema fica instável
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
0
1
1
  L11  L22  
2
2
L11  L22   4 det L
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
0
1
1
  L11  L22  
2
2
L11  L22   4 det L
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
 0
L11  L22  0 e
det L  0
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Passos
•
•
•
•
Analisar as equações sem o espaço
Identificar os pontos de equilíbrio estáveis
Incorporar o espaço
Identificar quando o sistema fica instável
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Incorporar uma perturbação
• Uma perturbação genérica é muito difícil de
analisar
• Opção: qualquer função de x pode ser
decomposta em funções simples (série de
Fourier)
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1 coskt e
t
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1 coskxet
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1 coskxet
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1 coskxet
2

k
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1 coskxet
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
 c1   A1 
t
     coskt e
 c2   A2 
 k   0
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
c1  A1 coskxet
2
P
k
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
 c1   A1 
t
     coskt e
 c2   A2 
quadro
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Passos
•
•
•
•
Analisar as equações sem o espaço
Identificar os pontos de equilíbrio estáveis
Incorporar o espaço
Identificar quando o sistema fica
instável
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
 0
L11  L22  0 e
det L  0
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Conteúdo
1. Difusão como força criativa?
2. Modelos de duas espécies com difusão
3. Instabilidades de Turing
4. Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Difusão por si só é um processo destrutivo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo III
Como?
1. Difusão
2. Certas interações não-lineares
3. Alan Turing
F016: Física aplicada à Ecologia