Módulo IV
Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade
Paulo R. Guimarães Jr
Marcus A. M. de Aguiar
Instituto de Física “Gleb Wataghin”
UNICAMP
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Conteúdo
1.
2.
3.
4.
Fractais
Leis de Potência
Passeios aleatórios
Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Ao final desta aula, você deve ser capaz de:
1. Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência
2. Entender as implicações para a diversidade da estrutura
fractal da natureza
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Conteúdo
1. Fractais
2. Leis de Potência
3. Passeios aleatórios
4. Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Cálculo da Dimensão Fractal
Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores:
Tamanho
Número
1
1
e
N(e)
Tamanho
Número
1
1
½
2
e
N(e)
Tamanho
Número
1
1
½
2
e
N(e)
Tamanho
Número
1
1
½
2
¼
4
e
N(e)
Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos
multiplica por 2.
Veja que N(e) = 1/e.
Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores:
Tamanho
Número
1
1
e
N(e)
Tamanho
Número
1
1
e
½
N(e)
4=22
Tamanho
Número
1
1
e
½
¼
N(e)
4=22
16=4*4=42
Tamanho
Número
1
1
e
N(e)
½
4=22
¼
16=42
1/2k
(2k)2 = (1/e)2
Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 22.
Veja que N(e) = (1/e)2 .
Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores:
Tamanho
Número
1
1
e
N(e)
Tamanho
Número
1
1
e
½
N(e)
8=23
Tamanho
Número
1
1
e
N(e)
½
8=23
¼
64=43
1/2k
(2k)3 = (1/e)3
Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 23.
Agora temos que N(e) = (1/e)3 .
Podemos então definir a dimensão de uma
figura com base nesse processo:
1
N (e )   
e 
d
Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d:
d
1
1
log[N (e )]  log   d log 
e 
e 
e
log[N (e )]
d
log[1 / e ]
Dimensão da Curva de Koch:
Tamanho
Número
1
1
1/3
4
1/9
16=42
1/27
64=43
1/3k
4k
e
N(e)
log[N (e )] log 4k k log 4 log 4
d



 1.26185....
k
log[1 / e ] log3
k log3 log3
Módulo IV
Fractais
1. Estruturas auto-similares
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Auto-similaridade estatística
Idéia:
A medida de uma característica em uma certa parte do
sistema é proporcional ao valor da medida da mesma
característica para o sistema inteiro.
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Módulo IV
Auto-similaridade estatística
N  população
r  escala espacial (ha)
N(r)  população medida em uma certa escala espacial
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Módulo IV
Auto-similaridade estatística
N(r) ~ N(r)
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Auto-similaridade estatística
N(r)  kN(r)
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Auto-similaridade estatística
N(r)  kN(r)
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Como investigar auto-similaridade estatística?
• A assinatura: leis de potência
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Conteúdo
1. Fractais
2. Leis de Potência
3. Passeios aleatórios
4. Resumo
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Módulo IV
Lei de potência
N (r )  Ar

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Módulo IV
Lei de potência
N (r )  Ar

F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Lei de potência: exemplo
N (r )  r
2
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Módulo IV
Lei de potência: exemplo
N (r )  (r )
2
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Módulo IV
Lei de potência: exemplo
N (r )  (r )   r
2
2 2
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Módulo IV
Lei de potência e auto-similaridade
N (r )  r
2
N (r )   r   N (r )
2
2
2
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Módulo IV
Lei de potência e auto-similaridade
N (r )   N (r )  kN (r )
2
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Lei de potência e auto-similaridade
N (r )   N (r )  kN (r )
2
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Lei de potência e auto-similaridade
N (r )  log(r  b)
N (r )  log(r  b)
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Lei de potência
N (r )  Ar

F016: Física aplicada à Ecologia
N(r)
N (r )  Ar
r

N(r)
r
N (r )  Ar

inclinação
Maioria das espécies
tem poucas interações
Freqüência baixa de
espécies com muitas
interações
Módulo IV
Conteúdo
1. Fractais
2. Leis de Potência
3. Passeios aleatórios
4. Resumo
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Passeios aleatórios
Idéia:
Um processo estocástico no qual uma partícula se
move pelo espaço através de saltos aleatórios.
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Módulo IV
Passeios aleatórios
D = 2  o passeio aleatório garante a cobertura de
planos, mas não de espaços tridimencionais
Reações biológicas ocorrem em superfícies
E a estrutura tridimencional dos ambientes?
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Dimensão da Curva de Koch:
Tamanho
Número
1
1
1/3
4
1/9
16=42
1/27
64=43
1/3k
4k
e
N(e)
log[N (e )] log 4k k log 4 log 4
d



 1.26185....
k
log[1 / e ] log3
k log3 log3
d = 1.5
L(e ) ~ e
1 D
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Conteúdo
1.
2.
3.
4.
Fractais
Leis de Potência
Passeios aleatórios
Resumo
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Fractais
1. Estruturas auto-similares
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
Auto-similaridade estatística
N(r)  kN(r)
F016: Física aplicada à Ecologia
N(r)
r
N (r )  Ar

inclinação
Maioria das espécies
tem poucas interações
Freqüência baixa de
espécies com muitas
interações