caderno do
ensino fundamental
8a SÉRIE
volume 3 - 2009
MATEMÁTICA
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
S239c
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8ª- série, volume 3 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-366-0
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.3:51
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – Semelhança entre figuras planas
11
Situação de Aprendizagem 2 – Triângulos: um caso especial de semelhança
21
Situação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retângulos;
teorema de Pitágoras 30
Situação de Aprendizagem 4 – Razões trigonométricas dos ângulos agudos
Orientações para Recuperação
51
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 53
Considerações finais
54
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
55
42
São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA
CuRRiCulAR PARA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor,
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu,
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA do CAdERno
Expandindo o mundo das equações
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Fundamental
Série:
8a
Volume:
3
temas e conteúdos:
Dois conceitos inseparáveis: semelhança e
proporcionalidade
Triângulos: um caso especial de semelhança
Relações métricas nos triângulos retângulos
Teorema de Pitágoras
Razões trigonométricas dos ângulos agudos
7
oRiEntAÇão GERAl SoBRE oS CAdERnoS
Os temas escolhidos para compor o
conteúdo disciplinar de cada bimestre não se
afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é
apresentado nos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à sua forma de
abordagem, sugerida ao longo dos Cadernos
de cada um dos bimestres. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princípios norteadores
do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências
pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática,
bem como os elementos culturais internos e
externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos
estão organizados em oito unidades de extensão aproximadamente igual, que podem
corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor explorará cada assunto
com mais ou menos aprofundamento. A critério
do professor, em cada situação específica, o
tema correspondente a uma unidade pode ser
estendido para mais de uma semana, enquanto
o de outra unidade pode ser tratado de modo
mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar
todas as oito unidades, uma vez que, juntas, elas
compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma unidade contribui para a
compreensão das outras. Insistimos, no entanto,
8
no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração
seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto
tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo do
bimestre, quatro Situações de Aprendizagem
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma
de abordagem sugerida, instrumentalizando
o professor para sua ação em sala de aula. As
Situações de Aprendizagem são independentes e
podem ser exploradas pelos professores com
mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das
limitações no espaço dos Cadernos, nem todas
as unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a
forma de abordagem dos temas seja explicitada
nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
Matemática – 8a série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre
O tratamento dos conteúdos de Geometria
priorizados neste bimestre da 8a série é relacionado, de uma forma ou de outra, à ideia da
semelhança e, portanto, à proporcionalidade.
Em grandes tópicos, são estes os conteúdos
destacados para o 3o bimestre: semelhança de
triângulos, razões trigonométricas de um ângulo agudo, relações métricas no triângulo retângulo e teorema de Pitágoras.
Na Situação de Aprendizagem 1 – Semelhança
entre figuras planas, propomos a exploração da
ideia de semelhança entre figuras planas quando
uma delas é obtida a partir de ampliação ou de
redução da outra. Apesar de procedimentos semelhantes aos propostos na Situação de Aprendizagem serem realizados em séries anteriores
do Ensino Fundamental, julgamos importante
retomá-los agora, na 8a série, ampliando o rol
de significados associados ao conceito, com a
inclusão de situações-problema próprias desse
segmento de ensino. Dessa forma, poderemos
estabelecer, entre figuras semelhantes, relações
de proporcionalidade que exijam a realização de
operações algébricas e a mobilização de estratégias de raciocínio não exigidas anteriormente.
Exploramos ainda, nesta Situação, a representação de prismas semelhantes em perspectiva
na malha quadriculada, bem como a relação
entre o fator de ampliação linear, das medidas
das arestas, e o fator de ampliação na área e no
volume dos sólidos obtidos.
A importância de conhecer as propriedades
dos triângulos é fundamental para aqueles que
se dispõem a estudar Geometria, uma vez
que, entre outros motivos, um polígono de
n lados pode ser sempre visto como uma série
de triângulos justapostos. Assim, de certa
forma, os triângulos são polígonos elementares,
pois todos os demais polígonos podem ser
estudados a partir de sua decomposição em
triângulos. Entre as inúmeras propriedades
geométricas associadas aos triângulos, propomos, na Situação de Aprendizagem 2 – triângulos: um caso especial de semelhança, analisar,
especificamente, a semelhança entre triângulos,
de forma aplicada e em contextos variados.
Na Situação de Aprendizagem 3 – Relações
métricas nos triângulos retângulos; teorema de
Pitágoras, propomos a obtenção de algumas
relações métricas dos triângulos retângulos,
incluído o teorema de Pitágoras, com base
em dois focos diferentes: por composição de
figuras e por semelhança entre triângulos.
As relações obtidas poderão, em seguida, ser
aplicadas na resolução de uma série de situações-problema propostas especialmente para
esse objetivo.
Na Situação de Aprendizagem 4 – Razões
trigonométricas dos ângulos agudos, apresentamos uma proposta de tratamento das razões
trigonométricas que parte da fixação da medida do ângulo agudo do triângulo retângulo
e da obtenção dos valores de suas razões seno,
cosseno e tangente. Trata-se, portanto, de colocar o foco sobre a medida do ângulo, destacando o fato de que as razões trigonométricas são,
prioritariamente, associadas ao ângulo, e não
às medidas dos lados do triângulo retângulo.
9
Na primeira parte da Situação de Aprendizagem 4, exploramos a intuição dos alunos a
respeito de ângulos de elevação de ruas e estradas para, em seguida, estabelecer padrões de
comparação com a ajuda de razões trigonométricas, nesse caso, senos e/ou tangentes. Na
sequência, propomos a construção de “teodolitos” simplificados e a tomada de medida
de ângulos e comprimentos com vistas a resolver situações-problema com características de
topografia simples. Por fim, recuperando um
pouco a história da evolução dos conceitos
matemáticos, propomos aos alunos que construam uma tabela de senos a partir do comprimento de cordas de uma circunferência.
A organização do trabalho do bimestre,
com base nas considerações anteriores, pode
ser feita nas oito unidades seguintes, referentes, aproximadamente, a oito semanas.
Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 8a série do Ensino Fundamental
unidade 1 – Semelhança entre figuras planas: ampliação ou redução.
unidade 2 – Semelhança de triângulos.
unidade 3 – Semelhança de triângulos: contextos diferenciados.
unidade 4 – Semelhança de triângulos retângulos: relações métricas.
unidade 5 – Semelhança de triângulos retângulos: relações métricas.
unidade 6 – Relações métricas e teorema de Pitágoras: aplicações.
unidade 7 – Razões trigonométricas de um ângulo agudo.
unidade 8 – Razões trigonométricas de um ângulo agudo: aplicações.
10
Matemática – 8a série – Volume 3
SituAÇõES dE APREndizAGEm
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS
Duas figuras planas são consideradas semelhantes quando uma delas pode ser obtida
a partir de uma ampliação ou uma redução da
outra. Assim, estudar semelhança entre figuras
implica retomar a ideia de escala e, por consequência, a ideia de razão entre duas medidas
de mesma natureza. Quando uma figura é a
ampliação da outra na razão 1 : 3, sabemos que
cada medida do contorno da figura ampliada é
3 vezes maior do que a medida correspondente
na figura original. Essas figuras são, portanto,
semelhantes. Essa ideia da razão de semelhança basta para compreender a representação
de figuras em escala, porém a análise das diversas situações de semelhança exige pensar
não apenas na medida do contorno das figuras, mas também em suas medidas angulares.
Assim, devemos sempre argumentar o fato de
que os ângulos correspondentes de duas figuras semelhantes, a original e a ampliada, têm
a mesma medida, isto é, são congruentes. Em
síntese, para que duas figuras planas sejam
semelhantes, é preciso que sejam obedecidas
duas condições: as medidas angulares de uma
ou outra ser correspondentemente iguais e as
medidas lineares correspondentes guardarem
uma proporcionalidade. No caso particular
dos triângulos, como veremos, uma dessas
condições acarreta automaticamente a outra,
e vice-versa.
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: condições de semelhança entre figuras planas.
Competências e habilidades: avaliar a existência ou não de semelhança entre duas figuras
planas; avaliar elementos que se alteram quando figuras planas são ampliadas ou reduzidas;
identificar a razão de semelhança entre duas figuras planas.
Estratégias: resolução de sequência de exercícios exemplares, em alguns casos representados
sobre malhas quadriculadas.
11
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Nesta Situação de Aprendizagem, exploramos a ideia de semelhança entre figuras planas
quando uma delas é obtida a partir de ampliação
ou de redução da outra, retomando e ampliando
alguns conteúdos anteriormente trabalhados.
Assim, poderemos estabelecer, entre figuras
semelhantes, relações de proporcionalidade que
exijam a realização de operações algébricas e
a mobilização de estratégias de raciocínio não
exigidas anteriormente. Além disso, nesta Situação de Aprendizagem, contemplaremos a representação de prismas semelhantes em perspectiva
na malha quadriculada, bem como a relação
entre o fator de ampliação linear, das medidas
das arestas e o fator de ampliação na área e no
volume dos sólidos obtidos.
Atividade 1 – Ampliação/redução: o
que se altera e o que não se altera?
Assinale X ao lado do conjunto de medidas
iguais nas duas figuras:
( ) Segmento AB e segmento A’B’.
( ) Segmento BC e segmento B’C’.
( ) Perímetro da Figura 1 e perímetro da
Figura 2.
( ) Área da Figura 1 e área da Figura 2.
( X ) Medida do ângulo CAB e medida do
ângulo C’A’ B’.
Problema 2 – Observe a estrela de seis
pontas desenhada na malha quadriculada.
Desenhe, ao lado, duas outras estrelas de
seis pontas, de modo que uma delas seja uma
redução e a outra uma ampliação da estrela
inicial, ambas de um fator 2.
A
F
B
E
C
Inicialmente, o professor poderá verificar o
conhecimento prévio dos alunos sobre o assunto aplicando alguns exercícios:
D
Problema 1 – A Figura 2 foi obtida fazendo-se uma ampliação da Figura 1:
A
A
B
F
C'
E
C
F
B
E
C
C
D
A
B
A'
B'
A
B
F
C
E
Figura 1
12
Figura 2
D
D
Matemática – 8a série – Volume 3
Problema 3 – Observe nos desenhos que o
retângulo (iii) tem o triplo da largura de (i),
o retângulo (ii) tem o dobro da largura de (i) e
os três têm a mesma medida de altura.
(i)
E'
B
H
L'
A'
(ii)
A
L
B'
E
(iii)
A'
a) É correto afirmar que os ângulos nos
três retângulos são correspondentemente congruentes? Por quê?
L
H
U
A
U'
L'
Sim, pois todos são retos.
b) Podemos dizer que uma dessas figuras é
redução ou ampliação da outra? Por quê?
Não, porque as medidas dos lados não são
proporcionais.
Dando continuidade ao trabalho, após
discutir as resoluções apresentadas pelos
alunos, o professor poderá solicitar que
construam figuras semelhantes, em determinada razão, utilizando régua e compasso, no
processo conhecido por homotetia. Nesse
caso, propomos que sejam desenhadas e analisadas mais de uma situação em que o centro
de homotetia (ponto H ) se apresenta em diferentes posições em relação às figuras.
Observemos, por exemplo, o desenho,
passo a passo, de dois losangos em homotetia, sendo que um deles é ampliação do outro
em fator 2.
1o passo – Marcar o ponto centro de homotetia e traçar as linhas convergentes nesse
ponto, passando pelos vértices A, B, C e D do
losango original.
A
B
D
O
C
A'
A
F
H
S
F'
T
O
S'
T'
O'
2o passo – Marcar os segmentos OA’, OB’,
OC’ e OD’, de comprimentos iguais ao dobro dos comprimentos de OA, OB, OC e OD,
respectivamente.
13
A'
a) Se AB = 2 cm, quanto mede A’B’?
3 cm
A
D'
B'
B
D
O
C
C'
3o passo – Unindo os pontos A’, B’, C’ e D’
por segmentos de reta, teremos obtido uma
ampliação de fator 2 do losango original.
A'
A
D'
D
b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são
semelhantes, e a razão de semelhança é
um valor k, tal que FA’ = k.FA. Qual é a
razão de semelhança nesse caso?
1,5
Problema 2 – Considere que o triângulo
ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e suponha que AB = 2 cm.
Nesse caso,
B'
B
B
O
C
A
C'
C
D
Atividade 2 – Razão de semelhança
Após a construção de algumas figuras, o
professor poderá propor aos alunos os seguintes problemas:
a) calcule a área de ABC.
Problema 1 – Observe a figura que representa a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas linhas convergentes a um
ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante
de B e 9 cm de B’.
b) calcule a área de A’B’C’.
B'
—
2,25√3 cm2
c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior
do que a área de ABC ?
C'
C
A
F
—
√3 cm2
2,25 vezes
A'
B
D
D'
E
E'
14
E
Problema 3 – Desenhe na figura um polígono A’’B’’C’’D’’E’’ que seja semelhante a
ABCDE, com razão de semelhança 2,0.
Matemática – 8a série – Volume 3
L
B
C
A
F
8 cm
D
E
65o
B"
A"
B
C"
Sendo assim, quanto mede:
C
A
F
I
G
D
E
D"
E"
Devemos observar que o Problema 2 da
sequência anterior apresenta a ideia de que a
ampliação de uma figura plana de um fator k
gera uma figura com a área ampliada de um
fator k2. Propomos que o professor aprofunde um pouco mais essa discussão com base
em algumas situações-problema, como as da
próxima etapa.
a) LI ?
b) SÂM ?
ˆ ?
d) LGI
ˆ ?
e) GLI
ˆ ?
c) SMA
Dado que um triângulo é ampliação do
outro, podemos garantir a congruência entre
os ângulos correspondentes e, também, a
proporcionalidade entre as medidas dos
lados correspondentes.
M
88o
6 cm
Atividade 3 – Ampliações e reduções:
perímetros e áreas
S
x
65o
27o
A
Problema 1 – O triângulo GIL é uma ampliação do triângulo SAM.
L
M
88o
6 cm
27o
S
8 cm
4 cm
27o
A
65o
I
G
15
t
a)
u
SM MA
16
=
; logo, LI =
cm
GL
LI
3
n
b) SÂM = 65º
c) SM̂ A = 180º − (27º + 65º)= 88º
A
E
o
C
B
d) LĜI = 27º
b) Qual tipo de quadrilátero é NECO?
e) GL̂ I = 88º
Problema 2 – Reduzindo proporcionalmente o trapézio isósceles TUBA de um fator
2,5, obtemos o quadrilátero NECO. Suponha
que cada quadrícula da malha tenha lados de
1 cm e faça o que se pede a seguir.
t
NECO é também um trapézio isósceles, assim
como TUBA, visto que um é redução do outro;
nesse caso, mantêm-se as características
da figura inicial.
c) Quanto mede a altura de TUBA?
E quanto mede a altura de NECO?
u
A altura de TUBA mede 5 cm e a altura de
NECO mede 2 cm, pois 5 ÷ 2,5 = 2.
A
B
a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o
quadrilátero TUBA.
A base menor de TUBA tem 5 unidades, bem
como sua altura. Assim, em uma redução de
fator 2,5, essa medida passará a ser igual a
2 unidades no polígono NECO, conforme
representado na figura a seguir.
16
d) Quais são as medidas das bases de
NECO?
As bases de NECO medem:
5 ÷ 2,5 = 2 cm
9 ÷ 2,5 = 3,6 cm
e) Em relação ao perímetro de NECO, quantas vezes é maior o perímetro de TUBA?
O perímetro de TUBA é 2,5 vezes maior
que o perímetro de NECO, pois todas as
medidas lineares de TUBA foram reduzidas
2,5 vezes a fim de que fosse obtido NECO.
Matemática – 8a série – Volume 3
f) Em relação à área de NECO, quantas
vezes é maior a área de TUBA?
A área de TUBA é (2,5)2 maior do que a
área de NECO, conforme é possível perceber
pelo cálculo seguinte:
Área de trapézio =
(base maior + base menor) altura
2
(9 + 5) . 5
Área (TUBA) =
= 35 cm2
2
(3 ,6
)
Área (NECO) =
= 5,6 cm2
2
Inicialmente, desenhamos dois paralelogramos congruentes (1). Em seguida, unimos
os vértices correspondentes com segmentos de
reta (2). Por fim, pintamos as “faces” do sólido
representado.
Realizada a etapa da representação
inicial de um prisma, o professor poderá
propor questões instigadoras para seus alunos, como:
f Todos os prismas desse tipo são semelhantes entre si?
35 ÷ 5,6 = 6,25 = (2,5)2
A ampliação/redução de figuras é um
procedimento diretamente relacionado ao
conceito de semelhança, como mostram as
atividades anteriores. Ressalve-se, no entanto, que se tratou até agora unicamente da
semelhança entre figuras planas, com foco
especial sobre os polígonos. Propomos que
o professor avalie a possibilidade de extrapolar o conceito de semelhança para sólidos
geométricos, notadamente os prismas, utilizando, para tanto, o artifício de representar
prismas em malha quadriculada.
Observemos, por exemplo, os passos para o
desenho de um prisma regular de base retangular.
f Como representar, na malha quadriculada, outro prisma, semelhante a esse, em
determinada razão de semelhança?
A discussão acerca das respostas dos
alunos deve conduzir à formalização de que
a semelhança entre figuras espaciais, assim
como no caso das planas, será definida a partir da proporcionalidade entre as medidas
dos lados correspondentes e da congruência
entre as medidas dos ângulos das duas formas. Como representar, então, dois prismas
semelhantes em perspectiva na malha quadriculada? No caso do prisma do exemplo,
teríamos:
(1)
(1)
(2)
(3)
(2)
17
O prisma (2) é uma ampliação do prisma
(1) na razão 1,5. Observe que as medidas das
arestas de (1) foram todas aumentadas em
1,5 vez para que fossem obtidas as arestas de
(2). As medidas angulares correspondentes
nos desenhos são congruentes.
Problema 2 – Desenhe na malha quadriculada:
a) um prisma semelhante ao prisma (1)
ampliando-o de um fator 1,5.
b) um prisma semelhante ao prisma (2)
reduzindo-o de um fator 2.
Em seguida, o professor poderá propor aos
alunos a resolução dos seguintes problemas.
Atividade 4 – Semelhança entre
prismas representados na malha
quadriculada
(1)
. 1,5
Problema 1 – Quais dos seguintes prismas
retos de base triangular, representados na malha quadriculada, são semelhantes? Em cada
caso, qual é o fator de ampliação?
÷2
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Problema 3 – Observe o prisma oblíquo
representado na malha quadriculada. Desenhe um prisma semelhante a ele, com razão de
semelhança 1 .
3
São semelhantes 1 e 3, e são semelhantes 4 e 5.
Fator de proporcionalidade:
f de 1 para 3: ampliação de fator 2;
1
f de 3 para 1: redução de fator ;
2
1
f de 4 para 5: redução de fator ;
2
f de 5 para 4: ampliação de fator 2.
18
.1
3
Matemática – 8a série – Volume 3
Problema 4 – Represente dois cubos de
volumes diferentes na malha quadriculada e
responda: os cubos desenhados são ou não
semelhantes? Por quê?
Dois cubos sempre são semelhantes!
Problema 5 – Considere dois paralelepípedos retos semelhantes, na razão 1 : 4. Complete
a tabela com as medidas da aresta, da área da
base, da área total e do volume do maior sólido, em função de x, y, z e w.
medida
da
da área da área
do
aresta da base total volume
menor
sólido
x
maior
sólido
4x
y
16y
z
16z
w
Atividade 5 – Semelhança entre
figuras planas: contexto e aplicações
A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento
entre as ruas Alfa e Beta. Observando a planta
do lugar, pode-se perceber que os dois parques terão formato de trapézios semelhantes
(ABCD e EFGH), com os ângulos internos
de um de mesma medida que os ângulos internos correspondentes do outro. Além disso,
há uma proporcionalidade entre as medidas
correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base
maior de cada trapézio foi definida, sendo
180 m em um deles e 60 m no outro. As demais medidas dependerão de desapropriações
a serem realizadas no local.
C
D
a
180 m
Parque 1
A
B
Alf
F Rua
E
Parque 2
GR
ua
64w
As medidas lineares manterão a razão 1 : 4,
enquanto a relação de proporcionalidade
entre as áreas será de 1 : 42 e, entre os
volumes, de 1 : 43.
Por fim, encerrando a Situação de Aprendizagem, propomos que os alunos sejam instigados a aplicar a ideia da semelhança entre
duas figuras planas em uma situação-problema contextualizada, como na próxima etapa.
60 m
H
Bet
a
Problema 1 – As medidas de CB e de FG
são fixas, respectivamente 180 m e 60 m, enquanto as demais medidas podem variar,
mantendo-se, todavia, a semelhança entre as
duas figuras. Com base nisso, resolva:
a) Se a medida de EH for igual a 25 m,
qual será a medida de DA ?
60
25
FG EH
=
=
⇒ DA = 75 m
⇒
⇒
180 DA
BC DA
19
b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?
trapézio ABCd
trapézio EFGh
BC
FG
180
60
c) Se EH = k, quanto medirá DA em
função de k?
DA
EH
30
10
FG EH
60
k
⇒
⇒ DA = 3 k
=
=
⇒
BC DA
180 DA
AB
EF
45
15
CD
GH
54
18
60 EH
FG EH
=
⇒
⇒
⇒ EH = 6 m
=
180 18
BC DA
Problema 2 – No final das negociações e
desapropriações, chegou-se à conclusão de
que as medidas de EF e HG serão, respectivamente, 15 m e 18 m. Qual será a medida de:
a) CD ?
b) AB ?
FG
FG EEH
H HG
HG EEFF
⇒
==
==
==
BBCC AD
AD CD
CD AB
AB
60
60 EEH
H 18
18 15
15
==
==
==
180
180 AD
AD CD
CD AB
AB
⇒ a)
60
18
⇒ CD = 54 m
=
180 CD
b)
60
15
⇒ AB = 45 m
=
180 AB
Problema 3 – O construtor dos parques
sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o parque maior. Nessas condições,
adotando os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA ?
O perímetro do trapézio ABCD é igual a
309 m. Como BC = 180 m, CD = 54 m e
AB = 45 m, a medida de DA será igual a:
309 – (180 + 54 + 45) = 30 m.
Problema 4 – Complete a tabela a seguir
com as medidas dos lados de cada trapézio:
20
Convém observar e salientar a razão de
semelhança entre ABCD e EFGH, igual a 3,
nesse caso, como é possível perceber pela
divisão entre dois valores de uma mesma
linha da tabela.
Considerações sobre a avaliação
O principal objetivo previsto para a Situação de Aprendizagem que ora se encerra é reconhecer a semelhança entre figuras planas, em
razão de certas condições das medidas lineares
(proporcionalidade) e angulares (congruência)
correspondentes. Com base nisso, o conjunto
das atividades partiu de procedimentos de ampliação e/ou redução de figuras em malhas quadriculadas e também em processo de homotetia,
chegando a situações-problema contextualizadas. Ao elaborar as etapas de avaliação, o professor deve, portanto, balizar-se em um percurso
semelhante, isto é, criar situações em que os
alunos possam, de fato, desenhar sobre malhas
quadriculadas, enfrentando também problemas
que extrapolam o contexto matemático.
Matemática – 8a série – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA
© Ricardo Azoury/Pulsar Imagens
situações, como em projetos de portões ou de
cercados, e a ciência expandiu-o para a construção de grandes obras de engenharia.
© Haroldo Palo Jr/Kino
O triângulo é um polígono “rígido”, ou seja,
“não se articula”. O conhecimento popular tratou de verificar essa propriedade em inúmeras
21
A rigidez dos triângulos está diretamente
relacionada ao fato de que a semelhança entre
dois triângulos exige apenas a congruência
dos ângulos correspondentes. Afinal, se as
formas triangulares não se articulam, são
rígidas, ou seja, não é possível alterar a
medida de seus ângulos internos sem, por
consequência, alterar a medida de, pelo
menos, um de seus lados. Caso as medidas
dos três lados sejam ampliadas ou reduzidas
proporcionalmente, aí então as medidas
angulares serão preservadas. O triângulo é,
portanto, o único tipo de polígono para o qual
a semelhança é definida apenas a partir de
uma condição: ângulos correspondentemente
congruentes. A proporcionalidade entre as
medidas dos lados passa a ser, nesse caso,
consequência, e não exigência, como ocorre
para os demais polígonos.
Os comentários anteriores reforçam a
proposta de abordar a semelhança entre dois
triângulos com o foco na identificação da
congruência entre os ângulos correspondentes,
uma vez que o não cumprimento dessa etapa
conduz, como normalmente se observa, à escrita
de falsas proporcionalidades.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: semelhança entre triângulos.
Competências e habilidades: identificar a correspondência entre ângulos congruentes de
dois triângulos semelhantes; estabelecer proporcionalidade entre as medidas de lados correspondentes de triângulos semelhantes; reconhecer a semelhança de triângulos formados
por cordas de uma circunferência, escrevendo a proporção entre as medidas dos lados
correspondentes.
Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem, propomos
uma série de situações-problema elaboradas com
base nas premissas apontadas, isto é, na relevância da correta identificação da correspondência
entre as medidas dos lados de triângulos semelhantes, a partir, também, da correta identificação dos ângulos congruentes.
22
O primeiro conjunto de problemas apresentado a seguir trata especialmente do reconhecimento de pares de ângulos correspondentes
congruentes em dois triângulos; aborda ainda
a congruência dos ângulos formados por retas
paralelas cortadas por transversais. Julgamos
importante que os alunos saibam reconhecer
e justificar a congruência entre ângulos com
base na correta nomenclatura (correspondentes, alternos, opostos pelo vértice, etc.).
Matemática – 8a série – Volume 3
Atividade 1 – triângulos
semelhantes: reconhecimento
b = d = f = 58º; a = c = g = e = 180º – 58º = 122º
Problema 1 – Utilize a malha quadriculada para desenhar dois pares de triângulos
semelhantes. Um dos triângulos, de um dos
pares, possui dois ângulos internos medindo
45º cada um. Outro triângulo, do outro par,
tem um lado que mede 4 unidades da malha, e
outro que mede 6 unidades da malha.
Problema 3 – No problema anterior, você
reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os novamente, apresentando, em
cada caso, a justificativa para a congruência.
Pares de ângulos opostos pelo vértice: b e
58º; f e d; a e c; g e e.
Pares de ângulos alternos e internos: a e g;
d e 58º.
Pares de ângulos alternos e externos: c e e;
b e f.
Pares de ângulos correspondentes: c e g;
58º e f; b e d; a e e.
Problema 4 – As retas a e b são paralelas.
Quais são as medidas dos ângulos internos
dos triângulos BCA e DEA?
As respostas podem variar.
Problema 2 – Quando duas retas paralelas
são cortadas por uma transversal, forma-se
uma série de pares de ângulos congruentes.
No desenho seguinte, em que duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal t,
identifique as medidas dos ângulos assinalados.
A
E
C
32º
83º
B
D
a
t
ê
f̂
ĝ
r
d̂
â
58º
ĉ
s
b̂
b
32º + 83º + BCA = 180º ⇒ BCA = 65º
DEA = BCA = 65º
ABC = ADE = 83º
23
A relação de problemas anteriores, priorizou a identificação da congruência dos ângulos
correspondentes em triângulos semelhantes,
fundamental para a escrita da proporção e a
obtenção de medidas lineares de um ou outro
triângulo. Na sequência, propomos algumas
situações-problema contextualizadas para que os
alunos apliquem o que aprenderam e, além disso,
determinem algumas medidas desconhecidas.
Atividade 2 – triângulos semelhantes:
contexto e aplicações
Problema 1 – O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU.
ângulos internos de GIL também medem 100º,
58º e 22º.
c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL?
EU = EM ⇒ 5,2 = 2 , ou seja,
IL
IG
10 IG
IG ≅3,8 cm
Problema 2 – Observe a representação
das ruas Alfa e Beta e dos parques 1 e 2.
Os terrenos dos parques têm formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque
são paralelas às do outro. São conhecidas as
seguintes medidas:
M
100o
Parque 1
Parque 2
BC
FG
180
60
DA
EH
30
10
Observe as medidas assinaladas nos desenhos e responda:
AB
EF
45
15
a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?
CD
GH
54
18
2 cm
E
U
5,2 cm
G
I
58o
10 cm
L
Os ângulos internos dos dois triângulos são
correspondentemente congruentes. Assim,
os ângulos internos de MEU medem 100º,
58º e 22º.
C
D
180 m
Parque 1
b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL?
Os ângulos internos dos dois triângulos são
correspondentemente congruentes. Assim, os
24
B
A
S
F Rua Alfa
E
T
H
Parque 2
GR
ua
60 m
Be
ta
Matemática – 8a série – Volume 3
Os triângulos SAD e SBC são semelhantes,
isto é, têm ângulos internos correspondentes de
mesma medida e lados correspondentes, cujas
medidas obedecem a uma proporcionalidade.
Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado DA do triângulo SAD é correspondente ao lado BC do triângulo SBC.
S
triângulo SAd (m) triângulo SBC (m)
SA
SB
9
54
AD
BC
30
180
SD
SC
10,8
64,8
AD DS AS
30
DS
AS
⇒
=
=
=
=
BC CS BS
180 DS + 54 AS + 45
D
As medidas DS e AS podem ser obtidas dessa
dupla proporção, resultando DS = 10,8 m
e AS = 9 m.
A
30 m
54 m
C
Convém observar e salientar a razão de
semelhança entre os dois triângulos, igual,
nesse caso, a 1 .
6
45 m
180 m
B
a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?
SD e SC; SA e SB
d) Separe da figura inicial, desenhando-os
novamente, os triângulos TEH e TFG.
Em seguida, calcule a medida dos lados de cada triângulo, registrando na
tabela abaixo os lados correspondentes
e as respectivas medidas.
triângulo tEh (m) triângulo tFG (m)
b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos
SAD e SBC?
AD SD SA
=
=
BC SC SB
c) Calcule as medidas dos lados de cada
triângulo e escreva-as na tabela a seguir.
TE
TF
3
18
TH
TG
3,6
21,6
EH
FG
10
60
25
E
T
15 m
10 m
H
F
E
T
60 m
Segmento
oB
oC
od
BE
Medida (cm)
12
15
20
8
H
18 m
G
10
TE EH TH
TE
TH
=
=
⇒
=
=
TF FG TG
TE + 15 60 TH + 18
Segmento
CF
dG
oE
oF
oG
Medida (cm)
10
13,3
10
12,5 16,7
⇒ TE = 3 m e TH = 3,6 m.
Semelhança entre os triângulos OBE e
Problema 3 – Usando seu transferidor, um
aluno desenhou um ângulo. Em seguida, com
régua e esquadro, traçou três segmentos de
reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE,
OCF e ODG).
OCF: OB = OE = BE
OC OF CF
12
10
8
=
=
⇒ OF = 12,5
15 OF CF
CF = 10.
G
Semelhança entre os triângulos ODG e
OG = OD = GD
OBE:
OE OB EB
F
E
O
B
C
OG 20 GD ⇒ OG ≅ 16,7
=
=
10
12
8
D
GD ≅ 13,3.
Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: OB = 12 cm; BE = 8 cm, OE = 10 cm.
Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: BC = 3 cm e CD = 5 cm. Então,
percebeu que poderia determinar as medidas de
todos os demais lados dos triângulos sem necessidade de fazer qualquer medição, apenas
efetuando alguns cálculos. Calcule as demais
medidas dos segmentos do desenho e escreva-as
na tabela seguinte.
26
Problema 4 – O perfil do telhado de uma
casa tem o formato de um triângulo escaleno,
isto é, um triângulo em que não há dois lados
de mesma medida (ABC, no desenho).
A
α
18 m
C
β
24 m
15 m
B
Matemática – 8a série – Volume 3
Unindo o ponto mais alto do telhado (A)
à base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD), de modo que o ângulo ADB seja
congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em
metros, a medida dessa viga?
generalizações da proporcionalidade, e não
devem ser memorizadas como fórmulas a ser
aplicadas em situações semelhantes.
Atividade 3 – Semelhanças: cordas,
arcos e ângulos
A
α
α
C
Problema 1 – Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” por um ângulo cujo
vértice C pertence à circunferência (Figura 1).
B
D
Os triângulos ABC e ADB têm ângulos
correspondentemente congruentes, sendo,
portanto, semelhantes.
Figura 1
B
A
α
18 m
C
β
α
β
24 m
α
C
15 m
A
θ
D
18
BC BA AC ⇒ 24 15
=
=
=
=
15 BD AD
BA BD AD
⇒ AD =11,25 m
Portanto, a viga AD medirá 11,25 m.
A semelhança de triângulos é o ponto
de partida para diversas formalizações na
Geometria plana. Um desses casos envolve cordas e/ou tangentes a circunferências,
tópico conhecido por “potência de ponto”, que
apresentamos na sequência. Justificamos o tratamento do conceito com base no reconhecimento da congruência entre medidas de arcos
e de ângulos correspondentes e na proporcionalidade entre medidas lineares. Formalizações,
nesse caso, são solicitadas apenas enquanto
B
Deslocando o vértice do ângulo até outro
ponto da circunferência, D, o arco AB passa a ser “enxergado” por outro ângulo, de
medida igual ao anterior, isto é, de medida
igual a α (Figura 2).
Figura 2
B
A
α
D
27
Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma
situação em que dois triângulos semelhantes
se destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).
Problema 2 – Observe a figura em que
duas cordas AC e BD se cruzam no ponto P.
De acordo com as medidas indicadas na figura, quanto mede o segmento PA?
Figura 3
B
α
C
PB PC
⇒ (PC) . (PA) = (PB) . (PD)
=
PA PD
P
A
B
α
9
D
C
Figura 4
8
B
α
C
β
D
P
β
A
α
D
Podemos estabelecer a seguinte proporção
entre as medidas dos lados dos triângulos
representados na figura:
PB PC
9
12
⇒ PA = 6
=
⇒
=
PA PD
PA 8
B
a) Identifique os ângulos correspondentes nos dois triângulos e escreva
uma proporção entre as medidas de
seus lados.
PB BC PC
=
=
PA AD PD
b) Com base na proporção entre as medidas dos lados, verifique a validade da
relação (PC) . (PA) = (PB) . (PD).
28
A
P
12
9
6
12
C
A
P
8
D
Problema 3 – Um ponto P é o encontro
de duas cordas de uma mesma circunferência
Matemática – 8a série – Volume 3
(Figura 1). Unindo os pontos em que as cordas cruzam a circunferência podemos observar dois triângulos (Figura 2).
Figura 1
Figura 2
D
8
D
C
C
A
A
x
B
a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos
dos triângulos PAD e PCB, atribuindo a
eles letras iguais a ângulos congruentes.
b) Escreva a proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos PAD e PCB.
c) Com base na proporção escrita, verifique que é válida a relação (PA).(PB) =
= (PC).(PD).
Os triângulos PAD e PBC são semelhantes,
pois apresentam ângulos correspondentemente congruentes, como representado na
figura. Assim, podemos escrever a seguinte
proporção entre as medidas de seus lados:
AD PA PD
=
=
⇒ (PA).(PB) = (PC).(PD)
CB PC PB
D
β
C
α
β
B
4
10
P
P
B
Problema 4 – De acordo com as medidas indicadas na figura a seguir, qual é a
medida x?
A
P
De acordo com a relação obtida no problema
anterior, podemos escrever:
4 . 8 = 10 . (x – 10) ⇒ x = 13,2.
Considerações sobre a avaliação
A importância da aplicação da semelhança de triângulos na resolução de situações-problema de Geometria plana é muito
fácil de ser percebida. De fato, seria possível escrever todo um caderno de atividades,
com muitas páginas, apenas envolvendo
situações que exigem o reconhecimento de
triângulos semelhantes e a escrita da proporcionalidade entre as medidas de seus lados.
Enfatizamos essa questão, de conhecimento
do professor, para justificar as limitações do
material de apoio, que, por mais completude que possa apresentar, jamais esgotaria
todas as possibilidades de abordagem do
tema. Traçamos aqui, apenas, um percurso
de trabalho que levou em conta determinada escala de abordagem conceitual. Caberá
ao professor, portanto, com base na realidade de suas turmas, reduzir ou ampliar o
29
foco, adotando, dessa forma, a escala que
julgar mais apropriada. Todavia, voltamos
a insistir que estamos diante de um dos mais
fundamentais conceitos da Geometria plana,
e a qualidade da atenção que destinarmos à
sua abordagem reverterá, sem dúvida, na velocidade dos passos que poderemos imprimir
em estudos futuros.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS;
TEOREMA DE PITÁGORAS
Dentre as inúmeras possibilidades de apli-
é uma delas, e a decomposição das figuras en-
car a semelhança de triângulos na construção
volvidas é outra. Abordaremos essas duas pos-
de outros importantes conceitos da Geometria
sibilidades nesta Situação de Aprendizagem, a
plana, destacamos agora as relações métricas
partir das situações-problema propostas.
nos triângulos retângulos.
O estudo das propriedades associadas
a triângulos retângulos teve início em séries anteriores, de acordo com esta Proposta Curricular, inclusive com a apresentação
do teorema de Pitágoras. Trata-se agora, na
8a série, de aprofundar e ampliar esse estudo a
partir do reconhecimento da semelhança entre
dois triângulos.
30
No processo de construção conceitual, é importante que o aluno trilhe um caminho que parta
da observação de regularidades e, após algumas
etapas e aplicações, generalize propriedades a
partir do raciocínio indutivo que mobiliza nesse
trajeto. A formalização, necessária e importante, acontece, nessa medida, ao final do processo, evitando que os alunos venham a considerar
fórmulas prontas como os principais elementos
As relações métricas conhecidas entre
auxiliares na resolução de problemas. Esta é a
as medidas de elementos lineares de triân-
opção metodológica adotada na elaboração do
gulos retângulos podem ser obtidas a partir
conjunto de atividades que compõem a presente
de várias vertentes. A semelhança de triângulos
Situação de Aprendizagem.
Matemática – 8a série – Volume 3
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; relações métricas nos triângulos retângulos.
Competências e habilidades: reconhecer a semelhança entre os triângulos retângulos, aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos de um triângulo na resolução de
situações-problema; aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de situações-problema.
Estratégias: resolução de problemas exemplares, contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Atividade 1 – triângulos retângulos:
métrica e semelhança
Problema 1 – Traçando a altura relativa
à hipotenusa de um triângulo retângulo, são
obtidos dois novos triângulos retângulos,
semelhantes entre si, como representado na
figura a seguir:
A
n
α
β
α
a
n
B
α
h
β
β
α
b
β
m
C
AH AB HB
n h a
⇔
=
=
= =
BH BC HC
h m b
m
h
B
h
H
H
α
a
β
b
b) Verifique que o quadrado da medida
da altura traçada é igual ao produto
das medidas das projeções dos catetos
a) Um dos triângulos tem lados a, n e h,
enquanto o outro tem lados b, m e h.
Desenhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as
medidas dos lados correspondentes.
sobre a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m . n.
AH
AH AB
AB
nn hh
==
⇔
⇔ ==
⇒ h2 = m . n
BH
BH BC
BC
hh mm
31
Problema 2 – Determine as medidas x, y e z
em cada figura:
4
a)
z
a b c
= =
n h a
9
x
a) Escreva a proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos i e ii.
Semelhança entre os triângulos I e II:
β
y
x2 = 4 . 9 ⇒ x = 6
—
—
z2 = x2 + 42 ⇒ z2 = 36 + 16 ⇒ z = √52 = 2√13
——
—
y2 = x2 + 92 ⇒ y2 = 36 + 81 ⇒ y = √117 = 3√13
a ii
α
n
iii
β
h
z
β
c
h
x
6
α
b
a
b)
m
h
i
β
α
b
y
2
6 = 2y ⇒ y = 18
——
—
z2 = 62 + y2 ⇒ z2 = 36 + 324 ⇒ z = √360 = 6√10
—
—
x2 = 62 + 22 ⇒ x = √40 = 2√10
2
Problema 3 – Observe a figura com o triângulo retângulo maior i sendo separado em dois
triângulos retângulos menores – ii e iii – pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os
três triângulos são semelhantes, pois possuem
ângulos correspondentemente congruentes.
b) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto
da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em
outras palavras, verifique que a2 = c . n.
a b c ⇒ a2 = c . n
= =
n h a
c) Escreva a proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos i e iii.
Semelhança entre os triângulos I e III:
a b c
= =
h m b
n
β
ii
a
α
β
h
h
a ii
iii
β
α
b
α
n
α
iii
β
h
β
i
α
b
α
b
c
a
β
m
h
c
a
32
β
m
h
i
β
α
b
Matemática – 8a série – Volume 3
a b c
= = ⇒ b2 = c . m
h m b
Problema 4 – Determine as medidas x e y
em cada triângulo.
a)
a
ii
h
β
α
m
iii
α
c
a
β
b
β
i
β
α
b
x
a2 = c . n
b2 = c . m
9
Aplicando a relação correspondente a
b2 = cm, temos:
92 = 12x ⇒ x =
27
4
Aplicando Pitágoras, temos:
—
—
122 = 92 + y2 ⇒ y = √63 = 3√7
b)
h
Com base na semelhança entre esses pares
de triângulos, foram obtidas as relações:
12
y
n
α
d) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da
medida da hipotenusa pela medida
da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que b2 = c.m.
y
x
4
m
8
—
—
82 = 42 + y2 ⇒ y = √48 = 4√3
y2 = 8m ⇒ m = 6
—
—
y2 = x2 + m2 ⇒ x = √12 = 2√3
Problema 5 – Considere novamente a semelhança entre os triângulos i e ii, bem como
entre os triângulos i e iii, discutida no problema anterior.
Adicionando essas duas expressões, termo a termo, e, em seguida, colocando c em
evidência, fazemos surgir uma expressão
matemática traduzida na linguagem cotidiana da seguinte forma:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras.
Faça a verificação e escreva a sentença matemática do teorema de Pitágoras, que relaciona
a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b).
a2 = c . n
b2 = c . m
+
a2 + b2 = cn + cm
a2 + b2 = c(n + m) = c . c = c2
a2 + b2 = c2
33
Em todo triângulo retângulo, a soma dos
quadrados das medidas dos catetos é igual
ao quadrado da medida da hipotenusa.
e) BC2 + CD2 = BD2 (BCD é isósceles;
BC = CD)
2(BC)2 = BD2 ⇒ BC = 1250 = 25 2 m
Problema 6 – Um quadrilátero ABCD
pode ser separado em dois triângulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD é isósceles,
conforme representado na figura. AF é a altura
relativa à hipotenusa de ABD e CE é a altura relativa à hipotenusa de BCD. Determine a medida
dos segmentos:
f) BC2 = BD.BE ⇒ 1 250 = 50.BE ⇒ BE = 25 m
a) BD
e) BC
b) DF
f) BE
c) BF
g) CE
d) AF
h) FE
g) CE2 + BE2 = CB2 ⇒ CE2 + 252 = 1 250
⇒ CE = 25 m
h) FE + BF + DE = DB. Como DE2 =
= DC 2 – CE 2, segue que DE = 25. Sendo
BF = 18 e DE = 25, segue que FE = 7 m
Problema 7 – Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em
uma das rodovias, a 60 km de distância de A,
encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km
de A, encontra-se outra cidade, C. Outra ro-
A
dovia, também retilínea, liga as cidades B e C.
Pergunta-se:
40 m
30 m
D
a) Qual é a distância entre B e C?
E
F
B
Aplicando o teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo ABC:
BC2 = AC2 + AB2 ⇒ BC = 100 km
C
a) BD2 = 302 + 402 ⇒ BD = 50 m
b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C?
b) DA2 = DB . DF ⇒ 402 = 50.DF ⇒ DF = 32 m
A menor distância entre o ponto A e a reta BC
c) BF = DB – DF = 50 – 32 ⇒ BF = 18 m
é a altura h relativa à hipotenusa BC. Para
obter h, podemos analisar a semelhança entre os
d) AF + BF = AB
AF2 + 182 = 302 ⇒ AF = 24 m
2
34
2
2
triângulos ABC e AHC, representados na figura
a seguir:
Matemática – 8a série – Volume 3
100
H
B
α
β
C
h
60
80
α
β
A
AB BC AC
=
=
AH AC HC
60
100 ⇒ AH = 48 km
=
AH
80
c) Um posto policial deve ser construído
na rodovia que liga B a C, devendo
situar-se a igual distância de B e C.
Qual é a distância do posto policial
até A?
posto
x
e Pitágoras fornece a distância d de A
até o posto: d 2 = h2 + 142; como h = 48,
segue que d = 50 km. (Como o triângulo
ABC é retângulo em A, então o ponto A
pertence à circunferência de centro em M e
diâmetro BC, ou seja, a distância de A até
M também é 50 km.)
Problema 8 – Um terreno tem a forma
de um triângulo retângulo de catetos 30 m e
40 m. Seu proprietário deseja construir uma
casa na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o restante da área.
40 m
30 m
C
B
a
Pergunta-se:
h
80 km
60 km
A
a) Qual é a área total do terreno?
A área do triângulo é:
Área =
Se o posto policial deve ficar a igual
distância de B e C, então ele deve ficar
no ponto M, ponto médio de BC, a 50 km
de ambas as cidades. Podemos calcular a
distância x de B até o pé da perpendicular
de A até BC: no triângulo ABC, o cateto
AB ao quadrado é igual ao produto de BC
por x; logo, 602 = 100 . x, ou seja,x = 36 km.
Com isso, concluímos que a distância do
pé da perpendicular até o posto é 14 km,
base . altura 30 . 40
= 600 m2
=
2
2
b) Qual é a área da região retangular da
construção?
30 m
40 m
h
h1
m
h2
n
35
A região retangular representada tem
como lados as alturas h 1 e h 2 dos dois
triângulos em que o triângulo dado
é dividido pela altura h relativa à
hipotenusa. O valor de h pode ser
calculado, da mesma maneira que no
exercício anterior, por:
30 . 40 = 50 . h ⇒ h = 24.
As relações métricas conhecidas permitem
calcular diretamente os valores de m e n:
302 = 50 . m ⇒ m = 18
402 = 50 . n ⇒ n = 32
Determinando, agora, h1 e h2:
h . m = 30 . h1 ⇒ h1 = 14,4
h . n = 40 . h2 ⇒ h2 = 19,2
A área da construção será igual a:
A = 14,4 . 19,2 = 276,48 m2
O teorema de Pitágoras, como vimos,
pode ser obtido a partir da semelhança entre
triângulos, sendo, de fato, uma das relações
métricas nos triângulos retângulos. É possível, no entanto, argumentar sobre a importância desse teorema para as demais relações,
à medida que o rol de suas aplicações em
situações-problema é extremamente amplo.
Assim, justifica-se enfocar especialmente algumas aplicações do teorema de Pitágoras,
como sugere a sequência a seguir.
Atividade 2 – Pitágoras: significado,
contextos
O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de triângulos retângulos:
36
a área do quadrado construído, tendo como
lado a hipotenusa a, é igual à soma das áreas
dos quadrados construídos, tendo como lados
os catetos b e c:
a2 = b2 + c2
Nos problemas seguintes, tal fato será
explorado.
c2
b2
b
a
c
a2
Problema 1 – O triângulo retângulo representado na figura é isósceles e está inscrito em
uma circunferência de raio 4 cm. Quais são as
medidas dos lados desse triângulo?
Nesse problema, exploramos a propriedade de
que triângulos inscritos em semicircunferências são, sem dúvida, triângulos retângulos.
A verificação de tal propriedade pode ser feita
a partir da comprovação de que o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo retângulo coincide com o ponto médio
Matemática – 8a série – Volume 3
de sua hipotenusa. Esse ponto, denominado
circuncentro, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Dessa forma, metade
da medida da hipotenusa coincide com o raio
dessa circunferência.
502 = 302 + a2 ⇒ a = 40 m
——
—
402 = 302 + b2 ⇒ b = √700 = 10√7 m
A distância entre as duas personagens, neste
—
caso, é igual a (40 + 10√7 )m
Balão
Portanto, a hipotenusa do triângulo mede
8 cm, que é o dobro da medida do raio, e
os outros lados, pelo fato de o triângulo ser
isósceles, de acordo com o enunciado, medem
—
4√2 cm cada um.
50 m
Maria
Ponto médio da
hipotenusa e centro
da circunferência
raio
Problema 2 – Um balão de propaganda
flutuava a 30 m de altura quando foi visto do solo, simultaneamente, por Maria e
por João. Maria estava a 50 m do balão e
João estava a 40 m dele. Qual era a distância entre João e Maria no momento em que
viram o balão?
40 m
30 m
a
b
João
Problema 3 – Para dar firmeza à estrutura de um portão retangular ABCD, de
lados 2 m e 3 m, devem ser fixadas duas
barras rígidas – AC e BD – ao longo das
diagonais, conforme mostra a figura a seguir. Para isso, dispõe-se de uma barra de
6,5 m de comprimento, que será dividida
em duas partes iguais. A barra será suficiente para as duas diagonais?
3m
D
C
2m
A
B
AC2 = 22 + 32 ⇒ AC ≅ 3,6 m. Para
duas barras, seriam necessários 7,2 m,
que é uma medida maior do que os 6,5 m
disponíveis, insuficientes, portanto, para a
tarefa desejada.
37
Problema 4 – Do centro de uma sala retangular de lados 4 m e 6 m serão feitas canalizações independentes em linha reta até os quatro
cantos da sala e também até o ponto médio
de cada um dos lados da sala, usando sempre o mesmo tipo de conduíte (cano plástico
flexível). Quantos metros de conduíte serão
necessários?
c) o centro da face visível da caixa IX.
—
z2 = 252 + 252 ⇒ z = 25√2 cm
IX
6m
I
VI
VII
VIII
II
III
IV
V
A
4m
Problema 6 – Uma embalagem de pizza
tem a forma de um prisma hexagonal regular
de 3 cm de altura, tendo o lado do hexágono
da base 18 cm.
18 cm
Medida da diagonal (d) do retângulo:
d 2 = 62 + 42 ⇒ d ≅ 7,2 m
Quantidade necessária de conduíte:
6 + 4 + 2 . 7,2 = 24,4 m
Problema 5 – Nove caixas com a forma de um
cubo de aresta 10 cm foram empilhadas conforme mostra a figura a seguir, em vista frontal. O
ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I.
Calcule a distância de A até:
a) o vértice superior esquerdo da caixa VI;
——
—
x2 = 102 + 202 ⇒ x = √500 = 10√5 cm
b) o vértice superior direito da caixa VIII;
—
——
—
y2 = 402 + 202 ⇒ y = √2 000 = 20√5 cm
38
a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem?
O raio da maior pizza que cabe na embalagem é a altura de um triângulo equilátero de
lado 18 cm, uma vez que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cujo lado tem a mesma
medida do lado do hexágono. Assim, a altura do
—
triângulo, ou o raio da pizza, mede 9√3 cm, e
—
o diâmetro mede 18√3 cm ≅ 31 cm.
Matemática – 8a série – Volume 3
b) Qual é a área de papelão necessária para
construir a parte de baixo da caixa, em
que a pizza vem acomodada?
A área de um dos triângulos que formam o
hexágono é
18 . 9 3
= 81 3 cm2. A área
2
do hexágono que forma a parte de baixo da
caixa é 6 . 81 3 = 486 3 cm2.
b) da diagonal da caixa.
O triângulo destacado em verde na figura é
retângulo com catetos de 20 cm e 50 cm, e
a diagonal pedida no enunciado da questão
corresponde à hipotenusa desse triângulo.
Assim, a diagonal d é igual a:
—
d 2 = 202 + 502 ⇒ d = 10√29 ≅ 54 cm
A área da parte lateral da caixa é igual a
6 vezes a área de um retângulo de dimensões 18 cm por 3 cm. Assim, a área é
6 . 18 . 3 = 324 cm 2. Portanto, a área total do
papelão é 324 + 486 3 , que é igual, aproximadamente, a 1 166 cm2.
Em atividade anterior, o teorema de
Pitágoras foi apresentado a partir das relações
de semelhança entre os triângulos que surgem
ao traçarmos a altura relativa à hipotenusa de
um triângulo retângulo. Visto dessa forma,
o teorema de Pitágoras é uma das relações
métricas no triângulo retângulo – não apenas
uma delas; talvez a mais importante.
Problema 7 – Uma caixa tem a forma de
um paralelepípedo com todas as faces retangulares. Suas dimensões são 20 cm, 30 cm e
40 cm. Calcule o comprimento:
As relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo o teorema de Pitágoras,
podem ser compreendidas com base na composição e decomposição de áreas retangulares
e/ou triangulares. O conjunto de problemas
seguintes explora essa ideia.
20 cm
Atividade 3 – Relações métricas em
triângulos retângulos: composição e
decomposição
30 cm
40 cm
a) da maior das diagonais das faces;
O triângulo destacado em laranja na figura é retângulo com catetos de 30 cm e
40 cm. Logo, a hipotenusa desse triângulo
mede 50 cm, que corresponde à diagonal
solicitada.
Problema 1 – Na Figura 1, você já sabe que
a área de CDEB é igual à soma das áreas de
CAHI e de ABFG, ou seja, que a2 = b2 + c2.
Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas componentes dessa figura. Para
tanto, observe na Figura 2 o segmento AJ, e
note que ele divide a hipotenusa em duas partes, m e n, e também divide o quadrado CDEB
em dois retângulos.
39
G
H
F
A
I
c2
b2
b
c
a
C
B
Área de ABC a partir dos catetos: (b . c) ÷ 2
Área de ABC a partir da hipotenusa e da
altura h: (a . h) ÷ 2
(b . c) ÷ 2 = (a . h) ÷ 2 → bc = ah
a2
D
b) Calcule a área do triângulo ABC de duas
maneiras, usando os catetos b e c, bem
como a hipotenusa a e a altura h. Mostre
que bc = ah.
c) Mostre na figura que a área do quadrado ACIH é igual à área do retângulo
CDJK.
E
Figura 1
G
H
F
A
I
b
C
b
m K
a
n
a
D
Área de CDJK = am
c
h
B
a
J
Figura 2
E
a) Calcule a área do retângulo CDJK e a
área do retângulo JEBK. Mostre que
a soma das duas áreas é igual a a2.
Área de CDJK = am
Área de JEBK = an
Soma das áreas = am + an = a(m + n) =
= a . a = a2
40
Área de ACIH = b2
Uma das relações métricas já aprendidas no
triângulo ABC é justamente b2 = am, que
traduz o fato de as áreas serem iguais.
d) Mostre que a área do retângulo JEBK é
igual à área do quadrado ABFG.
Área de JEBK = an
Área de ABFG = c2
Uma das relações métricas já aprendidas no
triângulo ABC é justamente c2 = a . n, que
traduz o fato de as áreas serem iguais.
Problema 2 – Considere um triângulo de
catetos 5 cm e 12 cm.
Matemática – 8a série – Volume 3
a) Calcule a altura relativa à hipotenusa
desse triângulo retângulo.
b) A altura relativa à hipotenusa divide
esse triângulo em dois triângulos retângulos menores; calcule a área de cada
um deles.
Cálculo da hipotenusa do triângulo:
x2 = 52 + 122 ⇒ x = 13 cm
Cálculo da altura relativa à hipotenusa:
5 . 12 = 13 . h ⇒ h ≅ 4,6 cm
Cálculo das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa:
5 = 13 . n ⇒ n ≅ 1,9 cm
122 = 13 . m ⇒ m ≅ 11,1 cm
4m
h
3m
5m
Os lados 3, 4 e 5 m indicam que o triângulo
considerado é retângulo. A altura pedida corresponde à altura do triângulo relativamente à
hipotenusa. Como o produto dos dois catetos
é igual ao produto da altura pela hipotenusa
(bc = ah), concluímos que 4 . 3 = 5 . h e que
h = 2,4 m.
Considerações sobre a avaliação
2
Área de cada triângulo:
A1 = (11,1 . 4,6) ÷ 2 ≅ 25,5 cm2
A2 = (1,9 . 4,6) ÷ 2 ≅ 4,4 cm2
Problema 3 – Um painel deve ser mantido
na vertical com a ajuda de dois cabos de aço
perfeitamente esticados, de 3 m e 4 m, um de
cada lado, como mostra a figura. Os cabos estão situados em um plano vertical e a distância entre os pontos de fixação dos dois cabos
de aço no solo é de 5 m. A que altura do solo
os cabos devem ser fixados no painel?
Chegamos ao final desta Situação de
Aprendizagem considerando que o conjunto
de problemas aqui apresentados constitui pequena, porém significativa amostra das aplicações das relações métricas nos triângulos
retângulos e também do teorema de Pitágoras.
Os professores conhecem a importância do
assunto, bem como as dificuldades que geralmente são apresentadas pelos alunos no
aprendizado desse conteúdo. Sendo assim,
sugerimos que, caso o professor avalie como
adequado, proponha novas situações-problema acerca do tema de modo que os alunos tenham novas oportunidades de se apropriarem
das relações já exploradas.
41
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS
O conjunto de problemas que compõem
esta Situação de Aprendizagem tem por
objetivo oferecer ao professor alternativas
para o trabalho de apresentação das razões
trigonométricas nos triângulos retângulos.
Com o auxílio da abordagem e dos problemas
aqui propostos, espera-se ampliar o espectro
de significados associados ao tema.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: razões trigonométricas de um ângulo agudo.
Competências e habilidades: determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo;
utilizar a razão trigonométrica de um ângulo agudo na resolução de situações-problema;
estimar a medida de ângulos de inclinação; efetuar medidas angulares com teodolito
simplificado.
Estratégias: construção de teodolito simplificado; realização de medidas angulares usando
teodolito simplificado e fita métrica, com o objetivo de determinar medidas inacessíveis; resolução de problemas contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Dividimos a Situação de Aprendizagem
em três partes, de acordo com as descrições
a seguir.
Atividade 1 – Ângulo de elevação:
contexto e estimativas
Em quase todas as cidades do mundo,
há ruas que cortam trechos planos, mas há
também ruas com percursos íngremes, subindo ou descendo. Especialmente nos
casos de ruas com “fortes” subidas, se
42
questionarmos nossos alunos com relação à quantidade de graus que estimam
para a elevação da subida, as respostas
provavelmente serão valores muito mais
elevados do que os reais. Nesses casos, é comum ouvirmos que esses ângulos atingem
30º, e alguns exagerados chegam a estimar 45º. Mas qual seria, de fato, a faixa
de estimativa possível para ângulos dessa
natureza?
Propomos nesta atividade um exercício de
sensibilização dos alunos para a estimativa
de medidas de ângulos de elevação, visando
também introduzir a importante noção de
Matemática – 8a série – Volume 3
f O Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT) regulamenta
recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem,
por meio de uma medida que denomina
inclinação. Por exemplo, em uma estrada
com inclinação 0,15, ou 15%, sobe-se 15 m
a cada 100 m de deslocamento horizontal.
Inclinação 0,15, ou 15%
15 m
100 m
f Para pequenas inclinações, o deslocamento horizontal é praticamente igual
ao deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à medida da hipotenusa. Por
isso, costuma-se dizer, por exemplo,
que em uma subida de 10% percorre-se
10 m em cada metro de subida.
f Alguns trechos de estradas podem, excepcionalmente, atingir inclinações maiores
do que as recomendadas, chegando a valores da ordem de 10%.
Seguindo esses comentários, os alunos
poderão ser convidados a avaliar o grau de
elevação de alguma rua de sua cidade, utilizando, para tanto, apenas instrumentos de
medida de comprimento, como trenas ou fitas métricas. Há vários procedimentos possíveis, e os alunos poderão optar por aquele
que considerarem mais adequado às condições do lugar. No entanto, será necessário
que as respostas sejam traduzidas em uma
única forma, de preferência por intermédio
de um percentual que represente a relação
entre o deslocamento vertical (b) e o deslocamento horizontal (a), e também se possível, do deslocamento real sobre a rua (c).
Conexão Editorial
razão trigonométrica de um ângulo agudo.
Para tanto, os alunos devem ser comunicados
sobre os seguintes fatos:
Inclinação 10%
10 m
1m
f As inclinações máximas recomendadas
pelo DNIT dependem do tipo de estrada,
mas variam de 5%, nas estradas de maior
volume de tráfego, a 9%, nas estradas com
baixo volume de tráfego.
De posse dos resultados obtidos pelos
alunos, o professor poderá reunir as informações e discutir a questão de que as
43
divisões efetuadas por eles, entre as medidas
de lados de triângulos retângulos hipotéticos, conduziriam a resultados iguais no caso
de qualquer outro triângulo retângulo considerado sobre a mesma rua, isto é, qualquer
triângulo semelhante ao que consideraram
em suas medidas.
Partindo dessa discussão, o professor poderá definir as razões seno e tangente de um
ângulo agudo e relacionar os valores percentuais que obtiveram para as inclinações da
rua com a medida do ângulo correspondente,
apresentando, para tanto, uma tabela trigonométrica com valores de 0º a 90º. Por exemplo, para uma inclinação de 12%, resultante
da comparação entre b e a na figura, o ângulo
correspondente é de, aproximadamente, 7º,
pois a tangente de 7º é 0,122.
O importante aspecto de que a tangente
e o seno são muito próximos para pequenos
valores de ângulos deve ser discutido com os
alunos, a fim de evitar que, futuramente, eles
confundam essas razões trigonométricas.
O resultado do trabalho de avaliação da
inclinação das ruas deve ser concluído com o
estabelecimento de uma faixa provável de valores em que inclinações de todas as ruas podem ser localizadas. Para que se tenha uma
ideia, uma rua localizada na Nova Zelândia,
é considerada por muitos como a mais inclinada do mundo, com inclinação de 35%, cerca
de 19º. Assim, fixar uma faixa de inclinação
entre 0º e 20º é bem razoável.
44
Terminando a atividade, o professor poderá pedir aos alunos que resolvam os seguintes
problemas, consultando a tabela trigonométrica sempre que necessário.
Problema 1 – Em determinada rua, um
pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao ponto onde iniciou a
caminhada. Qual é a inclinação percentual
dessa rua? E qual é a medida do ângulo de
inclinação?
A inclinação é:
50 m
2m
2 . 100 = 4%
50
Quanto ao ângulo, é preciso determinar
o ângulo que tem seno igual a 0,04. Uma
calculadora científica nos informa que, nesse
caso, ele mede aproximadamente 2,3º.
Problema 2 – O vendedor de uma loja de telhas afirma ao comprador que o tipo de telha
escolhida exige que o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa
essa afirmação? Qual é, em graus, a inclinação
desse telhado?
Uma inclinação de 30% significa que o
telhado sobe 30 m a cada 100 m de deslocamento horizontal.
30 m
100 m
Matemática – 8a série – Volume 3
O ângulo, nesse caso, tem tangente igual a
0,3, resultado da divisão de 30 por 100. Uma
calculadora nos informa que, nesse caso, ele
mede aproximadamente, 16,7º.
Problema 3 – Para avaliar o grau de inclinação de uma rua, um estudante usou um
pedaço de papel, um lápis e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao
lado de um poste vertical fixado na rua e
medir o ângulo entre o poste e o piso da rua
( no desenho). Se o ângulo medido pelo
estudante foi de 82º, qual é o ângulo de
inclinação da rua?
β
O seno do ângulo de inclinação é igual a
8
= 0,08, que corresponde a um ângulo
100
de, aproximadamente, 4,6º.
b) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y?
O seno do ângulo de inclinação é igual a
20
= 0,04, que corresponde a um ângulo
500
de, aproximadamente, 2,3º.
c) qual é, em metro, o deslocamento de um
carro em Y enquanto desce 8 m?
Podemos calcular o deslocamento do
carro em y a partir da semelhança entre
triângulos:
20 8 ⇒ x = 200 m
=
500 x
O ângulo β da figura é o complementar do
ângulo α de inclinação da rua. Assim, a rua
tem inclinação de 8º.
Problema 4 – Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m
quando o veículo que o percorre desloca-se
100 m. Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no qual um
veículo desce 20 m ao percorrer 500 m.
Qual é:
a) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?
Atividade 2 – medindo ângulos e
calculando distâncias inacessíveis
Nesta etapa da Situação de Aprendizagem,
propomos que o professor auxilie seus alunos
a construir um modelo de teodolito simplificado, para, em seguida, utilizá-los na medição de
alguns ângulos.
Há inúmeras maneiras de construir um
aparelho para medida aproximada de ângulos; apresentamos aqui um modelo que utiliza
o seguinte material:
45
Conexão Editorial
f um transferidor de plástico;
f um pedaço de tubo fino de plástico ou de
outro material não transparente;
f cola plástica;
f pedaço de fio de nylon;
f uma arruela de pesca, de ferro ou chumbo;
f um pedaço de madeira ou papelão para
a base.
Conexão Editorial
Depois de pronto, o “teodolito” fica
com aspecto semelhante ao representado
na ilustração.
Os “teodolitos” construídos poderão
ser utilizados em conjunto com trenas ou
fitas métricas, para tomar medidas em situações-problema que exigirão razões trigonométricas, como as seguintes.
Problema 1 – Medida da altura de um objeto quando se tem acesso à base.
O professor que dispuser de um transferidor grande de madeira, utilizado normalmente para desenhar e medir ângulos
no quadro-negro, poderá utilizá-lo em
um “teodolito” maior, único para toda a
classe, como o modelo apresentado na ilustração seguinte:
46
h
α
d
Mede-se a distância d e o ângulo de elevação α, e calcula-se h aplicando-se a tangente do
ângulo α.
Conexão Editorial
Matemática – 8a série – Volume 3
Determine a medida de h no caso de α = 23o
e d = 12 m.
h
h
⇒ 0 , 4422 = ⇒ h ≅
5 ,0044 m
d
12
A altura da árvore (h), neste caso, é igual a
5,04 m.
Problema 2 – Medida da altura de um objeto quando não se tem acesso à base.
Conexão Editorial
t o=
tg23
h
β
d
m
Conexão Editorial
α
Mede-se a distância d e os ângulos α e β.
Conhecendo a tangente de α e a tangente de β,
pode-se calcular a medida h, por meio do sistema de equações:
tg α =
h
d+m
tg β =
h
m
Há ainda a possibilidade de se usar “teodolitos” assim construídos para obter medidas
de ângulos de abertura entre dois pontos do
plano horizontal. Com o auxílio desse instrumento os alunos podem realizar medições
para resolver situações-problema reais propostas pelo professor.
Exemplificamos duas situações-problema em
que os “teodolitos” podem ser utilizados para
a tomada de medidas de ângulos de abertura
no plano horizontal e, com a ajuda de uma tabela
47
trigonométrica, permitir aos alunos determinar
uma medida inacessível.
Conhecendo a tangente de α, é possível calcular a largura x da rua.
Determine a altura da árvore no caso em
que α = 23º, β = 34º e d = 3 m.
Qual é a medida da largura da rua no caso
em que α = 40o, n = 12 m e m = 4 m?
h
h
⇒ 0 , 4422 = 3+ m
3+ m
h
h
o
t
tg34
=
⇒ 0 , 67 = m
m
tg40 o =
4+x
4+x
⇒
⇒ 0 , 84 = 12
12
⇒ x = 6 , 08 m t o=
tg23
40o
12
4
34o
23
o
A largura da rua é igual a, aproximadamente,
6 m.
m
3
x
Resolvendo o sistema de equações encontramos m = 5,04 e h = 3,38 m. Portanto, a
altura da árvore é igual a 3,38 m.
Problema 4 – Determinação da distância
entre dois pontos inacessíveis.
Q
Problema 3 – Determinação da largura de
uma rua.
x
P
α
n
α
β
m
m
x
Na vista superior da situação, representada
na figura, as medidas m e n são obtidas com a
fita métrica, e as medidas do ângulo de 90º e
do ângulo α são realizadas com o “teodolito”.
48
A
n
B
p
C
D
Movimentando o “teodolito” sobre a linha
mais abaixo, na representação anterior, da situação vista de cima, é possível tomar as medidas m, n e p com a fita métrica. Garantindo a
Matemática – 8a série – Volume 3
perpendicularidade assinalada na figura, o “teodolito” é, em seguida, usado para realizar as medidas dos ângulos α e β. Aplicando as razões trigonométricas para os ângulos agudos medidos,
e também o teorema de Pitágoras, determina-se
a medida x entre os dois pontos assinalados.
Determine a distância x no caso em que
são conhecidos os seguintes dados:
m = 3 m n = 4 m p = 4 m α = 30º β = 60º
PB
PB
⇒ 0 , 57 = ⇒
3
3
⇒ PB = RC = 1,71 m
Atividade 3 – uma tabela de cordas,
ou de senos
Na Grécia antiga, por volta de 150 a.C.,
Hiparco (190-120 a.C.) construiu a primeira
tabela trigonométrica de que se tem notícia.
Para tanto, Hiparco calculou a medida de
cordas de uma circunferência, cordas essas
“enxergadas” por ângulos centrais. Mais tarde, as medidas que Hiparco tabelou viriam a
receber o nome de seno do ângulo.
tg30 o =
Uma atividade interessante que pode ser
proposta aos alunos consiste em construir uma
tabela de senos, utilizando processo semelhante ao de Hiparco, a partir do comprimento de
cordas, conforme a descrição seguinte:
Q
x
P
R
(corda) ÷ 2
C
A
B
30o
60o
3
A
B
C
B
D
QC
QC
tg60 =
⇒ 1,73 = ⇒
4
4
⇒ QC = 6 , 92 m
O
A
C
α
4
4
A
O
α
2
α
2
raio
O
o
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo PQR:
x = 4 +(6,92 – 1,71) ⇒ x ≅ 6,57 m
2
2
2
Portanto, a distância entre os pontos P e Q é
de, aproximadamente, 6,57 m.
A corda AB da circunferência de centro O é
“enxergada” pelo ângulo α. Traçando a bissetriz
de α, dividimos a corda ao meio e formamos um
triângulo ACO, em destaque. O seno do ângulo
de medida
α
no triângulo ACO é igual a:
2
1
corda
α
sen
=2
2
raio
49
x
α
sen = 2
r
2
⇒ sen
x
α
=
2r
2
Assim, se forem conhecidas as medidas x e r,
poderemos obter valores de senos das metades
dos ângulos correspondentes à corda.
7,5
º
A preparação da atividade exige que os
alunos desenhem uma circunferência com
uma medida determinada de raio, por exemplo, 10 cm, e que a dividam em um bom número de partes iguais, como, por exemplo,
48 partes. Para essa tarefa, poderão utilizar
um transferidor e/ou um compasso. Isso feito,
cada divisão será “enxergada” por um ângulo
igual a 360º ÷ 48 = 7,5º, ou 7º e 30’.
º
7,5
Chamando x a medida da corda do ângulo α,
e de r a medida do raio, temos:
x
R
sen
75º
75º
x
=
2
2R
Os alunos poderão dividir-se em pequenos grupos para calcular e tabelar os senos de
alguns ângulos, e, em seguida, utilizar os valores obtidos no cálculo de um elemento desconhecido de alguma situação-problema, como
a seguinte:
Problema 1 – Para determinar a altura de
uma montanha, um topógrafo mediu o ângulo de elevação da montanha a partir de A, obtendo 45º. Em seguida, caminhou 24 m até B
e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 37,5º. Com esses dados, ele conseguiu
seu objetivo. Qual foi a medida da altura da
montanha que o topógrafo determinou?
Unindo os pontos que assinalam as divisões na circunferência, obtém-se uma corda
“enxergada” por determinado ângulo central.
Medindo o tamanho da corda e dividindo-a
pelo dobro da medida do raio, será encontrado o valor aproximado do seno da metade do
ângulo “enxergado” pela corda.
A
50
B
Matemática – 8a série – Volume 3
Considerações sobre a avaliação
x
45º
y
tg 45º = 1 =
37,5º
24 m
x
⇒x=y
y
tg 37,5º ≅ 0,77 =
x
y + 24
Resolvendo o sistema formado por essas duas
equações, obtemos x ≅ 80,3 m.
Convém lembrar que o estudo das razões trigonométricas de um ângulo agudo
apenas se inicia na 8a série, sendo complementado nos anos seguintes. Assim, conforme destacado nas atividades propostas, é
importante que a construção conceitual
esteja, neste momento, acoplada, mais do
que nunca, a situações do cotidiano dos
estudantes, evitando-se formalizações excessivas. Nessa medida, as avaliações previstas para o período de estudo devem
levar em consideração as diversas atividades práticas realizadas pelos alunos,
de modo que o quadro da avaliação final
seja composto, em boa parte, por esse tipo
de atividade.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
Apesar de todo o cuidado com que provavelmente os professores apresentarão os temas
de estudo a seus alunos, sempre há chances de
que alguns não atinjam plenamente os objetivos propostos.
Caso o objetivo proposto na Situação de
Aprendizagem 1 não tenha sido plenamente
atingido, sugerimos que as atividades de recuperação contemplem a representação de
figuras planas em malhas quadriculadas distorcidas, de maneira que o estabelecimento
da contradição contribua para a construção
desejada do conhecimento acerca das semelhanças. Nesse sentido, caberia questionar os alunos
sobre a existência ou não da semelhança entre
duas figuras como no caso do par a seguir:
Precisamos também olhar com atenção
especial para aqueles alunos que eventualmente
não tenham atingido plenamente os objetivos
51
traçados para a Situação de Aprendizagem 2.
Nesses casos, sugerimos que o professor retome
a identificação de ângulos congruentes em triângulos semelhantes, abordada na atividade 1,
gerando e aplicando outros problemas com
triângulos representados em malhas quadriculadas. Valerá a pena, então, ampliar o rol
de casos anteriormente analisados, incluindo
aqueles em que é exigida a justificativa para a
congruência identificada, como neste caso:
M
propomos que o processo de retomada dos
conceitos, promovido pelo professor, considere a possibilidade, não contemplada nesta
Situação de Aprendizagem, de solicitar o
cálculo de medidas lineares de triângulos
retângulos representados em malhas quadriculadas, como neste exemplo, em que os
alunos podem ser questionados sobre as medidas das diagonais dos quadriláteros ABCD,
ECGF e FEIH, além de outras medidas de
comprimento.
A
B
B
—
—
BC // DE
A
C
F
N
G
H
E
Q
P
D
E
C
I
D
Consideramos importante também que
o professor selecione de livros didáticos,
além do adotado, outros exercícios envolvendo semelhança de triângulos, visto ser
necessário que os alunos em recuperação
mantenham contato mais duradouro com
situações-modelo.
No que diz respeito aos conteúdos abordados na Situação de Aprendizagem 3,
52
Por fim, recomenda-se que os alunos que
eventualmente não tenham atingido plenamente
os objetivos propostos na Situação de Aprendizagem 4 sejam encaminhados para um trabalho
de recuperação que considere principalmente
a tomada de medidas de comprimento e de
ângulos em situações do cotidiano. Tais medidas poderão ser utilizadas para dar significado
aos cálculos de senos, cossenos e tangentes de
ângulos agudos, e também na determinação
de distâncias inacessíveis.
Matemática – 8a série – Volume 3
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
Alguns livros didáticos de Ensino Fundamental tratam com competência do tema “Semelhança entre figuras planas”, e o professor
pode recorrer a eles para municiar-se de situações a serem propostas aos alunos, tanto para
momentos voltados à aprendizagem conceitual,
quanto para momentos de avaliação.
Para substanciar teoricamente seu trabalho com a semelhança entre figuras, sugerimos
que o professor recorra à leitura de alguns artigos da Revista do Professor de Matemática,
da Sociedade Brasileira de Matemática, especialmente o artigo “Semelhança, pizzas e
chopes”, de Eduardo Wagner, publicado na
edição no 25. Nesse artigo, o autor, de forma
instigante e por meio de uma linguagem simples, comenta a relação de proporcionalidade
entre áreas e volumes de figuras semelhantes.
Há ainda outros artigos da Revista do
Professor de Matemática que tratam dos
temas abordados neste Caderno, como estes:
ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. RPM 2.
JUNIOR, Geraldo G. D. De São Paulo ao
Rio de Janeiro com uma corda ideal. RPM 22.
ROSA NETO, Ernesto. Um raro aluno. RPM 32.
LIMA, Elon Lajes de. Sobre a evolução de
algumas ideias matemáticas. RPM 06.
SILVA, Pedro F. Trigonometria na oficina
mecânica. RPM 10.
Dentre as publicações que abordam o
estudo das razões trigonométricas, destacamos Trigonometria e números complexos,
de Manfredo Perdigão, Augusto César
Morgado e Eduardo Wagner, publicado
pelo Instituto Nacional de Matemática
Pura e Aplicada (Impa).
Sugerimos ainda a leitura do interessante
trabalho de Ruy Madsen Barbosa, Descobrindo padrões pitagóricos, da Editora Atual, no
qual o autor analisa várias demonstrações
do famoso teorema, bem como inúmeras situações em que é possível detectar padrões
geométricos ou numéricos que remetem ao
teorema de Pitágoras.
53
ConSidERAÇõES FinAiS
54
Os conteúdos e temas abordados no 3o bimestre da 8a série do Ensino Fundamental,
que foram contemplados nas propostas das
Situações de Aprendizagem aqui descritas,
fazem parte do eixo de Geometria e medidas.
Não é apenas circunstancial o fato de que o
conteúdo desse eixo escolhido para encerrar
o ciclo do Ensino Fundamental tenha sido a
semelhança entre figuras planas e as razões
trigonométricas do ângulo agudo. Afinal,
como se pode perceber pelas situações-problema analisadas durante todas as páginas
deste Caderno, o conteúdo selecionado exige
relações múltiplas entre diversos conceitos
geométricos, e, também, algébricos, estudados nos períodos escolares anteriores.
conceitos de Geometria ou de medidas
anteriormente discutidos são, agora, na
8a série, exigidos no 3o bimestre. Assim, destacamos, por exemplo, o cálculo de áreas e
de perímetros, o reconhecimento das propriedades dos polígonos, os elementos da
circunferência, as transformações entre unidades de comprimento, o cálculo do volume
de um prisma reto, os ângulos formados por
retas que se cruzam, etc.
Em outros bimestres, de outros anos
do Ensino Fundamental, detectam-se,
explicitamente, conceitos que detêm relações de proximidade com os analisados nas Situações de Aprendizagem deste
Caderno. De fato, praticamente todos os
Apresentamos, a seguir, a grade curricular
com os conteúdos de Matemática, de todas
as séries do Ensino Fundamental, destacando
com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente relacionados com os conteúdos deste 3o bimestre.
A evidente integração entre os conteúdos
deste 3o bimestre e os conteúdos dos demais
bimestres justifica a atenção redobrada do
professor para destacar as diversas relações
entre significados conceituais.
Matemática – 8a série – Volume 3
ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE / BimEStRE
do EnSino FundAmEntAl
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
5a série
6a série
7a série
8a série
NÚMEROS REAIS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
NÚMEROS NATURAIS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações.
- Introdução às potências.
NÚMEROS NATURAIS
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional
decimal.
NÚMEROS RACIONAIS
- Transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
FRAÇÕES
- Representação.
- Comparação e
ordenação.
- Operações.
NÚMEROS INTEIROS
- Representação.
- Operações.
POTENCIAÇÃO
- Propriedades para
expoentes inteiros.
NÚMEROS RACIONAIS
- Representação fracionária e
decimal.
- Operações com decimais
e frações.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- A linguagem das potências.
NÚMEROS DECIMAIS
- Representação.
- Transformação em
fração decimal.
- Operações.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
ÁLGEBRA
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
ÁLGEBRA
- Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
funções; a ideia de
interdependência.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
NÚMEROS/
PROPORCIONALIDADE
- Proporcionalidade direta
e inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: π.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES
- Equações de 1o grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas
- Inequações de 1o grau
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Proporcionalidade,
noção de semelhança.
- Relações métricas em
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Teoremas de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- Área de polígonos.
- Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
SISTEMAS DE
MEDIDAS
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área
por composição e
decomposição.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- Gráficos de setores.
- Noções de
probabilidade.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
ÁLGEBRA
- Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- Contagem indireta e
probabilidade.
55