AEP FISCAL
Raciocínio Lógico
- GEOMETRIA BÁSICA
- TRIGONOMETRIA
Prof. Weber Campos
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ÍNDICE
Exercícios Resolvidos de GEOMETRIA
03
Exercícios de GEOMETRIA das Vídeoaulas
15
Gabarito
18
Exercícios Resolvidos de TRIGONOMETRIA
19
Exercícios de TRIGONOMETRIA das Vídeoaulas
26
Gabarito
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA
01.
Calcule o ângulo x na figura abaixo, sabendo que BH e BI são,
respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice B do triângulo
ABC.
B
x
54º
A
30º
H
I
C
Solução:
෡ ‫ ܤ‬é 90º. Assim, o ângulo ‫ܤܣ‬෠ ‫ܪ‬
No triângulo ABH, temos que o ângulo ‫ܪܣ‬
deste triângulo será igual a 36º (=180º – 90º – 54º).
B
36º
A
b
x
54º
30º
H I
C
No triângulo ABC, para que a soma dos ângulos seja igual a 180º, é
necessário que o ângulo ‫ܤܣ‬෠ ‫ ܥ‬seja igual a 96º (=180º – 54º – 30º). Daí, vem a
igualdade:
36º + x + b = 96º
Resolvendo, vem:
x + b = 96º – 36º
x + b = 60º (1ª equação)
Da informação da bissetriz BI, podemos igualar as duas partes que esta
bissetriz divide. Teremos:
36º + x = b (2ª equação)
O valor de b, nesta 2ª equação, será lançado na 1ª equação. Teremos:
x + (36º + x) = 60º
2x = 60º – 36º
2x = 24º
x = 12º (Resposta!)
02.
O triângulo ABC da figura abaixo tem perímetro igual a 35 cm. O
segmento AP é a bissetriz de  e as medidas dos segmentos AB e PB são,
respectivamente, 12 cm e 9 cm. Calcule a medida do segmento AC.
A
12
C
P
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9
B
3
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Solução:
Designaremos por x a medida do segmento AC e por y a medida do
segmento CP.
A
x
C
12
y
P
B
9
Como o perímetro do triângulo ABC é igual a 35, podemos formar a seguinte
equação:
x + y + 12 + 9 = 35
Simplificando, vem:
x + y = 14
E pelo teorema da bissetriz interna, temos:
‫ݔ‬Ȁ‫ ݕ‬ൌ ͳʹȀͻ
Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, teremos:
‫ݔ‬ȀሺͳͶ െ ‫ݔ‬ሻ ൌ ͳʹȀͻ ൌ ͶȀ͵
Resolvendo, vem:
‫ ݔ‬ή ͵ ൌ ሺͳͶ െ ‫ݔ‬ሻ ή Ͷ
͹‫ ݔ‬ൌ ͷ͸
࢞ ൌ ૡ (Resposta!)
03.
Determine o valor de x na figura abaixo.
A
5
B
x
4
D
C
Solução:
O triângulo ABD é um triângulo retângulo. Chamaremos o segmento BD de
m e depois aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo ABD.
52 = 42 + m2
m2 = 25 – 16
m=3
Chamaremos a hipotenusa de a e aplicaremos a relação métrica: c2 = m.a.
52 = 3 . a
a = 25/3
Para encontrar x, aplicaremos a relação métrica: b.c = a.h.
x . 5 = 25/3 . 4
x = 20/3 (Resposta!)
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04.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e CDE é um triângulo
෡ ۳ e ۰۳෠۱.
equilátero. Calcule ‫ۯ‬۰
A
B
E
D
C
Solução:
Os ângulos do quadrado ABCD são iguais a 90º e os ângulos do triângulo
෡ e de b o ângulo
eqüilátero CDE são iguais a 60º. Chamaremos de a o ângulo ෡
.
A
B
90º
a
E
b
b
60º
30º
30º
60º
60º
D
C
Os quatro lados do quadrado e mais os lados DE e CE do triângulo são todos
congruentes entre si. Daí pode-se observar no desenho acima que o triângulo BCE
෡ ൌ ෡ ൌ β.
é isósceles. Deste modo, esse triângulo possui dois ângulos iguais: A soma dos ângulos internos do triângulo BCE deve ser igual a 180º. Ou
seja:
b + b + 30º = 180º
2b = 150º
b = 75º
෡ é reto e é igual à soma dos ângulos a e b. Daí, vem:
O ângulo A
a + b = 90º
a + 75º = 90º
a = 15º
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05.
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio cujas bases são: AB = 4 cm e
CD = 10 cm. Sejam M o ponto médio do lado AD e N o ponto médio do lado
BC. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN com as diagonais
AC e BD. Calcule o segmento PQ.
A
M
C
4 cm
B
Q
P
N
D
10 cm
Solução:
O segmento MN é a base média do trapézio, daí vem:
‫ ܰܯ‬ൌ
ସାଵ଴
ଶ
ൌ ͹ܿ݉
O segmento MP é uma base média do triângulo ABC, daí vem:
ସ
‫ ܲܯ‬ൌ ൌ ʹܿ݉
ଶ
O segmento QN é a base média do triângulo ABD, daí vem:
ସ
ܳܰ ൌ ଶ ൌ ʹܿ݉
Já temos condições de calcular PQ. Observe no desenho que a medida PQ é
igual a: (MN – MP – QN). Daí vem:
ܲܳ ൌ ͹ െ ʹ െ ʹ
ࡼࡽ ൌ ૜ࢉ࢓
06.
A figura abaixo apresenta um hexágono regular inscrito numa
circunferência. Calcule as medidas dos ângulos x, y e z.
A
B
x
F
y
z
E
C
D
Solução:
O ângulo interno de um polígono regular é dado pela expressão: 180º.(n2)/n. Onde n é o número de lados. No hexágono, o n é 6. Daí, o ângulo interno do
hexágono é igual a:
180º.(6-2)/6 = 180 . 4 / 6 = 120º
෡ൌ
෡ ൌ ෠ ൌ ෡ൌ
෡ ൌ ෠ ൌ ͳʹͲ°.
Assim, temos que: Prof. Weber Campos
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O triângulo ABC é isósceles, pois AB = BC. Daí, os ângulos das bases são
iguais a x. Veja o desenho abaixo:
A
B
x
120º
x
C
A soma dos ângulos internos do triângulo ABC deve ser igual a 180º.
x + x + 120º = 180º
2x = 60º
x = 30º
No quadrilátero CDEF, as bases ED e FC são paralelas e os lados CD e FE
෡ e
෡
são iguais, assim os ângulos ෠ e ෠ são congruentes. E os ângulo internos do hexágono são iguais a 120º. Veja o desenho abaixo:
F
z
z
120º
C
120º
E
D
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º. Daí vem:
z + z + 120º + 120º = 360º
2z = 360º - 240º
z = 60º
Passemos ao cálculo de y. O ângulo interno ෠ do hexágono é igual a 120º. E
esse ângulo ෠ é composto pelos ângulos ෠ (60º), y e ෠ (30º). Temos, então:
෠ + y + ෠ = ෠
60º + y + 30º = 120º
y = 120º - 90º
y = 30º
Esse cálculo de y era dispensável, pois observe no desenho da questão que
os ângulos x e y são alternos internos e, portanto, congruentes.
෡‫ۿ‬, AB = 16
07.
Na figura abaixo, o ângulo ‫ۯ‬۱෠۰ é congruente ao ângulo ۰‫۾‬
cm, BC = 12 cm, AC = 16 cm e BP = 6 cm. Calcule as medidas dos
segmentos PQ e QB.
A
16
P
10
6
C
Q
12
B
Solução:
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Na figura acima, podemos observar dois triângulos: ABC e BPQ, onde o
ângulo ‫ܤ‬෠ é comum aos dois triângulos.
Separaremos os dois triângulos colocando as medidas de cada um.
A
16
10
P
6
x
C
B
12
Q
y
B
Como há dois ângulos em comum, é claro que o terceiro ângulo também
será comum. Daí, os triângulos são semelhantes.
Vamos reposicionar o segundo triângulo de forma que os ângulos dos dois
triângulos se correspondam.
Q
y
x
P
Como são
correspondentes:
௫
ଵ଴
ൌ
௬
ଵ଺
B
6
semelhantes,
ൌ
faremos
a
proporção
entre
os
lados
଺
ଵଶ
Igualando a primeira e a última fração, encontraremos o valor de x:
௫
ଵ଴
଺
ൌ ଵଶ
à
Cálculo de y:
௬
ଵ଺
ൌ
଺
à
ଵଶ
௫
ൌଶ
௬
ൌ
ଵ଴
ଵ଺
ଵ
à
ଵ
࢞ൌ૞
à࢟ ൌ ૡ
ଶ
08.
Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero de lado 8 cm e M é o
ponto médio de AB. Calcule CQ, sabendo que CP = 10 cm.
A
M
B
Q
8
C
10
P
Solução:
M é o ponto médio de AB e chamaremos de N o ponto médio de BC.
Interligando os pontos M e N, o segmento MN fica paralelo a AC, e a medida do
segmento MN é igual à metade do segmento AC, ou seja, MN = 8/2 = 4.
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A
M
Q
4
B
N
4
C
4
10
P
Vamos destacar abaixo o triângulo MNP.
M
Q
4
4
N
C
10
P
෣
෡ é igual ao ângulo ෠. E
Como MN é paralelo a QC, então o ângulo ෡
como o ângulo é comum aos triângulos MNP e QCP, então esses triângulos têm
dois ângulos em comum. Desse modo, os triângulos MNP e QCP são semelhantes.
Da semelhança entre os dois triângulos, podemos estabelecer a seguinte
proporção:
‫ܲܥ‬
ܳ‫ܥ‬
ൌ
ܰܲ ‫ܰܯ‬
Substituindo pelas medidas dos segmentos, teremos:
ͳͲ ܳ‫ܥ‬
ൌ
ͳͶ
Ͷ
Resolvendo, vem:
QC = (4 . 10)/14 = 40/14 = 20/7 = 2,86 cm (Resposta!)
09.
Calcule o raio r da circunferência abaixo:
A
8
C
B
3,6
r
Solução:
Observe que o segmento BC é o diâmetro da circunferência, assim
traçaremos o segmento AB a fim de formar o triângulo retângulo ABC.
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A
8
B
3,6
r
C
2r-3,6
r
A projeção do cateto AC na hipotenusa é igual a diferença entre o diâmetro
(2r) e a projeção do cateto AB na hipotenusa (3,6), ou seja, 2r – 3,6.
Usaremos agora a relação métrica: b2=n.a.
82 = (2r – 3,6) . 2r
Resolvendo, vem:
64 = 4r2 – 7,2r
4r2 – 7,2r – 64 = 0
r2 – 1,8r – 16 = 0
As raízes são:r’=5 e r’’=-3,2. Portanto, r=5.
10.
Calcule a área da parte sombreada dentro quadrado ABCD de lados
12 cm.
Solução:
Observe que os pontos A e D são centros de circunferências de mesmo raio.
Assim, AD = AE = DE = 12 cm. Desse modo, o triângulo ADE é eqüilátero, com
lados iguais a 12 cm e ângulos iguais a 60º.
C
B
E
12
12
12
60º
A
12
D
A área do triângulo eqüilátero ADE é dada por:
Área do DADE = ሺͳʹଶ ξ͵ሻȀͶ = ͵͸ξ͵
O setor circular ADE tem área igual a:
Área do setor ADE =
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గ௥మ ൈ଺଴°
ଷ଺଴°
=
గଵଶమ ൈ଺଴°
ଷ଺଴°
= ʹͶߨ
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A diferença entre a área do setor circular ADE e a área do triângulo ADE é
igual à área do segmento circular DE.
Área do segmento circular DE = ͵͸ξ͵ െ ʹͶߨ
Observe no último desenho que a área sombreada corresponde à soma das
áreas de três partes: segmento circular AE, triângulo ADE e segmento circular DE.
Área sombreada = (͵͸ξ͵ െ ʹͶߨ) + ͵͸ξ͵ + (͵͸ξ͵ െ ʹͶߨ)
= ૚૙ૡξ૜ െ ૝ૡ࣊ (Resposta!)
11.
(AFC-STN-2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do
ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do
triângulo é igual a
a) 2y (x + 1)
d) 2 (x + y)
b) y (2 + 2
e) x2 + y2
2)
c) x (2 + 2 )
Solução: De acordo com o enunciado, podemos desenhar o seguinte triângulo
retângulo:
x
a
y-2
A tangente de a é 1, daí a = 45º.
Agora, conhecemos dois ângulos internos do triângulo: 90 o e 45º. O terceiro
ângulo também será 45º graus para que a soma dos ângulos internos seja 180º.
Como o triângulo possui dois ângulos iguais, então ele é isósceles, com
x=y-2.
No desenho anterior, substituiremos y-2 por x.
a
x
45o
x
A hipotenusa a pode ser encontrada a partir do Teorema de Pitágoras: “O
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Aplicando o
teorema, teremos:
a2 = x2 + x2
a2 = 2x2
àa=
2x 2
àa=x 2
Portanto, temos que os catetos medem x e a hipotenusa x 2 .
O perímetro do triângulo é igual à soma dos lados:
perímetro = x + x + x 2 = 2x + x 2 = x(2+ 2 )
Resposta: alternativa C.
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12.
(MPOG e ENAP 2006 ESAF) A razão de semelhança entre dois
triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a
128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a
a) 4 m2.
b) 16 m2.
c) 32 m2.
d) 64 m2.
e) 2 m2.
Solução:
Da semelhança entre triângulos, temos a seguinte proporção:
á࢘ࢋࢇࢊࢋࢀ૚
á࢘ࢋࢇࢊࢋࢀ૛
ൌ ࢑૛
Onde k é a razão de semelhança entre os triângulos T1 e T2.
Lançando os dados fornecidos na questão na proporção acima, teremos:
૚૛ૡ
á࢘ࢋࢇࢊࢋࢀ૛
ൌ ૡ૛
Resolvendo, vem:
á࢘ࢋࢇࢊࢋࢀ૛ ൌ
૚૛ૡ
૟૝
ൌ ૛࢓૛
Resposta: alternativa E.
13.
(Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo
tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo
triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual
a 12m. A área do segundo triângulo será igual a:
a) 6 m2
d) 48 m2
2
b) 12 m
e) 60 m2
2
c) 24 m
Solução:
Se os dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondentes são
proporcionais. Designando por a, b e c os lados do segundo triângulo, teremos:
a b c
= =
6 8 10
O perímetro do segundo triângulo é 12. Daí: a + b + c = 12.
De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a seguinte
igualdade:
a b c
a+b+c
= = =
6 8 10 6 + 8 + 10
Sabemos que a + b + c = 12, daí:
a b c 12
= = =
= 0,5
6 8 10 24
Igualando cada fração ao valor 0,5, encontraremos as incógnitas a, b e c.
a
= 0,5
6
à a=3
b
= 0,5
8
à b=4
c
= 0,5
10
à c=5
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Já temos os valores dos lados do triângulo. A área deste triângulo pode ser
encontrada através da seguinte fórmula:
área =
p( p - a)( p - b)( p - c)
Onde p é o semi-perímetro e a, b, e c são os lados do triângulo.
O semi-perímetro do triângulo de lados 3, 4, e 5 é igual a 12/2 = 6.
Substituindo os valores, teremos:
área = 6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)
à
área = 6 × 3 × 2 ×1
à
área = 6
Este resultado é a resposta da questão! Contudo, queremos apresentar
outra solução para o cálculo da área.
Todo triângulo que tem lados iguais a 3, 4 e 5 é um triângulo retângulo.
Observe como os lados seguem o teorema de Pitágoras: 5 2 = 32 + 42. Portanto,
caso apareça no enunciado de uma questão um triângulo com lados iguais a esses
valores ou múltiplos desses valores (6, 8 e 10; 9, 12 e 15;...), estaremos diante de
um triângulo retângulo.
A área de um triângulo retângulo é facilmente calculada, pois um dos
catetos é a altura e o outro cateto é a base.
5
4
3
área = (base x altura)/2 = (3 x 4)/2 = 6 m2
Resposta: alternativa A.
14.
(AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede
2 cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados
mede 45°, então a área do triângulo é igual a
a) 3-1 3
c) 2 -1 2
12
d) 3
b) 2
Solução:
e) 1
2
Para o cálculo da área do triângulo, basta a simples aplicação da fórmula:
área = (a . b . sen a)/2
Onde: a e b são lados do triângulo, e a é o ângulo entre estes dois lados.
Aplicando a fórmula, teremos:
área = (
2 . 2 . sen45º)/2
O seno de 45º é 2 /2. (É importante memorizarmos os senos e cossenos
dos ângulos notáveis: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º e 270º.)
Daí: área = (
2 . 2 . 2 /2)/2 = 2/2 = 1
Resposta: alternativa E.
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15.
(AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu
centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros.
Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a
m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:
a) 9 3
3/ 2
d) 3 3
4
b)
7
e)
3
3
3
c) 2 3
Solução:
Desenhamos abaixo o hexágono regular, e observe que ele é formado por seis
triângulos eqüiláteros.
A área do triângulo eqüilátero é dada pela fórmula:
a2 3
, onde a é o lado
4
do triângulo.
Foi informado que o lado do triângulo é igual a
na fórmula da área, teremos:
3 / 2 . Lançando este valor
( 3 / 2)2 3
3 3
3/ 2× 3
=
=
área do triângulo =
4
4
8
A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, daí:
área do hexágono =
6´
3 3
9 3
=
8
4
Resposta: alternativa A.
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EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DAS VÍDEOAULAS
01. (ATRF/2010 Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O
segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32
centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em
centímetros, é igual a:
a) 27
c) 35
e) 72
b) 48
d) 63
02. (AFC 2005 ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente.
Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B,
outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B,
compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo,
as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
d) 14, 26 e 50
b) 6, 34 e 50
e) 14, 20 e 56
c) 10, 30 e 50
03. (Processo Seletivo Simplificado 2008 ESAF) Dois triângulos, X Y Z e X’ Y’ Z’
são semelhantes. O lado X Y do triângulo X Y Z mede 20 cm e seu lado
homólogo X’ Y’, do triângulo X’ Y’ Z’, mede 40 cm. Sabendo-se que o perímetro
do triângulo X’ Y’ Z’ é igual a 200 cm, então o perímetro do triângulo X Y Z é,
em centímetros, igual a:
a) 100
c) 150
e) 205
b) 105
d) 175
04. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um
poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a
sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação
lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na
mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia.
a) 45m
c) 20m
e) 65m
b) 35m
d) 50m
05. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer
ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas
relativas aos vértices B e C deste triângulo vale:
a) 50°
d) 64°
b) 52°
e) 128°
c) 56°
06. (MPOG e ENAP 2006 ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor
do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é
igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
d) 14 m e 12 m.
b) 12 m e 10 m.
e) 16 m e 14 m.
c) 6 m e 8 m.
07. (SUSEP 2010 ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo
de n lados, com n³ 3, é dada por Si=(n-2).180°. O número de lados de três
polígonos convexos, P1, P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três
polígonos é igual a 3240°, então o número de lados do polígono P2 e o total de
diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
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c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
08. (MPOG 2005 ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos
tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos
determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais.
Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1
cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro
será igual a:
a) 40 cm
d) 42 cm
b) 35 cm
e) 45 cm
c) 23 cm
09. (AFC-CGU 2008 ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma
circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2
x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o
perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25
d) 4
b) 30
e) 50
c) 35
10. (Agente de Fazenda - Prefeitura do RJ - 2010 Esaf) Um quadrado possui um
círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo
circunscrito e a área do círculo inscrito?
a) √2
b) 2 √2
c) 2
d) 4
e) 1
11. (SUSEP 2010 ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base
6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
12. (Fiscal de Rendas - Prefeitura RJ – 2010 Esaf) Um círculo está inscrito em um
triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine
a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.
a) √3
b) 2
c) 3
d) √2
e) 4
13. (Agente de Fazenda - Prefeitura do RJ - 2010 Esaf) Um equipamento no valor D
vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do
primeiro período, a segunda depreciação no fim do segundo período e assim
por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores
de Dk, onde Dk é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima
depreciação, com k = 1, 2,..., n, os pontos (k,Dk) estarão sobre a reta que
passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Supondo n=10 e D = R$ 50.000,00, qual o
valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação?
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a) R$ 12.500,00
b) R$ 15.000,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 17.500,00
e) R$ 20.000,00
14. (Agente de Trabalhos de Engenharia – Sec Mun da Fazenda RJ - 2010 Esaf)
Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D,
sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal
BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o
valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?
a) 30 m
b) 17,32 m
c) 34,64 m
d) 28,28 m
e) 14,14 m
15. (AFT 2010 Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero
ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados
podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa
maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de
comprimento cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:
a) A = 25.
b) 25 ≤ A ≤ 50.
c) ͷξʹ < A ≤ 25.
d) 0 ≤ A ≤ 25.
e) A ≥ 25.
16. (Agente de Trabalhos de Engenharia – Sec Mun da Fazenda RJ - 2010 Esaf)
Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm 2. Sabendo-se que
a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não
pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C mede, em
centímetros:
a) 2 √3.
b) 2 √2.
c) 4 √2.
d) 3 √3 .
e) 3 √2.
17. (ATRF/2010 Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de
raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm
e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone
e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5.
b) 7,5.
5 2/2.
d) 5 2 .
c) 5 +
e) 10.
18. (Agente de Trabalhos de Engenharia – Sec Mun da Fazenda RJ - 2010 Esaf) Se
o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de
um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:
a) 2V.
d) 2V2.
b) 4V.
e) V3.
c) πV.
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GABARITO DE GEOMETRIA
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
B
A
A
A
B
B
Anulada
D
B
C
A
E
B
A
D
A
D
B
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Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA
01. Converter 60º para radianos.
Solução:
Para converter de graus para radianos podemos usar uma regra de três simples:
p rad ------- 180º
x rad ------- 60º
Daí: 180.x = 60.p
Þ x = 60p/180 = p/3
Resposta: 60º = p/3 rad
02. Converter p/6 radianos para graus.
Solução:
Converteremos graus para radianos também através de uma regra de três
simples:
180º ------- p rad
x ------- p/6 rad
Daí: p.x = 180 . p/6
Þ x = 180/6 = 30
Resposta: p/6 rad = 30º
03. Qual é o ângulo congruente a 1480º?
Solução:
Para calcular esse ângulo devemos dividir o ângulo por 360º.
1480
(40)
360
4
O quociente 4 significa o número de voltas completas que o 1480º dá no ciclo
trigonométrico.
O resto 40 é exatamente o ângulo congruente a 1480º. Portanto, temos que
1480º é congruente a 40º.
04. Qual é o ângulo positivo congruente a –1950º?
Solução:
1950
360
(150)
5
O quociente 5 significa o número de voltas completas que o –1950º dá no
círculo trigonométrico no sentido horário.
O resto 150 é o valor absoluto em graus que o ângulo de –1950º percorre após
completar as 5 voltas. Daí, –1950º é congruente a –150º.
Para o –150° completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de
210º (= 360º–150º). Daí, 210º é o ângulo positivo congruente a –150º e a –1950º.
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Raciocínio Lógico
05. Calcular sen 150º e cos 225º.
Solução:
Como o 150º é do segundo quadrante, podemos aplicar a fórmula sen (180º-a)
= sen a. Substituindo a por 150º, teremos:
sen (180º-a) = sen a
sen (180º–150º) = sen 150º
sen (30º) = sen 150º
Ou seja: sen 150º = sen 30º = 1/2.
Como o ângulo de 225º está no 3º quadrante, podemos aplicar a fórmula
(180º+a) = –cos a. Fazendo 180º+a=225º, o valor de a fica em 45º. Daí:
cos
cos (180º+a) = –cos a
cos (225º) = –cos 45º
cos (225º) = –ξ͵Ȁʹ
06. Se 90º < x < 180º e cotg x = -4/3, calcule sen x.
Solução:
O ângulo x é do 2º quadrante, logo sen x é positivo.
A cotangente é o inverso da tangente, assim ela é dada pela razão entre cosseno
e seno.
cotg x = -4/3
Þ cos x/sen x = -4/3
Substituindo cos x por
teremos:
ିସή௦௘௡௫
ଷ
ଵ଺ή௦௘௡మ ௫
ଽ
ିସή௦௘௡௫
ଷ
.
na relação fundamental entre seno e cosseno,
sen2x + cos2x = 1 Þ sen2x +ቀ
sen2x +
Þ …‘• ‫ ݔ‬ൌ
=1
ିସή௦௘௡௫ ଶ
ଷ
ቁ =1
9sen2x + 16sen2x = 9
25sen2x = 9
sen2x = 9/25 Þ sen x = ± 3/5
Sabemos que o sen x é positivo, daí:
sen x = 3/5 (resposta!)
07. Sendo tg x = 2/3 e sen y = 4/5, com 0º < x < 90º e 90º < y < 180º, calcule a
tangente da soma entre x e y.
Solução:
Para calcular a tangente de y, precisamos antes obter o cos y.
cos y = ±
1 - sen 2 y = ± 1 - (4 / 5) 2 = ±
9 / 25 = ± 3/5
Como y é um ângulo do 2º quadrante, então ele é negativo.
cos y = - 3/5
Daí, vem:
tg y = sen y / cos y = 4/5 / (-3/5) = - 4/3
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Raciocínio Lógico
Podemos agora aplicar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos.
tg ( x + y) =
2 / 3 + (-4 / 3)
tg x + tg y
=
1 - tg x × tg y 1 - 2 / 3 × (-4 / 3)
Resolvendo, vem:
tg ( x + y) = -6 /17
(Resposta!)
08. Na figura abaixo, a circunferência tangencia os lados do ângulo AVˆB nos pontos A
e B. Calcule o raio da circunferência de acordo com as medidas dadas.
A
r
60º
V
B
10 m
Solução:
Podemos deduzir da figura acima que:
1º) a bissetriz do ângulo AVˆB passa pelo centro da circunferência;
2º) o segmento que une o centro da circunferência com o ponto B é perpendicular ao
segmento VB.
Teremos, então, o seguinte desenho:
A
O
V
r
30º
30º
B
10 m
O triângulo OBV é um triângulo retângulo. A razão trigonométrica da tg 30º é:
tg 30º = r / 10
A tangente é a razão entre seno e cosseno, daí vem:
sen 30º/cos 30º = r / 10
Sabemos que: sen 30º=1/2 e cos 30º=
(1 2) / (
1/
3
r=
10
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3 2.
)
3 2 = r / 10
= r / 10
3 = 10 3 3 m (Resposta!)
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Raciocínio Lógico
09. Num terreno plano, uma pessoa vê um prédio sob um ângulo de 60º. Afastando-se
do edifício em mais 20 metros, passa a ver o edifício sob um ângulo de 45º. Qual é
a altura do prédio?
Solução:
O desenho da questão é:
P
h
45º
20 B
A
60º
d
S
No triângulo BPS, temos:
௛
௛
Þ ξ͵ ൌ ௗ
‫݃ݐ‬͸Ͳ° ൌ ௗ
Þ݀ൌ
No triângulo APS, temos:
Daí:
‫݃ݐ‬Ͷͷ° ൌ
௛
ଶ଴ାௗ
݄ ൌ ʹͲ ൅ ݀
݄ήቀ
ࢎൌ
ξଷିଵ
ξଷ
Þͳൌ
௛
ଶ଴ାௗ
Þ ݄ ൌ ʹͲ ൅
ቁ ൌ ʹͲ
૛૙ήξ૜
ξ૜ି૚
௛
ξଷ
௛
ξଷ
Þ ݄ ൌ ʹͲ ൅ ݀
Þ݄െ
௛
ξଷ
ൌ ʹͲ
Þ ݄ ή ቀͳ െ
ଵ
ξଷ
ቁ ൌ ʹͲ
࢓ (Resposta!)
෡ = 30º e ෠ = 45º.
10. Calcule o lado AB de um triângulo ABC no qual BC = 10, Considere que sen 105º=0,97.
Solução:
෡ é
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o ângulo igual a 105º (=180º-30º-45º).
O desenho do triângulo ABC é:
A
45º
c
B
b
105º
30º
10
C
Para encontrar o lado AB, aplicaremos a lei dos senos.
10
c
=
0
sen 45
sen 1050
Resolvendo, vem:
10
c
=
2 / 2 0,97
c × 2 = 2 ×10 × 0,97
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Raciocínio Lógico
c=
19,4 19,4 2
=
= 9,7 2
2
2
Caso a questão pedisse o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, a
reposta seria:
10
10
= 2R Þ R =
=5 2
2
2 /2
10
= 2R Þ
sen 450
11. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 16 cm e formam entre si um ângulo de
60º. Calcule o terceiro lado do triângulo.
Solução:
O desenho do triângulo da questão é:
A
b
10
60º
B
C
16
Temos os dados necessários para aplicar a lei dos cossenos.
b2 = 102 + 162 – 2.10.16.cos 60º
Resolvendo, vem:
b2 = 100 + 256 – 320.1/2
b2 = 356 – 160
b2 = 196
b = 14 cm (Resposta!)
12. Um triângulo tem lados iguais a 8 cm, 10 cm e 12 cm. Calcule o seno do ângulo
oposto ao lado de 10 cm.
Solução:
Com os dados fornecidos no enunciado, temos o seguinte triângulo:
A
10
8
x
B
12
C
Aplicando a lei dos cossenos, encontraremos o cosseno do ângulo x.
102 = 82 + 122 – 2.8.12.cos x
Resolvendo, vem:
100 = 64 + 144 – 192.cos x
cos x = 108/192 = 9/16
Mas a questão não quer o cos x, mas sim o sen x. Usaremos a relação
fundamental entre seno e cosseno.
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Raciocínio Lógico
sen x = ±
1 - cos 2 x = ± 1 - (9 / 16) 2
=±
5 7
16
O seno de um ângulo interno de um triângulo é sempre positivo, pois esse
ângulo interno é um valor entre 0º e 180º. Daí, a resposta da questão é:
sen x =
5 7
16
13. (AFTN 1998/ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica:
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0
a) 2
c) -1
e) 1
b) 0
d) -2
representa uma identidade é:
Solução:
Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer
valores atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas. Na expressão do
enunciado, temos a variável x envolvida com as funções seno e cosseno.
Vamos desenvolver o termo (cosx + senx)2 que aparece na expressão. Teremos:
(cosx + senx)2 = cos2x + 2.cosx.senx + sen2x
(cosx + senx)2 = sen2x + cos2x + 2.cosx.senx
(cosx + senx)2 = 1 + 2.cosx.senx
Substituindo o termo (cosx + senx)2 por 1+2.cosx.senx na expressão dada no
enunciado, teremos:
1+2.cosx.senx + y.senx.cosx - 1 = 0
2.cosx.senx + y.senx.cosx = 0
Vamos colocar em evidência o termo senx.cosx:
senx.cosx.(2 + y) = 0
Se (2+y) for igual a zero, então qualquer que seja o valor atribuído a x a
expressão acima será verificada. Daí:
(2+y)=0
Þ y=–2
Resposta: alternativa D.
14. (AFC 2005 ESAF) O sistema dado pelas equações
x sen a – y cos a = –cos 2a
x cos a + y sen a = sen 2a
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a
soma dos quadrados das raízes é igual a
a) 1
c) 4
e) cos π
b) 2
d) sen π
Solução:
A questão afirma que x e y são as raízes do sistema. Então a soma dos
quadrados das raízes, solicitada na questão, é dada por:
x2 + y2
Para que apareça nas equações do sistema os valores de x2 e y2, devemos
elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema. Assim, teremos:
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Raciocínio Lógico
(x.sen a – y.cos a)2 = (–cos 2a)2
(x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2
(x.sen a)2 – 2(x.sen a)(y.cos a) + (y.cos a)2 = (–cos 2a)2
(x.cos a)2 + 2(x.cos a)(y.sen a) + (y.sen a)2 = (sen 2a)2
x2.sen2a – 2xy.sen a.cos a + y2cos2a = cos22a
x2.cos2a + 2xy.cos a.sen a + y2.sen2a = sen22a
Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos:
x2.sen2a + x2.cos2a + 0 + y2cos2a + y2.sen2a = cos22a + sen22a
x2.(sen2a + cos2a) + y2.(cos2a + sen2a) = cos22a + sen22a
x2.(1) + y2.(1) = 1
x2 + y 2 = 1
Resposta: alternativa A.
15. Calcule o
cos (arc sen 1/ 4) .
Solução:
Faremos arc sen 1/4 = x. Daí, temos:
sen x = 1/4
O arco seno é definido no intervalo [-90º, 90º]. Como o sen x é positivo, então o
ângulo x está no 1º quadrante.
Substituindo arc sen 1/4 por x na expressão do enunciado, ficaremos apenas
com a expressão cos x.
Aplicando a relação fundamental entre seno e cosseno, teremos:
cos x = ± 1 - sen 2 x
cos x = ± 1 - (1/ 4) 2
cos x = ± 15 / 16
cos x = ±
15
4
Sabemos que o ângulo x está no 1º quadrante, desse modo só nos interessa o
valor positivo do cosseno.
cos x =
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15
(Resposta!)
4
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Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA DAS VÍDEOAULAS
01.(AFC 2002 ESAF) A expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para
todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a) -4 ≤ y ≤ 8
c) -∞ ≤ y ≤ ∞
e) 0 ≤ y ≤ 8
b) 0 < y ≤ 8
d) 0 ≤ y ≤ 4
02.(Sec Administração PE 2008 FGV) Se cos x = -1/2, então cos 6x é igual a:
A) 0
B) 1
C) 1/2
D) 3 2
E) -1
03.(Processo Seletivo Simplificado 2008 ESAF) Se x é um arco do segundo
quadrante e seno de x é igual a 1/2, então a tangente de x é igual a:
a) b)
2
2
1
3
c) -
d)
e)
2
2
1
3
3
3
04.(Fiscal do Trabalho 2006 ESAF) Sabendo-se que 3cos x + sen x = -1, então um
dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:
a) -4/3
d) -5/3
b) 4/3
e) 1/7
c) 5/3
05.(Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Sabe-se que
o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que co-seno de 60º é igual a 1/2. Sabe-se,
também, que o seno do dobro de um ângulo a é igual ao dobro do produto do
seno de a pelo co-seno de a. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é:
a) - 1/2
d) (31/2)/2
1/2
b) - (3 )
e) - (31/2)/2
1/2
c) 3
06.(Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Sabese que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do
dobro de um arco é dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um
arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3,
então a cossecante de x vale:
-2 3
3
-2 2
b)
3
3
c)
3
a)
d)
2 3
3
e) 1
07.(AFRFB 2009 Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a
um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser
aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros
segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este
projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?
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Raciocínio Lógico
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
08.(AFC-CGU 2008 ESAF) Sabendo que x = arc cos
1
2
e que y = arc sen , então
2
2
o valor da expressão cos(x - y) é igual a:
6+ 2
4
6- 2
b)
4
2
c)
2
a)
d)
3+
e)
2
2
2
09.(AFC/CGU 2012 Esaf) Calcule o determinante da matriz:
a) 1
b) 0
c) cos 2x
d) sen 2x
e) sen (x/2)
10.(AFT 2010 Esaf) Seja y um ângulo medido em graus tal que
0° £ y £ 180°
com y ¹ 90°. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por a, sendo a ¹ 0, qual o
determinante da matriz resultante?
a) ‫ן‬ή …‘• ‫ݕ‬
b) ‫ן‬ଶή –‰ ‫ݕ‬
c) ‫ן‬ή •‡ ‫ݕ‬
d) 0
e) െ‫ן‬ή •‡ ‫ݕ‬
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Raciocínio Lógico
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GABARITO DE TRIGONOMETRIA
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
E
B
C
A
B
A
B
A
C
D
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28